线性二次型随机控制的连续粘性解

2022-6-10 15:49:51

具有奇异终端状态约束的线性二次随机控制问题的连续粘性解*Ulrich Horst+和Xiaonyu Xia2020年4月29日摘要本文建立了HJB方程的唯一非负连续粘性解的存在性，该方程与具有奇异终态约束和可能无界系数的线性二次随机控制问题相关。existenceresult基于一种新的比较原理，用于具有奇异终值的偏微分方程的半连续粘度子解和上解。粘度解的连续性不足以进行验证论证。AMS科目分类：93E20、91B70、60H30。关键词：HJB方程、粘度解、终态约束1简介∈ (0, ∞) 然后让(Ohm, F、（Ft）t∈[0，T]，P）满足通常条件，并带有aPoisson过程N和独立的d维标准布朗运动W。分析了线性二次型随机控制问题infξ，uEZTη（Ys）|ξs |+θγ（Ys）|us |+λ（Ys）| Xξ，us | ds（1.1）受状态动力学影响，Yt=b（Yt）dt+σ（Yt）dWt，Y=ydXξ，ut=-ξtdt- utdNt，Xξ，u=X（1.2）和终端状态约束txξ，uT=0。(1.3)*感谢d-fine GmbH提供的财务支持。我们感谢Paulwin Graewe的许多讨论和宝贵意见。

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2022-6-10 15:49:54

我们感谢两位匿名推荐人的宝贵意见和建议，这些意见和建议极大地帮助改进了结果的呈现方式。+洪堡大学数学系和商业与经济学院，位于德国柏林大学林登分校，邮编：10099；电子邮件：horst@math.hu-柏林。德国洪堡大学数学系，地址：德国柏林大学林登分校6号，邮编：10099；电子邮件：xiaxiaon@math.hu-柏林。deWe假设θ处的th是一个正常数，成本系数η、λ、γ是连续的并且是多项式增长的，η是两次连续可微分的，而扩散系数b、σ是Lipschitz连续的。我们证明了所得到的HJB方程存在唯一的连续粘性解，并给出了最优控制的粘性解表示。当交易者可以同时在主场所和暗池中交易时，在市场影响下的最优投资组合清算模型中会出现形式（1.1）-（1.3）的控制问题。暗池是另一种交易场所，允许投资者通过提交避开公众视线的流动性来减少市场影响，从而降低交易成本。不过，交易执行情况尚不确定，因为只有当匹配的流动性可用时，交易才会结算。Insuch mod els，Xξ，u描述了当交易员以ξ的费率向主要场所提交订单以立即执行，并向暗池提交u大小的订单时的投资组合过程。暗池的执行由泊松过程N控制，速率为θ。η描述了即时市场影响的过程；它通常描述所谓的市场深度。过程γ描述与暗池交易相关的逆向选择成本，而λ通常描述市场风险，例如。

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2022-6-10 15:49:57

投资组合的波动性。从Almgren和Chriss的工作开始[1]最近，投资组合清算问题在金融数学和随机控制文献中受到了相当大的关注；详见【3、9、10、12、15-17、20、21、23】和其中的参考文献。从数学角度来看，它们的主要特征之一是由终端状态约束（1.3）诱导的值函数的奇异终端条件。该约束转化为相关HJB方程的sin-gu-larterminal状态约束，并在改善方程解的存在性和唯一性方面造成了巨大困难。在成本系数η，λ，γ的连续性和多项式增长条件下，【10】中指出，HJB方程最多允许一个多项式增长的连续粘性解。该证明使用了s奇异终值的连续v粘性解toPDEs的比较原理。由于比较原理仅适用于连续函数，因此不能用来确定粘度解的存在性。相反，文献[10]表明，在模型参数的强有界性和正则性假设下，HJB方程存在一个（唯一的）经典解。本文提出了一个新的具有奇异终值的偏微分方程半连续粘性解的比较原理，并利用Perron方法推导出HJB方程连续粘性解的存在性。连续粘度解的存在足以验证参数，并以反馈形式表示最优控制。有几篇论文提供了验证参数，但没有假设粘度解的连续性。

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2022-6-10 15:50:00

例如，在[8]中考虑了一个具有延迟和状态约束的效用优化问题。作者在假设效用函数满足Inad a条件的情况下，在粘性意义下求解了相关的HJB方程，该条件在我们的模型中不满足。在[6]中，作者研究了随机脉冲控制问题的一般验证结果，假设HJB方程不连续粘性解的比较原则成立。这是一个非常有力的假设，在我们的案例中可以避免。我们的控制问题的线性二次结构允许我们用无跳跃的偏微分方程来描述值，并且可以在确定粘度解存在后，用相关的FBSDE来给出验证参数。据我们所知，迄今为止，与（1.1）-（1.3）型控制问题相关的HJB方程的连续解的存在性仅在L∞p型参数的假设。在文献[4]中，当η为常数，λ为多项式增长时，建立了唯一连续粘性解的存在性。[9，13]证明了有界随机费用和扩散系数在合适的Sobolev空间中解的存在唯一性；文献[10]中考虑了经典解。对恒定市场影响项和/或有界影响函数和差异系数的限制不令人满意。在投资组合流动性框架中，自然会选择二维驱动因素，其中第一个因素是均值回复过程，例如描述流动性指数的anOrnstein-Uhlenbeck过程，第二个因素是描述未受影响股票价格过程动态的年龄计量布朗运动，零漂移。

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kedemingshi

2022-6-10 15:50:04

然后，很自然地选择η作为流动性指数的严格单调无界函数，选择λ作为几何布朗运动的平方，以便通过投资组合价值的波动性来衡量市场风险。我们的结果适用于这种情况。论文[3,17,21]考虑到了无限系数。他们将值函数刻画为具有奇异终端值的BSDE的最小解。文献[20]首次研究了具有奇异终值的盲源数据集。在[21]中，同一作者指出，对某个奇异BSDE的最小解会产生相关PDE粘度解（可能不连续）的概率表示。我们的比较结果给出了该最小粘度溶液为唯一（且连续）溶液的充分条件。这补充了分析[3，17]。最近，在模型参数的（适当的正则性和）有界性假设下，在[11]中建立了更一般的驱动因素具有奇异终值的最小解toBSDEs的存在性（和唯一性）。[23]中的框架考虑到了未预测的系数，但需要对市场影响项进行强有力的先验估计，而这在我们的主要示例中并不令人满意。作为对[23]中分析的补充，我们的结果表明，当根据Dawson-Watson超过程导出的值函数在粘度意义下求解HJB方程时。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们总结了我们的主要结果。第3.1节证明了粘性解的存在性；验证论证见第3.2节。第4节将我们的唯一性结果推广到具有无界系数的非马尔可夫模型。符号我们用Cb（Rd）表示所有函数的集合φ：Rd→ R是连续的，在Rd上有界。

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2022-6-10 15:50:07

对于给定的m≥ 0，我们将Cm（Rd）定义为最多具有m阶多项式增长的连续函数集，即函数集φ∈ C（Rd）使得ψ：=φ（y）1+| y | m∈ Cb（Rd）。当端点为normkφkm时，此空间为Banach空间：=supy∈Rd |φ（y）| 1+| y | m。设I是R的紧集。函数φ属于USCm（I×Rd）（或LSCm（I×Rd）），如果它在第二个变量中最多有m阶多项式增长，则与tot一致∈ I和在I×Rd上是上（下）半连续的-出现在函数空间的定义中，我们是指当T-替换为任何s<T，例如Cm（[0，T-] ×Rd）={u：[0，T）×Rd→ R:u |[0，s]×Rd∈ Cm（[0，s]×Rd），适用于所有s∈ [0，T）}。自始至终，所有方程和不等式都是从a.s.的意义上理解的。我们同意C是一个常数，可能因行而异。2每个初始状态（T，y，x）的假设和主要结果∈ [0，T）×Rd×R我们定义byV（T，y，x）：=inf（ξ，u）∈A（t，x）EZTtη（Yt，ys）|ξs |+θγ（Yt，ys）|us |+λ（Yt，ys）| Xξ，us | ds（2.1）受状态动态影响的控制问题（1.1）的值函数dyt，ys=b（Yt，ys）ds+σ（Yt，ys）dWs，Yt，Yt=ydXξ，us=-ξsds- usdNs，Xt=x.（2.2），这里ξ=（ξs）s∈[t，t]描述了代理商在一级市场的交易价格，而u=（us）s∈[t，t]描述了分配给暗池的订单。在所有容许控制的集合A（T，x）上取最大值，即在所有控制对（ξ，u）上取最大值，以便ξ是渐进可测量的，使得u是可预测的，并且由此产生的状态处理xξ，us=x-Zstξrdr-ZsturdNr，t≤ s≤ T、满足终端状态约束Txξ，uT=0。

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2022-6-10 15:50:10

（2.3）与可接受清算策略（ξ，u）相关的预期成本由j（t，y，x；ξ，u）：=E给出ZTtc（Yt，ys，Xξ，us，ξs，us）ds,其中，运行成本函数c（y，x，ξ，u）由c（y，x，ξ，u）给出：=η（y）|ξ|+θγ（y）|u|+λ（y）| x |。重新标记2.1。我们假设控制和状态变量的成本函数是二次函数。可以使用类似的参数建立[10]中一般幂p>1的推广，但这会使符号更加繁琐。动态p编程原理表明，值函数满足HJB方程- 电视（t、y、x）- LV（t、y、x）- infξ，u∈RH（t，y，x，ξ，u，V）=0，（t，y，x）∈ [0，T）×Rd×R，（2.4）我们在后面说明，我们将自己限制在单调的投资组合过程中，因此我们也可以假设u是有界的。其中l：=tr（σσ*Dy）+hb，dyide表示因子过程的最小生成元，哈密顿量H由H（t，y，x，ξ，u，V）给出：=-ξxV（t，y，x）+θ（V（t，y，x- u) - V（t，y，x））+c（y，x，ξ，u）。定量成本函数表示形式为V（t，y，x）=V（t，y）| x |的ansatz。以下结果证实了这一直觉。其证明见【10，第2.2节】。引理2.2。一个非负函数v:[0，T）×Rd→ [0, ∞) 是该DE的（子/超级）解决方案- 电视（t，y）- Lv（t，y）- F（y，v（t，y））=0，（2.5），其中F（y，v）：=λ（y）-|v |η（y）+θγ（y）vγ（y）+v|- θv，（2.6）当且仅当v（t，y）| x |是HJB方程（2.4）的（次/超）解。在这种情况下，在ξ处达到（2.4）中的最大值*（t，y，x）=v（t，y）η（y）x和u*（t，y，x）=v（t，y）γ（y）+v（t，y）x（2.7）和h（t，y，x，ξ*（t，y，x），u*（t，y，x），v（·，·）·····）=F（y，v（t，y））·x·。

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2022-6-10 15:50:13

（2.8）2.1假设为了证明HJB方程多项式增长的唯一非负连续粘性解的存在性，我们假设通过因子处理y，ys=y+Zstb（Yt，yr）dr+Zstσ（Yt，yr）dWr，t≤ s≤ T、（2.9）满足以下条件。假设2.3。系数b:Rd→ Rd和σ：Rd→ Rd××dare L ipschitz连续。上述假设保证SDE（2.9）具有唯一的强解（Yt，ys）∈[t，t]对于每个初始状态（t，y）∈ [0，T]×Rdand映射（s，T，y）7→ Yt，ysis a.s.连续。我们反复使用以下众所周知的估计；参见[18，推论2.5.12]。对于所有m≥ 0，存在一个常数C>0，因此对于所有y∈ Rd，0≤ t型≤ s≤ T、 E支持≤s≤T | Yt，ys | m≤ C（1+| y | m）。（2.10）此外，我们假设成本系数是连续的，并且是多项式增长的，η是连续可微的两倍，并且满足温和有界条件。假设2.4。成本系数满足以下条件：（i）系数η，γ，λ，1/η：Rd→ [0, ∞) 是连续的并且是多项式增长的。（ii）η∈ Cand kLηηk有界。重新标记2.5。例如，如果Y是几何布朗运动或Ornstein-Uhlenb-eck（OU）过程且η（Y）=1+| Y |，则满足上述假设。在这两种情况下，都违反了【23】中的条件（2.13）。我们的假设也比thosein[10]弱。例如，OU过程不生成解析半群，它们不满足其中的假设。2.2主要结果在陈述我们的第一个主要结果之前，我们回顾了本文将使用的抛物方程粘度解的概念。以下定义可在【7，第8节】中找到。定义2.6。

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nandehutu2022

2022-6-10 15:50:16

对于半连续函数v:[0，T）×Rd→ R我们对抛物线PDE使用以下解决方案概念：- 电视（t，y）- G（t，y，v（t，y），Dyv（t，y），Dyv（t，y））=0，（2.11），其中G:[0，t）×Rd×R×Rd×Sd→ R和Sd表示对称d×d矩阵集。（i）五∈ USCm（[0，T-]×Rd）是（严格的）粘度亚溶液∈ C1,2loc（[0，T）×Rd），以便≥ v和Д（t，y）=点（t，y）处的v（t，y）∈ [0，T）×Rdit保持-tИ（t，y）- G（t，y，v（t，y），DyИ（t，y），DyИ（t，y））（<）≤ 0.（ii）v∈ LSCm（[0，T-]×Rd）是（严格的）粘度上解∈ C1,2loc（[0，T）×Rd），以便≤ v和Д（t，y）=点（t，y）处的v（t，y）∈ [0，T）×Rdit保持-tИ（t，y）- G（t，y，v（t，y），DyД（t，y），DyД（t，y））（>）≥ 0.（iii）v是粘度溶液，如果v既是粘度亚溶液又是粘度上溶液。我们现在准备陈述本文的主要结果。其证明见下文第3节。定理2.7。在假设2.3、2.4下，奇异终值问题(-电视（t，y）- L v（t，y）- F（y，v（t，y））=0，（t，y）∈ [0，T）×Rd，limt→Tv（t，y）=+∞ Rd上的局部u ni形式，（2.12）和（2.6）中给出的非线性F允许唯一的非负粘度解inCm（[0，T-] ×Rd）对于某些m≥ 下一个结果表明，根据HJB方程的唯一粘度解给出了值函数和最优控制。以前的文献中已经建立了这种反馈的特殊形式。该命题表明，对HJB方程有一个连续的粘度解就足以进行验证论证。提案2.8。在假设2.3、2.4下，设v为奇异终值问题（2.12）的唯一非负粘性解。

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2022-6-10 15:50:19

然后，函数（2.1）的值由v（t，y，x）=v（t，y）| x |和最优控制（ξ）给出*, u*) ξ以反馈形式给出*s=v（s，Yt，ys）η（Yt，ys）X*砂u*s=v（s，Yt，ys）γ（Yt，ys）+v（s，Yt，ys）X*s-. （2.13）尤其是，由此产生的最优投资组合过程（X*s） s∈[t，t]是gi ven byX*s=x扩展-Zstv（r，Yt，yr）η（Yt，yr）dr！Nr6=0Yt<r≤s1级-v（t，Yt，yr）γ（Yt，yr）+v（t，Yt，yr）！。（2.14）让我们用一个最优投资组合清算模型来结束这一部分，其中市场影响由Ornstein-Uhlenbeck过程驱动，而市场风险由几何布朗运动驱动。具体而言，假设Y=（Y，Y）是dyt=-Ytdt+dwtanddyty=σdWt，其中Wand是两个（可能相关的）布朗运动，letη（Y）=1+| Y |，如果Y<0，1+| Y |，如果Y≥ 0，γ（Y）=1，λ（Y）=σ| Y |。该流程规定了一个流动性指标，该指标围绕一个固定水平（标准化为零）波动，当流动性低于平均水平时，市场影响增大，当流动性高于平均水平时，市场影响减小。另一方面，假设资产价格遵循几何布朗运动，瞬时市场风险由投资组合价值的波动性捕获。对于上述模型参数的选择，满足了成本和扩散系数的所有假设。因此，存在唯一的最优清算策略。重新标记2.9。据我们所知，用数值方法来模拟具有单一终值的一般模型的解仍有待开发。在模拟具有奇异终端状态约束的HJB方程的解时，至少会出现两个问题。最明显的问题是奇异终端条件。

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2022-6-10 15:50:23

不使用函数w（t，y）：=（t）可以潜在地克服此问题- t） v（t，y），（t，y）∈ [0，T）×Rsatis用有限的终值表示以下PDE，但驱动因素是单一的（详情见[10,11]和第3节f）-tw（t，y）- Lw（t，y）-w（t，y）t- t型- （T- t） F（y，w（t，y）t- t） =0，（t，y）∈ [0，T）×Rd，limt→Tw（t，y）=Rd上的η（y）。对变换后问题的唯一经典解的了解打开了应用高阶数值模式并在可接受的计算时间内获得精确解的可能性。一种可能性是研究无界控制集到紧集的一对一映射，并结合控制的离散化，类似于[22]中应用于非最优投资问题的思想；文献[11]概述了一种基于单调性论证的替代方法。第二个问题是为数值模拟确定适当的边界条件（在空间）；如果约束状态约束被有限的惩罚项替代，则会出现类似的问题。第3节中的分析表明，对于风险中性投资者的基准情况（σ=0），w（t，y）≤ Cη（y），（t，y）∈ [0，T）×rf对于某些C>0，如果η（y），我们从中推导出零边界条件→ 0表示| y |→ ∞. 总的来说，我们不能期望上述不等式是一个等式，即使在| y |时也不是渐近的→ ∞. 如果我们选择σ=0，dy-namicsdYt=- tanh（Yt- Yt）dt+dwt对于流动性指数，则指数平均值恢复到±1的水平，即“平均流动性状态”。选择η（y）=1+满足模型参数的所有假设。在这种情况下，我们可以考虑区间(-1，+1）作为低位和设定值[-1、1]cas高流动性制度。自w（t，y）→ 0为| y |→ ∞, 边界问题可以处理。3解与验证3.1解的存在性在本节中，我们证明定理2.7。

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2022-6-10 15:50:26

在第一步中，我们建立了（2.12）的半连续粘度溶液的比较原则。考虑到奇异的终端状态约束，我们不能遵循通常的方法来证明，如果l.s.c.上解在边界处支配u.s.c.下解，那么它也支配整个域上的下解。相反，我们证明了如果某种形式的渐近优势在终端时间成立，那么优势在终端时间附近成立。第二步，我们构造（2.12）的光滑子解和su解，满足所需的渐近优势条件。随后，我们应用Perron的方法建立了一个u.s.c.子解和一个l.s.c.上解，它由光滑解从上/下限定。由此，我们推断半连续解可以应用于比较原理，这意味着期望的连续粘性解的存在。3.1.1比较原则在本节中，我们计算δ∈ （0，T）对于某些m≥ 0，乐图∈ LSCm（[T- δ、 T型-] ×Rd）和u∈ U SCm（[T- δ、 T型-] ×Rd）是（2.12）的超粘度和亚粘度。提案3.1。在假设2.3、2.4下，如果，u ni formly on Rd，lim supt→Tu（t，y）（t- t）- η（y）1+| y | m≤ 0≤ lim信息→Tu（t，y）（t- t）- η（y）1+| y | m，（3.1）和u（t，y）（t- t），u（t，y）（t- t）≥η（y），t∈ [T- δ、 T），（3.2）thenu≤ u开[T- δ、 T）×Rd.假设（3.1），（3.2）在粘度文献中并不常见。然而，我们只能通过比较结果来确定解的存在性，而不是唯一性。因此，我们只需要保证通过Perron方法建立的半连续解满足这两个假设。比较原理的证明基于三个辅助结果。第一个引理来自【10，引理A.2】。这是对[5，引理3.7]的修改。引理3.2。

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mingdashike22

2022-6-10 15:50:29

差异w：=u- u∈ USCm（[T- δ、 T型-] ×Rd）是粘度亚溶液- tw（t，y）- Lw（t，y）- l（t，y）w（t，y）=0，（t，y）∈ [T- δ、 T）×Rd，（3.3），其中l（T，y）：=F（y，u（T，y））- F（y，u（t，y））u（t，y）- u（t，y）Iu（t，y）6=u（t，y）。下一个引理构造了多项式增长（3.3）的光滑严格上解。引理3.3。对于每n∈ N、存在足够大的kn，使得χ（t，y）：=eKn（t-t）（1+| y |）nT- tsatis公司-tχ（t，y）- Lχ（t，y）+χ（t，y）t- t> 0，（t，y）∈ [T- δ、 T）×Rd证明。直接计算验证h（t，y）：=eKn（t-t）（1+| y |）nsatis fies-th（t，y）-左侧（t，y）>0英寸[t- δ、 T）×rd当选择的刀足够大时；另见【2，提案5】。这里使用的是b和σ是Lipschitz，因此是线性增长。因此-tχ（t，y）- Lχ（t，y）+χ（t，y）t- t型=-th（t，y）- 左（t，y）t- t> 0。following引理是比较原理的关键。引理3.4。如果n∈ 引理3.3中的N选择得足够大，然后与α>0无关，函数Φα（t，y）：=w（t，y）- αχ（t，y）是另一个非正的或在[t]中的某个点（tα，yα）达到其上确界- δ、 T）×Rd证明。假设在[T]上Φα的supr emum- δ、 T）×RDI为正，并用[T]中的（tk，yk）序列表示- δ、 T）×Rd接近上确界点。表示法Φα（t，y）=hu（t，y）（t-t）-η（y）1+| y | m-u（t，y）（t-t）-η（y）1+| y | mi（1+| y | m）- αeKn（T-t）（1+| y |）nT- t、条件（3.1）表明，对于任何n>m，lim支持→TΦα（T，y）=-∞, 在Rd上一致。因此limktk<T。此外，w∈ U SCm（[T- δ、 T型-] ×Rd）由远离终点时间的多项式增长函数所限定。选择足够大的n表示limk | yk |<∞. 因此，由于Φα是上半连续的，因此在某个点（tα，yα）上达到了上确界。这证明了这一说法。我们现在准备证明比较原则。命题3.1的证明。让我们fα>0。

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kedemingshi

2022-6-10 15:50:33

让α→ 0表示函数Φα为非正函数是足够的。根据引理3.4，我们只需要考虑存在点（tα，yα）的情况∈[T- δ、 T）×rdw（T，y）- αχ（t，y）≤ w（tα，yα）- αχ（tα，yα），（t，y）∈ [T- δ、 T）×Rd。该不等式可解释为w- ψα在（tα，yα）处具有全局最大值，其中ψα：=αχ（t，y）+（w- αχ）（tα，yα）。由于ψα是光滑的，w是（3.3）的粘度子解，-tψα（tα，yα）- Lψα（tα，yα）- l（tα，yα）w（tα，yα）≤ 利用中值定理以及uF、条件（3.2）和事实vF（y，v）≤ -2vη（y）我们得到l（t，y）=F（y，u（t，y））- F（y，u（t，y））u（t，y）- u（t，y）Iu（t，y）6=u（t，y）≤ vF（y，η（y）2（T- t）（）≤ -T- t、（3.4）因此，引理3.3 im plies0≥ - tψα（tα，yα）- Lψα（tα，yα）- l（tα，yα）w（tα，yα）=α[-tχ（tα，yα）- Lχ（tα，yα）- l（tα，yα）w（tα，yα）]>- αχ（tα，yα）t- tα- l（tα，yα）w（tα，yα）≥αl（tα，yα）χ（tα，yα）- l（tα，yα）w（tα，yα）=- l（tα，yα）Φα（tα，yα）。（3.5）自l≤ 0，我们可以得出以下结论：Φα（tα，yα）≤ 0，因此Φα≤ 0.3.1.2通过Perron方法的存在性根据我们的比较原则，只要确定合适的子解和上解，就可以使用Perron方法确定HJB方程的粘度解的存在性。鉴于假设2.4，η，λ∈ Cm（Rd）对于某些m≥ 0和kLηηk定义明确。因此δ：=1/kLηηk∧ T>0。（3.6）通过直接计算，我们可以找到一个足够大的常数K′，使得函数：^h（t，y）：=eK′（t-t）（1+| y |）m/2满意-t^h（t，y）- L^h（t，y）- λ（y）≥ 0.然后让我们定义ˇv（t，y）：=η（y）- η（y）kLηηk（T- t） eθ（t-t）（t- t）和^v（t，y）：=η（y）+η（y）kLηηk（t- t）（t- t） +^h（t，y）。提案3.5。在假设2.3，2.4下，函数71v，^v是[T]上（2.12）的非负经典次上解- δ、 T）×Rd。证据

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2022-6-10 15:50:37

为了验证^v的上解性质，我们首先验证- t^v（t，y）- L^v（t，y）=-η（y）+Lη（y）（T- t） +Lη（y）kLηηk（t- t）（t- t）- t^h（t，y）- L^h（t，y）（3.7）回顾F的定义（2.6），我们自^v≥ 0,-F（y，^v（t，y））≥ -λ（y）+^v（t，y）η（y）。接下来，我们应用不等式（u+v+w）≥ u、v、w的u+2uv≥ 0至^v（t，y）toobtain项- F（y，^v（t，y））≥ -λ（y）+η（y）+2η（y）kLηk（T- t） η（y）（t- t）。（3.8）添加（3.7）和（3.8）产量-t^v（t，y）- L^v（t，y）- F（y，^v（t，y））≥2η（y）kLηηk- Lη（y）- Lη（y）kLηηk（T- t）（t- t）- t^h（t，y）- L^h（t，y）- λ（y）。δ的定义产生1≥ kLηηk（T- t）对于t∈ [T- δ、 T）和so，2η（y）kLηηk- Lη（y）- Lη（y）kLηηk（T- t）≥η（y）kLηk·1+kLηηk（T- t）- Lη（y）- Lη（y）kLηηk（T- t）=1+kLηηk（T- t）·η（y）kLηk- Lη（y）≥ 我们使用约定1/0=∞.我们的结论是-t^v（t，y）- L^v（t，y）- F（y，^v（t，y））≥ 接下来，我们通过直接计算验证了ˋv的次分辨率，- tˇv（t，y）- Lˇv（t，y）=-η（y）+Lη（y）（T- t）- Lη（y）kLηηk（T- t） eθ（t-t）（t- t）- θˇv（t，y）。（3.9）另一方面，由于λ，γ≥ 0和ˋv≥ [T]上的0- δ、 T）×Rd，-F（y，ˇv（t，y））≤ˇv（t，y）η（y）+θˇv（t，y）。我们使用不等式（u）估计ˋv（t，y- 五）≤ u- u的uv≥ v≥ 0并获取，- F（y，ˇv（t，y））≤η（y）- η（y）kLηηk（T- t） e2θ（t-t）（t- t） +θˇv（t，y）。（3.10）自e-2θ（T-t）≤ e-θ（T-t），添加g（3.9）和（3.10）产量-tˇv（t，y）- Lˇv（t，y）- F（t，ˇv（t，y））≤ -η（y）kLηηk+Lη（y）- Lη（y）kLηηk（T- t） eθ（t-t）（t- t）。再次使用1≥ kLηηk（T- t）我们得到，η（y）kLηηk+Lη（y）- Lη（y）kLηηk（T- t）≥η（y）kLηk·1.- kLηηk（T- t）+ Lη（y）- Lη（y）kLηηk（T- t）=1.- kLηηk（T- t）·η（y）kLηηk+Lη（y）≥ 0.因此，-tˇv（t，y）- Lˇv（t，y）- F（t，ˇv（t，y））≤ 定理2.7的证明。

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2022-6-10 15:50:41

从ˋv的定义来看，我们有（T- t） ˋv（t，y）=η（y）+η（y）O（t- t）在y方向上与t方向一致→ T（T- t） ^v（t，y）=η（y）+（1+| y | m）O（t- t）在y方向上与t方向一致→ T（3.11）对于ε=，存在δ∈ （0，δ），使得对于所有t∈ [T- δ、 T），ˇv（T，y）（T- t） >η（y）-η（y）=η（y）自η起在Rd上均匀分布∈ Cm（Rd），我们从（3.11）thatlimt中获得→Tˇv（T，y）（T- t）- η（y）1+| y | m=极限→T^v（T，y）（T- t）- η（y）1+| y | m=0，在Rd.（3.12）上一致。为了应用Perron的方法，我们将{u | u设置为[T- δ、 T）×Rd和u≤ ^v}。从命题3.5中，我们知道∈ S、所以S是非空的。因此，函数v（t，y）=s up{u（t，y）：u∈ S} 定义明确。经典论证表明上s emi连续包络v*是（2.12）的aviscosity次分辨率。根据[24，引理A.2]，下半连续包络v*v也是（2.12）的粘度上解。自ˋv起≤ v*≤ v*≤ ^v，我们有这一切∈ [T- δ、 T）、v*（t，y）（t- t），v*（t，y）（t- t）≥η（y），在Rd和ˋv（t，y）（t）上均匀分布- t）- η（y）1+| y | m≤v*（t，y）（t- t）- η（y）1+| y | m≤v*（t，y）（t- t）- η（y）1+| y | m≤^v（t，y）（t- t）- η（y）1+| y | m。因此，遵循fr om（3.12），limt→电视*（t，y）（t- t）- η（y）1+| y | m=极限→电视*（t，y）（t- t）- η（y）1+| y | m=0，在Rd.（3.13）上一致。根据我们的比较原则[建议3.1]，我们得出结论，v*≤ v*开[关]- δ、 T）×Rd，表示v是所需粘度溶液，为（2.5），属于Cm（[T-δ、 T型-]×Rd）。根据[2，备注6]，存在唯一的粘度溶液v∈ 厘米（[0，T- δ] x Rd）至（2.5），当t=t时- δ，终端值以Cm（Rd）为单位。因此，从连续粘度解的比较原理[10，引理3.1]，我们得到了唯一的全局粘度解v∈ 厘米（[0，T-] ×Rd）。重新标记3.6。

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2022-6-10 15:50:45

如果生成元f和SDE（2.9）的所有系数都有界，则可以证明η不需要二次微分；选择满足条件（3.1）和（3.2）的连续解只需要一致连续性。因此，可以通过上述相同的参数获得唯一粘度解。3.2验证本节专门讨论验证论证。贯穿，v∈ 厘米（[0，T-]×Rd）表示奇异终值问题（2.12）的唯一非负v正解。我们将证明粘性解确实是随机控制问题的价值函数。在第一步中，我们现在将证明（2.13）中给出的反馈控制是不可容许的。椭圆偏微分方程粘度解的标准Perron方法见【7】。关于抛物型方程的这种方法的证明，请参考【24，附录A】。引理3.7。反馈控制对（ξ*, u*) 允许（2.13）给出n。证据给出（2.13）中的反馈形式，可以很容易地得到一对控制（ξ*, u*)是可接受的，并且由此产生的投资组合过程（X*s） s∈[t，t]是单调的。仍需验证清算约束。自ˋv起≤ v≤ ^v开[T- δ、 T）当eδ在（3.6）中定义时，它适用于任何r∈ [T- δ、 T）该，1- kLηηk（T- r） eθ（T-r）（T- r） η（Yt，yr）≤ v（r，Yt，yr）≤1+kLηηk（T- r） T型- rη（Yt，yr）+^h（r，Yt，yr）。对于s∈ [T- δ、 T），| X*s |≤ |x |扩展-Zstv（r，Yt，yr）η（Yt，yr）dr！≤ |x |扩展-ZsT公司-δv（r，Yt，yr）η（Yt，yr）dr！≤ |x |扩展-ZsT公司-δ1 - kLηηk（T- r） eθ（T-r）（T- r）博士！≤ |x | expZsT-δeθ（T-r）- [1 - kLηηk（T- r） ]eθ（T-r）（T- r）博士！经验值-ZsT公司-δT- rdr公司≤ |x | expZsT-δ“eθ（T-r）- 1eθ（T-r）（T- r） +kLηηkeθ（T-r） #博士·T- sδ≤ C | x | T- sδ。（3.14）最后一个不等式成立，因为limr→Teθ（T-r）-1eθ（T-r）（T-r） =θ。

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kedemingshi

2022-6-10 15:50:50

因此，X*T-= 0，因此为X*T=0。[10，引理5.2]表明，我们可以将自己限制在可容许的控制范围内，从而导致单调的投资组合过程。我们用A（t，x）表示投资组合过程单调的所有可容许控制的集合。接下来，我们给出（2.12）粘度解的概率表示。在[21]中，作者指出，具有奇异终端条件的某个后向随机微分方程的可能间断最小解给出了相关偏微分方程最小粘度解的概率表示；解决方案的连续性尚未建立。然而，执行验证论证需要连续性。我们以不同的方式获得了相应FBSDE的解，因为已经证明了（连续）粘度解的存在。提案3.8。根据假设2.3和2.4，对于任何固定的∈ （0，T）和（T，y）∈ [，T）×Rd，存在一对进程（Ut，y，Zt，y）∈ SF（t，t；R）×LF（t，t；R1××d），满足Ut，yt=v（t- ，y）和任何≤ t型≤ r≤ s≤ T、 Ut，yr=Ut，ys+ZsrF（Yt，yρ，Ut，yρ）dρ-ZsrZt，yρdWρ。证据我们考虑前向b反向系统dYs=b（Ys）ds+σ（Ys）dWs，s∈ [t，t]，dUs=-f（s，Ys）ds+ZsdWs，s∈ [t，t]，Yt=y，UT=v（t- ，YT），（3.15）和相应的PDE(- wt（t，y）- Lw（t，y）- f（t，y）=0，（t，y）∈ [，T）×Rd，w（T，y）=v（T- ，y），y∈ Rd（3.16），其中f（t，y）：=f（y，v（t- ，y）和F在（2.6）中定义。

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可人4

2022-6-10 15:50:54

回顾假设2.4中成本系数的多项式增长条件和定理2.7中建立的解v的多项式增长性质，我们知道f∈ Cm′（[，T]×Rd），对于某些m′≥ m、加上假设2.3和v（T- , ·) ∈ Cm（Rd），我们从[14，定理2.1]得出结论，系统允许唯一解（Yt，y，Ut，y，Zt，y）∈ SF（t，t；Rd）×SF（t，t；R）×LF（t，t；R1××d）。设w（t，y）：=Ut，yt。根据Feynman-Kac公式【19，定理3.2】，w是（3.16）的唯一粘度解，驱动因子为f。由于（2.12）中PDE的时间均匀性，粘度解在时间移动时保持粘度解。设v（t，y）：=v（t- ，y）开[，T]。通过对f的定义，我们可以看出，v也是（3.16）的粘度溶液，驱动因子f为[，T]。因此，w=~v。根据马尔可夫性质，我们对任何r∈ [t，t]0≤ Ut，yr=v（r- ，Yt，yr）。因此，Ut也是以下FBSDE的解决方案：dYs=b（Ys）ds+σ（Ys）dWs，s∈ [t，t]，dUs=-F（Ys，Us）ds+ZsdWs，s∈ [t，t]，Yt=y，UT=v（t- ，YT）。对于任何∈ （0，T），我们可以将间隔限制在[T，T- ]重复上述论点，不要及时转移。这就产生了一个解决方案（▄Ut，y，▄Zt，y）∈ SF（t，t- ; R） ×LF（t，t- ; R1××d）满足以下条件：Ut，yt=v（t，y）且对于任何0≤ t型≤ r≤ s<T- ,dYs=b（Ys）ds+σ（Ys）dWs，s∈ [t，t- ]，dUs=-F（Ys，~Us）ds+~ZsdWs，s∈ [t，t- ]，Yt=y，~UT-=v（T- ，YT-).由于是任意的，因此可以得到[0，T）上的全局解。推论3.9。在假设2.3，2.4下，存在过程（~Ut，y，~Zt，y）∈ SF（t，t-; R） ×LF（t，t-; R1××d）满足以下条件：Ut，yt=v（t，y），且对于任何0≤ t型≤ r≤ s<T，~Ut，yr=~Ut，ys+ZsrF（Yt，yρ，~Ut，yρ）dρ-Zsr▄Zt，yρdWρ。（3.17）Followin g引理是验证论点的关键。引理3.10。固定∈ （0，T）和（T，y）∈ [，T）×Rd。

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可人4

2022-6-10 15:50:58

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nandehutu2022

2022-6-10 15:51:01

因此，v（t，y）| x |=超高压（s，Yt，ys）| xξ*,u*s | i+EZstc（Yt，yr，Xξ*,u*r、 ξ*r、 u*r） dr公司≥ EZstc（Yt，yr，Xξ*,u*r、 ξ*r、 u*r） dr公司由此我们得出结论V（t，y）| x|≥ J（t，y，x；ξ*, u*).这表明策略（ξ*, u*) 确实是最佳选择。4非马尔可夫框架的唯一性在本节中，我们假设过滤完全由布朗运动生成。最小非负解（Y，Z）的存在性∈ LF公司(Ohm; C（[0，T-]; R+）×LF（0，T-; R1××d）至BSDE- dYt公司=λt-|Yt |ηtdt公司- ZtdWt，0≤ t<t；限制→TYt=+∞ （4.1）已在[3]中建立，假设η∈ LF（0，T；R+），η-1.∈ LF（0，T；R+），λ∈ LF（0，T-; R+、E[RT（T- t） λtdt]<∞.在本节中，我们将我们的唯一性结果推广到非马尔可夫模型，并证明了在下列条件下唯一非负解的存在性；它们对应于马尔可夫环境中的那些。假设4.1。（i）过程η是一个正的It^o微分，满足dηt=αtdt+βtdWtwith（α，β）∈ LF（0，T；R×R1××d）。（ii）过程η，η-1.∈ LF公司(Ohm; C（[0，T]；R））和η-1α ∈ L∞F（0，T；R）。（iii）存在正的It^o扩散HTT，使得dht=α′tdt+β′TDWT与（α′，β′）∈LF（0，T；R×R1××d）和h-1λ，h-1α′∈ L∞F（0，T；R）。提案4.2。假设假设4.1成立。设置τ：=1/kη-1αkL∞∧T和￠K：=kh-1α′kL∞+kh公司-1λkL∞. 对于任何溶液（Y，Z）∈ LF公司(Ohm; C（[0，T-]; R+）×LF（0，T-; R1××d）至（4.1）以下估计值适用于T- τ ≤ t<t：ηtT- t型- kη-1αkL∞≤ 年初至今≤ ηtT- t+kη-1αkL∞+ eK（T-t） ht。（4.2）证明。

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mingdashike22

2022-6-10 15:51:04

对于0<<τ，我们定义（Yt）t∈[T-τ、 T型-）byYt=ηtT- - t+kη-1αkL∞+ eK（T- -t） ht。我们将证明这些过程是（4.1）的上解，但在t=t时具有奇点-，限制→T-Yt=+∞.精确地-dYt=g（t，Yt）dt- ZtdWt，T- τ ≤ t<t- ，其中g（t，Yt）：=-ηt（t- - t）- αtT- - t+kη-1αkL∞+Ke K（T- -t） ht- eK（T--t） α′tandZ∈Tt∈[T-τ、 T型-）LF（T- τ、 t；R1××d）。命题3.5证明中的计算验证了- τ ≤ t<t- ，g（t，Yt）≥ λt-|Ytηt=：f（t，Yt）。实际上，应用不等式（u+v+w）≥ u、v、w的u+2uv≥ 0到| Yt|，我们得到| Yt|ηt≥ηt+2ηtkη-1αkL∞（T- - t） ηt（t- - t）。注意τ：=1/kη-1αkL∞∧ T，kη-1αkL∞（T- - t）≤ t为1∈ [T- τ、 T型- ，我们有| Ytηt-ηt（t- - t）- αtT- - t+kη-1αkL∞≥2ηtkη-1αkL∞- αt（1+kη）-1αkL∞（T- - t））（t- - t）≥ηtkη-1αkL∞（1+kη）-1αkL∞（T- - t） )- αt（1+kη）-1αkL∞（T- - t））（t- - t） =（ηtkη-1αkL∞- αt）（1+kη-1αkL∞（T- - t））（t- - t）≥0回顾▄K：=kh-1α′kL∞+ kh公司-1λkL∞, 我们有这个K（T--t） ht公司- eK（T--t） α′t≥eK（T- -t） λt≥ λt。在此之前，我们可以得出以下结论：g（t，Yt）≥ λt-|Ytηt。我们现在考虑Y andY对t的差异- τ ≤ t型≤ s<T- ：Yt- Yt=EYs- Ys+Zstg（r，Yr）dr-Zstf（r，Yr）dr英尺≥ EYs- Ys+Zstf（r，Yr）- f（r，Yr）dr英尺= EYs- Ys+Zst（年）- 年）rdr公司英尺哪里r=f（r，Yr）- f（r，Yr）Yr- 年，如果- Yr6=0,0，否则。请注意 ≤ 0、通过线性BSDE解的显式表示，Yt- 年初至今≥ E“（Ys- 支持≤s≤T-Ys）expZst公司rdr公司#.自那时起≥ 0，E[表面≤s≤T-Ys]<+∞ 由于Y∈ LF公司(Ohm; C（[0，T-]; R+），我们可以将Fatou\'slemma应用于上述期望，如s→ T- 以获得Yt- 年初至今≥ 0、取→ 0我们获得较高的估计值。较低的估计值可以通过类似的参数确定。引理4.3。假设假设假设4.1成立。

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2022-6-10 15:51:08

设（Y，Z）为LF空间中（4.1）的解(Ohm; C（[0，T-]; R+）×LF（0，T-; R1××d）。Le t X*t=经验值(-RtYsηsds）表示关联的投资组合过程。然后是X*Z∈ LF（0，T；R）。证据设Mt=YtX*t+RtλsX*sds。按部件集成yieldsdMt=X*tZtdWt。（4.3）因此，M是[0，T]上的非负局部鞅，尤其是非负上鞅。因此，当T到T时，它几乎在R上收敛。与（3.14）类似，我们使用（4.2）中的较低估计来获得s的较低估计∈ [T- τ、 T）| X*s |≤ C（T- s）。根据（4.2）中的上估计值，我们得到了“supT”-τ ≤t型≤s | YtX*t型|#≤ CE“支持-τ ≤t型≤T（|ηT |+| ht |））#，其中常数C独立于s。因此，应用支配收敛理论简化了“sup0≤t型≤吨|公吨|#≤ CE“sup0≤t型≤T-τ| Yt |#+E“支持-τ ≤t型≤T（|ηT |+| ht |）#+EZT |λs | ds!< +∞.回顾等式（4.3），我们得到X*Z∈ LF[0，T；R），M确实是[0，T]上的非负鞅。根据[3，命题4.4]，Y是（4.1）的最小解。因此，我们可以得到唯一性结果。定理4.4。在假设4.1中，存在BSDE（4.1）inLF的唯一解决方案(Ohm; C（[0，T-]; R+）×LF（0，T-; R1×d）。5结论在本文中，我们建立了市场影响下最优投资组合清算模型中具有奇异终端条件的HJB方程粘性解的一个新的比较原理。我们的方法足够灵活，可以考虑可能的无界系数。比较原理允许我们证明HJB方程存在唯一的连续粘性解，因此存在唯一的最优交易策略。

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mingdashike22

2022-6-10 15:51:11

没有连续性，通常不可能进一步研究值函数的正则性性质。利用我们的连续性结果，可以证明在模型参数的轻微附加条件下，该值函数是HJB方程的π-强解。这意味着在紧集上，值函数可以用C1,2函数一致逼近。未来的研究还有其他几种途径。例如，显然需要对无限市场影响系数η进行规律性假设。需要正则性假设来在终端时间对值函数进行泰勒型逼近。参考文献[1]R.Almgren和N.Chriss，《投资组合交易的最佳执行》，J.Risk，3（2001），第5-39页。[2] O.Alvarez和A.Tourin，《非线性积分微分方程的粘度解》，Ann。Poincar\'e Anal研究所。《非爱尔兰》，1 3（199 6），第29 3–317页。[3] S.Ankirchner，M.Jeanbla n c和T.Kruse，具有奇异终端条件和约束控制问题的BSDE，SIAM J.控制优化。，52（2014），第893-913页。[4] S.Ankirchner和T.Kruse，《连续时间价格敏感清算》，SSRN，（2012年）。[5] G.Barles、R.Buckdahn和E.Pardoux，《反向随机微分方程和积分偏微分方程》，随机学，6 0（1997），第57-83页。[6] C.Belak、S.Christensen和F.T.Seifried，《随机脉冲控制问题的一般验证结果》，SIAM J.C control Optim。，55（2017年2月），第627-649页。[7] M.G.Crandall、H.Ishii和P.-L.Lions，《二阶偏微分方程粘度解用户指南》，Bull。美国。数学Soc。（N.S.），27（1992），第1-6-8页。[8] S.Federico、B.Goldys和F。

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2022-6-10 15:51:14

Gozzi，具有时滞和状态约束的微分方程最优控制的HJB方程，II：验证和最优反馈，SIAM J.ControlOptim。，4 9（2011），第23 78–2414页。[9] P.Graewe，U.Horst，an d J.Qiu，《具有奇异终端条件的非马尔可夫清算问题和后向SPDES》，SIAM J.Control Optim。，53（2015），第690-711页。[10] P.Graewe、U.Horst和E.S'er'E，《投资组合清算问题的平稳解决方案低估敏感市场影响》，Stoch。过程应用程序。，128（2018），第979-1006页。[11] P.Graewe和A.Popier，《具有奇异终端条件的倒向随机微分方程的渐近方法》，arXiv 1906.05 154，（2019）。[12] 霍斯特和诺约卡特，什么时候穿过南部？双边限额指令簿交易，暹罗J.金融数学。，5（2014），第278-315页。[13] U.Horst，J.Qiu和Q.Zhang，一个具有退化系数和退化后向SPDE且具有奇异终端条件的约束控制问题，SIAM J.C control Optim。，54（20-16），第946-963页。[14] N.E.Karoui、S.Peng和M.C.Quenez，《金融中的倒向随机微分方程》，数学金融，7（1997），第1-71页。[15] P.Kratz，具有jum ps的非线性二次约束随机控制问题的显式解：具有逆向选择的暗池中的最优清算，数学。操作。第39号决议（2014年），第1198-1220页。[16] P.Kratz a n d.T.Schoneborn，《连续时间黑暗池中的投资组合清算》，麻省理工大学。《金融》，25（2015），第496-544页。[17] T.Kruse和A.Popier，具有奇异终端条件的BSDE的最小上解及其在最优位置定位中的应用，Stoch。过程应用程序。，126（2016），第2554-2592页。[18] N.V.Krylov，《受控扩散过程（随机建模和应用概率）》，Springer，1980年。[19] \'E。

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