因此，It^o的乘积法则给出thatAFt=Zt∑s-σKdudx（s-, K） ds。此外，我们还有1- Ft=Q（Xt>K | FZt∨ FDt）=∑tu（t），1SX+νN（t）. （5.2）因此，根据命题5.2和推论4.8.5.2资产价格动态中π（t，x）的定义，我们得出了交易证券价格的动态。根据标准符号，我们表示f：（[0，T]×SX）→ 带等式的R（| f（t，Xt）|）<∞ 对于所有t≤ T过程的最优投影（f（T，Xt））0≤t型≤t建模过滤BfT=等式（f（t，Xt）| FMt）。对于sx上的光滑函数f，我们定义了算子LXf（x）=1（K，N）（x）Lf（x）（lx是分红日期之间x的生成元）。使用推论4.8和{τ上的Xt=K这一事实≤ t} 一个明显的hasbft=1{τ≤t} f（t，K）+1{τ>t}π（t），f（t，·）SX+πN（t）f（t，N）。（5.3）因此，推导资产价格动态的关键步骤是计算πtf的动态：=π（t），f（t，·）SX+πN（t）f（t，N）。这是在以下提议中完成的。提案5.3。当λt=σKdπ（t，K）dx时，它保持dπtf=πtdfdt+LXf- λt（f（t，K）- πtf）dt公司+πt（a>f）- πta>πtfd（Zt- πta dt）（5.4）+ZR+πt-（f（·）- κy）Д（y，·））πt-^1（y，·）- πt-fuD（dy，ds）。证明本质上是It^o公式的一个冗长的应用；附录B中给出了它。现在我们可以推导第3节中介绍的交易证券的价格动态。我们从一些符号开始。LetMZt=MZ，FMt=Zt-Ztbasds，t≥ 0。（5.5）众所周知，MZis是一个（Q，FM）布朗运动，因此是Z的Ffm半鞅分解中的鞅部分。接下来，我们定义FM鞅MYby MYt=Yt-Rt公司∧τλsds。最后，我们将使用简写符号（dД（y））t表示φ（y，Xt）在FM上的可选投影，并用γd，FM（dy，dt）表示uDby的FM补偿器=∞Xn=1（dД（y））tn-dyδ{tn}（dt）。（5.6）定理5.4。

用∏surv、∏def和S表示存续债权、违约债权和公司股票的除息价格（未来现金流的价格值）。那么它认为∏survt=∏surv+Zt∧τr∏survsds+Zτ∧t（\\hsurva>）s-- ∏survs-ba>s-dMZ、FMs（5.7）-Zt公司∧τ∏survs-dMYs+Zτ∧tZR+（\\hsurvД（y））s-（dД（y））s-- ∏survs-（uD- γD，FM）（dy，ds）。πdeft=πdef+Zt∧τr∏defs- λsds+Zτ∧t（\\hdefa>）s-- ∏defs-ba>s-dMZ、FMs（5.8）-Zt公司∧τ∏defs-dMYs+Zτ∧tZR+（\\hdefД（y））s-（dД（y））s-- ∏defs-（uD- γD，FM）（dy，ds）St=S+Zt∧τrSsds-Zt公司∧τZR+yγD，FM（dy，ds）+Zτ∧t（\\hstocka>）s-- 不锈钢-ba>s-dMZ、FMs（5.9）-Zt公司∧τSs-dMYs+Zτ∧tZR+（\\hstock^1（y））s-（dД（y））s-- 不锈钢-（uD- γD，FM）（dy，ds）。证据我们从生存要求开始。从关系式（3.4）和（5.3）得出，∏survt=1{τ>t}（[hsurv）t=1{τ>t}πthsurvso，d∏survt=（1- 年初至今-)dπthsurv- ∏survt-dYt公司。现在回想一下ddthsurv+LXhsurv=rhsurv和该hsurv（t，K）≡ 将这些关系代入πthsurv的动力学=rπthsurv+λtπthsurvdt公司+πt（a>hsurv）- πta>πthsurvd（Zt- πta dt）+ZR+πt-（hsurv（·）- κy）Д（y，·））πt-^1（y，·）- πt-hsurvuD（dy，dt）。（5.10）现在，利用γD、fm和Fubini的定义，我们得到了股息日tn<τthatZR+πt-（hsurv（·）- κy）Д（y，·））πt-ν（y，·）γD，FM（dy，{tn}）=πtn-ZR+（hsurv（·- κy）Д（y））tn-dy公司. （5.11）关系式（3.6）表示（5.11）的右侧等于πtn-hsurv（tn，·）。这表明（5.10）中关于uD（dy，ds）的积分可以替换为关于（uD）的积分- γD，FM）（dy，ds）。因为对于泛型函数f：[0，T]×SX→ R它认为{t<τ}上的bft=πtf，我们最终得到了∏surv的结果。这些论点经过必要的修改后也适用于违约索赔和股票价格。

附加条款-πdef漂移中的λsds源于hdef（t，K）=1的事实；股票价格动态中关于γD，FM（dy，ds）的额外积分是由于hstockat在股息日的不同行为，见（3.8）。当然，这个术语很直观：在股息日预期的股价下跌幅度正好等于预期的股息支付。注释和扩展。定理5.4正式确定了交易公司证券的价格由基础企业价值的新信息驱动的观点，因为驱动资产价格动态的过程与FM的生成者密切相关。为了研究动态对冲策略，我们需要交易资产的累计股息价格或收益过程的动态性和可预测的二次变化。survivalclaim没有中间现金流，我们有dGsurvt=d∏survt；对于默认声明，它认为dGdeft=d∏deft+dYt；对于股票，我们有dGstockt=dSt+（1- 年初至今-) 滴滴涕。请注意，定理5.4意味着所有三种资产的贴现收益过程都是鞅，因为必须给出它们，我们直接在鞅测度Q下工作。要计算二次变化，请注意，从定理5.4中，第i个交易资产的贴现收益过程有一个鞅表示，即formeGit=Gi+Zt∧τ（ξMZs，i）>dMZs+Zt∧τξYs，idMYs+Zt∧τZR+ξDi（s，y）（uD- γD，FM）（dy，ds），在定理中明确给出了被积函数。在[0，∞) 通过出租b（[0，t]）=b（t）：=t+P∞n=1δ{tn}（[0，t]）（b是一组股息日期TD上的勒贝格测度和计数测度之和）。

那么，关于资产i和资产j的贴现收益过程的FMof的可预测二次变化的形式为heGi，eGjit=Rt∧瞬时二次变化为Vijs的τvijsdb（s）由Vijs=1（[0，∞)\\TD）（秒）（ξMZs，i）>（ξMZs，j）+ξYs，iξYs，jλs+ 1TD（s）ZR+ξDi（s，y）ξDj（s，y）（dД（y））s-dy。（5.12）6衍生资产分析在本节中，我们讨论了与非流动交易公司相关的证券的定价和对冲，如非标准到期债券或交易资产期权。我们假设风险中性定价公式（2.7）也适用于非交易证券，因此具有FMT可测可积支付的证券在时间t的价格由∏Ht=等式e-r（T-t） H | FMt. （6.1）注意，虽然在我们的框架中非常自然，（6.1）实际上是一种假设。在我们的模型中，市场通常是不完整的，因此鞅测度不是唯一的，因此必须对定价测度的选择进行评估。这是大多数模型的一个令人不快但不可避免的特征，在这些模型中，资产价格会随着波动过程而跳跃。（6.1）的第二个问题是，价格被定义为与实际建模过滤FM相关的条件预期，而价格应根据模型用户可观察的数量进行计算。因此，在第6.1节中，我们表明，对于实践中常见的衍生品，（6.1）中定义的∏h由时间的函数CH（t，π（t））和当前过滤器密度π（t）给出，我们讨论了CH的评估。在第6.3节中，我们还解释了如何根据时间t观察到的交易证券价格确定π（t）的估计值。第6.2节涉及风险最小化对冲策略。6.1衍生品价格与公司相关的大多数衍生品证券属于以下两类之一。基本债务证券。

非交易基本债务证券的例子是非标准到期的债券或CDS。这些证券的定价很简单。设h为安全性的完整信息值。第3节中类似的论证表明{τ>t}∏Ht=1{τ>t}等式h（t，Vt）| FMt）=Z∞Kh（t，v）π（t，v）dv，即∏hT可以通过平均当前过滤器密度π（t）的全部信息值来计算（通过将模型校准到交易证券的价格来确定，请参见第6.3节）。交易资产期权。在最一般的形式中，到期日为T的交易资产上的期权的支付形式为H=g（πT，…，π\'T），其中∏，∏是与公司相关的“交易风险资产”的除权定价过程。这类产品的例子包括股票和债券期权或某些可转换债券。注意，H是可测量的FMT，因为rvs∏T，∏`皮重FMT-可通过（2.7）测量。我们的目标是证明交易资产期权的价格可以写为当前过滤器密度π（t）的函数。我们考虑一种股票期权，其payoffh=g（ST）；其他选项只能通过符号更改来处理。我们得到的期权价格为∏Ht=EQe-r（T-t） {τ>t}g（ST）| FMt+ e-r（T-t） g（0）Q（τ≤ T | FMt）。第二项是基本债务证券的价格。为了处理第一项，我们现在给出了一个一般结果，该结果表明：e-r（T-t） {τ>t}g（ST）| FMt可以归结为计算关于参考度量Q的条件期望的问题*以及σ场FZt∨ FDT来自背景过滤。引理6.1。考虑一些可积函数，FZT∨ FDT可测量的随机变量H，如H=g（ST）。那么它适用于t≤ T thatEQ公司{τ>T}H | FMt= 1{τ>t}等式*H（u（T），1）SX+νN（T）| FZt公司∨ FDt公司（u（t），1）SX+νN（t）。（6.2）证明。

在定理5.1的证明中，我们让Ft=Q（τ≤ t | FZt∨ FDt）。然后Dellacherieformula给出{τ>T}H | FMt= 1{τ>t}等式（1）- FT）高| FZt∨ FDt公司1.- Ft.（6.3）自通用s∈ [0，T]一个具有∑s1=dQdQ*|FZs公司∨FDs，抽象Bayes公式yieldsEQ（1）- FT）高| FZt∨ FDt公司=∑tEQ*（T1）（1）- FT）高| FZt∨ FDt公司.此外，使用（5.2）表示s∈ [0，T]即（∑s1）（1- Fs）=美国，1SX+νN（s）. 将这些关系代入（6.3）即可得出结果。现在我们回到股票期权。为简单起见，我们忽略了SX上边界的点质量ν。回想一下ST=（u（T），hstock）SX（u（T），1）sx使用引理6.1，我们得到e-r（T-t） {τ>t}g（ST）| FMt= 1{τ>t}等式*g级（u（T），hstock）SX（u（T），1）SX（u（T），1）SX | FZt∨ FDt公司（u（t），1）SX，关于SPDE解的马尔可夫性质的标准结果，如Peszatand Zabczyk（2007）的定理9.30，暗示在Q*SPDE（4.25）的解u（t）是一个马尔可夫过程。因此（u（t），1）SXEQ*g级（u（T），hstock）SX（u（T），1）SX（u（T），1）SX | FZt∨ FDt公司= CH（t，u（t））（6.4）对于一些函数CHof time和非标准化过滤器密度的当前值。此外，正如我们现在所解释的，CHis在u（t）中是零度齐次的。由于SPDE（4.25）是线性的，初始条件γu（t）（γ>0a给定常数）下时间间隔[t，t]上的（4.25）解由γu（s），s给出∈ [t，t]。如果我们把它代入（6.4），我们得到thatCH（t，γu（t））=CH（t，u（t）），因为γ抵消了。因此，我们可以在不损失一般性的情况下，用电流滤波器密度π（t）=u（t）替换u（t）（u（t），1）SX，我们得到e-r（T-t） {τ>t}g（ST）| FMt= 1{τ>t}CH（t，π（t））。（6.5）CHI的实际计算最好使用蒙特卡罗模拟，使用数值方法求解SPDE（4.25）。

第4.4节中描述的伽辽金近似特别适合于此目的，因为大多数耗时的计算步骤都可以完成。注意，（6.5）是关于参考度量Q的期望值*.因此，需要在Q下从SDE（4.25）中取样*, 即驱动过程Z是平行运动，随机测量uDhas补偿器γD，*（dy，dt）。。或者，可以直接计算期望值EQe-r（T-t） {τ>t}g（ST）| FMt, 使用下面第7节中概述的模拟方法。6.2套期保值是衍生资产分析的一个关键方面。因此，在本节中，我们使用我们关于交易证券价格动态的结果来推导动态对冲策略。我们预计市场将不完整，因为交易证券的价格会随着波动过程而跳跃。为了解决这个问题，我们使用了F¨ollmer和Sondermann（1986）提出的风险最小化概念。Frey和Schmidt（2012）在简化形式信贷风险模型的背景下进行了类似的分析。风险最小化。我们首先介绍了风险最小化对冲策略的概念。我们假设存在与除息价格过程∏=（t，…，t）>t的公司相关的交易证券≤Tand增益过程G=（Gt，…，G\'t）>t≤T此外，还有一个持续的复合货币市场账户，其价值为ert，t≥ 折扣价格和收益过程用∏andeG表示。回想一下，交易资产收益过程的可预测二次变化的形式为heGi，eGjit=Rt∧τvijsdb（s），其中vijand b在第5.2节中给出（见方程式（5.12）），并设vt=（vijt）1≤i、 j≤`. 用L表示（例如。

，eGn，FM）所有`-维FM可预测过程的空间θ，使得ERTθ>svsθsds< ∞.允许的交易策略由一对φ=（θ，η）给出，其中θ∈ L（例如，…，eGn，FM）和η是FM自适应的；θt提升时间t时风险资产的头寸，ηt提升货币市场账户的头寸。该策略在时间t的值为VΦt=θ>t∏t+ηt，而计算值为VΦt=θ>te∏t+ηt。在后半部分中，我们考虑其值跟踪随机过程的策略。在一个不完整的市场中，只有考虑到中间环节和现金流出，这才是可行的。这些流入和流出的大小通过贴现成本过程Cφ测量，Cφt=eVφt-Rtθ>deGs。我们得到了cφT- Cφt=eVφt-ZTθ>sdeGs-eVφt-Ztθ>sdeGs=eVφT-eVφt+ZTtθ>sdeGs,也就是CφT- Cφt提高了一段时间（t，t）内的累计注资或撤资。特别是，对于选择策略，它认为Cφt- Cφt=0表示所有t。最后，我们通过t（φ）=E定义策略的剩余风险过程R（φ）（CT- Ct）| FMt, 0≤ t型≤ T、 （6.6）现在考虑一个具有平方可积FMT可测payoffh的索赔和一个具有VφT=H的容许策略φ（注意，该条件总是可以通过正确选择现金位置ηT来实现）。那么R（φ）是对冲精度的度量，尤其是R（φ）≡ 0ifφ是H的一个选择对冲策略。一个可接受的策略φ*称为风险最小化如果Vφ*T=H，并且如果对于任何T∈ [0，T]和满足VφT=hw的任何容许策略φ都有Rt（φ*) ≤ Rt（φ）。风险最小化非常适合我们的设置，因为随后的混合策略相对容易计算，并且有助于了解交易证券的风险中性动态。在历史概率度量下，将剩余风险降至最低可能更为自然。

这将导致其他二次套期保值方法；例如，见Schweizer（2001）。然而，相应策略的计算成为一个非常具有挑战性的问题。接下来，我们给出了风险最小化对冲策略的一般特征。设∏Ht=等式（e-r（T-t） H | FMt），使折扣价格过程∏是平方可积fm鞅。众所周知，可预测协变量h∏h，eGii相对于heGii是绝对连续的，因此相对于之前引入的测度b（5.12），我们表示密度bydh∏h，eGii/db（t）；最终∏H，eGi/db（t）代表向量过程dhe∏H，eGi/db（t），dhe∏H，例如\'i/db（t）>.提案6.2。风险最小化策略φ*= （θ*, η*) 对于索赔H∈ L(Ohm, FMT，Q）存在。其特征如下：θ*这是方程vtθ的解*t=dhe∏H，eGi/db（t）；现金头寸为η*t=e∏Ht- （θ*t） >e∏并认为Vφ*t=∏Ht。证据首先，我们回顾鞅∏h关于交易证券收益过程的渡边Kunita分解。该分解由∏Ht=e∏H+` Xi=1ZtξHs，ideGis+H给出⊥t、 0个≤ t型≤ T（6.7）此处ξHi∈ L（例如，…，eGn，FM）和鞅H⊥与交易证券的收益过程强正交，即hH⊥,eGii公司≡ 0表示所有1≤ 我≤ `. 如F¨ollmerand Sondermann（1986）所示，风险最小化套期保值策略与渡边Kunita资产组合（6.7）相关，如下所示：它认为θ*= ξH，thateVφ=e∏表示C=H⊥.接下来我们确定θ*. 作为hH⊥,eGii公司≡ 0，Kunita Watanabe分解得到he∏H，eGiit=P\'j=1Rtθ*s、 jdheGj，eGiisor等效YZT∧τdhe∏H，egidb（s）db（s）=Zt∧τ\'Xj=1θ*s、 jvjisdb（s），表明vtθ*t=dhe∏H，eGidb（t）。其余的陈述很清楚。例如，假设我们想用股票作为对冲工具，用payoffh=g（ST）对冲股票期权。

在这种情况下，我们从命题6.2得到θHt=dh∏H，eGstocki/db（t）dheGstocki/db（t）。θ的计算*. 应用命题6.2的关键任务是计算瞬时二次变化dhe∏H，eGi/db（t），我们现在解释如何在第6.1小节中考虑的权利要求中实现这一点。如果H表示未交易的基本债务证券，类似于定理5.4的证明的论证给出了e∏Has关于鞅MZ，MYanduD的随机积分的表示- γD、FM（dy，dt）和dhe∏H、eGi/db（t）可从该表示中读取。接下来，我们将讨论H是一个交易资产上的期权，其payoff为g（T，…，T），为简单起见，我们假设g（0）=0。为了计算∏H，eGi/db（t），我们需要找到∏H相对于MZ，MYanduD的鞅表示-γD，FM（dy，dt）。Standardarguments可以用来证明存在这样的表示，例如，请参见Frey和Schmidt（2012）中的Lemma 3.2证明。然而，识别被积函数更困难。一种可能的方法是使用Krylov（2013）提供的SPDE It^o公式，详情见附录A。通过回归实现风险最小化策略。为了避免∏Hone的鞅表示问题，可以使用具有固定离散再平衡日期的策略，并应用F¨ollmer和Schweizer（1989）的结果；这对于大多数实际用途都很有用。考虑一组固定的交易日期0=t<t<···<tm=t。允许离散交易策略空间由所有策略φ（m）=（θ（m），η（m））组成，θ（m）t=Pm-1j=0θj（tj，tj+1）（t）和η（m）t=Pm-1j=1ηj[tj，tj+1）（t）+ηm{t=t}，使得θjandηjare fmtjm可测量。此外，对于所有0≤ j≤ m级- 1随机变量θ>j（eGtj+1-eGtj）是平方可积的。注意θ（m）是左连续的，η（m）是右连续的。

F¨ollmer and Schweizer（1989）证明了策略（φ（m））*在终值VT=H的所有允许的离散交易策略上，最大限度地降低剩余风险可以描述如下：对于0≤ j≤ m级- 1随机向量θ*j、 由回归方程e∏Htj+1确定-e∏Htj=` Xi=1（θ*j） >eGtj+1-eGtj公司+ j+1其中E(j+1 | FMtj）=0，其中Ej+1（eGtj+1-eGtj）| FMt-1.= 0、现金头寸由η给出*j+1=e∏tj- （θ*j） >e∏tso，Vφ（m）tj=所有j的∏htj。为了计算（θj）*因此，可以实现E∏Htj+1-e∏Htjand ofeGtj+1-eGtjvia蒙特卡罗；θ*然后可以通过标准回归方法从这些模拟数据计算jc。进一步评论。请注意，交易资产期权的对冲策略可以表示为当前过滤器密度π（t）的函数。如果资产价值在股息日跳降，即k=1，则模型不可避免地不完整。对于κ=0，可以给出确保市场完整的条件：粗略地说，交易的风险证券数量必须等于l+1，其中l是过程z的维度。有关这两个问题的详细信息，我们参考附录A.6.3过滤器密度的校准在我们的设置中，定价公式和对冲策略取决于当前过滤器密度π（t）。因此，想要使用该模型的投资者需要根据时间t的交易证券价格估计π（t）。在本节中，w解释了如何通过线性约束的二次优化问题来实现这一点。我们假设π（m）（t）=Pmi=1ψiei形式的伽辽金近似和光滑基函数e，EMI用于近似过滤密度π（t），我们观察价格∏*, . . . , ∏*`具有完整信息价值的交易证券hj（t，v），1≤ j≤ `.

为了完全匹配观测价格，四层系数ψ=（ψ，…，ψm）的向量需要满足以下`+1线性约束mxi=1ψi（ei，1）SX=1和mxi=1ψiei，hj（t，·）SX=∏*j、 1个≤ j≤ ` ; （6.8）K rσ（GBM体积）κ初始滤波器分布π20 0.02 0.2 1 V- K~ LN（LN 15，0.2）表1：模拟研究中使用的参数。此外，它应该保持ψ≥ 0，以防止π（m）（t）变为负值。通常情况下，m>使得约束（6.8）不能唯一地确定傅里叶系数。在这种情况下，需要应用正规化程序。继Hull和White（2006）在将隐含copula模型校准为CDO分期价差时面临类似问题之后，我们建议最小化满足约束条件（6.8）的所有非负ψ上πm（t，·）二阶导数的L-范数；这将产生最大平滑的初始密度。用ei表示二阶导数，用ij定义对称和正定义矩阵=ei，ejSX。自ZSX以来dπ（m）（t，x）dxdx=mXi，j=1ψiψjei，ejSX=ψΞψ，Ddxπ（m）（t，x）的L-范数的最小化导致二次优化问题minψ≥0ψΞψ，使得ψ满足（6.8）。这个问题可以用标准的优化软件来解决；第7节讨论了一个数值示例。对于模型的全面校准，还需要确定V的波动率σ和函数a的（参数）。自然的方法是通过校准观察到的期权价格来确定这些参数；细节留待将来研究。7数值试验在本节中，我们用大量数值试验来说明模型。我们对不完全信息下的资产价格动态特别感兴趣。

我们使用以下设置进行分析：每年支付股息；股息大小建模为dn=δn（Vtn- K） +其中δnisβ分布的平均值等于2%，标准偏差等于1.7%。过程Z是二维的，a（v）=cln v，a（v）=cln K+σ- ln v）+7；对于c>0，这种AMODEL的选择表明，只要资产价值与默认阈值之间的标准差小于一个标准差，价格就会非常有用，这可能是因为在这种情况下，对企业的监控尤其密切。表1给出了其余参数。为了生成具有初始值π和相关数量（如股票价格）的过滤器密度π（t）的轨迹，我们按照以下步骤进行。1、生成随机变量V~ π、 资产价值流程的轨迹（Vs）Ts=0，其中V=V，默认指标流程的关联轨迹（Ys）Ts=0。我们在ln v=ln K+σ处对扭结进行平滑；细节无关紧要。2、使用步骤1中生成的轨迹（Vs）Ts=0作为输入，生成实现（Ds）Ts=0和（Zs）Ts=0。3、使用第4.4节所述的伽辽金近似法，计算步骤2中产生的观测值，即初始值为u（0）=π的非规范化过滤器密度的轨迹（u（s））Ts=0。

返回π（s）=（1- Ys）u（s）/（u（s），1）SX和Ss=（1- Ys）（π（s），hstock）SX，0≤ s≤ T有关数值方法的详细信息，包括基函数的选择、求解伽辽金方法产生的SDE系统（4.33）的数值方法以及数值实现的准确性测试，请参阅R¨osler（2016）第4章。接下来，我们描述数值实验的结果。在图1中，我们绘制了股票价格S和相应的完整信息价值hstock（Vt）的轨迹，其中建模过滤仅包括分割信息（c=c=0）。这可以看作是Duffee和Lando（2001）中考虑的离散噪声会计信息的一个例子。我们看到S具有非常不寻常的动力学；特别是，它在分红日期之间具有决定性的演变。0 1 2 3 4 5 6 70510152025 Shath的路径图1：股票的完整信息值hstock（Vt）（虚线）和股票价格S（标准线，标签SHat）的模拟路径，c=c=0（仅股息信息）。接下来，我们展示了通过将filtrationfzto添加到建模过滤中，可以获得更现实的资产价格动态。在图2中，我们绘制了一个典型的股价轨迹以及参数值c=4和c=0的完整信息值hstock（Vt）。很明显，在股息日之间，ST的波动率为非零。此外，两条轨迹的比较表明，股价在默认时间τ跳至零；这反映了一个事实，即在信息不完整的情况下，defaulttime具有一定的强度，因此违约令人惊讶。相应的过滤器密度π（t）绘制在图3中，出于比较目的，我们最终考虑参数集c=4，c=25。

对于这些参数值，默认值是“几乎可预测的”，模型的行为类似于图2的SHatPath的结构0 1 2 3 4 5 6 70510152025路径：对于c=4，c=0，股票的完整信息值hstock（Vt）和股票价格St（标准线，标签Shat）的模拟路径。模型这可以从图4中看出，在图4中，我们绘制了两个参数集的默认强度。请注意，对于c=4，c=25，默认强度在大多数情况下接近于零，并且在默认之前非常大（实际上几乎是c=0时的两倍）。在图5中，我们最后展示了一个小型校准活动的结果，其中π（t）使用上一节所述的方法校准为雷曼兄弟五年期CDS利差。数据范围为2006年9月至2008年9月（雷曼兄弟于2008年9月15日申请破产保护）。由于在全信息条件下，CDS分布在V和K中均为零度，因此我们采用默认阈值等于toK=1，因此x轴上的数字可以视为资产与负债的比率。可以清楚地看到，在缺省之前，π（t）的质量集中在缺省阈值附近。8展望与结论本文利用随机过滤技术，为不完全信息下的结构性信用风险模型开发了衍生资产分析理论。特别是，我们设法提高了交易证券的动态性，这使我们能够研究衍生品的定价和合规性。最后，我们简要地提到了几个财务问题，这一理论将证明是有用的。首先，在我们的设置中研究或有可转换债券（也称COCO）可能会很有趣。

CoCo是一种可转换债券，在发行公司（通常是金融机构）陷入财务困境时自动触发。在触发事件中，债券要么转换为股权，要么转换为大大低于债券面值的即时现金支付。充分建模触发机制是分析CoCos的关键部分。迄今为止已发行的COCO有一个基于资本充足率的所谓会计触发器。很难包括图3：条件密度π（t）的模拟实现。注意π（t）的质量如何集中在τ之前的默认阈值。0 1 2 3 4 5 6 7012345678 c1=4，c2=25c1=4 c2=0图4：c=4，c=0（虚线）和c=4，c=25（直线）的默认强度模拟路径。2006-092006-122007-032007-062007-092007-122008-032008-062008-091.01.52.02.53.03.54.00.51.01.52.02.5对5年期CDS利差的校准图5：在银行违约之前，对雷曼兄弟5年期CDS利差的过滤密度进行校准的结果。在此示例中，默认阈值为K=1。直接进入正式定价模型；因此，许多定价方法将转换时间τCoCoas建模为τCoCo=inf{t形式的首次通过时间∈ T：Vt≤ KCoCo}用于转换保持KCoCo>K和一组监控日期T [0，∞). 然而，这种估值方法很难在实践中应用，因为投资者无法及时持续跟踪资产价值，例如，见Spiegeleer和Schoutens（2012）。在我们的设置中，Vis不完全可见非常适合以一致的方式处理此问题。这方面的第一个结果可以在R¨osler（2016）的第5章中找到。我们的框架也可用于研究主权债券的衍生资产分析。

最近几篇论文提出了主权信用风险的内生违约结构模型，例如Andrade（2009）或Mayer（2013）。粗略地说，在这些模型中，故障由第一次通过时间τ=inf{t给出≥ 0:Vt≥Kt}=inf{t≥ 0:Vt：=▄Vt/▄Kt≤ 1} ，其中，过程V是衡量主权国家未来预期经济表现的指标，阈值过程K是主权国家选择的，目的是平衡债务服务减少带来的收益与违约带来的不利经济影响，如资本市场准入减少。有理由假设外部投资者无法完全观察到▄V和▄K，例如，因为很难详细预测监管决策过程的结果。因此，我们得出了形式（2.1）的模型“资产价值V=~V/~K，默认阈值K=1。本文的结果可用于推导此设置中主权信用利差的动态；这对于主权债券期权的定价和风险管理非常重要。其他结果A.1过滤方程。在下一个推论中，我们陈述了FM的过滤方程。推论A.1。对于f∈ C1,2（[0，T]×SX）可选项目bfthas dynamicsbft=bf+Ztcdfdt公司s+（1- Ys公司-)（dLXf）sds+Zt∧τ（cfa）>s-bfsba>sdMZ，FMs+Zt∧τ（f（s，K）-bfs公司-) dMYs+Zt∧τZR+（\\f（·）- κy）Д（y，·））s-（dД（y））s--bfs公司-uD（dy，ds）。（A.1）证明。回想一下bft=1{τ≤t} f（t，K）+1{τ>t}πtf。因此，它认为dbft=Yt-dfdt（t，K）dt+（f（t，K）- πtf）dYt+（1- 年初至今-)dπtf将πtf的动力学代入该方程得到（A.1）。或者，可以使用非线性滤波的新息方法推导滤波方程。

为此，首先必须证明，每个fm鞅都可以表示为关于过程Yt的随机积分之和- ∧t∧τ和MZ，FMt，以及关于随机测量的测量值uD- γD，FM。然后可以使用标准参数来识别BFT鞅表示中的被积函数-Rt（[LXf）sds。这是自2012年起采取的路线对于无股息支付的情况。A、 2动态套期保值接下来，我们给出了与第6.2节中动态套期保值分析相关的一些额外结果。对冲策略的计算。我们现在解释如何使用SPDE的It^o公式计算交易资产上期权鞅表示中的被积函数；在应用第6.2条提案的过程中需要这样做。我们从第6.1节知道，e∏Ht=eCH（t，π（t）），使用类似于命题5.3的证明中的参数，条件密度π（t）的动力学可以从（4.25）中给出的u（t）的动力学推导得出：对于t<τ，它认为dπ（t）=A.*π（t）+π（t）λtdt+π（t）a>- ba>tdMZt+ZR+Sκyπ（t-)^1（y，·）（dД（y））t-- π（t-) uD（dy，dt）。表示v∈ H（SX）byeCH[v]（t，π）Chin方向v的方向导数，即iseCH[v]（t，π）=ddss=0eCH（t，π+sv）。假设满足Krylov（2013）的正则性条件（本质上，这意味着每个点π上都存在一阶和二阶方向导数∈ H（SX））。Krylov（2013）的定理3.1给出了折扣价格的以下鞅表示：eCH（t，π（t））=eCH（0，π（0））+lXi=1Zt∧τeCH[π（s）（ai-（bai）s）]（s，π（s））dMZs，i-Zt公司∧τeCH（s，π（s））dMYs+Zt∧τZR+eCHs、 sκyπ（s-)^1（y，·）（dД（y））s--eCH公司s、 π（s-)（uD- γD，FM）（dy，ds）。（A.2）在（A.2）中，SPDE的It^o公式用于确定关于DMZ的被积函数，i；关于My和（uD）的被积函数- γD，FM）（dy，dt）可由基本参数确定。

所有被积函数（以及风险最小化对冲策略）都是当前过滤器密度π（t）的函数；可以使用MonteCarlo对积分中关于MZ（和其他被积函数）的方向导数进行实际计算。请注意，我们尚未确定Krylov（2013）中要求的EC规律性；这个非常技术性的问题留给未来的研究。示例A.2。作为一个简单的例子，我们考虑了使用股票作为对冲工具，在payoffh=g（ST）的情况下对冲期权的问题。为了简化符号，我们考虑Z是一维过程的情况。首先，我们从命题6.2得到θHt=dh∏H，eGstocki/db（t）dheGstocki/db（t）。在股息日之间，即t∈ [0，T]\\T这给出θHt=（\\hstocka）t-eStbat公司eCH[π（t）（a-bat）]（t，π（t））+λ测试-eCH（t，π（t-)（\\hstocka）t-eSt公司-球棒-+ λ试验-;在股息日，我们得到θHt=ZR+欧共体t、 Sκyπ（t-)^1（y，·）（dД（y））t--欧共体t、 π（t-))y+（\\hstockД（y））t-（dД（y））t-- St公司-（bД（y））t-dyZR公司+y+（\\hstockД（y））t-（dД（y））t-- St公司-（dД（y））t-dy.市场完整性。最后，我们讨论了设置中的市场完整性。为此，我们考虑不支付股息的模型变体。这一假设至关重要；有了股息，市场通常是不完整的。考虑一个到期日为T且支付金额为H的交易资产期权。然后，贴现价格过程e∏hh作为形式e∏Ht=e∏H+lXj=1Zt的鞅表示∧τξMZj，HsdMZs，j+Zt∧τξY，HsdMYs。（A.3）如定理5.4所示，交易资产的贴现收益过程也有类似的表示；被积函数用ξMZjiandξYi表示，1≤ 我≤ `, 1.≤ j≤ l、 完美对冲策略θ*所有人的满意度≤ T关系式e∏Ht=e∏H+P\'i=1Rtθ*s、 ideGs，i；现金头寸根据选择条件确定。现在我们得到\'Xi=1Ztθ*s、 ideGs，i=Zt∧τlXj=1`Xi=1θ*s、 iξMZjs，idMZs，j+Zt∧τ\'Xi=1θ*s、 iξYs，idMYs。

（A.4）比较（A.3）和（A.4），我们发现t≤ τ完美复制策略θ*求解以下l+1维线性方程组\'Xi=1θ*t、 iξMZjt，i=ξMZj，Ht，1≤ j≤ j，andlXi=`θ*t、 iξMYt，i=ξMY，Ht。（A.5）模可积条件，对于交易资产上的每个期权，当且仅当系统（A.5）对所有t≤ τ和每个右侧（ξMZ，Ht，…，ξMZl，Ht，ξMY，Ht）>。粗略地说，对于完整的市场，每个t<τ至少需要l+1本地独立交易资产。对于股息支付，我们将得到一个支持γD，FM（dy，{tn}）的每个y的附加方程，这样at tn（A.5）就变成了一个系统，其中包含了无数未知量的无数方程，并且通常无法求解。引理3.2的证明。确定收益过程Gt=Vt+Dt，贴现收益过程Gt=e-rtVt+中兴通讯-RSDD=：eVt+eDt（B.1）和累计股息资产价值过程“Vt”，其中“Vt=V+Rtr”Vsds+Rtσ”VsdBs。我们首先证明了这是一个鞅。事实上，通过（2.4），我们得到了degt=σeVtdBt- e-rtdDt+e-rtdDt=σeVtdBt；所以这是一个局部鞅。此外，EQ（eVt）≤ 均衡器（e）-rt'Vt）= eσtEQ（V）。因此我们得到EQ（[例如]T）=EQZTσfVsds≤ 均衡器ZTσe-卢比Vsds公司< ∞ ,andeG是一个平方可积真鞅。现在它显然认为PTN≥0e-rtndn=limn→∞eDtn。此外，当AGTN=eVtn+eDtn>eDtn时，有一个等式（eDtn | V）≤ EQ（eGtn | V）=V。由于这是一个递增过程，我们从单调积分中得到Xtn公司≥0e-rtndn | V= 均衡器画→∞eDtn | V= 画→∞均衡器eDtn | V≤ 五、 （B.2）为了证明一个人在（B.2）中是平等的，我们必须证明limn→∞均衡器eVtn | V= 0、我们有估算EQXtn公司≥0e-rtndn | V≥ 均衡器Xtn公司≥0δneVtn- δne-rtnK | V= 等式（δ）Xn公司≥0EQeVtn | V- KXn公司≥0e-rtn公司.（B.3）回想一下，根据假设2.1.2，股息日期是等距的，因此≥0e-rtn<∞.

假设现在有一些c>0，这样EQeVtn | V> c对于很多n.加上（B.3），这意味着Ptn公司≥0e-rtndn | V= ∞, 与不等式（B.2）相矛盾，我们得出结论Limn→∞均衡器eVtn | V= 身份证明（4.3）。此标识将遵循关系eqh（Vt）1{τ>t}| FMt= 均衡器h（Vτt）1{τ>t}| FZτt∨ FYt公司, （B.4）其中，FZτ是由停止的过程Zτ产生的过滤。为此，首先注意FZτ∨ Fy是对FM的过滤（因为τ是FMstopping时间），因此（B.4）的右侧是可测量的FMt。此外，对于τ>t，Vτt=vt和（Zτs）ts=0=（Zs）ts=0。因此我们得到了C上任何有界可测泛函g[0，T]）thatEQh（Vt）1{τ>t}g（（Zs）ts=0）= 均衡器h（Vτt）1{τ>t}g（（Zτs）ts=0）= 均衡器均衡器h（Vτt）1{τ>t}| FZτt∨ FYt公司g（（Zτs）ts=0）. （B.5）由于（B.5）中存在指标1{τ>t}，我们可以将该方程中的g（（Zτs）ts=0）替换为g（（Zs）ts=0），从而通过定义条件期望得到（B.4）。类似的论点表明h（Vt）1{τ>t}| FZt∨ FYt公司= 均衡器h（Vt）1{τ>t}| FZτt∨ FYt公司, 这就等于h（Vt）1{τ>t}| FMt= 均衡器h（Vτt）1{τ>t}| F▄Zt∨ FYt公司,如所述。命题4.2的证明。过程FσNt=Q（σN≤ t | Ft），0≤ t型≤ T是F-子鞅。Hencewe得到，使用第一个子鞅不等式（参见Karatzas和Shreve（1988），定理1.3.8（i））Qsups公司≤TFσNs>≤E（FσNT）+=Q（σN）≤ T），给出了语句1。现在我们来谈谈声明2。为了证明，我们明确了stoppedasset值过程对N的依赖性，并写出XNt：=Vτ∧σNt。显然，在{σN>T}上，它认为{τN>T}=1{τ>T}，T≤ T

使用命题4.1，我们得到支持≤T{τN>t}等式h（t，VNt）| FM，Nt- 1{τ>t}等式h（t，Vt）| FMt> δ≤ Q支持≤T均衡器h（t，XNt）1{XNt>K}| FZNt∨ FDNt公司QXNt>K | FZNt∨ FDNt公司-均衡器h（t，Xt）1{Xt>K}| FZt∨ FDt公司QXt>K | FZt∨ FDt公司> δ（B.6）+QσN>T现在QσN>TN收敛到零→ ∞ 因此，我们将重点放在（B.6）。难以估计这种可能性的事实是，我们必须将条件期望与不同过滤进行比较。与鲁棒过滤类似，我们使用参考概率方法来解决这个问题。为了简化符号，我们引入了缩写hNt=h（t，XNt）1{XNt>K}和HT=h（t，Xt）1{Xt>K}。此外，我们设置L1，Nt=expZta（XNs）>dZs-Zt公司a（（XNs））ds公司和L2，Nt=Ytn≤T^1（dn，XNtn-)^1*（dn），我们让LNt：=L1，NtL2，Nt。密度鞅Lt=ltlti的定义类似，但用Vτ代替XN。鉴于命题4.1和（4.22），我们需要证明对于N→ ∞,支持≤T均衡器hNtLNt（·，ω）均衡器{XNt>K}LNt（·，ω）-均衡器htLt（·，ω）均衡器{Vτt>K}Lt（·，ω）Q-→ 0。（B.7）这方面的关键工具是以下引理。引理B.1。考虑一个泛型函数f:[0，T）×[K，∞) → R带f（t，v）≤ c+cv和letfNt=f（t，XNt）和ft=f（t，Vτt）。然后它就保持住了≤T均衡器fNtLNt（·，ω）- 均衡器ftLt（·，ω）Q-→ 引理B.1的证明。固定常量, δ>0。我们必须证明，对于N足够大，Qω： 支持≤T均衡器fNtLNt（·，ω）- 均衡器ftLt（·，ω）> δ<  （B.8）我们首先表明，我们可以在不丧失一般性的情况下假设L2、NTA和LTA是有界的。为此，我们选择一些常数C，使得Q（B）>1-其中b：=nω：supx∈[K，∞)年初至今≤TД（dn（ω），x）Д*（dn（ω））≤ 这是可能的，因为*在（0，∞) 从那时起，映射x 7→ ^1（dn，x）以（2.5）为界。根据定义，B上的L2，Nt=L2，Nt∧ C和Lt=Lt∧ C

此外，（B.8）不大于qnsupt公司≤T均衡器fNtLN，1t（LN，2t∧ C） （·，ω）- 均衡器ftLt（Lt∧ C） （·，ω）> δo∩ B+ Q（Bc）≤ Q支持≤T均衡器fNtLN，1t（LN，2t∧ C） （·，ω）- 均衡器ftLt（Lt∧ C） （·，ω）> δ+因此，从现在起，我们假设L2、Ntan和Lt以C为界。我们继续对Lt.Doob的最大不等式givesEQ进行一些有用的估计*sup0≤t型≤T（Lt）≤ CEQ公司*sup0≤t型≤T（Lt）≤ 4CEQ公司*（LT）= 4CEQ公司*经验值ZTka（Vτs）kds≤ 4Cexp公司T supx公司≥Kka（x）k（B.9）类似地，我们得到了“Vt=~Vexp”（r）-σ） t+σBt（累计股息资产价值）等于*sup0≤t型≤T（(R)VtLt）≤ Ce2rTEQ（￠V）等式*sup0≤t型≤TE公司a（Vτs）>dZs+σdBst型≤ 4Ce2rTEQ*（￠V）扩展T（σ+supx≥Kka（x）k）（B.10）当然，类似的估计也适用于EQ*sup0≤t型≤T（LNt）对于EQ*sup0≤t型≤T（(R)VtLNt）. 因为在集合{t<σN}上，fNt=fta，LNt=Lt，它认为均衡器fNtLNt（·，ω）- 均衡器ftLt（·，ω）≤ 均衡器{σN≤t}fNt公司LNt公司·, ω）+ 均衡器{σN≤t}英尺Lt（·，ω）.因此我们得到了SUP0≤t型≤T均衡器fNtLNt（·，ω）- 均衡器ftLt（·，ω）≤ sup0≤t型≤TEQ公司{σN≤t}fNt公司LNt公司·, ω）+ sup0≤t型≤TEQ公司{σN≤t}英尺Lt（·，ω）. （B.11）现在请注意，假设fNt公司≤ c+cXNt≤ 因此（B.11）可通过SUP0进行估算≤t型≤TEQ公司{σN≤t} （c+c'Vt）LNt（·，ω）+ sup0≤t型≤TEQ公司{σN≤t} （c+c’Vt）Lt（·，ω）（B.12）为了完成引理的证明，我们最终表明表达式qsup0≤t型≤TEQ公司{σN≤t} （c+c'Vt）LNt·, ω）= 均衡器*sup0≤t型≤T{σN≤t} （c+c'Vt）LNtN收敛到零→ ∞, 这就是EQ{σN≤t} （c+c'Vt）LNt（·，ω）在L中收敛到零(Ohm, F、 Q）因此在概率方面也是如此。现在请注意，我们之前的估计（B.9）和（B.10）意味着随机变量YN：=sup0≤t型≤T{σN≤t} （c+c'Vt）在L中一致有界(Ohm, F、 Q*) 和Hence一致可积，因此该主张源自Lebesgue定理。同样的论点显然适用于（B.12）中证明引理的第二项。最后，我们回到（B.7）的证明，从而回到命题4.2的证明。

固定常量, δ>0，然后选择M>0，对于a，a：=ω： 输入≤TEQ公司Lt（·，ω）> 2/米和A：=ω： 支持≤TEQ公司htLt（·，ω）< M- δ认为Q（Ac）<ε，Q（Ac）<ε。最终选择足够大的容量，以便N>Nit holdsQ（A）>1-ε和Q（A）>1-ε；此处：=ω： 支持≤T均衡器hNtLNt（·，ω）- 均衡器htLt（·，ω）<δ2M答：=ω： 支持≤T均衡器LNt{XNt>K}（·，ω）- 均衡器Lt{Vτt>K}（·，ω）<δ2M;引理B.1可以做到这一点。设A=A∩A.∩A.∩A注意Q（A）>1-. 通过定义N>Nandω的wehave∈ A估计值支持<TEQhNtLNt（·，ω）< M和inft<TEQLNt（·，ω）>M、 现在，标准微积分中的中值定理给出了x，~x和y，~y∈ R带x个,x< 曼德y,y>M估算值x  y-xy型≤ Mx- x个+y- y. 应用这个估计，我们得到ω∈ Athatsupt运动会≤T均衡器hNtLNt（·，ω）均衡器{XNt>K}LNt（·，ω）-均衡器htLt（·，ω）均衡器{Vτt>K}Lt（·，ω）≤ M支持≤田纳西州均衡器hNtLNt（·，ω）- 均衡器htLt（·，ω）+均衡器LNt（·，ω）1{XNt>K}- 均衡器Lt{Vτt>K}（·，ω）o≤ Mδ2M+δ2M= 引理4.6的δ证明。为了显示EQ*（LT）=1我们在股息日期tn使用归纳法。对于t<t，LT=LT和EQ*Lt公司= 1根据Novikov标准（回想一下，a是以假设为界的）。假设现在这个主张适用于t<tn。我们得到等式*Ltn公司= 均衡器*Ltn公司-^1（dn，Xtn-)^1*（dn）= 均衡器*Ltn公司-均衡器*^1（dn，Xtn-)^1*（dn）| Ftn-.此外，EQ*^1（dn，Xtn-)^1*（dn）| Ftn-=ZR+Д（y，Xtn-)^1*（y） ^1*（y） dy=ZR+Д（y，Xtn-) dy=1，因此*（Ltn=1）以及。为了证明uD（dy，dt）具有Q-补偿器γD（dy，dt），我们使用了一般的Girsanov定理（参见Protter（2005），定理3.40）：一个过程M，使得Q存在hM，Li*是Q*-局部鞅当且仅当iffMt=Mt-RtLs-dhL，MIS是一个Q-局部鞅。现在考虑一些有界可预测函数β：[0.T]×R+→ R和定义Q*-局部鞅Mt=RtRR+β（s，y）（uD- γD，*)（dy，ds）。

由于M是有限变量，我们得到了[M，L]t=Xs≤t型太太Ls=ZtZR+Ls-^1（y，Xs-)^1*（y）- 1.β（s，y）uD（dy，ds）。因此我们得到thathM，Lit=ZtZR+Ls-^1（y，Xs-)^1*（y）- 1.β（s，y）γD，*（dy，ds），（B.13）前提是：*ZtZR+Ls-^1（y，Xs-)^1*（y）- 1.|β（s，y）|γD，*（ds、dy）< ∞ . （B.14）回顾γD，*（dy，dt）=P∞n=1х*（y） dyδ{tn}（dt）。HenceZtZR+Ls-^1（y，Xs-)^1*（y）- 1.γD，*（ds，dy）=Xtn≤tLtn公司-锆+^1（y，Xtn-) - ^1*（y）dy公司≤ 2Xtn≤tLtn公司-.因为|β|由某个常数C限定，并且因为*（Lt）=1对于所有t，（B.14）的lhs由2C sup{n限定∈ N：tn≤ t} 。此外，我们从（B.13）得到thathM，Lit=Xtn≤tLtn公司-ZR+β（tn，y）^1（y，Xtn-) - ^1*（y）dyThis givesfMt：=Mt-ZtLs公司-dhL，Mis=ZtZR+β（s，y）（uD- γD）（dy，ds）。根据一般的Girsanov定理，NowfM是一个局部鞅，它表明γD（dy，dt）实际上是uD的Q补偿器。其他说法很清楚。定理4.7的证明。我们在股息日通过归纳法进行。对于t∈ [0，t）没有独立的信息，其主张来自定理4.4。现在假设Theorem的主张适用于t∈ [0，tn）。首先，我们表明u（tn）=Sκdn（~u（tn））=u（tn-, x+κdn）Д（dn，x+κdn）Д*（dn）属于H（SX）∩ H（SX）。显然，在假设2.12下，对于给定的dn>0，映射x 7→^1（dn，x）^1*（dn）平滑、非负且有界。因此使用u（tn-) 此外，u（tn））属于H（SX）∩H（SX）。如果κ=1，则表明Sdn（~u（tn））是H（SX）的一个元素∩ H（SX）。平滑度很清楚，唯一需要验证的是边界条件▄u（tn，K+dn）=0。注意：对于z，Д（dn，z）=0≤ dn+K（见方程式（2.3））。这意味着▄u（tn，K+dn）=0（按要求）。（4.25）关于[tn，tn+1）的解的存在性和唯一性紧随定理4.4。接下来，我们转向第二个主张。

使用归纳假设，定义▄u，事实是Д（dn，K）=Д*（dn）以及νK（t）和νN（t）的动力学，我们得到∑tnf=EQ*Ltn公司-f（Xtn）Д（dn，Xtn-)^1*（dn）=u（tn-), f（·）- κdn）Д（dn，·）Д*（dn）SX+νK（tn-)f（K）Д（dn，K）Д*（dn）+νN（tn-)f（N）Д（dn，N）Д*（dn）=u（tn-), f（·）- κdn）SX+νK（tn）f（K）+νN（tn）f（N）。现在我们有了u（tn），f（·）- κdn）SX=ZNKf（x- κdn）~u（tn，x）dx=ZN-κdnK-κdnf（y）~u（tn，y+κdn）dy=ZNKf（y）~u（tn，y+κdn）dy，因为被积函数在[K]上为零- κdn，K]∪ [N- κdn，N]。因此我们得到了u（tn），f（·）- κdn）SX公司=u（tn），fSx与∑tnf的关系=u（tn），fSX+νK（tn）f（K）+νN（tn）f（N），如权利要求所述。引理5.3的证明。我们从没有股息的情况开始，假设f与时间无关。回想推论4.8，πtf=C（t）（（u（t），f）SX+νN（t）f（N）），其中C（t）=（u（t），1）SX+νN（t）。使用（4.18）和（4.17）我们得到DC（t）=L*u（t），1SX公司-σNdudx（t，N）dt公司+u（t），a>SX+νN（t）a>（N）dZt。（B.15）部分积分表明（B.15）中的漂移项等于-σKdudx（t，K）。因此，dC（t）=2C（t）σKdudx（t，K）dt-C（t）u（t），a>SX+νN（t）a>（N）dZt+C（t）lXj=1u（t），ajSX+νN（t）ajdt。同样，我们得到了u（t），fSX+νN（t）f（N）=u（t），LXfSX公司-σKdudx（t，K）f（K）dt公司+u（t），a>fSX+νN（t）a>（N）f（N）dZt。（B.16）因此，我们使用It^o乘积公式和π（t，v）=u（t，v）/C（t）dπtf=C（t）d这一事实u（t），fSX+νN（t）f（N）+u（t），fSX+νN（t）f（N）直流（t）+直流Cu、 f级SX+νNf（N）t型=π（t），LXfSX公司-σKdπdx（t，K）f（K）dt+πt（a>f）dZt+σKdπdx（t，K）πtf+lXj=1（πtaj）πtfdt公司- （πtf）（πta>）dZt-lXj=1（πtaj）（πtajf）dt。重新排列项并使用πt（LXf）=（π（t），LXf）sx给出了与时间无关f且无股息情况下引理的主张。对于含时f，我们有dπtf=πt（dfdt（t，·））dt+dπtf（t，·），因此我们得到πtf动力学漂移中的附加项πt（dfdt（t，·））。最后，我们考虑股息支付的情况。

在分红日期之间，金融期货的动态可以通过与之前类似的参数得出。得出πtf在tn处的跳跃，回忆一下πtnf=∑tn（f1（K，∞))∑tn（1（K，∞)). 此外，我们使用Ltn的形式，∑tn（f1（K，∞)) =^1*（dn）∑tn-f（·）- κdn）1（K，∞)（·- κdn）Д（dn，·）对于∑tn（1（K，∞)). 现在，根据假设2.12，我们知道dn<（Xtn- K） +Q a.s，因此（K，∞)（Xtn）-- κdn）=1（K，∞)（Xtn）-). 因此我们得到πtnf=∑tn（f1（K，∞))∑tn-（1（K，∞))∑tn（1（K，∞))∑tn-（1（K，∞))=∑tn-f（·）- κdn）1（K，∞)^1（dn，·）∑tn-（1（K，∞))∑tn（K，∞)^1（dn，·）∑tn-（1（K，∞))=πtn-f（·）- κdn）Д（dn，·）πtn-^1（dn，·）,给出了（A.1）中关于uD（dy，ds）的积分形式。参考Adams，R.和Fournier，J.F.：2003，Sobolev Spaces，第二版，学术出版社。Andrade，S.C.：2009，《国家风险下的资产定价模型》，《国际货币与金融杂志》28，671–696。Bain，A.和Crisan，D.：2009，《随机过滤基础》，纽约斯普林格。Black，F.和Cox，J.C.：1976，《公司证券估值：债券契约条款的一些影响》，《金融杂志》31（2），351–367。Blanchet Scalliet，C.和Jeanblanc，M.：2004，《信贷风险和对冲违约或有债权的风险率》，金融与随机8，145–159。Br'emaud，P.：1981，《点过程和队列：鞅动力学》，斯普林格，纽约。Cetin，U.：2012，《关于故障风险模型、随机过程及其应用中的绝对连续补偿器和非线性滤波方程》122，3619–3647。Coculescu，D.、Geman，H.和Jeanblanc，M.：2008，《不完全信息下违约敏感债权的估值》，《金融与随机》第12期，195–218页。Du ffie，D.、Eckner，A.、Horel，G.和Saita，L.：2009，《脆弱相关违约》，金融杂志64，2089–2123。杜菲，D。

和Lando，D.：2001，《会计观察不完整的信用风险期限结构》，计量经济学69633–664。Elliott，R.J.、Jeanblanc，M.和Yor，M.：2000，关于违约风险模型，数学金融10，179–195。F¨ollmer，H.和Schweizer，M.：1989，《序贯回归套期保值：期权交易数学导论》，ASTIN公告18，147–160。F¨ollmer，H.和Sondermann，D.：1986年，《非冗余或有权益对冲》，inW。Hildenbrand和A.Mas Colell（编辑），《数学经济学贡献》，北荷兰，第147-160页。Frey，R.和Runggaldier，W.：2010，《不完全信息下的信用衍生品定价：非线性过滤法》，金融与随机14，495–526。Frey，R.和Schmidt，T.：2009，《在嘈杂的资产信息下对公司证券进行定价》，数学金融19403–421。Frey，R.和Schmidt，T.：2012，《通过非线性过滤、金融和随机的创新方法对信用衍生品进行定价和对冲》，第12期，第105–133页。Frey，R.、Schmidt，T.和Xu，L.：2013年，关于Zakai方程的伽辽金近似，以及离散和点过程观测，暹罗数值分析杂志，512036–2062。German，A.和Piccioni，M.：1987，《以温和形式导出的非线性滤波方程的有限维近似》，应用数学与优化16（1），51–72。Hull，J.C.和White，A.：2006，《隐含copula模型》，衍生工具杂志14，8–28。Jacod，J.和Shiryaev，A.S.：2003，《随机过程的极限定理》，第二版，柏林斯普林格。Jarrow，R.A.和Protter，P.：2004，《结构模型与简化模型：基于信息的新视角》，投资管理杂志2，1-10。Jeanblanc，M.和Shiriayev，A.：1995，《股息流量优化》，俄罗斯数学调查50257–277。Karatzas，I.和Shreve，S。

E、 ：1988，布朗运动和随机微积分，柏林斯普林格。Krylov，N.：2013，《关于单侧偏微分方程及其应用的It^o公式的相对简短证明》，《随机偏微分方程：分析与计算》，第1152–174页。Krylov，N.和Wang，T.：2011，《从一个领域过滤部分可观察到的差异，随机过程及其应用》1211785–1815。Kusuoka，S.：1999，《违约风险模型评论》，数学经济学进展1，69–81。Lando，D.：1998年，《考克斯过程与信用风险证券》，《衍生品研究评论》，2，99–120。Le Gland，F.：1992，《SPDE和SDE的分裂近似及其在非线性滤波中的应用》，《控制与信息科学》课堂讲稿176，177–187。Leland，H.E.：1994，《公司债务价值、债券契约和最佳资本结构》，《金融杂志》49（4），157–196。Leland，H.E.和Toft，K.：1996，《最优资本结构、内生破产和信贷利差的期限结构》，金融杂志51987-1019。Mayer，M.：2013，《主权信用风险和银行危机》，预印本，WU Vienna。Pardoux，E.：1978，《过滤avec条件前沿》，S“eminaire de Probabilit”esXII，《数学课堂讲稿》，第636卷，柏林斯普林格，第163-188页。Peszat，P.和Zabczyk，J.：2007，《带L'evy噪声的随机偏微分方程》，剑桥大学出版社。Protter，P.：2005，《随机积分和微分方程：一种新方法》，柏林斯普林格secondedn。R¨osler，L.：2016，《定价和信用风险管理中的随机过滤》，博士论文，TUWien。可从以下地址获得http://katalog.ub.tuwien.ac.at/AC13002123.Schweizer，M.：2001，《二次套期保值方法导览》，E.Jouini，J.Cvitanic和M。

Musiela（eds），《期权定价、利率和风险管理》，剑桥大学出版社，剑桥，第538-574页。Spiegeleer，J.和Schoutens，W.：2012，《或有可转换债券定价：衍生工具方法》，衍生工具杂志20，27–36。Sun，Z.、Munves，D.和Hamilton，D.：2012，《上市公司预期违约频率信用衡量：方法、绩效和模型扩展》，穆迪分析公司。Vellekoop，M.和Nieuwenhuis，J.：2006年，《离散变量资产衍生工具的有效定价》，应用数学金融13（6），265–284。