一类随机控制问题光滑解的注记

2022-5-6 05:34:33

一类具有幂终端代价函数和随机波动率的随机控制问题光滑解的注记*Yal,cin Aktar+Erik Ta flin2013年8月，2014-05-14版，献给Ivar Ekelandadab的70岁生日。完整的金融市场被认为是由一个多维非齐次扩散过程定义的，是一个It^o过程（价格过程）的直接总和，以及另一个非均质扩散过程（外生过程，代表外源性随机源）。价格过程的漂移和扩散矩阵是时间、价格过程本身和外生过程的函数。在这种市场和电力效用函数的背景下，证明了由优化终端财富的预期效用组成的随机控制问题具有经典解（即C1,2）。这一结果为研究不完全前向方差随机波动率模型中的最优投资组合问题铺平了道路，正如Keland等人所言。关键词：最优随机控制，光滑解，半线性抛物线方程，随机波动性MSC 2010:49J55，35K55，60H30，93E20。1简介默顿[13]和[14]关于连续时间投资组合优化的开创性论文，针对多维（现货）价格*作者感谢Nizar Touzi提请他们注意本文的主题和许多建设性的讨论。+巴黎理工学院数学金融EISTI和CMAP主席，yar@eisti.eu塞尔基大学数学金融EISTI和AGM主席，taflin@eisti.fris马尔可夫过程。

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2022-5-6 05:34:36

特别是，当价格是非齐次微分时，导出了Hamilton-Ja-cobi-Bellman方程，并在对数或马氏过程和幂函数的特殊情况下显式求解。通过研究HJB方程粘性解的规律性和对偶方法，对默顿的工作进行了重要的推广。本文的目的是在下文定义的不完全市场模型（FM）的背景下，用“随机波动率”来解决最优投资组合问题，首先确定HJB方程有一个经典解，然后应用验证定理：o金融市场（FM）有一个可交易的无风险资产，利息率为零。市场上有n个可交易的基本风险资产，X是n-dim。它的坐标是可交易基本风险资产的现货价格（一个简单函数）。外生随机源用d-dim表示。非均匀扩散过程Y，扩散矩阵不可变。过程（X，Y）是一个非齐次的扩散过程，因此，提取和X的扩散矩阵是时间t、Xt（t处的价格过程）和Yt（t处的外生过程）的函数。上述最优portf-olio问题将只考虑电力效用函数，定义遗赠，不消耗，且在其无约束版本中，从某种意义上说，投资组合可以在R1+n中获得任何价值。它将被（OPP）引用。

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2022-5-6 05:34:40

以下有关相关论文的评论，仅指本案。在幂效用函数的情况下，通过证明HJB方程具有经典解，许多作者在各种假设下研究了默顿框架对不完全随机波动市场的一般化，参见[18]、[15]、[12]、[6]、[1]以及其中的参考文献。在这些工作中，定义模型的SDE系数与价格无关。[18]、[15]、[1]中的市场模型属于（FM）类型。在[18]中，考虑了纯投资问题（即，只有一个幂继承函数，没有消耗），n=d=1，这允许通过作用代换将HJB方程转化为线性模型，并获得显式解。在[15]中，考虑了纯投资问题，n和d是一个随机变量，模型的系数与时间无关，通过指数替换，HJB方程被转换为半线性偏微分方程，这被证明具有经典解。[15，备注3.1，等式（3.7）]给出了将HJB方程转化为线性方程的分数代换存在的必要和充分条件，如[18]所示。参考文献[1]考虑了一般n的消费和遗赠函数f的问题≥ d和模型的系数被限制为满足条件[15，注释3.1，等式（3.7）]（在简单转换后），这里的系数随时间变化。然后，一个作用代换将HJB方程转化为一个半线性方程，并证明其具有经典解。在文献[12]和[6]中，当n=1时，外源性过程是由一个具有c`adl`ag样本路径的从属过程驱动的，即具有a.s.非递减样本路径的L`evy过程。

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2022-5-6 05:34:43

漂移和挥发是时间独立的。参考文献[5]基于对偶方法。我们开展这项工作的主要动机是找到投资组合问题（OPP）的解决方案，这有助于在不完全向前方差随机波动模型的框架下解决相应的最优投资组合问题。此类模型在有限维环境中有一个自然公式，接近于零息债券市场和远期利率曲线动力学所用的公式，参见理论发展[3]、[4]、[7]、[8]，以及应用[2]和其中的参考文献。这需要将早期关于投资组合问题（OPP）的研究扩展到该类型的市场（FM），在FM中，模型的系数可以是时间和资产价格的函数。我们实现了这一点，首先扩展了[15]的框架，以涵盖该类型（FM）的市场模型案例，然后在此背景下解决了投资组合问题（OPP）。虽然我们的问题更复杂，但[15]的主要思想可以适用于我们的证明。同样在我们的例子中，标准代换（见（3.3））将HJB方程转换为半线性二阶偏微分方程（3.4），在一阶导数中为二次。通过将哈密顿量在一阶导数变量中的二次增长减少到线性增长，该偏微分方程得到正则化。这相当于Legendre-Fenchel变换后的哈密顿量乘以切函数。正则化HJB方程（3.22）解的存在性和唯一性（见引理3.2）源自标准结果[9，定理6.2Chap VI]。在对一个随机控制问题进行重新表述后，得到了正则化解的导数的一个切向一致的十字形引理，即引理3.3。这个引理的证明基于附录A，它将[10，引理11.4]推广到我们的情况。

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2022-5-6 05:34:46

定理3.1，当截断“消失”时，导数的一致估计允许证明正则解收敛于半线性偏微分方程的解。然后，验证结果证明了Girsanov变换的基本性质，从而得出了主要结果定理2.4。本研究假设与[15]假设的某些差异是由于模型系数的某些增长条件（在[15]中宣布为线性增长）应被平方机械增长所取代（见备注2.3第4点）。我们通过设置要使用的一些符号来完成这篇冗长的介绍。注：对于线性空间F和G，L（F，G）是线性连续算子的线性空间F到G。L（F，G）被赋予算子范数。线性算子及其矩阵表示（给定正交基的w.r.t.）将无法区分。A′表示线性算子A的伴随算子，|A |表示A的算子范数≥ 1是一个整数，对我来说∈ {0，…，n}设Oibe是有限维向量空间的开子集。对于函数f:O×·On→ O、定义好后，m w.r.t.阶变量x的偏导数，xm，everyi，xi在哪里∈ 对于某些j，表示为fx。。。xm。

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2022-5-6 05:34:50

为了避免混淆，我们偶尔会写信xf而不是fxetc。如果没有另外说明：z=（x，y），r=（p，q）∈ E=Rn×Rd。恒等式函数表示为I，可能带有一个指示哪个集合的索引。a，b的标量积∈ F，根据上下文，使用a·b、（a，b）Fand（a，b）。在赋范空间E中，半径R以0为中心的开球表示为BE（0，R），BE（0，R）表示其闭包（或仅表示为B（0，R）和B（0，R））。2在完全概率空间上，数学模型和主要结果B和W分别是两个独立的标准布朗运动，其维数和d分别限制在时间间隔[0，T]（T>0）(Ohm, F、 P）完全过滤F=（英尺）0≤T≤t由W=（B，W）生成。我们认为，在时间间隔[0，T]上，一个有n个风险资产的金融市场，其价格过程为Si，1≤ 我≤ n是严格正的，一个利率为0的无风险资产。由于Si是严格正的，我们可以用Rn值过程X的项来表示动力学，其i:th坐标为Xi=ln（Si）。过程X应该满足SDEdXt=＠u（t，Zt）dt+σ（t，Zt）dBt+σ（t，Zt）dWt，X∈ Rn，（2.1），其中Zt=（Xt，Yt）是一个E=Rn×Rd值的过程，Y是一个Rd值的过程，代表模型的“外生随机因素”，并用于满足SDEdYt=u（t，Yt）dt+dWt，Y∈ 在方程（2.1）中，Rd.（2.2），△u、σ和σ分别是[0，T]×E到Rn、L（Rm，Rn）和L（Rd，Rn）的连续函数。在方程（2.2）中，u是[0，T]×Rdinto-Rd的连续函数。我们引入了波动函数σ：[0，T]×E→ SDE（2.1）的L（Rm+d，Rn）和∑[0，T]×E→ SDEs（2.1）和（2.2）系统的L（Rm+d，E）由∈ [0，T]，z∈ E、 a=（b，c），b∈ Rmand c∈ Rdσ（t，z）a=σ（t，z）b+σ（t，z）c和∑（t，z）a=（σ（t，z）a，c）。

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2022-5-6 05:34:53

（2.3）我们还引入了函数σi:[0，T]×E→ Rm+d，1≤ 我≤ n、通过σi（t，z）=（σi1（t，z），σim+d（t，z））和漂移函数u：[0，t]×E→ Rnbyu=~u+β，其中β=（β，…，βn），βi（t，z）=|σi（t，z）|，范数是E中的欧几里德范数。（2.1）和（2.2）中的系数应满足不同目的的各种条件。与Z的存在相关的条件：条件A.A）如果f i是函数∧：[0，T]×E→ Rnorσ：[0，T]×E→ L（Rm+d，Rn）然后∈ C（[0，T]×E）和 C.s.t。（t，z）∈ [0，T]×E | fz（T，z）|≤ C.（2.4）A）功能满足度：u∈ C（[0，T]×Rd；Rd）和 C.s.t。（t，y）∈ [0，T]×Rd|yu（t，y）|≤ C.（2.5）与HJB方程的C1,2解存在相关的条件：条件B.B）C1,2σ的正则性，σ∈ C1,2（[0，T]×E，L（Rm+d，Rn）），（2.6）B）表示（T，z）∈ [0，T]×E对于i=1，2，设Mi（T，z）=σi（T，z）σi（T，z）′，M（T，z）=M（T，z）+M（T，z）。我们将考虑以下条件： C∈ R: （t，z）∈ [0，T]×E，|σ（T，z）|≤ C、（2.7）（t，z）∈ [0，T]×E，M（T，z）-1存在和 C∈ R: （t，z），|M（t，z）-1| ≤ C、（2.8）B）函数sμ和μ满足以下g平方根增长条件：存在C∈ R使得所有（t，z）∈ [0，T]×E | |u（T，z）|≤ Cp1+| y |和|u（t，y）|≤ Cp1+| y |。（2.9）B）所有（t，z）∈ [0，T]×E，M（T，z）是可逆的，如果f（T，z）=| M（T，z）-1/2u（t，z）|然后满足f∈ C0,1（[0，T]×E）和 C.s.t。（t，z）∈ [0，T]×E | f（T，z）|+| fz（T，z）|≤ C.（2.10）与验证定理应用相关的条件：条件C.C）适用于所有（t，z）∈ [0，T]×E，M（T，z）是可逆的，如果f（T，z）=σ（T，z）′M（T，z）-1u（t，z），然后f满足∈ C0,1（[0，T]×E）和 C.s.t。（t，z）∈ [0，T]×E | fz（T，z）|≤ Cp1+| y |。（2.11）当满足条件a的a）和a）时，SDE（2.1）和（2.2）系统具有唯一的强解是标准的，参见。

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2022-5-6 05:34:56

[17].当M（t，z）可逆时，我们将使用符号n（t，z）=σ′（t，z）M（t，z）-1σ（t，z）。（2.12）当第1点允许简化方程式（2.1）（见备注2.2）时，立即得到以下结果。引理2.1.1。假设σ满足条件（2.4）、（2.6）、（2.7）和（2.8）。然后，这些条件也满足，σ替换为√σ=（M1/2，σ）2。如果σ满足条件（2.7）和（2.8），则 C∈ (0, 1) : （t，z）∈ [0，T]×E，1- |N（t，z）|≥ C.（2.13）证据：1。根据（2.7）和（2.8），存在0<c<c，使得m（t，z）的光谱是所有（t，z）的（c，c）的子集。用C+实数部分复数集表示≥ 0.设γ是一条简单的正方向连续闭曲线，在C+，C+的内部，封闭[C，C]。平方根函数在C+中是全纯的，因此通过邓福德-泰勒积分，（t，z）∈ [0，T]×E，M（T，z）1/2=-2πiZγζ1/2R（M（t，z），ζ）dζ，（2.14），其中R（M（t，z），ζ）=（M（t，z）- ζI）-1是M（t，z）在ζ处的预解式。使用导数w.r.t.l作为变量t和Zi之一，由lR（M（t，z），ζ）=-R（M（t，z），ζ）(lM（t，z）R（M（t，z），ζ），一个验证条件（2.4）、（2.6）、（2.7）和（2.8）满足∑=（M1/2，σ）。根据（2.8）存在c>0，因此对于所有（t，z）∈ [0，T]×e和a∈ 我们有（a，M（t，z）a）≥ c | a |+|σ（t，z）′a |或等效的| a|≥c | M（t，z）-1/2a |+|σ（t，z）′M（t，z）-1/2a |。由（2.6）可知，存在C>0，使得|σ（t，z）′M（t，z）-1/2|≤ 1.- c/| M（t，z）|≤ 1.- 所有这些（t，z）的c/c。然后通过N的定义，|N（t，z）|=|M（t，z）-1/2σ（t，z）|=|σ（t，z）′M（t，z）-1/2|≤ 1.-c/c.备注2.2。根据1，我们将使用它。

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2022-5-6 05:34:59

在引理2.1中，当f函数M-1存在，即dXt=＠u（t，Zt）dt+M（t，Zt）1/2d＠Bt+σ（t，Zt）dWt，X∈ Rn，（2.1\'）式中，Bt=ZtM（s，Zs）-1/2σ（t，Zs）dBs。事实上，根据列维的刻画定理（~B，W）是一个标准(Ohm, F、 F，P）B.m.，其中一项证明：如果条件A）和A）满足且-1（t，z）对所有（t，z）都存在∈ [0，T]×E，那么Z是系统（2.1）的强解，（2.2）i fff Z是系统（2.1’）和（2.2）的强解。备注2.3.1。（2.3）中的波动函数∑对所有（t，z）都有∈ [0，T]×E性质：∑（T，z）在E上，σ（T，z）在-to上，或者等价地，∑（T，z）在E上，σ（T，z）=σ（T，z）σ（T，z）′是可逆的。当M（t，z）可逆时，一个有|（t，z）∑（t，z）′）-1/2| ≤ 1+| M（t，z）-1/2 |+|σ（t，z）′M（t，z）-1/2|.特别地，∑满足了这个不等式的一致抛物性条件，它的右边一致有界于[0，T]×E.2。在某些情况下，[9，定理6.2，p169]将用于证明本文的重要结果，尤其是等式（3.22）的解的存在性。文字应用要求m=n。然而，如果∑满足统一抛物线条件，则可通过重新定义B.m，将情况m>n简化为情况m=n，如备注2.2.3所示。L et M（t，z）是可逆的，让线性算子A（t，z）如（3.13）所示。如果其中一个线性算子M（t，z），I- N（t，z）orA（t，z）有一个倒数，那么这三个都是可逆的。4.在SDE（2.1）和（2.2）系统中，当系数独立于时间和价格时，幂效用函数的最优投资组合问题在[15]中进行了处理（具体见[15，（H3a），p.66]）。在这种情况下，我们的假设与[15]的假设之间存在着重要的差异。

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2022-5-6 05:35:02

在fact中，B）的（2.9）对u施加平方根增长条件，但[15]的相应假设（H3ai）仅对u施加线性增长条件。然而，在线性增长条件（H3ai）下[15，引理4.1]的证明是错误的，结果证明我们的平方根增长条件正是使其正确所需的条件。[15，备注2.2]中指出，当u满足条件A的Lipschitz条件（2.5）时，则| Y |满足以下线性增长条件，C∈ 像这样T∈ [0，T]| Yt |≤ C1+Zt |吴|杜| Wt|, （2.15）因此存在ε>0，使得sup0≤T≤Teε| Yt|< +∞. （2.16）现在考虑一个在上述金融市场中具有电力效用函数U和自我融资投资政策π的代理人，其目的是优化最终财富WT的预期效用E[U（WT）]。更准确地说，假设时间t时的流动值WT>0∈ [0，T]，满意度DWT=WtX1≤我≤nπitSitdSit，其中π=（πt，…，πnt）是一个适应的Rn值过程。因此，π是一号资产1中持有的WT的部分≤ 我≤ n、容许控制的集合A在这里（遵循[15，公式（2.5）]所有F逐步可测量的Rn值的集合处理π满足 ε>0，使得sup0≤T≤ε|σ（Zt）′πt | i<∞. （2.17）对于给定的功率a∈ (-∞, 1） \\{0}，效用函数U由U（w）=waa定义，w>0。（2.18）增益函数J定义在[0，T]×（0，∞) X E×A byJ（t，w，z，π）=E[U（WT）|WT=w，Zt=z]，（2.19），其中过程z=（X，Y）满足SDEs（2.1）和（2.2），过程满足受控SDEdWs=Ws（π′su（s，Zs）ds+π′sσ（s，Zs）dWs），WT=w，t≤ s≤ T.（2.20）然后将agent的优化问题表示为以下随机最优控制问题，其值函数为v：（t，w，z）∈ [0，T]×（0，∞) ×Ev（t，w，z）=supπ∈AJ（t，w，z，π）。

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2022-5-6 05:35:05

（2.21）在这里，就像默顿的开创性工作一样，如果方程（2.21）的解v存在，那么效用函数U的（正）同质性和变量W中方程（2.20）的线性直接给出函数W 7→ v（t，w，z）必须是a度的齐次，即。 w>0，v（t，w，z）=wav（t，1，z）。（2.22）我们注意到（参见[15，备注1.2]）如果f:[0，T]×E→ Rn是Borel可测量的，如果有C∈ R、这样的话，尽管∈ [0，T]和z=（x，y）∈ E有|σ（t，z）′f（t，z）|≤ C（1+| y |），然后控制π∈ A、当πt=f（t，Zt）时。这是由（2.16）得到的。最后，我们陈述了本文的主要结果，这是命题4.1的一个推论，将在以下章节中得到证明：定理2.4。如果满足条件A、条件B和条件C，则为1。由公式（2.21）定义的价值函数v，满足度（2.22）和v（·1，·）∈C1,2（[0，T]×E），2。存在唯一的最优控制^π∈ A.3半线性HJB方程随机控制问题的Hamilton-Jacobi-Bellman方程（2.21）为：对于z=（x，y）和所有（t，w，z）∈ [0，T）×（0，∞) x Evt（t，w，z）+u（t，z）\'vx（t，w，z）+u（t，y）\'vy（t，w，z）+Tr（σ（t，z）\'vxx（t，w，z）σ（t，z））+Tr（σ（t，z）\'vxy（t，w，z））+yv（t，w，z）+supπ∈注册护士π′u（t，z）wvw（t，w，z）+π′σ（t，z）|wvww（t，w，z）+π′σ（t，z）σ（t，z）wvwx（t，w，z）+π′σ（t，z）wvwy（t，w，z）= 0，（3.1）和v（T，w，z）=waa。（3.2）通常，假设的同质性（2.22）会导致以下结果：v（t，w，z）=waae-u（t，z），for（t，w，z）∈ [0，T]×（0，∞) ×E。

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2022-5-6 05:35:08

（3.3）在安萨茨的假设下，我们得到WWnv（t，w，z）=anv（t，w，z），表示n∈ N.在方程（3.1）中插入此和（3.3），忽略参数（t，z）inu（t，z）：对于z=（x，y）和所有（t，z）∈ [0，T）×E- 美国犹他州-Tr（σ（t，z）′uxxσ（t，z））- Tr（σ（t，z）′uxy）-yu+H（t，z，uz）=0（3.4）和u（t，z）=0，（3.5），其中函数[0，t]×E×E （t，（x，y），（p，q））=（t，z，r）7→ H（t，z，r）∈ R由h（t，z，R）=|σ（t，z）′p |+q′σ（t，z）′p+|q定义|- u（t，z）′p- u（t，z）′q+a maxπ∈注册护士π′（u（t，z）- σ（t，z）σ（t，z）′p- σ（t，z）q）-1.- a |σ（t，z）′π|.（3.6）由于偏微分方程（3.4）在二阶导数中是线性的，因此定义为半线性。在条件（2.8）下，M（t，z）对所有（t，z）是可逆的∈ [0，T]×E，所以公式（3.6）中的最大化问题的唯一解∧π显式地由∧π（T，z，r）=1给出- aM（t，z）-1（u（t，z）- M（t，z）p- σ（t，z）q）。（3.7）代入（3.6）给出，对于所有（t，z）∈ [0，T]×E r中的二次多项式H（T，z，r）：H（T，z，r）=1- a |σ（t，z）′p |+1- aq′σ（t，z）′p+q′Id+a1- aσ（t，z）′M（t，z）-1σ（t，z）q+p′β（t，z）-1.- au（t，z）- q′u（t，z）+a1- aσ（t，z）′M（t，z）-1u（t，z）+a1- au（t，z）′M（t，z）-1u（t，z）。（3.8）为了以后的参考，我们注意到|σ（t，z）′π（t，z，r）|=（1）- （a）-2（u（t，z）- M（t，z）p- σ（t，z）q′M（t，z）-1（u（t，z）- M（t，z）p- σ（t，z）q）。（3.9）为了研究半线性方程（3.4）经典解的存在性，我们通过所有f函数u的C1,2l引入线性空间∈ C（[0，T]×E）∩C1,2（[0，T）×E）满足以下生长条件：当z=（x，y）时，存在C∈ R如此（t，z）∈ [0，T）×E，|M（T，z）1/2ux（T，z）|+|uy（T，z）|≤ C（1+| y |）。（3.10）本节的剩余部分用于证明半线性HJB方程的一个经典解的存在性结果，该解由定理3.1表示。

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2022-5-6 05:35:13

假设条件A、条件B和条件C A满足，则存在解决方案u∈ C1，2到半线性方程（3.4）和终止条件（3.5）。为了证明定理3.1，我们将具有终端条件（3.5）的半线性方程（3.4）转化为一个随机控制问题。假设（2.8），我们可以为所有人重写（t，z）∈ [0，T）×E，凸二次多项式E R7→ H（t，z，r），由（3.8）给出，形式如下：H（t，z，r）=（r，A（t，z）r）- （r，l（t，z））+k（t，z），（3.11），其中r=（p，q），N（t，z）=σ（t，z）′M（t，z）-1σ（t，z），（3.12）A（t，z）r=1.- aM（t，z）p+1- aσ（t，z）q，1- aσ（t，z）′p+q+a1- 安（t，z）q,(3.13)l（t，z）=(l（t，z），l（t，z））=1.- au（t，z）- β（t，z），u（t，y）+a1- aσ（t，z）′M（t，z）-1u（t，z）,（3.14）k（t，z）=a1- au（t，z）′M（t，z）-1u（t，z）。（3.15）当（2.8）满足所有（t，z）条件时，检查对称正线性算子A（t，z）是否为正定义∈ [0，T）×E，E上的凸函数L（T，z，·）由Legendre-Fenchel变换（in-功能的“r”7→ H（t，z，\'r）：L（t，z，r）=sup\'r∈E(-（\'r，r）- H（t，z，\'r））。（3.16）当A（t，z）是正定义，这在续集中是通过施加（2.8）假设的，那么L（t，z，r）具有以下显式形式：L（t，z，r）=（r）- l（t，z）′A（t，z）-1（r）- l（t，z））- k（t，z）。（3.17）通过凸度yh（t，z，r）=sup∈E(-（\'r，r）- L（t，z，\'r）），（3.18）其中，上确界为f或\'r=^r（t，z，r），^r（t，z，r）=l（t，z）- A（t，z）r。

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2022-5-6 05:35:16

（3.19）一个与半线性方程（3.4）相对应的随机控制问题，其终端条件（3.5）为nowu（t，z）=infν∈UtE“ZTtL（s，Zs，νs）dsZt=z#，（3.20），其中Uti是与Ft无关的全平方可积渐进可测E值过程集。对于R>0，在（t，z，R）处哈密顿量H（t，z，R）的正则化HR（t，z，R）∈[0，T]×由HR定义的环境影响报告（T，z，r）=sup|r|≤R(-（\'r，r）- L（t，z，\'r））。（3.21）我们考虑HJB方程，哈密顿量H被HR代替，-城市轨道交通-Tr（σ（t，z）′uRxxσ（t，z））- Tr（σ（t，z）′uRxy）-yuR+HR（t，z，uRz）=0，最终数据uR（t，·）=0。（3.22）我们将看到，[9，定理6.2，第六章]允许推导出aC1，2解uR的存在性。我们将使用A（t，z）和A（t，z）的简单估计-1（如果存在）及其第一衍生产品。表达式（3.13）直接给出| A（t，z）|≤ 1 +1 - a（|M（t，z）|+|N（t，z）|），（t，z）∈ [0，T]×E.（3.23）和| Az（T，z）|≤1.- a（1+| M（t，z）1/2 |+2 | M（t，z）-1/2 |）|σz（t，z）|，（t，z）∈ [0，T]×E.（3.24）以下A（T，z）的显式表达式（参见Schur补码）可以方便地预先定义A（T，z）-1:A（t，z）=t（t，z）D（t，z）t（t，z）\'（3.25），其中t（t，z）r=（p，σ（t，z）\'M（t，z）-1p+q）和D（t，z）r=（1- aM（t，z）p，q- N（t，z）q）。（3.26）自| D（t，z）-1| ≤ (1-a） |M（t，z）-1 |+|（I）-N（t，z））-1| ≤ (1-a） |M（t，z）-1|+1 - |N（t，z）|和|（t（t，z））-1| ≤ 1+| M（t，z）-1/2 |它跟在| A（t，z）后面-1（t，z）|≤ 2.(1 - a） |M（t，z）-1| +1 - |N（t，z）|1+| M（t，z）-1|. （3.27）直接计算得出| Nz（t，z）|≤ 4米（t，z）-1/2 | |σz（t，z）|。（3.28）不等式（3.24）、（3.27）和（3.28）给出|zA（t，z）-1（t，z）|≤1.- A.1+|M（t，z）1/2+|M（t，z）-1| +1 - |N（t，z）||σz（t，z）|。（3.29）引理3.2。让我们（2。

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2022-5-6 05:35:19

满足条件A的（4）和（2.5），并让σ满足（2.6）、（2.7）、（2.8）和（2.13），那么方程（3.22）有一个解uR∈ C1,2（[0，T）×E）∩C（[0，T]×E）在这类多项式增长函数的子集中是唯一的。证明：让引理的假设得到满足。然后，通过备注2.2和引理2.1，我们可以不受限制地假设m=n和σ是可逆的。uRthen的存在性和唯一性来自[9，定理6.2，第六章]。事实上，这个定理的假设是满足的：1。根据（2.4）和（2.7），函数u、u、β、u和σ是有界导数。因此，存在C∈ R使得f或allz=（x，y）∈ E和f∈ {u，u，β，σ}f（t，z）|≤ C（1+| z |），fz（t，z）|≤ C、 |u（t，y）|≤ C（1+| y |）和|yu（t，y）|≤ C.（3.30）2。通过（3.30），（2.6）和（2.7），[0，T]×E （t，z）7→ ∑（t，z）与它的一阶导数结合在一起。然后由（2.8），∑（t，z）是可逆的安第斯 z 7→ ∑（t，z）-1与它的一阶导数一起有界。定义θ（t，z，r）=∑（t，z）-[9，定理6.2，第六章]假设（6.9）的1r，a）点和b）点得到满足。根据条件（2.4）和条件（2.7）、（2.8）和（2.13），不等式（3.27）和（3.29）给出了一些C∈ R|A（t，z）-1（t，z）|≤ C和|zA（t，z）-1（t，z）|≤ C |σz（t，z）|≤ CC，（3.31），其中最后一个不等式从（3.30）中得出，对于z的某些依赖项。根据不等式（3.31），存在C>0，因此对于所有（t，z，r）∈[0，T]×E×E | L（T，z，r）|≤ C | r- l（t，z）|+|k（t，z）|，（3.32）|Lz（t，z，r）|≤ C | r- l（t，z）|+C|lz（t，z）|r- l（t，z）|+|kz（t，z）|。（3.33）由（3.30），（2.8）和（2.13）得出C>0，因此对于所有（t，z）∈ [0，T]×E | k（T，z）|+| l（T，z）|≤ C（1+| z |）。（3.34）现在使用（3.30），（3.28），（2.7），（2.8），（2.13）可以得出（3.34）中的C可以选择为| kz（t，z）|+lz（t，z）|≤ C（1+| z |）。

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2022-5-6 05:35:22

（3.35）上述对L、L和k及其一阶导数的估计意味着函数[0，T]×E×`BE（0，R）（t，z，r）7→ L（t，z，r）有界于z中的二次多项式的一阶导数。这表明[9，定理6.2，第六章]的假设（6.9）的c点是满足的。因此[9，定理6.2，第六章]的所有假设都是正确的。对于导数uRz，我们有如下的估计，在R中是一致的。引理3.3。让条件（2.9），（2.10）和（2.11）以及方程3.2的条件都满足。n存在C∈ R使得对于所有（t，z）=（t，（x，y））∈[0，T]×E和R>0 | uRz（T，z）|≤ C（1+| y |）。证明：解uRto（3.22）具有随机控制表示，其解通过验证获得，参见[9，定理6.4，第六章]和[17，Th？？？]uR（t，z）=infν∈Ut（R）EQZTtL（s，\'Zs，νs）ds\'Zt=z, （3.36）其中Ut（R）={ν∈ Ut:|ν|≤ R a.e.dt dQ}式中，Z的受控动力学由d¨Zt=νtdt+∑（¨Zt）d¨WQt（3.37）给出，其中¨WQa（m+d）-维标准布朗运动在Q和¨WQ=（BQ，WQ）下，wqd-维。设^Z为（3.37）的解，其中最优控制函数由（3.19）给出。然后（3.36）的最优控制由（3.36），uR（t，z）=EQ“ZTtL（z，s）ds给出^Zt=z#。（3.38）根据受控SDE（3.37）和[10]的结果，Uri的导数由以下公式给出（参见附录推论A.2的证明）：uRz（t，z）=EQ“ZTtLz（^Zs，^νs）ds^Zt=z#。（3.39）函数kzis是以（2.10）为界的。功能u, u和β以（3.30）和函数为界（σ′M）-1u）以（2.11）为界。这表明该功能l齐斯跳了起来。

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2022-5-6 05:35:25

现在由不等式（3.33）得出，新常数C和一些正常数C，都是（t，z，r）∈ [0，T]×E×E | Lz（T，z，r）|≤ C | r-l（t，z）|+C|lz（t，z）|r-l（t，z）|+|kz（t，z）|≤ C（1+| r）-l（t，z）|）。（3.40）通过条件（2.7）和（2.13）以及不等式（3.23），函数[0，t]×E（t，z）7→ |A（t，z）|以常数C>0为界，所以| A（t，z）-1| ≥ C-1.因此有一个新的常数C | Lz（t，z，r）|≤ C1+（r）- l（t，z），A（t，z）-1（r）- l（t，z））= C（1+L（t，z，r）+k（t，z））。函数k根据（2.10）有界。设c（k）为界。然后，为了所有人（t，z，r）∈ E×E，| Lz（t，z，r）|≤ C（1+L（t，z，r）+C（k））。（3.41）设¨Zbe是一个δ=0的SDE（3.37）的解。不等式（3.41）、随机控制表示（3.36）和（3.39）以及不等式（3.32）然后给出，对于一些依赖于（t，z）和R的正常数| uRz（t，z）|=情商ZTtLz（s，^Zs，^νs）ds^Zt=z≤ 情商ZTtC1+L（s，^Zs，^νs）+c（k）ds^Zt=z≤ CC+EQZTtL（s，^Zs，^νs）ds^Zt=z≤ CC+EQZTtL（s，`Zs，0）ds\'Zt=z.（3.42）由于条件（2.9）和（2.11），存在C∈ R使得对于所有（t，z）=（t，（x，y））∈ [0，T]×E|l（t，z）|≤ C（1+| y |）。（3.43）估算值（3.32）和| k（t，z）|≤ c（k）然后用一个新的常数c表示所有（t，z）∈ [0，T]×E，| L（T，z，0）|≤ C（1+| y |）。现在，fr om（3.42）表示，对于（t，z）和R|uRz（t，z）|≤ CC+CEQZTt（|y |+|WQs |）ds!.这证明了C的存在∈ 使所有（t，z，R）∈ [0，T]×E×（0，∞),|uRz（t，z）|≤ C（1+| y |），其中z=（x，y）。（3.44）定理3.1的证明。函数E R→ -（r，uRz（t，z））E- 对于^rR（t，z）=l（t，z）- A（t，z）uRz（t，z）。回想一下，A（t，z）由（3.23）和l 满意度（3.43）。

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2022-5-6 05:35:28

此外，BYLEMA 3.3有一个C，这样，对于所有（t，z，R）∈ [0，T]×E×（0，∞), uRzsatis是不等式| uRz（t，z）|≤ C（1+| y |）。因此对于给定的c≥ 0，存在R的正恒量依赖，因此| rR（t，z）|≤ C （t，z）∈ [0，T]×E使得| y |≤ c、因此，对于R≥ C、我们有hr（t，z，uR（t，z））=sup∈\'BE（0，R）-\'r\'uR（t，z）- L（t，z，r）= 副手∈E-\'r\'uR（t，z）- L（t，z，r）= H（t，z，uR（t，z）），（3.45）表示所有（t，z）∈ [0，T]×E使得| y |≤ c、由于c可以选择任意大，这意味着Uri是一个满足（3.10）的C1,2解to（3.4）-（3.5）。4随机最优控制问题经典解的存在性本节致力于证明本文的主要结果，定理2.4，这是以下命题4.1和定理3.1中经典解的存在性的一个平凡推论（未正式陈述）。在命题4.1中，使用Girsanov变换的基本性质（参见[15]）证明了一个验证结果，该结果将半线性方程（3.4）和终端条件（3.5）的解与原始随机控制问题（2.21）联系起来。提议4.1。如果你∈ C1,2是半线性偏微分方程（3.4）的解，如果满足假设（2.5）和（2.4），并且如果[0，T]×E，则具有终止条件（3.5）（t，z）=（t，（x，y））7→ |M（t，z）-1/2u（t，z）|（1+| y |）-1是一个有界函数（4.1），那么（2.21）的v值函数由v（t，w，z）=waae给出-u（t，z），for（t，w，z）∈ [0，T]×（0，∞ ) 存在唯一的最优控制过程^π∈ A、 ^πt=π（t，Zt，uz（t，Zt）），其中π由（3.7）定义。证据：1。我们首先证明^π∈ A.

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2022-5-6 05:35:31

利用相关线性空间中的范数，从（3.9）得出|σ（t，z）′π（t，z，r）|=（1）- a） |M（t，z）-1/2（u（t，z）- M（t，z）p- σ（t，z）q）|≤(1 - a）（|M（t，z）-1/2u（t，z）|+| M（t，z）1/2p |+| M（t，z）-1/2σ（t，z）q）|）。（4.2）使用条件（4.1）和（3.10），这适用于某些C∈ R表示|σ（t，z）′π（t，z，ux（t，z），uy（t，z））|≤(1 - a）（|M（t，z）-1/2u（t，z）|+|M（t，z）1/2ux（t，z）|+|M（t，z）-1/2σ（t，z）uy（t，z））|）≤ C（1+| y |）。（4.3）现在根据fr om（2.16）得出^π满足（2.17），所以^π∈ A.2。让π∈ A应该是可接受的控制。我们用dqπdP=exp定义度量QπZTaπ′sσ（s，Zs）d~Ws-ZT|aσ（s，Zs）′πs|ds. （4.4）自π∈ A、条件（2.17）意味着Qπ是一种可能性度量（参见练习1.40，§1，第八章[16]）。m维和d维过程Bπ和Wπ分别以及m+d维过程Wπ=（Bπ，Wπ）由dWπt=dWt定义- aσ（t，Zt）′πtdt，~Wπ=0。根据Girsanov定理，这三个过程是标准的多维qπ-B.m.和dxt=（？（t，Zt）+aσ（t，Zt）σ（t，Zt）′πt）dt+σ（t，Zt）d＠Wπt，dYt=（u（t，Yt）+aσ（t，Zt）′dt dWπt，（4.5）3。如果你∈ C1,2是（3.4）和（3.5）以及π的解∈ A是一个指数qπ-局部鞅ξπ，由ξπt=exp定义-Zt（ux（s，Zs）′σ（s，Zs）dBπs+（uy（s，Zs）′+ux（s，Zs）′σ（s，Zs））dWπs）-Zt（|σ（s，Zs）′ux（s，Zs）|+|uy（s，Zs）+σ（s，Zs）′ux（s，Zs）|ds.（4.6）特殊情况ξ^π是Qπ-鞅。事实上，根据不等式（3.10），存在C∈ 就是这样∈ [0，T）|ux（T，Zt）′σ（T，Zt）|+|uy（T，Zt）′+ux（T，Zt）′σ（T，Zt）|≤ C（1+| Yt |）。（4.5）中的第二个SD E，π=π，不等式（4.3）则意味着可以选择上述常数C，以便| Yt |≤ |Y |+Zt（|u（s，Ys）|+a |σ（s，Zs）′πs |）ds+|W^πt |≤ |Y |+CZt（1+| Ys）|）ds+| W^πt |，它利用G¨ronwall不等式导致ε>0的存在，从而使sup0≤T≤TEQ^πheεYt|i<∞.现在，通过使用上述练习来证明这一观点。4.

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2022-5-6 05:35:34

按（2.20）WT=w expZTt（π′su（s，Zs）ds+π′sσ（s，Zs）dWs）-ZTt|π′sσ（s，Zs）|ds,加上（2.19）给出了j（t，w，z，π）=waaEQπ经验ZTtl（s，Zs，πs）dsZt=z, （4.7）α在哪里∈ Rn，l（t，z，α）=aα′u（t，z）- （a）1- a） /2）|σ（t，z）′α|。现在让我们∈ C1,2可能是（3.4）和（3.5）的解。通过公式（4.5），应用于u（t，Zt）的It^o公式给出：u（t，Zt）=u（t，Zt）+ZTtut（s，Zs）+ux（s，Zs）′（~u（s，Zs）+aσ（s，Zs）σ（s，Zs）′πs）+uy（s，Zs）′（u（s，Ys）+aσ（s，Zs）′πs）+Tr（σ（s，Zs）′uxx（s，Zs）σ（s，Zs））+yu（s，Zs）+Tr（σ（s，Zs）′uxy（s，Zs））ds+ZTtux（s，Zs）′σ（s，Zs）dBπs+（uy（s，Zs）′+ux（s，Zs）′σ（s，Zs））dWπs≥ u（t，Zt）+ZTtl（s，Zs，πs）ds+ZTtux（s，Zs）′σ（s，Zs）dBπs+（uy（s，Zs）′+ux（s，Zs）′σ（s，Zs））dWπs+ZTt|σ（s，Zs）′ux（s，Zs）|+|uy（s，Zs）+σ（s，Zs）′ux（s，Zs）|ds。（4.8）ξπ是Qπ-上鞅，终端条件u（T，z）=0，因此从（4.8）可以得出，等式π经验ZTtl（s，Zs，πs）ds英尺≤ 经验（-u（t，Zt））EQπξπTξπT英尺≤ 经验（-u（t，Zt）），（4.9）自π∈ A到目前为止是任意的，从（4.7）可以看出 π ∈ A、 J（t，x，z，π）≤xaaexp(-u（t，z））。（4.10）现在特别选择π=^π，在（4.8）中有等式。由于ξ^π是一个Qπ鞅，因此它允许（4.9）和（4.10）中的所有不等式都是等式，这证明了v（t，x，z）=supπ∈AJ（t，x，z，π）=J（t，x，z，^π）=xaae-u（t，z）。附录E=Rp，F=rqp，q∈ N*. W是完全概率空间上的q维标准布朗运动(Ohm, F、 Q）被赋予完整的过滤F=（Ft）t≥0由W生成。对于t∈ [0，T]，其中T>0是固定的，我们用Ut表示所有逐步可测量的E值过程φ独立于ofFt的集合，例如EhRTt |φ（s）| dsi<∞.

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2022-5-6 05:35:38

对于R>0，我们设置（R）={ν∈ Ut:|ν|≤ R a.e dt dQ}。给定（t，z）∈ [0，T]×E，我们考虑过程Zt，z:Zt，z（s）=z+Zstν（u）du+Zstσ（u，Zt，z（u））dWu，T的下列SDE≤ s≤ T、（A.1）式中[0，T]×E （t，z）7→ σ（t，z）∈ L（F，E）是一个连续函数，Lipschitz在z中连续（Lipschitz常数K独立于t，其中控制过程为ν（·）∈ Ut（R）。根据经典定理（参见[11,9.定理，p.8 3和10.推论，p.8 5]），存在一个强解和一个常数C（q，K），使得对于所有∈ [0，T]，z，z′∈ 伊恩和q≥ 2E监督≤s≤T | Zt，z（s）| q≤ C（q，K）C′（1+| z | q），（A.2）其中C′=1+Rq+supt≤s≤T |σ（s，0）|，and监督≤s≤T|Zt，z′（s）- Zt，z（s）|q≤ C（q，K）|z- z′|q（A.3）表示所有实函数在[0，T]×E×E上的线性空间，使得f和fzare连续，其中fz（T，z，v）=zf（t，z，v）。LetL:[0，T]×E×E→ R是满足下列条件的函数：（a）L∈ C0,1,0（[0，T]×E×E）（b）k、 C≥ 0使得| L（t，z，v）|≤ C（1+| z | k），（t，z，v）∈ [0，T]×E×\'B（0，R），（c）l，C≥ 0这样的t | Lz（t，z，v）|≤ C（1+| z | l），（t，z，v）∈ [0，T]×E×`B（0，R）。（A.4）对于（t，z）∈ [0，T]×E固定，我们考虑最小化j（T，z；ν）=E的问题ZTtL（s，Zt，z（s），ν（s））ds,inν∈ Ut（R）。我们的目标是找到函数uR:[0，T]×E的导数→R、关于第二个参数，其中uri定义为ur（t，z）=infν∈Ut（R）J（t，z；ν）。引理A.1。如果L满足（A.4），σ与（A.1）A和ν（·）相同∈ Ut（R），然后是导数Jzexists和jz（t，z；ν）=EZTtLz（s，Zt，z（s），ν（s））ds.证据

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2022-5-6 05:35:42

对于h∈ R\\{0}，（t，z）∈ [0，T]×E和ξ∈ E、我们将证明这一点→0h（J（t，z+hξ；ν）- J（t，z；ν））=EZTtLz（s，Zt，z（s）ν（s））ds· ξ.因为L是C0，1，0，我们有∈ [0，T]和z，z，v∈ E、 L（s，z，v）- L（s，z，v）=ZLz（s，（1）- λ） z+λz，v）dλ· （z）- z）。这个公式和J giveJ（t，z+hξ；ν）的定义- J（t，z；ν）=EZTtL（s，Zt，z+hξ（s），ν（s））- L（Zt，z（s），ν（s））ds= E[Yh]，（A.5），其中Yh=ZTtZLz（s，Zλ（t，s），ν（s））·（Zt，Z+hξ（s）- Zt，z（s））dλds，Zλ（t，s）=（1）- λ） Zt，z+hξ（s）+λZt，z（s）。为了研究E[Yh]对小| h |的行为，我们用（A.1）：Yh=Uh+Vh，（A.6）其中Uh=（hξ）·ZTt∧h（t，s）ds，Vh=ZTt∧h（t，s）·Mh（t，s）ds，（A.7）∧h（t，s）=ZLz（s，Zλ（t，s），νdλ和Mh（t，s）=Zst=Zstσ（τ，Zt，z+hξ（τ））- σ（τ，Zt，z（τ））dWτ。由于σE[（Mh（t，s））]=E的Lipschitz性质Zst |σ（τ，Zt，z+hξ（τ））- σ（τ，Zt，z（τ）|dτ≤ 柯Zst | Zt，z+hξ（τ）- Zt，z（τ）|dτ.不等式（A.3）然后给出[（Mh（t，s））]≤ C（s）- t） |hξ|，对于C∈ R独立于s，t，z，zand v.根据（A.4）的（c）我们有：|Lz（s，zλ（t，s），ν（s））|≤ C（1+| Zλ（s）| l）≤ C（1+|Zt，z（s）+|Zt，z+hξ（s）|）l.估计（A.2）t然后给出[（λh（t，s））]≤ C（1+| z |+| z+hξ|）2l，对于C∈ R独立于s，t，z，zand v.所以Cauchy-Schwartz不等式给出了[|Vh |]≤ EZTt∧h（t，s）·Mh（t，s）|ds≤ C | hξ|（1+| z |+| z+hξ|）l，对于C∈ R独立于s，t，z，zand v。由于Mh（t，·）是一个限制于[t，t]的鞅，它现在遵循（a.7）和富比尼定理，即e[Vh]=0。（A.8）对于所有ε>0，我们通过马尔可夫不等式和（A.3）得到，q=2，即q监督≤s≤T | Zt，z+hξ（s）- Zt，z（s）|≥ ε≤εE监督≤s≤T | Zt，z+hξ（s）- Zt，z（s）|≤Ch |ξ|ε，其中C∈ R独立于t，z，zand v，So supt≤s≤T | Zt，z+hξ（s）- Zt，z（s）|当h→ 0

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2022-5-6 05:35:44

通过函数[0，t]×E×E×E的连续性（s，z，z，z）7→ZLz（s，（1）- λ） z+λz，v）dλ- Lz（s，z，v）然后它也跟着≤s≤T∧h（T，s）- Lz（s，Zt，z（s），ν（s））|在概率上收敛到0，如h0。这也是f orRTt∧h（t，s）的情况-Lz（s，Zt，z（s），ν（s））ds。根据（A.4）和（A.2）中的（c）项，可以得出以下结论：ZTt∧h（t，s）- Lz（s，Zt，z（s），ν（s））ds:|h |≤ 1.是一致可积的。这给了Thatlim→0EZTt∧h（t，s）- Lz（s，Zt，z（s），ν（s））ds= 0，加上（A.6）和（A.8），表示→0E嘿- ξ·Lz（s，Zt，z（s），ν（s））ds= 0.给定（t，z）∈ [0，T]×E，设νR*（t，z）是Ut（R）中唯一的元素→ J（t，z；ν）在Ut（R）上取其最小值。现在让Zt，z*= （Zt，z）*（s））t≤s≤t通过溶液t oZt，z*（s） =z+ZstνR*（u，Zt，z）*（u） du+Zstσ（u，Zt，z）*（u））dWu，t≤ s≤ T.（A.9）推论A.2。每（t，z）∈ [0，T]×E，uRz（T，z）=EZTtLz（s，Zt，z*（s），νR*（s，Zt，z）*（s））D, （A.10）其中Zt，z*是（A.9）的解决方案。证据自从νR*是一个最优马尔可夫控制策略，uR（t，z）=J（t，z；νR*（t，z））。给定（t，z）∈ [0，T]×E，h>0和ξ∈ 我们得到了（uR（t，z+hξ）- uR（t，z））=hinfν∈Ut（R）J（t，z+hξ；ν）- J（t，z；νR）*（t，z））≤h（J（t，z+hξ；νR）*（t，z））- J（t，z；νR）*（t，z））；（A.11）右侧倾向于Jz（t，z；νR*（t，z））·ξ为h0。因此，通过mma，uRz（t，z）·ξ≤ZTtLz（s，Zt，z*（s），νR*（s，Zt，z）*（s））ds·ξ。这适用于所有方向ξ，尤其是用-ξ、它给出了（A.10）。参考文献[1]Berdjane，B.a.和Pergamenschikov，S.：随机系数市场的最优消费和投资，金融学Stoch。17419–446（2013）[2]Bergomi，L.和Guyon，J.：《随机波动模型中的微笑》，预印本2011，可在http://ssrn.com/abstract=1967470[3] Bj–或k，T。

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2022-5-6 05:35:47

和Svensson，L.：关于非线性正演模型有限维实现的存在性，数学金融，11205–243（2001）。[4] Buehler，H.：稠变曲线模型，金融史托奇。10178–203（2006）[5]Castaneda Leyva，N.和Hern'andez Hern'andez，D.：具有随机系数的完全市场中的最优消费投资问题，暹罗J.控制优化。441322–1344（2005）[6]德隆，L.和克洛佩尔伯格，C.：勒夫驱动随机系数的布莱克斯科尔斯市场的最优投资和消费，安。阿普尔。Probab。18，879–908（200 8）[7]Ekeland，I.和Ta flin，E.：债券投资组合理论，《应用可能性年鉴》，15，1260–1305（2005）。[8] 菲利波维奇，D.和泰奇曼，J.：关于利率期限结构的几何学，Proc。R.Soc。隆德。爵士。A 460129–167（2004）[9]Fleming，W.和Rishel R.：确定性和随机最优控制，Springer Verlag，纽约（1975）。[10] 弗莱明，W.和索纳，H.M.：受控马尔可夫过程和粘性解，斯普林格·维拉格，纽约（1993）。[11] Krylov，N.V.：受控扩散过程，Springer Verlag，纽约（1980）[12]林德伯格，C.：随机波动市场中的投资组合优化和因子模型，随机78，259–279（2006）[13]默顿，R.：不确定性下的终身投资组合选择：连续时间案例，修订版。《经济学与统计》51247-257（1969）。[14] 默顿，R.：连续时间模型中的最优消费和投资组合规则，Jour。《经济理论》，3373-413（1971）。[15] Pham H.：具有随机波动性和投资组合约束的最优投资模型的光滑解，应用。数学擎天柱。46, 55–78 (200 2).[16] 雷沃兹，D。

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