在本文中，由于Q是有限维的（作为RN×N的子集），它的紧性可以很容易地通过闭集和有界性进行检查和适当假设。然而，一个有限状态的速度或有限时间范围会在有限维中呈现一组允许的控件。由于在有限维空间中没有直接的紧性表征，平衡的存在在很大程度上是模糊的。另一方面，时间不一致的连续停车问题直到最近才受到广泛关注。有趣的是，最近的发展中出现了两种不同的平衡停止规则公式，它们在某种程度上对应于控制案例中的弱平衡和强平衡。在[4]和[3]中，紧随（2.7）中的导数类型操作，定义了一个平衡停止规则，该规则对应于我们案例中的弱平衡。另一方面，[13]和[14]通过比较坚持未来自我战略的价值和当前偏离另一种战略的价值来确定均衡。这与（1.1）中的比较相似，在我们的案例中，原则上更接近于一个强平衡。研究这两种类型的平衡停止规则之间的精确关系很有意义，就像我们在这里对强平衡和弱平衡所做的那样。A第3A节的证明。1引理的证明3.1因为X在时间间隔[0，ε]、P（Xε=i | X=i）=1+qiiε+o（ε）和P（Xt=j | X=i）=qijε+o（ε）上根据Q演化。这与（2.3）一起意味着f（i，QεQ*) = 工程安装Zεf（t，Xt，QXt）dt+ Fε（i，Q*)（1+qiiε）+Xj6=如果ε（j，Q*)qijε+o（ε）=Fε（i，Q*) + 工程安装Zεf（t，Xt，QXt）dt+ （Fε（Q*) · Qi）ε+o（ε）。（A.1）考虑τ：=inf{t≥ 0:Xt6=X}。

（A.2）假设X=i，回想一下τ随参数λ=-qii和thuslimε↓0P（τ≤ ε| X=i）ε=limε↓01- eqiiε=-qii。（A.3）现在，请注意{τ>ε}Zεf（t，Xt，QXt）dt= 工程安装{τ>ε}Zεf（t，i，Qi）dt= P（τ>ε| X=i）Zεf（t，i，Qi）dt=（1+qiiε+o（ε））f（s*, i、 Qi）ε，对于一些0<s*≤ ε=（1+qiiε+o（ε））（f（0，i，Qi）ε+o（ε））=f（0，i，Qi）ε+o（ε），（A.4），其中第二条直线e是由于（A.3）和t 7的连续性→ f（t，i，Qi）在[0，ε]上，第三条线来自t 7的连续性→ f（t，i，Qi）位于右侧0处。设c：=supi∈SkQik<∞. 然后工程安装{τ≤ε} Zεf（t，Xt，QXt）dt≤Zεsupi∈S、 q∈Di，kqk≤c | f（t，i，q）|！dt·P（τ≤ ε| X=i）。（A.5）由于（2.3），右侧sid e（A.5）上的Lebesgue积分是有限的，并收敛到0asε→ 从（A.3）可以看出（A.5）的右侧为o（ε）。将其与（A.4）相结合，我们从（A.1）中得到了期望的结果（3.2）。现在，取Q=Q*在（3.2）中给出了F（i，Q*) = Fε（i，Q*) + [f（0，i，Q*i） +Fε（Q*) · Q*i] ε+o（ε）。这与（3.2）yieldsF（i，Q）一起*) - F（i，QεQ*) = （[f（0，i，Q*i） +Fε（Q*) · Q*i]- [f（0，i，Qi）+fε（Q*) · Qi]）ε+o（ε）。因此，为了证明（3.6），仍然需要证明Fε（i，Q）=F（i，Q）+o（1）对于所有i∈ S、 对于每个≥ 0和ε>0，定义（t，ε）：=Xi∈Sh（t，ε，i，Qi）<∞,其中，s是一个有限的集合，而s是一个完整的集合。在（3.3）下，我们有| Fε（i，Q）- F（i，Q）|≤ 工程安装Z∞h（t，ε；Xt，QXt）dt≤Z∞H（t，ε）dt→ 0，作为ε↓ 0.其中收敛来自支配收敛定理和（3.4）。

注意，由于（3.4）和（3.5），优势收敛定理在这里适用。A、 引理3.2自F（i，Q）的证明εQ*) = 工程安装Rεf（t，Xt，QXt）dt+ 工程安装R∞εf（t，Xt，Q*Xt）dt, 我们将逐一处理右侧的两个术语。处理ERεf（t，Xt，QXt）dt, 考虑事件A、B和C，在区间[0，ε]上，X的状态不改变，只改变一次，分别改变两次或更多。取（A.2）中的τ，回忆一下它是用参数按指数分布的-qii。因此，P（A）=P（τ>ε| X=i）=eqiiε=1+qiiε+qiiε+o（ε）。它紧跟着atEiZεf（t，Xt，QXt）dtA.P（A）=P（A）Zεf（t，i，Qi）dt=1+qiiε+qiiε+o（ε）Zε（f（0，i，Qi）+tft（0，i，Qi））dt+o（ε）（A.6）=1+qiiε+qiiε+o（ε）f（0，i，Qi）ε+ft（0，i，Qi）ε+o（ε）= f（0，i，Qi）ε+qiif（0，i，Qi）+ft（0，i，Qi）ε+o（ε）。（A.7）此处，（A.6）来自估算Zεf（t，i，Qi）dt-Zε（f（0，i，Qi）+tft（0，i，Qi））dt≤Zεr（0，t；i，Qi）dt=εr（0，t（ε））；i、 Qi），（A.8）对于某些0<t（ε）<ε。根据（3.18），上述最后一项为o（ε）。另一方面，假设τ≤ ε. 自P（τ≤ l | τ ≤ ε） =P（τ≤l)P（τ≤ε)=1-eqii公司l1.-eqiiε适用于所有l ∈ (0, ε],η(l) =dd公司l1.- eqii公司l1.- eqiiε=-qiieqiil1.- eqiiε，l ∈ （0，ε）（A.9）Letτ′：=inf{t≥ τ：Xt6=Xτ}。观察B={τ≤ ε<τ′}，和thusEiZεf（t，Xt，QXt）dtBP（B）=P（τ≤ ε） E类Zτf（t，i，Qi）dt+Zετf（t，Xt，QXt）dtPτ′> ε | ττ ≤ ε= (1 - eqiiε）Xj6=i-qijqiiZεZlf（t，i，Qi）dt+Zεlf（t，j，Qj）dtη(l)eqjj（ε-l)dl=Xj6=iqijZεZlf（t，i，Qi）dt+Zεlf（t，j，Qj）dteqii公司leqjj（ε-l)dl,其中，第三条线利用factP（Xτ=j | X=i）=-qij/qiij 6=i，（A.10），而第四行紧跟在（A.9）之后。根据类似于（A.8）的估计，我们得到Zεf（t，Xt，QXt）dtBP（B）=Xj6=iqijZε（f（0，i，Qi）l + f（0，j，Qj）（ε- l)) dl + o（ε）=- qiif（0，i，Qi）+Xj6=iqijf（0，j，Qj）ε+o（ε）。

（A.11）由于（A.10），我们还得到了估算值P（C）=P（τ<ε，τ′）∈ （τ，ε]| X=i）=P（τ<ε| X=i）Xj6=i-QIJQIP（τ′）∈ （τ，ε）|τ<ε，Xτ=j）≤ (1 - eqiiε）Xj6=i-qijqii（1- 方程jjε）=O（ε）。（A.12）现在，使用p（Xε=j | X=i）的事实=公式εij公司=I+Qε+Qεij+o（ε），i、 j∈ S、 直接计算showsEiZ∞εf（t，Xt，Q*Xt）dt= Fε（i，Q*) + （Qi·Fε（Q*))ε+（（Q）i·Fε（Q*))ε+o（ε）。这与（A.7）、（A.11）和（A.12）一起，意味着f（i，QεQ*) = Fε（i，Q*) + （f（0，i，Qi）+Qi·fε（Q*))ε+ft（0，i，Qi）+Qi·~f（0，Q）+（Q）i·fε（Q*)ε+o（ε），（A.13），其中~f（0，Q）：=（f（0，1，Q），f（0，2，Q）。。。，f（0，N，QN））。由于FTSATIES（2.3），G（i，Q）定义良好。观察thatlimε↓0Fε（i，Q）- （F（i，Q）+εG（i，Q））ε≤ limε↓0EiZ∞r（t，ε；Xt，QXt）εdt= 0，其中等式来自（3.18）和支配收敛定理，其适用于r（t，ε；i，q）s aties（3.5）和（3.15）。这表明Fε（i，Q）=F（i，Q）+εG（i，Q）+o（ε），（A.14），因此我们可以重写（A.13）asF（i，QεQ*) = Fε（i，Q*) + （f（0，i，Qi）+Qi·f（Q*))ε+ft（0，i，Qi）+Qi·2G（Q*) + 气·~f（0，Q）+（Q）i·f（Q*)ε+o（ε）。（A.15）从（3.7）中观察到Q·~f（0，Q）T+Q·f（Q*)T=Q·~f（0，Q）T+Q·f（Q*)T= Q·ΓQ*（Q） T，其中vt表示向量v的转置∈ 注册护士。这意味着气·~f（0，Q）+（Q）i·f（Q*) =齐·ΓQ*（Q） 。因此，我们得出结论F（i，QεQ*) = Fε（i，Q*) + ΓQ*（Qi）ε+ft（0，i，Qi）+Qi·2G（Q*) + ΓQ*（Q）ε+o（ε）。（A.16）取Q=Q*在（A.16）中，我们得到了F（i，Q）的相应展开式*). 从（A.16）中减去它得出（3.16）A.3属性证明3.2Fix i∈ S、 对于任何Q∈ Q，Qi6=Q*i、 由于（3.10）具有严格的不等式，我们从（3.11）中观察到F（i，Q*) - F（i，QεQ*) > 0，因为ε>0足够小。现在，取一个任意的Q∈ Q \\{Q*} 这样Qi=Q*i、 因为Q 6=Q*但Qi=Q*i、 集合S：={j∈ S:Qj6=Q*j} 必须为非空。

有两种不同的情况案例一：有l ∈ q处的Ssuch th*我l> 0、Qi=Q*i、 我们从（3.16）和（3.17）推导出thatF（i，Q*) - F（i，QεQ*)ε=Q*我·ΓQ*（Q）*) - ΓQ*（Q）+ o（1）=Xj6=iq*ij公司ΓQ*（Q）*j）- ΓQ*（Qj）+ o（1）。（A.17）因为（3.21）包含ΓQ*（Q）*j）-ΓQ*（Qj）>0表示j∈ 砂ΓQ*（Q）*k）-ΓQ*（Qk）=0表示k∈ S\\S，Xj6=智商*ij公司ΓQ*（Q）*j）- ΓQ*（Qj）≥ q*我lΓQ*（Q）*l) - ΓQ*（Q）l)> 从（A.17）可以得出F（i，Q*) - F（i，QεQ*) > 0，因为ε>0足够小。o案例二：q*对于所有j，ij=0∈ S、 考虑停止时间τ：=inf{t≥ 0:Xt∈ S} 。注意，τ>0作为i/∈ S、 QXt=Q*XT对于所有t<τ。如果存在ε*> 0使得P（τ≤ ε*) = 0，然后是F（i，QεQ*) = F（i，Q*) 对于所有0<ε<ε*. 因此，我们假设p（τ≤ ε） 所有ε>0时>0。对于任何ε>0，F（i，Q*) - F（i，QεQ*)= 工程安装Z∞f（t，Xt，Q*Xt）dt-Z∞f（t，Xt，（QεQ*)Xt）dtτ ≤ εP（τ≤ ε） =EiZ∞τf（t，Xt，Q*Xt）dt-Z∞τf（t，Xt，（QεQ*)Xt）dtτ ≤ εP（τ≤ ε） =EiZ∞f（t+τ，XXτt，Q*XXτt）dt-Z∞f（t+τ，XXτt，（Qε-τQ*)XXτt）dtτ ≤ εP（τ≤ ε） =Ei[Fτ（Xτ，Q*) - Fτ（Xτ，Qε-τQ*) | τ ≤ ε] P（τ≤ ε） 式中，Fτ的定义如（3.1）所示，其中ε替换为τ。考虑以τ为条件的τ分布函数≤ ε、 即Hε（y）：=P（τ≤ y |τ≤ ε） >0，y∈ （0，ε）。上述方程可重写为asF（i，Q*) - F（i，QεQ*)= P（τ≤ ε） Xj公司∈SP（Xτ=j）ZεFy（j，Q*) - Fy（j，Qε-yQ公司*)dHε（y）。（A.18）通过附录A.2中引理3.2的证明，特别是（A.14），我们得到了fy（j，Q*) - Fy（j，Qε-yQ公司*)=F（j，Q*) - F（j，Qε-yQ公司*)+G（j，Q*) - G（j，Qε-yQ公司*)y+o（y）=ΓQ*（Q）*j）- ΓQ*（Qj）(ε - y）+\'\'ΓQ*（Q）*j）-\'\'ΓQ*（Qj）(ε - y） y+o（ε- y） +o（y），（A.19），其中\'Q*（Qi）：=英尺（0，i，Qi）+Qi·G（Q*).

在上面的第ird行中，第一项直接来自（3.6），而第二项是通过将引理3.1应用于G而不是F来获得的。通过Zε（ε- y） dHε（y）=ε-ZεydHε（y）=ZεHε（y）dy.（A.20）为了找到rεHε（y）dy的精确渐近展开式，我们需要进一步分析Hε（y）。Sin ceq公司*对于所有j，ij=0∈ S、 达到状态j∈ 从当前状态i开始，至少需要两次状态更改。具体而言，考虑τ：=inf{t≥ 0：Xt6=i}和τn：=inf{t≥ τn-1： Xt6=Xτn-1} 适用于所有n≥ 2、设^n：=inf{n∈ N：Pi，Q*（Xτn∈ S） >0}≥ 2、通过直接计算，P（τ≤ ε） =Kε^n+o（ε^n+1），其中K：=Xjn∈S、 杰恩∈Sqi，j·qj，j·…·qj^n-1，j^n>0。（A.21）注意，通过定义^n，K严格为正。因此，我们得到hε（y）=P（τ≤ y） P（τ≤ ε） =Ky^n+o（y^n+1）Kεn+o（εn+1）。自Hε（y）≈y^nε^nasε>0小，rεHε（y）dy的前导项isRεy^nεndy=εn+1。这与（A.20）一起给出了zε（ε- y） dHε（y）=ZεHε（y）dy=ε^n+1+o（ε），（A.22）类似于（A.20）yieldsZε（ε- y） ydHε（y）=-εZεHε（y）dy+2ZεHε（y）ydy=O（ε）。（A.23）现在，从k到（A.19），（A.21），（A.22）和（A.23），我们从（A.18）推导出f（i，Q*) - F（i，QεQ*)=Xj公司∈SP（Xτ=j）ΓQ*（Q）*j）- Γ（Qj）K^n+1ε^n+1+O（ε^n+2）。（A.24）自P（τ≤ ε） >0，必须存在j∈ 假设P（Xτ=j）>0。此外，请记住（3.21）表示ΓQ*（Q）*j）- 对于所有j，Γ（Qj）>0∈ S

因此，ε^n+1in（A.24）前面的常数是严格正的，这意味着F（i，Q*) - F（i，QεQ*) > 0，因为ε>0足够小。我们已经证明，对于任何∈ S和Q∈ Q、 F（i，Q*) -F（i，QεQ*) ≥ 0，因为ε>0足够小。也就是Q*是一个str-on-g平衡。A、 4定理3.3的证明确定集值映射Φ：Q→ 2QbyΦ（Q）：=R∈ Q：Ri∈ arg最大值∈Di[f（0，i，q）+f（q）·q]，我∈ S.对于每个Q∈ Q、 Dian的紧性与映射Q 7的连续性→ f（0，i，q）+f（q）·q，对于所有i∈ S、 在Φ（Q）6处暗示th=. 同样的连续性也给出了Φ（Q）的闭合性。另一方面，通过q 7的凹度→ f（0，i，q），Φ（q）是凸的。接下来，我们证明Φ是上半连续的。因为DII对所有人都很紧凑∈ S、 Q也是紧密的。Φ的上半连续性等价于序列特征：对于任意{Rn}n∈Nand{Qn}n∈Nin Q带Rn→ R、 Qn公司→ Q、 和Rn∈ Φ（Qn），我们有R∈ Φ（Q）。为了验证这一点，必须显示映射（q，q）7→ f（0，i，q）+f（q）·q是连续的，对于所有i∈ S、 （A.25）事实上，考虑到∈ Q、 注册护士∈ Φ（Qn）表示f（0，i，Rni）+f（Qn）·Rni≥ f（0，i，\'Ri）+f（Qn）·Rifor alli∈ S、 然后我们可以从（A.25）中得出结论：f（0，i，Ri）+f（Q）·Ri≥ f（0，i，\'Ri）+f（Q）·Riforall i∈ S、 作为n→ ∞. 自R起∈ Q是任意选择的，这表明R∈ Φ（Q）。证明（A.25）归结为建立Q 7的连续性→ F（Q）=（F（1，Q），F（2，Q）。。。，F（N，Q））。取{Qn}n∈Nin Q使得Qn→ Q∈ Q、 用unand和u分别表示QnandQ下的X定律。注意，unandu是D上的概率度量（[0，∞); S） ，c\'adl\'agprocesses的空间取S中的值。By[8，p.262，Problem 8]，Qn→ Q表示un弱收敛到u。

然后，根据Skorokhod表示定理，在相同的概率空间上定义了c ` adl ` ag过程yn和Y(Ohm, F、 P），使得Yn和Y的定律分别为unandu，并且Yn→ D上Skorokhod拓扑下的Y（[0，∞); S） P-a.S.特别是，我们有Ynt→ Yt，P×dt-a.e.由于S是一个有限集，事实上，对于足够大的n，P×dt-a.e.ThenF（i，Qn）=EP，我们有Ynt=YtZ∞f（t，Ynt，QnYnt）dt→ EP公司Z∞f（t，Yt，QYt）dt= F（i，Q）。这建立了Q 7的连续性→ F（Q），从而给出Φ的上半连续性。现在，我们可以应用Kakutani Fan的固定点定理（参见[9，定理1]）得出Φ允许固定点Q的结论*∈ Q、 即Q*∈ Φ（Q*). 这意味着Q*所有人的满意度（3.10）（i、Q）∈ 由于定理3.1，S×Q是一个弱平衡。如果f（0，i，·）对于所有i都是严格凹的∈ S、 然后是固定点Q*满足严格不等式f（0，i，Q*i） +F（Q*) · Q*i> f（0，i，Ri）+f（Q*) · Rifor所有i∈ S和R∈ Ri6=Q时的Q*i、 也就是说，（3.21）是令人满意的。因此，命题3.2断言Q*是一个str-on-g平衡。B第5B节的证明。1定理证明5.1定义集值映射Φ：A→ 2AbyΦ（u）：=w∈ A：w∈ arg最大值\'∈AV（i，u′）u） ，则，我∈ S.修复u∈ A、 对于任何i∈ S、 定义g：Ai→ R byg（α）：=κ（0，i，α）+NXj=1Ej，u“∞Xt=0κ（t+1，Xt，uXt）#·αj！。由于κ在α中是连续的，g也是连续的。P是紧致的，Ax P也是紧的，因此存在一个最大化子α（i）∈ 对于g，取wi：=所有i的α（i）∈ S、 我们得到w∈ Φ（u）。为每个人∈ S、 g:Ai的连续性→ AIA的R和闭合性也影响g的优化集的闭合性。因此Φ（u）是闭合的。此外，g:Ai→ 由于α中κ的凹陷，R是凹的。然后，g的优化器集是凸的，从而产生Φ（u）的凸性。接下来，我们证明Φ是上半连续的。

也就是说，对于任何un、u、wn、w∈ A带un→ u、 西尼罗河→ w、 如果wn∈ Φ（un）然后w∈ Φ（u）。必须显示映射（u′，u）7→ V（i，u′）u） 是连续的，对我来说∈ S、 鉴于（5.4）和κ（0，i，·）的凹度，u′7→ V（i，u′）u） 不连续。对于任何j∈ S、 maph（u）：=Ej，u“∞Xt=0κ（t+1，Xt，uXt）#，u∈ Ais连续。用un将{un}带到A中→ u、 固定ε>0。根据（5.2），存在T∈ N这样p∞t=t最大值（i，α）∈S×P |κ（t，i，α）|< ε. 接下来是Lim supn→∞|h（un）- h（u）|≤ lim支持→∞Ej，u“TXt=0κ（t+1，Xt，unXt）#- Ej，u“TXt=0κ（t+1，Xt，uXt）#+ 2ε=lim supn→∞TXt=0NXk=1κ（t+1，k，unk）（（un）t）jk-TXt=0NXz=1κ（t+1，k，uk）（ut）jk+ 2ε≤ lim支持→∞TXt=0NXk=1κ（t+1，k，un（z））（（un）t）jk- κ（t+1，k，uk）（ut）jk+ 2ε=2ε，其中矩阵（un）t（resp.ut）是un（resp.u）的t倍乘积。根据ε>0的任意性，h是连续的。现在，根据Kakutani Fan的固定点定理（参见[9，theorem 1]），Φadm是一个固定点，即存在*∈ A使u*∈ Φ（u*). 也就是说，u*是一种平衡。B、 引理5的证明。1为了清楚起见，在下面的文章中，我们将分别用X表示连续时间马尔可夫链和Y表示离散时间马尔可夫链。首先，观察Hni（un）- Fi（Q*)|≤Ei，un“∞Xk=0f（（k+1）δn，Yk，QnYk）·δn#-Ei，Qn“∞Xk=0f（（k+1）δn，Xkδn，QnXkδn）·δn#+Ei，Qn“∞Xk=0f（（k+1）δn，Xkδn，QnXkδn）·δn#- Ei，QnZ∞f（t，Xt，QnXt）dt+Ei，QnZ∞f（t，Xt，QnXt）dt- Ei，Q*Z∞f（t，Xt，Q*Xt）dt.让In、In和inde分别记下上述不等式中的第二行、第三行和第四行。首先考虑一下。设ε>0。回忆（5.8）中给出的T>0。由（2.3）可知，M>T等于z∞Msupi，q | f（t，i，q）| dt<ε。

（B.1）那么，到（5.8），我们已经≤ δnXk<M/δnEi，unf（（k+1）δn，Yk，QnYk）- Ei，Qnhf（（k+1）δn，Xkδn，QnXkδn）i+ 2ε.注意以下事项f（（k+1）δn，Yk，QnYk）=Xj公司∈Sf（（k+1）δn，j，Qnj）（（un）k）ijEi，Qnhf（（k+1）δn，Xkδn，QnXkδn）i=Xj∈Sf（（k+1）δn，j，Qnj）（（~un）k）ij，其中~unis是由Qn导出的马尔可夫链（Xkδn）的转移矩阵。也就是说，对于由Qn=（qnij）诱导的概率P，我们得到了≈unij=P（Xδn=j | X=i）。注意，unij=（1+qniiδn+o（δn），j=i，qnijδn+o（δn），j 6=i，=uij+o（δn）。（un）k）ij=（（un）k）ij+k·o（δn）·（1+o（δn））k。现在，s ince | k·o（δn）·（1+o（δn））k |≤Mδn·o（δn）（1+δn）M/δn=o（1），我们得出的结论是in=δnXi<M/δno（1）+2ε=o（1）+2ε→ 2ε.通过ε>0的任意性，我们得到→ 0。接下来，我们考虑加入。对于任何ε>0，回忆（B.1）中给出的M>T。Th en，英寸≤Xk<M/δnEi，Qnf（k+1）δn，Xkδn，QnXkδnδn-Z（k+1）δnkδnft、 Xt，QnXtdt公司+ 2ε.由于f（·，i，·）是连续的，它在紧集[0，T]×Dai上是一致连续的，Dai：={q∈ Di：| | q | |≤ a} 。因此，存在连续性函数ρ的模，与i无关∈ S和n∈ N、 使得| f（t，i，Qni）- f（t′，i，Qni）|≤ ρ（| t- t′|）。考虑人JNK：=f（k+1）δn，Xkδn，QnXkδnδn-Z（k+1）δnkδnft、 Xt，QnXtdt公司,事件Ank：={在时间间隔（kδn，（k+1）δn）内，X没有ump。那么，我们有Ei，Qn[Jnk]=Ei，Qn[Jnk | Ank]·P（Ank）+Ei，Qn[Jnk |（Ank）c]·P（（Ank）c）=（ρ（δn）·δn）·（1- O（δn））+O（δn）·O（δn）=O（δn。因此，在≤Xk<M/δno（δn）+2ε=o（1）+2ε→ 2ε.通过ε>0的任意性，我们得到→ 最后，从定理3.3证明中的论点来看→ 参考文献[1]T.Bj¨ork、M.Khapko和A.Murgoci，《连续时间中的时间不一致随机控制》，《金融与随机》，21（2017），第331-360页。[2] T.Bj¨ork、A.Murgoci和X.Y。

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