一类具有退化系数的约束控制问题

2022-5-6 10:02:46

具有退化系数和退化后向SPDE且终端条件奇异的约束控制问题*Ulrich HorstJinniao QiuQi Zhang 2018年10月11日摘要我们研究了一个约束最优控制问题，在市场影响下，最优投资组合清算模型中可能出现退化系数。系数可以是随机的，在这种情况下，值函数由具有奇异终端条件的退化后向随机部分微分方程（BSPDE）描述。对于这个退化的BSPDE，我们证明了非负解的存在性和唯一性。我们的存在性结果需要一个新的退化BSPDE梯度估计。AMS主题分类：93E20、60H15、91G80关键词：随机控制、退化抛物线条件、倒向随机偏微分方程、投资组合液基、奇异终端值。1简介∈ (0, ∞) 及(Ohm,\'F，P）是一个带有过滤{Ft}0的概率空间≤T≤t满足通常条件。概率空间在非空Borel集Z上有一个m维布朗运动W和一个独立的点处理sJ 具有特征测量值u（dz）的RL。我们赋予集合Z以其Borelσ-a代数Z，并用π（dt，dz）表示相关的泊松随机测度。W生成的过滤以及所有P空集用{Ft}t表示≥0.可预测的σ-代数Ohm × [0, +∞) 对应于{Ft}t≥0和{Ft}t≥0分别表示为P，P。在本文中，我们讨论了带约束的随机最优控制问题：minξ，ρE“ZTηs（ys）|ξs |+λs（ys）|xs|ds+ZTZZγs（ys，z）|ρs（z）|u（dz）ds#（1.1）柏林洪堡大学数学系和商业与经济学院，德国柏林林登大学，邮编610099。

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2022-5-6 10:02:51

电子邮件：horst@math.hu-柏林。德国柏林洪堡大学数学系，林登6号，10099柏林。电子邮件：qiujinn@gmail.comSchool复旦大学数学科学系，上海200433。电子邮件：qzh@fudan.edu.cn*我们感谢各机构的研讨会参与者提出宝贵的意见和建议。UH通过SFB 649“经济风险”获得支持；QZ得到了中国国家科学基金会（编号1110109011471079）和上海市科学技术委员会（编号14XD1400400）的支持。论文是在UH访问比勒菲尔德大学跨学科研究中心（ZiF）时完成的。感谢您的盛情款待。从属于xt=x-Ztξsds-ZtZZρs（z）π（dz，ds），t∈ [0，T]xT=0yt=y+Ztbs（ys）ds+Ztσs（ys）dWs。（1.2）实值过程（xt）t∈[0，T]是状态进程。它由一对控件（ξ，ρ）控制。d维过程s（yt）t∈[0，T]不受控制。我们有时写x，x，ξ，ρt为0≤ s≤ T≤ T表示状态过程对控制（ξ，ρ）、初始时间s和初始状态x的依赖性∈ R.同样地，我们有时写ys，yt来表示对初始时间和状态的依赖。所有对的容许控制集（ξ，ρ）∈ L′F（0，T）×L′F（0，T；L（Z））s。t、 xT=0 a.s.假设成本函数为质量形式：Jt（xT，yt；ξ，ρ）=E“ZTtηs（ys）|ξs |+λs（ys）|xs|ds+ZTtZZγs（ys，z）|ρs（z）|u（dz）ds英尺#。（1.3）值函数由以下公式给出：Vt（x，y），e ss infξ，ρJt（xt，yt；ξ，ρ）xt=x，yt=y.（1.4）上述形式的控制概率出现在最优投资组合清算模型中。

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2022-5-6 10:02:54

在这种模型中，XT表示投资者在t时持有的投资组合∈ [0，T]，ξ是当时在常规交易所买卖股票的速度，xT=0是清算约束，ρT表示交叉网络中的股票数量，π表示交叉网络中的订单执行，ytis是驱动清算成本的一个随机因素。我们参考[1,2,11,13]和其中的参考文献，详细讨论投资组合清算问题，并解释系数η、λ和γ。在马尔可夫框架中，所有系数都是控制变量和状态变量的确定性函数，汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程最终证明是一个确定性非线性抛物偏微分方程（PDE），具有奇异性；详见[9]。Ankirchner、Jeanblanc和Kruse[2]以及Graewe、Horst和Qiu[8]在最近的论文中研究了具有预先指定终端值的非马尔科夫控制问题。Ankirchner等人用Terms表示了一个非线性倒向随机微分方程（BSDE）的值函数。[8]中的方法更一般。在这里，作者构造了反馈形式的最优控制，假设存在另一个独立的n维布朗运动B s.t.yt=y+ZTB（ys）ds+Ztσs（ys）dWs+Zt′σs（ys）dBs，（1.5）其中系数B、σ、′σ、λ、γ和η相对于w生成的过滤F是可测量的，并且‘σ满足超抛物线条件：mXk=1dXi，j=1′σik′σjk（t，x）ξiξj≥ δ|ξ| a.s。，（t，x，ξ）∈ [0，T]×Rd×Rd。我们不需要超对位条件。

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2022-5-6 10:02:57

在投资组合清算框架中，这种情况实际上并不总是自然的；它既不适用于许多资产价格的差异模型，也不适用于推动清算成本的重要绝对连续因素，如成交量加权平均价格。对于给定的股票价格过程（St）和给定的总日内交易活动（qt）模型（通常为确定性凸函数），VWAP定义为vt，RtSuquduRtqudu。这就要求将现有文献扩展到超抛物线框架之外。约束最优控制问题（1.1）可以正式地写成一个无约束问题：minξ，ρE“ZTηs（ys）|ξs |+λs（ys）|xs|ds+ZTZZγs（ys，z）|ρs（z）|u（dz）ds+(+∞)|xT |{xT6=0}#（1.6）根据xt=x-Ztξsds-ZtZZρs（z）π（dz，ds），t∈ [0，T]；yt=y+Ztbs（ys）ds+Ztσs（ys）dWs。鉴于Peng在非马尔可夫随机最优控制和成本函数的线性二次结构方面的开创性工作[15]，动态规划原理表明，价值函数的形式为vt（x，y）=ut（y）x，式中，u是一对（u，ψ）的第一个分量，形式上满足以下反向随机偏微分方程（BSPDE），且具有单一终端条件：-dut（y）=trσt（y）σ*t（y）Dut（y）+Dψt（y）σ*t（y）+ B*t（y）Dut（y）+F（s，y，ut（y））idt- ψt（y）dWt，（t，y）∈ [0，T]×Rd；uT（y）=+∞, Y∈ 第（1.7）条（t，y，r），-ZZrγ（t，y，z）+ru（dz）-rηt（y）+λt（y），（t，y，r）∈ R+×Rd×R.（1.8）BSPDEs最初由Bensoussan[3]引入，作为前向SPDE的伴随方程，此后被广泛用于随机控制文献，包括[5,6,7,10,18]。波皮尔首先研究了具有奇异终端条件的BSDE[16]。

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2022-5-6 10:03:02

据我们所知，具有奇异终端条件的退化二次微分方程以前从未被研究过。在偏微分方程理论中，简并BSPDE与超抛物型BSPDE有着本质上的区别（见[4,5,12]）。使用退化BSPDE[5,6,12,14]的最新结果，标准参数表明BSPDE（1.7）有唯一的解，并且如果终值是有限的，则满足比较原则。为了证明具有奇异终值的BSPDE的解（u，ψ）是可以得到的，因为一系列解对于具有有限终值的BSPDE的极限，除了在接近终值时间的极限条件下，还需要对u进行梯度估计。在[8]中分析的非退化情况下，不需要这样的梯度估计。非退化情况只需要在终端时间附近的增长条件，在这种情况下，超抛物性保证u的充分正则性。退化B SPDE的解的梯度估计通常取决于其在终端时间的梯度。在我们的例子中，BSPDE的终值是奇异的，因此它没有以明显的方式表征梯度。相反，我们从近似序列的梯度估计中得出梯度估计。O即使在马尔科夫的情况下，你的估计似乎也是新的。在梯度估计的基础上，给出了BSPDE在终端时间附近解的显式渐近估计。由于扩散系数的简并性，对于在分布意义上满足BSPDE（1.7）的随机函数u，没有通用It^o-Kunita公式（如[8]中使用的公式）。为了证明验证定理，我们转而求助于退化BSPDE和前向-后向随机微分方程（FBSDE）之间的联系，这要求随机场u具有一定的规律性，包括上述梯度估计。

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2022-5-6 10:03:06

最后，利用BSPDEs解的正部分的平方范数的It^o公式，我们证明了所得到的解是唯一的负解。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了辅助符号并陈述了我们的结果。在第3节中，我们展示了BSPDE（1.7）有一个非负解。第4节证明了该理论的正确性和解的唯一性。附录中回顾了关于半线性退化BSPDE的选定结果，其中我们还展示了截断版本的SPDE（1.7）的适定性，并建立了考虑奇异终端值的退化BSPDE的比较原则。2.准备工作和主要成果2。1注释在本文中，我们使用以下注释。D和dde分别表示一阶和二阶或二阶竞争算子；偏导数表示为. 对于Banach空间U和实数p∈ [1, ∞), 我们用L表示∞\'F（0，T；U）a和Lp\'F（0，T；U）所有P-进行可测U-值过程的Banach空间，它们分别本质上是有界的和P-次可积的。空间LpF（0，T；U），p∈ [1, ∞], a类似地定义为“P”，替换为P代表k∈ N+andp∈ [1, ∞), Hk，pis所有实值函数φ的Sobolev空间，其高达k阶导数属于Lp（Rd），具有通常的Sobolev范数kφkHk，p。对于k=0，H0，p，Lp（Rd）。此外，Hk，ploc，{u；uψ∈ 香港，p， ψ ∈ C∞c（Rd）}与c∞c（Rd）是所有可完全区分的函数的集合，在Rd中有紧凑的支持，Lp（0，T；Hk，ploc）通常被定义。为了简单起见，由u=（u，…，ul）∈ 香港，p，l∈ N+，我们的意思是，ul∈ Hk，pand kukpHk，p，Plj=1kujkpHk，p。我们分别用h·、·i和k·k来表示通常的希尔伯特空间L（Rd）（Lfor short）中的内积和范数。

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nandehutu2022

2022-5-6 10:03:09

我们用CwF（[0，T]；Hk，p）表示所有Hk，p值和联合可测量过程（Xt）T的空间∈[0，T]是F适应的，a.s.相对于[0，T]和“supt”上的T是弱连续的∈[0，T]kXtkpHk，p#<∞.在续集中，我们为任何正整数kSwF（[0，T]；Hk，p）、CwF（[0，T]；Hk，p）编写代码∩ L(Ohm, FC（[0，T]；香港-1，p），p∈ [1, ∞].2.2假设和主要结果我们现在定义了BSPDE的解决方案，其终值可能是有限的。定义2.1。让G：Ohm →\'R:=[-∞, +∞] 可测量。一对过程（u，ψ）是BSPDE的解(-dut（y）=f（t，y，u，Du，Du，ψ，Dψ）dt- ψt（y）dWt，（t，y）∈ [0，T]×Rd；uT（y）=G（y），y∈ Rdif（u，ψ）∈ 任何τ的LF（0，τ；H1,2loc）×LF（0，τ；H0,2loc）∈ （0，T），limτ→T-uτ（y）=G（y）a.e.单位为Rda。s、以及∈ C∞c（道路），ψ，f（·，·，u，Du，Du，ψ，Dψ）∈ L（0，τ；R）和hа，uti=hа，uτi+Zτthа，f（s，y，u，Du，Du，Du，ψ，Dψ）i ds-Zτth~n，ψsdWsi a.s。， 0≤ T≤ τ<T。这意味着对于任何f∈ （香港，p）*, Hk，p的对偶空间，映射t7→ f（Xt）在[0，T]上是a.s.连续的。在下列正则条件下，我们在随机系数上证明了BSPDE（1.7）解的存在性。假设2.1。（H.1）函数b，σ，η，λ：Ohm×[0，T]×Rd-→ Rd×Rd×m×R+×R+是P×B（Rd）可测的，本质上以∧>0，γ为界：Ohm×[0，T]×Rd×Z-→ [0, +∞] P×B（Rd）×Z可测。此外，还存在一个正常数κs.t.a.s.ηs（y）≥ κ, （y，s）∈ Rd×[0，T]。（H.2）对于任何（ω，t），存在b，η，λ的一阶导数和σ的高达二阶导数，并且它们一致地被一些L>0所限定∈ Ohm ×[0，T]。（H.3）存在（T，p）∈ [0，T）×（2，∞) s、 t.ess-inf（ω，t，y）∈Ohm×[T，T]×RdηT（y）≥1.-2pess sup（ω，t，y）∈Ohm×[T，T]×RdηT（y）。上述前两个条件均为标准条件，且始终采用。第三个是退化案件特有的。

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2022-5-6 10:03:13

它保证了值函数导数的有效可积性，并且满足η等条件∈ C（[t，t]；L）∞(Ohm 其中ηT（·）是某些T的正常数∈ [0，T）。鉴于（H.1），随机变量F（·，·，0）属于L∞F（0，T；L）∞（Rd））其中F在（1.8）中定义。由于使用驱动程序属于Lp[4,5,6]的BSPDE更方便，我们使用权重函数θ（y）=（1+| y |）-Qfory∈ q>d（2.1），所以θF（·，·，0）∈ 任意p的Lp（0，T；H1，p）∈ [1, ∞). 如[8]中所述，直接计算表明，（u，ψ）解（1.7）当且仅当（v，ζ），（θu，θψ）解附录中给出的BSPDE（a.6）。我们现在准备陈述我们的主要结果。下面是定理3.1、4.2和4.3的总结。定理2.1。在条件离子（H.1）-（H.3）下，BSPDE（1.7）允许一个唯一的非负解（U，ψ），即对于满足（θ′U，θ′ψ+σ）的BSPDE（1.7）的任何解（U，ψ）*D（θ′ψ））∈ SwF（[0，t]；H1,2）×LF（0，t；H1,2）， T∈ （0，T）和¨ut（y）≥ 上午0点Ohm ×[0，T）×Rd，我们有所有T的a.s∈ [0，T]，\'ut≥ 尤塔。e、在Rd中，如果我们有p>2d+2和θu∈ CwF（[0，t]；H1，p）对于某些p∈ （2d+2，p），然后所有t的a.s∈ [0，T]，\'ut=uta.e.对于这个解决方案，给定任何p∈ （2，p）存在α∈ （1,2），s.t.{（t）- t） α（θut，θψt+σ）*D（θut））（y）；（t，y）∈ [0，T]×Rd}属于SwF（[0，T]；H1,2）∩ CwF（[0，T]；H1，p）x LF（0，T；H1，2），其中有两个常数c>0和c>0 s.T.a.s.cT- T≤ 美国犹他州≤计算机断层扫描- 助教。e、在R， T∈ [0，T）。此外，如果（H.3）中引入的常数满足p>2d+2，那么：V（T，y，x），ut（y）x，（T，x，y）∈ [0，T]×R×Rd，与（1.4）中的值函数一致，最优（反馈）控制由（ξ）给出*t、 ρ*t（z））=ut（yt）xtηt（yt），ut（yt）xt-γt（z，yt）+ut（yt）. （2.2）备注2.1。

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2022-5-6 10:03:17

在或多或少的标准假设下，我们的主要结果适用于F对UT的其他非线性依赖性。然而，如[6]所示（另见定理A.1），由于缺乏对第二个未知变量ψ的正规估计，非线性项F需要独立于ψ，尽管它与ψ+σ有线性依赖关系*杜是被允许的。备注2.2。如果所有系数b，σ，λ，η，γa都是确定性的，那么最优控制问题是马尔科夫方程，BSPDE（1.7）简化为以下抛物线型偏微分方程：-tut（y）=trσtσ*t（y）Dut（y）+ B*t（y）Dut（y）-|ut（y）|ηt（y）+λt（y）-ZZ | ut（y）|γ（t，y，z）+ut（y）u（dz），（t，y）∈ [0，T]×Rd；uT（y）=+∞, Y∈ Rd，（2.3）式中σtσ*它可能会退化。在条件（H.1）-（H.3）下，该偏微分方程在分布（或弱）意义上成立。因此，即使在马尔科夫的情况下，我们的研究结果也是新的。备注2.3。定理2.1的主要新颖之处在于BSPDE（1.7）解的梯度估计。退化BSPDE甚至确定性偏微分方程解的梯度估计通常取决于其在终端时间的梯度和系数的梯度。例如，让我们考虑退化PDE的心房型（2.3）-tvt（y）=λt（y），（t，y）∈ [0，T]×Rd；vT（y）=G（y），y∈ Rd，为了一些G∈ H1,2（Rd）。然后我们有dvt（y）=DG（y）+ZTtDλt（y）dt，（t，y）∈ [0，T]×Rd，因此对于任何（T，y）∈ [0，T]×Rd（T）- t） αD（θvt）（y）=（t- t） αvt（y）Dθ（y）+（t- t） αθ（y）DG（y）+ZTtDλt（y）dt！。然而，在我们的例子中，BSPDE的终端值是奇异的，这并没有明显地表征梯度。例如，对于任何给定的正Schwartz函数g和正实数rand q，函数φ定义为φt（y），r g（（t- t） qy）（t- t） q，（t，y）∈ [0，T]×Rd共享奇异终端条件φT（y）=+∞, Y∈ Rd，但其梯度D k T（y）=rDg（0）根据对（r，g）的特定选择而变化。

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2022-5-6 10:03:21

因此，在这个意义上，我们的梯度估计是不平凡的，甚至在确定性的情况下似乎也是新的。3 BSPDE（1.7）非负解的存在性在本节中，我们建立了以下BSPDE（1.7）解的存在性结果。定理3.1。在条件（H.1）-（H.3）下，对于任何p∈ [2，p）对于某些α，BSPDE（1.7）有一个解（u，ψ）s.t∈ （1,2），{（T）- t） α（θut，θψt+σ）*D（θut））（y）；（t，y）∈ [0，T]×Rd}属于SwF（[0，T]；H1,2）∩ CwF（[0，T]；H1，p）x LF（0，T；H1，2）和a.s.cT- T≤ ut（y）≤计算机断层扫描- 助教。e、在R，T∈ [0，T），（3.1）具有两个常数c>0和c>0。为了证明上述定理，我们将把一个解识别为BSPDE（a.7）解序列的凸组合子序列的一个累积点∈ [2，p）由于命题a.3，这个BSPDE有一个唯一的解（vN，ζN）。由于推论a.4，序列{vN}在N中增加，因此收敛到某个极限v。为了证明v满足生长条件（3.1），我们用它们的下界（0，0，κ）和上界（λ+∞, ∧），特别地，从命题A.3推导得出，使用BSPDE的系统有唯一的解，由^uNt（y），κu（Z）θ（y）给出1+κu（Z）Neu（Z）（T）-（t）- 1和∧uNt（y），2∧θ（y）1-N-∧N+e-2（T）-（t）- λθ（y），然后应用比较原理得出a.s.：^uNt（y）≤ vNt（y）≤ ■uNt（y）a.e.在路，T∈ [0，T）。自≤2∧θ（y）1-N-∧N+e-2（T）-t） =2∧θ（y）e2（t）-t） e2（t-（t）-N-∧N+≤2∧θ（y）e2（T）-t） 1+2（t- （t）-N-∧N+≤θ（y）e2TN+∧+T-t∧表示κu（Z）θ（y）1+κu（Z）Neu（Z）（T）-（t）- 1.≤ vNt（y）≤θ（y）e2TN+∧+T-t∧a.e.在Rd（3.2）中，因此v sa是所需的生长条件。略为尖锐的上限ON-1+T-T对于vNtwill，对于下面引理3.3的证明，以及梯度估计，都很重要。我们的下一个目标是证明H0，p中序列{DvN}的一致界。

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2022-5-6 10:03:26

作为副产品，我们得到了大量的{ζN+σ序列*L（0，T；H1，2）中的DvN}。定理A.1（ii）中给出的界取决于BSPDE驱动器的Lipschitz常数。在我们的例子中，这意味着它取决于函数vN，因为驱动程序对vN的二次依赖性。以下推论提供了更好的估计。定理A.1中的估计是通过直接应用It^o公式得到的（见[5,6]）；因此，我们也可以从B SPDE（A.1）漂移的单调性而不是Lipschitz条件推导出估计。省略了详细的证明；这是标准的，但很麻烦。推论3.2。假设定理A.1的假设与F（·，·，0）相同∈ LpF（0，T；H1，p）∩ LF（0，T；H1，2）和G∈ Lp(Ohm, 英尺；H1，p）∩ L(Ohm, 英尺；H1,2）对于某些p∈ [2, ∞). 设（u，φ）为定理A.1中BSPDE（A.1）的解。如果存在康斯坦特兰函数g∈ LpF（0，T；H0，p）∩ LF（0，T；L）s.T.a.e.英寸Ohm ×[0，T]×Rd，us（y）f（s，y，us（y））+dXi=1yius（y）易+yius（y）Uf（s，y，us（y））≤ |gs（y）|+L|us（y）|+dXi=1|yius（y）|, （3.3）那么我们就有监督了∈[0，T]kutkpH1，p≤ C′pEKKKPH1，p+ZTkgtkpH0，pdt,安第斯苏普特∈[0，T]kutkH1,2+EZTkφT+σ*tDutkH1,2dt≤ C\'EkGkH1,2+ZTkgtkdt用常数C′=C′（d，m，λ，L，T，L）和C′p=C′p（d，m，λ，L，T，L，p）独立于Lipchitzconstant L。我们进行梯度估计。由于我们主要关心的是接近终点时间梯度的行为，我们把κ，ess-inf（ω，t，y）∈Ohm×[T，T]×RdηT（y），注意（3.2）保持不变，在[T，T]上用κ替换κ。下面的引理是梯度估计的关键。引理3.3。

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nandehutu2022

2022-5-6 10:03:30

回想一下（H.3）中引入的常数pint，让α，1-2p，选择α，α∈ (1, ∞)和p∈ [2，p）s.t.2α=αα和（2）- α） p<1。让我们∈ [T，T）和N>2∧+κu（Z）s.T。1+κu（Z）Neu（Z）（T）-T） <α，对于每个N>N，设置δN，1+κu（Z）Neu（Z）（T）-T）。然后序列（QNt，ξNt），κN+δN（T- （t）α（vNt，ζNt），t∈ [0，T]，满意度N>NEhsupt∈[T，T]kQNtkH1,2+kQNtkpH1，pi+kσ*DQN+ξNkL（T，T；H1,2）< ∞.证据直接计算表明序列{（QN，ξN）}是BSPDE的解：-dQNt（y）=trσtσ*tDQNt（y）+DξNtσ*t（y）+~b*tDQNt（y）+β*tξNt（y）+ctQNt（y）+κN+δN（T- （t）αθλt（y）-ZZθ-1 | vNt（y）|γt（y，z）+θ-1 | vNt（y）|u（dz）-θ-1.vNt（y）η（y）+αδNκN+δN（T- （t）α-1vNt（y）dt- ξNt（y）dWt（t，y）∈ [0，T]×Rd；QNT（y）=καN1-αθ（y）表示y∈ Rd.（3.4）如果我们可以证明该BSPDE在[T，T]上满足Coro llary 3.2的条件，并且有一些常数L<∞ 与N和函数gN无关∈ Lp（T，T；H0，p）满足以下条件：∞ 为了p∈ {2，p}。为了获得期望的结果，需要进行估计yiQNt（y）易（fN）- fN）（s，y）其中fN（t，y），κN+δN（T- （t）αθ-1.vNt（y）ηt（y）和fN（t，y），αδNκN+δN（T- （t）α-1vNt（y）。为此，请注意δN<α≤ 1+XEx适用于任意x≥ 0 . 因此，对于每个N>N，每个∈ [T，T]和几乎每个y∈ Rdone拥有：0≥ αδNκN+δN（T- （t）-1.-2θ-1vN（y）ηt（y），（3.5）因为αδNκN+δN（T- （t）-1.-2θ-1vN（y）ηt（y）≤ αακN+δN（T- （t）-1.-2κu（Z）/ηt（y）1+κu（Z）Neu（Z）（T）-（t）- 1.≤ αακN+δN（T- （t）-1.- 2αu（Z）1+κu（Z）Neu（Z）（T）-（t）- 1.-1.≤ 0.（3.6）因此，对于任何t∈ [T，T]，我们有yi QNt（y）易（fN）- fN）（s，y）=yiQNt（y）αδNκN+δN（T- （t）-1.yiQNt（y）- yiQNt（y）2θ-1vNt（y）yiQNtηt（y）+yiQNt（y）fN（t，y）=yiQNt（y）αδNκN+δN（T- （t）-1.-2θ-1vNt（y）ηt（y）+ yiQNt（y）fN（t，y）≤yiQNt（y）+fN（t，y）a、 e。

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2022-5-6 10:03:34

在Rda。s、式中fn（t，y），κN+δN（T- （t）αθ-1.vNt（y）η（y）yiηt（y）ηt（y）- yiθ-1（y）θ（y）.鉴于（3.2）中的上限，存在一个常数C<∞ s、 t.θ-1 | vNt（y）|≤ CN+T- Tθ（y）。自（2）- α） p<1，e代表p∈ {2，p}thatsupN>NkfNkLpF（T，T；H0，p）<∞.这证明了这一说法。推论3.4。前面的引理，以及定理A.1对时间间隔[0，T]的应用，导致了期望的梯度估计：supN>NEhsupt∈[0，T]kQNtkH1,2+kQNtkpH1，pi+kσ*DQN+ξNkL（0，T；H1,2）< ∞. （3.7）我们现在准备证明BSPDE（1.7）的解的存在性。估计（3.7）a允许我们提取一个子序列（QNk，ξNk）s.t.QNk在Lp（0，t；H1，p）a s中弱收敛到Q以及在L中弱收敛到Q∞（0，T；H1，p）对于任何p∈ {2，p}，和（ξNk，ξNk+σ）*DQNk）c弱收敛于（ξ，ξ+σ）*DQ）inL（0，T；L）×L（0，T；H1,2）。因为{vN}在RDT中增加到v a.e∈ [0，T]，传递给limitwe getQt（y）=eαu（Z）（T-T）（T）- t） αvt（y）。Mazur引理允许我们选择（QNk，ξNk，ξNk+σ）的凸组合序列*在相应的空间中强收敛。因此，很容易检查（Q，ξ）解：-dQt（y）=trσtσ*tDQt（y）+Dξtσ*t（y）+~b*tDQt（y）+β*tξt（y）+ctQt（y）+eαu（Z）（t-T）（T）- t） αθλt（y）-ZZθ-1 | vt（y）|γt（y，z）+θ-1 | vt（y）|u（dz）-θ-1 | vt（y）|ηt（y）+ αeαu（Z）（T）-T）（T）- t） α-1vt（y）dt- ξt（y）dWt（t，y）∈ [T，T]×Rd；QT（y）=0，y∈ 根据定理A.1和命题A.2，（Q，ξ）Rd.（3.8）允许一个版本，仍然用（Q，ξ）表示，s.t.（Q，ξ+σ）*DQ）∈SwF（[0，T]；H1,2）∩ CwF（[0，T]；H1，p）×LF（0，T；H1，2）。从（Q，ξ）中恢复（v，ζ）并设置（u，ψ），θ-1（v，ζ）我们看到（u，ψ）解BSPDE（1.7）和{（T-t） α（θut，θψt+σ）*D（θut））（y）；（t，y）∈ [0，T]×Rd}b延伸至SwF（[0，T]；H1,2）∩ CwF（[0，T]；H1，p）×LF（0，T；H1，2）。此外，关系（3.1）与c=κe保持一致-u（Z）和c=∧e2T。

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2022-5-6 10:03:37

自从p∈ [2，p）这就完成了定理3.1.4的证明以及BSPDE（1.7）解的唯一性。在这一节中，我们证明了一个验证定理，它不仅解决了带约束的控制问题，还允许我们推导BSPDE（1.7）解的唯一性由于简并性，对于分布意义上满足B SPDE（1.7）的随机函数u，没有广义It^o-Kunita公式可用，因此证明基于定理A.1中给出的FBSDE和BSPDE之间的联系。这个链接将允许我们计算过程ut（yt）| xt |的动力学。首先，我们回顾[8]中的一个结果。它指出，最优控制存在于相应状态过程单调的一组控制中。引理4.1。对于每个容许控制对（ξ，ρ）∈ L′F（0，T）×L′F（0，T；L（Z）），存在相应的容许控制对（^ξ，^ρ）∈ L′F（0，T）×L′F（0，T；L（Z）），其代价不超过（ξ，ρ）的代价，且相应的状态过程为x0，x；^ξ，ρ是a.s.单调。此外，存在一个常数C>0，它与初始数据（0，x）、终端时间T和控制对（ρ，ξ）s.T.E“sups”无关∈[t，t]|x0，x；^ξ，^ρs|英尺=x0，x；^ξ，^ρt|≤ C（T）- t） E“ZTt|710|ξs|ds每个t的“英尺”∈ [0，T]。（4.1）验证定理的关键是B SPDE（1.7）的解（u，ψ）的存在性，使得u满足接近终点时间的生长条件，并且其梯度是有充分规律的（均由定理3.1保证），因此可以应用定理（a.1）（iii），并且u可以表示为FBSDE。定理4.2。假设（H.1）-（H.2）。如果（u，ψ）是BSPDE（1.7）s.t.的解。

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2022-5-6 10:03:41

θu∈ Cw（0，t；H1，p）∩Sw（0，t；H1，2）， T∈ （0，T），对于一些p>2d+2和a.s.cT- T≤ ut（y）≤计算机断层扫描- T （t，y）∈ [0，T）×Rd（4.2），两个常数c>0和c>0，然后v（T，y，x），ut（y）x，（t，x，y）∈ [0，T]×R×Rd（4.3）与值函数（1.4）一致。此外，最优反馈控制由（2.2）给出。证据我们首先注意到，ut（y）相对于（t，y）是a.s.连续的∈ [0，T）×Rd，由于Sobolev的sembedding定理。其次，BSPDE（1.7）等价于BSPDE（A.6）。因此，如果我们取τ∈ （0，T）作为终点时间，θuτ（y）作为终点条件，则由于（4.2）（以及权函数θ的存在），该BSPD满足了REM A.1对[0，τ]的假设。因此，存在唯一的随机场ψs.t.θψ+σ*D（θu）∈ 任意τ的LF（0，τ；H1,2）∈ （0，T）和s.T.（θu，θψ）是一个解：-dvt（y）=trσtσ*tDvt（y）+Dζtσ*t（y）+ B*tDvt（y）+θXij rσjrtyjθ-1.ζrt+yivσirt（y） +θXij ryiyjθ-1σirtσjrt+b*tDθ-1.vt（y）+θ（y）F（t，y，θ）-1（y）vt（y））dt- ζt（y）dWt（t，y）∈ [0，τ）×Rd；vτ（y）=θuτ（y），y∈ 注意假设p>2d+2，根据定理A.1（iii），我们也有θu的以下BSDE表示：-d（θut）（y0，yt）=θXij ryiyjθ-1σirtσjrt+b*tDθ-1.（θut）（y0，yt）+θXjryjθ-1σjrt（y0，yt）Z0，ytr+θ（y0，yt）F（t，y0，yt，ut（y0，yt））dt- Z0YT，DWT∈ [0，T）对于某些ada-pted过程Z0，在适当的空间中，应用标准It^o公式，我们得到了θ-1（y0，yt）=trσtσ*tDθ-1（y0，yt）+ B*tDθ-1（y0，yt）dt+（Dθ）-1)*σt（y0，yt）dWt，进一步，-dut（y0，yt）=F（t，y0，yt，ut（y0，yt））dt-hθ-1（y0，yt）Z0，yt+θut（Dθ-1)*σt（y0，yt）idWt，t∈ [0，T）。然后，ut（y0，yt）|x0，x；ξ，ρT |的随机微分方程紧随标准It^o公式的应用。

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2022-5-6 10:03:45

使用引理4.1，现在可以应用与[8，定理3.1]的证明完全相同的参数来推导：ut（y0，yt）|x0，x；ξ、 ρt|≤ J（t，x0，x；ξ，ρt，y0，yt；ξ，ρ）对于任何一对（ξ，ρ）∈ a控制（ξ）*, ρ*) 是可容许的，并用等式满足上述不等式。我们用下面的定理来结束我们的分析。它指出，第3节中构造的解决方案是我们的BSPDE（1.7）的最小解决方案。证明主要依赖于退化BSPDE的比较pr inc iple in Proposition A.2，考虑到奇异的终端值。定理4.3。在条件（H.1）-（H.3）下，对于定理3.1证明中构造的BSPDE（1.7）的解（u，ψ），如果（~u，~ψ）是（1.7）满足（θ)u，θ)ψ+σ的另一个解*D（θψ））∈ SwF（[0，t]；H1,2）×LF（0，t；H1,2）， T∈ （0，T）和ifut（y）≥ 上午0点Ohm ×[0，T）×Rd，然后每T取a.s∈ [0，T），~ut≥ 尤塔。e、在Rd中，如果我们进一步有p>2d+2和θ∧u∈ ∩T∈（0，T）CwF（[0，T]；H1，p）对于某些p∈ （2d+2，p），然后a.s.代表allt∈ [0，T]，~ut=uta.e.在Rd.Proof.中，设（vN，ζN）为BSPDE（A.7）和（~v，~ζ），θ（~u，~ψ）的唯一解≥ vNta。e、在R，T∈ [0，T]，（4.4），当Vn增加到v为N时，产生最小值→ ∞. 根据定理4.2，为了建立唯一性陈述，有必要验证u满足增长条件（4.2）。上述最低限度论点给出了下限。为了建立（4.2）中的上界，我们考虑确定性函数：^ut，∧coth（T- t） =2∧1- E-2（T）-（t）- Λ ≤∧e2TT- t、那么，（^u，0）是（1.7）的一个解，其中三元组（λ，γ，η）被替换为（λ+∞, Λ). 此外，当时间移动时，（^u，0）仍然是一个解，即δ∈ [0，T）对（^u·+δ，0）是（1.7）与∧相关的解+∞, ∧），但在t=t处有一个奇点- δ. 命题A.2得出结论，A.s。

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2022-5-6 10:03:49

无论如何∈ [0，T- δ] ~ut≤∧e2TT- δ - 助教。e、在罗得街→ 0我们得到了期望的上界和唯一性。A关于半线性退化B spdest的选定结果本附录回顾了关于退化半线性BSPDE的选定结果及其与BSDES的连接，建立了考虑奇异终端值的退化BSPDE的比较原则，并讨论了我们的奇异BSPDE的截断版本。A.1关于一类退化的BSPDE和到FBSDE的链接FBSDE和BSPDE之间的以下链接，由于[6]，是我们分析的关键。定理A.1。假设系数b和σ满足（H.1）和（H.2），并且 : Ohm×[0，T]×Rd→满足与b相同的条件。设f：Ohm ×[0，T]×R→ R满足：o偏导数yf和vf存在于任意四重（ω，t，y，v）of（·，·，0）∈ LF（0，T；H1，2）o每个（ω，T，y），|f（T，y，v）都存在一个常数L>0 s.T- f（t，y，v）|+|yf（t，y，v）- yf（t，y，v）|≤ |v- v |， v、五∈ R.那么以下是成立的：i）对于任何G∈ L(Ohm, 英尺；H1,2），BSPDE-dut（y）=trσtσ*tDut+Dψtσ*T（y） +b*tDut（y）+*t（ψt+σ）*tDut（y）+f（t，y，ut）dt- ψt（y）dWt，（t，y）∈ [0，T]×Rd；uT（y）=G（y），y∈ Rd（A.1）允许一个唯一解（u，ψ）s.t.u∈ SwF（[0，T]；H1，2）和ψ+σ*杜∈ LF（0，T；H1，2）。此外，还存在一个常数C=C（d，m，∧，L，T，L）s.T.E supt∈[0，T]kutkH1,2+EZTkψT+σ*tDutkH1,2dt≤ 总工程师kGkH1,2+ZTkf（t，·，0）kH1,2dt. （A.2）ii）如果我们进一步假设f（·，·，0）∈ LpF（0，T；H1，p）和G∈ Lp(Ohm, 英尺；H1，p）对于某些p∈ [2, ∞),然后你∈ CwF（[0，T]；H1，p），存在一个常数Cp=Cp（d，m，∧，L，T，L，p）s.T.E supt∈[0，T]kutkpH1，p≤ CpEkGkpH1，p+ZTkf（t，·，0）kpH1，pdt. （A.3）iii）如果p>2d+2，那么u（t，y）相对于（t，y）是A.s.连续的，并且它保持A.s。

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2022-5-6 10:03:53

thatu（t，ys，yt）=ys，yt，（t，y）∈ [s，T]×Rd，（A.4）其中（ys，y·，ys，y·，Zs，y·）是FBSDE的解：（dys，yt=bt（ys，yt）dt+σT（ys，yt）dWt，ys，xs=y；0≤ s≤ T≤ T-dYs，yt=[*t（ys，yt）Zs，yt+f（t，ys，yt，ys，yt）]dt- Zs，ytdWt，Ys，yT=G（Ys，yT）。备注A.1。值得注意的是，上述定理的断言（i）通过将CwF（[0，T]；H1,2）替换为SwF（[0，T]；H1,2）=CwF（[0，T]；H1,2）扩展了[6，定理3.1]∩ L(Ohm, FC（[0，T]；L））。然后应用[17，定理3.2]，将Gelfand三元组实现为（H-1,2，L，H1,2）其中。特别是，我们在L中获得了u的强连续性。这使我们能够应用BSPDES的现有It^o公式（参见实例[18，推论3.11]）。A.2考虑奇异终端值的退化BSPDE的比较原则以下比较原则源自BSPDE正解的平方范数的It^o公式（见[8，引理A.3]，[17，定理3.2]，[18，推论3.11]）。由于它允许关联的BSPDE具有奇异的终端值，我们提供了一个简短的证明。A.2.提议。假设系数b，σ和满足定理A.1的条件。设（u，ψ）和（u′，ψ′）分别是与（G，f）和（G′，f′）相关联的BSPDE（A.1）的解，例如（u，ψ+σ）*Du，f（u））∈ LF（0，T；H1,2）×LF（0，T；H1,2）×LF（0，T；L）和（u′，ψ′+σ*Du′，f′（u′）∈对于任意t，LF（0，t；H1，2）×LF（0，t；H1，2）×LF（0，t；L）∈ （0，T）。如果存在>0和g∈ L（0，T；L）使a.e.在Ohm ×[0，T]，u′（ω，T）≥ g（ω，t）a.e.in Rd，f（ω，t，ut）- f′（ω，t，u′t），（ut）- u\'t）+≤埃尔（犹他州）- u′t）+和G（ω，y）≤ G′（ω，y），那么我们有a.s.u≤ 阿联酋大学路，T∈ [0，T]。（A.5）证据。我们把（\'u，\'ψ）=（u- u′，ψ- ψ′).

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2022-5-6 10:03:58

因为b，σ和以及他们的一阶衍生产品a反弹和“u”∈ H1，2，按部分积分得到一个常数L<∞ s、 t.| h | u+t，（b）*t+*σ*)D|uti|≤ 左u+t，左u+ti，T∈ [0，T]。让我们来表示扩散矩阵σsbyσjr的条目和向量ψsbyψrs的条目。然后通过部分积分得到：σjrsyj′ψrs=yjσjrs′ψrs- yjσjrs′ψrsa和σirsσjrsyiyj’us=易σirsσjrsyj’us- 易σirsσjrsyj“我们。因此，It^o的公式产生一个常数L<∞ s、 t（应用求和约定）：Ek‘u+tk- Ek’u+τkH-1,2是H1,2的对偶空间。≤ EZτt“u+s，-易σirsσjrsyj’u+s- yjσjrs′ψrs+rs′ψrs+L′u+sds+Zτtyj’u+s，σirsσjrsyi’u+s- 2σjrsψrs+σirsyi’u+sds-Zτtk′ψs{u>u′}kds= EZτtD′u+s，yiyjσirsσjrs美国+美国+rs- yjσjrsψrs+σirsyi’u+s+易rsσirs- σirsyjσjrs“u+s+L”u+sEds-Zτtψs{u>u′}+σ*sD-u+sds≤ ECZτt\'u+s，\'u+s+ψs{u>u′}+σ*sD-u+sds-Zτtψs{u>u′}+σ*sD-u+sds（作者：（H.1）、（H.2））≤ ECZτt美国+美国ds-Zτtψs{u>u′}+σ*sD-u+sds, 0≤ t<τ<t。因此，应用Gronwall不等式可得出：Ek’u+tk≤ CEk’u+τk，常数C独立于t和τ。自从你≤ |u |+| g |，法图引理的一个应用产生（A.5），因为“u+tdt≤ CT lim supτ↑TE\'u+τ≤ CT EZRd“lim supτ”↑T\'u+τ（y）#dy=0。备注A.2。在命题A.2中，我们认为随机场u′可以取一个有限且奇异的终值。这一性质在定理4.3的证明中被必要地用于证明BSPDE（1.7）的唯一解。A.3截断BSPDEsA直接计算表明，（u，ψ）解（1.7）当且仅当（v，ζ），（θu，θψ）解BSPDE-dvt（y）=trσtσ*tDvt（y）+Dζtσ*t（y）+~b*tDvt（y）+β*tζt（y）+ctvt（y）+θ（y）F（t，y，θ）-1（y）vt（y））dt- ζt（y）dWt（t，y）∈ [0，T）×Rd；vT（y）=+∞, Y∈ Rd（A.6）带√位（y），位（y）+2q（1+| y |）-1dXj=1（σtσ*t） ij（y）yj，i=1。

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2022-5-6 10:04:03

，d，βrt（y），2q（1+| y |）-1dXj=1σjrt（y）yj，r=1，m、 ct（y），q（1+| y |）-1.tr（σtσ）*t（y））+dXi=12yibit（y）+2（q- 1）（1+| y |）-1dXi，j=1（σtσ*t） ij（y）yiyj.如果终端值是有限的，则此BSPDE（A.6）具有唯一的解决方案。更准确地说，对于N∈ N+weput^F（t，y，φ（y）），F（t，y，|φ（y）|），（t，y，φ）∈ R+×Rd×L（Rd），然后考虑BSP DEs系列：-dvNt（y）=trσtσ*tDvNt（y）+DζNtσ*t（y）+~b*tDvNt（y）+β*tζNt（y）+ctvNt（y）+θ（y）^F（t，y，θ）-1（y）vNt（y））dt- ζNt（y）dWt（t，y）∈ [0，T]×Rd；vNT（y）=Nθ（y），y∈ 第（A.7）条A.3款的提议。假设（H.1）和（H.2）。每N∈ N+和p∈ [2, ∞), BSPDE（A.7）的溶液（vN，ζN）为（vN，ζN+σ*（DvN）∈SwF（[0，T]；H1,2）∩ CwF（[0，T]；H1，p）×LF（0，T；H1，2），s.T.θ-1vN∈ L∞F（0，T；L）∞（Rd））以及∈ C∞c（Rd）：hа，vNti=hа，Nθi+ZTt~n，trσsσ*sDvNs+DζNsσ*s+~b*sDvNs+csvNs+β*sζNs+θ^F（s，θ-1vNs）ds-ZTtη，ζNs德瓦萨。s 0≤ T≤ T.证明。为了证明解的存在性，o ne trunca在so me水平M上用一个小函数证明四次项，如[8]中命题4.1的证明。对于ea ch M∈ N、从定理A.1我们知道，得到的BSPDE有一个唯一的解（vN，M，ζN，M）和（vN，M，ζN，M+σ）*DvN，M）∈SwF（[0，T]；H1,2）∩ CwF（[0，T]；H1，p）×LF（0，T；H1，2）。将上述BSPDE中的系数（λ，γ，M）改为∧+∞, 我们得到了一个新的方程。对于这个方程，我们很容易检查（^vt（y），0），（θ（y）（N+λ（T- t）），0）是一个解决方案，命题a.2中所述的比较原则得出：0≤ 越南山≤ ^vta。e、在R， T∈ [0，T]，a.s.选择M∈ N+足够大，我们看到（vN，M，ζN，M）是（a.7）的解。解的唯一性来自于类似的论证。推论A.4。假设BSPDE（A.7）的系数满足条件（H.1）-（H.2），并用（vN，ζN）表示溶液。

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2022-5-6 10:04:06

设（△λ，△γ，△η）是满足（λ，γ，η）相同条件的另一组系数。让G∈ L(Ohm, 英尺；H1,2）和（~v，~ζ）∈ 带θ的SwF（[0，T]；H1,2）×LF（0，T；L）-1伏∈ L∞F（0，T；L）∞（Rd））作为BSPDE的解决方案：-dvt（y）=trσtσ*tDvt（y）+Dζtσ*t（y）+~b*tDvt（y）+β*tSζt（y）+ctSvt（y）+θSλt（y）-ZZθ-1（y）|vt（y）|γt（y，z）+θ-1 | | vt（y）|u（dz）-θ-1（y）|vt（y）|ηt（y）dt-ζt（y）dWt；~vT（y）=G（y），y∈ 路（A.8）如果G≥ Nθ，λ≥ λ, ~γ ≥ γ和η≥ η、然后a.s.~vt（y）≥ vNt（y）a.e.路，T∈ [0，T]。此外，这种不平等也适用于所有人。”≥” 替换为“≤” 在上述声明中。参考文献[1]R.Almgren和N.Chriss，《投资组合交易的最佳执行》，J.Risk，3（200 1），第5-39页。[2] S.Ankirchner，M.Jeanblanc和T.Kruse，具有奇异终端条件的BSDE和具有约束的控制问题。arXiv:1305.6541v2，2013年。[3] A.Bensoussan，《部分观测差异最优控制的最大原理和动态规划方法》，Stoch。，9（1983），第169-222页。[4] 杜克强，邱俊杰，汤绍，全空间上超抛物型倒向随机偏微分方程的线性规划理论，应用。数学Optim。，65（20-11），第17-5-219页。[5] 杜国强，田南广，张秋波，西医，p-解决方案（p≥ 2）关于全空间中的线性退化后向随机偏微分方程，J.Differ。等。，254（2013），第2877-29 04页。[6] 杜克强，张克强，半线性退化倒向随机偏微分方程及相关的正倒向随机微分方程，Stoch。过程。应用程序。，123（2013），第1616-1637页。[7] N.Englezos和I.Karatzas，《习惯形成的效用最大化：动态规划和随机偏微分方程》，暹罗J.控制优化。，48（2009），第481-520页。[8] P.格雷维、U.霍斯特和J。

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