法律不变风险的Fatou性质、表示与推广

2022-5-31 02:05:27

一般Orlicz空间上法律不变风险测度的Fatou性质、表示和扩展Sniushan Gao、Denny Leung、Cosimo Munari、Foivos-xantosseptember 2017年9月6日摘要我们提供了在generalOrlicz空间上定义的（准）凸、法律不变函数的各种结果，这些结果扩展了有界随机变量设置中的著名结果。首先，我们证明了在法律不变性的假设下，具有Fatou性质的凸泛函的Delbaen表示总是可以实现的，它在一般O rlicz空间中失效。其次，我们确定了Orlicz空间的范围，其中Jouini、Schachermayer和Touzier关于范数下半连续的theFatou性质的刻画仍然成立。第三，我们将Kusuoka表示推广到一般的Orlicz空间。最后，我们证明了Filipovi'c和Svindland的扩展结果的一个版本，即具有（通常不等价）Fatou性质的Replacignorm下半连续性。我们的结果自然适用于风险度量理论。关键词：风险度量、定律不变性、Fatou性质、对偶表示、条件期望、Orlicz spacesMSC（2000）：91B30、60E05、46E30、46A201简介风险度量理论是数学金融领域中一个成熟且仍富有成果的研究领域。本质上，风险度量可以被视为一种规则，将特定的风险指标（通常是资本要求）分配给给定的金融头寸，通常是金融机构的净资本头寸（资产减去负债）。最初，Artzner等人在landmark论文中以有限概率空间为背景进行了艺术创作。

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2022-5-31 02:05:31

[2] ，该理论由加州莱斯布里奇大学数学与计算机科学系（gao）提出。niushan@uleth.ca)新加坡国立大学数学系(matlhh@nus.edu.sg)苏黎世大学金融和保险中心。munari@bf.uzh.ch)加利福尼亚州瑞尔森大学数学系(foivos@ryerson.ca)Delbaen[7]将其推广到一般概率空间。在一般情况下，人们面临的问题是为潜在头寸选择合适的模型。标准理论是为有界位置而发展起来的，在F¨ollmer和Schied[1 4]中可以找到对这种情况下主要结果的全面描述。然而，金融和保险中最现实的模型涉及无限头寸，这需要在有界设定之外进行数学扩展。Delbaen[7]中已经讨论了对整个随机变量集的可能扩展，Delbaen[8]中也讨论了增益。斯文德兰（Svindland）[29]和凯纳（Kaina）以及鲁申多夫（R¨uschendorf）[21]对勒贝格（Lebesgue）空间的扩展进行了介绍，比亚基尼（Biagini）和弗里特利（Frittelli）[3]以及切里迪托（Cheridito）和李（Li）[6]对奥尔利茨（Orlicz）空间的设置进行了更一般的扩展。Orihuela和Ruiz Gal\'an【26】、Kr¨atschmer等人【23】、Gao和Xanthos【19】、Gao等人【17】以及Delbaen和O wari【9】在Orlicz Spaces中获得了进一步的结果。Frittelli和Ro sazza Gianin【15】、apeau博士和Kupper【10】以及Farkas等人【12】对抽象空间中的风险度量进行了处理。在本文中，我们在非原子概率三元组的背景下工作(Ohm, F、 P）并提供了在一般Orlicz空间LΦ上定义的拟凸、定律不变风险度量的各种表示和扩展结果。特别是，我们不认为Φ满足所谓的条件，在此情况下，LΦ与其Orlicz心脏HΦ一致。

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2022-5-31 02:05:34

准凸性假设是文献中的标准，反映了多元化原则，根据这一原则，集合头寸的风险应该能够由单个头寸的风险控制。法律不变性假设规定，风险度量仅取决于基础头寸的分布，这也是标准的假设，并受到金融和保险实践中普遍使用的时间序列分析的推动。我们的主要贡献可以分解为以下结果。Fatou性质和对偶表示。自Delbaen[7]以来，已知对于一个properconvex泛函ρ：L∞→ （）-∞, ∞] 以下是等效的：（1）ρ是σ（L∞, 五十）下部半连续。（2） ρ具有Fatou性质，即Xn→ X a.s.，| Xn |≤ Y代表一些Y∈ L∞==> ρ（X）≤ lim信息→∞ρ（Xn）。在这种情况下，始终可以用双项表示ρ，如下所示：ρ（X）=supZ∈LE【ZX】- ρ*（Z）, 十、∈ L∞,式中ρ*: L→ （）-∞, ∞] 由ρ定义*（Z） =supX∈L∞E【ZX】- ρ（X）, Z∈ 五十、前面的结果表明，一旦Fatou性质被填满，函数ρ就会接受一个“好”的对偶表示，其中对应的对偶元素属于拓扑对偶的一个可处理子空间。特别是，如果ρ是一个现金加性风险度量，则对偶元素可以用概率度量来识别，概率度量相对于P是绝对连续的。上述结果的外观特征是∞务必满足FatoupProperty。最不可能的是，如Jouini等人[20]所述，所有凸现金加性风险度量∞具有法律不变性的具有法头性质。自Biagini和Fr ittelli【3】和Owari【27】以来，上述等价性是否可以在一般Orlicz空间LΦ的背景下建立一直是一个悬而未决的问题，其中LΦ起着LΦ的作用∞而Lψ，其中ψ是Φ的共轭，起着L的作用。

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2022-5-31 02:05:37

对于一类特殊的Orlicz空间，Delbaen和Owari[9]给出了一个正结果。Gao et A l【17】最终给出了一个明确的答案，作者证明了当且仅当Orlicz函数Φ或其共轭ψ为.因此，人们很自然会想，通过对底层泛函施加适当的附加假设，是否仍能在一般Orlicz空间的上下文中建立相同的等价性。本文通过表明，在法律不变性的假设下，确实可以证明上述等价性，而不受参考orlicz空间的任何限制，从而有助于这一研究方向。更具体地说，我们证明了以下结果。定理1.1。Letρ：LΦ→ (-∞, ∞] 是一个适当的，（准）凸的，律不变的泛函。那么，下面的陈述是等价的：（1）ρ是σ（LΦ，L∞) 下部半连续。（2） ρ是σ（LΦ，Hψ）下半连续的。（3） ρ是σ（LΦ，Lψ）下半连续的。（4） ρ具有Fatou性质。Jouini等人[20]的一个影响深远的结果确定，f或适当的凸f函数A lρ：l∞→(-∞, ∞] 另外，假设Fatou性质是定律不变的，则Fatou性质自动被范数下半连续的（通常较弱）性质所包含。这一结果是在标准非原子概率空间中得到的，后来扩展到了斯文德兰的任意非原子概率空间[30]。由于所有现金附加风险度量∞isnorm连续，因此L上的凸现金加性风险测度∞法图财产是否具有法律不变性。我们通过刻画Orlicz空间LΦ的范围来扩展Jouini等人[20]的结果，其中上述蕴涵对于每个真的、凸的、律不变量泛函仍然成立。

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2022-5-31 02:05:40

特别是，我们证明了范数下半连续不再自动暗示Fatou性质，除非Φ满足条件这是我们第二个主要结果的内容。定理1.2。下列语句是等价的：（1）任意真，（拟）conv-ex，律不变泛函ρ：LΦ→ (-∞, ∞] 即norm lowersemicontinuous具有Fatou属性。（2） Φi s.除了上述结果之外，我们还将Kusuoka[24]在相干情况下获得的法律不变风险度量的表示推广到Orlicz空间，并将Fr ittelli和R osazzaGianin[16]推广到凸情况；参见Sha pir o【28】和Belomestny以及Kr¨atschmer【4，5】。这里，我们用ESα（X）表示Random变量X在α水平的预期短缺∈ （0，1）。此外，我们用P（（0，1））表示（0，1）上的所有概率测度集。定理1.3。设ρ：LΦ→ （）-∞, ∞] 是一个凸的、法律入侵的、现金加性风险度量，具有Fatou属性。n，存在一个pro-per-凸泛函γ：P（（0，1））→ (-∞, ∞] ρ（X）=supu∈P（（0,1））Z（0,1）ESα（X）du（α）- γ（u）, 十、∈ LΦ。我们还表明，如果Fatou性质被范数下半连续的较弱性质所取代，上述Kusuoka表示将失败。扩展。在Filipovi\'c和Svindland[13]中，证明了每一个真、凸、不变、范数下半连续泛函ρ：L∞→ (-∞, ∞] 可以唯一地推广到Lp，1上的一个凸的、定律不变的泛函≤ p<∞, 这也是标准下半连续的。正如Kr¨atschmer等人[23]所讨论的那样，这一扩展结果在风险度量的稳健性特性研究中发挥了重要作用；另见科赫麦地那和穆纳里【22】。我们证明了如果用Fatou性质代替Normalower半连续性，则在一般或licz空间中类似的扩展结果仍然成立。定理1.4。

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2022-5-31 02:05:43

任意真、凸、律不变泛函ρ：L∞→ (-∞, ∞] 具有Fatou性质（o r等价范数下半连续）允许对具有Fatou性质的LΦ进行唯一的真、凸、法律不变性扩展。我们还表明，如果只需要s topreserve范数下半连续，ρ可能不会以唯一的方式扩展到n-Orlicz空间。论文的结构。本文的结构如下。在第2节中，我们回顾了关于Orlicz空间和风险度量的一些基本事实。在第三节中，我们在Orlicz空间上建立了条件期望的一些性质。在第4节中，我们研究了Orliczspaces中的律不变集。在第5节中，我们提供了主要结果的证明以及一些相关的推论。2 Orlicz空间和风险度量在本文中，我们使用度量理论和函数分析中的标准符号，如Aliprantis和Border[1]中所示。我们参考Edgar和Sucheston[11]对Orlicz空间的全面描述。A函数Φ：[0，∞) → [0，∞) 如果它是凸的、递增的且Φ（0）=0，则称为Orlic Z函数。用ψ（s）=sup{ts定义Φ的共轭函数- Φ（t）：t≥ 0}，s≥ 0、如果限制→∞Φ（t）t=∞ （或者，等价地，ψ是有限值的），那么ψ也是一个Orlicz函数，它的共轭是Φ。在本文中，（Φ，ψ）代表满足Φ（t）>0表示t>0和limt的固定Orlicz对→∞Φ（t）t=∞. 请注意，我们对Φ的限制很小，因为它们只消除了LΦ与Lor L重合的情况∞, 在这种情况下，我们的主要结果要么微不足道，要么鲜为人知。修正一个非原子概率三元组(Ohm, F、 P）。在续集中，我们自由地使用以下事实∈ F和任何p，主键≥ 0，PKI=1pi≤ P（A），存在不相交的可测子集。

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能者818

2022-5-31 02:05:46

，Akof A使得P（Ai）=1的π≤ 我≤ k例如，参见【1，第13.9节】。Orlicz空间LΦ：=LΦ(Ohm, F、 P）是所有随机变量X的Banach格（P下的模a.s.相等），使得kxkΦ：=infλ>0:EΦ|X |λ≤ 1.< ∞.范数k·kΦ称为卢森堡范数。由所有X组成的LΦ的子空间∈ LΦsuchthatEΦ|X |λ< ∞ 对于所有λ>0，通常称为LΦ的Orlicz心，并用HΦ表示。众所周知，我∞ HΦ LΦ HΦ是LΦ的范数闭子空间。此外，LΦ=HΦ如果且仅当Orlicz函数Φ为, i、 e.存在t∈ （0，∞) 和k∈ R使得Φ（2t）<kΦ（t）对于所有t≥ t、我们赋予共轭Orlicz空间LψOrlicz normkY kψ：=supX∈LΦ，kXkΦ≤1 | E[XY]|，Y∈ Lψ，相当于Lψ上的卢森堡无rm。在正则对偶hX下，Y i：=X的E[XY]∈ LΦ和Y∈ Lψ，空间Lψ可与ord er连续对偶（LΦ）识别~nofLΦ，是范数对偶（LΦ）的子空间*LΦ的。Mor eover，Lψ=（LΦ）*当且仅当函数Φ为.称LΦ中的网络（Xα）阶收敛于X∈ LΦ，表示为Xαo-→ 如果在LΦ中存在一个网络（Yα），使得Yα↓ 0 in LΦ和| Xα- X |≤ Yα表示任意α。对于LΦandX中的序列（Xn）∈ LΦ可以很容易地验证Xno-→ X等价于支配几乎必然收敛，即Xn→ X a.s.和| Xn |≤ Y代表一些Y∈ LΦ和所有n≥ 1、A套C LΦ是LΦ中的order er闭的，如果它包含C中元素的每阶收敛网络的极限。众所周知，如果Xαo-→ 那么存在一个序列（αn），使得Xαno-→ 十、因此，每当C中包含元素的每阶收敛序列的极限时，C在LΦ中是阶闭的。请注意，每阶闭集C都是自动范数闭的。的确，如果（Xn） C在nor mto X中收敛，然后子序列（Xnk）阶收敛到X（参见示例。

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何人来此

2022-5-31 02:05:49

[18，引理3.11]），所以X∈ C、 A正确（即，不相同∞) 函数ρ：LΦ→ （）-∞, ∞] 据说拥有Fatou房产→ X a.s.，| Xn |≤ Y代表一些Y∈ LΦ和所有n∈ N个==> ρ（X）≤ lim信息→∞ρ（Xn）。我们说ρ是阶下半连续的，如果子级集{ρ≤ λ} ：={X∈ LΦ：ρ（X）≤ λ} 所有λ的顺序是否关闭∈ R、这相当于toXno-→ X英寸LΦ==> lim信息→∞ρ（Xn）。换句话说，正如Biagini和Frittelli[3]所述，Fatou性质等价于orderlower半连续性。结果表明，具有Fatou性质的泛函是自动范数下半连续的。如果另外假设ρ是单调的（递减的），即ρ（X）≤ ρ（Y）对于任意X，Y∈ LΦ带X≥ Y，则Fatou性质也等效于abov e的连续性，即ρ（Xn）→ ρ（X）每当Xn↓ X英寸LΦ。A真函数A lρ：lΦ→ (-∞, ∞] 如果ρ（λX+（1）是凸的- λ） Y）≤ λρ（X）+（1- λ） ρ（Y）对于任意X，Y∈ LΦ和λ∈ 如果子级集{ρ，[0，1]和拟凸≤ λ} 对于每个λ都是凸的∈ R、此外，如果ρ（λX）=λρ（X），对于所有X，我们说ρ是正齐次的∈ LΦ和λ∈ [0，∞). 如果ρ（X）=ρ（Y），每当X，Y∈ 我有同样的法则。在本文中，我们使用现金加性风险度量来说明我们在Orlicz空间上定义的法律不变量泛函的一般结果。回想一下，如果ρ（X+m1）是单一的且满足ρ（X+m1），则ρ被称为现金附加风险度量Ohm) = ρ（X）- 任意X的M∈ LΦ和m∈ R、如果现金加性风险度量是凸的且正齐次的，则称其为协相关。

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2022-5-31 02:05:52

两个突出的现金附加风险度量是α级风险价值∈ （0，1），由设置Varα（X）定义：=inf{m∈ R:P（X+m<0）≤ α} ，X∈ LΦ，以及α级的预期短缺∈ （0，1），由α（X）给出：=αZαVaRβ（X）dβ，X∈ LΦ。我们参考上述文献，了解有关风险度量及其财务应用的更多信息。3 Orlicz Spaces的条件期望源于Jouini等人[20]和Svindland[30]，条件期望在研究Orlicz Spaces上的法律不变风险度量中起着重要作用∞. 然而，一旦我们放弃有界位置的设置，ConditionalExpections的一些关键属性就会失败。本节专门收集LΦ上条件期望的各种有用属性，这些属性将允许我们克服这种失败。回想一下，条件期望是Orlicz空间上的收缩，即。E[X | G]Φ≤ 任意X的kXkΦ∈ LΦ和F的任意σ-子代数G（见[11，推论2.3.11]）。在续集中，我们将用π来表示Ohm 其成员具有非零概率，并用σ（π）表示π生成的有限σ-子代数。为了方便起见，我们总是写下E[X |π]：=E[X |σ（π）]。所有这些π的集合∏都是由re-inent指导的，我们写π′≥ 无论何时，只要π′是π的一部分。特别是条件期望家族E[X |π]成为具有定向集∏的网络。L中使用的基本结果∞-案例（见[20]和[30]）记录在下面的引理中。引理3.1。对于任何X∈ L∞我们有e[X |π]k·k∞--→ 十、（3.1）实际上，f或任何ε>0，通过分区[-kXk公司∞, kXk公司∞] 对于最大长度为ε的区间，考虑X下相应的前像，我们得到了π={a，…，An}∈ π使得每个Ai上的X振荡，1≤ 我≤ n、最大ε。那么很容易看出，ke[X |π]- Xk公司∞≤ ε表示所有π≥ π。

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大多数88

2022-5-31 02:05:55

然而，这个结果通常在Orlicz空间上失败。确实，对于X∈ LΦ我们很容易看到E[X |π]∈ L∞ 所有π的HΦ∈ π，因此[X |π]k·kΦ--→ 十、<==> 十、∈ HΦ。特别地，条件（3.1）可以推广到LΦ，当且仅当LΦ=HΦ，或者，等价地，Φ为. （3.1）在一般Orlicz空间中的右公式如下所示。提案3.2。对于每X∈ LΦ和每个Y∈ Lψ+我们有|E[X |π]- X | Y→ 0.证明。首先假设X≥ 我们声称Limk→∞supπ∈∏Ak∈σ（π）EE[X |π]Y 1Ak= 0，（3.2），其中k的Ak={X>k}∈ N、为了证明这一点，假设（3.2）不成立，因此我们发现ε>0，kn↑ ∞, 和（πn） ∏使Akn∈ 每个n的σ（πn）∈ N令人满意E[X |πn]Y 1Akn> ε表示所有n∈ N、选择任意N∈ 假设Akn=B1，N∪ · · · ∪ Bln，n带Bi，n∈ πNt1≤ 我≤ ln。自P（Ak）→ 0作为k→ ∞ 和X∈ 五十、我们可以使用支配收敛来推断e[X1Bi，n∩Ak]→ 0作为k→ ∞, 所以E[X1Bi，n\\Ak]→ E[X1Bi，n]为k→ ∞. Y也是如此。因此，通过传递（kn）的一个方便的子序列，我们可以在不失去普遍性的情况下假设每个kn+1足够大，以至于e[X1Bi，n\\Akn+1]≥E[X1Bi，n]和E[Y 1Bi，n\\Akn+1]≥所有1的E[Y 1Bi，n]≤ 我≤ ln。Wr it e Ci，n=Bi，n\\Akn+1对于所有1≤ 我≤ ln。然后lnxi=1E[X | Ci，n]E[Y 1Ci，n]≥lnXi=1E[X | Bi，n]E[Y 1Bi，n]=EE[X |πn]Y 1Akn≥ε。请注意，Cn={C1，n，…，Cln，n}是所有n的Akn\\Akn+1的可测量分区∈ N、因此，{Ack}∪SNCn是Ohm. 设G是F的生成σ-子代数。根据前面的不等式，G是F的生成σ-子代数∞ >E[X | G]ΦkY kψ≥ EE[X | G]Y≥Xn公司∈NlnXi=1E[X | Ci，n]E[Y 1Ci，n]=∞.这一矛盾完成了（3.2）的证明。因此，对于任何ε>0的情况，都存在k∈ N la r geenough使得E[E[X |π]Y 1Ak]<ε，对于任何π∈ 带Ak的∏∈ σ（π）。自XY起∈ 五十、我们可以采用较大的ge来确保E[XY 1Ak]<ε。

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2022-5-31 02:05:58

利用L上条件期望的范数收敛性∞,我们找到了一个有限的可测划分π∈ ∏使Ak∈ σ（π）和E[X1Ack |π]- X1确认∞< 任意π的ε∈ π重新定义π。现在取任何这样的π，注意∈ σ（π），我们有|E[X |π]- X | Y=E|E[X |π]- X | Y 1Ak+ E|E[X |π]- X | Y 1背面≤EE[X |π]Y 1Ak+ E[XY 1Ak]+E[X1Ack |π]- X1确认∞kY k<2ε+εkY k。这建立了X的断言≥ 最后，取任意X∈ LΦ和注释E|E[X |π]- X | Y≤ E|E[X+|π]- X+| Y+ E|E[X-|π]- 十、-|Y→ 0根据我们刚刚建立的。鉴于Fatou性质与阶下半连续性之间的联系，条件期望的阶收敛是最理想的。但一般来说，它在Orlicz空间上也失败了。提案3.3。让X∈ LΦ。那么，E[X |π]o-→ X in LΦ当且仅当X∈ L∞.证据假设X∈ L∞. 对于每个π∈ π集λπ=supπ′≥πkE[X |π′]- Xk公司∞注意λπ↓ 引理3.1为0。那么，| E[X |π]- X |≤ λπOhm意味着E[X |π]o-→ X英寸LΦ。相反，假设X/∈ L∞. 在不丧失一般性的情况下，假设llk的t P（X>k）>0∈ 设π={A，…，An}是∏的任意成员。很容易看出存在一些Ai，1≤ 我≤ n、使得P（Ai∩ {X>k}）>0表示所有k∈ N、比如，Ais本身。立即修复任意k∈ N、如果P（A∩ {X≤ k} ）=0，那么我们立即看到e[X |π]≥ 否则，我们必须有P（a \\{X>k}）>0。设置c=P（A∩ {X>k}）。自X起∈ 五十、存在0<ε<c，使得E[| X | 1B]<kC每当B∈ F满意度P（B）≤ ε。通过非原子性，我们可以得到很多可测量的子集B，A{X>k}的bj，使得p（Bi）<ε每1≤ 我≤ j和sji=1Bi=A \\{X>k}。现在，对于任何1≤ 我≤ j、 setCi=（A∩ {X>k}）∪ Bi公司 Asatis fies P（Ci）≤ 2c。以πi为例≥ π使得Ci∈ πi。那么，我们有supπ≥πE[X |π]≥E[X |πi]=P（Ci）E[X1A∩{X>k}+X1Bi]≥2cE[X1A∩{X>k}]- E[| X | 1Bi]≥2ckc公司-kc公司=ka。s

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2022-5-31 02:06:01

在Ci上。因为cI=1Ci=A，我们推断SUPπ≥πE[X |π]≥ka。s、在A上，因为k是任意的，所以它遵循supπ≥πE[X |π]=∞ a、这意味着网络（E[X |π]）没有阶有界尾，因此，没有阶收敛。特别是，（E[X |π]）不收敛于X。尽管前面的结果为负，对于每个Random变量X∈ LΦ我们总是可以选择一系列条件期望X do或der收敛于X本身的条件。提案3.4。对于任何X∈ LΦ存在一个序列（πn） π使得e[X |πn]o-→ X英寸LΦ。证据在不丧失一般性的情况下，假设kXkΦ≤所以E[Φ（2 | X |））]<∞. 对于每个n∈ Ntake千牛∈ N足够大以至于e[Φ（2 | X |）1An]≤n（3.3），其中An={| X |≥ 千牛}。然后取πn∈ ∏满足An∈ σ（πn）和X1Acn- E[X1Acn |πn]∞≤n、（3.4）我们声称E[X |πn]o-→ X英寸LΦ。为了证明这一点，请∈ N首先请注意Φ（E[2 | X | An]）1An≤ EE[Φ（2 | X |）| An]1An= E[Φ（2 | X |）1An]≤n（3.5），通过Jensen不等式的条件版本。此外，假设（3.4）确保X1Acn- E[X1Acn |πn]Φ≤k1OhmkΦn.（3.6）最后，setYn=X1An- E【X1An |πn】和Zn=X1Acn- E[X1Acn |πn]，注意x- E[X |πn]=Yn+Zn。很明显，设置X=supn∈N | Yn |+Xn∈N | Zn |，我们有| X- E[X |πn]|≤ XF适用于所有n∈ N、我们声称X∈ LΦ。为了说明这一点，首先请注意kznkΦ≤k1OhmkΦnby（3.6）。因此，（Pmn=1 | Zn |）与t o k·kΦ和thusPn有关，为柯西序列∈N | Zn |∈ LΦ。通过（3.3）和（3.5）以及Φ的凸性，我们得到了[Φ（| Yn）]≤E[Φ（2 | X |）1An]+EΦ（E[2 | X | An]）1An≤对于每n∈ N、因此，ΦyieldEhΦ的连续性和严格单调性supn公司∈N | Yn|i=Ehsupn∈NΦ（| Yn |）i≤Xn公司∈NE[Φ（| Yn）]≤Xn公司∈Nn=1。这表明supn∈N | Yn |∈ LΦ也是，所以X∈ LΦ。现在，通过马尔可夫不等式，我们得到Φ（ε）P（| Yn |>ε）≤ E[Φ（| Yn）]≤对于任何ε>0和n∈ N、因此，（Yn）在概率上收敛到0。

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2022-5-31 02:06:05

自kZnkΦ→ 0，[11，推论2.1.10]意味着（Zn）在概率上也收敛于0。因此，序列（X- E[X |πn]）概率收敛到0。它的一个子序列收敛到0 A.s.，thusin阶，因为即使整个序列（X- E[X |πn]）是以X为界的序。对应于这个特殊子序列的部分序列，我们仍然用（πn）表示，很容易满足E[X |πn]o-→ X英寸LΦ。Orlicz空间中的4个定律不变集在本节中，我们建立了一个关于定律不变集的关键结果，该结果将在以后应用于Orlicz空间中定义的定律不变泛函的水平集。这里，我们说，如果X∈ C表示任意X∈ 对于C的某些元素，具有相同的定律。我们从以下观察开始。对于任何A∈ 当P（A）>0时，考虑“局部”概率空间（A，F | A，P | A），其中我们设置F | A：={B∈ F：B A} 和P | A:F | A→ [0，1]由P | A（B）定义：=P（B | A）。（A，F | A，P | A）也不是非原子的。对于任何X∈ LΦwe表示X | A通过限制X t到A获得的（A，F | A，P | A）上的随机变量。现在(Ohm′, F′，P′）是任何非原子概率空间，回想一下，将x的任何分位数函数应用于(Ohm′, F′，P′），我们得到了(Ohm′, F′，P′）具有与X相同的定律。在“局部化”水平上，我们可以使用相同的想法来证明，给定两个集合a，B∈ 当P（A）=P（B）时，我们总是会找到一个随机变量Z∈ LΦ，因此x1a与Z1B的定律相同。引理4.1。让X∈ LΦ，ε>0和π∈ ∏固定。然后，e x是B∈ F带P（B）≤ εandX，XN公司∈ LΦ具有与X相同的定律，因此，设置Y=NPNi=1Xi，我们有E[Y |π]=E[X |π]，kY 1BkΦ≤ ε、 Y 1Bc∈ L∞.证据在不丧失一般性的情况下，我们假设ε<1和kXkΦ≤ 1使E[Φ（| X |）]≤ 1.让A∈ F应使P（A）>0。

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能者818

2022-5-31 02:06:08

选择N∈ N使得N≥ε和c>0，使得p（{| X |<c}∩ A） >0。此外，选择足够大的c′>0，以确保c′>（N- 1） c，P（{| X |>c′}∩ （A）≤无机氮P（{X{c}∩ A），ε, E[Φ（| X |）1{| X |>c′}]≤N、设置C={| X |>C′}∩ A注意NP（C）≤ P（{X{c}∩ A）。通过非原子性，存在成对不相交的可测子集B，BNof{| X |<c}∩ A使得所有1的P（Bi）=P（C）≤ 我≤ N、 O观察所有1的BI与C不相交≤ 我≤ N因为c′>c。现在，对于任何固定的i∈ {1，…，N}我们可以使用上述观察来确保zi，Z′i的存在∈ LΦ使得Zibi具有与x1c相同的定律，Z′icha具有与X1Bi相同的定律。设置xi=ZiBi+Z′iC+X1Di，其中Di=A \\（C∪ Bi），可以清楚地看到，Xi=XIA与X1A具有相同的语法。现在确定Y=NPNi=1Xi。此外，设置B=SNi=1Bi A注意P（B）≤ ε。自每1≤ 我≤ n随机变量Z′ich的规律与X1Biand | X |<c a.s.onBi相同，我们可以看到| Z′i |<c a.s.on c.这与包含 A\\C {| X |≤ c′}，表示| XiBc |=| Z′iC∩Bc |+| X1Di∩Bc |≤ （c+c′）1Ohm.这表明Y 1Bc∈ L∞. 接下来，我们声称kY 1BkΦ≤ ε。为了证明这一点，Fix j∈ {1，…，N}首先注意| XjBi |=| X1Dj∩Bi |≤ C1B全部1≤ 我≤ N，i 6=j。在加法中，由于czjbjh与c上的X1Cand | X |>c′a.s.定律相同，我们很容易看到| Xj |=| Zj |>c′a.s.onBj。因此，我们获得了1Bj≤NXi=1i6=j | XiBj |+| XjBj |≤ （N）- 1）c 1Bj+| XjBj|≤c′Bj+| XjBj |≤ 2 | XjBj |。自| Xi |>c’a.s.在Biand Xi上与X1aF在所有1中具有相同的规律≤ 我≤ N、接下来就是ΦN | Y|B=NXi=1EΦN | Y|Bi公司≤NXi=1E[Φ（| Xi |）1Bi]≤NXi=1E[Φ（| Xi |）1{| Xi |>c′}]=NE[Φ（| X1A |）1{| X1A |>c′}]≤ NE[Φ（| X |）1{| X |>c′}]≤ 1、这产生kY 1BkΦ≤N≤ ε得出索赔证明。假设π={A，…，An}和fix k∈ {1，…，n}。

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2022-5-31 02:06:11

应用前面的参数，我们可以确保可测集Bk的存在 Akwith P（黑色）≤εnas以及随机变量Xki∈ LΦ，1≤ 我≤ Nk，这样一来，Ack上的a.s.为零，并且具有与X1ak相同的定律，这样，设置Yk=NkPNki=1Xki，我们就得到了kykbkkΦ≤εnand YkBck∈ L∞.现在，设置Y=Pnk=1yk和B=Snk=1Bk。然后P（B）≤ ε和Y 1Bc∈ L∞. 此外，由于yk在Ajfor j 6=k上消失，我们有Y 1B=Pnk=1YkBkand，因此，kY 1BkΦ≤ ε。也就是说，对于每1，E[Y 1Ak]=E[YkAk]=E[X1Ak≤ k≤ n、所以E[Y |π]=E[X |π]。设置n=Qnk=1nk，每1个≤ k≤ n、重复每个Xki，1≤ 我≤ Nk，对于nnktimes，我们可以写Yk=NPNi=1X（k）i，其中每个X（k）都是ACK上的零a.s，并且具有与X1Ak相同的定律。很明显，y=NPNi=1Pnk=1X（k）i，每个hpnk=1X（k）i与X具有相同的定律。为了建立关于定律入侵集的关键结果，我们还需要使用以下结果，这些结果包含在[30，引理1.3]的证明的步骤2中。引理4.2。让X∈ L∞, ε>0和π∈ ∏。然后，存在X，XN公司∈ L∞具有与X相同的定律，并且满足NNXi=1Xi- E[X |π]∞≤ ε。提案4.3。设C是LΦ中的凸、范数闭、律不变集。那么，E[X |π]∈ C对于任意X∈ C和任意π∈ ∏。证据让X∈ C、 π={A，…，An}∈ π和fix a rbitraryε>0。对于任何B∈ F和Y∈ LΦ我们有E[Y | Ai∩ Bc]1Ai∩卑诗省- E[Y | Ai]1AiΦ≤（E[Y | Ai∩ 卑诗省]- E[Y | Ai]）1Ai∩卑诗省Φ+E[Y | Ai]1Ai∩BΦ=P（B | Ai）E[Y | Ai∩ 卑诗省]- E[Y | Ai∩ B]人工智能∩卑诗省Φ+E[Y | Ai]1Ai∩BΦ≤P（B）E[| Y |]P（Ai）P（Ai∩ Bc）+kY 1BkΦk1OhmkψP（Ai）k1OhmkΦ+E[| Y |]P（Ai）k1BkΦ每1≤ 我≤ n、因此，存在0<δ<ε，因此，每当P（B）<δ，kY 1BkΦ<δ和E[| Y |]≤ E[| X |]，我们有nXi=1E[Y | Ai∩ Bc]1Ai∩卑诗省- E[Y |π]Φ<ε。（4.1）这里，我们使用了k1AkΦ→ 0作为P（A）→ 应用引理4.1，我们得到B∈ P（B）<δ和X。

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何人来此

2022-5-31 02:06:15

，XN∈ LΦ具有相同的定律a s X且满足[Y |π]=E[X |π]，kY 1BkΦ<δ，Y 1Bc∈ L∞,其中，我们设置Y=NPNi=1Xi。特别要注意的是，Y∈ C的凸性和定律不变性。此外，它遵循| Y |≤NPN | Xi |即E[| Y |]≤ E[| X |]，因此（4.1）成立。现在，考虑非自然概率空间（Bc，F | Bc，P | Bc）。引理4.2在Y | bc和分区{A上的应用∩ Bc，一∩ 状态空间Bc的}，我们得到Y′，是的∈ L∞（Bc，F | Bc，P | Bc）使得所有1≤ j≤ M和nXi=1E | Bc[Y | Bc | Ai∩ Bc]1Ai∩卑诗省-MMXj=1Y′j≤ εP | Bc-a.s.在Bc上，其中E | Bc表示P | Bc下的期望值。直接计算表明，E[Y | Ai∩ Bc]=E | Bc[Y | Bc | Ai∩ Bc]适用于所有1≤ 我≤ n、所以nXi=1E[Y | Ai∩ Bc]1Ai∩卑诗省-MMXj=1Y′j≤ εP | Bc-a.s.在Bc上。为1设置Yj=Y 1B+Y′jbcf≤ j≤ M、那么，Yj与Y具有相同的定律，因此，Yj∈ C章程不变性，每1≤ j≤ M、请注意，MPMJ=1Yj∈ C的凸性nXi=1E[Y | Ai∩ Bc]1Ai∩卑诗省-MMXj=1YjΦ=nXi=1E[Y | Ai∩ Bc]1Ai∩卑诗省-MMXj=1Y′jBc- Y 1BΦ（4.2）≤εk1BckΦ+kY 1BkΦ≤ εk1OhmkΦ+ε。由于E[Y |π]=E[X |π），我们可以很容易地将（4.1）和（4.2）结合起来，得到E[X |π]-MMXj=1YjΦ≤ （2+k1OhmkΦ）ε。最后，通过C的范数贴近度，我们推断出E[X |π]∈ C、 Rem ark 4.4。不，为了得到上述命题，不能直接截断任意X∈ LΦ，然后应用引理4.2，因为X的尾部可能没有小范数。实际上，kX1{| X |>k}kΦ→ 0作为k→ ∞ 精确到X时∈ HΦ。回想一下，LΦ中的每个订单闭合集都是自动范数闭合的。这与命题3.4和命题4.3一起，立即暗示了法律不变集元素在条件期望方面的以下特征。推论4.5。设C是lΦ中的凸、l aw不变、序闭集。

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大多数88

2022-5-31 02:06:18

那么，每X∈ LΦ我们有X∈ C当且仅当E[X |π]∈ C表示任意π∈ ∏。我们现在可以导出这一节的主要结果，它表明，对于LΦ中的Law不变量集，阶闭度和σ（LΦ，Lψ）闭度是等价的。当应用于LΦ上的凸、定律侵入泛函的水平集时，这种等价性将立即产生σ（LΦ，Lψ）下半连续的Fa t ou性质的所需特征。推论4.6。对于LΦ中的凸律不变量t集C，以下是等价的：（1）C是阶闭的。（2） C是σ（LΦ，Lψ）闭合的。（3） C为σ（LΦ，Hψ）闭合。（4） C是σ（LΦ，L∞) 关闭证据显然，我们只需要证明（1）意味着（4）。为此，假设C是有序闭的，并考虑一个网络（Xα） C和X∈ LΦ使得xασ（LΦ，L∞)------→ 十、此外，fix a分区π={a，…，An}∈ ∏。然后，对于任意范数连续线性泛函φ：LΦ→ R、我们有φE[Xα|π]= EhXαnXi=1φ（1Ai）P（Ai）Aii→ EhXnXi=1φ（1Ai）P（Ai）Aii=φE[X |π].因此，（E[Xα|π]）弱收敛于E[X |π]。自E[Xα|π]∈ 对于推论4中的任何指数α。5由于凸集C是顺序闭的，因此范数闭的，所以它是弱闭的，我们推断E[X |π]∈ C、根据推论4.5，得出X∈ 证明了C是σ（LΦ，L∞)关闭5主要结果的证明在这最后一节中，我们证明了引言中所述的结果，并导出了定义在Orlicz空间上的泛函和风险度量的各种推论。定理1.1的证明。当且仅当水平集{ρ时，可以直接验证ρ是阶下半连续的≤ λ} 任何λ的订单是否已关闭∈ R、回想一下，ρ是σ（LΦ，Lψ）（分别是σ（LΦ，Hψ）和σ（LΦ，L∞)) 下半连续当且仅当每个水平集为σ（LΦ，Lψ）（分别为σ（LΦ，Hψ）和σ（LΦ，L∞)) 关闭

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大多数88

2022-5-31 02:06:22

由于每个水平集都是凸且律不变的，因此等价性直接来自推论4.6。以下具有Fatou性质的泛函的对偶表示是上述定理和Fenchel-Moreau dua性的直接结果。推论5.1。Le tρ：LΦ→ (-∞, ∞] 是一个具有theFatou性质的真、凸、律不变泛函。那么，我们有ρ（X）=supZ∈LψE【ZX】- ρ*（Z）, 十、∈ LΦ，其中ρ*（Z） =supX∈LΦE【ZX】- ρ（X）, Z∈ Lψ。第一个上确界可以等效地取在Hψ或L上∞.我们将前面的定理指定为现金加性风险度量。这里，我们用M（Lψ）（分别表示M（Hψ）和M（L∞)) 全概率测度集Q overOhm 对于Q是绝对连续的，并且dqdpbelongs to Lψ（分别是Hψ和L∞).推论5.2。Letρ：LΦ→ (-∞, ∞] 是一个适当的、凸的、法律不变的、现金-一个具有Fatou性质的加性风险度量。那么，我们有ρ（X）=supQ∈M（Lψ）均衡器[-X]- ρ*（Q）, 十、∈ LΦ，其中ρ*（Q） =supX∈LΦ均衡器[-X]- ρ（X）, Q∈ M（Lψ）。第一个上确界可等效为r M（Hψ）或M（L∞).定理1.2的证明。首先，假设Φ为. 然后，LΦ=HΦ，并且根据[11，定理2.1.14]），每个阶收敛序列也范数收敛到相同的极限。特别地，everynorm闭集也是顺序闭集。Letρ：LΦ→ (-∞, ∞] 是一个无r m下半连续的真（拟）凸、不变律泛函。由于ρ的每个水平集都是范数闭的，因此阶数闭的，因此ρ是阶下半连续的，或者等价地具有theFatou性质。这表明（2）意味着（1）。为了证明逆蕴涵，假设Φ不是所以LΦ6=HΦ，setC={X∈ LΦ：X-∈ HΦ，E【X】≥ 0}。很明显，C是一个定律不变的锥。此外，它是凸的，因为对于任何X，Y∈ C和λ∈ [0，1]我们有0≤ （λX+（1- λ） Y）-≤ λX-+ （1）- λ） Y型-∈ HΦ，表示（λX+（1- λ） Y）-∈ HΦ。

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可人4

2022-5-31 02:06:27

集合C是一个很容易被视为单音的lso。的确，对于任何X∈ C和Y∈ LΦ带Y≥ X it ho lds0≤ Y-≤ 十、-∈ HΦ，意味着∈ C、我们认为C是范数闭的，但不是序闭的。要建立正常闭合度，请取（Xn） C和X∈ LΦ满足Xnk·kΦ--→ 十、因为这意味着Xnk·k--→ 十、我们看到E[X]≥ 此外，由于HΦ是范数闭合的，因此它遵循kX-n-十、-kΦ≤ kXn公司-XkΦ→ 0该X-∈ HΦ。因此，我们得出结论，X∈ C、表明C是范数闭的。为了证明C不是顺序闭的，取一个非零的正Y∈ LΦ\\HΦ。此外，取任意λ≥ E[Y]和setXn=λ1Ohm- 最小值（Y，n1Ohm), n∈ N、 X=λ1Ohm- Y、请注意（Xn） L∞ HΦ以便（X-n） HΦ和E【Xn】≥ λ- E[Y]≥ 每n为0∈ N、显示（Xn） C、显然，我们有Xn↓ 因此，Xno-→ X英寸LΦ。然而，X不属于C，否则X-∈ HΦ和0≤ X个+≤ λ1Ohm∈ HΦ意味着X∈ HΦ，因此Y∈ HΦ。这表明C未关闭订单。从我们上面建立的结果可以看出，C是一个律不变的、相干的、单调的LΦ子集，它是范数闭的，但不是序闭的。现在考虑法律不变、一致、现金加性风险度量ρ：LΦ→ [-∞, ∞] 通过设置ρ（X）=inf定义m级∈ R:X+m1Ohm∈ C, 十、∈ LΦ。（5.1）立即可以看到ρ未达到该值-∞ 并且是适当的。此外，由于C是范数闭的，ρ是范数下半连续的[25，推论3.3.8]。然而，由于{ρ≤ 0}=Cby【25，命题3.2.7】，因此ρ不是阶下半连续的，或者，等价地，不具有Fatou性质。这证明了（1）意味着（2），并得出结论。Rem ark 5.3。

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2022-5-31 02:06:31

（5.1）中定义的函数提供了一个关于LΦ的法律不变性、一致性、现金加性风险度量的明确示例，该度量是范数下半连续的，但当Φ不是.导言中宣布的最后两个结果，即Kusuoka表示的推广和Fatou性质保持扩展结果，将从以下“本地化”引理中导出。当我们回忆起在ageneral-Orlicz空间中工作时，这个结果有一个独立的兴趣∞LΦ中无需为标准密度。引理5.4。设ρ，ρ：LΦ→ (-∞, ∞] 适当，拟恒等式，具有Fatou性质的变律泛函。然后，我们得到ρ=ρ，只要ρ和ρ在L上∞.证据修复任意X∈ LΦ，按比例3.4取一个序列（πn） π使得E[X |πn]o-→ 十、因为ρ是下半连续的，所以我们有ρ（X）≤ lim信息→∞ρ（E[X |πn]）。集合C=Y∈ LΦ：ρ（Y）≤ ρ（X）是凸的，律不变的，序闭的，并且清楚地包含x。因此，根据Coro llary 4.5，我们得到了E[X |πn]∈ C每n∈ N、所以thatlim supn→∞ρ（E[X |πn]）≤ ρ（X）。因此，我们推断ρ（E[X |πn]）→ ρ（X）。同样的结论也适用于ρ。自E[X |πn]∈ L∞对于每n∈ N、根据我们的假设，ρ（X）=ρ（X）。除了前面的引理之外，还需要以下结果来建立Kusuoka表示的推广。引理5.5。Letρ：LΦ→ (-∞, ∞] 是一个具有theFatou性质的真拟凸变律泛函。那么，它对L的限制∞也是适当的，具有法头属性。证据用ρ| L表示∞ρ对L的限制∞取任意X∈ LΦ使得ρ（X）<∞.然后，由于子级集合C=Y∈ LΦ：ρ（Y）≤ ρ（X）是凸的，定律不变，阶闭且包含X，从推论4.5得出E[X]1Ohm∈ C、所以ρ（E[X]1Ohm) < ∞. 这证明ρ| L∞是适当的。

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2022-5-31 02:06:34

现在进行序列（Xn） LΦ和X∈ LΦ使Xn→ Xa。s、和| Xn |≤ Y代表一些Y∈ L∞和所有n∈ N、自Y起∈ LΦ，因此Xno-→ X入口Φ。因此，我们推断ρ| L∞（十）≤ lim信息→∞ρ| L∞（Xn）这表明ρ| L∞具有FatoupProperty。定理1.3的证明。用ρ| L表示∞ρ对L的限制∞. 引理5.5得出ρ| L∞是一个凸的、律不变的、现金加性风险测度，满足Fatou性质。那么，[14，定理4.62]意味着ρ| L∞（十） =supu∈P（（0,1））Z（0,1）ESα（X）du（α）- γ（u）, 十、∈ L∞,式中γ（u）=supX∈L∞, ρ（X）≤0Z（0,1）ESα（X）du（α），u∈ P（（0，1））。现在，定义ρ′：LΦ→ （）-∞, ∞] 通过设置ρ′（X）=supu∈P（（0,1））Z（0,1）ESα（X）du（α）- γ（u）, 十、∈ LΦ。显然，ρ′是一个凸的、不变律的、现金加性风险度量，满足Fatou性质。此外，由于ρ和ρ′在L上重合∞, 由引理5得出ρ=ρ′。这表明ρ具有所需的表示。定理1.4的证明。根据[13，定理2.2]，ρ允许一个pro-per，凸，律不变的扩展ρ到lth，它是范数下半连续的。用ρ′表示ρ对LΦ的限制，并注意ρ′具有Fatou性质。要了解这一点，请考虑一个序列（Xn） LΦ和X∈ LΦ使xn→ X a.s.和| Xn |≤ Y代表一些Y∈ LΦ和所有n≥ 1、自Y起∈ 五十、支配收敛定理意味着Xnk·k--→ X，因此ρ′（X）≤ lim信息→∞ρ′（Xn）由ρ的范数半连续性决定。引理5.4给出了唯一性。Rem ark 5.6。与bo unded位置的情况不同，如果我们用范数lowersemicontinuity替换Fatou性质或等价的阶下半连续性，则定理3和定理4不再有效。实际上，假设tΦ不是设ρ为（5.1）中构造的相干、定律不变、范数半连续、现金加性风险测度。然后，ρ不接受Kusuoka型表示，因为它会满足Fatou特性。

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2022-5-31 02:06:38

此外，请注意，作为现金加法，ρ到L的限制∞, 用ρ| L表示∞, 是标准连续的。应用定理1.4，我们得到了ρ| L的一个凸的、有律的扩张ρ′∞满足法头地产的整个LΦ。现在，ρ和ρ′在L上重合∞但它们并不相等，因为其中一个具有Fatou特性，而另一个不具有Fatou特性。参考文献【1】Aliprantis，Ch.D.，Border，K.C.：《有限维分析：搭便车指南》，第三版。柏林斯普林格（2006）[2]Artzner，Ph.，Delbaen，F.，Eber，J.-M.，Heath，D.：《一致的风险度量，数学》。Finance9203–228（1999）[3]Biagini，S.，Frittelli，M.：《关于Namioka-Klee定理的扩展和风险度量的FatoupProperty》。摘自：Delbaen，F.、R asonyi，M.、Stricker，C.（编辑），《最优化与风险：数学金融的现代趋势》，第1-28页。柏林斯普林格（2009）1-28。[4] Belomestny，D.，Kr¨atschmer，V.：定律不变相干风险测度的中心极限定理。J、应用程序。概率。49，1-21（2012）[5]Belomestny，D.，Kr¨atschmer，V.：概率扭曲和法律不变一致风险度量下的最优停止。数学操作。Res.（即将出版）。预印本：arXiv:1506.04439（2015）[6]Cheridito，P.，Li，T.：Orlicz心脏的风险措施。数学《金融学》第19期，189-214（2009）[7]Delbaen，F.：《一般概率空间上的一致风险度量》，摘自：Sandmann，K.，Sch¨onbucher，P.J.（编辑）《金融与随机学进展：纪念DieterSondermann的论文》，第1-37页。Springer，Berlin（2002）[8]Delbaen，F.：不可积随机变量的风险度量。数学《金融》19329–333（2009）[9]Delbaen，F.，Owari，K.：关于-Orlicz空格。预印本：arXiv:1611.0621 8（2016）[10]Drapeau，S.，Kupper，M:R isk preferences及其稳健表示。数学操作。第38、28–62（2013）号决议【11】Edga r，G.A.，Sucheston，L.：停止时间和定向过程。

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2022-5-31 02:06:41

剑桥大学出版社，剑桥（1992）[12]Farkas，W.，Koch Medina，P.，Munari，C：超越现金附加风险度量：当改变数字e失败时。金融斯托克。18145–173（201 4）[13]Filipovi\'c，D.，Svindland，G.：法律不变凸风险度量的规范模型空间是L.Math。《金融学》22585–589（2012）[14]F¨ollmer，H.，Schied，A.：《随机金融学：离散时间导论》。第三个edn。DeGruyter，Berlin（2011）[15]Frittelli，M.，Rosazza Gianin，E.：《在风险度量中排序》，J.Bank。北卡罗来纳州国际泳联。261473–1486（2002）[16]Frittelli，M.，Ro sazza Gianin，E.：法律不变凸风险度量。高级数学。经济。7,33–46（2005）[17]Gao，N.，Leung，D.，Xanthos，F.：Orlicz空间中凸集的闭性及其在风险度量对偶表示中的应用。预印本：arXiv:1610.08806（2016）[18]Gao，N.，Xanthos，F.：无界序收敛和对无概率鞅的应用。J、数学。肛门。应用程序。415931–947（2014）[19]Gao，N.，Xanthos，F.：关于C财产和w*-风险度量的表示。数学财务（即将出版）。预印本：arXiv:1511.0315 9（2016）[20]Jo uini，E.，Schachermayer，W.，Touzi，N.：法律不变风险度量具有FatoupProperty。高级数学。经济。9，4 9–71（2006）[21]K aina，M.，R¨uschendorf，L.：关于Lp空间上的凸风险测度。数学操作方法。第69、475–495（200 9）号决议【22】K och Medina，P.，Munari，C.：法律不变风险度量：扩展特性和定性稳健性。统计数据。风险模型。31，1–22（2014）[23]K r¨atschmer，V.，Schied，A.，Z¨ahle，H.：法律不变风险度量的比较和定性稳健性。金融斯托克。18271–29 5（2014）[24]K Usouka，S.：关于法律不变的一致性风险度量。高级数学。经济。3，83–95（2001）[25]Munari，C.：衡量现金加成范式之外的风险。

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