依赖于卷的Almgren-Chriss中的一个最优执行问题

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收藏 2022-05-31

英文标题：
《An Optimal Execution Problem in the Volume-Dependent Almgren-Chriss
Model》
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作者：
Takashi Kato
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
In this study, we introduce an explicit trading-volume process into the Almgren-Chriss model, which is a standard model for optimal execution. We propose a penalization method for deriving a verification theorem for an adaptive optimization problem. We also discuss the optimality of the volume-weighted average-price strategy of a risk-neutral trader. Moreover, we derive a second-order asymptotic expansion of the optimal strategy and verify its accuracy numerically.
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中文摘要：
在本研究中，我们在Almgren-Chriss模型中引入了一个显式的交易量过程，这是一个用于优化执行的标准模型。我们提出了一种惩罚方法来推导自适应优化问题的验证定理。我们还讨论了风险中性交易者的成交量加权平均价格策略的最优性。此外，我们还推导了最优策略的二阶渐近展开式，并在数值上验证了其准确性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure 交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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An_Optimal_Execution_Problem_in_the_Volume-Dependent_Almgren-Chriss_Model.pdf
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nandehutu2022

2022-5-31 03:02:46

依赖于卷的Mgren-Chriss模型中的一个最优执行问题Takashi Kato*第一版：2017年1月31日本版：2017年8月24日摘要在本研究中，我们在Almgren–Chriss模型中引入了一个明确的交易量过程，这是一个用于优化执行的标准模型。我们提出了一种惩罚方法，用于推导自适应优化问题的验证定理。我们还讨论了风险中性交易者的成交量加权平均价格策略的最优性。此外，我们还推导了最优策略的二阶渐近展开式，并在数值上验证了其准确性。关键词：最优执行问题、市场交易量、成交量加权平均价格（VWAP）、市场影响1简介在过去二十年中，最优执行问题一直是数学金融领域的重要研究课题。Bertsimas和Lo（1998）撰写了关于最佳执行的开创性论文，Almgren和Chris（200 0）提出的模型在理论和实践上都被称为标准模型。Gatherel和Schied（2013）对解决执行问题的动态模型进行了调查。在研究执行问题时，我们必须考虑市场影响（MI），即交易者的投资行为对证券价格的影响。一些研究提出了具有永久/临时MI功能的最佳执行模型（有关永久/临时MIs的详细信息，请参阅Almgren和Chriss（2000），Gathereal和Schied（2013），以及Holthausen、Leftwich和Mayer（1987）。市场交易量（营业额）作为金融市场活动的代表性指标，是执行问题的另一个重要因素。这是尽管事实上，一些经典研究并不太关心它。如果交易量很大，证券的流动性就很高，交易者可以很容易地清算证券的股票。

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kedemingshi

2022-5-31 03:02:49

作为一种利用交易量的执行策略，交易量加权平均价格（VWAP）策略是众所周知的*数学金融实验室协会（AMFiL），日本千代田市小町2–10号，东京102-0 083。电子邮件：takashi。kato@mathfi-lab.comand在实践中得到广泛应用（见Madhavan（2002））。VWAP策略是一种执行策略，其执行速度与相关证券的交易量成比例。Frei和Westray（2013）、Gu’eant和Royer（2014）以及Konishi（2002）将如何最小化VWAP滑动（即VWAP策略的复制成本）问题视为一种随机控制问题。尽管VWAP策略是一种标准的执行策略，但仍不清楚为什么它在o pt ima l execution的血液学理论方面有效。一种分类是在“体积加权时间线”上考虑执行问题Gat heral和Schied（2013）在其评论22.7中指出，“[具有恒定执行速度的策略]可以被视为sa VWAP策略，……时间参数t不测量物理时间，而是测量体积时间，这是订单执行和市场影响文献中的标准假设。”然而，我们不应忽视市场交易量过程的不确定性：在未来的时间范围内，我们无法捕获一只证券将交易多少股。Kato（2016）引入了一个明确的市场交易量过程作为随机过程，并表明涉及预期执行成本最小化问题的最优策略实际上是VWAP策略。

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kedemingshi

2022-5-31 03:02:52

这是Black-Scholes模型给出的一般形状和证券价格波动的MI函数。相比之下，Kato（2015）研究了VWAP策略在配备了体积相关临时MI功能的广义Almgren–Chriss（AC）模型中是否是最优的。正如该研究所述，当交易者是风险中性的，并且我们的可接受策略是静态的（即确定性的）或预期的（即取决于未来的信息）时，VWAP策略是最优的。然而，将该论点推广到一个标准的自适应优化问题上的注意力有限。在本研究中，我们提出了一种简单的惩罚方法，为广义AC模型中的自适应优化问题提供了验证型定理。例如，我们给出了加藤（2015）启发式得出的结果的广义版本。该结果表明，在时变Black-Scholes框架下，预期的VWAP策略是最优的。我们还提供了自适应最优策略（say^xadap）的二阶渐近展开式。当市场交易量符合几何奥恩斯坦-乌伦贝克（OU）过程时，我们将^xadap的绩效与加藤（2015）定义的预期/精确VWAP策略进行了数值比较。这里，预期（对应，精确）VWAP策略，比如^xstat（对应，^xant），是静态（对应，预期）最优执行问题的解决方案。我们的数值结果总结在图中。1–4。我们发现，当交易量的平均回复速度较低时，^xadap的波动与^xantuntilclose的波动非常相似，直至最终时段（注意，^xanti的波动与市场交易量过程的波动完全成比例：见第3节（3.3））。

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可人4

2022-5-31 03:02:55

这也意味着^xadapdap的形式与^xstat的形式不同：^xstatis determinative and not flucted randocally。然而，对应于^xadap的执行成本与^xstat产生的执行成本相差不大，这在实践中很容易实现。相反，当平均恢复速度较高时，我们不仅看到^xadap的形式明显不同于^xstat的形式，而且自适应优化比静态优化的执行成本更低。这些结果表明，当市场交易量过程具有很强的均值回复特性时，交易者在构建^xadapto时有动机花费精力来改进执行算法。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们将介绍我们的基本模型设置。在第3节中，我们列出了VWAP执行策略的定义，并讨论了它们的合理性。在第4节中，我们介绍了我们的主要结果。我们在第5节总结本文。附录A总结了定理1的证明。在附录B中，我们讨论了一个较小的推广，其中永久和临时MI函数都取决于市场交易量。2模型设置在本节中，我们介绍我们的最优执行问题模型。我们的模型基于Almgren和Chriss（2000）提出的AC模型以及Gatheral和Schied（2011）和Schied（2013）提出的广义AC模型。我们假设存在一个由无风险资产（称为现金）和风险资产（称为证券）组成的金融市场。现金价格固定为1，而证券价格随机波动。为了描述这些价格波动，我们引入了概率模型。让T>0，让(Ohm, F、（英尺）0≤t型≤T、 P）为随机基，设（St）0≤t型≤Tbe a c\'adl\'ag（英尺）0≤t型≤T-鞅满足[sup0≤t型≤T | St |]<∞. 在这里，STI被视为时间t时证券的未受影响价格。

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能者818

2022-5-31 03:02:59

当没有MI时，我们可以用安全性换取价格St。为简洁起见，我们假设F是平凡的，即所有F-可测随机变量几乎都是常数。接下来，我们引入一个在初始时间t=0时拥有X份证券的交易员。交易员必须在固定时间范围t>0之前清算所有股票。executionstrategy x=（xt）0≤t型≤这是一个随机过程。这里，Xt表示时间t的执行速度。证券的剩余份额为Xt=X-Ztxrdr。（2.1）在给定的执行策略下x=（xt）0≤t型≤T、证券价格定义如下：St=St-Ztg（xr）dr- g（vt，xt），（2.2），其中g（resp.，g）是永久（resp.，g）MI函数，（vt）0≤t型≤Tis a正极（Ft）0≤t型≤描述瞬时市场交易量过程的T适应过程。在本研究中，假设g是一个线性函数，即对于某些κ>0，g（x）=κx。这一假设在一些相关研究中是标准的，如Almgren和Chris（2000）、Bertsimas和Lo（1998）、Cheng、Giacinto和Wang（2017）、Gatherel和Schied（2011）、Kato（2011）和Schied（2013）。请注意，首先假设g的线性是为了其可跟踪性，thatAlmgren等人（2005a，b）从经验的角度提出了其有效性。此外，Gatheral（2010）从经济学角度证明了这一点，即只有当g为线性时，市场才允许无动态套利（换句话说，无价格操纵）。相比之下，加藤（2014a，b）专注于g的非线性版本，并用凸/S形MI函数构建了优化执行的数学模型。Alfonsi、Fruth和Schied（2010）、Gu’eant（2014）和Kato、Ogihara和Takada（2014）从经济学和实证角度讨论了g的非线性。临时MI功能▄g取决于执行策略XT和交易量VT。

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mingdashike22

2022-5-31 03:03:02

随着交易量的增加，临时MI自然会减少，因为交易量大意味着市场流动性高。其中一个最简单的设置是，g（vt，xt）与x成正比，与vt成反比。因此，为了简单起见，我们采用以下形式的▄g：▄g（v，x）=▄κxv，（2.3），其中▄κ>0。接下来，我们定义我们的目标函数。对于给定的x，实施差额（IS）成本定义为asC（x）=SX-ZTStxtdt。（2.4）将（2.2）代入（2.4）并应用分部积分，我们得到c（x）=κx-ZTXtdSt+￠κZTxtvtdt，（2.5），其中（Xt）在（2.1）中定义。我们现在定义了一套可行的策略：a（X）=x=（xt）0≤t型≤T（英尺）0≤t型≤T-自适应，xt≥ 0和ZTXTDT=Xa。s. （2.6）请注意，上述右侧的最终相等表示卖出条件XT=0，即禁止交易员在时间范围T内持有任何剩余证券。我们将A（X）中的一个元素称为“适应性策略”，以区别于下面给出的其他类型的策略。还要注意xt≥ 0表示x不包含任何采购订单。有关此条件的详细信息，请参见第4节中的备注4。我们准备将优化问题定义为最小化预期成本的问题：^Jadap（X）=infx∈A（X）E[C（X）]。（2.7）从（2.5）中，我们可以很容易地看到上述问题等价于j（X）=infx∈A（X）EZTxtvtdt. （2.8）事实上，它认为^Jadap（X）=κX/2+～κJ（X）。3 VWAP战略在本节中，我们简要介绍VWAP执行战略。此外，我们回顾了加藤（2015）的研究结果，以验证VWAP策略在某些情况下的最优性。我们说x=（xt）0≤t型≤如果保持tha txt=γvt，t，则为VWAP策略∈ [0，T]a.s.（3.1），对于某些γ>0。这里，γ被称为市场参与率。

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大多数88

2022-5-31 03:03:06

请注意，如果x是VWAP战略，则交易对手的执行VWAP SvwapT（x）与市场VWAP SvwapT一致：SvwapT（x）=RTStxtdtRTxtdt，SvwapT=RTStvtdtRTvtdt（详见加藤（2015））。我们注意到，任何（自适应）容许策略x∈ A（X）不能成为严格意义上的VWAPstrategy。事实上，如果x满足（3.1），sell-o-off条件XT=0立即意味着γ=x/VT，这与XT的假设相矛盾∈ Ft，其中VTI累积交易量过程：Vt=Ztvrdr，t∈ [0，T]。（3.2）然而，我们重视VWAP战略，将其作为适当执行战略的“基准”。实际上，正如加藤（2015）定理3所述，策略^xant=（^xantt）0≤t型≤T、 ^xantt=XvtVT，T∈ [0，T]（3.3）是“预期”优化问题的解决方案^Jant（X）=infx∈Aant（X）E[C（X）]，其中Aant（X）是（^Ft）0的集合≤t型≤T-适应过程满足ztxtdt=X。此处，（^Ft）0≤t型≤定义为^Ft=GT∨Ht，其中（Gt）0≤t型≤T（分别，（Ht）0≤t型≤T）是由（vt）0生成的过滤≤t型≤T（分别），（St）0≤t型≤T）。我们将该策略（3.3）称为“精确的VWAP策略”如果我们可以在时间t=0时使用随机变量vt的全部信息，则精确的VWAP策略在最小化预期成本的意义上是最优的。然而，在时间t=t之前不可能观察到VT，因此我们无法在实践中实施准确的VWAP策略。作为（3.3）的替代，我们定义了^xstat=（^xstat）0≤t型≤T、 ^xstatt=XutUT，T∈ [0，T]，（3.4），其中ut=Ev-1吨-1，UT=ZUTDT。严格的s峰值，为了显示xantfor^Jant（X）的最优性，我们需要一个附加条件，例如，（Gt）0≤t型≤Tand（Ht）0≤t型≤皮重独立。我们省略了这里的细节，因为本文的主要内容是自适应优化问题。这里，UT给出了随机变量vt的调和平均值。

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可人4

2022-5-31 03:03:09

我们将（3.4）给出的策略称为“预期VWAP策略”这是一种静态（即确定性）策略，因此我们可以仅在初始时间使用信息来构建它。Kato（2015）中的定理4表明，预期的VWAP策略是静态优化问题的解决方案^Jstat（X）=infx∈Astat（X）E[C（X）]，其中Astat（X）是一组X∈ A（X）使得Xt是非随机的。注意，这些结果不需要体积过程（vt）0的任何显式模型≤t型≤T、此外，对于未受影响的价格过程（St）0≤t型≤T、我们只假设马氏体的性质。因此，在AC模型框架下，精确/预期VWAP策略的最优性是鲁棒的。至于自适应优化问题（2.7）–（2.8），K ato（2015）中的结果要求（vt）0≤t型≤几何布朗运动：dvt=udt+σdBt，v>0。（3.5）此处，u∈ R和σ>0是常数，（Bt）0≤t型≤Tis一维（Ft）0≤t型≤T-布朗运动。加藤（2015）的定理6暗示，在没有详细证明的情况下，作为自适应优化问题的解决方案，预期的VWAPstrategy仍然是最优的，即^Jadap（X）=^Jstat（X）=E[C（^xstat）]。因此，在这种特殊情况下，我们无法通过将可接受策略类从Astat（X）扩展到Aadap（X）来提高执行成本。备注1。注：上述结果可推广为▄g表示为▄g（v，x）=k（v）xα，（3.6），其中α>0为常数，k为正连续函数。在这种情况下，静态/预期问题的最优策略不再是VWAP策略。在加藤的R emark 5（2015）中，我们将这些策略称为“扭曲的VWAP策略”备注2。

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nandehutu2022

2022-5-31 03:03:12

当VT为常数时，最优策略是以恒定速率出售（即xt=X/T；这是原始AC模型中优化问题的精确解）。这种策略称为时间加权平均价格（TWAP）策略。在Kat o（2014a，b，2016，2017）中，我们发现类似的结果表明，当永久MI函数为非线性时，TWAP策略是风险中性交易者的最佳策略。备注3。如备注2所述，TWAP策略在原始ALAC模型中是最优的，不考虑市场交易量。在这里，我们通过引入“音量时间（stocha stic clock）”的概念（seeAn\'e和G eman（2000）、Geman（2008）、a和Veraat以及Winkel（2010））对我们的模型进行了另一种解释，类似于Kato（2016）。我们使用（2.1）、（2.4）和（2.7）来定义最小化预期成本问题的价值函数。然而，我们假设证券价格过程由t=~SVt给出，而不是由（2.2）给出-Ztg公司xrvr公司数字录像机- ^gxrvr公司, （3.7）其中（▄S▄t）▄t≥0是一致可积（~F ~t≥0）~t≥0-鞅和过滤（~Ft）~t≥0由▄F▄t=FV给定-1t（注意V-1▄t：=inf{t≥ 0；Vt公司≥t}∧ T为（Ft）0≤t型≤T-每个固定T）的停止时间。这里，g（r esp.，^g）是关于瞬时市场参与率xt/vt的永久（分别，临时）MI函数。我们将累积交易量过程vt视为交易量时间：vt增长越快，时间流逝越快。未受影响的安全公关流程在数量时间轴上而不是在物理时间轴上进行标记。永久MI也根据体积时间增量dVtrather比dt累积。很容易看出进程（St）0≤t型≤由St确定的Tde=~SVtis an（英尺）0≤t型≤T-鞅。因此，当g是一个线性函数时，（3.7）可以通过用^g（xt/vt）替换g（vt，xt）重写为（2.2）。

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mingdashike22

2022-5-31 03:03:15

这意味着我们的模型（2.1）–（2.7）也可以被视为具有随机时钟的AC框架中的最优执行问题，只要永久MIfunction是线性的。在附录B中，我们从另一个角度研究了我们的模型，即永久MI函数明确依赖于交易量vt.4主要结果4.1解析解和相应的验证理论。首先，我们提供了一个验证定理，该定理有助于找到问题的自适应最优执行策略（2.8）。因为交易量处理（vt）0≤t型≤假设总是正的，则描述对数体积过程的动态Yt：=对数VT，而不是VT本身的动态是有用的。因此，在本小节中，我们假设Yt满足以下随机微分方程（SD E）：dYt=b（t，Yt）dt+σ（t，Yt）dBt，其中b，σ：[0，t]×R-→ R是Borel可测函数。请注意（vt）0≤t型≤Tsatis fies the following SDE:dvt=^b（t，vt）dt+^σ（t，vt）dBt，其中^b（t，v）=v（b（t，log v）+σ（t，log v）/2）和^σ（t，v）=vσ（t，log v）。我们列出以下条件。直觉上，当交易量变大时，永久MI的成本似乎很小。粗略地说，这种直觉适用于凸g，但不适用于凹g。实际上，我们可以将（3.7）中的永久MI项改写为ztg（xr/vr）vrdr，以及被积函数g（x/v）v相对于vis g（x/v）的竞争关系- （x/v）g′（x/v），当g为凸（凹）时，为非正（非负）。这里，为了简洁起见，我们假设g是光滑的。注意，如果g是线性的，则每平方米项与交易量无关。

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大多数88

2022-5-31 03:03:18

然而，即使在这种情况下，由于临时MI的期限，大量交易也会减少价格的下跌。b和σ是有界的，并且是Lipschitz连续的，也就是说，存在一个正常数，使得| b（t，y）|+|σ（t，y）|≤ K、 | b（t，y）- b（t，y′）|+|σ（t，y）- σ（t，y′）|≤ K | y- y′|对于每个t∈ [0，T]和y，y′∈ R、 [A2]对于每个λ>0，存在一个函数Wλ∈ C1,2（[0，T]×（0，∞)) 使得（i）Wλ是以下偏微分方程（PDE）的经典解：tWλ+^b（t，v）vWλ+^σ（t，v）vWλ=v（Wλ），Wλ（T，v）=λv；（4.1）（ii）存在正常数Cλ和mλ，使得0≤ Wλ（t，v）≤ Cλ（1+vmλ+v-mλ）。（4.2）[A3]存在p>2，因此EZTsupλ>0（xλt）pdt< ∞,其中xλ=（xλt）0≤t型≤定义的asxλt=Xexp-ZtvsWλ（s，vs）dsvtWλ（t，vt）。（4.3）那么我们有以下定理。定理1。假设[A1]–[A3]。那么极限x∞t=limλ→∞xλtexists dt d P-a.e.和它保持x∞= （十）∞t） 0个≤t型≤T∈ A（X）。此外，x∞是（2.8）的优化器，即x∞是适应性最优执行策略。定理1的证明在附录A中给出。注意，如附录A中所证明的，foreachλ>0，xλ=（xλt）0≤t型≤（4.3）定义的Tde是以下随机控制问题的优化器：Jλ（X）=infx∈A（X）EZTxtvtdt+λvTXT, （4.4）式中，A（X）是一组无销售条件的适应性策略，即A（X）=x=（xt）0≤t型≤T（英尺）0≤t型≤T-自适应，xt≥ 0和ZTXTDT≤ Xa。s.此外，它认为jλ（X）=XWλ（0，v）（4.5）（详见附录A）。请注意，（4.5）意味着Wλ（0，v）=Jλ（1），因此Wλ表示与优化问题（4.4）相对应的值函数，当交易人只有一份股份可出售时。显然，A（X）是▄A（X）的子集。因此，它认为jλ（X）≤ J（X），λ>0。（4.6）直觉上，最优策略x∞对于值函数，J（X）作为优化器Xλ的极限Jλ（X）。

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mingdashike22

2022-5-31 03:03:22

因此，如果我们为每个λ找到（4.1）的解，我们可以通过（4.3）显式构造（2.8）的优化器，并让λ→ ∞. 另请注意，极限W∞（t，v）≡ limλ→∞Wλ（t，v）对于每个（t，v）都存在∈ [0，T）×（0，∞) （我们应该注意W∞（T，v）发散）和T hat x∞如果我们将λ替换为∞. 此外，我们还有以下普通微分方程，用于分配股份的过程∞t=X-Ztx公司∞sds：x∞t=-˙X∞t=X∞tvtW公司∞（t，vt），0≤ t<t.（4.7）事实上，一个简单的计算得出∞t=X-Ztx公司∞sds=X1.-Ztexp公司-ZsvrW公司∞（r、vr）drvsW公司∞（s，vs）ds= Xexp-ZtvtW∞（t，vt）dt,因此我们可以写x∞t=X∞tvtW公司∞（t，vt）对于每个t∈ （2.6）中，我们要求（xt）0的非负性≤t型≤T、这意味着我们不考虑在销售计划期间购买证券的可能性。这种设置很自然，因为我们的重点是销售执行问题。的确，x∞在定理1中，由于假设Wλ，实际上为非负≥ [A2]（ii）中的0。然而，在一些执行模型中，最优销售执行计划包括采购订单（例如，见Alfonsi、Schied和Slynko（20 12））。此外，有一种情况是，最优执行策略在买卖订单之间波动。这一问题与“交易引发的价格操纵”的概念有关（见Gatheral和Schied（2013）中的定义22.2）。因此，考虑负xt的可能性是有意义的。

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可人4

2022-5-31 03:03:25

此外，在附录B中，我们面临的情况是，最优销售策略包含购买订单。事实上，我们可以放宽受理条件asA（X）=x=（xt）0≤t型≤T∈^A（0，X）；ZTxtdt=Xa。s, （4.8）其中^A（t，X）=x=（xs）t≤s≤T（Fs）t≤s≤T-适应，essinfs，ωxs（ω）>-∞ ANDZTXSD≤ X a.s。.（4.9）注意，对于每个x=（xt）0≤t型≤Tin（4.8），过程（Xt）0≤t型≤（2.1）定义的Tde基本上是有基础的（见附录B中的引理2）。因此，我们从可接受的策略中排除了强烈振荡的执行策略（4.8）。为了简洁起见，我们采用（2.6）作为可接受的策略类别，但我们强调，当我们将A（X）的定义替换为（4.8）时，我们的主要结果是有效的。类似地，处理最优策略x∞取负值，我们可以将（4.2）概括如下：-C′≤ Wλ（t，v）≤ Cλ（1+vmλ+v-mλ），（4.10），其中C′是一个与t、v和λ无关的常数。4.2示例：依赖时间的ent Black-Scholes模型在本小节中，我们考虑依赖时间的Black-Scholes模型，即B（t，v）=bt，σ（t，v）=σt（4.11）作为确定性有界Borel可测函数给出的酪蛋白。定理2。假设（4.11）。那么它认为j（X）=XvZTexp公司Zt（bs- σs/2）dsdt公司-1、此外，战略x∞= （十）∞t） 0个≤t型≤Tde定义的byx∞t=Xexp-RTt（bs- σs/2）dsRTexp-RTs（br- σr/2）drDSA是（2.8）的优化器。证据我们可以通过wλ（t，v）=v的简单计算来验证条件[A1]–[A3]ZTtexpZst（br- σr/2）drds+λexpZTt（bs- σs/2）ds-1，Jλ（X）=XWλ（0，v），Xλt=Xλexp-RTt（bs- σs/2）ds1+λRTexp-RTs（br- σr/2）drds。我们的断言是通过定理1得到的。请注意，x∞与预期的VWAP执行策略一致，它认为^Jadap（X）=^Jstat（X）。备注5。

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mingdashike22

2022-5-31 03:03:28

我们可以将上述结果推广到▄g为（3.6）且k（v）=γv的情况-β对于某些β≥ 0和γ>0，交易量过程满足vt=(R)utexpZtσsdBs对于某些连续正函数（(R)ut）0≤t型≤Tand有界borelmeasureable函数（σt）0≤t型≤T、在这种情况下，我们看到∞t=Xexpβ2αRTtσsds\'\'uβ/αtRTexpβ2αRTsσrdr\'uβ/αsds，也等于（扭曲的）预期VWAP策略，它认为^Jadap（X）=^Jstat（X）。细节留给读者。4.3自适应最优策略的渐近展开在第4.1节中，我们引入了验证定理，以便于推导（2.8）的非优化因子。此外，在第4.2节中，我们使用广义Black-Scholes模型获得了自适应优化问题的解析解。然而，在一般情况下，仍然很难找到最佳策略。如果（vt）0≤t型≤这是确定性的，最优策略显然是预期的VWAP策略^xstat。因此，我们考虑导出关于^xstat的渐近展开公式。请注意，本小节中的论点仅为正式论点；在未来的工作中，我们打算寻求主题公正。我们考虑以下小参数ε>0的扰动体积过程：vt=(R)utexpεZ0,0t,其中（(R)ut）0≤t型≤这是一个确定的连续正函数和（Zt，zs）t≤s≤这是一个满足以下SDE的stocha-sticprocess：dZt，zs=α（s，Zt，zs）ds+β（s，Zt，zs）dBs，Zt，Zt=zf，用于一些适当的函数α（s，z）和β（s，z）。这里，术语εZt，zs描述了交易量过程中的一个小噪音。设Wε，λ（t，z）为以下偏微分方程的经典解：tWε，λ+α（t，z）zWε，λ+β（t，z）zWε，λ=？uteεz（Wε，λ），Wε，λ（T，z）=λ。（4.12）注意，Jε，λ（X）=XWε，λ（0，0）作为以下值函数给出：Jε，λ（X）=infx∈A（X）EZTxtvtdt+λXT.我们很容易看到W0，λ（t，z）=W0，λ（t）=（(R)UT-\'\'Ut+1/λ）-1，其中“Ut=Zt”usds。

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可人4

2022-5-31 03:03:32

对于小ε>0，我们考虑了形式展开式wε，λ（t，z）=W0，λ（t，z）+εI1，λ（t，z）+εI2，λ（t，z）+··（4.13）。用（4.13）代替（4.12），我们正式获得t+α（t，z）z+β（t，z）zW0，λ+εI1，λ+εI2，λ+··= “”ut1+εz+εz+···W0，λ+εI1，λ+εI2，λ+··.展开两边，比较ε和ε的系数，我们得到tI1，λ+α（t，z）zI1，λ+β（t，z）zI1，λ=z？ut（W0，λ（t））+2？utW0，λ（t）I1，λ，tI2，λ+α（t，z）zI2，λ+β（t，z）zI2，λ=(R)utz（W0，λ（t））+2zW0，λ（t）I1，λ（t，z）+（I1，λ（t，z））+ 2'utW0，λ（t）I2，λ和I1，λ（t，z）=I2，λ（t，z）=0。然后，我们应用Feynman–Kac公式得到I1，λ（t，z）=-EZTtZt，zs（W0，λ（s））(R)使用xp-2ZstW0，λ（r）’urdrds公司,I2，λ（t，z）=-E“ZTtn（Zt，zs）（W0，λ（s））+2Zt，zsW0，λ（s）I1，λ（s，Zt，zs）+（I1，λ（s，Zt，zs））o×’usexp-2ZstW0，λ（r）’urdrds#。出租λ→ ∞, 我们得到以下形式展开式：Wε（t，z）=UT-\'Ut+εI（t，z）+εI（t，z）+··，（4.14），其中I（t，z）=-（(R)UT-\'Ut）ZTtm（s，t，z）\'usds，I（t，z）=-（(R)UT-Ut）ZTtA（s，t，z）+A（s，t，z）- 2A（s、t、z）\'usds，m（s，t，z）=E[Zt，zs]，A（s，t，z）=E[（Zt，zs）]，A（s，t，z）=（\'UT-“美国）E”ZTsm（r、s、Zt、zs）–urdr#,A（s、t、z）=UT-“UsZTsE[Zt，zsm（r，s，Zt，zs）]”urdr。用（4.14）代替（4.7），我们得到以下最优自适应策略的二阶近似公式：x∞t=X∞tvtWε（t，Z0,0t）≈ 十、∞tvt“”UT-\'Ut+εI（t，Z0,0t）+εI（t，Z0,0t）, （4.15）或相当于x∞t型≈ Xexp-ZTV“”UT-\'Us+εI（s，Z0,0s）+εI（s，Z0,0s）ds公司×vt“UT-\'Ut+εI（t，Z0,0t）+εI（t，Z0,0t）.为了将符号与^xantand^xstat对齐，我们还表示^xadap=（^xadapt）0≤t型≤T=（x∞t） 0个≤t型≤T、我们还得到了^Jadap（X）：^Jadap（X）的近似公式≈ 十、κ+～κ\'UT+εI（0，0）+εI（0，0）.再次注意，上述推导只是形式上的，因此在此阶段无法保证近似值的准确性。

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何人来此

2022-5-31 03:03:36

因此，我们通过数值实验检验了近似自适应最优策略的准确性和性质。我们考虑了噪声过程遵循Ornstein–Uhlenbeck（OU）过程的情况，即α（t，z）=-ρz和β（t，z）≡ σ对于某些常数ρ，σ>0。在这种情况下，近似项为asI（t，z）=-z（(R)UT-Ut）ZTte-ρ（s-t） \'\'usds，I（t，z）=-（(R)UT-Ut）ZTtze公司-2ρ（s-t） +σ2ρ（1- e-2ρ（s-t）（）^Us-(R)usds，其中^Us=1-“”UT-\'\'UsZTse-ρ（r-s） \'\'urdr。我们将参数设置为κ=0.0001、？κ=0.01、T=1、X=10和σ=0.3。对于ρ，我们检查ρ=0.3、2和5的三种模式。在区间[0,1]中选择参数ε。我们还假设“ut”始终为100。我们使用涉及Theuler–Maruyama近似的数值计算来比较三种执行策略的性能，即预期VWAP策略（3.4）、自适应（近似）最优策略（4.15）和精确VWAP策略（3.3）。首先，我们研究ρ=0.3的情况。当ρ很小时，过程（vt）以类似于几何布朗运动的方式发生变化，因此^Jadap（X）的值预计将小于^Jstat（X）（见定理2）。结果总结在图中。1，我们看到^Jadap（X）与^Jstat（X）非常相似。这一结果表明，即使ε接近1，我们的近似方法也是准确的。有趣的是，尽管^xadap的预期成本接近^xstat，但这些策略的形式有所不同。图2显示了ε=0.3的三种策略^xstat、^xadap和^xantf的示例路径。^xadap的波动与^xants的波动比^xstat的波动更为相似，尤其是当t很小时。只要我们遵循适应性投资策略，我们就无法观察到VT的最终值。因此，当t接近t=1时，^xadaptdt的波动变得稳定，以符合销售条件zt^xadaptdt=X。

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何人来此

2022-5-31 03:03:39

作为一个序列，在这种情况下，相对于^Jstat（X），^xadap无法改善预期的IS成本。1.50%1.51%1.52%0.2 0.4 0.6 0.8图1：通过参数ε，与静态/自适应/预期最优策略相对应的预期成本∈ [0，1]对于ρ=0.3。垂直轴与成本值相对应（实线：^Jadap（X）；菱形破损虚线：^Jstat（X）；da棚线：^Jant（X））。水平轴对应于t oε。0 0.2 0.4 0.6 0.8图2：ρ=0.3和ε=0.3时静态/自适应/预期最优策略的样本路径。纵轴对应于每个策略的执行速度（实线：^xadap；菱形虚线：^xstat；虚线：^xant）。横轴与时间t相对应。接下来，我们研究ρ=2和5的情况。图3显示了ρ=2（左）和5（右）时^Jstat（X）、^Jadap（X）和^Jant（X）值的比较。在这些情况下，我们发现当ε较大时，^Jadap（X）明显小于^Jstat（X）。特别是，随着平均回复速度参数ρ的增加，^Jadap（X）和^Jstat（X）之间的差异变得更加明显。这是因为，当vt波动较大时，预计vt将迅速接近平均回复水平；自适应策略可以考虑这些信息。因此，在这些情况下，自适应优化比静态优化效果更好。图4显示了与最优策略相对应的样本pat hs。与ρ=0.3的情况一样，我们观察到^xadap与^xantt协同作用，直到时间t接近销售时间t。1.498%1.500%1.502%1.504%1.506%1.508%1.510%0.2 0.4 0.6 0.8 11.498%1.500%1.502%1.504%0 0.2 0.4 0.6 0.8 1图3：通过参数ε与静态/自适应/预期最优策略相对应的预期成本∈ [0，1]（左：ρ=2；右：ρ=5）。

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kedemingshi

2022-5-31 03:03:42

与成本值相对应的垂直轴（实线：^Jadap（X）；菱形标记虚线：^Jstat（X）；虚线：^Jant（X））。水平轴对应于ε。0 0.2 0.4 0.6 0.8 10 0.2 0.4 0.6 0.8图4：ε=0.3（左：ρ=2；右：ρ=5）的静态/自适应/预期最佳策略的样本模式。垂直a x对应于每个策略的执行速度（实线：^xadap；菱形标记虚线：^xstat；虚线：^xant）。横轴与时间t.5的结论相对应。在本研究中，我们在广义AC模型中处理了最优执行问题，使得临时MI函数取决于市场交易量。我们使用验证定理推导了一个自适应最优执行策略，并且作为一个应用，我们表明，当交易量过程为依赖时间的Black-Scholes模型时，预期的VWAP策略是最优的。在对风险中性交易者的最优执行问题的研究中经常会发现这一点（例如，Alfonsi、Fruth和Schied（2010）、Gathereal和Schied（2011）、Ka t o（20 14a）、K uno和Onishi（2010）以及Schied和Zhang（201 3）），自适应最优策略是由确定性过程给出的。因此，几乎没有动机通过使用市场数据随时间随机变化的当前信息更新执行速度来构建动态战略。在依赖时间的Black-Scholes框架中，这种现象也适用于我们的情况。然而，我们的数值实验表明，自适应最优策略通常不是静态的。当交易量过程为几何OU过程时，与静态优化相比，动态（自适应）优化改进了预期成本。

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能者818

2022-5-31 03:03:46

特别是，当平均回复速度较高时，我们观察到^Jadap（X）和^Jstat（X）之间存在明显差异。如备注3所述，我们的模型可以解释为在体积时间线上定义的AC模型。要看到这一点，g的线性度至关重要。此外，如备注1和5所述，我们的结果也适用于一般形状为g的形式（3.6），而我们无法避免g在任何情况下的线性。然而，加藤（2014a，b，2015，2017）成功地解决了MI函数为非线性的最优执行问题。面临的挑战是研究具有依赖于市场交易量的非线性g形式的AC模型。定理1的证明在这一节中，我们总是假设[A1]–[A3]。对于v±mt.lemma 1，[A1]和Krylov（1980）中的推论2.5.10立即得到了以下引理。每m≥ 1，存在常数Cm>0，因此esup0≤t型≤Tvmt公司≤ Cm（1+vm），Esup0≤t型≤电视-mt公司≤ 厘米（1+v-m）。定义λ（t，X，v）=infx∈A（t，X）E“ZTtxsvsds+λvt十、-ZTXSDS#,其中（vs）t≤s≤这是一个解决方案todvs=^b（s，vs）ds+^σ（s，vs）dBs（s≥ t），vt=vand▄A（t，X）=x=（xs）t≤s≤T（Fs）t≤s≤T适应，xs≥ 0和ZTXSD≤ X a。s.我们还将Jλ（t，X，v）=XWλ（t，v）。提案1。Jλ（t，X，v）≥\'Jλ（t，X，v）。证据修复任意x∈A（t，X）和setXs=X-Zstxrdr，t≤ s≤ T、（A.1）对于每个r>0，设置τr=inf{s≥ t；|对数vs|≥ R} （infφ≡ ∞). 应用伊藤公式，wesee thatZT∧τRtxsvsds+(R)Jλ（T∧ τR，XT∧τR，vT∧τR）=Jλ（t，X，v）+ZT∧τRt“(s+^bv+^σv） \'Jλ（s，Xs，vs）+xsvs- xs型X'Jλ（s，Xs，vs）#ds+（鞅），（A.2），包括“∞ = ∞” （请注意，上述等式的双方可能会偏离∞因为xs/vs的积分≥ 0）。我们注意到thatxv- x个X'Jλ（s，X，v）=vx个- vXWλ（s，v）- vX（Wλ（s，v））≥ -每个x的vX（Wλ（s，v））（A.3）≥ 0（请注意，（A.3）对于所有x也是有效的∈ R）。

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可人4

2022-5-31 03:03:49

结合[A2]和（A.2），我们得到ZT公司∧τRtxsvsds+E\'Jλ（T∧ τR，XT∧τR，vT∧τR）≥\'Jλ（t，X，v）。（A.4）它从引理1起成立→∞τR≥ 因此，（a.4）左侧的第一项收敛于脚趾ZTt（xs/vs）ds作为R→ ∞ 利用单调收敛定理。至于第二学期，我们观察到\'Jλ（T∧ τR，XT∧τR，vT∧τR）= λEXTvT；τR≥ T+E\'Jλ（τR，XτR，vτR）；τR<T,那是XTvT；τR≥ T-→EXTvT公司, R→ ∞而那0≤E\'Jλ（τR，XτR，vτR）；τR<T≤ XCλE1+支持≤s≤Tvmλs+支持≤s≤电视-mλs{τR<T}-→ 0，R→ 利用引理1和支配收敛定理。将这些与（A.4）相结合，我们得到ZTtxsvsds+λXTvt≥\'Jλ（t，X，v）。由于x是任意的，我们得到了断言。提案2。Jλ（t，X，v）≤\'Jλ（t，X，v）。证据Setxλs=X exp-ZstvrWλ（r，vr）drvsWλ（s，vs）。那么xλ=（xλs）t≤s≤Tis（Fs）t≤s≤T-自适应，非负，andXλs：=X-Zstxλrdr=X exp-ZstvrWλ（r，vr）dr≤ 十、 t型≤ s≤ T、因此xλ∈A（t，X）保持不变。我们观察到X'Jλ（s，Xλs，vs）=XλsvsWλ（s，vs）=Xλsto到达（Xλs）vs- xλsX'Jλ（s，Xλs，vs）=-vs（XλsWλ（s，vs））。（A.5）通过与命题1证明中相同的计算，将（A.3）替换为（A.5），我们看到jλ（t，X，v）≤EZTt（xλs）vsds+λvtXλs=\'Jλ（t，X，v）。从Pro位置1和2，我们得到（4.5），我们看到xλ∈由（4.3）定义的A（0，X）是Jλ（X）的优化器。根据定义，我们可以看到每个（t，v）∈ [0，T）×（0，∞), 函数族swλ（t，v）=Jλ（t，1，v），λ>0，是非负的，且单t 1相对于λ增加。此外，它认为supλWλ（t，v）<∞. 实际上，设置x=（xs）t≤s≤T∈ A（t，1）asxs=1/（t- t），我们看到jλ（t，1，v）≤E“ZTXSVSD+λvt1.-ZTXSDS#≤T- tE公司sup0≤s≤电视-1秒≤CT- t由于引理1。因此，极限W∞（t，v）=limλ→∞Wλ（t，v）对于每个（t，v）都存在∈[0，T）×（0，∞).

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可人4

2022-5-31 03:03:53

因此，单调收敛定理意味着limitx∞t=limλ→∞xλt=Xexp-ZtvrW公司∞（s，vs）dsvtW公司∞（t，vt）（A.6）也存在于几乎所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm.看看x的可接受性∞= （十）∞t） 0个≤t型≤T、我们观察到λE“vT十、-ZTxλtdt#≤ Jλ（X）≤Cxto到达时间λ→∞E“vT十、-ZTxλtdt#= 因此，Fatou引理意味着Lim infλ→∞十、-ZTxλtdt= 0 a.s.（a.7）此外，（a.6）和支配收敛定理意味着limλ→∞ZTxλtdt=ZTx∞tdta。s、将此与（A.7）相结合，我们得到了ZTX∞tdt=X a。s、，这意味着x∞∈ A（X）。最后，我们证明了x的最优性∞. 我们有jλ（X）=XWλ（0，v）≥EZT（xλt）vtdt.出租λ→ ∞, 我们获得XW∞（0，v）≥EZT（x∞t） vtdt≥ J（X）（A.8），再次使用Fatou引理。然而，（4.5）和（4.6）意味着XW∞（0，v）≤ J（X）。因此，（A.8）保持不变，替换“≥” 带“=”因此，证明是完整的。B依赖于交易量的永久MI函数直到现在，我们假设永久MI函数g是关于执行速度的线性函数，与市场交易量无关。这里，我们研究g和▄g都依赖于市场交易量的情况，即g（v，x）=κxv，▄g（v，x）=κxv。在这种情况下，它保持t^Jadap（X）=infx∈^A（0，X）EZTκXTXTXT+￠κxtvtdt, （B.1）其中^A（t，X）的定义如（4.8）所示，以在可接受的策略包括采购订单时处理机会（见备注4）。在这里，我们确认了^A（t，X）中每种策略持有的证券份额过程的有界性。引理2。对于每个x=（xs）t≤s≤T∈^A（t，X），定义（Xs）t≤s≤Tby（A.1）。然后它认为Esssups，ω| Xs（ω）|<∞.证据表示x+s=max{xs，0}和x-s=- min{xs，0}使xs=x+s- x个-砂| xs |=x+s+x-s

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mingdashike22

2022-5-31 03:03:56

根据假设，我们有0≤ η-s≤ CT和Xs=X- η+s+η-s≤ 十、- η+s+Ct每s∈ [t，t]a.s.，其中η±s=Zsx±rdr，C=esssups，ωx-s（ω）<∞.具体而言，可以得出0≤ XT公司≤ 十、- η+T+CT，因此为0≤ η+s≤ η+T≤ 每个X+CT∈ 现在我们的主张是显而易见的。当（vt）0时≤t型≤它被称为几何布朗运动（3.5），与附录a中的论点相似，将假设（4.2）替换为（4.10），从而得出以下定理。定理3。放置￠u=u- σ/2和D=￠u- 2￠uκ/￠κ。优化器^xadap=（^xadapt）0≤t型≤Tof（B.1）如下所示。（i）如果D<0且γT<2π，则^xadapt=XeuT/22 sin（γT/2）nγcosγ（T- t）- usinγ（T- t）o、（ii）如果D=0，则^xadapt=Xeut/2T-u1.-tT.（iii）如果D>0，则^xadapt=X2（eγT- （1）（￠u+γ）e（￠u+γ）t/2- （￠u）- γ） e（￠u-γ） t/2+γt.上述定理表明，最优策略在每种情况下都是静态的，但不再是VWAP策略。此外，在某些情况下，最优执行速度可能是负的（即，最优销售策略包含购买行为）。感谢匿名推荐人提出了许多宝贵的意见和建议，提高了论文的质量。参考文献Alfonsi，A.、Fruth，A.和Schied，A.，2010年。最优执行策略出现在具有一般形状函数的极限序书中。《定量金融》，10（2），第143-157页。Alfonsi，A.、Schied，A.和Slynko，A.，2012年。订单弹性、价格操纵和正投资组合问题。《暹罗金融数学杂志》，3（1），第511-533页。Almgren，R.F.和Chriss，N.，2000年。O投资组合交易的最优执行。《风险杂志》，18（2），第57-62页。Almgren，R.、Thum，C.、Hauptmann，E.和Li，H.，2005a。直接估计股权市场影响。预印本。Almgren，R.、Thum，C.、Hauptmann，E.和Li，H.，2005b。股票市场影响。《风险》，7月，第57-62页。An\'e，T.和Geman，H.，2000年。

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mingdashike22

2022-5-31 03:04:01

订单流量、交易时钟和资产回报的正常性。《金融杂志》，55（5），第2259-2284页。Bertsimas，D.和Lo，A.W.，1998年。执行成本的最优控制。《金融市场杂志》，1（1），第1-5页。Cheng，X.、Giacinto，M.D.和Wang，T.-H.，2017年。在Almgren–Chriss框架中，具有不确定订单的最优执行。《定量金融》，第17（1）页，第55–6 9页。Frei，C.和Westray，N.，2013年。VWAP订单的最优执行：一种随机控制方法。《数学金融》，2 5（3），第612-639页。Gathereal，J.，2010年。无动态套利和市场影响。《定量金融》，10（7），第749-759页。Gathereal，J.和Schied，A.，2011年。Almgren和Chriss框架下几何布朗运动下的最优交易执行。《国际理论与应用金融杂志》，14（3），第353-368页。Gathereal，J.和Schied，A.，2013年。市场影响的动态模型和订单执行的算法。《系统性风险手册》，编辑Fouke，J.P.和Langsam，J.，剑桥，纽约，第57 9–602页。Geman，H.，2008年8月20日。随机时钟和金融市场。《数学金融方面》，Yor，M.编辑，施普林格，柏林，海德堡，第37-52页。Gu’eant，O.，2014年。长期的市场影响可能是非线性的。预印本。Gu’eant，O.a和Royer，G.，2014年。VWAP执行和保证VWAP。《暹罗金融数学杂志》，5（1），第445–4 71页。Holthausen，R.W.、Leftwich，R.W.和Mayers，D.，1987年。大型大宗交易对证券价格的影响：横截面分析。《金融经济学杂志》，19（2），第237-267页。加藤，T.，2011年。具有几何或nstein–Uhlenbeck价格过程的最优执行问题。预印本。加藤，T.，2014a。具有市场影响的最优执行问题。《金融与随机》，18（3），第695-732页。加藤，T.，2014b。

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能者818

2022-5-31 03:04:04

市场影响函数的非线性：基于经验和模拟的凸/凹市场影响函数研究和最优执行模型的推导。《日本工业与应用数学学会学报》，24（3），第203–237页（日语）。加藤，T.，2015年。VWAP执行作为最佳策略。JSIAM Letters，7，第33-36页。加藤，T.，2016年。一般形状市场影响函数下VWAP执行策略的最优性。预印本。加藤，T.，2017年。具有S型市场影响函数的最优执行问题。预印本。Kato，T.、Ogihara，T.和Takada，H.，2014年。金融市场中限额指令簿和幂律的实证分析。RIMS Kokyuroku，《金融建模与分析》（FMA2014），1933年，第44-69页（日文）。Konishi，H.，2002年。VWAP交易的最佳份额。《金融市场杂志》，5（2），第197-221页。Krylov，N.V.，1980年。受控扩散过程。柏林斯普林格。Kuno，S.和Ohnishi，M.，20-10。具有价格影响的最优执行策略。RIMSKokyuroku，《金融模式与分析》（FMA2009），1675年，第234-247页。Madhavan，A.，2002年。VWAP战略。《贸易》，1，第32-39页。Schied，A.，2013年。在Almgren–Chriss框架中实现最佳订单执行的Ro-bust策略。《应用数学金融学》，20（3），第64-286页。Schied，A.和Zhang，T.，2013年。在短期价格影响和交易税影响下的烫手山芋游戏。预印本。Veraat，E.D.和Winkel，M.，2010年。时间变化。《定量金融百科全书》，Ed.Cont，R.，Wiley。

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