一类路径相关奇异随机控制问题

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英文标题：
《On a class of path-dependent singular stochastic control problems》
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作者：
Romuald Elie and Ludovic Moreau and Dylan Possama\\\"i
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
This paper studies a class of non$-$Markovian singular stochastic control problems, for which we provide a novel probabilistic representation. The solution of such control problem is proved to identify with the solution of a $Z-$constrained BSDE, with dynamics associated to a non singular underlying forward process. Due to the non$-$Markovian environment, our main argumentation relies on the use of comparison arguments for path dependent PDEs. Our representation allows in particular to quantify the regularity of the solution to the singular stochastic control problem in terms of the space and time initial data. Our framework also extends to the consideration of degenerate diffusions, leading to the representation of the solution as the infimum of solutions to $Z-$constrained BSDEs. As an application, we study the utility maximisation problem with transaction costs for non$-$Markovian dynamics.
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中文摘要：
研究了一类非$-$马尔可夫奇异随机控制问题，给出了一种新的概率表示。证明了该控制问题的解与$Z-$约束BSDE的解是一致的，其动力学与非奇异的潜在正向过程有关。由于非$-$马尔可夫环境，我们的主要论证依赖于对路径相关偏微分方程使用比较参数。我们的表示特别允许根据空间和时间初始数据量化奇异随机控制问题解的规律性。我们的框架还扩展到退化扩散的考虑，导致将解表示为$Z-$约束BSDE解的下确界。作为一个应用，我们研究了非$-$马尔可夫动态下具有交易费用的效用最大化问题。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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可人4

2022-5-31 02:59:18

一类路径相关奇异随机控制问题Romuald-Elie*Ludovic Moreau+Dylan Possama"i2018年2月27日摘要本文研究了一类非马尔可夫奇异随机控制问题，为其提供了一种新的概率表示。证明了该控制问题的解与a Z的解是一致的-受约束的BSDE，其动力学与非奇异下垫前向过程相关。由于非马尔可夫环境，我们的主要论证依赖于对路径相关偏微分方程使用比较参数。我们的表示特别允许根据空间和时间初始数据来确定奇异随机控制问题解的正则性。我们的框架还扩展到对退化差异的考虑，从而将解表示为Z的解的上限-受约束的BSDE。作为一个应用，我们研究了非马尔可夫动态下具有交易成本的效用最大化问题。关键词：奇异控制，约束BSDE，路径相关偏微分方程，粘性解，交易成本，规则性。1简介Cherno ff[12]和Bather及Cherno ff[2，1]发起的奇异随机问题研究涉及大量文献，主要是因为其在经济学或数学中的广泛应用。这尤其包括众所周知的单调跟随者问题，例如，参见Karatzas【30】，与最优投资问题相关的realoptions决策建模，参见Davis、Dempster、Sethi和Vermes【15】，Dynkin games，参见Karatzas和Wang【33】或Boetius【4】，最优停止问题，参见Karatzasand Shreve【31，32】，Boetius和Kohlmann【5】，或Benth和Reikvam【3】，以及最优切换问题，参见Guo和Tomecek【25】。

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nandehutu2022

2022-5-31 02:59:22

对于所有这些问题，感兴趣的问题自然是以有限变量的奇异控制问题的形式建模的。在这些丰富的文献中，很少有研究在非马尔可夫框架下考虑这类问题，这是相当令人惊讶的。他的论文的目的之一就是试图填补这一空白。在马尔可夫环境中，尼斯奇异随机控制问题的解通常表现为变分不等式的唯一弱解，其中动力学的线性部分与解的梯度约束相结合。例如，当Jeanblanc Picqué和Shiryaev在连续时间内为一家公司的股息流量优化建模时【28】，*巴黎大学（UniversitéParis）–Est Marne–la–Vallée，romuald。elie@univ-mlv。fr.作者衷心感谢ANR项目Pacman，ANR-16-CE05-0027的支持。+哦，卢多维奇。moreau@fr.ey.com.巴黎大学-巴黎理工大学多芬分校，法国巴黎塞雷梅德CNRS，75016，possamai@ceremade.dauphine.fr.作者非常感谢ANR项目Pacman（ANR-16-CE05-0027）的支持。我们在完成这篇论文时了解到，Bouchard、Cheridito和Hu【7】正在研究类似的问题。他们的准备工作将涉及更一般的受控SDE，其中（2.1）中的f项将允许依赖于状态过程。然而，他们的证明方法将纯粹是概率的，因此与我们的方法完全不同。此外，他们的方法不会先验地考虑退化差异。最优奇异行为将支付股息视为一种趋势，因为潜在财富过程具有自由边界，其中价值函数的梯度达到其上限值1。

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大多数88

2022-5-31 02:59:25

这个例子很自然地表明了奇异随机控制问题和具有梯度约束的随机过程之间的联系，以及更精确地说，具有增益过程约束的倒向随机微分方程（BSDE），如Cvitani'c、Karatzas和Soner所介绍的【14】。引入此类方程的主要初始动机是对具有投资组合约束的债权进行超级套期保值。我们在本文中建立了这样的盲源分离问题的解为奇异随机控制问题的解提供了一个很好的概率表示。更准确地说，感兴趣的非马尔可夫随机控制问题的形式如下：（t，x）7-→ SUP公司∈UtsingEPt公司Ux个tXt、x、K, 0≤ t型≤ T、其中，utsing表示多维cádlág非递减Ft的集合-适用于p的0和Lp中的流程说明≥ 1.受控基础过程X具有以下非马尔可夫奇异动态xt，X，K=X（t）+Z·tut，xsXt、x、Kds+Z·tfsdKs+Z·tσt，xsXt、x、KDBT，其中u和σ是满足通常条件的函数图，详见下面的假设2.1。通过密度参数，值得注意的是，我们还可以简化为对绝对连续控制的子集取上确界。我们也可以考虑这种控制问题的弱版本。在一个非常合适的Girsanov型概率变换之后，我们将vsing（t，x）重写为一种类似于终端奖励的面部提升型变换的形式。因此，这提供了vsing（t，x）表示后面的直觉，作为带Z的BSDE的解决方案- 限制施加在被积函数过程Z上的凸约束由方向f导出，并通过凸集kt表示：=nq∈ Rds。t、（f）tq）·ei≤ 0代表所有i∈ {1。

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kedemingshi

2022-5-31 02:59:28

，d}o。对于任何时间t，我们验证vsing（t，x）标识为Yt，x，其中（Yt，x，Zt，x）是约束BSDEYt，x的最小解·≥ Ut，xXt，x-ZT·ZT，xs·dBts，（（σt，xs）)-1.Xt，xZt、xs∈ 堪萨斯州。证明路线依赖于观察结果，即奇异问题和BSDE的惩罚版本都是同一路径依赖偏微分方程（简称PPDE）的解，我们能够提供一个比较定理。据我们所知，这是首次引入路径相关偏微分方程粘性解理论（见Ekren、Keller、Ren、Touzi和Zhang的著作[17、18、19、38、39、40]）来证明这种表述。尽管这些想法让人想起了我们在马尔可夫案例中可能采用的方法（例如，参见Peng和Xu[37]f或通过带约束的BSDE对经典变分不等式的概率解释），但我们相信，在非马尔可夫环境中成功地使用它将打开PPDE理论许多新潜在应用的大门。我们研究这种奇异随机控制问题的主要动机是投资者在一个既有交易成本又有非马尔可夫动力学的市场中所面临的效用最大化问题。从应用的角度来看，具有非马尔可夫动力学可以被视为一种非常重要的影响，例如，这种情况包括随机波动率模型。然而，在这样的框架中，我们之前的表述并不直接适用，因为它需要X的扩散矩阵的非简并性，并且由于交易成本，财富的动态需要被视为由一维噪声驱动的二维随机过程。因此，我们扩展了我们的代表性，以包括退化波动系数。

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nandehutu2022

2022-5-31 02:59:31

我们的证明依赖于具有凸序序参数的紧性性质，如Pagès[35]所示。在这种退化背景下，奇异控制问题的解与约束BSDE族的最小值一致。作为副产品，BSDE解的vsingin项的概率表示允许导出奇异随机控制问题的敏感性质。首先，它自动为此类问题提供了动态编程原则。第二，这种表示允许我们量化初始数据点项中的VSING规则性。我们观察到空间中的vsingis Lipschitz以及1/2-霍尔德在时间上是连续的。对于奇异控制问题，获得这样的结果通常是一项非常艰巨的任务（例如，请参见[11，第4.2节]中的讨论），我们的方法可能是一种潜在且有前景的解决方案。本文的结构如下：第2节介绍了一类有趣的奇异控制问题，并推导了替代的数学表示。第3节介绍了相应的约束BSDE表示。第4节通过路径相关PDE参数导出了连接。第5节讨论了退化波动率的考虑以及交易成本示例。最后，第6节介绍了表示在动态编程和解的正则性方面的应用。注释：对于任何d∈ N \\{0}，对于每个向量x∈ Rd，我们将用xi表示其条目，1≤ 我≤d、对于任何p≥ l和（xl，xl+1，…，xp）∈ （Rd）p-l+1，我们有时也会使用符号xl:p：=（xl，xl+1，…，xp）。2奇异控制问题2.1预备工作我们在论文中确定了时间范围T>0。

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可人4

2022-5-31 02:59:34

对于任何（t，x）∈ [0，T]×Rd，我们用∧T，x表示[0，T]上连续函数x的空间，满足xt=x，Bt，x相应的正则过程和Ft，x，o：=（Ft，x，os）T≤s≤t Bt，x的（原始）自然过滤。对于一致收敛的拓扑，σ-代数Ft，x，ot与∧t，x上的Borelσ-代数重合是经典结果。当x=0时，我们将通过设置Ohmt： =λt，0，Ohm := Ohm, Bt：=Bt，0，B：=B，Ft，o：=Ft，0，oa和Fo：=F0，o。此外，我们将用cts表示[t，t]上连续函数的空间，而不参考它们在时间t上的值。此外，ptx将表示（λt，x，Ft，x，oT）上的维纳测度，这是这个s空间上的唯一测度，它使得规范过程Bt，xa在[t，t]上的布朗运动，从时间t的x开始。我们通常会在测量值Ptx之后使用Ft，x的完整自然过滤，我们表示Ft，x：=（Ft，xs）t≤s≤T、我们再次通过设置Ft:=Ft、0和F:=F来简化符号，并强调所有这些过滤都满足完整性和正确连续性的通常假设。对于任何t∈ [0，T]，任何s∈ [t，t]和任意x∈ Ct，我们将滥用符号并表示KXK∞,s： =支持≤u≤skxuk，其中k·k是Rd上通常的欧几里德范数，当d=1时，我们简单地用|···。此外，RDI上通常的内积表示为x·y，对于任何（x，y）∈ Rd×Rd.对于任何（t，s）∈ [0，T]×[T，T]和任意x∈ Ct，我们定义xs∈ Csbyxs（r）：=x（r），r∈ [s，T]。我们还定义了连续路径上的以下串联操作。对于任何0≤ t<t′≤ s≤ T，对于任意（x，x′）∈ Rd×Rd和任意（x，x′）∈ ∧t，x×∧t′，x′，我们让xsx′型∈ ∧t，x定义为（xsx′（r）：=x（r）1t≤r≤s+x′（r）+x（s）- x′（s）s<r≤T、让我们考虑一些（T，x，s，x）∈ [0，T]×Rd×[T，T]×Ct。为了简单起见，我们还将用x表示Sx在[0，T]上等于x的常数路径与x之间的串联。

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何人来此

2022-5-31 02:59:38

也就是说，对于任何mapg：[0，T]×Cand对于任何（T，x）∈ [0，T]×C，我们将用gt表示，x从[T，T]×gt定义的映射，x（s，x′）：=g（s，xtx′）。此外，我们还使用以下（伪）距离，为任何（t，t′，s，s′）定义∈ [0，T]，任意（x，x′）∈Rd×Rd和任意（x，x′）∈ ∧s，x×∧s′，x′比亚迪∞（t，x），（t′，x′）:=p | t′- t |+sup0≤r≤T（十）sx）（r∧ t）- （x′）s′x′（r）∧ t′）.2.2控制问题的第一个版本我们将考虑的第一组控制过程是典型的奇异随机控制。更准确地说，我们定义：=n（Ks）t≤s≤T、它们是cádlág，Rd值，Ft适应，T处为空，具有非递减条目，对于任何p≥ 1，EKpT公司< +∞.我们接下来考虑以下映射u：[0，T]×C7-→ Rd和σ：[0，T]×C7-→ Sd，其中Sd是d×d矩阵的集合（我们赋予了与k·k相关的算子范数，为了简单起见，westill表示k·k）以及有界映射f：[0，T]7-→ Sd。以下假设将在本文假设2.1中始终有效。

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kedemingshi

2022-5-31 02:59:42

（i）映射u和σ是逐步可测量的，因为对于任何（x，x′）∈C×C和任意t∈ [0，T]，对于φ=u，σx（s）=x′（s），对于所有s∈ [0，t]=> Д（s，x）=Д（s，x′），对于所有s∈ [0，t]。（ii）u和σ在x中呈线性增长，在t中呈单式增长，即存在一个常数C>0，使得forevery（t，x）∈ [0，T]×CkuT（x）k+kσT（x）k≤ C1+kxk∞,t型.（iii）u和σ在x中均匀L ipschitz连续，即存在一个常数C>0，使得对于任何（t，x，x′）∈ [0，T]×C×Cwe有ut（x）- ut（x′）+σt（x）- σt（x′）≤ Cx个- x′∞,t、（iv）对于任何（t，x）∈ [0，T]×C，σT（x）是可逆矩阵，矩阵σ-1t（x）f i在（t，x）中一致有界。对于任何（t，x）∈ [0，T]×C和K∈ 我们用Xt，x和Xt，x，k分别表示(Ohmt、 Ft，oT，Pt）的以下SDE（假设2.1下的存在性和唯一性是经典结果，可在[27]中找到，参见定理14.18和14.21）Xt，x=x（t）+Z·tut，xsXt，xds+Z·tσt，xsXt，xdBts，Pt- a、 s.，（2.1）Xt，x，K=x（t）+Z·tut，xsXt、x、Kds+Z·tfsdKs+Z·tσt，xsXt、x、KdBts，Pt- a、根据假设2.1和非马尔可夫SDE的标准估计，我们有以下lemmaLemma 2.2。对于所有p≥ 2，Cp>0，仅取决于假设2.1中的p，T和常数C，因此对于所有（T，T′；x，x′；K，K′）∈ [0，T]×[T，T]×∧×（Utsing）EPt支持≤s≤t′型Xt、x、Ks- x（t）p≤ Cp公司（t′）- t）1+kxkp∞,t型+1+（t′）-t）EPt公司kKt′型- Ktkp公司, （2.2）EPt支持≤s≤TXt、x、Ksp≤ Cp公司1+kxkp∞,t+EPtkKT公司- Ktkp公司, （2.3）EPt支持≤s≤TXt、x、Ks- Xt，x′，K′sp≤ Cp公司x个- x′p∞,t+EPtZTtd公司堪萨斯州- K’sp. （2.4）我们感兴趣的随机控制问题是thenvsing（t，x）：=supK∈UtsingEPt公司Ux个tXt、x、K, （2.5）其中奖励函数U:C-→ 假设R满足假设2.3。

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可人4

2022-5-31 02:59:46

对于任意（x，x′）∈ C×C，我们有s om e C>0和一些r≥ 0U（x）- U（x′）≤ Cx个- x′∞,T1+kxkr∞,T型+x′r∞,T.请注意，从（2.3）中可以清楚地看出，在假设2.3下，我们有vsing（t，x）< +∞, 对于任何（t，x）∈ [0，T]×C.2.3问题的简化和重新表述本节的目标是首先解释我们如何在不丧失普遍性的情况下，将注意力限制在vsing定义中的绝对连续控制过程，然后对这个简化问题提出两种有用的重新表述。让我们考虑一下∈ [0，T]UTSING的以下子集，包括相对于[T，T]Ut上的Lebesgue测度绝对连续的控件：=nK∈ Utsing，Ks=Zstνrdr，Pt- a、 s.，带（νs）t≤s≤T、英尺-可预测和（R+）d-valuedo。对于任何K∈ 但是，我们更容易考虑我们定义的相应过程ν，s o：=（νs）t≤s≤T、（R+）d-价值，英尺-可预测和s.t.EPtZTtνsdsp< +∞, p≥ 1..然后，对于任何（t，x）∈ [0，T]×Candν∈ Ut，我们用Xt，x，ν表示(Ohmt、 Ft，oT，Pt）以下数据的x，ν=x（t）+Z·tut，xsXt，x，νds+Z·tfsνsds+Z·tσt，xsXt，x，νdBts，Pt- a、 s.（2.6）然后我们可以定义nev（t，x）：=supν∈UtEPt公司Ux个tXt，x，ν. （2.7）我们的下一步是为控制问题v引入所谓的弱公式。这基本上归结为使用Girsanov定理，引入与Ut中控制过程的pT和诱导等效的概率度量，并最大化这些度量。更准确地说，对于任何（t，x）∈ [0，T]×Candν∈ 我们现在确定以下Pt-等效测量pt，x，νdPt=EZ·t（σt，xs）-1.Xt，xfsνs·dBts.控制问题（2.7）的弱公式定义为Vweak（t，x）：=supν∈UtEPt，x，νUt，xXt，x, 对于任何（t，x）∈ [0，T]×C。

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可人4

2022-5-31 02:59:49

（2.8）最后，我们的最后一个内容是介绍我们为v创造的标准弱公式，当我们将粘度解理论用于路径相关偏微分方程时，这将特别适合。对于任何（t，x）∈ [0，T]×C，让我们定义（λT，xt，Ft，xt，oT）Pt，x上的以下概率测度：=PtoXt，x-1、由于σ被假定为可逆的，因此我们得到了Ft，o=FXt，x，和Ft=FXt，xPt，（2.9），其中FXt，xd表示Pt下Xt，xandFXt，xPtits完成的原始自然过滤。我们本节的主要结果总结在以下命题中，其证明是经典的，并推迟到附录endix。提案2.4。假设2.1和2.3成立。对于任意（t，x），我们有以下等式∈[0，T]×Cvsing（T，x）=v（T，x）=vweak（T，x）=supν∈UtEPt，xνUt，xBt，xt.鉴于上述结果，在本文的其余部分中，我们将重点讨论值函数v，而不是VSING。备注2.5。请注意，尽管Utsingand Utactuallylead下的最大化到相同值函数的结果是经典的，但我们对问题中观察的函数所做的连续性假设对于它的成立至关重要。事实上，正如H einricher和Mizel[26]所指出的那样，这种近似结果并不总是正确的。2.4近似值函数为了获得值函数v的主要概率表示结果（因此对于vsing），我们将使用路径相关偏微分方程的粘性解理论，如前所述。然而，为了做到这一点，我们必须绕道一小段路，对于任何整数n>0和任何t∈ [0，T]，我们让Ut，ndnote，Ut的子集由进程ν组成，例如0≤ ν是≤ n、对于i=1，d、对于Lebesgue几乎每∈ [t，t]。

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nandehutu2022

2022-5-31 02:59:53

然后，我们确定所有（t，x）的近似值函数∈ [0，T]×Cvn（T，x）：=supν∈Ut，nEPtUt，xXt，x，ν= supν∈Ut，nEPt，xνUt，x（Bt，x）, （2.10）其中第二个等式可以精确地证明为引理2.4中v的等式。我们得到了以下simplestability结果，其证明被推迟到附录中。引理2.6。在假设2.1和2.3下，对于每个（t，x）∈ [0，T]×C，序列（vn（T，x））n≥1为非递减andvn（t，x）-→n→+∞v（t，x）。3相应的约束BSDEs3.1空间和规范现在定义了以下凸集族，对于任何t∈ [0，T]：Kt：=nq∈ Rds。t、（f）tq）·ei≤ 0代表所有i∈ {1，…，d}o，其中（ei）1≤我≤DDE注意到Rd的常规规范基础，以及任何M∈ Sd，M表示其UsalTransposition。备注3.1。直觉上希望施加在值函数v的梯度上的这种形式的约束是很自然的。事实上，回想一下，f描述了在单数动作的情况下推动底层forwardprocess的方向。我们接下来介绍任意p≥ 1以下空格（i）Spt：=n（Ys）t≤s≤T、 R-价值，英尺-逐步可测量，cádlág，Pt- a、 s.，s.t.kY kSpt<+∞o、其中kpSpt：=EPt支持≤s≤T | Ys | p.（ii）Spt，x：=n（Ys）t≤s≤T、 R-值，Ft，x-逐步可测量，cádlág，Pt，x- a、 s.，kY kSpt，x<+∞o、其中kpSpt，x：=EPt，x支持≤s≤T | Ys | p.（iii）Hpt：=n（Zs）t≤s≤T、研发部-价值，英尺-可预测，kZkHpt<+∞o、 kZkpHpt：=EPt“ZTtkZskdsp#。（iv）Hpt，x：=n（Zs）t≤s≤T、研发部-值，Ft，xt-可预测，kZkHpt<+∞o、 kZkpHpt，x：=EPt，x“ZTtkZskdsp#。3.2任何BSD的弱配方和强配方（t，x）∈ [0，T]×C，我们要解K-带生成器0和终端条件Ut、x的约束BSDEXt，x, 也就是说，我们想找到一对（Yt，x，Zt，x）∈ St×HtsuchYt，x·≥ Ut，xXt，x-ZT·ZT、xs·dBts、Pt- a、 s。

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可人4

2022-5-31 02:59:56

（3.1）（（σt，xs）)-1.Xt，xZt、xs∈ Ks，ds dPt公司- a、 e.，（3.2），如果有另一对（eYt，x，eZt，x）∈ St×Ht满足（3.1）和（3.2），那么我们有Yt，x≤eYt，x，Pt- a、当它存在时，这对（Yt，x，Zt，x）被称为K的最小解-约束BSDE。对于我们来说，查看受约束BSDE的弱版本也很重要，其中对于任何（t，x）∈ [0，T]×C，我们现在寻找一对（Yt，x，Zt，x）∈ St，x×Ht，x短T，x·≥ Ut，xBt，xt-ZT·ZT、xs·dWt、xs、Pt、x- a、 s.（3.3）（（σt，xs）)-1.Bt，xtZt、xs∈ Ks，ds dPt，x- a、 e.，（3.4），如果有另一对（eYt，x，eZt，x）∈ St，x×Ht，x满足（3.3）和（3.4），那么我们有y，x≤eYt，x，Pt，x- a、在详细说明确保上述方程存在最小解的条件之前，我们将首先花一些时间解释我们的主要结果，并在下一节中概述其证明。3.3主要结果和证明示意图我们的主要结果明确了值函数v（以及vsing）与上一节介绍的弱和强公式中的约束BSDE之间存在的联系。定理3.2。假设2.1、2.3、3.3和3.4成立。然后，对于任何（T，x）∈ [0，T]×C，我们有v（T，x）=Yt，xt=Yt，xt。我们的证明策略受到了来自马尔可夫控制问题的观察的启发。当然，我们知道，在这种情况下，值函数v与具有梯度约束的变分不等式相关联，这只不过是相应的Hamilton–Jacobi–Bellman方程（参见Fleming和Soner【24，第八章】）。此外，彭和徐的工作【37】证明了马尔可夫Z-受约束的BSDE自然与具有梯度约束的特定类型的变分不等式的粘性解相关联。

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何人来此

2022-5-31 03:00:00

因此，如果这两个对象都解相同的偏微分方程，而后者有唯一的解，则它们必须重合。这里需要注意的是，在不考虑PDE的情况下，奇异控制问题和Z之间的链接b-受约束的BSDE远非显而易见。事实上，即使已知BSDEswith Z-约束有一个可以表示为奇异控制问题的值函数的解决方案（这是Cvitani'c和Karatzas[14]的开创性论文的关键之一），该控制问题有一个非常特殊的形式，尤其涉及所谓的Z训练集的支持函数（详见下文第6.2.1节）。因此，一般来说，像v这样的给定奇异控制问题没有理由是这种形式。事实上，对于这两个问题，即使是一组可接受的控制实际上也可能有所不同。bot控制问题与相同的PDE相关这一事实是该论点的基石，似乎没有任何直接的概率论证可以获得相同的结果。这种情况让人想起Bouchard[6]的观察结果，即在解决最优切换问题和带跳跃的随机目标问题时出现的偏微分方程是相同的，这激发了Elie和Kharroubi所证明的多维斜反射盲分离与带约束跳跃的一维盲分离之间的联系[22]，或者，哈鲁比（Kharroubi）和范（Pham）[34]证明的，具有约束跳跃的BSDE中标准控制问题的最新表示。接着讨论非马尔可夫案例似乎没有希望，因为上面描述的PDE论点不再可用。这实际上是PPDE理论发挥作用的地方，因为它为我们提供了上述Hamilton–Jacobi–Bellman方程的适当推广。

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可人4

2022-5-31 03:00:04

尽管如此，情况并没有那么简单，因为我们在非马尔可夫框架下感兴趣的具有梯度约束的路径依赖变分不等式理论并不存在。其原因主要是技术性的，并且源于相关的控制过程是无界的，这破坏了所需的关键紧性属性（我们请读者参阅关于该主题的开创性论文【17、18、19、38、39、40】了解更多细节）。因此，我们的证明策略如下：（i）首先，我们近似值函数v和Z-使用有界控件按其版本约束BSDE，并确保近似值确实收敛。（ii）使用PPDE理论证明，前一步的两个近似值都是s-ame PPDE的粘度解，我们得到了唯一性结果。（三）过关结案。我们强调，即使近似收敛的证明是经典的，并且这些近似是适当PPDE的粘度解的证明比上述开创性论文中的证明稍微复杂一些，但我们的主要贡献并不在此。

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mingdashike22

2022-5-31 03:00:07

这取决于我们通过PPDE理论来解决这个问题，这是一个全新的理论，并且与之前的文献不同，它证明了Z-约束BSDE与变分不等式相关联，这也是一个特殊奇异控制问题的Hamilton–Jacobi–Bellman方程，我们实际上从一般奇异控制问题开始，并证明它们总是与Z-受约束的BSDE。3.4受约束BSDE的适定性上述受约束BSDE已在文献中进行了研究，首先在[14]中进行了研究，然后在[36]中由彭进行了研究。然而，所有这些存在性结果都依赖于一个假设，即问题至少有一个解（不一定是最小解）。这迫使我们采用以下假设。假设3.3。对于每个（t，x）∈ [0，T]×C，存在一对（Yt，x，Zt，x）∈ St×Ht，因此，t，x·≥ Ut，xXt，x-ZT·ZT、xs·dBts、Pt- a、 s.，（（σt，xs）)-1.Xt，xZt、xs∈ Ks，ds dPt公司- a、 e.假设3.4。对于每个（t，x）∈ [0，T]×C，存在一对（Yt，x，Zt，x）∈ St，x×Ht，x短T，x·≥ Ut，xBt，xt-ZT·ZT、xs·dWt、xs、Pt、x- a、 s.，（（σt，xs）)-1.Bt，xtZt、xs∈ Ks，ds dPt，x- a、 e.备注3.5。这些假设只是表明确实有可能满足Z-约束以及求解BSDE。首次引入此类受限BSDE是为了确定投资组合约束下索赔的超级套期保值价格，该框架中的此类条件仅表明可以找到一种可接受的投资组合策略，该策略确实可以超级套期保值利息索赔。然后，我们立即从【14】中得出以下建议3.6。假设2.1、2.3、3.3和3。4保持。然后，k的最小解-约束BSDE（3.1）和（3.2）存在，我们有Yt定律，xunder Pt=Yt定律，xunder Pt，x证明。

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可人4

2022-5-31 03:00:11

我们只支持强公式，因为弱公式的论点完全相似。因为假设2.3和（2.3）清楚地表明，EPtUt，xXt，x< +∞, 这个结果是[14]中主要结果的中间结果。这样，法律上的平等就可以通过定义来明确。备注3。7.由于假设3.3和3.4相当含蓄，让我们讨论它们所适用的一些有效条件。例如，我们可以使用[14]中的假设7.1，其中指出如果存在常数C∈ R和a过程∈ Ht使得（（σt，xs）)-1.Xt，x^1s∈ Ks，dsdPt公司-a、 e.以及UT，x（Xt，x）≤ C+ZTtДs·dBts，Pt- a、 e.，（3.5）则假设3.3已满足。当然，可以为弱公式编写类似条件。还请注意，（3.5）适用于例如U有界的情况。最后，请注意，作为Blumenthal 0- 1定律和命题3.6，我们对每个（t，x）有以下等式∈ [0，T]×CYt，xt=Yt，xt。3.5受惩罚的BSD正如我们已经用（2.10）中定义的Vn近似值函数v一样，考虑K的近似值对我们很有用-上一节中介绍的受约束的BSDE。这实际上是一个众所周知的问题，已经出现在【14】中，可以通过考虑与K-受约束的BSDE。在这样做之前，我们需要介绍，对于任何（t，x）∈ [0，T]×C，映射ρ：q∈ Rd7-→ q+·1d（3.6），其中每个q：=（q，····，qd） ∈ 我们使用了符号：q+：=（q+，····，q+d）.根据假设2.1和2.3，我们可以确定任何（t、x、n）∈ [0，T]×C×N*, （Yt，x，n，Zt，x，n）∈St×hT是以下BSDEYt，x，n·=Ut，x的唯一解Xt，x+ZT·nρfsσt，xs-1.Xt，xZt、x、nsds公司-ZT·ZT，x，nsdBts，Pt- a、 s。

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可人4

2022-5-31 03:00:16

（3.7）请注意，存在性和唯一性适用于【20】中的结果，因为在假设2.1和2.3下，终端条件显然是平方可积的，生成器z 7-→ ρ（fs（（σt，x）)-1（Xt，x）z）在0处为空，且在z处一致Lipschitz连续（我们提醒读者σ-1f是有界的，因此其转置也是有界的）。或者，我们可以考虑弱公式中的惩罚BSDE t，x，n·=Ut，xBt，x+ZT·nρfs（（σt，xs）)-1.Bt，xZt、x、nsds公司-ZT·ZT，x，nsdWt，xs，Pt，x- a、在假设2.1和2.3下，它也承认一个唯一的解决方案。然后我们得到以下classicalresult（参见[14]或[36]中的证明）。引理3.8。假设2.1、2.3、3.3和3.4成立。然后，对于任何（t，x）∈ [0，T]×CYt，x，ns↑n→+∞Yt、xs，对于任何s∈ 【t，t】，Pt- a、美国和Yt，x- Yt，x，nHt公司-→n→+∞0，Yt，x，ns↑n→+∞Yt、xs，对于任何s∈ [t，t]，Pt，x- a、美国和Yt，x- Yt，x，nHt，x-→n→+∞0.4定理3.2的证明本节的目的是证明表示v（t，x）=Yt，xt=Yt，xt，for every（t，x）∈ [0，T]×C.为了证明这一结果，我们将证明（2.10）中定义的vn（T，x）和un（T，x）：=半线性路径相关PDE的Yt，x，nReviscoity解，比较结果成立。这意味着vn（t，x）=un（t，x），当n达到极限时，通过传递到极限即可获得所需的结果+∞ , 参见引理2.6和3.8.4.1 PPDES速成班在本节中，我们密切关注[38]，介绍定义路径相关偏微分方程粘度解所需的所有概念。让我们从我们将要考虑的规律性概念开始。定义4.1。

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nandehutu2022

2022-5-31 03:00:19

（i）对于任何（t、x、ex）∈ [0，T]×C×Ct，任意s∈ [t，t]和任意d≥ 我们说anRd-C中的有值过程u on（λt，xt，Ft，xt，oT）[s，T]×λs，（x德克萨斯州南部，Rd当它与距离连续时∞, 也就是说，对于任何ε>0，对于任何（r，r，x，x）∈ [s，T]×Cs×Cs，存在δ>0，如果d∞（（r，x），（r，x））≤ δ==>美国，ex（r，x）- 美国，ex（r，x）≤ ε。（ii）对于任何（t，x，ex）∈ [0，T]×C×C和任意s∈ [t，t]，我们说-有值过程u on（λt，xt，Ft，xt，oT）属于C1,2[s，T]×λs，（xtex）s如果u∈ C[s，T]×λs，（xtex）s，R如果存在（Z，Γ）∈ C[t，t]×t，xt，Rd×C[t，t]×t，xt，R这样我们，exz- us（ex）=ZzsΓs，exrdr+ZZSZ，exr·dBs，（xtex）sr，z∈ [s，T]，Ps，（x德克萨斯州）- a、然后，我们表示si mplicity和anyex∈ C和任何s∈ [t，t]，Lt，xu（s，ex）：=Γs（ex），Du（s，ex）：=（（σt，xs（ex））)-1Zs（ex）。然后让我们表示，对于任何（t，x）∈ [0，T]×C，通过Tt，xt Ft，xt，o的集合-停车时间取数值in[t，t]，由Tt，x+Tt，x的子集组成，其中停车时间取数值in（t，t），对于anyH∈ Tt，x，by Tt，xHand Tt，xH，+，Tt，xcon的子集，其中停车时间分别取[t，H]和（t，H）中的值。接下来，我们定义≥ 1Pt，x，N：=Pt，xν，ν∈ Ut，N,Mt，x，N：=（Q s.t.dQdPt，x=EZTtbsdWt，xs, b、英尺，xt-可预测的s.t。

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mingdashike22

2022-5-31 03:00:23

kbk公司∞≤ N）。对于任何（t，x）∈ [0，T]×C，对于任何w∈ C[0，T]×∧0，x，R, 现在，我们定义了w asAnw（t，x）的测试函数集：=^1∈ C1,2（[t，t]×∧t，xt），0=^1- 重量，x（t，xt）>Ent^1-重量，x·, Bt，xtτ∧H对于一些H∈ 所有τ的Tt、xand∈ Tt，xH，+o，Anw（t，x）：=^1∈ C1,2（[t，t]×∧t，xt），0=^1- 重量，x（t，xt）<Ent^1-重量，x·, Bt，xtτ∧H对于一些H∈ 所有τ的Tt、xand∈ Tt，xH，+o，其中所有Ft，xtT-可测量ξ，使以下量为单位[ξ]：=supQ∈Mt，x，\'nEQ[ξ]，Ent[ξ]：=infQ∈Mt，x，\'nEQ[ξ]，其中\'n：=n√d最大值1.σ-1f层.最后，我们定义了每个（t、x、ν）∈ [0，T]×C×C1,2[t，t]×t，xt以下PPDE- Lt，xИ（t，xt）- nρftDД（t，xt）= 0.（4.1）定义4.2。修复som e x∈ Rdand让u∈ C[0，T]×∧0，x，R. 我们说（i）u是PPDE（4.1）的粘度子溶液，如果有（t，x，ν）∈ [0，T）×C×Anu（T，x）-Lt，xИ（t，xt）- nρftDД（t，xt）≤ 0.（ii）u i是PPDE（4.1）的粘度超级溶液，如果有（t，x，Д）∈ [0，T）×C×Anu（T，x）-Lt，xа（t，xt）- nρftDД（t，xt）≥ 0.（iii）u是PPDE（4.1）的粘度溶液，如果它既是亚溶液又是超溶液。我们将以以下结果结束本节，这些结果将有助于价值函数的PPDE推导。技术证明推迟到附录中。引理4.3。对于所有（t，x）∈ [0，T]×Candτ∈ Tt，x+我们有[τ- t] >0.4.2主要结果首先从将近似值函数和BSDE与PPDE 4.1联系起来开始。请注意，尽管使用的参数是经典的，但由于我们只假设局部Lipschitz（系数的连续性），因此我们的估计更为复杂。提案4.4。在假设2.1、2.3、3.3和3.4下，vnand un（t，x）：=Yt，x，nt=Yt，x，n PPDE（4.1）的修正解。立即定义，对于任何x∈ C、 C的以下子集[0，T]×λ0，xC[0，T]×λ0，x:=如新大学∈ C[0，T]×λ0，x, s、 t。

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nandehutu2022

2022-5-31 03:00:26

对于任何（t，ex）∈ [0，T]×C，ut，xis时间连续Pt，ex- a、美国、ut、ex∈ St，exo。现在，我们回顾一下[38]中的以下比较定理（见其定理4.1），该定理适用于我们的上下文。定理4.5（[38]）。让u，v在C中[0，T]×λ0，x分别为PPDE（4.1）的粘度亚溶液和超溶液。如果u（T，·）≤ v（T，·），然后u≤ 根据命题4.4，我们知道，对于每n≥ 1、PPDE的VN和unare粘度溶液（4.1）。因为我们所有的估计都清楚，vn，un∈ C[0，T]×λ0，x, 由于vn（T，·）=un（T，·），根据定理4.5，我们推导出vn（T，x）=Yt，x，nt=Yt，x，nt。通过引理2.6和3.8，可以让n+∞ 为了总结定理3.2.5对退化微分ns5.1的扩展证明，前一节的设置结果基本上基于微分矩阵σ的非退化性。我们在这里的主要目的是将我们的一般表示扩展到允许σ退化的情况。正如稍后将要明确的那样，我们将考虑的简并度类型将相当特殊，但它将特别适合我们所考虑的应用。在得到statingour结果之前，我们需要引入一些符号。对于每n∈ N \\{0}和任何t∈ [0，T]，我们考虑区间[T，T]的{tt，nk:=T+k（T-t） n个-1，k=0，n}。我们还定义了每个0≤ k≤ n和每隔（s，x0:k）∈ [t，t]×（Rd）k+1，线性插值器ik：（Rd）k+1-→ Cbyik（x0:k）（s）=nT- tk公司-1Xi=0（tt，ni+1- s） xi+（s- tt，ni）xi+1[tt，ni，tt，ni+1]（s）。我们的主要假设现在变成了消费5.1。

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大多数88

2022-5-31 03:00:30

假设2.1（i），（ii），（iii）保持和（iv′）对于y p>0，存在渐进可测映射ηp:[0，T]×C-→ R-对于线性增长，即存在一些C>0，因此0≤ -ηpt（x）≤ C（1+kxk∞,t），和确定性映射M：[0，t]-→ Sd，使得MTI对于每个t∈ [0，T]，贴图x 7-→ ηpt（x）每t为凹形∈ [0，T]，序列（ηp）p≥0是非递减的，对于任何p≥ 0和任意（t，x）∈ [0，T]×C，矩阵σηpt（x）是可逆矩阵，使得（σηpt）-1（x）fis一致有界于（t，x），其中σηpt（x）：=ηpt（x）Mt+σt（x）。（v）矩阵Mtσt（x）+σt（x）Mtis对称负，对于每个（t，x）∈ [0，T]×C.（vi）映射U，u和σ是凹的，并且对于每n≥ 1和0≤ k≤ n- 1，对于每（t，x）∈ [0，T]×C，每{（αi，j，βi，j，γi，j）∈ Rd×R*+×Rd，1≤ 我≤ n- k、 0个≤ j≤ n- k} ，和每隔（x0:k，~x，~y，λ）∈研发部k+1×Ct×Ct×[0，1]，我们有在里面x0:k-1，wλ（～x，～y；0，0），Xi=0wλ（～x，～y；i，1），n-kXi=0wλ（￠x，y；i，n- k）≥ U在里面x0:k-1，zλ（～x，y；0，0），Xi=0zλ（～x，y；i，1），n-kXi=0zλ（￠x，y；i，n- k）式中，Wλ（x，~y；i），l) := αi，l+ βi，lut，xtt，nk-1+i（λ▄x+（1- λ） y）+ηt，xtt，nk-1+iMtt，nk-1+i+σt，xtt，nk-1+1（λИx+（1- λ） y）γi，l,zλ（￠x，￠y；i，l) := αi，l+ βi，lλut，xtt，nk-1+i（~x）+（1- λ） ut，xtt，nk-1+i（▄y）+ γi，lληt，xtt，nk-1+iMtt，nk-1+i+σt，xtt，nk-1+1（￠x）+γi，l（1）- λ）ηt，xtt，nk-1+iMtt，nk-1+i+σt，xtt，nk-1+1（y）备注5.2。这一假设值得一定数量的评论（iv′）是为了确保退化矩阵σ在合适的情况下变得可逆。当然，我们这里的最终目标是假设ηpConverge为0，并将退化扩散近似为问题的解作为相应的极限。

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能者818

2022-5-31 03:00:33

我们还强调，这一假设尤其意味着对于任何（t，x）∈ [0，T]×C和任意p≥ p′σηpt（x）- σηp′t（x）=（ηpt（x）- ηp′t（x））Mt，它是一个对称的正矩阵。因此，s等式σηpis是非递减f或对称正矩阵的通常阶（v）和（v i）实际上主要是这样，下面引理C.1的结果对于涉及U的某个函数f成立（见下面命题C.2的证明）。由于两个原因，它们采取了一种特别复杂的形式。首先，我们的设置是完全非马尔可夫的，其次，它也是多维的。实际上，如果d=1和x 7，可以直接检查-→ σt（x）是线性的，那么我们只需要假设u是凹的，f不递减，以保持下面的（C.1）不变。类似地，（vi）是关于U、u和σ的某种凹性假设。事实上，如果d=1，并且U是马尔可夫的，那么（vi）保持的有效条件是U是非递减的，u是凹的，σ和η是线性的。我们在这里的证明策略是首先获得一个关于参数p的单调性结果，以解决我们的控制问题，即微分系数σp。这样的结果将基于凸序型参数。更准确地说，我们遵循Pagès[35]所述的策略，通过在离散时间环境中证明结果，这就是命题C.2，然后可以通过弱收敛参数将其扩展到连续时间。虽然证明策略与[35]中的相同，但我们的证明更为复杂，主要是因为与[35]中不同，我们的框架是富利农-马尔可夫和多维的。我们请读者参阅附录以了解详细信息。我们的主要结果是，对于退化波动率，奇异随机控制问题可以表示为约束BSDE解的一个界。定理5.3。

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nandehutu2022

2022-5-31 03:00:36

让假设2.3、3.3、3.4和5.1保持不变，用σp代替σ，并假设额外的atsup（t，x）∈[0，T]×C |ηpt（x）|-→p→+∞那么，我们有v（t，x）=跛行→+∞↑ vp（t，x）=supp>0vp（t，x）=supp>0Yt，x，pt=supp>0Yt，x，pt，其中Yt，x，pand Yt，x，定义为Yt，x和Yt，x，用σ销代替σ。证据由于σpsatis通过定理3.2和命题C.3证明了所有必要的假设，因此我们必须证明的唯一性质是第一个。但这是DES的经典估计和ηp的一致收敛的简单结果。备注5.4。我们刚刚得到的表示涉及约束BSDE的解的上确界。从形式上讲，这样一个物体在精神上接近于所谓的约束二阶BSDE，正如Fabre在她的博士论文中所介绍的那样【23】。实际上，p上的上确界可以看作是一系列概率测度的上确界，例如在这些测度下，正则过程与连续鞅具有相同的性质，其二次变化具有密度σp（σp）. 严格证明这种关系是一个非常有趣的问题，但这超出了本文的范围。5.2非马尔可夫动态的交易成本s效用最大化5.2.1 setupFix d=3。我们在此考虑一个金融市场，其中不确定性将由基础布朗运动的第三个组成部分驱动，即任何（t，x）∈ [0，T]×CXt，x，3s：=xt+Bt，3s，s∈ [t，t]。该市场包含两项交易资产。

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可人4

2022-5-31 03:00:40

一个是无风险的as集合，对应于一个银行账户，其值是给定的，对于任何（t，x）∈ [0，T]×C，bySt，xs=xt+Zstrt，xuXt、x、3u南纬徐都街∈ [t，t]，其中r是有界渐进可测映射，表示市场上的非马尔可夫利率。第二种资产是一种风险资产，其价值是给定的，对于任何（t，x）∈ [0，T]×C，bySt，xs=ZstSt，xumt，xuXt、x、3udu+ZstSt，xu∑t，xuXt、x、3udBt，3u，s∈ [t，t]，其中m和∑是有界的渐进可测映射，分别表示资产St，x的收益漂移和波动性。我们假设这两个映射在假设5.1（iii）的意义上也是Lipschitz–continuous。投资者可以进入市场，但他进行的涉及风险资产的每一笔交易的成本都与买卖的资产数量成比例，由固定常数λ>0给出（有关更多详细信息和参考，请参见[16，41]）。对于任何t∈ [0，T]，我们在timet之后通过进程K跟踪他的事务∈ 在某种意义上，Kand Krecord分别记录了从风险资产到非风险资产以及从非风险资产到风险资产的交易。由于命题2.4，我们立即将注意力限制在过程K上∈ Ut。

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nandehutu2022

2022-5-31 03:00:43

然后，f或任意ν∈ Ut，如果Xt，x，ν，1代表自时间t以来投资者投资于非风险资产的总金额，而Xx，ν，2代表投资于风险资产的总金额，我们立即Xt，x，ν，1s=Xt+Zstrt，xuXt，x，ν，3sXt、x、ν、1udu+Zstνu- （1+λ）νudu，Xt，x，ν，2s=Xt+ZstXt，x，ν，2umt，xuXt，x，ν，3udu+∑t，xuXt，x，ν，3udBt，3u+Zst公司νu- （1+λ）νu杜。在此表格下，我们的一般参数由F给出：=1.-（1+λ）0-（1+λ）1 00 0 0, ut（x）：=rt（x）xtmt（x）xt, σt（x）：=0 0 0 0 0∑t（x）xt0 0 1.投资者的目标是最大化其终端财富的效用，以清算价值表示（意味着在时间T持有的资产必须清算，这会产生最终交易成本），并由以下映射UU（x）=：U（x，l（xT，xT）），其中所谓的清算功能l 定义人l（x，y）：=x+y+1+λ-（1+λ）y-, （x，y）∈ R、图U被认为是一个（随机）效用函数，相对于第二个变量，它是递增的且严格凹的，以及局部Lipschitz–与多项式增长连续，因此满足假设2.3。因此，投资者的价值函数由v（t，x）=supν给出∈UtEPt公司Ux个tXt，x，ν，3，lXt，x，ν，1T，Xt，x，ν，2T. （5.1）由于σ显然不可逆，我们将通过在上述两个方程中添加一些噪声来扰动上述动力学。

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kedemingshi

2022-5-31 03:00:46

更准确地说，我们定义了任何p>0Xt，x，ν，p，1s=Xt+Zstrt，xuXt，x，ν，p，3sXt、x、ν、p、1udu-pBt，1s+Zstνu- （1+λ）νudu，Xt，x，ν，p，2s=Xt+ZstXt，x，ν，p，2umt，xuXt，x，ν，p，3udu+∑t，xuXt，x，ν，p，3udBt，3u+Zst公司νu- （1+λ）νu杜邦-pBt，2s，Xt，x，ν，p，3s=Xt，x，3s。仍然使用我们的符号，这对应于ηpt（x）=-p、机器翻译：=1 00 1 00 0.然后注意（σpt）-1（x）=-p 0 00-p pσSt（x）xt0 0 1, Mtσt（x）=0 0 00 0 00 0 0, 和（σpt）-1（x）f=-pf，从而满足假设5.1（iv’），（v）。5.2.2结果我们将实际使用定理5.3中证明的结果，有条件地使用Xt，x，ν，p，3（也就是说，我们考虑σ（Xt，x，ν，p，3s，t≤ s≤ T）而不是简单的期望）。在这种情况下，我们所有的论点都能通过，这很容易被证实。此外，Xt，x，ν，p，1和Xt，x，ν，p，2动力学中的漂移和波动性（有条件地）成线性。然后，记住上面的备注5.2，我们知道（有条件地）假设5.1（vi）也可以满足。请注意，在这种情况下，可以读取约束-pfZt、x、ps∈ Ks，dt×dP- a、 e.，根据K的定义，由于p>0，实际上等于-fZt、x、ps∈ 堪萨斯州。我们的这一部分的主要结果是Orem 5.5。有限期限内效用最大化问题的价值函数，比例交易成本（5.1）满足V（t，x）=supp>0Yt，x，pt，其中（Yt，x，p，Zt，x，p）是Z-约束BSDEYt，x，p·≥ Ux个tXt，x，p，3，lXt，x，p，1T，Xt，x，p，2T-ZT·ZT、x、ps·dBts、Pt- a、 s。，-f Zt、x、ps∈ Ks，ds dPt公司- a、 e.备注5.6。请注意，值函数的BSDE表示形式仅取决于终端条件中的参数。标准估计意味着该终端条件将inLp（Pt）收敛到Ux个tXt、x、3、，lXt，x，1T，Xt，x，2T.

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nandehutu2022

2022-5-31 03:00:49

使用约束BSDE的稳定性结果，与下一节中证明的结果类似，我们合理地预期Yt，x，Pt将收敛到Yt，x，其中（Yt，x，Zt，x）是Z的最小解-约束BSDEYt，x·≥ Ux个tXt、x、3、，lXt，x，1T，Xt，x，2T-ZT·ZT、xs·dBts、Pt- a、 s。，-fZt、xs∈ Ks，ds dPt公司-a、然而，严格证明这一点超出了本文的范围。据我们所知，这样的结果在文献中是全新的，甚至在马尔可夫案例中也是如此。此外，正如最近的论文[29]所指出的，实际上从未使用随机控制和PDE工具研究过非马尔可夫情况，文献中唯一的方法是凸对偶。因此，我们相信，我们的方法迈出了解决这一难题的第一步。尽管如此，让我们指出我们方法中的一个差距。如果我们想完全覆盖交易成本问题，我们应该在原来的随机控制问题中添加状态约束。事实上，这些都是交易成本问题所固有的，以避免破产问题（尽管在时间范围有限的情况下，这实际上是一个较小的问题，如我们的情况）。我们选择不这样做，以免使我们的论点更加复杂，但我们相信，它们也可以在这种情况下使用，尽管有可能进行重要的修改。

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mingdashike22

2022-5-31 03:00:52

特别是，当存在状态约束时，我们所使用的完全动态规划原理在文献中似乎没有在这样一个一般框架中得到证明（参见[9，10]），并且还不完全清楚在什么意义上VSING和v之间的相等性将成立。6应用：单随机控制的DPP和正则性6.1动态规划原理在我们的所有研究中，我们从未实际证明动态规划原理实际上适用于定义v（或vsing）的奇异随机控制问题。然而，这是我们主要结果的一个简单结果。定理6.1。对于任何（t，x）∈ [0，T]×C，对于任何τ∈ t和任意θ∈ Tt，x，我们有v（t，x）=supν∈UtEPt公司v（τ，xtXt，x，ν）= supν∈UtEPt，xνv（θ，xtBt，xt）.证据这是惩罚BSDE（B.5）所满足的动态规划原则以及惩罚BSDE收敛到约束BSDE最小解的直接结果。6.2正则性结果在本节中，我们将展示我们的表示如何帮助获得奇异随机控制问题的值函数的先验正则性结果。据我们所知，这种普遍性水平的结果是文献中第一个可用的结果。证明的主要思想是，一旦知道奇异控制问题的值函数与约束的BSDE相关，就可以利用这样的事实，即这种BSDE实际上与另一个不同的奇异随机控制问题相联系，这实际上更容易研究。这种表述并不新鲜，而且已经是Cvitani'c、Karatzas和Soner（14）争论的关键所在。最近在文献[8]中也使用了它来获得约束BSDE的第一个正则性结果。

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nandehutu2022

2022-5-31 03:00:57

为了简单起见，并且由于这不是本文的核心，我们将集中讨论为该应用程序设置的马尔可夫设置，并将更一般的情况留给未来的研究。让我们定义映射δ：[0，T]×Rd-→ R+使得对于任何t∈ [0，T]，δT（·）是集合Kt的所谓支持函数，也就是说δT（u）：=sup{k·u，k∈ Kt}。请注意，由于RDT中的零向量对于任何t都属于KT∈ [0，T]，很明显δ是非负的。本节要求以下附加假设。假设6.2。（i）映射U、u和σ是马尔可夫的，也就是说，对于任何x，都会稍微滥用符号U（x）=U（xT），ut（x）=ut（xT），σt（x）=σt（xT∈ C、（ii）地图t 7-→ ftt不依赖于t，因此δ也不依赖于t。（iii）如果有人定义U bybU（x）的面部提升：=supu∈Rd{U（x+fTu）- δ（u）}，x∈ Rd，那么我们有一些常数C>0和任意（x，x′）∈ Rd×RdbU（x）-bU（x′）≤ Cx个- x′.我们想向读者指出，最近在赔偿方面的工作实际上将把[8]的结果扩展到非马尔可夫案例。本节的主要结果是第6.3节。假设2.1、2.3、3.3、3.4和6.2成立。然后，有一个常数C>0，对于y（t，t′，x，x′）∈ [0，T]×[T，T]×C×Cv（t，x）- v（t，x′）≤ Cxt公司- x′t,v（t，x）- EPt【v（t′，x）】≤ C1+kxtk（t′）- t） 1/2。本节剩余部分专门用于证明这一结果。

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