特别是，Rone相当直接地获得了（126）中记录数分布、（127）中破纪录概率或h ` max，Ni In（129）的结果。结论和开放性问题。随机游走桥不等式（122）–（129）的这些结果表明，约束随机游走的记录统计数据在数量上与自由随机游走的对应数据不同。这种情况下的计算在技术上要困难得多，对于大多数与记录相关的观测值，精确结果仅适用于晶格随机游动和对称指数跳跃的随机游动。自由随机游走的主要区别之一是，桥梁的记录统计数据不是通用的，具体取决于跳跃分布的细节，而自由随机游走则是完全通用的（对于连续跳跃分布）。尽管如此，有人预计，在大N极限下，随机游走桥（具有连续跳跃分布）的记录特性（大N的前导顺序）仅由（73）中的L'evy指数u确定。这特别意味着，在指数情况下获得的渐近结果应描述任何连续跳跃且u=2的随机游动的大Nlimit中的记录统计。将这些结果推广到L'evy指数0<u<2的任意值仍然是一个具有挑战性的开放性问题。还值得注意的是，（129）中指数情况下得到的h ` max，Ni/N的极限值比自由随机游动（93）得到的常数C要复杂得多，我们请读者参考[86]，以研究具有指数跳跃分布的桥梁随机游动的` max，N/N的全分布。

特别是，泊松-迪里克莱分布理论（见下文第6.3节）并未给出该结果，将这些结果推广到其他跳跃分布将非常有趣，不同的L′evy指数0<u<2.5。在前面的章节中，我们研究了序列中记录数的统计信息，其中条目{X=0，X，X，…，XN}对应于离散时间内单个随机游动的位置，从X=0开始。在本节中，我们将把单步行者的一些结果推广到有K≥ 1独立随机步行者。在此K-walker过程中，当所有walker在该时刻的最大位置超过其先前的所有值时，会在该时刻发生一条记录。参考文献【66】对这种多步行者案例的记录统计进行了非常详细的研究，发现尽管步行者是独立的，但即使在这个相对简单的模型中，记录统计也是相当丰富、不平凡的，并且部分通用。下面，我们将精确描述该模型，并概述参考文献【66】中的主要结果。有关计算的详细信息，读者可参考参考文献【66】。记录强相关时间序列43timeiXi的统计数据，如图13所示。K=3个独立随机行走者到步骤N的示意轨迹，其中Xi，mde表示步骤i中第m个行走者（m=1，2，…，K）的位置，所有行走者都从步骤0的原点开始。如果所有n=0、1、2、…，Xmaxn>Xmaxn，则记录发生在步骤n，（n）- 1） 。记录值用填充的圆圈表示。考虑K≥ 1个独立的随机步行者，所有人在时间i=0时从原点开始[见图（13）]。第m个步行者的位置Xi，mof（m=1，2。

，K）离散时间步长n通过马尔可夫演化规则Xi演化，m=Xi-1，m+ηi，m，（153）{markov\\u K1}，其中X0，m=0，对于所有m=1，2，K和噪声ηi，mare i.i.d.变量（从一步到另一步以及从一步到另一步都是独立的），如前一节所述，每个变量都来自不对称分布φ（η）。我们对复合过程的recordstatistics感兴趣。更准确地说，在步骤n，考虑所有K个walkersMaxn的最大位置=max[Xn，1，Xn，2，…，Xn，K]。（154）{max\\u K1}如果步骤n的最大位置大于之前的所有最大值，即如果Xmaxn>Xmaxn，则所有n=0，1，2，…，则在步骤n出现记录，（n）-1） [见图（13）]。换言之，我们对随机离散时间序列{Xmaxn}的记录统计感兴趣，按照惯例，初始位置Xmax=0被计为记录。这个新过程虽然源于K独立的底层Markovprocesses，但对于K＞1，它本身是一个相当复杂的非Markov过程。因此，对于K>1，之前用于K=1情况的简单更新方法（因为对于K=1，过程是马尔可夫的，所以该方法有效）出现故障，需要找到新的方法来计算记录统计数据。下面我们将看到，虽然可以设计一种新的方法来计算所有K的平均记录数≥ 1，计算K>1的记录数的完全分布要困难得多，并且部分仍然是一个悬而未决的问题。让MN，Kdenote表示此compositeK walker进程步骤N之前的记录数。请注意，使用一种表示法可以方便地跟踪记录数量的相关性。在本节中，我们感兴趣的是MN，K的统计。

对于一个K=1的步行者，我们从前面的章节《强相关时间序列的记录统计》44中回忆起，记录数MN，1的统计对于所有N是完全通用的，即，独立于对称和连续φ（η）的跳跃分布φ（η）。特别是，高斯步行者和指数为0<u<2的L'evy flights的统计数据是相同的。结果表明，当K＞1时，MN、Kis的统计数据对所有N都不再通用[66]。然而，对于大N，在大量步行者K的限制下，出现了不同种类的普适性 1【66】，我们总结如下。主要结果总结：在大N和大K极限中，MN，K基本上有两个普遍的渐近行为，这取决于第二个力矩σ=R∞-∞跳跃分布的ηφ（η）dη是有限的或发散的。例如，对于高斯、指数、均匀跳跃分布，σ是有限的。Incontrast，适用于L’evy flights，其中φ（η）~ |η|-u-1对于L’evy index0<u<2的大η，二阶矩σ发散。在这两种情况下，出现了以下记录统计行为【66】。案例一（σfinite）：考虑与有限二阶矩σ=R对称的一阶跃分布φ（η）∞-∞ηφ（η）dη。在这种情况下，跳跃分布的傅里叶变换^φ（q）=R∞-∞对于小q，φ（η）eiqηdη表现为^φ（q）=1-σq+。（155）{fourier1}示例包括高斯跳跃分布，φ（η）=pa/πe-aη，指数跳跃分布φ（η）=1/（2b）exp[-|η|/b），均匀跳跃分布[-1/2，1/2]等。对于这种跳跃分布，我们发现[66]对于大量的步行者K，记录的平均数量对于大N和大K ashMN，KiK渐近增长→∞----→N→∞√ln K√N

（156）{meanrecord1}注意，这种渐近行为是普遍的，因为只要σ是有限的，它并不明显依赖于σ。此外，有人认为【66】对于大K和大N，标度随机变量MN，K/√N在分布上收敛为Gumbel形式，即Prob锰，钾√N≤ x个K→∞----→N→∞Fh公司x个- 2.√ln K√ln Ki，F（z）=exp-e-z.（157）{gumbel.1}实际上，对于大N和大K，标度变量MN，K/√N收敛，不分布，到K个独立随机变量的最大值mn，K√NK公司→∞----→N→∞MK其中MK=max（y，y，…，yK）（158）{gumbel.2}其中yi≥ 0是i.i.d.非负随机变量，每个变量均来自分布P（y）=√πe-y/4代表y≥ 0和p（y）=0表示y<0。情况II（σ发散）：接下来让我们考虑相反的情况，即跳跃分布φ（η），使得二阶矩σ发散。在这种情况下，噪声分布的傅里叶变换^φ（q）对于所有g表现为^φ（q）=1- |a q |u+。（159）{fourier2}记录强相关时间序列45的统计数据，其中0<u<2。示例包括L’evy flights，其中φ（η）~ |η|-u-1当指数0<u<2时。对于（159）中的噪声分布，结果是[66]，相当令人惊讶的是，在大N和大K限值下，记录统计信息是（i）完全通用的，即与u和a无关，（ii）更令人惊讶的是，与情况i（对应于有限σ）不同，记录统计信息也与K无关→ ∞.

例如，证明了对于大K，平均记录行数与N ashMN，KiK渐近→∞----→N→∞√π√N，（160）{meanrecord2}这正好是一个步行者的两倍，即hMN，K→∞i=2 hMN，1i表示大N。类似地，结果表明[66]，标度变量MN，K/√N、 对于大N和大k，收敛到一个普适分布prob锰，钾√N≤ x个K→∞----→N→∞F（x），（161）{分布2}，与L'evy指数u以及（159）中的标度a无关。虽然这种普遍分布F（x）是通过数值计算得到的，但从解析角度推导它仍然是一个具有挑战性的开放问题。从数值上看，F（x）可以很好地用威布尔形式拟合：F（x）≈ 1.- 经验值[-（b x）γ），其中拟合参数b≈ 0.89和γ≈ 2.56[66]。这意味着DF F（x）~ xγ-1exp[-（b x）γ]对于大x，表示比高斯tailas x快→ ∞.记录平均数推导概述：让我们简要介绍一下计算至少记录平均数hMN，Ki背后的主要思想，并让读者参考[66]来推导MN，K的完全分布。让MN，Kbe表示K个随机游走者在步骤n之前的记录数，即最大进程Xmaxn。让我们写出（方程式（3）和（4））Mn，K=Mn-1，K+σn，（162）{重复1}从M0开始，K=1。这里σ是取值为0或1的二进制随机变量。如果记录发生在步骤n，则变量σn=1，否则σn=0。显然，到步骤N为止的记录总数是N，K=1+NXn=1σN.（163）{记录数.1}，因此，到步骤N为止的平均记录数是N，Ki=1+NXn=1hσni=1+NXn=1rn，K，（164）{平均值.1}，其中rn，K=hσni只是记录率，即，对于K个独立行走者的最大进程Xmaxnof，记录发生在步骤N的概率。

为了计算平均记录数，我们将首先计算记录率rn，然后求和overn，如（164）所示。记录强相关时间序列46timeiXi、MNX的统计信息图14。记录发生在步骤n，K=3个步行者的记录值x均从原点开始（因此索引m在m=1、···、K=3上运行）。此事件对应于一个步行者（虚线）在步骤n的第一个时间段到达x级，而其他步行者在步骤n之前停留在x级以下。要计算rn，Kat步骤n，我们需要求出导致步骤n记录事件的所有轨迹的概率之和。假设在步骤n发生记录，记录值为x（见图14）。这对应于一个KWalker（如图14中的虚线轨迹）在步骤0从原点开始，在步骤n第一次达到x级，而其余K- 1个步行者从步骤0的原点开始，在步骤n之前都保持在x层以下。此外，在步骤n实际到达x的步行者可以是K个步行者中的任何一个。最后，此事件可以在x>0的任何级别发生，需要在记录值x上进行集成。使用K个walker的独立性并考虑到上面详述的事件，然后可以编写K=KZ∞pn（x）[qn（x）]K-1dx，（165）{rate.1}其中qn（x）表示单个步行者从原点开始，在x层以下停留到步骤n的概率，pn（x）是单个步行者在步骤n第一次到达x层的概率密度，从步骤0的原点开始。请注意，qn（0）正是单个步行者从0开始，一直低于0级直到步骤n的概率，并且与持续概率q（n）定义相同（41）。

因此，根据前面讨论的Sparre-Andersen定理，qn（0）是完全广义的（对于对称和连续的φ（η），与φ（η）无关）qn（0）=2nn-2 n.（166）{qn0.1}此外，根据反射原理，很容易看出以下恒等式表示[66]Z∞pn（x）dx=qn（0）=2nn-2 n.（167）{pn\\u qn}幸运的是，对于任意跳跃分布φ（η），这两个量pn（x）和qn（x）的母函数是已知的（详细讨论见[66]）。强相关时间序列的记录统计量47它们由一对公式给出：Xm≥0smZ∞pm（x）e-λxdx=ψ（s，λ）（168）Xm≥0smZ∞qm（x）e-λxdx=λ√1.- sψ（s，λ）。（169）其中函数ψ（s，λ）由ψ（s，λ）=exp显式给出-λπZ∞ln[1- s^φ（q）]λ+qdq#式中^φ（q）=Z∞-∞φ（η）环境影响系数ηdη。（170）{ivanov.2}（169）中的公式在文献中被称为著名的Pollaczek-Spitzer公式[89，90]，并在许多著作中被用于推导随机跳跃过程最大值的精确结果[87，88，91，92]。有趣的是，该公式还可用于计算三维球形狭缝中粒子流的渐近行为【93、94、95】，以及最近一系列论文【82、83、96、97、98】中随机游动的序和间隙统计的精确计算。（168）中的公式可以从伊万诺夫（Ivanov）[84]推导出的更一般的公式中推导出来（详细讨论见参考文献[66]），之前在第3.4节记录增量研究中使用了该公式[见（108）]。让我们首先指出，通过改变（169）左侧的变量λx=y并取λ→ ∞, 一个恢复所有mXn的universal Sparre Andersen结果≥0qn（0）序号=√1.- s==> qn（0）=2nn第2条。（171）{sa1}特别是对于大m，qn（0）≈ 1个/√πn。

因此，对于单个walkerK=1的情况，从（165）可以看出，步骤n处的记录速率简单地给定为byrn，1=Z∞pn（x）dx=qn（0）=2nn2nn→∞----→√πn，（172）{K1.1}，其中我们使用了（167）中的恒等式。因此，当K=1时，从（164）中恢复（53）中提到的平均记录数的普遍结果，尤其是（54）hMN，1iN中的大N渐近极限→∞----→√π√N（173）{K1.2}相反，对于K>1，我们需要全函数pn（x）和qn（x）来计算（165）中的记录率。这很难对所有n进行明确计算。然而，对于largen和大K，我们可以在计算记录速率rn、Kf的渐近行为方面取得进展【66】。结果表明，对于大n，在（165）中的积分由两个函数pn（x）和qn（x）的渐近标度行为决定，对于大n和大x。这些渐近性可以从方程（168）和（169）中的两个母函数分别显式推导出来。下一步是使用（165）中主公式中的这些渐近表达式来确定大n和大K的记录率n，Kat步骤n。在这里，我们将跳过所有细节，只使用参考文献【66】中得出的渐近的主要结果来推导方程（156）和（160）中强相关时间序列48的结果公布记录统计。pn（x）和qn（x）的渐近行为取决于σ=R∞-∞ηφ（η）dη是有限的或发散的。这就产生了第二节中提到的两个案例。案例一（σfinite）：在这种情况下，如【66】所示，在标度极限x中→ ∞,n→ ∞ 但要保持口粮x/√固定，pn（x）和qn（x）接近以下缩放行为pn（x）→√2σngx个√2σn, 其中g（z）=√πz e-z、 （174）qn（x）→ h类x个√2σn, 式中，h（z）=erf（z），（175），其中erf（z）=√πRze-udu。

注意，dh（z）/dz=g（z）/z。情况II（σ发散）：在这种情况下，跳跃分布^φ（q）的傅立叶变换具有（159）中的小q行为，并且[66]显示，在缩放极限中，当x→ ∞, n→ ∞, 但保持比率x/n1/f固定，pn（x）→n1/2+1/ugxn1/u, （176）qn（x）→ h类xn1/u. （177）虽然很难明确获得allz的全标度函数g（z）和h（z），但可以计算大z渐近行为并获得（z）≈z→∞Auz1+u，（178）h（z）≈z→∞1.-Buzu，（179），其中两个振幅面积u=2u√πβu，（180）Bu=βu，（181），常数βu由[66]βu=au（u）sin（uπ）π给出，0<u<2。（182）接下来，我们使用（165）中pn（x）和qn（x）的这些渐近行为来推导记录速率的大n行为。注意到对于大n，积分由标度区域决定，我们在（165）中替换了方程（174）、（175）、（176）和（177）中的pn（x）和qn（x）的标度形式。对于较大的n，rn，K≈K√新西兰∞g（z）[h（z）]K-1dz，（183）{rate.2}，其中g（z）=g1,2（z），h（z）=h1,2（z），取决于两种情况（I和II）。因此，我们注意到，在所有情况下，记录率都会随着n而降低-1/2对于大n，尽管在这两种情况下具有不同的K依赖前因子。因此，对于较大的N，ashMN，Ki，到步骤N为止，记录的平均数shmn，Ki增加≈ αK√N，其中αK=2KZ∞g（z）[h（z）]K-1dz。（184）{avgrec.1}记录强相关时间序列的统计49常数αkC可以估计为大K。从（184）中，常数αkC可以重新表示为αK=2Z∞g（z）h（z）ddz{[h（z）]K}dz，（185）{αn}，其中h（z）=dh/dz。注意，h（z）是z的一个增函数，逼近1为z→ ∞, 对大K积分的主要贡献来自大z区域。因此，我们需要估计比率g（z）/h（z）对于largez的表现。

让我们再次分别考虑这两个案例。案例一（σfinite）：在这种情况下，我们在方程（174）和（175）中分别有g（z）和h（z）的显式表达式。因此我们得到αK=2Z∞dz zddz[erf（z）]K（186）=z∞dy-yddy[erf（y/2）]K.（187）（187）的右边有一个很好的解释。考虑KI.i.d.正态变量{y，y，…，yK}，每个变量都来自于分布：p（y）=√πe-y/4代表y≥ 0和p（y）=0表示y<0。让YmaxKdenote达到最大值。然后，最大值的累积分布函数由prob（YmaxK）给出≤ y）=Zyp（y）dyK=[erf（y/2]K.（188）{最大值。1}然后，最大值的概率密度由：ddy[erf（y/2]K给出。因此，（187）的右侧正好是最大值的平均值hYmaxKi。这为所有KαK=hYmaxKi提供了一个恒等式。（189）{最大值.2}根据i.i.d.变量的标准极值分析[19，48]，很容易表明，对于大K，hYmaxKi≈ 2.√ln K，然后通过（184）给出（156）hMN，KiK中公布的平均记录数的领先渐近行为→∞----→N→∞√ln K√N（190）{avgrec.case1}案例二（σ发散）：为了计算αKin（185），我们注意到，当σ发散时，与案例一不同，我们没有标度函数g（z）和h（z）的完全显式形式。因此，对所有K的αkf的计算似乎很困难，因为我们没有所有z的这些标度函数的明确形式。然而，我们可以对大K取得进展。如前所述，对于大K，对（185）中积分的主要贡献来自大z。对于大z，使用方程（178）和（179）中的渐近表达式，我们得到g（z）h（z）z→∞---→AuBu=√π、 （191）{ratiolargez}其中我们使用（180）和（181）表示Au和Bu。

接下来，我们在（185）右侧的强相关时间序列50的记录统计积分中，用该渐近常数代替比率g（z）/h（z）。积分可以很容易地执行，对于大K，我们得到αKK→∞----→√π。（192）{alphaN.case2}从（184）中我们得到，对于最多N步的平均记录数，在（160）中得到的结果，即hMN，KiK→∞----→N→∞√π√N（193）{avgrec.case2}与（190）中的情况I相比，这里，对于大K，平均记录数与K无关。MN的完全分布，K对于K>1：而对于平均记录数，可以对所有K进行公平完整的分析≥ 1[66]，对于MN，Kis的全分布，当K>1时，相应的结果不太完整。在参考文献【66】中，有人认为，在情况I中，当σ为有限时，MN，Kapproach渐近地逼近一个Gumbel变量【见（157）和（158）】。直观地说，这个结果来自这样一个事实，即记录数YN，K在统计上与所有K个步行者在步骤m之前的全局最大值相同（直到一个恒定的比例因子）。相反，在情况II中，当σ为离散时，（161）中的渐近标度函数F（x）仅在数字上已知。在这种情况下，与全局最大值没有对应关系。此外，该标度函数F（x）完全独立于0<u<2的事实是Ratheringtriguing。有关MN、K或K>1的分布的更多详细信息，读者可参考参考文献【66】。开放性问题：多个独立随机步行者的记录统计是一个有趣的问题，其中许多问题仍然非常开放。尽管K>1步行者的有效过程（最大过程Xmaxn）高度非马尔可夫，但如上文所述，仍然可以通过分析得出一些结果。尽管有许多问题看起来是可以解决的，但仍然悬而未决。

例如，如上所述，通过分析确定与MN、Kfor L'evy行走（跳跃分布具有发散方差）的分布相关联的u-独立标度函数F（x）仍然是一个具有挑战性的开放问题。即使对于大x，F（x）的衰减速度比高斯更快，这一事实也没有得到证实，只是在数值上观察到的。最后，我们根本没有讨论K>1步行者的记录年龄{`，`，…，`M}的统计数据。虽然我们对K=1的年龄统计有充分的了解，但到目前为止，还没有关于年龄统计叉>1的研究。例如，了解K>1.6时的最大或最小年龄是如何表现的，这将是非常有趣的。概括和扩展在这一节中，我们对本综述的大部分问题进行了一些自然的概括和扩展。6.1。前几节提到的最长漂移，一般随机游动记录年龄的研究与强相关时间序列51walk和布朗运动的晶格随机记录统计的漂移理论有很大的相似性。这些偏移的联合分布具有与（46）中相同的总体结构，以及相应的个体年龄分布f（`k）~ `-3/2k表示\'k 1和k<M。然后很自然地考虑更一般的更新过程，并用一个genericf（`）[64]来解决类似的关于` max，Nor QN\'的极值问题[58，77，78]。更新过程在概率论[62，63]和统计物理学中有着广泛的应用，包括相序动力学[64，99]、闪烁量子点[100]、持久性属性[101，102]等。在许多应用中，时间是一个连续变量，我们用t而不是N表示过程的持续时间。与之前一样，时间长度，`，`。

，`M-1是相同的，虽然“与其他变量不同，但这些变量不是独立的，因为全局约束将其总和精确等于t。然而，可以证明，如果f（`）衰减速度大于1/`对于大\'，即如果f（`）允许一个时刻，那么这个约束在大t极限中并不重要，就极值统计特性而言。因此，i.i.d.随机变量的极值统计经典理论给出了适当居中和缩放的` max（t）的极限分布[78]。但是，如果f（`）~ `-1.-α对于0<α<1的大型变量，当→ ∞. 指数α称为持久性指数[22、23、103、104、105]。对于α=1/2，可以恢复布朗运动的结果[参见（93）和（98）]，但对于任意α∈ （0，1），极限分布连续依赖于α。特别是，第一时刻由[77，58，78]limt给出→∞h`最大值（t）it=C（α），C（α）=Z∞1+yαeyγ（1- α、 y）dy。（194）这项研究的一个重要结果是表明，对于0<α<1，关于区间f（`）的分布，结果具有普遍性[77，78]。注意，（102）中获得的CTRW结果对应于α=γ/2，即c（γ）=c（γ/2），其中c（γ）在（102）中定义。可以对i.i.d.变量记录的年龄进行类似的概括[36]。

从（18）开始，自然推广包括考虑时间tkas，表示连续时间t中乘法过程零点的位置，使得变量Uk=tk-1/t保存公共分布ρ（u）=θuθ-1、这个yieldslimt→∞h`最大（t）it=Q（θ）=Z∞ds e公司-s-θE（s），（195）{eq:goltheta}，对于θ=1，它返回（28）–我们记得E（s）=R∞sdy e公司-y/y。原则上，可以为任何随机过程定义最长偏移` max（t），而不仅仅是更新过程或乘法过程。粗化系统中一个有趣的例子是，过程是铁磁体的磁化（局部或全局），在这种情况下，间隔是磁化两个连续符号变化之间的时间。在许多情况下，数字显示[77]，最长偏移h ` max（t）i几乎随时间t增长（对于t 1） 其振幅非常显著地近似于（194）中的C（α），α是该过程的相关持久性指数[103，104，23]。同样，理论预测（195）与在各种近似乘法过程中数值测量的等效量的比较可以在【77】中找到。强相关时间序列52的记录统计量这一可观测的h ` max（t）i也用赫斯特指数h对分馏布朗运动进行了数值计算[106]。对于H=1/2，它对应于布朗运动，但对于H 6=1/2，它是一个非马尔可夫过程。然而，对于H的任何值，都可以精确地知道持久性指数α，它由α=1给出-H【107，108】。数值模拟表明，h` max（t）i也随时间t线性增长（对于t 1） 除H=1/2外，振幅H ` max（t）i/t与α=1的更新结果（194）有明显偏差- H

这是分数布朗运动的罕见观测之一，它清楚地展示了非马尔可夫性质。6.2。之前提到的最长年龄或最长旅行的不同定义，对于随机行走，最后一条记录与其他记录并不相等。为了探索这最后一条记录对与年龄相关的各种观察结果的影响，参考文献[76]研究了仅受最后一个元素影响的随机行走年龄的不同序列。例如，为了避免最后一条记录的年龄不明确，可以简单地放弃`并考虑年龄限制列表{，`，…，`M-1} ，这是一组相同分布的随机变量（虽然不独立，因为它们的和被限制为小于N）。这一组是随机介质中接近弹性流形脱钉跃迁的雪崩统计的玩具模型。在这种情况下，`kwith k<mc与第k次雪崩的大小精确对应，而数量`Min thiscontext没有直接的物理意义。在【76】中进行的研究表明，诸如‘max，N，’min，Nor qnar等观察值实际上对这一最新记录非常敏感，即使在极限N内也是如此→ ∞. 这种高灵敏度背后的机制是，这些与年龄相关的观测值主要由罕见事件控制，这些事件的统计在很大程度上是由上一次记录的持续时间精确控制的。这项研究扩展到了漂移的情况以及更一般的更新过程[78]（另见数学文献[109]）。6.3。排名年龄的联合分布：泊松-狄利克雷分布在前面讨论的两种情况下，即在i.i.d.情况下以及在随机游走情况下，可以研究记录年龄的全序统计数据，`（1）N>`（2）N>···>`（M）N，其中`（1）N≡ `最大值，N。

在大N的限制下，可以证明对于任何固定的k，`（k）N与N呈线性关系，并且按比例排列的年龄的联合分布`（1）N/N，`（2）N/N。收敛到一个极限分布，它依赖于两个实参数0≤ α≤ 1和θ>-α、 这是已知的泊松-狄利克雷分布，用PD（α，θ）表示。带有参数PD（0，1）的分布描述了i.i.d.序列记录的（按比例排列）年龄统计，而PD（1/2，0）描述了随机游动记录的（按比例排列）年龄统计。分布族PD（0，θ），θ>0，最初由Kingman在参考文献【110】中介绍。它们描述了乘法过程中连续零之间（按比例和排名）时间间隔的统计信息，以θ为索引，并在上述段落（195）中进行了讨论。这些分布自然出现在从数论【111】和组合学【112】到贝叶斯统计【113】或群体遗传学【114】等各种背景下随机排序相对频率的渐近分布的研究中（综述见【115116】）。Pitman和Yor后来将这一单参数分布族推广为一个强相关时间序列的双记录统计量，53个参数族由PD（α，θ）表示，0≤ α≤ 1和θ>-α、 为了研究布朗运动和贝塞尔过程漂移的排名统计[58]。

在这个框架中，分布PD（α，0）描述了更新过程中连续零点之间间隔的（按比例和排名）统计量，以及相应的各个年龄的分布，这些年龄以代数形式衰减为f（`）~ `-1.-α、 使用0≤ α≤ 1，这是上文（194）段中讨论的更新过程。因此，使用上述记录中断事件和晶格随机游动的零点之间的随机游动对应关系，我们确实可以看到随机游动记录（按比例和排名）年龄的联合分布（`（1）N/N，`（2）N/N`（M） N/N）在大N极限下收敛到PD（1/2，0）[117]。Poisson-Dirichlet分布Pd（α，θ）没有简单的显式表达式，但参考文献[58]提供了该联合定律的各种概率解释和构造。特别是，他们对PD（α，θ）进行了很好的描述，从断条过程的角度对上述（195）中描述的乘法过程进行了推广（综述见[115]）。例如，这种构造允许计算i.i.d.随机变量[对应于PD（0，1）]和随机游走情况[对应于toPD（1/2，0）]记录的第k个最长年龄的平均值。对于i.i.d.情况，一个结果`（k）Ni=λ（k）N+O（1），λ（k）=Γ（k）Z∞ds e公司-sE（s）k-1e级-E（s），（196）{eq:lambdak}，其中函数E（s）定义如下（195）。特别是，通过在（196）中设置k=1，可以恢复λ（1）=λ，其中λ是（28）中给出的Golomb-Dickman常数。初始值可通过数值计算得出λ（2）=0.20958。，λ（3）=0.08831。。可以很容易地从（196）thatPk中检查≥1λ（k）=1。

另一方面，在随机游走的情况下，发现[58117]h`（k）Ni≈ C（k）N，C（k）=k-1Z∞y-1/2e-yΓ(-1/2，y）k-1（y-1/2e-y+γ（1/2，y））kdy，（197），其中Γ（ν，x）=Z∞xtν-1e级-tdt，（198）是上不完全伽马函数。特别是，通过在（197）中设置k=1，可以恢复C（1）=C，其中C在（93）中给出。第一个值可以用数字计算，得出C（2）=0.14301。，C（3）=0.06302。[117]。这里还有一个cancheck thatPk≥1C（k）=1，如预期。6.4。束缚随机游动、布朗桥和相关更新过程的漂移格子随机游动从原点开始和结束的两个连续零点之间的最长间隔的概率分布，以及其连续极限布朗桥的概率分布，是另一个相关的研究课题。温德尔（Wendel）[118]首先阐述了这个问题，然后在几部作品中重新探讨了这个问题。在【119】中，问题被重新讨论并扩展到具有“束缚”条件的更新过程，即用公共分布f（`）（如第6.1节所定义）绘制的最后一个间隔恰好在时间t终止。有趣的是，随机游动记录的相应情况是，当施加一个条件，即强相关时间序列54的随机记录统计的最后一个记录恰好发生在N处，N是随机游动的固定步数【119】，或另有规定，当随机游动的最大值恰好出现在最后一步N时，也可以将本研究扩展到排名最长间隔的统计数据[119]。最近，在混合阶相位转换的背景下进行了相关研究，我们请读者参考参考文献[120]了解更多详细信息。7、其他相关问题和开放性问题在本节中，我们将讨论与文献中最近研究的记录相关的工作或各种问题。7.1。

测量误差和噪声的影响在所有之前的研究中，如果第k个条目超过了所有之前的条目，则在步骤k处会发生记录[见（2）]。然而，要将这些结果应用于实际数据，需要以更务实的方式重新考虑记录的定义。实际上，在许多应用中，由于仪器误差δ或噪声ξ，数据的观测值会受到不确定性的影响。例如，δ可以是探测器的保证极限，而ξ可以描述仪器读数产生的白噪声。因此，很自然地会问，测量误差δ或噪声ξ的存在如何影响记录统计，尤其是平均记录数hMi随样本N大小的增长。统计文献中提出了相关问题，例如，在δ-超标记录的上下文中【121122】，最近在物理文献中提出了相关问题【50123124】。这里，我们首先讨论（固定）测量误差δ的存在。我们定义为一个破纪录事件，简称δ记录，如果它超过序列中所有先前的值至少δ，即ifXk>max{X，…，Xk-1} +δ，（199），其中δ>0（在δ<0的情况下，Xkis有时称为接近记录[125]）。事实上，与这个问题相关的大多数结果（我们下面讨论的[123]除外）都是针对i.i.d.随机变量的情况得到的。在这种情况下，文献[50]表明，引入误差参数δ>0的直接后果是，i.i.d.记录统计的强普适性[如（5）]被丢失，并被变量Xi的父分布的右尾明确依赖所取代，这让人想起i.i.d.随机极值统计存在的不同普适性类别变量。我们请读者参考文献[18]，了解i.i.d.的这些结果。

随机变量，并将重点放在强相关变量的情况上，对此知之甚少。因此，根据参考文献【123】，我们考虑了一个随机游走者，该游走者从X=0开始，并根据（40）以连续且对称的跳跃分布φ（η）旋转。Ifone表示为rk≡ rk（δ）记录在步骤k被破坏的概率，记录的平均数由（57）简单给出，即hMi=NXk=0rk（δ）。（200）{average\\u rw\\u delta}定义X=0为记录，因此r=1，对于k≥ 1，rk（δ）定义为byrk（δ）=Prob[xk- δ>最大值（X，···，Xk-1） 】。（201）{rk\\u delta\\u 1}强相关时间序列的记录统计55因此rk（δ）是步行者到达xk的事件概率- δ首次在时间k时保持在xk以下- δ在0和时间k之间的所有中间步骤（以及最终需要在xk上积分的位置≥ δ） 。为了计算该概率，可以方便地更改变量并确定yi=xk-xk公司-i、 即，观察关于最后一个位置的序列{yi}，并向后测量时间，如图6所示，为无误差的随机行走所述，即δ=0，其中，除此之外，y轴也反转。那么，rk（δ）是“新”步行者yi从i=0的新原点开始跳跃的概率≥ 在第一步和随后的k步中，δ保持在δ以上，即rk（δ）=Prob[y≥ δ、 ···，yk≥ δ| y=0]。（202）{rk\\u delta\\u 2}为了计算（202）中的概率，我们将相应的事件分解为第一步，其中步行者从y=0跳到y=δ+u，其中u≥ 0和thek- 1随机游动保持在δ以上的后续步骤。因此，写yi=δ+ui，我们可以将rk（δ）重新表示为[123]rk（δ）=Z∞duφ（δ+u）qk-1（u），（203）{rk\\u delta\\u 3}，其中qn（u）是随机游动从u开始的概率≥ 0，保持为正向上至步骤n。

这种概率qn（u）之前曾被详细研究过，见（169）和belowit。特别是，从（169）可以看出[123]，对于大n，保持u固定，qn（u）≈h（u）√πn，h（λ）=Z∞杜埃-λuh（u）=ψ（1，λ）λ，（204）{rk\\u delta\\u 4}，其中函数ψ（z，λ）在（170）中给出，并明确取决于跳跃分布φ（η）。最后，结合方程式（200）和（204），我们发现 1 hMi行为的平均记录数为[123]hMi≈ S（δ）√N，S（δ）=√πZ∞duφ（u+δ）h（u）。（205）因此，对于任意跳跃分布，平均记录数普遍增长√N（如δ=0的情况），而前置因子S（δ）明确取决于跳跃分布【123】。明确计算任意分布的S（δ）是一项非常困难的任务，只有在非常特殊的情况下才能得到精确的结果。例如，对于对称指数跳跃分布φ（η）=1/（2b）e-|η|/b，一个结果是（δ）=（2/√π） e类-δ/b【123】。另一方面，对于具有幂律尾φ（η）的跳跃分布~ |η|-1.-u，当u>0时，我们发现S（δ）对大δ进行代数衰减，S（δ）~ δ-u+α，α=u/2表示u≤ 2，而α=1表示u≥ 2、参考文献【123】也研究了测量噪声ξ的影响。为了量化噪声的影响，可以考虑在步骤k ifXk+N（0，ξ）处记录x>最大值{x，···，Xk-1} ，（206）{def\\u record\\u gamma}，其中N（0，ξ）是零均值和标准偏差ξ的高斯随机变量，而x是跳跃的特征长度刻度。因此，在（206）中，项N（0，ξ）x模拟噪声测量的影响。在这种情况下，从数字上可以发现，对于随机游走，记录的平均数量仍在增长√N、 强相关时间序列56i的记录统计信息。e、 ，hMi≈ T（ξ）√N的振幅T（ξ）是ξ对所有ξ的递增函数。

因此，在这种情况下，噪声ξ导致记录计数错误，导致记录hMi的明显平均数大于实际数。我们请读者参阅参考文献[123]，以了解ξ记录的更多细节，特别是在扩散型实验中使用T（ξ）推断“信噪比”的可能性。7.2。高级记录的统计信息考虑由N i.i.d.随机变量X，X…生成的时间序列，xn具有连续密度p（X）。我们用Xmax表示，n个时间步后最后一条记录的值，即运行最大值的值：Xmax，n=max（X，X…，Xn），（207）{def\\u Xmax}，我们用hxmax表示其平均值，ni=un。（208）{def\\u max\\u av}。注意，我们使用下标n（而不是n）来强调这是一个运行最大值。因此，本研究仅限于具有有限平均值的分布。上级序列{X，X…，XN}是指运行最大值始终高于其平均值，即Xmax，n>u≤ N【126】。发现该事件的概率Sno随时间衰减~ N-β、 （209）{eq:Sn}，其中指数β是积分方程的根[126]。该指数是非通用的，取决于分布p（X）的选择。例如，对于均匀分布，β≈ 0.450，而对于指数分布，β≈ 0.621。后一个值是这个指数的上界，无论选择什么分布p（X）。类似地，序列次优（即runningmaximum始终低于其平均值）的概率也会随幂律衰减~ N-α、 （210）{eq:In}，其中指数α可显式计算，并取决于父分布p（X）。例如，对于均匀分布α=1，而α=e-γE=0.561459。，其中γEis是指数分布的Eulerγ常数。

这些结果与参考文献[126]中的实际地震数据进行了比较，我们可以参考这些数据了解更多细节。在随后的工作【127】中，这些结果被推广到一个强相关的时间序列，即在i步之后，xi对应于对称随机行走的位置（40）。虽然问题对于任何类型的随机游动都有明确的定义，包括列维自由度，但分析结果仅适用于平均值为零和有限方差的跳跃ηi，因此随机游动在大量步数后收敛到布朗运动。在这种情况下，已知平均运行最大值（208）增长为hXmax，ni≈p2/π√n代表n 1、行为（209）和（210）不适用【127】。指数β≈ 0.382和α≈ 0.241是抛物柱面函数的根D2β+1（p2/π）=0，D2α（p-2/π）=0。（211）请注意，该问题与存在吸收移动边界的扩散粒子的生存问题非常相似，移动边界的位置增长如下∝√t（例如，参见[23128]）。我们在本节结束时提到，对这些与列维飞行记录优劣相关的问题的研究仍然是一个具有挑战性的开放问题。强相关时间序列的记录统计577.3。有序maximaConsider的标度指数现在是N i.i.d.随机变量{X，…，XN}，具有公共分布p（X）。运行最大Xmax的图，nagainst n是一个楼梯，在连续出现的记录上有跳跃，如图1所示。现在考虑K≥ 1此类顺序。如果对应的阶梯没有交叉，这些序列就被认为是完全有序的。该事件的概率具有幂律衰减【129】：PN，K~ N-σK，（212），其中指数σkar仅在K=2，3，σ=1/2，σ时已知≈ 1.302931，（213），其中σ是某个超越方程的根。

对于后两种情况，概率PN，Kis是通用的，即它不依赖于分布p（X）。推测该性质在K>3时成立。指数的界限表明σK应随K增长，但σK的显式计算未知。如上文第7.2节所述，同样的问题可以推广到K个随机行走[130]。同样，PN，Kis是K个独立随机游走者的位置的最大值排序到步骤NPN，K的概率~ N-νK，（214），如数值模拟所示【130】。唯一的分析结果涉及两个ν=。（215）在[129]中给出了i.i.d.随机变量和随机游动之间的有趣联系，其中关系式νK≈ 观察到σK/2（数值）是一个很好的近似值。7.4。增量记录其他有趣的问题涉及记录增量的顺序，这在前面的第3.4节中的随机游走中已经讨论过。我们记得，如果其中一个用Rk表示时间序列的记录值，则定义的增量ρkare，fork≥ 1，通过ρk=Rk+1- Rk，如图9所示。直觉上，我们期望增量序列{ρ，ρ，····，ρM-1} 通常正在减少。事实上，随着时间的推移，当前记录的价值正在增长，下一个记录似乎不太可能在它的基础上大幅提高。出于这种直觉，Millerand Ben Naim提出了以下问题【131】：增量序列在步骤N之前单调递减的概率qnth是多少？这种增量单调递减的记录称为“增量记录”。该概率qnw首次在i.i.d.随机变量的情况下进行研究，其中父分布p（X）具有有限支持，p（X）=u（1- 十） u-1，对于0≤ 十、≤ 1，否则p（X）=0。

数值模拟表明，对于大的NQN，qn会明显减少~ N-ν、 N个 1，（216）{eq:Q\\u incremental.1}，具有非平凡指数ν，另外取决于u[131]。计算该指数ν非常困难，只有在u=1的情况下记录强相关时间序列58的统计信息，才能进行精确计算，这对应于变量Xi的均匀分布。在这种情况下，ν由“特征值”方程的解给出，可以用高精度数值计算，得到ν=0.317621。。对于u的其他值或变量xi的其他类型的分布，不存在分析解决方案。但是现有的结果已经表明，对于i.i.d.随机变量，QNis是另一个非平凡可观测的，它对父分布p（X）非常敏感。在随后的工作【81】中，该概率Qnw是在变量为（40）中随机游动的位置，具有连续对称跳跃分布φ（η）的情况下研究的。要计算QN，可以方便地将其写成QN=PM≥1QN（M），其中QN（M）是一个N步随机游走序列正好有M个记录并且记录增量单调递增的联合概率。该概率QN（M）由增量ρ和记录数P（ρ，…，ρM）的联合概率得出-1，M | N），通过将其积分到ρ>ρ>···>ρM上进行研究[见（116）]-1> 0。结果表明，这（M- 1） -可以精确计算一维嵌套积分[81]，这允许以非常简单的形式获得QN（M）相对于N的母函数，对所有M有效≥ 1XN≥0zNQN（M）=q（z）（M- 1） 哦！hf（z）iM-1，（217）分别表示生存概率（41）和首次通过概率（43）的生成函数q（z）和f（z）。

非常值得注意的是，对于连续对称跳跃分布φ（η），由于稀疏的Andersentheorem（50），在（217）中的生成函数是完全通用的，因为q（z）和f（z）本身是通用的。通过将M上的公式（217）从1到∞, 我们得到了QNas[81]XN的生成函数≥0zNQN=▄q（z）e▄f（z）=√1.- ze1-√1.-z、 （218）{GF\\u Q\\u increment}从（218），qnca可以显式计算，结果是[81]QN=erπKN+1/2（1）-NN=NXj=0N+jN-N-j（N- j） ！，（219）{eq:explicit\\u qn}，其中Kν（x）是指数ν的修正贝塞尔函数。例如，Q=1、Q=7/8、Q=37/48等。对于大N，我们发现Qn是一个幂律~A.√N、 A=e√π=1.53362，（220）适用于任何具有连续对称跳跃分布φ（η）的随机游动，因此即使对于L’evy flights也是如此。因此，在随机游动中发现的这一普遍结果与i.i.d.随机变量的结果截然不同，尽管QNalso在代数上衰变，但QN~ N-ν（216），它对变量Xi的分布更加敏感（包括指数ν）。结论在这篇综述中，我们介绍了具有随机条目的时间序列记录统计的各个方面。虽然自强相关时间序列59英尺的早期记录统计以来，该主题一直是一个研究主题，但大多数结果都是在条目为i.i.d.随机变量的情况下得出的。数学文献（参见教科书【40、41、42】）和最近的物理文献【18、36、48】都详细介绍了这种i.i.d.案例，其中记录研究再次受到关注。在这篇综述中，我们回顾了i.i.d.案件记录统计的主要结果。

特别是，这一部分还包含一些关于记录年龄统计的详细结果，在之前的调查中很难找到明确的结果。我们还注意到，即使在i.i.d.的情况下，仍然存在一些非平凡的开放问题，特别是关于记录增量的问题（见第7节）。本次审查的主要重点是时间序列的情况，这些时间序列的入口对应于aline上离散时间随机游走者/列维飞行的位置。这是具有强相关条目的时间序列的自然示例。通常，强相关时间序列的记录统计的计算是非常困难和具有挑战性的。然而，对于随机游走的情况，许多与记录统计有关的问题可以通过本文中回顾的分析来解决。这种情况下可解性的原因可以追溯到潜在马尔可夫过程的更新结构（见第3.1节）。正如本综述所强调的，计算与该时间序列的记录统计数据相关的各种观察值，与SparreAndersen定理（49）中编码的首次通过属性以及随机游动的极值统计数据建立了非常有趣的联系，这是由Pollaczeck Spitzer（168）和HopfIvanov（169）的复杂结果得出的。这些工具对于分析各种随机游动模型的记录非常有用，包括随机游动和带有线性裂缝的L’evy flights、受约束的随机游动（如随机游动桥）、连续时间随机游动以及多个随机游动。我们希望本综述中提出的分析方法将有助于研究其他强相关时间序列模型的记录统计，包括具有挑战性的非马尔可夫过程问题。

例如，在最近的一篇论文中，分析研究了完全连接晶格上随机行走者不同位置数量的记录统计数据[132]。尽管随机游走者的位置演化是马尔可夫的，但访问的不同地点数量的时间演化具有强烈的历史依赖性，因此是一个非马尔可夫过程。在其他非马尔可夫模型中，可以引用随机加速过程[133]（或离散时间内的综合随机游走），该过程根据Xi+1- 2Xi+Xi-1=ηi，其中ηi是i.i.d.随机变量。虽然在这种情况下Xi是一个非马尔可夫过程，但二维过程（Xi，Vi），其中Vi=Xi-xi-1是速度，是马尔可夫的。因此，有可能推广相空间中的更新结构，以研究随机加速过程的记录统计量。对于更一般的非马尔可夫过程，例如分数布朗运动，这种更新结构并不存在。尽管如此，首次通过特性以及极值统计可能为研究此类非马尔可夫过程的记录统计提供有用的指导和框架。感谢A.Bar、E.Ben Naim、B.Berkowitz、J.-P.Bouchaud、Y.Edery、J.Franke、R.Garcia Garcia、A.Kostinski、P.Krapivsky、J.Krug、A.Kundu、J.-M.Luck、I.Marzuoli、Ph.Mounaix、D.Mukamel、L.Palmieri、J.Pitman、A.Rosso、S.Redner，记录60年代强相关时间序列的统计数据。Sabhapandit、W.Tang、G.Wergen和R.M.Ziff，用于协作和有用的讨论。参考文献[1]K.N.Chandler，《记录值的分布和频率》，J.Roy。统计学家。Soc。，序列号。B14220（1952年）。[2] D.V.Hoyt，《天气记录和气候变化》，气候变化3，243（1981）。[3] G.W。

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