事实上，对于记录数的渐近分析，需要知道q（`）对于大`的行为，这反过来又需要了解P（Xn）对于大n的知识。后一个数量在文献中已经得到了很好的研究，人们对这种分布有更全面的了解【67，68】。利用这一点，可以估计-（n） 因此q（`）通过斯帕雷·安徒生身份。这在参考文献[61]中详细说明了所有0<u≤ 2和所有c。汇总见下表1一旦知道q（`）表示大`，就可以使用方程（48）和（47）中的更新结果分别估计记录的平均数hMi和记录数分布P（M | N），对于大N渐近估计[61]。如上所述，持久性q（`）和平均记录数hM i（以及分布P（M | N））显示出相当丰富和多样的行为，如强相关时间序列22cu12IIIIIIVIfifigure 7的记录统计。（c，0<u）中的相图≤ 2） 描述5种状态的条带：（I）0<u<1和c任意（II）线u=1和c任意（III）1<u<2和c>0（IV）半无限线u=2和c>0和（V）1<u≤ 2和c<0。线u=1（上述区域II）是一条临界线，在这条线上，持久性和记录统计数据表现出边缘行为。u和c的功能【61】。

在板条上（c，0<u≤ 2） （参见图7），结果表明有五种不同的状态：（I）当0<u<1时，c任意（II）当u=1时，c任意（III）当1<u<2时，c>0（IV）当u=2时，c>0和（V）当1<u≤ 2和c<0。在这五个区域中，对于大N，持续性q（`）和平均记录数hmi对序列大小N具有不同的渐近依赖性（见表1）。因此，P（M | N）在五个阶段也显示出不同的标度分布。线u=1（上述区域II）是一条临界线，在这条线上，持续性和平均记录数都表现出边缘行为，从这个意义上讲，这些量的渐近行为的指数连续依赖于漂移c。无需提供更多细节，我们在表1中总结了q（`）和hMi在条带（c，0<u）中这五个区域的渐近行为≤ 2） 如图7所示。让我们对表1中给出的渐近结果作几点评论。表1第二列中持久性q（`）的前置因子B可以精确计算[61]。在边缘情况下（区域II，即沿着图7中的线u=1），持久性指数θ（c）=+πarctan（c）在参考文献[69]中首次计算。参考文献【61】中计算了常数αu（c）。最后，表1第三列中hMi渐近表达式中出现的常数预因子也是可明确计算的[61]。最后，参考文献[61]在所有版本中也明确计算了大N的记录数字分布P（M | N）的全比例形式。

注意，在区域IV（对应于u=2和任意c）中获得的结果在参考文献[70]中扩展到了更广泛的一类具有平稳相关跳跃的随机游动（并且没有对跳跃分布的对称性和/或连续性进行假设）。在本节结束时，我们提到记录统计的这些结果在图7 q（`）hMiI中记录了23个强相关时间序列的统计数据≈ BI公司`-1/2≈ 人工智能√NII公司≈ BII公司`-θ（c）≈ AIINθ（c）Ⅲ≈ BIII型`-uau（c）NIV≈ BIV公司`-3/2经验-（c/2σ）`≈ a（c）内华达州≈ αu（c）常数。表1：。在（c，0<u）的五个区域中，大`的持续性q（`）和平均记录数hM i的渐近结果≤ 2） 如图7所示。[71，72]中，在金融背景下使用了带漂移的随机游走，以证明记录提供了一个有用的无偏估计量，即所谓的夏普拉蒂奥（Sharperatios），它表征了金融时间序列的信噪比，如价格回报的时间演化所产生的信噪比。我们请读者参考[71，72]了解关于这个问题的更多细节，并参考[73]了解这个估计器的实现（一个R包）。3.2.4。连续时间随机行走。Montroll和Weiss提出的所谓连续时间随机游走模型（continuous time random walk model）可以利用上述一般更新方法精确计算记录数字统计（74）。在连续时间随机游动模型中，空间和时间都是连续的。步行者像以前一样通过连续跳跃在连续线上移动，跳跃长度与分布φ（η）无关。然而，在两次跳跃之间，步行者等待从等待时间分布ψ（τ）中独立地为每个跳跃实例提取的随机时间τ。ONE考虑具有幂律尾ψ（τ）的等待时间分布~ τ-1.-γ表示大τ。

如果γ>1，则平均等待时间是有限的，在这种情况下，步行者基本上就像前面讨论的离散时间随机行走一样。然而，当平均等待时间发散时，即在0<γ的情况下，会出现有趣的新行为≤ 1（详细讨论见评论[67]和[68]）。在这种情况下，等待时间分布的拉普拉斯变换的行为为|ψ（s）=Z∞e-sτψ（τ）dτ≈ 1.-（τs）γ+···as s→ 0，（75）{wtdist.1}，其中τ是微观时间尺度。要计算记录统计信息，可以再次使用前面概述的一般更新方法，但现在需要考虑（46）thatreadsPc（~ `，M | t）=fc（`）fc（`）的连续时间模拟。fc（`M-1） qc（`M）δMXk=1`k- t！，（76）{ctrw\\u续订}，其中下标c表示连续时间。此处，~ `≡ {`，`，…，`M}表示记录的年龄集合，Pc（~`，M | t）是时间t中年龄和记录数M的联合分布。注意，在这个表达式（76）中，变量\'k（以及t）是连续的，因此δ函数是aDirac delta函数，而不是离散时间随机游走（46）中的Kronecker delta。强相关时间序列的记录统计数据24函数qc（`）表示步行者一直保持在0以下的概率`。类似地，fc（`）=-dqc（`）/d`表示第一次通过概率密度，即fc（`）d`表示从原点开始的过程在时间间隔[`，`+d`]内第一次穿过正侧的概率。取（76）关于t的Laplacetransform，并在\'kgivesZ上积分∞dt e-s tPc（M | t）=hfc（s）iM-1▄qc（s）=h▄fc（s）iM-1（1-fc（s））s，（77）{ctrw\\u续订.2}其中▄fc（s）=R∞d\'e公司-s`fc（`）。

在推导（77）中的最后一个等式时，我们使用了qc（s）=（1-fc（s））/s，随后取关系的拉普拉斯变换fc（`）=-dqc（`）/d`。在（77）中，Pc（M | t）只是在时间t内有M个记录的概率。因此（77）是前面推导的（47）的精确连续时间模拟。为了取得进一步的进展，我们需要根据等待时间分布ψ（τ）来确定▄fc（s）。这可以通过以下方式轻松完成。考虑两个连续过零点之间的时间间隔，该时间间隔正好包含n个跳转事件。对于固定t，很明显，可能的步骤数n是一个随机变量。利用连续等待时间间隔在统计上独立的事实，即pn（t）=Z，可以很容易地计算其分布pn（t）∞dτZ∞dτ。Z∞dτnψ（τ）ψ（τ）。ψ（τn）δt-nXi=1τi！。（78）{ctrw\\u pnt.1}对t进行拉普拉斯变换，得到▄pn（s）=h▄ψ（s）。（79）{ctrw_pnt_laplace.1}使用pn（τ），我们可以立即观察到fc（τ）=Xn≥1f（n）pn（τ），（80）{ctrw\\u fct.1}，其中f（n）恰好是在（43）之前定义的离散步骤n中的首次通过概率。取（80）的拉普拉斯变换，并使用（79），则得出▄fc（s）=Xn≥1f（n）h▄ψ（s）in=▄f（z=▄ψ（s）），（81）{ctrw\\u fct.2}，其中▄f（z）=Pn≥1f（n）zn是离散时间随机游动的首次通过概率的母函数。例如，对于对称和连续的跳跃分布φ（η），我们有▄f（z）=1-√1.- z自（45）。因此，在这种情况下，在（77）中插入（81）得到以下主要结果[74]Z∞dt e-s tPc（M | t）=q1-^1ψ（s）s1.-第一季度-^1ψ（s）M-1.（82）{ctrw\\U record.1}虽然（82）中的拉普拉斯变换对于任意t不容易反转，但可以在大M、大t的标度极限方面取得进展，但保持强相关时间序列的productRecord统计信息25M（t/τ）-γ/2固定。

在这个极限下，利用（75）中|ψ（s）的小行为，我们得到了一个极限标度分布[74]Pc（M | t）≈tτ-γ/2gγMtτ-γ/2！，（83）{ctrw\\u record.2}其中标度函数gγ（x）由gγ（x）=γx给出-1+2/γLγ/2（x-2/γ），0<γ≤ 1.（84）{ctrw\\u record.3}函数Lu（x）是标准单侧L'evy稳定密度。请注意，对于γ=1，可以证明[74]，正如人们所期望的那样，（83）中的结果减少到（56）中的半高斯结果。因此，综上所述，对于具有等待时间分布ψ（τ）和跳跃长度分布φ（η）的连续时间随机游动，记录数M在时间t中的分布Pc（M | t）独立于跳跃分布φ（η）（对于对称和连续φ（η）），但依赖于等待时间分布ψ（τ）。幂律等待时间分布，ψ（τ）~ τ-1.-γasτ→ ∞ 具有发散平均值，即0<γ≤ 1，Pc（M | t）具有如（83）所示的缩放形式，记录行的典型数量随时间变化为，M~ tγ/2对于大t。在临界情况下，γ=1，可以恢复前面讨论的离散时间结果。3.3。随机游走模型记录年龄的统计从记录的数量来看，其他有趣的观察结果是随机游走序列记录的年龄。如第3节导言所述，第k条记录的年龄是第k条记录和（k+1）条记录之间的步数，即第k条记录存在的时间（见图4）。请注意，最后一条记录在步骤N仍然是一条记录，因此最后一条记录与其他记录不在同一步上。由于随机游动的（空间）平移不变性（参见（41）），年龄的集合与晶格随机游动的两个连续零之间的间隔相似，换句话说，与偏移的长度相似。

因此，正如我们将在下文中看到的，对随机游动记录年龄的研究与晶格随机游动和布朗运动的漂移理论有着强烈的相似性。正如我们在本节中所讨论的，年龄的完整统计数据可以从第3.1节中提出的更新理论中获得，见（46）。对（46）中年龄联合分布的第一次粗略和天真的检查表明，这些年龄基本上是独立的（假设目前可以忽略全局约束），并且是相同的（除了最后一个不同的间隔）。因此，如果人们对记录的典型年龄分布P（\'k | N）感兴趣，即\'kwithk<M，那么人们自然会期望P（\'k）=limN→∞P（`k | N）=f（`k），（85），其中f（`k）是第一次通过概率（43）。从（46）开始的一个明确计算可以很容易地表明这一点（例如，参见[64]）。请注意，该结果（85）适用于所有k（k<M），这与（21）中i.i.d.序列的第k条记录的年龄极限分布非常不同，后者明确取决于强相关时间序列的k条记录统计26，此外，使用f（`）∝ 1/`3/2对于大的`，对于随机行走（无漂移），可以得出典型的年龄` typ表现为` typ=h ` ki=PN `=1 ` f（`）∝√N、 这种行为也可以通过以下简单的启发式论证获得：假设平均记录数为hMi，则两个连续记录之间的典型时间间隔为`典型年龄\'~ 不适用于HMI∝√N、 我们在哪里使用了hM i∝√N、 然而，有一些罕见的记录，其年龄表现相当不同。探索这些年龄段的非典型行为的自然方法是研究最大值和最短持续记录的变化。

如前所述，随机游走记录的年龄顺序并不完全相同，因为最后一条记录仍然是步骤N的记录（见图4）。这导致对最长（或最短）年龄的不同定义【76】（见第6.2节）。在这里，我们主要考虑一些最简单的定义，并定义“max，Nand，min，Nas，max，N=max{，`，…，\'M}，\'min，N=min{，`，…，\'M}。（86）此外，为了更好地描述最后一个年龄M的统计数据，继之前对i.i.d.变量引入的定义（见（33））之后，要研究的自然数量是最后一个记录的年龄是最长的年龄的概率QN，或年龄序列打破记录的可能性，QN=Prob（`M>max（`，…，`M）-1） ）=概率（`最大，N=` M）。（87）{def\\u QN}结果表明，QNis与\'max有关，Nas遵循[76，77]h\'max，N+1i=h\'max，Ni+QN。（88）如果考虑到随机变量“max，Nas N增加一个单位”的演变，可以很容易地获得这种关系（88）。事实上，` max，N+1=` max，N+1，如果最后一条记录是最长的记录（定义为概率QN（87）），否则它保持不变，` max，N+1=` max，N。因此，平均而言，我们得到了（88）中的关系。正如在i.i.d.情况下所做的那样[见上文（25）]，\'max，N，F（` | N）=Prob（\'max，N）的累积分布≤ `), 通过将年龄sin（46）在\'kand M上的联合分布求和得出，使得\'k≤ ` 对于每个k，对于记录数（47）的分布，通过考虑F（` | N）相对于N的生成函数，可以方便地进行求和。它产生[46]XN≥0F（`N）zN=P `m=1q（m）zm1-P\'m=1f（m）zm，（89），其中q（m）和f（m）分别在（41）和（43）中定义。从（89）中，ONE计算h ` max的母函数，Ni=P`≥1[1- F（`N）]asXN≥0zNh`最大值，Ni=X`≥0“1- z-P\'m=1q（m）zm1-P\'m=1f（m）zm#。

（90）类似地，如在i.i.d.情况下所做的，可以计算\'min，N，G（` | N）=Prob（\'min，N）的累积分布函数≥ `) 通过将（46）中的联合分布除以\'kand M，再加上\'k≥ ` 对于k的所有值。请注意，（86）中定义的“min，Nas”取0到N之间的值：实际上，如果在最后一步有记录，则“min，N=”M=0，如果在第一步之外没有记录，即M=1，则记录强相关时间序列27“min，N=`=N”的统计信息。然后可以以简洁的形式获得G（`'N）相对于N的生成函数[46]XN≥0G（`N）zN=Pm≥`q（m）zm1-项目经理≥`f（m）zm，（91），其中q（m）和f（m）分别在（41）和（43）中给出。从（91）中，可以立即得到平均值h ` min，Ni=P的母函数`≥1G（`N）asXN≥0小时`分钟，NizN=X`≥下午1点≥`q（m）zm1-项目经理≥`f（m）zm。（92）这些公式（90）和（92）表明，h’max，Ni和h’min，Ni取决于考虑中的随机游程，通过q（m）和f（m）。特别是，为了获得这些量的更大行为，需要在极限z内分析它们在方程（90）和（92）中的生成函数→ 在这个极限下，m上的离散和由m的大值决定，因此取决于生存概率q（m）的大m行为（见上表1）。下面，我们将讨论h ` max、Ni和h ` min、Ni在大N极限下的行为，这些大N极限是从这些通用公式（90）和（92）中获得的，用于各种随机游动，具有不同的跳跃分布（连续和离散），有漂移和无漂移。3.3.1。对称连续跳跃分布。

在这种情况下，可以将等式（42）和（44）中分别给出的q（`）和f（`）的显式表达式插入（90）中，以获得h ` max，Ni的母函数的精确表达式，从中可以获得任意N的h ` max，Ni的精确值。例如，对于N=0、1、2、3、4，可以分别获得h ` max，Ni=0、1、3/2、17/8、11/4【76】。通过分析其母函数（90）在极限z内的行为，得到了h′max，Ni的大N行为→ 1，产生[46]h` max，Ni≈ C N，C=Z∞1+y1/2eyγ（1/2，y）dy=0.626508，（93）{lmax\\u sym\\u cont}其中γ（ν，x）=Zxtν-1e级-tdt，（94）{def\\u g}是较低的不完全gamma函数。因此，最长的年龄远大于典型的记录年龄，其顺序为O(√N） 。注意，常数C也出现在布朗运动最长漂移的研究中【77，58】。这与第3.3节导言中的评论一致，其中提到，对随机游动记录年龄的研究与晶格随机游动和布朗运动的漂移理论具有很强的相似性。从这个结果（93）和（88）中，我们可以得到最后一个区间的概率QN的大N行为，Mis是最长的一个[76，77，78]QN→ C=0.626508，N→ ∞ . （95）类似地，通过在（92）中插入q（`）（92）和f（`）（44）的显式表达式，可以获得h ` min，Ni的母函数的显式表达式，从中可以获得任意N的h ` min，Ni的精确值，从而得到h ` min，Ni=强相关时间序列的记录统计28fIR（r）rxfR（x）图8。标度随机变量R的极限分布=`最大，N/N，见（98）。

它是从N=40步（绿色全圆圈）和N=80步（蓝色空圆圈）后随机行走的` max，N（89）生成函数的解析表达式中获得的，而这条线是连接蓝色圆圈的眼睛的指南（有关更多详细信息，请参阅参考文献[78]）。数据的良好折叠证实了（98）中的缩放形式。0、1/2、1、21/16、51/32表示N=0、1、2、3、4【76】。通过对极限z中生成函数in（92）的分析→ 1，获得了h ` min，Ni的大N行为，如[46]h ` min，Ni≈ D√N，D=√π=0.564190，（96）因此，其顺序与典型记录年龄“typ”相同，即O(√N） 。对于对称和连续的跳跃分布，可以研究\'max，Nand\'min，N的完全分布。\'min，N的分布对于大N来说非常简单，并且以prob（\'min，N=`）=δ\'，1+O（N）的前导顺序给出-1/2）。（97）{pdf\\u lmin}这表明h ` min，Ni in（96）的平均值受罕见事件控制。事实上，对h ` min，Ni的主要贡献来自于具有单个记录的路径，M=1，发生在X=0时【76】。实际上，通过注意M=1的路径在步骤N之前保持为负，可以简单地恢复（96）中的结果。这样的路径以概率q（N）出现≈ 1个/√πN，它们贡献了一个` min的值，N=N，这正好意味着（96）中的结果。这清楚地表明，h ` min，nis受罕见事件的支配，因此随机游动在步骤N之前从未穿过原点。“max，nha”的分布具有更丰富的结构。与i.i.d.案例（29）一样，我们可以证明，标度随机变量R=` max，N/N在大N极限概率[79，78]中达到极限分布（` max，N=`）→NfR公司`N, （98）强相关时间序列29的记录统计信息，其中函数fR（x）是区间[0，1]上的分段连续函数。

它在[1/2，1]，[1/3，1/2]等形式的每个间隔上都是连续的，并且在点xk=1/k，k=2，3。[79]。结果表明，随机变量V=1/R的母函数有一个相当简单的显式表达式[58，78，79]，从中可以得到fR（x）fR（x）的渐近行为≈（2αx-2经验(-α/x），x→ 0π（1- x）-1/2，x→ 1（99），其中α=0.854032。是超几何函数f（1，1/2，-x） 在实轴上。在图8中，我们展示了缩放函数fR（x）的曲线图。3.3.2。晶格上的对称随机游动。在这种情况下，持久性概率q（`）的生成函数由（62）给出，产生（63）中的大`行为，而f（`）在（44）中给出。在大N限值下，发现[46]h`最大值，Ni≈ C N，（100）与连续情况（93）一样，尽管持续概率受一个因素的影响√2[见（51）和（63）]。类似地，概率QNalso到相同的常数QN→ C作为N→ ∞, 同上（95）。然而，这种差异（通过一个因素√2） min，N的大N行为中的问题，在这种情况下，由[46]h，min，Ni给出≈√2天√N，（101）大一倍√2，大于连续情况下的值（96）。至于连续跳跃，记录的年龄与离散随机游动的连续零交叉之间的偏移有着很强的相似性，这在数学文献中得到了深入的研究，例如，参见[80]。3.3.3。存在恒定漂移时的随机行走。在这种情况下，随机行走的特征是两个参数，即L'evy指数0<u≤ 2和恒定漂移c[参见（72）和（73）]。

正如我们在上文中所强调的，h'max、Ni和h'min、Ni的大N行为受大'的持续概率q（`）的渐近行为控制，其强烈依赖于L'evy指数0<u≤ 2和恒定漂移c，导致带材中出现五种不同的状态（c，0<u≤ 2） （参见图7）。反过来，h’max、Ni和h’min、Ni都取决于u和c，参考文献[61]详细研究了这种依赖关系（u=1的情况也见[30]）。在不提供更多细节的情况下，我们在表2中总结了h\'max，Ni和h\'min，Ni的主要结果。请注意，在该表中，所有振幅都可以显式计算[61]。3.3.4。连续时间随机游动。它们的特征是指数0<γ≤ 1描述两次连续跳跃之间时间τ的幂律尾[见（75）]。γ=1的情况对应于离散时间随机游动（和连续跳跃）。参考文献【74】按照第3.2节所述的思路研究了连续时间随机游动的最长和最短持续记录的统计。在大的固定时间间隔[0，t]的范围内，最长时间间隔h ` max（t）i的平均值与t呈线性增长，且具有非平凡的振幅c（γ）[74]h ` max（t）i≈ c（γ）t，c（γ）=Z∞1+yγ/2eyγ（1- α/2，y）dy。（102）在图7 h\'max，Ni h\'min，NiI中记录强相关时间序列30个状态的统计数据≈ CIN公司≈ DI公司√NII公司≈ CIIN公司≈ DIIN1-θ（c）Ⅲ≈ CIIIN1/uDIIIIV≈ CIVln N分区≈ CVN DVNTable 2。（c，0<u≤ 2） 图（7）中的条形图。所有振幅都可以显式计算[61]（尤其是方程式（93）和（96）中分别给出的CI=C和DI=D），而指数θ（C）在（74）中给出。正如预期的那样，对于γ=1，我们恢复（93）中给出的离散时间结果，即c（1）=c，方程（93）中给出。

另一方面，对于larget，平均最短年龄由[74]h` min（t）i给出≈τΓ（1-γ）tτ1.-γ、 （103），对于γ=1，返回（96）中给出的离散时间随机游动的结果，替换为\'min，t→ τ\'min，与t→ Nτ。3.4。到目前为止，在当前的第3节中，我们主要关注记录的数量和记录的年龄，对于给定的N步随机游走。这些可观测数据的统计数据已从第3.1节所述的一般更新财产中获得[特别参见（46）]。在本节中，我们重点讨论具有对称连续跳跃分布φ（η）的随机游动，并考虑记录增量的统计信息。让我们考虑一个记录数为M的随机游走序列的具体实现，如图9所示。我们用Rk表示记录值，用ρk=Rk+1表示- RK此实现中的相应增量。在本小节中，我们重点讨论增量ρ=（ρ，ρ，…，ρM）的联合pdf P（~ρ，M | N-1） 以及固定步数的记录数M。特别是，我们对大N极限感兴趣。为了计算这个联合pdf，我们首先计算一个更复杂的对象，它是记录增量ρ、记录年龄和记录数M的“大”联合pdf P（~ρ，~ `，M | N）。然后通过积分年龄自由度`，得到联合pdf P（~ρ，M | N）[81]。

要计算这个大联合pdf P（~ρ，~ `，M | N），我们需要以下三个量：o第一个是生存概率q（`）（41），即arandom从x开始行走，保持在xup以下到`时间步的概率，这是Sparre-Andersen定理（51）给出的普遍值。o第二个是（43）中定义的第一次通过概率f（`），也是一个通用的概率，由f（`）=q（`-（1）- q（`）[见（44）].o最后，我们需要的第三个量是J（`，ρ）（对于从X=0开始的随机行走），定义为asJ（`，ρ）=Prob（X<0，X<0，…，X`-1<0，X`=ρ>0）。（104）{def\\u Jl}强相关时间序列的记录统计31time\'1\'2\'30=R1R2R3R4i\'4NXi1.2.3图9。实现N=15步的随机行走轨迹，M=4条记录。变量“kde”表示记录的年龄，即成功记录之间的间隔。记录值记为Rk，两个连续记录值之间的增量用ρk=Rk+1表示- Rk。这表示步行者从原点x=0开始，停留在原点以下直至`- 1步，然后跳到正侧，在第`步达到ρ>0。如果在最终位置ρ上对其进行积分，则在步骤`，即Z处恢复首个消息的概率∞J（`，ρ）dρ=f（`）。（105）概率J（`，ρ）也出现在随机游动的顺序统计量研究中【82，83】，其生成函数可以用跳跃分布φ（η）表示如下（详见参考文献【81】。为了计算J（`，ρ），我们首先定义p`-1（u）astimeiXiu ` 1个`图10：。

从原点X=0开始的随机游动的配置，其保持在原点以下直至`- 1步，然后在步骤`跳到ρ>0。我们还使用符号u表示-X个`-1，因此最后一次跳跃的长度为u+ρ。记录强相关时间序列32的统计信息步行者到达u>0 in的概率密度`- 1步，从原点开始，保持在原点上方直至`- 1步骤。按对称性p`-1（u）还记录了步行者到达的概率密度-u输入`- 1步，保留负数直至`- 1步骤。还请注意，p`-1（u）是单个步行者在步骤中第一次达到u级的概率密度`-1，从步骤0的原点开始。（这一定义将有助于研究第5节中多粒子系统的记录统计。）显然，一个hasJ（`，ρ）=Z∞p`-1（u）φ（u+ρ）du，（106），其中φ（u+r）表示最后一次跳跃的分布（见图10）。因此，生成函数J（z，ρ）=P`≥1J（`，ρ）z`由▄J（z，ρ）=X给出`≥0z`+1Z∞p`（u）φ（u+ρ）du，（107），其中，为了方便起见，我们将`移动了1。结果表明，计算任意跳跃分布φ（η）的约束传播子p`（u）是非常重要的。尽管如此，对于p`（u）的双拉普拉斯变换，仍然存在一个相当明确的公式[84]，其读数为（关于最近的综述，请参见[83，47]）Z∞X个`≥0p`（u）z`e-λudu=ψ（λ，z）。（108）函数ψ（λ，z）由ψ（λ，z）=exp给出-λπZ∞ln[1- z^φ（q）]q+λdq！，（109）式中^φ（q）=R∞-∞φ（η）eiqηdη是跳跃分布的傅里叶变换。因此，p`（u）对跳跃分布的依赖性通过其Fouriertransform^φ（q）表现出来。一般来说，很难从这个关系（109）显式地计算出任何`（u）`（andu）的p`（u）。

然而，在对称指数跳跃分布的情况下，φ（η）=1/（2b）e-|η|/b，可以显式计算p`（u）相对于`的母函数，结果▄p（u，z）=X`≥1z`p`（u）=1-√1.- zbe公司-|u | b√1.-z、 （110）{eq:expr\\u GG>\\u app}，而p（u）=δ（u）。将该表达式（110）与（107）一起使用，得到一个x`≥1J（`，ρ）z`=zZ∞dyp（y，z）2be-（y+ρ）/b=b（1-√1.- z） e-ρ/b.（111）{eq：integral1}该方程（111）表明，对于指数跳跃分布，变量`和ρ解耦，yieldingJ（`，ρ）=bf（`）e-ρ/b，X`≥1f（`）z`=1-√1.- z，（112）{eq:expr\\u TGF}，其产生系数f（`）asf（`）=(-1） `+1√π2Γ（3/2- `)Γ（`+1）≈√π\'3/2，作为`→ ∞ . （113）{eq:expr\\ck}强相关时间序列的记录统计33这些公式（112），（113）在第4节中有助于研究具有对称指数跳跃的随机步行桥的记录。有了这三个量，我们可以再次使用随机游动的新特性，即两个连续记录之间间隔的独立性来表示大联合pdf（见图9）。对于M≥ 2 it readsP（~ρ，~ `，M | N）=M-1Yk=1J（`k，ρk）q（`M）δMXk=1`k，N！，（114）{eq:full\\u joint}，其中Kronecker delta确保步骤总数固定为N。因子q（`M）对应于最后一条记录之后的间隔，即最后一条记录之后的所有位置XI都低于最后一条记录值的概率，如（51）所示。对于M=1，只有起始点是一条记录，并且过程在整个时间间隔N内保持为负值。在这种情况下，没有记录增量，但我们按照约定将记录增量设置为ρ=0，并且henceP（ρ，`，M=1 | N）=q（`）δ（`，N）δ（ρ）。（115）{eq:full\\u joint\\u M1}然后通过将（114）中的P（~ρ，~ `，M | N）与`，…，求和，得到关节pdf P（~ρ，M | N）`M-1（每个从1到∞) 和\'M（从0到∞).

因此，对于M，P（~ρ，M | N）关于N个读取的生成函数≥ 2XN≥0P（~ρ，M | N）zN=~q（z）M-1Yk=1▄J（z，ρk），（116），其中▄q（z）在（50）中给出，生成函数▄J（z，ρ）≡P`≥1z`J（`，ρ）。从（116）可以看出，P（~ρ，M | N）在记录增量标签的置换下是不变的，这意味着ρk，P（ρk | N）的边缘分布与k无关。它可以通过积分P（ρ，ρ，…，ρM）来计算-1，M | N）in（116）除以ρ，ρM-1然后对M求和（从1到+∞) （详情见[81]）。一个getsXN≥0P（ρ| N）zN=~J（z，ρ）（1- z） +δ（ρ）√1.- z、 （117）其中我们使用了▄q（z）=1/√1.- z[见（50）]和▄f（z）=1-√1.- z[见（45）]。作为z→ 1，（117）的右侧按前导顺序表现为▄J（1，ρ）/（1- z） ，这意味着在大N极限下，limN→∞P（ρ| N）=P（r）=J（1，ρ），（118），这表明增量具有平稳分布，如N→ ∞.对于某些跳跃分布，可以显式计算J（1，ρ）[81]（有关排队论的相关结果，请参见[85]）。例如，对于φ（η）=1/（2 b）e-|η|/b，一个结果p（ρ）=e-ρ/b/b，带ρ≥ 另一种精确可解的情况是φ（η）=1/（2 b）|η| e-|η|/b，其中一个为ρ≥ 0）p（ρ）=2 b（1+√3） e类-ρ/b2b级(√3.- 1） +4ρ. （119）另一个有趣的例子是L’evy flights的情况，对应于φ（η）~A |η|-1.-u，0<u<2。在这种情况下，对于较大的ρp（ρ），可以精确地获得p（ρ）的尾部≈ Buρ-1.-u/2，ρ→ ∞ , （120）记录强相关时间序列34的统计信息，其中Bu是可计算常数（并且取决于a和u）。

有趣的是，这个结果（120）比跳跃分布衰减得慢。对于（114）中的大联合pdf或本节中给出的记录增量（116）的联合pdf，这些精确结果对于计算与随机游动及其变量记录相关的许多观测值是有用的，而不仅仅是这里讨论的增量P（ρ| N）的边际分布。在下一节中，我们将看到需要（114）中的Grand joint pdf来研究受约束随机游动的记录统计，如随机游动桥。在第7节中，我们将通过计算增量单调递减到步骤N.4的概率Q（N）来进一步说明这一点。约束离散时间随机行走时间\'1\'2\'3i\'4XBiYN的记录和年龄统计1.2.3图11。实现N=15步的随机行走桥xbiw。这里的记录数是M=4。区间\'kde表示记录的年龄，ρkar表示连续记录之间的增量，而Y表示最大值XBmax，N的值。具有对称指数跳跃的随机步行桥的随机变量\'k，ρk，M和Y的联合分布如（145）所示。正如我们在前一节中所看到的，具有连续跳跃的随机游动记录统计的一个显著特征是，它是完全通用的，即独立于跳跃分布，即使对于有限数量的步骤也是如此。因此，很自然地会问，这种普遍性是否仍然适用于受约束的随机游动。这种受约束随机游动最自然、最有趣的例子之一是therandom walk bridge，我们主要关注它（见图11）。如前所述，我们考虑时间序列{Xi}，0≤ 我≤ N、 从X=0开始，并根据（40）Xi=Xi中的马尔可夫规则进行迭代-1+ηi，（121），其中跳跃变量ηi是i.i.d.随机变量，从分布φ（η）中得出。

在这里，我们将分析限制在跳跃分布φ（η）对称（无漂移）的情况下，但我们将同时考虑离散（晶格随机行走）和连续跳跃分布的情况。在本节中，我们重点讨论随机游走桥{XBi}的位置，其中0≤ 我≤ N、 这是一个随机游走，作为强相关时间序列35in（121）的记录统计，条件是在N个时间步后返回原点，XB=XBN=0。例如，这种受约束的随机游走与建模周期性强相关序列（N为周期）相关。随机游走桥梁的记录统计结果与自由随机游走的情况有很大不同。从技术上讲，这种受约束的随机游走比自由随机游走更难分析。实际上，对于自由随机游动，计算需要记录`，`，…，的年龄的完全联合分布`Mbut无需在给定的时间步跟踪记录的实际值[参见（46）]。然而，对于桥梁来说，需要知道给定时间步下记录的实际值，其中随机游动在N个时间步后返回原始值。通过考虑年龄的完整联合分布和记录增量ρk（这是两个连续记录之间的差异），即上文（114）中考虑的大联合pdf[另见图11]。因此，考虑到这一技术难题，对于桥梁的情况知之甚少。然而，有两种特殊情况可以详细分析：（i）晶格随机游动和（ii）对称指数跳跃分布φ（η）=1/（2b）exp(-|η|/b），其中b>0[86]。这些情况下获得的精确结果为具有任意连续跳跃分布的桥梁随机行走的记录统计提供了一些见解。4.1。

主要结果摘要我们首先总结了随机步行桥记录的主要结果，并请读者参考参考文献[86]了解更多详细信息。与自由随机游走的情况一样，离散和连续跳跃分布产生不同的结果。但在这种情况下，对于连续分布，记录（和年龄）的统计数据并不是通用的，而是取决于跳跃分布φ（η）的细节。尽管如此，在大N的限制下，表征记录统计量的各种观察值（以大N的前导顺序）仅取决于L'evy指数u（73），而不取决于跳跃分布φ（η）的进一步微观细节。我们记得，theL'evy指数表征了跳跃分布^φ（q）=R的傅里叶变换的小参数行为∞-∞dηφ（η）eiqη≈ 1.- |luq |u，其中lu是跳跃的特征长度标度。让我们用M表示Nsteps之后随机行走桥的记录数。对于晶格随机游动，使用M和随机游动桥的最大值之间的关系（即，可以直接推广到桥的（69）中的关系），可以精确计算记录数的完整分布。特别是，对于较大的N，平均记录数仍会像这样增长√N【86】hMi≈√π3/2√N，（122）{ampli\\u mu\\u discrete}，但与自由随机行走（68）相比，振幅小一倍π/4。在大N极限下，随机变量的概率分布/√N收敛到由p（M | N）给出的平稳（即，N独立）分布≈rNgB√2米√NgB（x）=2 x e-xΘ（x），（123），不同于自由随机游动的对应项（71）。

注意，如（69）所述，极限标度函数是单位时间间隔上强相关时间序列36布朗桥的记录统计量的最大值之一。对于连续跳跃分布，平均记录数表现为ashMi≈ AB（u）√N，（124）{ampli\\u bridge\\u mu}，其中振幅明确取决于u。对u的依赖性相当复杂，只有当u=2时，才能使用resultAB（u=2）明确评估该振幅=√π、 （125）{ampli\\u mu\\u 2}，对于晶格随机游动，与其连续对应物（54）相比，它也小了一个因子π/4。对于任意连续跳跃分布，在第一时刻之后，对M的统计数据进行分析是相当困难的。然而，对于对称指数分布，可以获得完整分布的精确结果，这代表了u=2的情况[参见（73）]。在这种情况下，缩放变量M的分布/√当N达到极限分布时→ ∞[86]P（M | N）≈√NgB公司M√N, （126）{eq:gB\\u exp}，其中标度函数gB（x）与（123）中给出的晶格随机行走桥的标度函数相同。另一方面，对于破纪录概率QN[见（87）]，只有晶格随机游动和具有对称指数跳跃分布的随机游动才能获得精确结果。在这两种情况下，qn收敛到相同的常数，可以用imn给出的非平凡积分表示→∞QN公司=√πZ∞dy公司√ye公司-y1.-√πyF（y）exp[yF（y）]erfc[√yF（y）]式中，F（y）=erf(√y）+√πe-y√y、 （127）随机游走桥（127）屈服中积分的数值计算：limN→∞QN=0.6543037。

（128）不同于（95）中给出的自由随机行走特征，且略大于（128）。另一方面，对于晶格随机游动和对称指数跳跃分布，最长持续记录h ` max，Ni的平均年龄可以在大N极限[86]limN下精确计算→∞h`最大值，NiN=4Z∞dy公司-F（y）e-y+y F（y）erfc[√y F（y）]- e-y型/√πy1- F（y）！=0.6380640，（129），与自由随机游动不同，其严格小于QNin（128）的极限值。在[86]中进行了数值模拟，以估算数值qnas以及“max”，并发现与方程（127）和（129）中的预测非常一致。记录强相关时间序列37timeiNXBikxXBmax的统计信息，如图12所示。N=20步的晶格随机行走桥。这里的记录数是M=XBmax，20+1=6.4.2。主要结果的推导概述在本节中，我们给出了导致随机游走桥之前公布的结果的主要想法，更多细节请参考[86]。4.2.1。平均记录数。为了计算平均记录数hM，我们按照前面对等式（3）–（6）中i.i.d.情况的解释进行操作，并计算记录率rk，这是在步骤k处记录被破坏的概率，对于N个步骤的随机行走桥。确实有[见（57）]hMi=NXk=0rk。（130）{av\\u R\\u bridge.1}注意，与i.i.d.或自由随机游走的情况不同，人们期望该记录速率取决于k和N，因为随机游走桥必须在N步后返回到理论原点。

为了计算记录速率rk，需要以下两个量o自由格林函数（传播子）G（x，x，`），表示随机游走者在“步”之后从x开始在x处移动的概率（对于晶格随机游走）或概率密度（对于连续跳跃分布）。o约束格林函数G>（x，x，`），表示arandom walker从x开始，在`步之后，在x处移动，并在两者之间保持严格正的概率（对于晶格随机游动）或概率密度（对于连续分布）。为了计算rk，我们假设一条记录发生在步骤k，记录值为x（见图12）。这对应于步行者在步骤0从原点开始，在步骤k第一次达到x级，并在N步后返回原点的事件，因为我们正在考虑随机步行桥。在时间间隔[0，k]中，步行者从0传播到x，被限制在x以下。为了计算相应的传播子，我们将x作为空间的新原点，然后反转时间轴和坐标轴。因此，我们可以看到，在强相关时间序列38的记录统计数据中，在时间间隔[0，k]内，粒子以G>传播（x，0，k）。另一方面，在步骤k和步骤N之间（步行者在原点结束），步行者是自由的，因此以G（0，x，N）传播- k） =G（x，0，N- k） ，因为跳跃分布是对称的。然后，通过将该事件的概率积分到x上，得到记录率≥ 0，因为记录可以在任何级别x发生≥ 0（请注意，只有第一条记录，即k=0，x=0）。

利用随机行走在时间间隔[0，k]和[k，N]（马尔可夫）中的统计独立性，因此，对于N≥ 1： rk=G（0，0，N）Z∞dx G>（x，0，k）G（x，0，N- k） ，0≤ k≤ N- 1，（131）{expr\\u rm}其中我们除以G（0，0，N），因为我们考虑的是经过N个时间步（桥）后返回原点的随机游动。因为对于桥xbn=XB=0，记录不能在最后一步被打破，因为记录是由严格的不等式定义的[见（2）]。注意，在离散随机游动的情况下，必须用离散和替换（131）中x上的积分。对于任意分布和任意k和N，显式计算（131）中的记录速率是一项非常困难的任务，因为约束传播子G>（x，x，k）的计算只能在某些特殊情况下显式执行。这类可解的情况包括使用图像方法的晶格随机游动，以及使用所谓的Hopf-Ivanov公式的对称指数跳跃分布【84】。在这两种情况下，可以显式地计算任何N[86]的hM i，从而得出方程（122）和（125）中的结果。对于更一般的连续跳跃分布，尽管任何有限N的hMi的精确计算似乎都很困难，但我们现在讨论的是，可以执行大N渐近分析。正如我们将看到的，最终结果仅取决于L’evy指数0≤ u≤ 2描述随机行走的特征（73）。我们记得，平均记录数由（130）中的总和给出。k上的这个和由k的值控制~ O（N）如此之大，当 1【86】。因此，要计算（131）中给出的大k的记录速率Rk，可以用传播子G（x，0，N）代替-k） 和G>（x，0，k）按其缩放形式有效分叉，N 1，k/N固定，x 1，x/N1/fixed。

一个有索引（x，0，N- k）≈lu（N- k） 1/uRxlu（N- k） 1/u, （132）G>（x，0，k）≈lu√πk1/2+1/uR+xluk1/u, （133）其中标度函数归一化，即R∞-∞dx R（x）=1 andR∞dx R+（x）=1。我们记得，方程式（132）和（133）中的lu是跳跃的特征长度标度（73）。标度函数R（x）是（对称）L'evy稳定分布：R（x）=2πZ∞-∞dq e-iqxe-|q |u，（134）{eq:stable\\u dist}，尤其是R（0）=Γ（1+1/u）/π。对于u=2，它对应于高斯分布，而对于u=1，这是柯西分布。另一方面，对于一般u<2，没有明确的R+（x）表达式。对于u=2，一个hasR+（x）=2 x e-对于xΘ（x）和u=1，也可以将R+（x）显式写入强相关时间序列的记录统计信息39A积分[87，88]（x>0）R+（x）=-√xZg公司十五v-3/2（1- 五）-1/2dvg（z）=ddzπ（1+z）3/4exp-πZLLN u1+udu. （135）通过这种归一化（133），可以特别检查通过将（133）中的>（x，0，k）积分到x上，可以恢复生存概率q（k），这是步行者从原点开始到步骤k:Z保持正的概率∞dx G>（x，0，k）=q（k）≈√πk，作为k→ ∞ , （136）符合Sparre-Andersen定理[65]。通过将这些缩放形式（132、133）插入rkin（131）的表达式中，可以发现对于大k和N，k/N=y固定（0≤ y≤ 1） ：rk=√新罕布什尔州y=kN, （137）其中缩放函数readsH（y）=√πΓ（1+1/u）√y（1- y） 1/uZ∞dx R+（x）Rx（y）-1.- 1） 1/u. （138）最后，从记录率（137）的比例表中，得到一个shmi=nXk=0rc（k，n）≈ AB（u）√n，AB（u）=Zdy H（y）。（139）尤其可以检查AB（u=2）=√π/2，正如预期的那样，这与指数情况下得到的结果一致。请注意，尚未对振幅AB（u）作为u的函数进行详细分析，即使是数值分析。4.3。

年龄的联合分布正如我们在第3.1节自由随机游走中所讨论的，计算与记录相关的大多数可观测数据的完整统计信息（如记录数、最长持续记录的年龄‘max，或破纪录的概率QN）需要了解年龄的联合分布`、`、`Mand记录数字M，用P（~`，M | N）表示–自由随机游动见（46）。对于自由随机游走，可以计算任意跳跃密度φ（η）的联合分布，对于随机游走桥，已知有两种特殊情况，晶格随机游走和随机游走对称指数跳跃，我们现在分别讨论这两种情况。晶格随机行走桥。在这种情况下，页面集的联合分布``M与记录数M一起读取[86]P（`，…，`M，M | N）=P（~`，M | N）（0）G（0，0，N），（140），其中分子P（~`，M | N）（0）由P（~`，M | N）（0）=f（`）给出。f（`M-1） G级≥（M）- 1，0，\'M）δMXk=1\'k，N！，（141）{num\\u joint\\u discrete}强相关时间序列40的记录统计数据，f（`）是离散随机游动从x开始，在步骤`第一次到达x+1的第一次通过概率。In（141），G≥（x，x，k）是随机行走者从x开始，在k步之后到达x的概率，同时保持非负（即，它可能接触0，但不接触-1） 介于两者之间。请注意，此isG≥（M）- 1，0，`M），输入（141）中的表达式，而不是G>（M- 1，0，`M），因为记录由（2）中的严格不等式定义。

最后一个区块确保了随机游动回到原点，因此与自由随机游动（46）进入相同联合分布的最后一个区块不同，在这种情况下，自由随机游动的联合分布就是生存概率q（`M）。在（141）中进入该联合概率的构建块都可以显式地计算为晶格随机游动。首先，由于随机游动在平移下是可变的，因此第一次通过概率f（`）与X无关。对于离散随机游动，其生成函数由（45）和（62）~f（z）=X给出`≥1f（`）z`=1-√1.- zz，（142）{eq:gf\\u first\\u passage\\u rw}，从中我们推断出thatf（`）=0，`偶数(-（1）(`-1） /2个√π2Γ（1- `/2） Γ（3/2+`/2），`奇数。（143）{eq:first\\u passage\\u discrete}此外，约束传播子G≥（x，0，`）可以使用带有结果的图像方法简单地计算≥（x，0，`）=(```+x个-``+x+1, 如果`+x为偶数0，如果`+x为奇数。（144）从这种情况下完全明确的联合概率（141）中，使用（143）和（144），可以按照第3.1节中详述的线条，获得记录数、最长持续记录的年龄最大值或破纪录概率QnCa的完整统计信息，并得出方程式（123）、（128）和（129）中给出的结果。该联合概率（141）对于计算与晶格随机游走桥的年龄相关的任何可观测值都是有用的。对称指数分布的随机游走桥。对于对称指数跳跃分布φ（η）=1/（2b）e-|η|/b，我们分析的起点相当于（140）中给出的晶格随机游动的联合分布。然而，由于φ（η）在这里是一个连续分布，因此这种计算比离散情况下更为精细。

事实上，当我们考虑随机步行桥时，步行者返回原路的最后部分的权重，即持续时间\'M的最后一段（见图11），涉及传播组织≥（Y，0，` M）=G>（Y，0，` M）（因为跳跃分布是连续的，所以这里没有联系），其中Y=XBmax，Nis是最后一条记录的实际值，它与N步后随机游走桥的最大值一致。对于晶格随机游走，记录数M和XBmax通过XBmax直接相关，N=M- 1但这种关系不适用于连续跳跃分布。因此，我们需要跟踪记录的数量和最后一条记录的值。这样做的一个方便方法是联合考虑记录增量ρk，它记录了第3.4节中介绍的关于随机游动记录增量的强相关时间序列41的统计数据[见（114）]，以及最大值。因此，我们引入了联合分布p（{k，ρk}1≤k≤M-1，`M，M，Y | N）年龄\'k，增量ρk，记录数sm和XBmax，N=Y（见图11）：P（{`k，ρk}1≤k≤M-1，`M，M，Y | N）=M-1Qk=1J（`k，ρk）G>（Y，0，`M）G（0，0，N）δM-1Xk=1ρk- YδMXk=1\'k，N！。（145）第3.4节中引入了数量J（`，ρ）[见（104）]，下文将进一步讨论。通过将（145）中的公式与ρkand Y积分，得到了\'kand M的联合分布，即离散情况下（140）的等价物：P（`，`，`，`，`，`，`，`，`M，M | N）=P（`，M | N）（0）G（0，0，N），（146），其中P（`，M | N）（0）=M-1Yk=1Z∞dρkJ（`k，ρk）×Z∞dY G>（Y，0，`M）δM-1Xk=1ρk- YδMXk=1\'k，N！。（147）注意，该公式（147）实际上适用于任何连续跳跃分布φ（η）。

然而，通常很难对其进行分析，主要是因为受约束的传播子G>（x，0，n）没有任何显式表达式（参见第3.4节中的讨论），这阻止了对该多重积分进行分析。幸运的是，对于指数跳跃分布φ（η）=1/（2b）e的情况，存在这样一个显式表达式-|η|/b，这是我们现在关注的。在这种情况下，构建块J（`，ρ）有一个显式表达式，上面给出了不等式（112）和（113）。通过将J（`，ρ）（112，113）的显式表达式注入（147），联合概率分布P（~`，M | N）（0）可以写为P（~`，M | N）（0）=M-1Yk=1f（`k）Z∞dY G>（Y，0，`M）e-Y/b×M-1Yk=1Z∞dρkbδM-1Xk=1ρk- YδMXk=1\'k，N！。（148）最后，使用identityM-1Yk=1Z∞dρkδM-1Xk=1ρk- Y=YM公司-2（米- 2） ！，（149）{eq：恒等式}通过在（149）的两边对Y进行拉普拉斯变换，可以很容易地表示出来，我们得到了`，M asP（~ `，M | N）（0）=M的联合概率的表达式-1Yk=1f（`k）q（M，`M）δMXk=1`k，N！，（150）q（M，` M）=（M）- 2） 哦！bM公司-1Z∞dY e公司-是/bYM-2G>（Y，0，`M），（151）记录强相关时间序列42的统计数据，因此其结构与离散情况（141）中发现的结构非常相似，但具有不同的构建块。此外，（151）中q（M，`M）关于`mca的母函数可以显式地得到为[86]~q（M，z）=X`≥1q（M，`）z`=b1-√1.- z（1+√1.- z） M级-1=（1-√1.- z） Mb zM-1.（152）{eq:GFq}从这个联合分布（150），连同方程式（112）和（152），可以计算与对称指数跳跃随机游走桥记录年龄相关的所有观测值的统计信息。