时间不一致随机控制的强平衡和弱平衡

nandehutu2022

1805

收藏 2022-06-10

英文标题：
《Strong and Weak Equilibria for Time-Inconsistent Stochastic Control in
Continuous Time》
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作者：
Yu-Jui Huang and Zhou Zhou
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
A new definition of continuous-time equilibrium controls is introduced. As opposed to the standard definition, which involves a derivative-type operation, the new definition parallels how a discrete-time equilibrium is defined, and allows for unambiguous economic interpretation. The terms \"strong equilibria\" and \"weak equilibria\" are coined for controls under the new and the standard definitions, respectively. When the state process is a time-homogeneous continuous-time Markov chain, a careful asymptotic analysis gives complete characterizations of weak and strong equilibria. Thanks to Kakutani-Fan\'s fixed-point theorem, general existence of weak and strong equilibria is also established, under additional compactness assumption. Our theoretic results are applied to a two-state model under non-exponential discounting. In particular, we demonstrate explicitly that there can be incentive to deviate from a weak equilibrium, which justifies the need for strong equilibria. Our analysis also provides new results for the existence and characterization of discrete-time equilibria under infinite horizon.
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中文摘要：
引入了连续时间平衡控制的新定义。与涉及衍生类型操作的标准定义不同，新定义与离散时间均衡的定义类似，并允许明确的经济解释。术语“强平衡”和“弱平衡”分别是在新定义和标准定义下为控制创造的。当状态过程是时间齐次连续时间马尔可夫链时，仔细的渐近分析给出了弱平衡点和强平衡点的完整刻画。借助Kakutani-Fan的不动点定理，在附加紧性假设下，还建立了弱平衡点和强平衡点的一般存在性。我们的理论结果被应用于非指数贴现下的两态模型。特别是，我们明确证明，可能存在偏离弱均衡的动机，这证明需要强均衡。我们的分析也为无限视界下离散时间平衡的存在性和特征提供了新的结果。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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Strong_and_Weak_Equilibria_for_Time-Inconsistent_Stochastic_Control_in_Continuous_Time.pdf
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可人4

2022-6-10 19:42:34

连续时间非一致随机控制的强弱平衡*Zhou Zhou+2019年8月13日摘要引入了连续时间平衡控制的新定义。与涉及衍生实体运营的标准定义不同，新定义与离散时间均衡的定义相似，并允许明确的经济解释。术语“强平衡”和“弱平衡”分别是在新定义和标准定义下为控制创造的。当s状态过程是时间齐次连续时间马尔可夫链时，仔细的渐近分析给出了弱平衡点和强平衡点的完整刻画。由于Kakutani Fan的不动点定理，在额外的紧性假设下，也建立了we-ak和强平衡的一般存在性。我们的理论结果应用于非指数贴现下的两状态模型。特别是，我们明确证明，偏离弱均衡是有动机的，而弱均衡恰恰需要强均衡。我们的分析还为有限horizo n.MSC（2010）：60J27，91A13，93E20下离散时间平衡的存在性和特征提供了新的结果。关键词：时间不一致性，随机控制，强均衡，弱均衡，非指数贴现。在时间不一致的情况下，从未来自我的角度来看，今天得出的最优规则可能不是最优的。与标准的时间一致性模型相比，不存在对整个规划期有利的“动态最优策略”。Strotz【16】中介绍了对时间不一致性的一种明智反应，即将未来自我的行为作为一种约束，找出应对这种约束的最佳当前行动。

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kedemingshi

2022-6-10 19:42:38

当每个未来的自我也以这种方式进行推理时，由此产生的策略就是一个（子博弈完美）均衡，未来的自我没有动机偏离这个均衡。这种均衡方法虽然被广泛接受，但对于随机控制的不连续时间来说非常重要。前期的挑战是如何准确地确定连续时间平衡。在离散时间内，这根本不是一个挑战：让F（x，α）是一个目标函数，取决于当前状态x和选定的控制α。平衡α*可定义为asF（x，α*) ≥ F（x，αα*), x和α，（1.1）*科罗拉多大学应用数学系，美国科罗拉多州博尔德80309-0526，电子邮箱：yujui。huang@colorado.edu.部分由美国国家科学基金会（DMS-1715439）和科罗拉多大学（11003573）资助。+悉尼大学数学与统计学院，新南威尔士州，2006年，澳大利亚，电子邮件：zhou。zhou@sydney.edu.au.where α α*意味着我们只在时间0应用α，并切换到α*从时间1开始。经济学的解释很清楚：考虑到所有未来的自我都将遵循α*, 当前使用任何其他控制α并不比坚持α好*, i、 e.当前自我没有偏离α的动机*, 符合均衡思想。与（1.1）的连续时间类比远不明显。由于当前自我只存在于“时间点0”，连续时间内没有质量，因此他决定使用不同的策略α通常对F没有影响。换句话说，虽然可以用limε替换（1.1）的右侧↓0F（x，αεα*), 在大多数情况下，该极限等于F（x，α*),让（1.1）这样的比较毫无意义。Ekeland和Lazrak【5】首次提供了连续时间平衡的精确定义：粗略地说，α*是平衡iflim infε↓0F（x，α*) - F（x，αεα*)ε≥ 0, x和α。

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2022-6-10 19:42:42

（1.2）该公式刺激了对连续时间内时间不一致控制问题的振动研究，主要出现在数学金融中；参见【7】、【6】、【12】、【17】、【2】和【1】等。虽然（1.2）在某种程度上已成为连续时间均衡的标准公式，但它可能无法在经济意义上得到充分证明。正如比约克、Kh ap ko和Murgoci[1，备注3.5]所指出的，（1.2）与平衡概念并不完全对应：当（1.2）等于时，α*可以是不是最大点的固定点。也就是说，对于某些x和α，F（x，α*) < F（x，αεα*)对于所有ε>0，但（1.2）中的限值仍然为零。然后，当当前自我处于状态x时，会有偏离的动机：在一个很小的间隔[0，ε]内，跟随α比坚持α更好*.鉴于此，α*不应视为平衡，但它包含在（1.2）中。简而言之，（1.2）的定义可能太弱，无法准确反映均衡理念。本文引入了连续时间平衡的一个新定义：α*是任意x和α的平衡mif，存在ε*= ε*（x，α）>0，使得f（x，α）*) ≥ F（x，αεα*) 对于所有0<ε<ε*. （1.3）这与（1.1）类似，并允许以下经济解释：如果（1.3）对于某些（x，α）是违反的，那么在状态x下的电流自性，在一个很小的区间内偏离α，比坚持α要好*. 当α*是一种平衡；详见备注2.2。请注意，（1.3）包含（1.2），但反之亦然。在本文中，我们将（1.3）“强平衡”（定义2.2）下的平衡称为平衡，而（1.2）“弱平衡”（定义2.1）下的平衡称为平衡。

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kedemingshi

2022-6-10 19:42:45

本文的主要目的是阐明强平衡和弱平衡之间的区别以及联系。具体而言，我们将受控状态过程X视为时间齐次连续时间马尔可夫链。通过为X选择合适的生成器Q，代理人打算在有限的期限内最大化其预期的累积运行收益。允许运行payoff函数与时间相关，使问题时间通常不一致。该框架特别适用于非指数贴现下的最优覆盖。通过（1.3）右侧的详细渐近分析，现在的形式为F（x，QεQ*), 我们建立了弱平衡和强平衡的完整刻画；见第3.1条和第3.2条。简言之，弱均衡相当于在其t阶项中的主导地位，而强均衡则需要一个更精细的涉及高阶项的结构。这反过来又为发现弱平衡和强平衡提供了一种便捷的机制；参见命题3.1、3.2、3.3，关于平均风险投资组合选择问题，He和Jiang【10】中出现了一个类似于我们的“强均衡”的概念。然而，弱平衡和强平衡之间的详细比较并不是他们关注的焦点。定理3.2。在伪指数贴现下的两态模型中，通过具体例子详细说明了这种机制。特别地，我们构造了一个显式的弱平衡Q*对于某些特定的（x，Q），F（x，Q*) < F（x，QεQ*) 对于所有ε>0足够小。也就是说，尽管Q*满意度（1.2），有动机偏离Q*当当前状态为x时，在一个很小的间隔[0，ε]；参见示例4.3和备注4.1。

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能者818

2022-6-10 19:42:48

这正是对强平衡新概念的需要。请注意，寻找平衡的机制虽然有用，但其目的是在个案基础上应用，而不是说平衡存在的先验条件。借助Kakutani-Fan的不动点定理，在Q的容许集上附加紧性假设下，可以建立弱平衡点和强平衡点的一般存在性结果；见定理3.3。如上所述，连续时间中时间不一致随机控制的文献仅关注弱均衡，其特征通常为（i）非线性微分方程系统的解，即所谓的扩展HJB系统（参见[7]和[1]），或（ii）离散时间平衡序列的极限点，当离散时间网格趋于零时（参见[17]和[1]）。我们的分析补充了上述（i）和（ii）。首先，请注意，上述（i）是部分表征：如果找到非线性系统的光滑解，则可以从中构建平衡。然而，解决这个系统通常很困难，也不清楚是否每个均衡都与这样一个系统相关。相比之下，在我们的情况下，X是一个连续时间受控马尔可夫链，比文献中常用的受控扩散更容易处理，我们获得了弱平衡的完整（即“当且仅当”）特征（定理3.1），以及一个易于检查的标准（命题3.1）。另一方面，我们在定理5.2中得到，在适当的连续性假设下，离散时间平衡点在连续时间收敛到弱平衡点。有趣的是，它被保证只收敛于弱平衡，而不是强平衡。

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可人4

2022-6-10 19:42:51

如例5.1所示，一系列离散的时间平衡唯一地收敛到一个不强的弱平衡。最后，我们的连续时间分析也为离散时间问题提供了新的思路。在Discretetime中，平衡被明确定义为（1.1），当时间范围有限时，可以通过Pollak中的直接向后顺序优化找到平衡【15】。在有限的视界下，这种落后的程序会崩溃；目前尚不清楚均衡是否普遍存在，也缺乏一种系统的平衡发现方法。定理3.1和命题3.1中的连续时间变元很有帮助：它们可以修改为离散时间，对于我们关注的这类时间不一致问题，给出了一个非常普遍的平衡点存在性结果，以及一个找到平衡点的条件；见定理5.1和命题5.1。本文的组织结构如下。第2节介绍了时间不一致问题的设置，定义了弱平衡和强平衡的两个不同概念。第3节收集了主要结果，包括弱平衡和强平衡的完整表征和普遍存在性。第四节将理论结果应用于一个具体的两态模型，在该模型中，我们明确证明了偏离弱均衡的动机。第5节推导了相应离散时间问题的几个新结果，并证明了离散时间平衡点收敛到弱平衡点。第6节总结全文。2设置和定义let X=（Xt）t≥0be是一个时间齐次连续时间马尔可夫链，取S中的值：={1，2，…，N}，对于某些N∈ N、发电机Q∈ RN×Nof X需控制。对于每个i∈ S、我们用Qi表示生成器Q的ithrow和letDi Ei：=q=（q，…，qN）∈ 注册护士：qj≥ 0，j 6=i，qi=-Xj6=iqj（2.1）是合格中介机构的容许集合。

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2022-6-10 19:42:56

控制空间为Q：=Q∈ RN×N:Qi∈ Di，我∈ S.考虑一个p ayo fff函数f，使得对于任何t≥ 0，i∈ S、和q∈ Di，值f（t，i，q）∈ 假设Xt=i，Qi=q，则表示时间t的支付率。我们假设f（·，i，q）在[0]上连续，∞), 对于每个i∈ S和q∈ Di。（2.2）此外，我们还施加了可积性条件z∞supi公司∈S、 q∈Di，kqk≤c | f（t，i，q）|！dt<∞ c>0，（2.3），其中k·k表示RN中的欧几里德范数。注意，（2.2）特别暗示t 7→supi公司∈S、 q∈Di | f（t，i，q）|是下半连续的，因此Lebesgue是可测量的，这使得（2.3）中的积分具有敏感性。对于任何i∈ S和Q∈ Q、（2.3）保证预期付款F（i，Q）：=Ei，QZ∞f（t，Xt，QXt）dt< ∞ （2.4）定义明确，其中Ei，Q表示以X=i和X等于Q的生成器为条件的期望。在本文中，只要对Q没有混淆，我们就会为Ei，Q编写Ei。一般来说，代理人的目标是通过选择Q来最大化F（i，Q）∈ Q可能会遇到时间不一致的问题。具体而言，最优控制Q*∈ 问题的答案∈QEiZ∞f（t，Xt，QXt）dt（2.5）可能取决于初始状态i，我们将其写为Q*（i）。稍后，t>0，Xt=j 6=i，Q*（i）对于p问题（2.5），可能不再是最优的，现在i被j代替，因此agentis temp会偏离Q*（j），在他看来，时间t是最优的。一个典型的例子是非指数折扣下的优化。在这种情况下，f取f（t，i，q）=δ（t）g（i，q），（2.6），其中δ：[0，∞) → [0，1]是一个贴现函数，假设它随δ（0）=1呈三次递减，g是一个一般的可测函数。众所周知，问题（2.5）对于特定情况δ（t）：=e是时间一致的-ρt对于某些ρ>0，但时间通常不一致。备注2.1。

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nandehutu2022

2022-6-10 19:42:59

f（t，i，q）中的t变量并不代表“实际日历时间”，而是“时差”，即当前时间与未来支付时间之间的差异。这在折扣设置（2.6）中得到了很好的证明。如果f（t，i，q）中的t是实时日历时间，（2.4）将是时间不均匀的（即f（i，q）应该是f（t，i，q））。这将使问题（2.5）具有时间一致性，因此对我们的研究不感兴趣。正如斯特罗茨（Strotz）[16]所述，当一个代理人足够老练，意识到他的“未来自我”将凌驾于他当前的计划之上（由于缺乏承诺），一个明智的反应是将他未来自我的行为作为一种解释，并选择最好的当下行动来应对。假设所有未来的自我都以同样的方式进行推理，代理会寻找一个（子博弈完美的）均衡策略，未来的自我没有动机偏离这个策略。虽然这种均衡策略在离散时间内有一个简单的定义（见下文定义5.1），但找到精确的连续时间公式一直是一个长期的挑战。Ekeland和Lazrak【5】首次采用导数型操作，严格定义了连续时间平衡。正如导言中提到的，这激发了对连续时间中时间不一致随机控制的研究。为了建立[5]意义上的平衡，我们引入，对于任何Q，Q′∈ Q和ε>0，时间ε时Q和Q′的组合，用Q表示εQ′。使用这种串联生成器意味着X的演化首先由区间[0，ε]上的Q控制，然后由Q′on（ε，∞).定义2.1。Q*∈ Q称为弱平衡，iflim infε↓0F（i，Q*) - F（i，QεQ*)ε≥ 0, Q∈ Q和i∈ S、（2.7）定义2.1涉及一阶不等式。

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能者818

2022-6-10 19:43:02

这是在[5]中引入的，作为连续时间平衡的定义，随后是所有后续研究。尽管该公式很受欢迎，但在经济上可能并不完全合理。直觉上，我们希望从（2.7）中得到F（i，Q*) ≥ F（i，QεQ*) 对于所有（i，Q），ε>0足够小。然而，（2.7）并不能保证这一点。正如比约克、哈普科和穆尔戈奇[1，Remark3.5]所指出的那样，标准公式，如（2.7），并不完全符合平衡概念：当（2.7）等于时，不清楚Q*是最大点或平稳点。换句话说，对于某些Q∈ Q和i∈ S、 F（i，Q*) < F（i，QεQ*) 对于所有ε>0，但（2.7）中的限值仍然为零。然后，处于状态i的代理确实有动机改变：在一个很小的间隔[0，ε]内，遵循Q比坚持Q要好*. 因此，Q*不应视为平衡，但它包含在（2.7）中。这解释了定义2.1中的术语“弱平衡”。与此相反，温特提出了强平衡的新概念。定义2.2。Q*∈ Q称为强平衡，如果对于任何i∈ S和Q∈ 存在ε>0，使得f（i，Q*) ≥ F（i，Qε′Q*) 0 < ε′≤ ε. （2.8）备注2.2。定义2.2承认以下经济解释。如果（i，Q）违反（2.8），则存在{εn}n∈确保εn↓ 0和F（i，Q*) < F（i，QεnQ*) 适用于所有n∈ N、因此，对于处于状态i的代理，偏离Q，在一个很小的间隔[0，εN]，N∈ N、总比坚持Q好*. 当Q*是一个很强的平衡。研究弱平衡的标准概念与我们的强平衡的新概念之间的关系很有意义。可以立即进行一些观察。备注2.3。根据定义，强平衡也是弱平衡。

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nandehutu2022

2022-6-10 19:43:05

另一方面，如果弱平衡满足（2.7）所有Q的严格不等式∈ Q和i∈ S、则（2.8）必须适用于任何i∈ 砂Q∈ Q、表明弱平衡实际上是强平衡。目前尚不清楚的、具有挑战性的情况是*一个弱平衡和（2.7）对于某些Q是相等的∈ Q和i∈ S、本文的目的是阐明斯特龙平衡和弱平衡之间的区别以及联系。这将在两个不同的层面上完成。从理论上，将导出弱平衡和强平衡的完整刻画。基于此，我们将在具体例子中演示弱平衡与强平衡的区别。特别是，我们将明确表明，可能存在偏离弱平衡的动机，如备注2.2所述，这正好说明了强平衡的新概念。3主要结果3.1弱平衡点和强平衡点的特征在本节中，我们将对F（i，Q）进行详细的渐近分析*) -F（i，QεQ*) asε↓ 这将导致我们在理论3.1和3.2中对弱平衡和强平衡进行不同但又相互关联的描述。回忆（2.4）中的F（i，Q）。对于任何i∈ S、 Q∈ Q、 ε>0时，我们定义ε（i，Q）：=EiZ∞f（t+ε，Xt，QXt）dt. （3.1）然后，我们将写出ef（Q）：=（F（1，Q），F（N，Q））和Fε（Q）：=（Fε（1，Q），Fε（N，Q））。还记得Qi表示Q的ithrow。引理3.1。假设（2.2）和（2.3）。修复i∈ S和Q，Q*∈ Q、然后，作为ε↓ 0，F（i，QεQ*) = Fε（i，Q*) + [f（0，i，Qi）+fε（Q*) · Qi]ε+o（ε）。（3.2）进一步假设（2.2）的强度为：| f（t+ε，i，q）- f（t，i，q）|≤ h（t，ε；i，q）t型≥ 0，ε>0，i∈ S、和q∈ Di，（3.3），其中h是一个非负函数，使得h（t，ε；i，q）在ε中增加，limε↓0h（t，ε；i，q）=0；（3.4）Z∞h（t，ε；i，q）dt<∞, 对于足够小的ε>0。

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何人来此

2022-6-10 19:43:09

（3.5）然后，作为ε↓ 0，F（i，Q*) - F（i，QεQ*) =ΓQ*（Q）*（一）- ΓQ*（Qi）ε+o（ε），（3.6），其中ΓQ*（Qi）：=f（0，i，Qi）+Qi·f（Q）*). （3.7）引理3.1的证明归入附录A.1。备注3.1。在（2.6）中的非指数贴现下，引理3.1中的假设变成了贴现函数δ的温和条件：（2.2）相当于δ的连续性；（2.3）降低至∞δ（t）dt<∞; （3.8）（3.3）等效于δ和z的连续性∞（δ（t）- δ（t+ε））dt<∞, 对于足够小的ε>0。（3.9）注意，（3.8）表示（3.9），反之亦然。事实上，如果（3.8）成立，（3.9）中的积分等于εδ（t）dt，对于所有ε>0的情况都是有限的。另一方面，可以检查双曲线计数函数δ（t）：=1+βt，β>0，满足（3.9），但不满足（3.8）。因此，“（2.3）和（3.3）”降低为“δ是连续的且满足（3.8）”。这已经涵盖了许多常见的非指数折扣函数，如β>0和k>1的广义双曲δ（t）：=（1+βt）kw，以及伪指数δ（t）：=λe-ρt+（1- λ） e类-ρtwithλ∈ （0，1）和ρ，ρ>0。假设X=i，所有超过时间ε>0的未来自我都将跟随Q*∈ Q、鉴于（3.6），当前self希望遵循Q*∈ Q在[0，ε]上，而不是偏离任何其他Q∈ Q、仅当一阶项始终为非负时，即对于任何Q∈ Q、 ΓQ*（Q）*（一）≥ ΓQ*（Qi）。（3.10）该关系完全表征了弱平衡。定理3.1。假设（2.3）和（3.3）。然后，Q*∈ Q是弱平衡态当且仅当ΓQ*（Q）*（一）≥ ΓQ*（Qi）适用于所有（i，Q）∈ S×Q证明。对于任何i∈ S和Q∈ Q、引理3.1（特别是（3.6）），作为ε↓ 0，F（i，Q*) - F（i，QεQ*)ε=ΓQ*（Q）*（一）- ΓQ*（Qi）+ o（1）。（3.11）这表明（2.7）是令人满意的（即Q*是一个弱等式）如果且在ly上如果（3.10）对所有（i，Q）都成立∈ 定理3.1给出了一个简便的弱平衡判据。

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2022-6-10 19:43:13

具体而言，对于任何∈ S和可微分函数v:Di→ R、让v（α）是在α处计算的v的梯度∈ Di，和nv（α）是v（α）。LetT：=λ=（λ，…，λN）∈ RN：Xi=1，。。。，Nλi=0. （3.12）提案3.1。设f（0，i，·）为所有i∈ S、如果Q*∈ Q是弱平衡，那么对于anyi∈ S(f（0，i，Q*i） +F（Q*)) · λ ≤ 0, λ ∈ T s.T.Q*i+ελ∈ 对于足够小的ε>0，Di。（3.13）特别是，如果Q*iis是Di的相对内点，然后（3.13）减少到nf（0，i，Q*i） +F（n，Q*) = mf（0，i，Q*i） +F（m，Q*), n、 m=1，N、此外，如果f（0，i，·）对于所有i是额外凹的∈ S、（3.13）的反过来也是正确的；i s，Q*是弱平衡的当且仅当（3.13）适用于所有i∈ S、证明。让Q*是一个弱平衡。修复i∈ S、对于任何ε>0和λ∈ T使得Q*i+ελ∈ 根据定理3.1和回忆（3.7），我们得到f（0，i，Q*i） +Q*i·F（Q*) ≥ f（0，i，Q*i+ελ）+（Q*i+ελ）·F（Q*).下面是f（0，i，Q*i+ελ）- f（0，i，Q*i） ε+F（Q*) · λ ≤ 0。则（3.13）如下ε↓ 相反，假设Q*∈ 所有i的Q满意度（3.13）∈ S、如果f（0，i，·）与所有i有关∈ S、然后映射ξ7→ f（0，i，ξ）+f（Q*) ·ξ对于所有i是凹的∈ S、这与（3.13）一起表明ξ=Q*iis最大值ξ7→ f（0，i，ξ）+f（Q*) ·ξ对于所有i∈ S、也就是说，ΓQ*（Q）*（一）≥ ΓQ*（Qi）适用于所有（i，Q）∈ S×Q。根据定理3.1，Q*是一个弱平衡。命题3.1的有用性将在第4节中表现出来，我们在具体例子中寻找平衡。为了描述强平衡，我们需要将（3.6）升级到二阶或更高阶的扩展。为此，每当f（·，i，q）∈ C、我们定义，对于任何（i，Q）∈ S×Q，函数g（i，Q）：=EiZ∞ft（t，Xt，QXt）dt.此外，我们将写出eg（Q）：=（G（1，Q），G（2，Q）。。。，G（N，Q）），ΓQ*（Q） :=ΓQ*（Qi），ΓQ*（Q）。。。，ΓQ*（QN）.引理3.2。

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2022-6-10 19:43:16

设f满足（2.3），f（·，i，q）为Con[0，∞) 就我而言∈ S和q∈ Di。此外，假设ftalso满足（2.3）和| f（t+ε，i，q）- （f（t，i，q）+εft（t，i，q））|≤ r（t，ε；i，q）t≥ 0，ε>0，i∈ S、和q∈ Di，（3.14），其中r是ε连续的函数，满足（3.5），其中r（t，ε；i，q）ε在ε中增加，（t，i，q）。（3.15）那么∈ S和Q，Q*∈ Q、 asε↓ 0，F（i，Q*) - F（i，QεQ*) =ΓQ*（Q）*（一）- ΓQ*（Qi）ε+∧Q*（i，Q*) - ∧Q*（i，Q）ε+o（ε），（3.16），其中ΓQ*（Qi）定义见（3.7）和∧Q*（i，Q）：=英尺（0，i，Qi）+Qi·2G（Q*) + ΓQ*（Q）. （3.17）引理3.2的证明被归入附录A.2。备注3.2。根据泰勒定理，f（·，i，q）∈ 对于每一个（t，i，q），creadiesr（t，ε；i，q）=o（ε）。（3.18）因此，显然存在一个序列{εk}k∈n带εk↓ 0，取决于（t，i，q），例如r（t，εk；i，q）/εkd减小为0。鉴于此，（3.15）略强于“f（·，i，q）∈ Cfor all（i，q）“：它要求r（t，εk；i，q）/εkto减少任意{εk}k∈n带εk↓ 0、备注3.3。在如（2.6）所述的非指数贴现情况下，mma 3.2中施加的所有条件都会降低到贴现函数δ上的温和条件：o备注3.1，“f满意度（2.3）”降低到（3.8）。o“f（·，i，q）∈ Cw与ftsatizing（2.3）”之和为δ∈ 坎兹∞δ′（t）dt<∞; （3.19）o“r（t，ε；i，q）满意度（3.5）”降低toR∞|δ（t+ε）- （δ（t）+εδ′（t））| dt<∞. 注意，在（3.8）和（3.19）中，这始终是正确的；回顾备注3.1，（3.8）意味着（3.9）。o“r（t，ε；i，q）ε在ε中增加，对于所有（t，i，q）”归结为δ（t+ε）- δ（t）ε-δ′（t）ε增加， t型≥ （3.20）对于（3.20）来说，一个有用的有效条件是δ是凸的。因此，引理3.2中施加的条件减少到（3.8）、（3.19）和（3.20）。

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大多数88

2022-6-10 19:43:19

这已经涵盖了许多常见的非指数折扣函数，包括注释3.1中提到的广义双曲和伪指数。引理3.2中的二阶展开为强平衡提供了一个简单有效的条件。证明强平衡的存在（下面的定理3.3）以及在第4节的示例中明确发现强平衡将是有用的。有趣的是，条件本身仅与一阶项相关，而其推导涉及二阶项。提案3.2。假设f满足引理3.2中规定的条件。对于任何Q*∈ Q、 ifΓQ*（Q）*i） >ΓQ*（Qi）对于所有i∈ S和Q∈ Q，Qi6=Q*i、（3.21）然后Q*是一个很强的平衡。命题3.2的证明归入附录A.3。一般来说，弱平衡Q*∈ 对于某些i，Q可以满足（3.10）的等式∈ S和Q∈ Q，Qi6=Q*i、在这种情况下，命题3.2是不确定的。进一步检查Q*∈ 在g方程上，需要仔细分析（3.16）中的二阶项。提案3.3。假设f满足引理3.2中规定的条件。让Q*∈ Q是一种弱平衡。考虑者：={（i，Q）∈ S×Q \\{Q*} : ΓQ*（Q）*i） =ΓQ*（Qi）}。（3.22）如果∧Q*（i，Q*) > ∧Q*（i，Q）对于所有（i，Q）∈ R、然后Q*是一个很强的平衡。If∧Q*（i，Q*) <∧Q*（i，Q）对于某些（i，Q）∈ R、然后Q*不是一个强平衡。证据给定（i，Q）∈ Rc，定理3.1暗示ΓQ*（Q）*i） >ΓQ*（Qi）。那么，（3.6）很容易显示f（i，Q*) - F（i，QεQ*) > 0，因为ε>0足够小。给定（i，Q）∈ R、引理3.2 impliesF（i，Q*) - F（i，QεQ*)ε=∧Q*（i，Q*) - ∧Q*（i，Q）+ o（1）。（3.23）如果∧Q*（i，Q*) > ∧Q*（i，Q）对于所有（i，Q）∈ R、（3.23）表明F（i，Q*) -F（i，QεQ*) > 0表示ε>0足够小，适用于所有（i，Q）∈ R、因此，Q*是一个很强的平衡。

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何人来此

2022-6-10 19:43:22

If∧Q*（i，Q*) < ∧Q*（i，Q）对于某些（i，Q）∈ R、（3.23）表示F（i，Q*) - F（i，QεQ*) < 0表示ε>0足够小，表示q*不是一个强平衡。根据命题3.3，存在∧Q的非决定性情况*（i，Q*) ≥ ∧Q*（i，Q）对于所有（i，Q）∈ R和∧Q*（i，Q*) = ∧Q*（i，Q）对于某些（i，Q）∈ R、为了解决这个问题，需要进一步升级提案3.3，并进行更高阶的扩展。重复这条推理路线可以得出以下强平衡的特征。定理3.2。假设存在函数Ln:S×Q×Q→ R、 n个∈ N、例如ε↓ 0，F（i，Q*) - F（i，QεQ*) =∞Xn=1Ln（i，Q，Q*)εn，我∈ S和Q，Q*∈ Q、（3.24）然后，Q*∈ Q是强平衡的充要条件是（i，Q）∈ S×Q，以下情况之一：（i） n*= n*（i，Q）∈ N表示Ln（i，Q，Q*) = 0表示所有n<n*和Ln*（i，Q，Q*) > 0;（ii）Ln（i，Q，Q*) = 0表示所有n∈ N、证明。让Q*∈ Q是一个强平衡。通过矛盾，假设存在（i，Q）∈ S×Qsuch，即（i）和（ii）均不成立。那么，一定存在^n∈ N使得Ln（i，Q，Q*) = 0表示所有n<^n和L^n（i，Q，Q*) < 因此，（3.24）yieldsF（i，Q*) - F（i，QεQ*)ε^n=L^n（i，Q，Q*) + o（1）。（3.25）带L^n（i，Q，Q*) < 0，F（i，Q*) < F（i，QεQ*) 对于足够小的ε>0。这与Q相矛盾*beinga str在g平衡上。另一方面，假设（i）或（ii）对任何（i，Q）成立∈ S×Q。如果（i）保持不变，（3.24）收益率（3.25），用n代替n*. 带Ln*（i，Q，Q*) > 0，F（i，Q*) > F（i，QεQ*)对于足够小的ε>0。如果（ii）成立，（3.24）表示F（i，Q*) = F（i，QεQ*) 对于足够小的ε>0。这表明Q*是一个str on g equalibrium。命题3.1和定理3.2共同提供了一种寻找强平衡的机制。首先，我们使用命题3.1来发现弱平衡。

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kedemingshi

2022-6-10 19:43:26

接下来是定理3.2，当没有人想确定弱平衡Q*∈ Q实际上很强。原则上，可以导出F（i，Q）的高阶展开式*) - F（i，QεQ*) 检查定理3.2中的（i）或（ii）是否成立。如引理3.2（即使是二阶展开式）的证明所示，这种推导在实践中可能非常技术和复杂。由于本文的重点是引入和激发强平衡的新概念，我们将不追求扩展F（i，Q*) - F（i，QεQ*) 再进一步。正如我们将在第4节中看到的，引理3.2中的二阶展开已经可以明确地证明平衡的强弱程度，以及为什么需要强概念。3.2紧性下平衡点的一般存在性虽然可以使用命题3.1和定理3.2来搜索弱平衡点和强平衡点，如下面定理3.2所讨论的，这种机制并不先验地断言平衡点是否存在。因此，建立平衡点的一般存在性结果很有意义。这可以通过对容许集的额外紧性假设来实现。定理3.3。假设Diin（2.1）是所有i的凸紧集∈ S、和f满足度（2.3），其中f（0，i，·）是所有i的凹面∈ S、然后，存在一个弱平衡。如果我们另外假设f（0，i，·）对于所有i都是严格凹的∈ S和f满足表3.2中的条件，则存在强平衡。定理3.3的证明被归入附录A.4。备注3.4。没有Di的紧性，即使f（0，i，·）是凹的，一般也不存在弱平衡或强平衡。例如，考虑S={1，2}，f（t，1，·）≡ 0，f（t，2，·）≡ e-t、对于i=1，2，即，Di=ei。

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nandehutu2022

2022-6-10 19:43:29

对于生成器Q=（qij）i，j=1,2，没有任何约束。对于任何固定Q*∈ Q、通过f的定义，我们得到了f（1，Q*) < F（2，Q*) 和（3.10）readsq（F（2，Q*) - F（1，Q*)) ≤ q*（F（2，Q*) - F（1，Q*)) 对于i=1。只要q>q，就会违反这种不平等性*. 也就是说，（3.10）并不适用于所有i∈ S和Q∈ Q、由于定理3.1，它排除了任何弱（因而强）平衡的e xi恶臭。当每个DII是凸的且闭合的，但不需要有界时，我们考虑，对于每个C>0，有界集DCi：={q∈ Di：| | q | |≤ C} 和相应的生成器集qc：={Q∈ Q：齐∈ DCi，我∈ S} 。将定理3.3应用于qc得到以下结果。推论3.1。假设f满足度（2.3）和f（0，i，·）是凹的（严格凹的）f或所有∈ S、对于任何C>0，都存在Q*C∈ qc使（3.10）适用于所有（i，Q）∈ S×QC。此外，如果C>0，则k（Q*C） ik<C代表所有i∈ S、然后Q*Cis是一种弱（或强）平衡。4两状态模型在本节中，我们重点讨论非指数贴现下的可处理两状态模型。我们的目标是明确展示第3节中的理论结果如何用于发现弱平衡和强平衡，以及这两种类型的平衡如何相互区别。对于i=1，2，取S={1，2}和Di=ei。任意发电机Q∈ Q是f或MQ的=-a ab型-b, a、 b类≥ 0。（4.1）我们将用Q表示~ （a、b）。考虑伪指数贴现函数δ（t）=λe-ρt+（1- λ） e类-ρ′tt≥ 0，（4.2），其中λ∈ （0，1）和ρ，ρ′≥ 0是给定的常量。假设f（t，1(-a、 a））=δ（t）g（a）和f（t，2，（b，-b））=δ（t）g（b），对于某些给定的可测函数和g。给定Q~ （a，b），我们将F（i，Q）和G（i，Q）分别写为Fi（a，b）和Gi（a，b），对于i=1，2。

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大多数88

2022-6-10 19:43:33

观察X的跃迁概率，在Q下~ （a，b），由下式给出P（t）P（t）P（t）P（t）P（t）=α+βe-γtβ- βe-γtα- αe-γtβ+αe-γt,式中，α：=ba+b，β：=aa+b，γ：=a+b。因此，我们可以计算i=1，2，Fi（a，b）=λFρi（a，b）+（1- λ） Fρ′i（a，b），Gi（a，b）=-ρλFρi（a，b）- ρ′(1 - λ） Fρ′i（a，b），其中Fφ（a，b）：=αφ+βφ + γg（a）+βφ-βφ + γg（b），对于φ=ρ，ρ′Fφ（a，b）：=αφ-αφ + γg（a）+βφ+αφ + γg（b），对于φ=ρ，ρ′。因此，F（a，b）- F（a、b）=λρ+a+b+1- λρ′+a+b（g（a）- g（b）），（4.3）g（a，b）- G（a，b）=-ρλρ+a+b+ρ′（1- λ） ρ′+a+b（g（a）- g（b））。（4.4）对于任何Q~ （a、b）和d Q*~ （a）*, b*), ΓQ*（3.7）中定义的（Qi）采用形式Γ（a*,b*)（a）：=ΓQ*（Q） =克（a）- a（F（a*, b*) - F（a）*, b*)) , （4.5）Γ（a*,b*)（b）：=ΓQ*（Q） =g（b）+b（F（a*, b*) - F（a）*, b*)) . （4.6）此外，∧Q*（3.17）中定义的（i，Q）采用∧（a）的形式*,b*)（a，b）：=λQ*（1，Q）=-2a（G（a*, b*) - G（a）*, b*)) - a（g（a）- g（b））- (ρλ + ρ′(1 - λ））g（a）+（a+ab）（F（a*, b*) - F（a）*, b*)) , （4.7）∧（a*,b*)（a，b）：=λQ*（2，Q）=2b（G（a*, b*) - G（a）*, b*)) + b（g（a）- g（b））- (ρλ + ρ′(1 - λ））g（b）- （b+ab）（F（a*, b*) - F（a）*, b*)) . （4.8）下一个例子显示了命题3.1如何成为发现弱平衡的便捷工具。第3节中的其他结果可以用来检查弱平衡是否真的是强平衡。示例4.1。设λ=，ρ=1，ρ′=2，g（a）=-a、 g（b）=2- (1 - b）。根据提案3.1，Q~ （a，b）是弱平衡的充要条件是：（i）如果a，b＞0，我们有g′（a）+F（a，b）- F（a，b）=0，（4.9）g′（b）+F（a，b）- F（a，b）=0，（4.10）和（ii）如果a=0（分别为b=0），则“≤” 第（4.9）条（第（4.10）条）中的保留。由于（4.3），上述方程允许唯一解（a*, b*) = (,). 也就是Q*~ （，）是唯一的弱平衡。根据定理3.1，a*和b*是Γ（a）的最大值*,b*)（a）和Γ（a*,b*)（b），分别为；召回（4.5）和（4.6）。

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何人来此

2022-6-10 19:43:37

通过甘德g的严格凹度，a*和b*实际上是唯一的最大化者。这表明Q*~ （，）实际上是一个强平衡，这要归功于命题3.2。平衡点可以位于可容许集的边界上，如下一个示例所示。示例4.2。设λ=，ρ=1，ρ′=2，g（a）=-a、 g（b）=2- b、使用例4.1中的命题3.1as，我们得到了唯一的弱平衡Q*~ （a）*, 0），其中*> 0是唯一的解决方案-2a级+a+1+a+2（a+2）=0。根据gand g的严格凹性，示例4.1中的相同参数显示Q*~ （a）*, 0）实际上是一个强平衡。在以上两个例子中，弱平衡也很强，这要归功于gand g的严格凹性。一般来说，弱平衡可能不强，确定它是否是g上的str比应用命题3.2复杂得多。下一个例子证明了这一点，其中两个平衡共存：一个是弱平衡，而不是强平衡；另一个是stron g.示例4.3。设λ=，ρ=1，ρ′=2，g（a）=-a、 andg（b）=（+b，对于b<；2- (1 - b），对于b≥.注意，gis凹面和Con[0，∞), 但仅在（，∞).首先，我们声称（a*, b*) = 例4.1中获得的（，）仍然是弱平衡欠电流设置。实际上，通过（4.5）、（4.6）和（4.3），Γ（a*,b*)（a） =克（a）- 一λρ+a*+ b*+1.- λρ′+a*+ b*（g（a*) - g（b*)) = -a+a，Γ（a*,b*)（b） =g（b）+bλρ+a*+ b*+1.- λρ′+a*+ b*（g（a*) - g（b*)) = g（b）-b=（，如果b<；-b-+, 如果b≥.,这表明Γ（a*,b*)（a）在a=a时唯一最大化*, whilearg最大值≥0Γ（a*,b*)（b） =[0，7/12]。（4.11）根据定理m 3.1，这已经意味着Q*~ （a）*, b*) 是一个弱平衡。与示例4.1和4.2相反，Q*是命题3.2无法得出的强平衡，如b*=不是（4.11）中唯一的最大化器。我们将转而求助于Proposition 3.3。

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何人来此

2022-6-10 19:43:40

借助（4.3）和（4.4），我们从（4.8）推导出∧（a*,b*)（a）*, b） =b-2.ρλρ+a*+ b*+ρ′(1 - λ） ρ′+a*+ b*- （a）*+ （b）λρ+a*+ b*+1.- λρ′+a*+ b*（g（a*) - g（b*))+ b（g（a*) - g（b））- (ρλ + ρ′(1 - λ））g（b）=b+b类+-b-b类+g（b）=-b-, 对于b≤.这表明∧（a*,b*)（a）*, b*) < ∧（a*,b*)（a）*, b），则，b∈ [0，7/12）。（4.12）对于任何Q~ （a）*, b）带b∈ [0，7/12），（4.11）和（4.12）表示（2，Q）∈ R（回忆（3.22））和∧Q*（2，Q*) < ∧Q*（2，Q）。根据提案3.3，Q*~ （a）*, b*) 不是一种强烈的平衡。现在，当使用命题3.1来发现弱平衡时，如果我们取b=0，（4.9）和（4.10），则≤ 2a级=1+a+2+aa+. （4.13）这允许一种独特的解决方案∈ [0, ∞ ) （数值计算显示'a≈ 0.42364). 按（4.13），Γ（(R)a，0）（a）=-a+2'aa=-a（a- 2'a）和Γ（'a，0）（b）=+-2’ab、这表明a=(R)a（分别为b=0）是Γ（(R)a，0）（a）（分别为Γ（(R)a，0）（b））的唯一最大化子。恩斯，Q*~ （(R)a，0）是一个很强的平衡，这要归功于位置3.2。备注4.1。在上述示例中，对于任何Q~ （a）*, b）带b∈ [0，7/12），我们从（4.11），（4.12）和引理3.2中的二阶展开式f（2，Q*) < F（2，QεQ*), 对于所有足够小的ε>0。这表明，尽管Q*~ （a）*, b*) 是一种弱情商，有动机偏离Q*在状态2：偏离Q，在一个很小的区间内[0，ε]，产生比坚持Q更大的回报*. 这提醒我们注意备注2.2，并表明需要强平衡的概念。4.1机械管理应用机器是指将输入能量转换为有用输出能量或功的任何机械或电气设备。在良好状态下，机器工作正常，在实现最大效率和减少磨损之间存在权衡。

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能者818

2022-6-10 19:43:43

虽然人们打算充分利用输入能量，以最大限度地提高机器产生的效益，但更频繁地使用机器将更容易导致机器出现故障的不良状态。在坏的状态下，人们会花很多时间修理机器。这又是一个权衡：投入的力度越大，恢复良好状态的速度就越快；然而，与此同时，成本积累得越快。所有这些关于机械管理的考虑都可以很好地编码在我们的两态模型中。以示例4.1为例。设i=1为坏状态，i=2为好状态。对于anyQ~ （a，b），a≥ 0表示在修复机器上花费的精力有多大（状态1），b≥ 0表示机器的使用强度（状态2）。鉴于（4.1），较大的≥ 0（即消耗的能量越大），机器再次运行的速度（平均）越快（即状态从1切换到2）。支付函数g（a）=-a、然而，研究表明，修复成本随着服务强度的增加而快速增长。同样，根据（4.1），较小的b≥ 0（即机器使用强度越低），机器发生故障的可能性越小（即状态将从2切换到1）。然而，鉴于支付函数g（b）=2，让机器闲置（即b=0）可能不是最佳选择-(1 -b）。随着cr中输入能量的强度降低（即b≥ 0增加），瞬时支付F g（b）fir st增加至其最大水平g（1）=2（b=1），然后不确定地减少。因此，可以选择b≥ 0接近1，可能会增加累计支付。在工厂或公司中，如何管理机器，即。

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能者818

2022-6-10 19:43:46

如何Q~ （a，b）应具体规定，通常由一组专业人员决定，而不是由一个人决定。在此类群体决策中，通常使用伪指数贴现。其最基本的形式是（4.2），这是一个群体的贴现函数，该群体包括两个个人（或群体），他们分别以不同的比率ρ和ρ′指数贴现，λ∈ （0，1）由队列的大小或影响决定。换言之，示例4.1中的推导相当于为一台机器找到一个管理计划，即随着时间的推移，该机器的使用和维修难度会有多大。结果表明，只有Q*~ （，）就是这样一个时间一致的管理计划。5离散时间案例在本节中，我们研究与第2节相应的离散时间模型。目的是双重的。首先，当时间h原点为有限时，即使在离散时间内，对平衡的存在和特征知之甚少。第3节中的参数可以在这里应用，以阐明这一点。我们的第二个重点是随着时间网格尺寸的减小，离散时间平衡点向其连续时间对应点的收敛性。正如我们将看到的，当离散时间平衡点收敛时，它们总是收敛到一个弱平衡点，然而，它不需要是强的。设X=（Xt）t=0,1，。。。是一个时间齐次离散时间马尔可夫链，取S中的值：={1，2，…，N}对于某些N∈ N、取N：={0，1，2，…}。转移矩阵u=（uij）i，j=1，应控制Nof X。L et P是在S上定义的一组概率度量，即P：=α=（α，…，αN）∈ RN+：Xi=1，。。。，Nαi=1. （5.1）考虑一个连续函数κ：’N×S×P→ R、对于任何（t，i，α）∈N×S×P，κ（t，i，α）表示时间t的支付，假设Xt=i，ui=α，其中ui表示u的第i行。假设∞Xt=0sup（i，α）∈S×P |κ（t，i，α）|< ∞.

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nandehutu2022

2022-6-10 19:43:49

（5.2）让Ai P是当X处于状态i时允许的过渡概率集。定义：={u∈ RN×N:ui∈ 人工智能，我∈ S} 。对于任何i∈ S和u∈ A、（5.2）保证预期付款V（i，u）：=Ei，u∞Xt=0κ（t，Xt，uXt）< ∞ （5.3）定义明确，其中Ei，ude注意到以X=i为条件的期望，X的转移矩阵X为u。我们将为Ei，u编写Ei，如果对u没有混淆。对于任何u，u*∈ A、我们介绍了u和u的串联*在时间1，由uu*.使用这个串联矩阵意味着X的演化在时间0由u控制，然后由u控制*在所有后续时间点。给定初始状态i∈ S、预期值为nV（i，uu*) = κ（0，i，ui）+NXj=1Ej，u*\"∞Xt=0κ（t+1，Xt，u*Xt）#·uij！。（5.4）定义5.1。u*∈ A称为平衡，如果，对于任何（i，u）∈ S×A，V（i，u*) ≥ V（i，uu*).备注5.1。如备注2.2所述，强均衡（定义2.2）与上述离散时间定义相似，并允许明确的经济解释。相比之下，文献中对弱平衡（定义2.1）的精确解释并不那么清楚。通过遵循第3.1条中的论点，可以建立平衡的简便表征。为此，对于任何一个我∈ S和u∈ A、 d e finehi（u）：=Ei，u“∞Xt=0κ（t+1，Xt，uXt）#和H（u）：=（H（u），HN（u））。（5.5）对于任何可微分函数v:P 7→ R、让v（α）是在α处计算的v的梯度∈ P、以及nv（α）是v（α）。同时回忆一下（3.12）中的T。下面的命题5.1可以通过逐行证明命题3.1来证明。提案5.1。设κ（0，i，·）为所有i∈ S、如果u*∈ A是一个平衡点，那么对于任何i∈ S(κ（0，i，u*i） +H（u*)) · λ ≤ 0, λ ∈ T s.T.u*i+ελ∈ 对于ε>0足够小的情况。

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kedemingshi

2022-6-10 19:43:52

（5.6）特别是，如果u*iis是Ai的相对内点，然后nκ（0，i，u*i） +Hn（u*) = mκ（0，i，u*i） +Hm（u*), n、 m=1，N、此外，如果κ（0，i，·）是另外凹的f或任何i∈ S、反之亦然；也就是说，u*是一个平衡，当且仅当（5.6）成立。为了证明平衡点的存在性，用于证明定理3.3的参数也可以应用于此处。由于（5.1）中的P是定义紧的，因此我们不再需要orem 3.3中的紧性假设，从而得到以下非常普遍的存在性结果。定理5.1。假设Ai是凸的和闭合的，而κ（0，i，·）是凹的，对于所有i∈ S、然后，存在一个平衡。定理5.1的证明被归入附录B.1。备注5.2。如果κ（0，i，·）不是凹的，则通常不存在平衡。例如，取S={1，2}，并表示任何转移矩阵xu=1.- α αβ 1 - β, α, β ∈ 【0，1】（5.7）由u~ (α, β). 设δ（0）=1，δ（t）=k·λt-1对于t∈ N、其中k∈ （0，1）是一个常数。考虑κ（t，1，u）=δ（t）g（α）和κ（t，2，u）=δ（t）g（β），其中g（α）：=-√α和g（β）：=2-p1级- β、它们是严格凸的。给定u*~ (α*, β*) 和u~ （α，β），直接计算showsV（α）：=V（1，uu*) = g（α）+H（u*) · (1 - α） +H（u*) · α、 V（β）：=V（2，uu*) = g（β）+H（u*) · β+H（u*) · (1 - β).如果u*~ (α*, β*) 是平衡，V（α）和V（β）在α=α时达到最大值*和β=β*,分别地gand-gimpliesα的严格凸性*, β*∈ {0, 1}. 如果u*~ （0，0），然后是H（u*) =0和H（u*) =, 因此V（α）=-√α +α. 但是，V（0）=0<V（1）=意味着（0，0）不能是平衡。类似的计算表明，（0，1），（1，0），（1，1）都不是均衡m.5.1连续时间的收敛回顾第2节中的连续时间设置。

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nandehutu2022

2022-6-10 19:43:56

对于连续时间支付函数f，我们进一步假设存在T>0，与i和q无关，因此T 7→ |f（t，i，q）|是非递增的，对于t≥ T（5.8）取（δn）n∈带δn的Nin R↓ 0、每n∈ N、定义κN：(R)N×S×P→ R乘以κn（k，i，α）：=f（kδn，i，|αi，n）·δn，（5.9），其中|αi，n：=δn（α，…，αi-1，αi- 1，αi+1，αN），对于每个α=（α，…，αN）∈ P、对于任何转换矩阵u，定义生成器Qu，n=（Qu，nij）byqu，nij：=（δnuij，j 6=i，δn（uii- 1），j=i.（5.10）然后，我们引入了：={u转移矩阵：Qu，n∈ Q} 。（5.11）每n∈ N、考虑（5.3）给出的d iscr etized问题vn，其中κ和A被κnand An替换。假设存在一个平衡un∈ An，即Vn（i，un）≥ Vn（i，uun）所有i∈ S和u∈ 一按照（5.5）中的符号，这意味着∈ S和u∈ An，κn（0，i，uni）+Hn（un）·uni≥ κn（0，i，ui）+Hn（un）·ui，（5.12），其中Hn定义如（5.5）所示，用κn替换κ，即Hni（un）：=Ei，un“∞Xk=0κn（k+1，Xk，unXk）#，我∈ S、（5.13）在下面，我们将写下：=群，n∈ Q、为了简单起见。主要的收敛结果如下。定理5.2。假设（2.3），（5.8），并且f（·，i，·）对于所有i是连续的∈ S、如果存在SQ*∈ Q使得（直到一个子序列）Qn→ Q*, 然后Q*所有人的满意度（3.10）（i、Q）∈ S×Q，即Q*是一种弱平衡（定义2.1）。备注5.3。假设（2.4）中的连续时间问题F是一个闭凸集，F（0，i，·）对于所有i都是凹的∈ S、然后，根据（5.9）和（5.11），定理5.1意味着平衡∈ 离散化问题Vn的存在性，对于所有n∈ N、如果我们进一步假设Dii是有界的∈ S、然后（Qn）n∈Nis预压缩。然后，根据定理5.2，（Qn）n的任何极限点∈Nis为弱平衡（定义2.1）。为了建立定理5.2，我们需要以下技术引理。引理5.1。

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大多数88

2022-6-10 19:43:59

假设（2.3），（5.8），且f（·，i，·）是连续的f或所有i∈ S、如果存在SQ*∈ Q使得（直到一个子序列）Qn→ Q*, 那么对于任何我∈ S、 Hni（联合国）→ Fi（Q*) = Ei，Q*Z∞f（t，Xt，Q*Xt）dt作为n→ ∞.引理5.1的证明被归入附录B.2。定理证明m 5.2。对于任何i∈ S和u∈ An，（5.12）可以重写为f（0，i，Qni）·δn+Xj6=iHnj（un）·unij+Hni（un）（unii- 1)≥ f（0，i，Qu，ni）·δn+Xj6=iHnj（un）·uij+Hni（un）（uii- 1).将两个sid es除以δnyieldsf（0，i，Qni）+Xj6=iHnj（un）·qnij+Hni（un）·qnii≥ f（0，i，Qu，ni）+Xj6=iHnj（un）·Qu，nij+Hni（un）·Qu，nii，相当于f（0，i，Qni）+Hn（un）·Qni≥ f（0，i，Qi）+Hn（un）·Qi。由于（0，i，·）和引理5.1的连续性，发送n→ ∞ 给出（3.10）。通常，极限点Q*在定理5.2中，不必是强平衡。下一个例子证明了这一点：对于连续时间问题，离散化问题的平衡点唯一地收敛到弱平衡点，但这种弱平衡点并不强。示例5.1。考虑第4节中的两态模型。取λ=，ρ=1，ρ′=2，g（b）≡ 0和g（a）=-a+ka- 灵魂-一- 1，其中k>0是一个常数。注意g′（a）=-a（a- k）（a）- 2k）-g（0）=-1、首先，我们证明Q*~ （0，0）是一个不强的弱等式。By（4.3），F（0，0）-F（0，0）=g（0）=-. 那么，对于任何Q~ （a，b），（4.5）和（4.6）暗示ΓQ*（Q） =g（a）+a和ΓQ*（Q） =-b、这表明ΓQ*（Q）（分别为ΓQ*（Q））在a=0和a=2k时最大化（分别在b=0时）。因此，定理3.1很容易暗示Q*~ （0，0）是弱平衡。另一方面，考虑^Q~ （2k，0）。注意，ΓQ*（Q）*) = ΓQ*（^Q），直接计算显示∧Q*（1，Q*) =<k+=λQ*（1，^Q），感谢（4.4）和（4.7）。因此，根据命题3.3，Q*~ （0，0）不是强平衡。现在，考虑离散化问题。用u表示~ （α，β）如（5.7）所示的转移矩阵。

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何人来此

2022-6-10 19:44:02

对于每个h>0，考虑（5.3）中的离散化问题Vhas，其中κ被κh（n，1，u）=δ（nh）g（α/h）h和κh（n，2，u）=δ（nh）g（β/h）h替换≡ 0，δ（·）如（4.2）所示。我们声称u*~ （0，0）是Vh的平衡，h>0足够小。修复u~ (α, β) 6= (0, 0). 召回（5.3）和（5.4）。如果β>0，因为g（0）<0，我们有vh（2，uu*) = β∞Xn=0δ（（n+1）h）g（0）h<0=Vh（2，u*), h>0。（5.14）如果α>0，则使用g（0）=-1，Vh（1，uu*) = g（α/小时）h+（1- α)∞Xn=1（e-nh+e-2nh）g（0）h=h“g（α/h）+α∞Xn=1（e-nh+e-2小时）-∞Xn=1（e-nh+e-2小时）#。可以检查∞Xn=1e-nh=小时1.-h+o（h）,暗示VH（1，uu*) = h类克（小时）-∞Xn=1（e-nh+e-2小时）,式中▄g（h）：=g（α/h）+αh-h+o（h）. 当h>0足够小时，~g（h）<g（α/h）+αh≤g（0）=- 1，其中最后一个不等式来自以下事实：7→ g（a）+a最大化为ata=0，a=2k（这在我们将ΓQ最大化时已提到*（Q））。此yieldsVh（1，uu*) <∞Xn=0（e-nh+e-2nh）g（0）h=Vh（1，u*). （5.15）乘以（5.14）和（5.15），u*~ （0，0）是Vh的平衡，h>0足够小。鉴于（5.10），Qh：=Qu*,h类→ Q*~ （0，0）的值很小，如Qh~ （0，0）对于足够小的h>0。离散时间均衡不必收敛到强均衡，这似乎有点令人惊讶。毕竟，如备注5.1所述，强均衡概念上平行的时间均衡：定义2.2和5.1都要求直接主导价值，而不是通过价值变化率间接主导（定义2.1中规定的弱均衡）。尽管有这种概念上的相似性，但在连续时间内实现“价值上的直接支配”在技术上比在离散时间内要求更高。对于离散化问题，直接支配“Vn（i，un）”≥ Vn（i，uun）“仅为（5.12）。

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大多数88

2022-6-10 19:44:05

对于连续时间问题，直接优势“F（i，Q*) ≥ F（i，QεQ*) 对于ε>0，足够小”等于（3.16）的非负性。基准，如n→ ∞, （5.12）只给出了（3.16）（即（3.10））的一阶项的非负性，而不是整个（3.16）。也就是说，“价值直接支配”的概念在连续时间内很难实现，因此在离散时间均衡和强均衡之间存在技术差距。支付函数f上的适当条件可以弥合这一差距。备注5.4。如果q 7→ f（t，i，q）是严格凹的，则极限点q*由于命题3.2，定理5.2中的天文平衡。在下一个示例中，我们将演示q 7→ f（t，i，q）是严格凹的，离散化问题的平衡点确实收敛到一个强平衡点。示例5.2。回忆一下示例4.1中的设置。取（δn）n∈带δn的Nin R↓ 0，并在（5.9）和（5.13）中定义κnand Hnias。给定u~ （α，β）如（5.7）所示，我们通过书写κn（k，1，α）=δ（kδn）·g（α/δn）·δn，κn（k，2，β）=δ（kδn）·g（β/δn）·δn和hni（α，β）：=Ei，u∞Xk=0κn（k+1，Xk，uXk）.由于κn（0，i，·）是凹的，根据命题5.1，un~ （α，β）是一个平衡（相对于κn），前提是（α，β）满足（κn（0，1，α））′+Hn（α，β）- Hn（α，β）≤ 0, α = 0,= 0, α ∈ (0, 1),≥ 0，α=1，（5.16）（κn（0，2，β））′+Hn（α，β）- Hn（α，β）≤ 0, β = 0,= 0, β ∈ (0, 1),≥ 0，β=1，（5.17），其中导数分别针对α和β。直接计算产量Shn（α，β）- Hn（α，β）=（g（α/δn）- g（β/δn））·δn·∞Xk=0δ（（k+1）δn）·（1）- α - β） k.然后，对于δn>0足够小的情况，溶液（αn，βn）到（5.16）和（5.17）为αn：=δne-δn1- e-δn（1- δn）+e-2δn1- e-2δn（1- δn）, βn：=δn- αn.根据（5.10），每个离散时间平衡un~ （αn，βn）产生发生器Qn~αnδn，βnδn.

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2022-6-10 19:44:09

作为n→ ∞, 可以检查Qn~αnδn，βnδn收敛到Q*~,, 如例4.1.6结论所示，这是天文平衡。在本文中，我们引入了强平衡的新概念，作为连续时间平衡（我们称之为弱平衡）标准公式的补充。如我们所示，早期的情况下，偏离弱平衡是有益的，这表明该标准公式与平衡概念并不完全对应。相比之下，强平衡的定义类似于离散时间平衡，并允许无偏差的明确解释。为了阐明这两种平衡之间的区别和联系，我们假设状态过程是一个连续的时间有限状态马尔可夫链。这使我们能够导出强平衡和弱平衡的完整描述，并在具体例子中明确比较它们。研究状态过程是一个扩散过程的情况很有意义，这是以往文献中关于连续时间内时间不一致随机控制的典型设置。他和蒋（11）最近的一份工作文件就是朝着这个方向发展的。在一个扩散模型中，他们从几个经典的时间不一致问题中观察到，强平衡似乎很难实现。他们提出了“正则平衡”，这是一类比强平衡稍弱的新平衡，并表明正则平衡更容易处理。然而，在扩散模型中存在强大的平衡需要进一步的探索。事实上，只要考虑到有限的状态空间或时间范围，均衡的存在就是一个真正的问题。请注意，第A.4节中的存在性证明要求允许的控件集（即Q）是紧凑的。

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