漂移不确定性与制度变迁下的资产清算

2022-5-31 02:51:13

上述最优销售问题的一个自然数学公式是找到销售时间τ*∈ TTE[Sτ*] = supτ∈TTE[Sτ]，（1.1），其中{St}t≥0表示价格过程，tts表示价格过程S的停止时间集。许多流行的价格过程连续模型的形式为dst=αStdt+σ（t）StdWt，（1.2）*瑞典乌普萨拉大学信息技术系，邮箱337，751 05乌普萨拉。电子邮件：juozas。vaicenavicius@it.uu.sewhereα∈ R称为漂移，σ≥ 0被称为波动过程。通过简化假设，即波动率与W以及时间齐次无关，m状态时间齐次马尔可夫链是一个基本但仍然非常灵活的随机波动率模型（在[11]中提出），我们选择在本文中使用该模型。灵活性来自这样一个事实，即我们可以选择状态空间以及状态之间的转换强度。尽管ich（1.2）中的问题（1.1）在数学上已得到很好的解决，但从财务角度来看，已知的漂移假设被广泛认为是不合理的（例如，见[32，第144页第4.2节]），需要放宽。因此，使用贝叶斯范式，我们通过概率分布（在贝叶斯推理中称为先验）对d裂谷的初始不确定性进行建模，该概率分布包含了有关参数及其不确定性的所有可用信息（有关先验解释的更多信息，请参见[15]）。如果初始不确定性的量化是主观的，那么先验知识表示了人们对漂移采用不同值的可能性的看法。

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2022-5-31 02:51:18

为了能够合并任意先验信念，我们着手解决漂移的任意先验下的最优销售问题（1.1）。在本文中，我们分析并解决了S跟随（1.2）且具有m状态时间齐次马尔可夫链波动率和未知漂移的情况下的资产清算问题（1.1），其不确定性由任意概率分布建模。特定四维过程第一次到达特定边界时，确定停止集是最优的。此停止边界具有吸引人的单调性，可以使用已开发的近似程序找到。让我们更深入地阐明我们对最优销售问题的研究。利用非线性滤波理论，将具有参数不确定性的原始销售问题重写为标准形式的等价最优停止问题（即无未知参数）。在这个新的最优停止问题中，后验平均作为基础过程，并作为一个随机创建率；问题中的payoff函数是常数。后验平均值是SDE的解，依赖于之前和整个波动历史。将最优停止问题嵌入到马尔可夫框架中是非常重要的，因为整个后验分布需要作为一个变量包含在内。幸运的是，我们证明，在固定了先验知识之后，后验知识只有两个实值参数：后验平均值和有效学习时间。

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kedemingshi

2022-5-31 02:51:21

因此，我们能够定义具有四个基本变量（时间、后验平均值、有效学习时间和波动率）的相关马尔可夫值函数，并将最优停止问题研究为四维马尔可夫最优停止问题（波动率取单位集中的值，但有点滥用术语，我们仍称之为d提升）。利用区域切换之间的波动率是常数，我们构造了简单辅助三维马尔可夫最优停止问题的m序列，其极限值单调收敛于真值函数。与直接处理问题的完全变分不等式相比，这种近似序列方法的主要优点是避免了处理分析复杂的耦合系统。相反，只需对更简单的标准非耦合自由边界问题进行分析或数值求解，即可得到理想的结果。我们表明，值函数在时间和有效学习时间上是递减的，在后验均值上是递增的和凸的。由停止边界指定的区域的首次拟合时间是时间、有效学习时间和波动率的函数，显示为最优。停止边界是在时间上的缓和，有效的学习时间，是从辅助问题单调增加的边界序列的限制。此外，使用辅助问题的近似过程产生了一种数值计算值函数以及最佳停止边界的方法。在两点先验情况下，后验平均值充分表征了后验分布，使问题更容易处理，并允许我们获得一些附加结果。

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2022-5-31 02:51:24

特别地，我们证明了在无sk-ip波动率假设下，马尔可夫值函数在波动率中是递减的，停止边界在波动率中是递增的。在更广泛的数学背景下，所研究的销售问题似乎是文献中研究的第一个具有参数不确定性和随机波动性的最优停止问题。因此，本文提出的想法可能会在其他同类优化停止问题中得到应用；例如，在贝叶斯序列分析的经典问题中（例如，见[30，第六章]），随机演化的噪声强度。作者很清楚，通过额外的努力，文章的许多结果可以被重新定义或概括。然而，所选择的目标是提供对问题和解决方案的直观理解，同时保持可读性和清晰性。这也解释了为什么在大多数情况下，我们将重点放在两点先验情况上，并仅在最后概述了对一般先验情况的扩展。1.1相关文献针对具有区域切换波动率的模型中的资产清算问题进行了一系列研究，唉，它们要么只涉及一类特殊的次优策略，要么将漂移视为不可观测的。在[36]中，提出并研究了一个限制性资产清算问题；漂移和波动性被视为不可观察的，而忽略了从观察中了解参数的可能性。随后的论文【34】、【35】、【17】探讨了同一公式的各个方面。带支付的非最优销售问题-rτ（Sτ- K）在[26]中研究了BlackScholes模型，在[21]中研究了双态政权切换模型，在[35]中研究了具有有限视界的m状态模型。

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2022-5-31 02:51:28

在这三种情况下，假设drif t和波动率是完全可观测的。在另一项研究中，在漂移具有任意不确定性的Black-Scholes模型中，解决并分析了最优停止问题（1.1）。文献[13]研究了两点先验案例，而文献[15]使用不同的方法解决了一般先验案例。这篇文章可以被看作是对[15]的概括，包括了仓促制度转换波动率。文献[18]、[33]研究了不完全信息下的相关期权估值问题，这两种情况都是在两点先验情况下进行的，而文献[10]则是在n点先验情况下进行的。我们采用的方法是通过一系列简单常数波动率问题的值函数来近似马尔可夫值函数，之前在[24]中曾用于研究区域切换模型中具有完整信息的有限期美式看跌期权问题（也是其轻微推广）。遗憾的是，在3个或更多挥发分的情况下，【24，第5节】中的递归近似s-tep包含错误；我们在本文第3.2节中对其进行了更正。分析和解决最优停止问题的一种可能的替代方法是，直接使用弱解技术（例如，见[6，29]）分析处理变分不等式系统，类似于[7]中关于具有制度转换波动率的美国期权。需要使用PDE技术建立结构和规律性属性。如果可以获得适当的理论结果，则在[22]中讨论的数值PDE格式应该会产生数值解。

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2022-5-31 02:51:31

然而，这种替代方法需要一个不同的工具包，在分析上似乎要求更高，因此本文没有进一步研究。尽管目前的论文是[15]从恒常波动率到政权转换随机波动率模型的推广，但扩展实际上并不简单。需要新的统计学习直觉，并开发新的证明以得出论文的结果。[15]中关于波动率恒定的最优清算问题的主要见解之一是，当前时间和价格是最优销售问题的有效统计数据。然而，将波动率从常数变为随机，使得漂移的后验分布真正依赖于价格路径。这就提出了一个问题，即是否可以使用主流的有限维马尔可夫技术来处理最优清算问题，以及是否可以利用恒定波动率情况下的任何发展。在之前关于制度转换波动性的两点案例中，以下新见解是关键。尽管后验b是股票价格的路径依赖函数，但我们可以证明，当前时间、后验平均值和瞬时波动率（从价格过程中提取）是最优清算问题的有效统计数据。唉，对于任何支持点超过两个的先验知识，相同的三倍不再是有效的统计数据。幸运的是，如果除了时间-价格波动性Triplet之外，我们还引入了一个额外的统计数据，我们将其命名为有效学习时间，那么得到的4元组将成为一般先验知识下销售问题的有效统计数据。

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2022-5-31 02:51:34

除了这些见解之外，还必须解决一些新的技术问题（特别是引理（2.3）），以将最优卖出问题重新表述为标准的马尔可夫形式。关于[24]，虽然我们使用相同的一般迭代逼近思想来构造马尔可夫值函数的逼近序列，但细节，包括证明和结果，都是明显不同的。首先，我们致力于更一般的设置、证明和表述更抽象的结果，以及在多个实例中新类型的结果。例如，我们证明的是m-状态，而不是两国政权切换模型。这使我们能够捕捉并纠正具有两种以上波动率状态的模型中近似序列的错误构造。此外，几乎所有的证明都遵循不同的论点，要么是因为销售问题的结构差异，要么是因为我们更喜欢另一种方式，似乎更透明和直接，以获得结果。最后，本文中的许多结果都是特定于问题的，甚至根本不依赖于值函数的迭代近似。迭代构造一系列在极限内收敛到真值函数的辅助值函数的想法是通用的，并且多次成功地应用于具有可数个离散事件（例如跳跃、离散观测）的最优停止问题。在部分观测的情况下，在[3]中采用迭代近似方案来研究具有未知无序后强度的泊松无序检测问题，然后在[9]中，分析组合泊松-维纳无序检测问题，最近在[4]中，研究离散观测下的维纳无序检测问题。

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2022-5-31 02:51:37

在完全可观测的情况下，这种迭代近似至少早在[19]就开始了，它处理的是阿马尔科夫最优停止问题，其基础是一个分段确定性。在金融数学中，在[2]和[5]中使用了迭代构造的近似方法，分别研究了有限期和永久期美式看跌期权的价值函数，以获得跳跃差异。除了最优s Toping之外，迭代逼近技术还被用于最优红利政策的奇异控制问题[16]。2问题集过滤能力空间上的金融市场模型(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）满足通常条件。这里，测度P表示物理概率测度。价格过程由dst=XStdt+σ（t）StdWt（2.1）建模，其中X是具有概率d分布u的随机变量，W是标准布朗运动，σ是时间齐次右连续m态马尔可夫链，其生成器∧=（λij）1≤i、 j≤mand取值σm≥ . . . ≥ σ> 0。此外，我们假设X、W和σ是独立的。由于可以通过在任意短时间内（至少在理论上）观察S来估计波动率，因此可以合理假设波动率过程{σ（t）}t≥0是可见的。因此，可用信息由过滤FS建模，σ=nFS，σtot≥0由过程S和σ生成，并由F的零集扩充。请注意，漂移X和随机驱动程序不可直接观察。我们感兴趣的最优销售问题isV=supτ∈TS，σTE[Sτ]，（2.2），其中TS，σT表示小于或等于预定时间范围T>0的一组FS，σ-停止时间。备注2.1。包含贴现系数e很简单-rτin（2.2）。

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2022-5-31 02:51:41

事实上，它的暗示对应于先验分布u在负方向上的移位r。设l：=inf supp（u），h：=sup supp（u）。很容易看出如果我≥ 0，则在终点时间T停止。同样，如果h≤ 0，则s立即（即在时间0时）顶部是最佳的。本文的其余部分将重点讨论剩余的和最令人担忧的案例。假设2.2。l<0<h.2.1测量变量下的等效重新计算让我们写下^Xt：=E[X | FS，σt]。然后，过程^Wt：=Ztσ（s）（X-^Xs）d s+Wt，称为创新过程，是一个FS，σ-布朗运动（见[1，第33页的命题2.30]）。引理2.3。波动过程σ和创新过程^W是独立的。证据由于X、W和σ是独立的，我们可以(Ohm, F、 P）作为产品空间(Ohm十、 W×Ohmσ、 FX，W Fσ，PX，W×Pσ）。让A，A′∈ B（R[0，T]）。然后^W∈ A、 σ∈ A′=ZOhm十、 W×Ohmσ{W（ωX，W，ωσ）∈A、 σ（ωσ）∈A′}d（PX，W×Pσ）（ωX，W，ωσ）=ZOhmσZOhm十、 W{^W（ωX，W，ωσ）∈A} {σ（ωσ）∈A′}dPX，W（ωX，W）d Pσ（ωσ）=ZOhmσ{σ（ωσ）∈A′}ZOhm十、 W{^W（ωX，W，ωσ）∈A} dPX，W（ωX，W）d Pσ（ωσ）=ZOhmσ{σ（ωσ）∈A′}PX，W^W（·，ωσ）∈ A.dPσ（ωσ）=P^W∈ A.Pσσ∈ A′= P^W∈ A.Pσ∈ A′, （2.3）倒数第二个等式由以下事实证明：对于任何固定ωσ，创新过程^W（·，ωσ）是PX，W下的布朗运动。因此，从（2.3）可以看出，过程^和σ是独立的。定义一个新的等效度量P~ P打开(Ohm, FT）通过Radon-Nikodym导数▄PdP=eRTσ（t）d^Wt-RTσ（t）dt和写入ST=SeXt+RTσ（s）dWs-Rtσ（s）ds=SeRt^Xsds+Rtσ（s）d^Ws-Rtσ（s）ds，我们有，对于任何τ∈ TS，σT，E[Sτ]=？EhSeRτ^Xsdsi=S？EheRτ^Xsdsi。此外，根据Girsanov定理，过程Bt：=-Rtσ（s）ds+^wt是[0，T]上的一个▄P-布朗运动。

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2022-5-31 02:51:45

此外，引理2.3和[1，命题3.13]告诉我们，σ的定律在▄P和P下是相同的，并且B和σ在▄P下是独立的。在不丧失一般性的情况下，我们在整篇文章中设置S=1，因此最优停止问题（2.2）可以被转换为v=supτ∈TS，σT▄E【eRτ^Xsds】。（2.4）在波动率j umps之间，股票价格是一个几何布朗运动，具有已知的恒定波动率和未知的漂移。因此，根据[15]中的推论3.4，我们得到了FS，σ=F^X，σ和TS，σT=T^X，σT，其中F^X，σ表示由^X和σ生成的过滤的通常增强，同时，T^X，σT表示F^X，σ-停止时间不超过gt的集合。因此，（2.4）isV=supτ的等效重新公式∈T^X，σTE【eRτ^Xsds】，（2.5），我们将在本文的后续部分研究。2.2马尔可夫嵌入除本文最后一节外，我们将重点讨论Xhas两点分布u=πδh+（1- π） δl，wher e h>l，π∈ （0，1）是常数，分别是h和l处的δh和δlare Dirac测度。在这种特殊情况下，表达式比一般的前一种情况更简单，参数更容易理解；尽管如此，大多数争论的核心观点都是相同的。因此，我们选择首先理解两点优先的情况，然后将结果推广到一般的优先情况将变得相当容易。由于波动率是j ump次之间的一个已知常数，在恒定波动率的情况下，使用^X的动力学（见[15]中的方程（3.9）），过程^X是d^Xt=σ（t）φ（Xt，σ（t））dt+φ（Xt，σ（t））dBt的唯一强解，其中φ（X，σ）：=σ（h- x）（十）- l）。现在，我们可以通过定义马尔可夫值函数v（t，x，σ）：=supτ，将最优停止问题（2.4）嵌入到马尔可夫fr-amework中∈TT-tE[eRτ^Xt，x，σsds]，（t，x，σ）∈ [0，T]×（l，h）×{σ，…，σm}。

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何人来此

2022-5-31 02:51:48

（2.7）这里，^Xt，x，σ表示（2.6）中的过程^x在时间t开始，^Xt=x，σ（t）=σ，和TT-T表示一组小于或等于T的停止时间- 关于{Xt，x，σt+s}s产生的过滤的通常增强≥0和{σ（t+s）}s≥0.公式（2.7）解释了一个最优s topping问题，即常数pAyo fff 1和贴现率-^Xs；从现在起，我们将研究这个折扣问题。通常使用符号vi：=v（·，·，σi）。3近似程序不清楚如何计算（2.7）中的v或直接对其进行分析。因此，在本节中，我们开发了一种通过一系列值函数来近似值函数v的方法，对应于更简单的常数波动率最优停止问题。3.1运算符ji为了表示法的简洁性，让λi：=Pj6=iλij表示波动性从状态σi跳跃的总强度。此外，让我们定义ηti：=inf{s>0 |σ（t+s）6=σ（t）=σi}，这是一个Exp（λi）-分布的随机变量，表示从波动性状态σiat时间t开始，直到波动性变化的持续时间。此外，让我们定义一个作用于有界f：[0，T]×（l，h）的算子J→ Rby（Jf）（t，x，σi）：=supτ∈TT-tEeRτ^Xt，x，σit+sds{τ<ηti}+eRηti^Xt，x，σit+sdsf（t+ηti，^Xt，x，σit+ηti）{τ≥ηti}（3.1）=supτ∈TT-tEeRτ^Xt，x，σit+s-λids+λiZτeRu^Xt，x，σit+s-λidsf（t+u，^Xt，x，σit+u）d u, （3.2）其中TT-T使停止时间集小于或等于T- 关于{Xt，x，σit+s}s产生的过滤的通常增强≥0和{σ（t+s）}s≥0.为了简化符号，我们还定义了一个运算符JibyJif:=（Jf）（·，·，σi）。直观地，（Jif）表示对应于t+ηti之前的最优停止的马尔可夫值函数，即。

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2022-5-31 02:51:50

在t之后的第一次波动变化之前，当t+ηti<t时t+ηti，^Xt，x，σit+ηti如果尚未停止，则接收。提案3.1。设f:[0，T]×（l，h）→ R有界。那么（i）Jf是有界的；（ii）第二个变量x中f的增加意味着第二个变量x中Jf的增加；（iii）第一变量t中f的减少意味着第一变量t中Jf的减少；（iv）f在第二个变量x中增加且凸意味着Jf在第二个变量x中增加且凸；（v） J保持秩序，即f≤ F模板Jf≤ Jf；（六）Jf≥ 1.证明。除索赔（iv）外，所有索赔均为陈述（3.2）的预期后果。为了证明（iv），我们将通过百慕大选择近似求解最优停止问题（3.2）。设i和n为x。我们将通过值函数w（f）i来近似值函数Jif，对于相应的百慕大问题，仅允许有时停止kTn:k∈ {0，1，…，2n}. 我们对w（f）i的定义大致如下。首先，w（f）i，n（T，x）：=1。然后，从k=2n开始，然后递归到k=1，我们定义新的（f）i，n（t，x）=（g（t，x，kTn），t∈ （（k-1） Tn，kTn），g（（k-1） Tn、x、kTn）∨ 1，t=（k-1） Tn，（3.3），其中函数g由g（t，x，kTn）给出：=~EeRkTnt^Xt，x，σis-λidsw（f）i，nkTn，^Xt，x，σikTn+ZkTnteRut^Xt，x，σis-λidsf（u，^Xt，x，σiu）d u. （3.4）接下来，我们通过对k的反向诱导，证明了w（f）i，nis在第二个变量x中增加且凸。假设对于某些k∈ {1，2，…，2n}，函数w（f）i，nkTn·是递增且凸的（基本步骤k=2n的假设显然成立）。利特∈ [（k-1） Tn，kTn）。

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mingdashike22

2022-5-31 02:51:54

然后，由于f在第二个变量x中也是增加的和凸的，我们得到了函数g（T，·，kTn），因此w（f）i，n（T，·），根据【14，定理5.1】是凸的。此外，从（3.4）和[31，定理IX.3.7]可以清楚地看出，在w（f）i，n（t，·）处，th正在增加。因此，通过向后推导，我们得到百慕大值函数w（f）i，nis在第二个变量中增加且凸。出租n∞, 百慕大值w（f）i，nJif逐点。因此，Jif在第二个参数中是递增的和凸的，因为在取逐点极限时保持了凸性和单调性。设置Cfi：={（t，x）∈ [0，T）×（l，h）：（Jif）（T，x）>1}，（3.5）Dfi：={（T，x）∈ [0，T]×（l，h）：（Jif）（T，x）=1}=[0，T]×（l，h）\\Cfi，对应于停止问题Jif的继续集和停止集，如下一个建议所示。命题3.2（最佳停车时间）。停止时间τfσi（t，x）=inf{u∈ [0，T- t] ：（t+u，^Xt，x，σit+u）∈ Dfi}（3.6）对于问题（3.2）是最优的。证据[23]中定理D.12的标准应用。提案3.3。如果a有界f：[0，T]×（l，h）→ R在第一个变量中减小，在第二个变量中增大且凸，然后Jif是连续的。证据该论点是对文献[15]中定理3.10第三部分证明的无故障扩展；为了完整起见，我们将其包括在内。在开始之前，为了简化符号，我们将写u：=Jif。首先，我们让r∈ （l，h）并将证明存在K>0，这样，对于每个∈ [0，T]，地图x 7→ Jif（t，x）在（l，r）上是K-Lipschitz连续的。为了得到一个矛盾，假设没有这样的K。然后，通过第二个变量中u的凸性，有一个序列{tn}n≥0 [0，T]使得左导数-u（tn，r）∞ .

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2022-5-31 02:51:58

因此，对于r′∈ （r，h），序列u（tn，r′）→ ∞, 这与u（tn，r′）相矛盾≤ u（0，r′）<∞适用于所有n∈ N、现在，仍然需要证明u在时间上是连续的。假设地图t 7→ 对于某些x，u（t，x）在t=t时不连续。由于u在时间上减少，u（·，x）在t时有负跳跃。接下来，我们将研究u（t-, x） >分别为u（t，x）和u（t，x）>u（t+，x）。假设u（t-, x） >u（t，x）。根据第二个变量的Lipschitz连续性，存在δ>0，因此，写入R=（t- δ、 t）×（x- δ、 x+δ），inf（t，x）∈Ru（t，x）>u（t，x+δ）。（3.7）因此R Cfi。让t∈ （t- δ、 t）和τR：=inf{s≥ 0：（t+s，^Xt，x，σit+τR）/∈ R} 。然后，通过延拓区域中的鞅性，u（t，x）=~EeRτR^Xt，x，σit+u-λiduu（t+τR，^Xt，x，σit+τR）+ZτReRu^Xt，x，σit+s-λidsf（t+u，^Xt，x，σit+u）d u≤Ee（t-t）（x+δ）+u（t，x+δ）{t+τR<t}+e（t-t）（x+δ）+u（t，x+δ）{t+τR=t}+Zt-teRu^Xt，x，σit+s-λids | f（t+u，^Xt，x，σit+u）| du≤ e（t-t）（x+δ）+u（t，x+δ）~P（t+τR<t）+e（t-t）（x+δ）+u（t，x+δ）+Zt-t▄EheRu^Xt，x，σit+s-λids | f（t+u，^Xt，x，σit+u）| idu→ u（t，x+δ）为t→ t、矛盾（3.7）。另一种情况是u（t，x）>u（t+，x）；我们首先进入u（t，x）>u（t+，x）>1的情况。第二个变量中的局部Lipschitz连续性和第一个变量中的衰减意味着存在>0和δ>0，因此，写入R=（t，t+）×[x- δ、 x+δ]，u（t，x）>sup（t，x）∈Ru（t，x）≥ inf（t，x）∈Ru（t，x）>1。

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2022-5-31 02:52:02

（3.8）因此，R Cfiand writingτR：=inf{s≥ 0：（t+s，^Xt，x，σit+s）/∈ R} 我们有u（t，x）=~EeRτR^Xt，x，σit+u-λiduu（t+τR，^Xt，x，σit+τR）+ZτReRu^Xt，x，σit+s-λidsf（t+u，^Xt，x，σit+u）d u≤~Ehe（x+δ）+u（t，x+δ）{τR<}i+~Ee（x+δ）+u（t+，x+δ）{τR=}+ZeRu^Xt，x，σit+s-λids | f（t+u，^Xt，x，σit+u）| du≤ e（x+δ）+u（t，x+δ）~P（τR<）+e（x+δ）+u（t+δ，x+δ）+ZeRu^Xt，x，σit+s-λids | f（t+u，^Xt，x，σit+u）|杜邦→ u（t+，x+δ）为0，与（3.8）相矛盾。最后，假设u（t，x）>u（t+，x）=1。根据第二个变量的Lipschitz连续性，存在δ>0，使得infx∈（十）-δ、 x）u（t，x）>u（t+，x）=1。（3.9）因此，（t，t）×（x-δ、 x） Dfi。因此，过程^Xt，x-δ/2，σi为立即停止区域，因此（t，x- δ/2）∈ Dfi，与（3.9）相矛盾。命题3.4（最佳停车边界）。设f:[0，T]×（l，h）→ R有界，在第一个变量中递减，在第二个变量中递增且凸。然后保持以下状态。（i）存在函数bfσi：[0，T）→ [l，h]这两个值都在增加，右连续，左极限，满足fi={（t，x）∈ [0，T）×（l，h）：x>bfσi（T）}。（3.10）（ii）对（Jif，bfσi）满足自由边界问题tu（t，x）+σiφ（x，σi）xu（t，x）+φ（x，σi）xxu（t，x）+（x- λi）u（t，x）+λif（t，x）=0，如果x>bfσi（t），u（t，x）=1，如果x≤ bfσi（t）或t=t.（3.11）证明。（i）根据命题3.1（iv），存在一个独特的函数bfσ正在满足（3.10）。此外，根据命题3.1（iii），该边界bfσiis增加。因此，利用命题3.3，我们还得到bfσiis与左极限右连续。（ii）证明遵循一个众所周知的标准论点（例如。

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2022-5-31 02:52:06

参见【23，第2章定理7.7】），因此我们省略了它。3.2近似问题序列定义停止时间序列{ξtn}n≥0通过ξt：=0递归，ξtn：=inf{s>ξtn-1： σ（t+s）6=σ（t+ξtn-1） }，n>0。这里ξtn表示自时间t以来直到第n次波动率跳跃的持续时间。此外，让我们定义一个操作符序列{J（n）}n≥0by（J（n）f）（t，x，σi）：=supτ∈TT-tEeRτ^Xt，x，σit+sds{τ<ξtn}+eRξtn^Xt，x，σit+sdsf（t+ξtn，^Xt，x，σit+ξtn）{τ≥ξtn},（3.12）式中，f：[0，T]×（l，r）→ R是有界的。特别要注意的是，J（0）f=f和J（1）f=Jf。与运算符J类似，我们定义J（n）ibyJ（n）if:=（J（n）f）（·，·，σi）。提案3.5。让n≥ 0和i∈ {0，…，m}。然后j（n+1）i=JiXj6=iλijλij（n）j. （3.13）证明。证明是归纳法。为了在保留复杂符号的同时给出证明的论点，我们将只证明，对于有界f：[0，T]×（l，h）→R和x∈ （l，h），恒等式（J（2）if）（t，x）=（Ji（Pj6=iλijλiJjf））（t，x）成立。感应步骤J（n+1）i=JiPj6=iλijλij（n）j遵循类似的参数，但使用了更多ab stractnotation。请注意，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设t=0，我们就是这样做的。首先，我们将显示（J（2）if）（0，x）≤ 冀Pj6=iλijλi（Jjf）（0，x），然后是相反的不等式。对于j∈ N、我们将写出ξjas的ξjinstead，并使用符号ηj：=ξj- ξj-1、Letτ∈ t和考虑因素（τ）：=▄EheRτ^X0，x，σisds{τ<η}+eRτX0，x，σisds{η≤τ<ξ}+eRξ^X0，x，σisdsf（ξ，^X0，x，σiξ）{τ≥ξ} i=~EeRτX0，x，σisds{τ<η}+~EeRτ^X0，x，σisds{η≤τ<ξ}+eRξ^X0，x，σisdsf（ξ，^X0，x，σiξ）{τ≥ξ} | F^X0，x，σi，Nη, （3.14）其中{Nt}t≥0表示计算波动率跳跃的过程。

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2022-5-31 02:52:10

（3.14）满意度中的内部条件预期eRτ^X0，x，σisds{η≤τ<ξ}+eRξ^X0，x，σisdsf（ξ，^X0，x，σiξ）{τ≥ξ} | F^X0，x，σi，Nη= eRη^X0，x，σisds{η≤τ} EeRτη^X0，x，σisds{τ<ξ}+eRξη^X0，x，σisdsf（ξ，^X0，x，σiξ）{τ≥ξ} | F^X0，x，σi，Nη= eRη^X0，x，σisds{η≤τ} Xj6=iλijλiEη，^X0，x，σiη，σjeR▄τXη+sds{▄τ<η}+eRηXη+sdsf（η+η，^Xη+η）{▄≥η}, （3.15）式中τ=τ- η在η的情况下≤ τ≤ T因此，将（3.15）代入（3.14），然后取∧τ的上确界，我们得到a（τ）≤EeRτX0，x，σisds{τ<η}+eRηX0，x，σisds{τ≥η} Xj6=iλijλisupτ∈TT-T∧ηИEη，^X0，x，σiη，σjeR▄τXη+sds{▄τ<η}+eRηXη+sdsf（η+η，^Xη+η）{▄≥η}=EeRτX0，x，σisds{τ<η}+eRηX0，x，σisds{τ≥η} Xj6=iλijλi（Jjf）（η，X0，x，σiη）（3.16）取（3.16）中τ的上确界，我们得到（J（2）if）（0，x）=supτ∈TTA（τ）≤ 冀Xj6=iλijλi（Jjf）（0，x）。（3.17）仍然需要建立相反的不平等。Letτ∈ t定义τ：=τ{τ≤η} +（η∧ T+τσ（η））{τ>η}，（3.18），其中τσ（η）：=τfσ（η）（η∧ T、 ^X0，x，σiη∧T）。显然，ˇτ∈ TT。然后（J（2）f）（0，x）≥ A（ˇτ）=EeRτX0，x，σisds{τ<η}+eRηX0，x，σisds{τ≥η} Xj6=iλijλiEη，^X0，x，σiη，σjeRτσj^Xη+sds{τσj<η}+eRηXη+sdsf（η+η，^Xη+η）{τσj≥η}=EeRτX0，x，σisds{τ<η}+eRηX0，x，σisds{τ≥η} Xj6=iλijλi（Jjf）（η，^X0，x，σiη）,其中，命题3.2用于获得最后一个等式。因此，通过取supremumover停止时间τ∈ TT，我们得到（J（2）if）（0，x）≥ 冀Xj6=iλijλi（Jjf）（0，x）。（3.19）最后，（3.17）和（3.19）一起表示（J（2）if）（0，x）=JiXj6=iλijλi（Jjf）（0，x）。备注3.6。在[24]中，作者使用与本文中相同的近似程序来处理具有制度转换波动率的最优停止问题。幸运的是，在[24]的方程式（18）中，amistake出现了，当波动状态的数量大于2时，它破坏了后续的近似程序。

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2022-5-31 02:52:13

其中的标识（18）应替换为（3.13）。3.3收敛到值函数命题3.7（近似序列的性质）。（i）函数序列{J（n）1}n≥0是递增的，从下到下以1为界，从上到下以ehT为界。（ii）每个J（n）1在第一个变量t中减少，在第二个变量x中增加和凸出。（iii）函数序列J（n）1v点方向为n∞.此外，近似误差Kv- J（n）1k∞≤ ehTλT（λT）n-1（n- 1）哦！作为n→ ∞, （3.20）式中λ：=最大{λi:1≤ 我≤ m} 。（iv）对于每n∈ N∪ {0}，Jnm1≤ J（n）1≤ Jn1.（3.21）证明。（i） {J（n）i1}n≥0在增加，从下到下以1为界，从上到下以EHT为界，这是定义的直接结果（3.12）。（ii）在归纳步骤中，使用命题3.1（iii）、（iv）和命题3.5，声称第一个变量t中的每个J（n）i1都在减少，第二个变量x中的每个J（n）i1都在增加和凸，然后对n进行直接归纳。（iii）首先，让我∈ {1，…，m}注意，对于任何n∈ N、 J（N）i1≤ vi.这里的不等式是次优的，因为J（n）i1对应于问题（2.4）中特定停止时间的预期支付。接下来，deneu（i）n（t，x）：=supτ∈TT-tEheRτ^Xt，x，σit+sds{τ<ξtn}i.ThenU（i）n（t，x）≤ （J（n）i1）（t，x）≤ vi（t，x）≤ U（i）n（t，x）+eh（t-t） P（ξtn≤ T- t）。（3.22）因为跳跃强度λ：=max{λi:1的泊松过程的n次跳跃时间（称为ζn）是一个标准事实≤ 我≤ m} 遵循Erlang分布，wehaveP（ξtn≤ T- t）≤ P（ζn≤ T- t） =（n- 1）哦！Zλ（T-t）联合国-1e级-udu≤ λT（λT）n-1（n- 1）！。因此，通过（3.22），kv- J（n）1k∞≤ ehTλT（λT）n-1（n- 1）哦！作为n→ ∞.（iv）将通过归纳法证明一串不等式（3.21）。首先，基底台阶是不透水的。现在，s uppose（3.21）适用于一些n≥ 因此，对于任何i∈ {1，…，m}，Jnm1≤Xj6=iλijλij（n）j1≤ Jn1。（3.23）让我们∈ {1。

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2022-5-31 02:52:16

，m} 。根据命题3.1（iv），（3.23）中的每个函数都是空间变量x的凸函数，因此[14，定理6.1]yieldsJn+1m1≤ 冀Xj6=iλijλij（n）j≤ Jn+11。因为我是任意的，我们也有jn+1σm1≤ J（n+1）1≤ Jn+1σ1。（3.24）备注3.8。如果我们选择常数函数eh而不是1来应用运算符J（n）ito，那么，遵循与上面相同的策略，{J（n）iehT}n≥0是一个递减的函数序列，极限J（n）iehTvipointwise为n∞.设Bb（[0，T]×（l，h）；R）表示从[0，T]×（l，h）到随机定义运算符J:Bb（[0，T]×（l，h）的有界函数集；R） m级→ Bb（[0，T]×（l，h）；R） mbyJffm公司:=J（Pj6=1λ1jλfj）。。。Jm（Pj6=mλmjλmfj）.提案3.9。（i）让f∈ Bb（[0，T]×（l，h）；R） m.Thenlimn→∞Jnf=v虚拟机.（ii）向量（v，…，vm）trof值函数是运算符▄J的固定点，即▄Jv虚拟机=v虚拟机. （3.25）证明。（i） O注意到命题3.7第（iii）部分证明中的论点也表明J（n）ig→ 过孔n→ ∞ 对于任何有界g，因此要完成证明，就不需要回忆命题3.5中的关系（3.13）。（ii）让我∈ {1，…，m}。根据命题3.5，J（n+1）i1=JiXj6=iλijλij（n）j. （3.26）根据提案3.7（iii），对于每个j∈ {1，…，m}，序列J（n）j1vjasn∞, 所以，让n∞ 在（3.26）中，单调收敛定理告诉usthatvi=JiXj6=iλijλivj. （3.27）4价值函数和停止策略在本节中，我们证明了价值函数v具有吸引人的结构属性，并确定了清算问题的最优策略（2.7）。边界下的首次通过时间是时间和波动性的递增函数，被证明是最优的。

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2022-5-31 02:52:19

此外，我们还提供了一种逼近最优停止边界的方法，通过证明它是第3节中较容易的辅助问题中停止边界递增序列的一个极限。定理4.1（值函数的性质）。（i） v在第一个变量t中减少，在第二个变量x中增加和凸出。（ii）v在第i个变量中连续∈ {1，…，m}。（iii）ˋvσm≤ v≤ ˋvσ，（4.1），其中ˋvσi：[0，T]×（l，h）→ R表示（2.7）中的马尔可夫值函数，但对于具有常数波动率σi.Proof的价格过程（2.1）。（i）由于根据命题3.7（ii），每个J（n）1在第一个变量t中递减，在第二个变量x中递增且凸，因此这些性质也保留在逐点极限limn中→∞J（n）1，由位置3.7（iii）表示为v。（ii）使用上述第（i）部分，该主张源自命题3.9（ii），即（v，…，vm）三是命题3.3意义上正则化算子J的固定点。（iii）出租n→ ∞ 在（3.21）中，命题3.7（iii）给出了（4.1）。对于具有常数波动率σ的最优清算问题（2.4），即σ=…=σm=σ，如【15】所示，最优清算策略的特点是不断增加的连续停止边界ˇbσ：[0，T）→ [l，0]带ˇbσ（T-) = 0，使得停止时间ˇτσ=in f{t≥ 0：^Xt≤ˇbσ（t）}∧ T是最佳值。正如下一个定理所示，我们的制度转换波动率模型中的最优清算策略与恒定波动率情况有一些相似之处。定理4.2（最优清算策略）。（i）每一个我∈ {1，…，m}，存在bσi:[0，T）→ [l，0]这是递增的，右连续左极限，满足等式bσi（T-) = 0和标识符guii={（t，x）∈ [0，T）×（l，h）：x>bσi（T）}，（4.2），其中ui：=Pj6=iλijλivj。

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2022-5-31 02:52:21

此外，ˇbσ≤ bσi≤ˇbσm.对于任何i∈ {1，…，m}。（ii）停止策略τ*:= inf{s∈ [0，T- t）：^Xt，x，σt+s≤ bσ（t+s）（t+s）}∧ （T- t）。对于最优销售问题（2.7）是最优的。（iii）对于i∈ {1，…，m}，边界bg（n）iσibσi顺时针为n∞,式中，g（n）i：=Pj6=iλijλij（n）j1。（iv）对（v，bσ），（v，bσ），（vm，bσm）满足m个自由边界问题的耦合系统tvi（t，x）+σiφ（x，σi）xvi（t，x）+φ（x，σi）xxvi（t，x）+（x- λi）vi（t，x）+Pj6=iλijvj（t，x）=0，i f x>bi（t），vi（t，x）=1，i f x≤ bi（t）或t=t，（4.3），其中i∈ {1，…，m}。证据（i） bσi的存在性：[0，T）→ [l，h]这是增加的，右连续左极限，满足度（4.2）遵循固定点属性（3.25），数据定理4.1（i）、（ii）。由于bσ、bσmis[l，0]和bσ（T-) =ˇbσm（T-) = 0，使用定理4.1（iii），我们还得出如下结论：ˇbσ≤ bσi≤ˇbσ和bσi（T-) = 0对于每个i.（ii），让我们定义D：={（t，x，σ）∈ [0，T]×（l，h）×{σ，…，σm}：v（T，x，σ）=1}。然后τD：=inf{s≥ 0：（t+s，^Xt，x，σ（t）t+s，σ（t+s））∈ D} 是问题（2.7）的最优解，由[30，推论2.9]。最后，根据固定点性质（3.25）和命题3.2，我们得出结论τ*= τD，它完成了性能。（iii）自J（n）i1vias n∞ 和J（n）i1≥ 1对于所有n，我们有一个limn∞bg（n）iσi≥ bσi.同样，如果x<limn∞bg（n）iσi（t），然后J（n）i1（t，x）=1表示所有n∈ N和so vi（t，x）=limn∞J（n）i1（t，x）=1。因此，limn∞bg（n）iσi≤ bσi.因此，limn∞bg（n）iσi=bσi。（iv）自由边界问题是命题3.4（ii）和执行点性质（3.25）的结果。备注4.3。建立时间非齐次自由边界问题的经典解的唯一性通常是一项技术任务（例如，请参见[27]）。

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何人来此

2022-5-31 02:52:24

自由边界问题（4.3）和（3.11）的解的唯一性不是本文的中心任务，也没有被追求。备注4.4（一种可行的替代方法）。值得指出的是，研究值函数和最优策略的一种潜在的替代方法是直接分析由最优停止问题（2.7）产生的变分不等式公式（例如，见[29，第5.2节]）。需要使用偏微分方程理论中的弱解技术研究变分不等式耦合系统（例如，见[6，29]），以获得值函数和顶部区域所需的正则性和结构特性。虽然作者不知道任何直接详细研究这类自由边界问题的工作，但有可用的理论结果[7]，包括粘性解的存在性、唯一性，以及制度转换模型中美式期权定价的比较原则。同时，在某些条件下，证明了数值函数的稳定、单调和一致逼近格式的收敛性。文献[22]讨论了适用于此类耦合系统的数值偏微分方程方法及其优缺点。考虑到这一替代路线（前提是可以建立所有所需的技术结果），我们的方法具有明显的好处：避免了在整个系统的研究中出现的许多分析复杂性（比较[7]），并为值函数和停止边界生成了一个非常直观的单调近似方案。为了进一步研究本节中的问题，我们将对波动率的马尔可夫链建模进行结构假设。假设4.5。马尔可夫链σ是无跳的，即f或所有i∈ {1。

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2022-5-31 02:52:27

，m}，如果j，λij=0/∈ {i- 1，i，i+1}。由于许多流行的金融随机波动率模型具有连续的轨迹，无跳马尔可夫链是连续过程的自然离散状态空间近似，假设4.5似乎不是一个严格的限制。引理4.6。设δ>0，g：（l，h）×0，∞) → [0，∞) 在第一个变量中增加和凸出，在第二个变量中减少。然后u：（l，h）×{σ，…，σm}→ R defendbyu（x，σi）：=ehrΔ^Xx，σiudug（^Xx，σδ，σ（δ））i（4.4）在第一个变量中增加且凸，在第二个变量中减少。证据我们将使用耦合论证来证明这一主张。让(Ohm′, F′，~P′）是g a布朗运动B中的概率三重态，两个波动过程σ，σ的状态空间和跃迁密度如（2.1）所示。此外，我们假设B独立于（σ，σ），起始值满足σ（0）=σi≤ σj=σ（0），且σ（t）≤ σ（t）表示所有t≥ 此外，当σ分别被σ和σ替换时，让^xandxdenote将解表示为（2.6）。让我们定义一个任意ω∈ Ohm′. 由于^W与σ无关，^E′heRδ（^X）xudug（（^X）Xδ，σ（δ））| Fσδi（ω）=^E′heRδ（^X）xudug（（X）Xδ，σ（δ，ω））i，（4.5）Xdenotes过程^X，波动过程σ被确定性函数σ（·，ω）代替。此外，（4.5）中的右手（以及左手）作为x的函数增加了[31，定理IX.3.7]，而凸的增加了[14，定理M5.1]。Henceu（·，σi）：x 7→~E′h ~E′heRδ（^X）xudug（（^X）Xδ，σ（δ））| Fσδii是递增的和凸的。接下来，我们观察到▄E′heRδ（^X）xudug（（^X）Xδ，σ（δ））▄Fσ，σδi（ω）≥E′heRδ（^X）δudug（（^X）Xδ，σ（δ））| Fσ，σδi（ω）≥~E′heRδ（^X）xudug（（^X）Xδ，σ（δ））| Fσ，σδi（ω）。

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2022-5-31 02:52:30

（4.6）在上文中，考虑到条件期望可以被改写为普通期望，类似于（4.5），第一个不等式后面是【14，定理6.1】，第二个不等式后面是第二个变量中g的衰减。积分（4.6）总可能ω的两侧∈ Ohm′关于dP′，我们得到了u（x，σ）≥ u（x，σ）。因此，我们可以得出结论，u在第一个变量中是增加和凸的，在第二个变量中是减少的。定理4.7（波动性排序）。（i） v在波动性变量中是递减的，即。vσ≥ vσ≥ . . . ≥ vσm.（ii）波动率中的边界按asbσ排序≤ bσ≤ . . . ≤ bσm.证明。（i）我们将通过用值函数序列{vn}n逼近值函数v来证明这一说法≥对应百慕大最优停止问题的0。让Vn表示（2.7）中的值函数，只允许在某些时候停止kTn:k∈ {0，1，…，2n}.让我们确定∈ N、我们将证明，对于任何给定的k∈ {0，…，2n}和任意∈ [knT，T]，值函数vn（T，x，σ）在x中是递增的和凸的，在σ中是递减的（注意，她的eσd等于过程T 7的初始值→σ（t））。证明方法是从k=2n向下反向归纳到k=0。由于vn（T，·，·）=1，基本步长k=2n通常成立。现在，假设，对于给定的k∈ {0，…，2n}，对于任何t，值vn（t，x，σ）在x上增加和凸，在σ上减少∈ 【knT，T】。引理4.6告诉我们∈ [（k-1） Tn，kTn），f（t，x，σ）：=~EeRkTnt^Xt，x，σuduvnkTn，^Xt，x，σkTn，σkTn公司,在x上是递增的和凸的，在σ上是递减的。因此，sincevn（t，x，σ）=（f（t，x，σ），t∈ （（k-1） Tn，kTn），f（t，x，σ）∨ 1，t=（k-1） Tn，（4.7）对于任何固定的t，值vn（t，x，σ）在x上增加和凸出，在σ上减少∈ [k]-1nT，T]。

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2022-5-31 02:52:34

因此，通过反向归纳，vnis在第二个参数x中减少了d凸，在第三个参数σ中减少了。最后，由于vn→ v点方向为n→ ∞, 我们可以得出结论，值函数v在σ中递减。（ii）根据定理4.2（ii）的证明，该主张是上述第（i）部分的直接结果。备注4.8.1。当波动率是任何连续时间齐次正马尔可夫过程，且与驱动布朗运动W无关时，初始波动率的值函数也在减小（定理4.7（i））。该断言通过检验引理4.6的证明得到证实，在引理4.6中，波动轨迹的交叉不重要，马尔可夫链结构也不重要。2、虽然没有理由相信任何边界bσ，bσ不连续，证明了它们的连续性，除了最低的一个，超出了常规技术的能力。最低边界的连续性可以类似于[15，定理3.10]第4部分的证明，利用边界的顺序来证明。证明上界连续性的绊脚石是，在向下波动率跳变时间，值函数具有正跳变，其幅度难以量化。5任意先验的推广在本节中，我们将前面部分的大多数结果推广到一般先验情况。

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kedemingshi

2022-5-31 02:52:37

接下来，漂移的先验u不再是两点，而是任意概率分布。5.1后验分布的二维表征我们首先要更抽象地思考一下，以发展对任意先验情况的直觉。根据后验分布的Kushner-Stratonivich随机偏微分方程（SPDE）（见[8]第3.2节），如果我们将驱动SPDE和波动率的创新过程作为可用信息源，则后验分布是一个度量值马尔可夫过程。遗憾的是，对于测度值随机过程的最优停止问题，目前还没有适用的通用方法。如果我们能够用Rn值马尔可夫过程描述后验分布过程（关于创新和波动过程产生的过滤），那么我们应该设法将具有随机测度值的最优停止问题减少为具有Rn值马尔可夫过程的最优停止问题。幸运的是，我们很快就会看到，这种一厢情愿的想法在现实中变成了可能。与【15】中研究的恒定波动率问题不同，当波动率变化时，由经过时间t和后验平均值^X组成的对不足以描述给定FSσt的后验分布utof X。因此，我们需要一些额外的信息来描述后验分布。令人惊讶的是，所有这些需要的额外信息都可以在一个额外的可观察统计数据中捕获，我们将其命名为“有效学习时间”。

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2022-5-31 02:52:40

我们首先介绍一些有用的旋转来开始开发。定义Y（i）t：=Xt+σi并让u（i）t，yde注意给定Y（i）t=Y时X的后验分布。需要指出的是，对于任何给定的前u，给定FY（i）的X和给定Y（i）的X的分布是相等的（见[15]中的命题3.1），这仅对最后一个值Y（i）t进行调节。此外，请记住，l=inf supp（u），h=supp（u）。下一个引理提供了关键的见解，允许仅通过两个参数来描述后验分布。引理5.1。Letσ≥ σ> 0。然后{u（1）t，y:t>0，y∈ R} ={u（2）t，y:t>0，y∈ R} ，即两种情况下X的可能条件分布集是相同的。证据设t>0，y∈ R、根据标准滤波理论（广义贝叶斯规则），u（i）t，y（du）：=e2uy-ut2σiu（du）RRe2uy-ut2σiu（du）。（5.1）然后取r=σσt和y=σσy、我们有u（2）t，y（du）=u（1）r，y（du）。从引理5.1和[15，引理3.3]中，我们得到了以下重要推论，告诉我们，在固定了先验分布后，任何可能的后验分布只能由两个参数来充分表征。推论5.2。让t>0。然后，对于任何后验分布，ut（·）=P（X∈ · | FS，σt）（ω），存在（r，x）∈ （0，T）×（l，h）使得uT=u（1）r，y（r，x），其中y（r，x）定义为满足E[x | y（1）r=y（r，x）]=x的唯一值。特别是，我们可以取r=Rtσσ（u）（ω）du和y（r，x）=Rtσσ（u）（ω）dYu（ω），其中Yu=log（Su）+Ruσ（b）db。当波动性变化时，了解漂移的速度也会变化。推论告诉我们，我们可以将r解释为在恒常性σ下测量的有效学习时间。

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