我们将充分利用与之前建立的受限BSDE之间的联系。6.2.1任何t的另一个奇异控制问题∈ [0，T]，让我们考虑以下控制集vtb：=n（us）T≤s≤T、 哪些是Rd-价值，英尺-可预测且有界。o、 对于任何（t，x）∈ [0，T]×Rd，we定义：T=supu∈VtbEPt公司U（Xt、x、uT）-ZTtδ（us）ds,其中，Xt、x、ui是(Ohmt、 Ft，oT，Pt）的值，x，u=x+Z·tusXt，x，美国ds+Z·tfsusds+Z·tσsXt，x，美国dBts，Pt-a.s。由于u有界且δ非负，因此该值函数始终定义良好。我们的第一步是展示一个人可以用它的面貌来代替上面的地图U。这是我们设定的[8]第3.1条提案的一个版本。证明推迟到附录中。引理6.4。假设2.1、2.3和d 6.2成立。那么，对于任何t<t，我们有yxt=supu∈VtbEPt公司bU（Xt、x、uT）-ZTtδ（us）ds.下一个结果是我们的FrameworkEmma 6.5中[8]的命题3.3。假设2.1、2.3和d 6.2成立。对于任何（t，x），我们都有∈ [0，T）×RdYxt=essupι∈L∞（英尺）nYx+fιt- δ（ι）o，a.s.，其中L∞（Ft）是Rd值、有界和Ft可测量随机变量的集合。现在我们可以给出本节的主要结果。提案6.6。假设2.1、2.3和6.2成立。然后，有一个常数C>0，对于任何0≤ t型≤ s<T，任意（x，x′）∈ Rd×RdYxt公司- Yx′t≤ Cx个- x′,Yxt公司- EPt[Yxs]≤ C（1+kxk）（s- t） 。6.2.2弱配方和任何（t，x）的主要结果∈ [0，T]×Rd和u∈ Vtb，我们现在定义以下Pt-等效测量pt，x，udPt=EZ·t（σs）-1.Xt，x，0fus·dBts.控制问题的弱公式定义为asYw，xt：=supu∈VtbEPt，x，uU（Xt，x，0）-ZTtδ（us）, 对于任何（t，x）∈ [0，T]×Rd.以下命题是[21]中备注3.8和定理4.5的简单结果。提案6.7。

对于任何（t，x）∈ [0，T]×Rd，我们有Yxt=Yw，xt。现在我们可以继续讨论定理6.3。根据[8]的定理4.1，我们对任何（t，x）都有∈ [0，T]×C，Yw，x（T）T=Yt，x定义为受约束BSDE（3.1）–（3.2）的第一个组件。然后，通过命题6.6和6.7，我们推导出存在一个常数C>0，使得对于任何（t，t′，x，x′）∈ [0，T]×[T，T]×C×CYt，xt- Yt，x′t≤ Cxt公司- x′t,Yt，xt- EPt[Yt′，xt′]≤ C（1+kxk）（t′）- t） 。然后应用定理3.2。参考文献【1】J.A.Bather和H.Cherno Off。控制太空船的顺序决策（有限燃料）。《应用可能性杂志》，4（3）：584–6041967。[2] J.A.Bather和H.Cherno ff。控制s节奏的连续决策。L.M.Le Cam和J.Neyman，《第五届伯克利数理统计和概率研讨会论文集》编辑，第3卷，181-2071967页。[3] F.E.Benth和K.Reikvam。奇异随机控制与最优停止之间的联系。AppliedMathematics&Optimization，49（1）：27–41，20 04。[4] F.Boetius。有界变分奇异随机控制与动态博弈。《暹罗控制与优化杂志》，44（4）：1289–13212005年。[5] F.Boetius和M.Kohlmann。最优停止和奇异随机控制之间的联系。《随机过程及其应用》，77（2）：253–2811998。[6] B.布沙尔。有限时间内最优切换问题的随机tar-get公式。《随机：概率与随机过程国际杂志》，81（2）：171–1972009。[7] B.Bouchard、P.Cheridito和Y.Hu。正在准备中。[8] B.Bouchard、R.'Elie和L.Moreau。在增益过程上具有凸约束的盲分离方程的正则性。伯努利出版社，2014年出版。[9] B.Bouchard和M.Nutz。广义状态约束的弱动态规划。

SIAM Jou rnal onControl and Optimization，50（6）：3344–33732012。[10] B.Bouchard和M.Nutz。随机目标博弈与正则化粘性解动态规划。运筹学数学，41（1）：109-1242016。[11] B.Bouchard、D.Possama"i和X.Tan。g的一般Doob-Meyer-Mertens分解-超级马丁系统。《概率电子杂志》，21（36）：1–212016年。[12] H.切尔诺夫。O最优随机控制。《印度统计杂志》，a辑，30（3）：221–2521968年。[13] J.Claisse、D.Talay和X.Tan。受控扩散过程的伪马尔可夫性质。《暹罗控制与优化杂志》，54（2）：1017–10292016。[14] J.Cvitani'c、I.Ka ratzas和H.M.Soner。具有增益过程约束的倒向随机微分方程。《概率年鉴》，24（6）：1522–15511998。[15] M.H.A.Davis、M.A.H.Dempster、S.P.Sethi和D.Vermes。不确定条件下的最优容量扩展。《应用概率的进展》，19（01）：156–1761987。[16] M.H.A.戴维斯和A.R.诺曼。具有交易成本的投资组合选择。运筹学数学，15（4）：676–7131990。[17] I.Ekren、C.Keller、N.To uzi和J.Zhang。路径相关偏微分方程的粘性解。《可能性年鉴》，42（1）：204–2362014。[18] I.Ekren、N.Touzi和J.Zhang。完全非线性抛物型路径相关偏微分方程的粘性解：第一部分。《概率年鉴》，44（2）：1212–125320016。[19] I.Ekren、N.Touzi和J.Zhang。完全非线性抛物型路径相关偏微分方程的粘性解：第一部分。《概率年鉴》，44（4）：2507–25532016。[20] N.El Karoui、S.Peng和M.-C.Quenez。金融中的倒向随机微分方程。《数学金融》（MathematicalFinance），7（1）：1-711997年。【21】N.El Karoui和X.Tan。

容量、可测选择和动态规划第二部分：在随机控制问题中的应用。arXiv预印本arXiv:1310.33642013。【22】R.Elie和I.Kharroubi。使用跳跃向BSDE添加约束：多维反射的替代方法。ESAIM：《概率与统计》，18:23 3–250，2014年。[23]。法布。金融中随机控制和倒向随机微分方程的一些贡献。2012年，埃科尔理工学院博士论文。【24】W.H.Fleming和H.M.Soner。受控马尔可夫过程和粘性解，《随机建模和应用概率》第25卷。Springer–Verlag New York，2006年第2版。[25]X.郭和P.托梅切克。奇异控制和最优切换之间的联系。SIAM Journal onControl and Optimization，47（1）：421–4432008。[26]A.C.海因里希和V.J.米泽尔。奇异和绝对连续控制的具有不同值函数的随机控制问题。A.Ephremides，H.V.Poor和S.Tzafestas，编辑，第25届IEEE决策与控制会议，1986年，第134-139页。IEEE，1986年。【27】J.J acod。《计算随机性与艺术问题》，数学选注第714卷。斯普林格，1979年。【28】M.Jeanblanc Picqué和A.N.Shiryaev。优化股息流量。《俄罗斯数学调查》，50（2）：2571995年。[29]J.Kallsen和S.Li。小交易成本下的投资组合优化：凸对偶方法。arXiv预印本arXiv:1309.34792013。【30】I.卡拉茨。一类奇异随机控制问题。在M.Kohlmann和N.Christopeit的《随机微分系统》一书中。1982年6月28日至7月2日在波恩大学举行的德国联邦金融管理局第二届巴德·霍内夫会议记录，第43卷，第312-319页。斯普林格，1982年。[31]I.Karatzas和S.E.Shreve。最优停止与奇异随机控制之间的联系。

以下是单调问题。《暹罗控制与优化杂志》，22（6）：856–8771984。[32]I.Karatzas和S.E.Shreve。最优停止与奇异随机控制之间的联系2。反映了追随者问题。《暹罗控制与优化杂志》，23（3）：433–4511985。【33】I.Karatzas和H.Wang。有界变差控制和Dynkin对策之间的联系。在J.L.Menaldi、E.Rofman和A.Sulem主编的《最优控制和偏微分方程：纪念Alain Bensoussan教授60岁生日》，第363-373页。IOS出版社，2001年。[34]I.Kharroubi和H.Pham。Feynman–Kac为Hamilton–Jacobi–Bellman IPDE重新演示。《可能性年鉴》，43（4）：1823-18651015。【35】G.Pagès.路径相关导数的凸序：动态规划方法。《斯特拉斯堡足球俱乐部》（Séminaire deprobabilitéS de Strasbourg），第四十八卷：33–962016年。[36]S.Peng。BSDE的单调极限定理和Doob–Meyer型的非线性分解定理。概率论及相关领域，113（4）：473–4991999。【37】彭世华、徐明华。构造变分不等式的BSDE和粘性解。arXiv预印本XIV:0712.03062007。【38】任志强、N.头子、J.张。半线性路径相关偏微分方程粘性解的比较。arXiv预印本arXiv:1410.72812014。【39】任志强、N.头子、J.张。路径相关偏微分方程粘度解概述。D.Crisan、B.Hambly和T.Zariphopoulou，《2014年随机分析与应用：纪念TerryLyons》，数学与统计斯普林格学报第100卷，第397-453页。Springer，2014年。[40]Z.Ren、N.Touzi和J.Zhang。完全非线性退化抛物面依赖型偏微分方程粘性解的比较。《暹罗数学分析杂志》，4 9（5）：4093–4 116，2017年。【41】S.E.Shreve和H.M.Soner。O具有交易成本的最优投资和消费。

《应用概率年鉴》，4（3）：609–6921994。命题2.4第2节的技术证明。（i） 首先，这是一个经典的结果，UT在UTSING中是密集的，在这个意义上，对于anyK∈ Utsing，有一些序列（νn）n≥0 UT，以便“支持”≤s≤T堪萨斯州-Zstνnrdr#-→n→+∞0。（A.1）从假设2.3、（2.3）和（2.4）中也可以清楚地看出，对于任何（t，x；K，K′）x=x′∈ [0，T]×C×（Utsing），对于某些常数C>0，它可能会因行而异EPt公司Ux个tXt、x、K- EPt公司Ux个tXt，x，K′≤ 塞普思x个t型Xt、x、K- Xt，x，K′∞,Ti公司1+EPthx个tXt、x、K2r级∞,Ti+EPthx个tXt，x，K′2r级∞,Ti公司≤ “接受”ZTtd公司堪萨斯州- K’s#1+kxkr∞,t+EPt“ZTtdKs2r#+EPt“ZTtdK’s公司2r#！。因此，我们立即推断出-→ EPt公司Ux个tXt、x、K是连续的，考虑到（A.1）中的收敛性。因此得出了第一个结果。（ii）这是一个经典结果，我们建议读者参考[8]中的命题4.1或[21]中的定理4.5。（iii）请注意，根据定义，FXt、xPtsatis定义了Blumenthal 0- 1法律以及可预测的martinga lerepresentation财产。这意味着下面的过程是（λt，xt，Ft，xt，oT，Ft，xt，Pt，x）Wt，x：=Z·t上的布朗运动σt，xs-1.Bt，xtdBt，xts- ut，xsBt，xtds公司, 实际上，通过对Pt，x的定义，我们知道Bt定律，xunder Pt，x=Xt，xunder Pt定律。（A.2）因此，既然我们有bt=Z·tσt，xs-1.Xt，xdXt，xs- ut，xsXt，xds公司, Pt-a.s.，结果立即符合布朗运动的Lévy特征和（2.9）。此外，我们还清楚地知道Wt定律，xunder-Pt，x=Pt下的bt定律。（A.3）接下来，对于任何ν∈ 我们定义了以下概率度量Pt，xνon（λt，xt，Ft，xt，oT）dPt，xνdPt，x：=EZ·tσt，xs-1.Bt，xtfsνs重量，xdWt，xsT、 据了解，我们将ν解释为Ctto Rd的（Borel）映射。

我们声称∈ [0，T]EPt，x，νUt，xXt，x= EPt，xνUt，xBt，x, 对于每个ν∈ Ut。事实上，我们先后使用了Pt，xν，（A.2），（A.3）和Pt，x，νEPt，xν的定义Ut，xBt，xt= EPt，xEZ·tσt，xs-1.Bt，xtfsνs重量，xdWt，xs图坦卡蒙，xBt，xt= EPt公司EZ·tσt，xs-1.Xt，xfsνs英国电信dBts图坦卡蒙，xXt，x= EPt，x，νUt，xXt，x.结果是立竿见影的。引理2.6的证明。很明显，序列是非递减的，因为集合的序列是U.，nis。此外，由于Uthave的元素由任意阶的定义矩决定，很明显∪n≥1Ut，在Ut中为致密，在任何ν的意义上为致密∈ Ut，存在一个序列（νm）m≥1对于任何m≥ 1，νm∈ Ut，mandEPt“ZTtkνr- νmrkdr#-→m级→+∞0。（A.4）通过与命题2.4证明中相同的论证，我们推导出v（t，x）=supν∈∪n≥1Ut，nEPtUt，xXt，x，ν= 画→+∞vn（t，x），因为集合Ut，nar相对于n不递减。B引理4.3第4节的技术证明。固定（t，x）∈ [0，T]×Candτ∈ Tt，x+并用（U，V）表示∈ St，x×Ht，Xt[t，τ]Us=τ上下列倒向随机微分方程的唯一解- t型-Zτs？n？Vr？dr-ZτsVr·dWt，xr，s∈ [t，τ]，Pt，x- 一s、 ，其中我们提醒读者，在我们的上下文中，τ是Ft，x，oτ-可测量的，并且我们总是可以考虑U（resp.V）的Pt，xversion，为了简单起见，我们仍然用U（resp.V）表示，它是Ft，xt，o-渐进可测量（可预测）。设u为任意Ft，xt，o-可预测的过程满足|u|≤ \'\'n，因此对于所有z∈ Rdwe有-\'n | z |≤ u·z。这尤其意味着Qu∈ Mt，x，’N带dqu：=EZTtus·dWt，xs！因此，根据标准，BSDE的比较结果（例如，参见[20]中的定理2.2]），我们没有≤ 等式u[τ-t] 。因此，u的任意性意味着UT≤ Ent[τ- t] 。（B.1）另一方面，让νnbe定义为νn·V=-\'n | V |并观察|νn |≤ \'\'n。

那么我们有Qn∈ Mt，x，\'nwithdQn：=EZTtνns·dWt，xs！因此，使用Utis是一个常数的事实- 1律=τ- t型-ZτtVs·dWt，xs- νNSD= 方程n[τ-t]≥ Ent[τ- t] ，由耳鼻喉科定义。最后一个不等式与（B.1）一起给出了ut=Ent[τ- t] 。由于τ>t，Pt，x-a.s.，因此通过严格比较得出结果（再次使用[20]中的orem 2.2）。命题4.4的证明。（i） vn的情况。我们按照[18，命题4.4的证明]的思路进行，将证明分为两个步骤。固定（t，x）∈ 【0，T】×C用于本部分的其余部分。步骤1：我们展示vn∈ C（[0，T]×∧0，x），满足动态规划原理，对于任何τ∈ t丰度θ∈ Tt，xvn（t，x）=supν∈Ut，nEPtvn（τ，xtXt，x，ν）= supν∈Ut，nEPt，xνvn（θ，xtBt，xt）（B.2）动态规划结果实际上是经典的，因为我们这里考虑的控制ν取Rd的一个紧子集中的值。我们让读者参考[21]中的命题2.5和定理3.3，同时我们强调他们对定理3的证明。3可以立即推广到u和σLipschitz连续线性增长（而不是Lipschitz连续和有界）的情况，因为它们只需要考虑SDE的强解的存在性。接下来我们将展示vn的连续性。对于任意（t，t′；x，x′）∈ [0，T]×[T，T]×C×C，我们有| vn（T，x）- vn（t′，x′）|≤ |vn（t，x）-vn（t，x′）+| vn（t，x′）-vn（t′，x′）|。我们现在分别估计上面右侧的两个术语。

我们首先使用假设2.3、（2.3）、（2.4）和控制ν∈ Ut，以n为界的nare√d | vn（t，x）- vn（t，x′）|≤ supν∈Ut，nEPthUt，xXt，x，ν- Ut，x′Xt，x′，ν我≤ C supν∈Ut，nEPthx个t型Xt，x，ν- Xt，x′，ν∞,Ti公司1+EPthx个tXt，x，ν2r级∞,Ti+EPthx′tXt，x′，ν2r级∞,Ti公司≤ Cdn1型∨rkx公司- x′k∞,t型1+kxkr∞,t+kx′kr∞,t型,其中常数Cd不依赖于n。接下来，使用（B.2）计算τ=t′，我们使用之前的计算和（2.2）| vn（t，x′）-vn（t′，x′）|≤ supν∈Ut，nEPthvn（t′，x′）tXt，x′，ν）-vn（t′，x′）我≤ Cdn1型∨rsupν∈Ut，nEPthx′tXt，x′，ν- x′∞,t′i1+kx′kr∞,t′+EPthx′tXt，x′，ν2r级∞,t′i≤ Cdn1型∨r+1+r（t′）- t）1+kx′kr+1∞,t+kx′kr+1∞,t′型.定义d∞, 因此，我们得到了| vn（t，x）- vn（t′，x′）|≤ Cdn1+r+1∨研发部∞（（t，x），（t′，x′）1+kxkr+1∞,t+kx′kr+1∞,t′型,证明了vn关于d的连续性∞.步骤2：我们证明VN是PPDE（4.1）的粘度子溶液。相反，假设存在（t，x；Д）∈ [0，T]×C×Avn（T，x）s.T.对于某些C>0-Lt，xа（t，xt）- nρ（ftD（t，xt））≥ 2c>0。在不丧失一般性的情况下，我们可以在定义中减少H∈ Avn（t，x），这样通过所有ab ovemaps的连续性，我们得到-Lt，xИ（s，Bt，xt）-nρ（fsD^1（s、Bt、xt））≥ c、 在【t，H】，Pt，x- 一s、 此外，观察每个s∈ [t，H]nρ（fsDД（s、Bt、xt））=supu∈[0，n]du·（f）sDν（s、Bt、xt）），因此通过定义Ut，nwe具有所有ν∈ Ut，n- Lt，xИ（s，Bt，xt）-νs·fsD^1（s、Bt、xt）≥ c、 在【t，H】，Pt，x- 一s

（B.3）由于ν在[t，H]上是光滑的，我们可以在Pt，xthatД下写入H、 Bt，xt= ^1t、 xt公司+ZHtLt，xД（s，Bt，xt）ds+ZHtDД（s，Bt，xt）·σt，xs（Bt，xt）dWt，xs=Дt、 xt公司+ZHtLt，xД（s，Bt，xt）+DД（s，Bt，xt）·fsνsds+ZHtDД（s，Bt，xt）·σt，xs（Bt，xt）dWt，xs- （σt，xs）-1（Bt，xt）fsνsds.自ν起∈ Ut，n，我们有Pt，xν∈ Mt，x，nso that by（B.3）：EPt，xν（^1）- （vn）t，x）H、 Bt，xt≤ -cEt[小时- t] +^1t、 xt公司- EPt，xν（vn）t，xH、 Bt，xt,取Pt，xν的最大值∈ Mt，x，位于左侧，并回顾∈ Avn（t，x），此给定0<Et（^1）- （vn）t，x）H、 Bt，x≤ -cEt[小时- t]- EPt，xν（vn）t，xH、 Bt，xt- （vn）t，xt、 xt公司,最后，根据动态规划原理（B.2），取ν的最小值∈ Ut，非右侧给定0<-cEt[小时- t] ，这是一个矛盾，因为引理4.3的右边是负数。步骤3：我们证明VN是PPDE（4.1）的粘度超溶液。相反，假设有（t，x；Д）∈ [0，T]×C×Avn（T，x），因此对于某些C>0-Lt，xа（t，xt）-nρ（ftD（t，xt））≤ -3c<0。再次观察每个s∈ [t，t]nρ（fsDД（s，Bt，x））=supu∈[0，n]du·（f）sDД（s，Bt，x）），因此*n∈ [0，n]d这样-Lt，xа（t，xt）-u*n·（f）tD（t，xt））≤ -2c。在不丧失一般性的情况下，我们可以在定义中减少H∈Avn（t，x），所以通过连续性，我们得到-Lt，xа（t，xt）-u*n·（f）sD^1（s、Bt、xt））≤ -c、 在【t，H】，Pt，x- 一s、 设置Ut的常数控制，n：νn≡ u*n、 因此我们有- Lt，xИ（s，Bt，xt）- νns·fsD^1（s、Bt、xt）≤ -c、 在【t，H】，Pt，x- 一s、 （B.4）由于Д在[t，H]上是光滑的，我们有，Pt，x- 一s、 ，^1H、 Bt，x= ^1t、 xt公司+ZHtLt，xД（s，Bt，xt）ds+ZHtDД（s，Bt，xt）·σt，xs（Bt，xt）dWt，xs=Дt、 xt公司+ZHtLt，xД（s，Bt，xt）+DД（s，Bt，xt）·fsνnsds+ZHtDД（s，Bt，xt）·σt，xs（Bt，xt）dWt，xs- （σt，xs）-1（Bt，xt）fsνnsds.根据（B.4），这是给定的，xνn（^1）- （vn）t，x）H、 Bt，xt≥ cEPt，xνn[H- t] +^1t、 xt公司- EPt，xνn（vn）t，xH、 Bt，xt.自^1起∈Avn（t，x），我们有等式ν（t，xt）=vn（t，x）。

此外，fa ct表示νn∈ Ut，nenables us use the DPP（B.2）to haveEPt，xνn（^1）- （vn）t，x）H、 Bt，xt≥ cEPt，xνn[H- t] >0。使用（再次）νn∈ Ut，n乘以Pt，xνn∈ Mt，x，n，这与Д相矛盾∈Avn（t，x）。（ii）联合国的情况。我们沿着[18，Proposition证明4.4]的行进行，并将证明分为两个步骤。固定（t，x）∈ [0，T]×λ表示证明的其余部分。步骤1：我们展示联合国∈ C（[0，T]×∧0，x），并满足以下动态规划原则，对于任何τ∈ Tt，x:Yt，x，n=（un）t，x（τ，Bt，xt）+Zτ·nρfs（（σt，xs）)-1.Bt，xZt、x、nsds公司-Zτ·Zt，x，ns·dWt，xs，Pt，x- 一s、 （B.5）首先，由于nρε是Lipschitz–连续的，且自第2.3节起，在0处为零，根据B SDEs（参见示例[20]）的标准稳定性结果，对于任何n≥ 1，有一个常数Cn（可能因行而异），因此对于所有（t，x，x′）∈ [0，T]×（C）EPt支持≤s≤TYt，x，ns+ZTt公司Zt、x、nsds公司≤ Cn1+kxk2（r+1）∞,t型, （B.6）EPt支持≤s≤TYt，x，ns- Yt，x′，ns+ZTt公司Zt、x、ns- Zt，x′，nsds公司≤ Cnx个- x′∞,t型1+kxk2r∞,t+kx′k2r∞,t型. （B.7）尤其是，这给出了以下规律性| un（t，x）|≤ Cn1+kxkr+1∞,t型（B.8）和| un（t，x）-un（t，x′）|≤ Cnkx公司- x′k∞,t型1+kxkr∞,t+kx′kr∞,t型. （B.9）根据BSDE理论中的s标准参数（这将是条件期望的tower性质，如果ρ等于0，并且可以使用通过Picard迭代获得带Lipschitzdrivers的BSDE的解这一事实很容易将结果推广），对于anyt<t′，我们有以下动态规划原则≤ TYt，x，n=（un）t，x（t′，Bt，xt）+Zt′·nρfs（（σt，xs）)-1.Bt，xtZt、x、nsds公司-Zt′·Zt，x，ns·dWt，xs，Pt，x- 一s、 （B.10）尤其是Yt，x，ns=（un）t，x（s，Bt，xt），对于任何s∈ [t，t]。

接着是| un（t，x）- un（t′，x）|=EPt、xhYt、x、nt- Yt，x，nt′+（un）t，x（t′，Bt，xt）-un（t′，x）i≤ EPt，xZt′tnρfs（（σt，xs）)-1（Bt，xt）Zt，x，nsds公司+ EPt，x（un）t，x（t′，Bt，xt）-un（t′，x）≤ EPt，xZt′tnρfs（（σt，xs）)-1（Bt，xt）Zt，x，nsds公司+ Cn支持≤s≤t′kxs- xtk+EPt，x支持≤s≤t′型Bt、xts- xt公司1+kxkr∞,t′+EPt，x支持≤s≤t′型Bt、xts!≤ EPt，xZt′tnρfs（（σt，xs）)-1（Bt，xt）Zt，x，nsds+Cnd∞（（t，x）；（t′，x））1+kxkr∞,t′型, （B.11），其中最后一行从（2.2）开始。从（B.6）c观察，结合假设2.1和ρεthatEPt，x“Zt′t的Lipschitz连续性nρfs（（σt，xs）)-1.Bt，xtZt、x、nsds#=EPt“Zt′tnρfs（（σt，xs）)-1.英国电信Zt、x、nsds公司#≤ Cn1+kxkr+1∞,t′型（t′）- t） 。将后者插入（B.11）和√t′型- t型≤ d∞（（t，x）；（t′，x）），最终得出| un（t，x）-un（t′，x）|≤ Cn1+kxkr+1∞,t′型d∞（（t，x）；（t′，x））。最后，我们刚刚证明d的时间规律性，允许我们经典地将动态规划原理（B.10）扩展到停止时间，给出（B.5）（结果很清楚，停止时间取很多值，一般结果通过使用很多值减少停止时间序列来近似停止时间）。第二步：我们总结证据。在不丧失一般性的情况下，我们只证明了粘性子解，而得到了类似的超解。相反，假设存在（t，x；Д）∈ [0，T]×C×Aun（T，x），这样2c：=-Lt，xа（t，xt）-nρftDД（t，xt）> 0、设H为对应于ν定义的击中时间∈ Aun（t，x）。

通过φ和ρ的连续性，减少必要的Hif，我们推断-Lt，xИ（s，Bt，xt）-nρfsDД（s、Bt、xt）≥ c>0，s∈ [t，H]。通过DPP（B.5）和φ的平滑度，我们得到了Pt，x，我们得到了（φ- （un）t，x）H（·，Bt，xt）-（^1）-（un）t，x）t（·，xt）=ZHtLt，xИ（s，Bt，xt）ds+ZHtσt，xsBt，xtDД（s，Bt，xt）·dWt，xs+ZHtnρfs（σt，xs）-1.Bt，xtZt、x、nsds公司-ZHtZt、x、ns·dWt、xs≤ -ZHthc+nρfsD^1（s、Bt、xt）- ρfs（σt，xs）-1.Bt，xtZt、x、nsids+ZHtσt，xsBt，xtDД（s、Bt、xt）-σt，xs-1.Bt，xtZt、x、ns· dWt，xs=-c（H- t） +ZHtαns·DД（s、Bt、xt）-σt，xs-1.Bt，xtZt、x、nsds+ZHtσt，xsBt，xtDД（s、Bt、xt）-σt，xs-1.Bt，xtZt、x、ns· dWt，xs=c（t-H） +ZHtDД（s、Bt、xt）-σt，xs-1.Bt，xtZt、x、ns·σt，xsBt，xtdWt，xs+αNSD,式中|αn |≤ n | | f | | ds dPt，x- a、 根据Girsa-nov定理，我们得到了Q∈ Mt，x，nsuch that rσt，xs（Bt，xt）dWt，xs+αnsds是Q-布朗运动。上述不等式ho lds then Qn- 一s、 因此（Д）- （un）t，x）t（·，xt）≥ EQn（^1）- （un）t，x）H（·，Bt，xt）+c（H- t）> EQn（^1）- （un）t，x）H（·，Bt，xt）,这与Д的定义相矛盾∈ Aun（t，x）。C第5节引理C.1的技术证明。假设5.1成立。修复n≥ 1、对于每个（t、s、x、~x、λ、u）∈ [0，T]×[T，T]×C×Ct×R*+×R，forevery k=0，n-1，对于每个Borel图f:Rd-→ R通过多项式增长，定义以下运算符qk+1t，x，λ（f）（~x，u）：=EPthfxtt，nk+λut，xtt，nk（~x）+ftt，nkνtt，nk+uMtt，nk+σt，xtt，nk（￠x）Bttt，nk+1- Bttt，nkFttt，nki。如果f是凹的，s.t.表示每个（t，s，x，~x，~y，α，β，γ，η）∈ [0，T]×[T，T]×C×Ct×Ct×Rd×R*+×Rd×[0，1]，fα+βut，xs（η▄x+（1-η） ~y）+σt，xs（ηx+（1）- η） y）γ≥ fα+β（ηut，xs（～x）+（1-η） ut，xs（~y））+（ησt，xs（~x）+（1- η） σt，xs（￠y））γ, （C.1）然后是映射（x，u）7-→ Qk+1t，x，λ（f）（~x，u）是凹的，映射u 7-→ Qk+1t，x，λ（f）（~x，u）在R上不递减-.证据

从f的多项式增长、u和σ的线性增长以及bt在Pt下具有任意阶矩的事实可以清楚地看出，运算符Qk+1t、x和γ定义得很好。那么，Qk+1t，x，γ（f）的凹度是f的凹度假设以及（C.1）的直接推论。然后，由于f具有多项式增长，Feynman–Kac的公式意味着qk+1t，x，λ（f）（x，u）=v（tt，nk，Bttt，nk），其中v：[tt，nk，tt，nk+1]×Rd-→ R是PDE的唯一粘度溶液-vs公司-Trh公司uMtt，nk+σt，xtt，nk（￠x）uMtt，nk+（σt，xtt，nk）（￠x）vxxi=0，开[tt，nk，tt，nk+1）×Rd，vtt，nk+1，x= fxtt，nk+λut，xtt，nk（~x）+ftt，nkνtt，nk+uMtt，nk+σt，xtt，nkx个, x个∈ Rd.这种线性偏微分方程经典地满足了一个比较定理，由于f的凹性，v在x中是凹的。此外，PDE的差异部分重写为uutrhmt、nkvxxi+uTrh的二次函数Mtt，nk（σt，xtt，nk）（▄x）+σt，xtt，nk（▄x）Mtt，nkvxxi+Trhσt，xtt，nk（￠x）（σt，xtt，nk）（x）i.由于Mtis对称正，Mtσt（x）+σt（x）mt是对称负的，vxxis也是对称负的，对于u，上述事实是不递减的∈ R-. 通过比较，Qk+1t，x，λ（f）（x，u）也适用于此。提案C.2。假设2.3和5.1保持并确定一些q≥ p>0。对于每n∈ N \\{0}，x∈ C、 让usde递归（Xt、x、nk）0≤k≤nand（Yt，x，nk）0≤k≤nby Xt，x，n=Yt，x，n=Xt，对于0≤ k≤ n- 1Xt，x，nk+1=Xt，x，nk+ut，xtt，nkXt、x、nk+ ftt，nkνtt，nktt，nk+1- tt，nk+ηp，t，xtt，nkXt、x、nkMtt，nk+σt，xtt，nkXt、x、nkBttt，nk+1- Bttt，nk,Yt，x，nk+1=Yt，x，nk+ut，xtt，nkYt、x、nk+ ftt，nkνtt，nktt，nk+1- tt，nk+ηq，t，xtt，nkYt、x、nkMtt，nk+σt，xtt，nkYt、x、nkBttt，nk+1- Bttt，nk,其中（Xt，x，nk）0≤k≤nand（Yt，x，nk）0≤k≤定义为以下分段线性插值Xt，x，nk：=ik（Xt，x，n0:k），Yt，x，nk：=ik（Yt，x，n0:k）。那么，我们有Ut，x在里面Xt，n，x0:n≤ EPt公司Ut，x在里面Yt，n，x0:n.证据

允许t、 n：=tt，nk+1- tt，nk=（T- t） /n，a并考虑以下鞅，对于0≤ k≤ n、 Mk：=EPthUt，x在里面Xt，n，x0:nFttt，nki，Nk：=EPthUt，x在里面Yt，n，x0:nFttt，nki，这是很好定义的，因为U是多项式增长，我们现在从引理2.2得到Xt，n，x0:nand Yt，n，x0:nhavemoments的任意阶。对于任何k=0，n、 我们还定义了以下从Rk+1到R的函数序列，对于k=0，n- 1，通过反向感应，对于任何x0:k∈ （Rd）k+1Φn：=Ut，xo in，Φk（x0:k）：=Qk+1t，x，t、 n（Φk+1（x0:k，·））ik（x0:k），ηptt，nk（ik（x0:k））,ψn：=Ut，xo in，ψk（x0:k）：=Qk+1t，x，t、 n（ψk+1（x0:k，·））ik（x0:k），ηqtt，nk（ik（x0:k））.通过定义Xt、x、nand Yt、x、NTH，我们每0≤ k≤ nMk=Φk（Xt，x，n0:k）和Nk=ψk（Yt，x，n0:k）。现在让我们证明，对于每k=0，…，映射Φkanψkare凹，n、 他们验证了≤ 我≤ k- 1，（x0:n，~x0:n，η）∈ （Rd）n+1×（Rd）n+1×[0，1]，对于任何{（αm，l，βm，l，γm，l）∈ Rd××R*+×Rd，i≤ m级≤k- 1，0≤ l≤ k- 我- 1} ，我们有φ=Φ，ψνkx0:i，αi，0+βi，0ut，xtt，ni（ii）（ηx0:i+（1- η） x0:i）+σt，xtt，ni（ii）（ηx0:i+（1- η） x0:i）γi，0，i+1Xj=iαj，1+βj，1ut，xtt，nj（ij（η^x0：j+（1- η） ^Иx0:j）+σt，xtt，nj（ij（η^x0:j+（1- η） ^Иx0:j）γj，1, . . . ,k-1Xj=iαj，k-我-1+βj，k-我-1ut，xtt，nj（ij（η^x0：j+（1- η） ^Иx0:j）+σt，xtt，nj（ij（η^x0:j+（1- η） ^Иx0:j）γj，k-我-1.≥ ^1kx0:i，αi，0+βi，0ηut，xtt，ni（ii（x0:i））+（1- η） ut，xtt，ni（ii（~x0:i））+ησt，xtt，ni（ii（x0:i））+（1- η） σt，xtt，ni（ii（≈x0:i））γi，0,i+1Xj=iαj，1+βj，1ηut，xtt，nj（ij（^x0:j））+（1-η） ut，xtt，nj（ij（^бx0:j））+ησt，xtt，nj（ij（^x0:j））+（1- η） σt，xtt，nj（ij（^Оx0:j））γj，1, . . .

k-1Xj=iαj，k-我-1+βj，k-我-1.ηut，xtt，nj（ij（^x0:j））+（1- η） ut，xtt，nj（ij（^бx0:j））+ησt，xtt，nj（ij（^x0:j））+（1-η） σt，xtt，nj（ij（^Оx0:j））γj，k-我-1.,（C.2）式中，对于w：=x，^x，递归定义为^wl：=wl，0≤ l≤ i、 ^wl+1：=lXj=iαj，l-i+βj，l-iut，xtt，nj（ij（^w0:j））+σt，xtt，nj（ij（^x0:j））γj，l-我, 我≤ l≤ k- 我们只证明Φk的结果，另一个结果完全相似。我们用反向归纳法进行论证。当nk=n时，结果很明显，因为U是凹的，假设5.1（vi）成立。让我们假设Φk+1对于某些k≤ n-1、那么，现在让我们展示地图x0:k7-→ Qk+1t，x，t、 n（Φk+1（x0:k，·））（ik（x0:k），u）对于任何u都是凹的∈ R、 我们实际上有qk+1t，x，t、 n（Φk+1（x0:k，·））（ik（x0:k），u）=EPthΦk+1x0:k，xk+t、 n个ut，xtt，nk（ik（x0:k））+ftt，nkνtt，nk+uMtt，nk+σt，xtt，nk（ik（x0:k））Bttt，nk+1- Bttt，nkFttt，nki。因此，从Φk+1的归纳假设（与凹度和不等式（c.2））来看，c的唯一性是直接的。现在，我们知道ηpt（·）是凹的和非正的，并且，从引理C.1，映射u 7-→Qk+1t，x，t、 n（Φk+1（x0:k，·））（ik（x0:k），u）在R上不递减-. 因此，这证明了Φk的凹度。此外，Φk（C.2）直接来自Φk+1，定义为Φk+1。最后，让我们再次通过反向归纳证明，对于每个k=0，n，Φk≤ ψk。对于k=n，其结果是显而易见的。现在假设对于某些k≤ n- 1，我们有Φk+1≤ ψk+1。然后，对于任何x0:k∈ Rk+1Φk（x0:k）=Qk+1t，x，t、 n（Φk+1（x0:k，·））ik（x0:k），ηptt，nk（ik（x0:k））≤ Qk+1t，x，t、 n（Φk+1（x0:k，·））ik（x0:k），ηqtt，nk（ik（x0:k））≤ Qk+1t，x，t、 n（ψk+1（x0:k，·））ik（x0:k），ηqtt，nk（ik（x0:k））= ψk（x0:k），其中我们连续使用了u 7-→ Qk+1t，x，t、 n（Φk+1（x0:k，·））（ik（x0:k），u）在R上不递减-（记住ηp≤ ηq）和归纳假设。

综上所述，需要取k=0来获得Φ（xt）≤ψ（xt），由M和N toEPt的鞅性质等价Ut，x在里面Xt，n，x0:n≤ EPt公司Ut，x在里面Yt，n，x0:n.我们现在可以说明本节的主要技术成果。提案C.3。假设2.3和5.1成立。对于任何p>0，用Xt，x，ν，p表示SDE（2.6）的解，用微分矩阵σpin代替σ，letvp（t，x）：=supν∈UtEPt公司Ux个tXt，x，ν，p.那么，对于任何q≥ p>0，我们有任何（t，x）∈ [0，T]×Cvp（T，x）≤ vq（t，x）。证据通过命题C.2，我们知道如果我们用他们的Euler格式替换Xt，x，ν，pand Xt，x，ν，q，那么这些Euler格式的U的期望是有序的。然后，我们可以严格遵循[35]中的定理2.2和定理2.1的证明，特别是使用我们对U假设的连续性，以及非马尔可夫SDE的真Euler格式收敛于c上统一拓扑的SDE解的事实，以扩展此结果并获得Ux个tXt，x，ν，p≤ EPt公司Ux个tXt、x、ν、q,结果很清楚。第6节引理6.4证明的技术证明。很明显，我们有≥ U、 所以一个不等式是微不足道的。接下来，固定一些u∈ Vtb。对于一些足够小的εo>0和一个nyε∈ （0，εo），我们定义了Vtbuεs的以下元素：=us[t，t-ε] （s）+ε[T-ε、 T]（s），其中ι是任何有界和FtT-εo-可测量的随机变量。然后，我们得到了经验的tower属性和SDEs的Markov属性（参见示例[13]），即EPT公司-ε“UXT公司-ε、 Xt、x、uT-ε、 （uε）T-ε、 BtT公司-ZTT公司-εδ（uε）T-ε、 基站ds公司#-ZT公司-εtδ（us）ds= EPt“U（Xt，x，UεT）-ZTtδ（uεs）ds#，这意味着yxt≥ EPt公司EPT公司-ε“UXT公司-ε、 Xt、x、uT-ε、 （uε）T-ε、 BtT公司-ZTT公司-εδ（uε）T-ε、 基站ds公司#-ZT公司-εtδ（us）ds.

（D.1）接下来，我们声称，至少在一个子序列上，我们有limε→0EPtEPT公司-ε“UXT公司-ε、 Xt、x、uT-ε、 （uε）T-ε、 BtT公司-ZTT公司-εδ（uε）T-ε、 基站ds公司#-ZT公司-εtδ（us）ds= EPt“UXt，x，uT+fTι- δ（ι）-ZTtδ（us）ds#。（D.2）事实上，通过（2.4的简单扩展），我们首先得到了≥ 2点XT公司-ε、 Xt、x、uT-ε、 uT公司-ε、 BtT+fι-XT公司-ε、 Xt、x、uT-ε、 （uε）T-ε、 BtT公司p≤ CpEPt“fι+ZTT-εfuT公司-ε、 基站-ιεds公司p#≤ CpZTT-εEPth未来-ε、 基站pids。此外，通过（2.2），我们得到了Pt-a、 s.EPT公司-εhXT公司-ε、 Xt、x、uT-ε、 uT公司-ε、 BtT公司- Xt、x、uT-εpi≤ Cpε1个+Xt、x、uT-εp+ CpEPT公司-ε“ZTT公司-εuT-ε、 Btsds公司p#，由塔楼属性表示XT公司-ε、 Xt、x、uT-ε、 uT公司-ε、 BtT公司- Xt、x、uT-εpi≤ Cpε1+EPthXt、x、uT-εpi+ CpEPt“ZTT公司-εusdsp#，Pt-a、 因此，如果必要的话，将其传递到一个子序列，并利用Xt，x，u路径的连续性，我们从上述不等式中推导出-ε、 Xt，x，u，（uε）T-ε、 BTT转换为Xt、x、uT+fι、Pt- 一s、 在Lp（Pt）中。通过U的连续性，我们推导出下列收敛保持Pt- 一s、 在Lp（Pt）U中XT公司-ε、 Xt、x、uT-ε、 （uε）T-ε、 BtT公司-ZTT公司-εδ（uε）T-ε、 基站ds公司-→ U（Xt，x，uT+fι）-δ（ι）。然后，这通过tower属性表明以下收敛在L（Pt）EPT中成立-ε“UXT公司-ε、 Xt、x、uT-ε、 （uε）T-ε、 BtT公司-ZTT公司-εδ（uε）T-ε、 基站ds公司#-→ U（Xt，x，uT+fι）-δ（ι），这意味着期望的权利要求（D.2）。然后，通过（D.1）和（D.2）我们推导出，对于有界和FtT的随机变量ι-εo-可测量，我们有YXT≥ EPt“UXt，x，uT+fι- δ（ι）-ZTtδ（us）ds#，（D.3）和相同的语句适用于有界的任何ι和FtT--可通过εo的任意性测量。

现在，从ma p（x，ι）7开始-→ U（x+fι）- δ（ι）是Borel可测的，我们可以在[8]中命题3.1的证明中论证，以获得Borel可测映射x 7的任何ε>0的存在性-→ ε（x）使得bu（Xt，x，uT）≤ UXt，x，uT+fιε（Xt，x，uT）- δε（Xt，x，uT）+ ε。那么，如果我们定义ε，ε：=ε（Xt，x，uT）1ε（Xt，x，uT）|≤n、 ε，nis有界和FT--通过路径Xt，x，u的连续性可测量。因此通过（D.3）我们得到，使用δ在0Yxt为零的事实≥ EPt“bU（Xt，x，uT）1 |ε（Xt，x，uT）|≤n+UXt、x、uT|ε（Xt，x，uT）|>n-ZTtδs（us）ds#- ε。然后，通过让第一个n进入完整和支配收敛（记住Bu isLipschitz和Xt，x，uhas任意阶矩），然后ε进入0，得到所需结果。引理6.5的证明。首先，通过采用常数控制ι=0，一个不等式是微不足道的。那么，下面的动态规划原则对于任何0都是经典的≤ t型≤ s≤ TYxt=supu∈VtbEPt公司YXt，x，uss-Zstδ（ur）dr. （D.4）现在修复一些（t，x）∈ [0，T]×Rd，someι∈ L∞（Ft），一些ε>0足够小，且定义ε：=ει1[t，t+ε]∈ Vtb。根据动态规划原理，我们得到，Yxt≥ EPt公司YXt，x，uεt+εt+ε-Zt+εtδ（uεr）dr= EPt公司YXt，x，uεt+εt+ε-εZt+εtδ（ι）dr. （D.5）接下来，通过引理6.4和我们对任何u∈ VtbEPt公司YXt，x，uεt+εt+ε≥ EPt“bUXt+ε，Xt，x，uεt+ε，ut+ε，BtT-ZTt+εδ（ur）dr#。对于uε的定义，我们使用与引理6.4中的证明类似的论点，在必要的情况下，沿着一个子序列，EPt“bU”Xt+ε，Xt，x，uεt+ε，ut+ε，BtT-ZTt+εδ（ur）dr#-→ε-→0EPt“bUXt，x+fι，uT-ZTtδ（ur）dr#。因此，我们从传递到（D.5）中的极限推导出≥ EPt“bUXt，x+fι，uT- δ（ι）-ZTtδ（ur）dr#，这意味着引理6.4和u的任意性∈ VtbYxt≥ Yx+fιt- δ（ι），因此是期望的结果。命题6.6的证明。

第一个结果是引理6.4的直接结果，BU是Lipschitz连续的事实，以及Xt、x、u满足的SDE解的经典估计。接下来，我们得到了（D.4）、我们刚刚证明的x中的正则性和（2.2）Yxt≥ EPthYXt，x，0ssi≥ EPt[Yxs]- 除此之外Xt，x，0s- x个≥ EPt[Yxs]-C1+kxk（s）- t） 1/2。那么，对于任何u∈ Vtb，使用t 7-→ δt（·）是非递增的、次线性的，以及引理6.5EPs“UXs、Xt、x、us、us、BtT-ZTsδ（ur）dr#-Zstδ（ur）dr≤ YXt，x，uss-Zstδ（ur）dr≤ YXt，x，uss- δZsturdr公司≤ YXt，x，美国-fRsturdrs公司。然后，根据塔的特性，我们有，在Pton的两侧都有9月“U（Xt，x，uT）的期望-ZTtδ（ur）dr#≤ EPthYXt，x，美国-fRsturdrsi公司≤ EPt【Yxs】+EPtXt，x，美国- fZsturdr公司- x个≤ EPt【Yxs】+C1+kxk（s）-t） 1/2，在表达式Xt，x，us中-fRsturdr公司-x控件u实际上消失了。根据Yxt的定义，这就结束了公关。