1） 设σ为任意F停止时间，χ为任意有界Fσ可测随机变量。我们有（使用[0，θ） {pS>0}）E[χE（pS D） σ{σ<θ}]=E[χE（pS D） σ{σ<θ}{σ∈{pS>0}}]=E[χE（pS D） σSσ{σ∈{pS>0}}{σ<∞}].（3.15）参见Revuz和Yor（1999年，第五章，练习（2.13））。imsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：2017年2月6日不变性乘以19因此，过程E（pS）的（F，Q）可选投影 D） 1[0，θ）等于过程（pS D） S1{pS>0}。此外，通过引理2.2 5），在{pS>0}上，我们得到了（pS D） S=E（pS D） SE公司(-S- D） E（pS Q） =SE（pS Q） =SQ.2）注意SE（pS Q） 是{pS>0}上的（F，Q）局部鞅。设σ为一个有限的Fstopping时间，使得[0，σ] {pS>0}和SE（pS Q） σ是（F，Q）一致可积鞅。考虑任何G停止时间τ。回顾τ′是一个F停止时间，例如τ∧ θ=τ′∧ θ（参见引理2.2 1），我们有E[E（pS D） τ∧σ{τ∧σ<θ}=E[E（pS D） τ′型∧σ{τ′∧σ<θ}=E[E（pS D） τ′型∧σSτ′∧σ] =E[SE（pS Q） τ′型∧σ] =E[S]，（3.16），其中第1）部分用于第二行。因此，根据He等人（1992年，定理4.40），（E（pS D） 1[0，θ）]σ是（G，Q）一致可积鞅，证明了引理的第二个断言。3）根据德拉瓦利-普辛定理的vir tue，存在一个非负递增凸函数φ，使得→∞φ（t）t=∞ 和supσE[φ（E（pS D） σ{σ<θ}）]<∞,其中σ在F停止时间族上运行，使得[0，σ] {pS>0}∩ [0，T]。应用引理的第1部分）和Jensen不等式，我们得到supσE[φ（SQσ{pSσ>0}）]∞.因此，德拉瓦利-普桑定理的另一个应用得出SQ是集{pS>0}上的（D）类鞅∩ [0，T]。鉴于（2.3），我们有q=limn→∞E（1{pS>0}pS Q） ζn.Asζn∈ 每n{pS>0}∈ N（比照。

（A.8）），那么，一方面，随机变量族{SE（1{pS>0}pS Q） ζn∧T、 n个∈ N} 一致可积，另一方面，SE（1{pS>0}pS Q） ζn∧这是一个一致可积鞅，对于每n∈ N、 这两个性质意味着以下两个等式e[SQT]=limn→∞E[SE（1{pS>0}pS Q） ζn∧T] =E[S]，证明了非负（F，Q）局部鞅SQ是（F，Q）真鞅[0，T]。我们现在写，对于任何0≤ t型≤ T，SE【QT | Ft】=E【SQT | Ft】=SQT。当Q=1在{S=0}上时，我们依次得到E[QT | Ft]=E[QT | Ft]1{S>0}+E[QT | Ft]1{S=0}=QT{S>0}+1{S=0}=QT，imsart aop ver。2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：2017年2月6日S.CR'EPEY和S.Song完成演示。我们现在给出了Q的真鞅性质的一个充分条件。定理3.5如果E[E（1{pS>0}pS D） θ∧T] <∞, 那么Q是[0，T]上的（F，Q）真鞅。假设STpositive，那么θ是一个不变性时间。进一步假设θ为正，则非负（G，Q）局部鞅E（1{pS>0}pS D） 1[0，θ）（引理3.5 2）是[0，T]上的（G，Q）真鞅，并且通过E（1{pS>0}pS）的概率测度S对fts的限制提供了一个不变性测度P D） 1[0，θ）作为SDQ.Proof的G密度过程。如果E[E（1{pS>0}pS D） θ∧T] <∞, 然后是非负（F，Q）局部鞅E（pSD） 1[0，θ）是{pS>0}上（D）类的（G，Q）鞅∩ [0，T]。Q在[0，T]上的（F，Q）真鞅性质是引理3.5（3）的结果。此外，如果假设STI的周期性，则（A.10）意味着T<和[0，T] {pS>0}，因此q=E（pS Q） >0保持[0，T]，引理2.2 5）。因此，引理3.2和定理3.2-3.3暗示θ是一个不变性时间。假设f进一步θ为正，即S=1，引理3.5 1）意味着密度过程的（f，Q）可选投影为sdqis Q。

但是，从定理3.2-3.3来看，Q是某些不变性测度P的PDQF密度过程，因此它是概率测度S对Ft的限制。在[0，T]上Q的真鞅性质的上述有效条件之上，我们现在看F是一个必要和有效的条件。根据He等人（1992年，定理8.18）和Jacod（1979年，Lemme 1.37），前两个条件在下文中始终可以成立。因此，只有第三个才是真正鞅性质的实质。定理3.6假设STpositive。然后，当且仅当存在F停止时间（σn）n的非减序列时，Q在[0，T]上的（F，Q）真鞅性质成立∈Nsuchthat-∪n[0，σn]=[0，T]，-E（pS D） σnis有界，对于任意n∈ N、 -随机变量族（DT-Dσn）E（pS D） σn，n∈ N、 是Q一致可积的。在这种情况下，条件（A）是满足的。根据引理3.5证明末尾使用的参数，Q在[0，T]上的（F，Q）真鞅性质等价于E[SQT]=E[S]。设F停止时间（σn）n的非减量序列∈满足上述前两个条件。在一个hand上，通过引理2.2.5）（假设ST>0），我们有E[SQT]=E[SE（pS Q） T]=E[E（pS D） TST]=limn→∞E[E（pS D） σnST]，利用单调收敛定理。另一方面，我们有[0，σn] [0，T] {S>0} {pS>0}（如ST>0），因此，对于任何n∈ N、 SE（pS Q） σ是一个定义良好的（F，Q）局部鞅。实际上，SE（pS Q） σ是有界鞅，因为根据引理2.2.5），它等于E（pS D） σnSσn，受假设约束。因此，E[S]=E[SE（pS Q） σn）=E[E（pS D） σnSσn]。（3.17）imsart aop版本。

2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：2017年2月6日不变性乘以21因此，Q是[0，T]上的（F，Q）真鞅当且仅当iflimn→∞E[E（pS D） σnSσn]- E[E（pS D） σnST]= 但是，根据S的定义，我们有E（pS D） σnSσn]- E[E（pS D） σnST]=E[E（pS D） σn{σn<θ≤T}]=E[（DT- Dσn）E（pS D） σn]，通过定义D为（F，Q）1{0<θ}[θ]的对偶可预测投影，∞).因此，Q在[0，T]上的真鞅性质等价于随机变量序列（DT）的Lconvergenceto零- Dσn）E（pS D） σn.现在，当ST>0时，我们有e（pS D） T<∞. 随机变量（DT- Dσn）E（pS D） σn概率收敛为零。因此，它们的L收敛到零等价于它们的统一可积性，从而得出定理中所述等价性的证明。此外，假设为正，引理2.2 5）意味着Q=E（pS Q） >0保持[0，T]。因此，通过定理3.2-3.3，条件（A）证明了Q在[0，T]上的（F，Q）真鞅性质。如引理A.1所示，每当θ有（G，Q）强度γ时，我们就有D=γ′-.λandE（pSD） =eγ′λ在[0，T]（假设ST>0）。因此，在这种情况下，定理3.6简化为γ的条件。备注3.1在ST>0的情况下，可从定理3.6推导出定理3.5。实际上，给定一个序列（σn）n∈满足定理3.6中前两个条件的N（存在），我们有不等式（DT- Dσn）E（pS D） σn≤ZTσnE（pS D） SDD≤中兴通讯（pS D） SDD。（3.18）由于D是1{θ>0}[θ的（F，Q）对偶可预测投影，∞), 我们有 D） θ∧T] =E[1{θ=0}]+E[ZTE（pS D） sdDs]+E[E（pS D） T{T≤θ} 】。因此，定理3.5的假设意味着 D） sdDs]是有限的。鉴于（3.18），随机变量序列（DT- Dσn）E（pS D） σntendsto零在L中，根据支配收敛定理。

然后可以应用定理3.6得出Q是[0，T]上的（F，Q）真鞅，如定理3.5.3.5中所述。不变测度下的局部鞅。在本节中，我们描述了不变性测度P下的局部鞅。在理论兴趣之上，以下结果是证明交易对手风险“完全”（G，Q）BSDE（2.11）和“减少”（F，P）BSDE（2.16）之间等价性的关键（参见第2.2节）。定理3.7假设条件（A）具有不变性测度P.Cf.He等人（1992，定理5.26 2））。参见He等人（1992年，定理1.11）。imsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：2017年2月6日22 S.CR'EPEY和S.SONG1）过程P在M{pS>0}∩[0，T]（F，P）当且仅当IFPP+[Q，P]在M{pS>0}∩[0，T]（F，Q）。2） 如果D是连续的，则PS=S-而之前的情况变了-P+[S，P]∈ M{S->0}∩[0，T]（F，Q）。（3.19）此外，我们有{S>0}={pS>0}={S-> 0}=[0，），（3.20），其中是S（参见（A.8））。证明1）在{pS>0}∩ [0，T]，我们有qp=P-q+q-P+[q，P]=P-q+q-P+q-聚苯乙烯[Q，P]，其中第二个等式来自定理3.2中的公式（3.10）。因此，P是inM{pS>0}∩[0，T]（F，P），即qP在M{pS>0}∩[0，T]（F，Q），当且仅当Q-P+q-聚苯乙烯[Q，P]isin M{pS>0}∩[0，T]（F，Q）。考虑序列（ζn）n∈第九章（A.8）。Let（σn）n∈Nbe一种F s打顶时间的非递减序列，趋向于完整性并减少q-与[0，T]上的有界过程相反。通过定义可预测区间上的局部鞅（参见。

（1.2）），P上的上述条件可以用asq表示-Pζn∧σn+q-聚苯乙烯[Q，P]ζn∧σn∈ M[0，T]（F，Q），n∈ N、 AspS和q-在[0，ζn]上远离0∧ σn]，这是同等的顶部Pζn∧σn+[Q，P]ζn∧σn∈ M[0，T]（F，Q），n∈ N、 即pSP+[Q，P]∈ M{pS>0}∩[0，T]（F，Q）。2） 在D是连续的情况下，我们有[D，·]=0和ps=S-（参见（A.3）），因此第1）部分中的条件写为（3.19）。为了建立（3.20），鉴于（A.9），我们只需要显示{S-> 0} 为了达到这个目的，我们将局部鞅特征（3.19）应用于P=1{0<n=C}[，∞), 式中（n）n∈Nis（A.5）中定义的序列，C为正常数。即，我们计算-P+[S，P]=S-{0<n=C}，∞)+ S1{0<n=<C}[，∞)= 0（因为S=0）。因此，P满足（3.19），因此它是{S上的一个有界（F，P）鞅-> 0}∩ [0，T]。注意P=0和dPn∧T=1{0<n=C}{n∧T≥} =1{0<n=<C，≤T}，我们得出结论，0=EP[Pn∧T] =P[0<n=C，n]≤ 对于每个正常数C，我们有P[0<n=n]≤ T]=0。因此，无论何时只要≤ T，P下等于Q下。因此，鉴于（A.7）：Cf.He等人（1992年，定理12.12）。imsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：2017年2月6日不变性乘以23-在{S>0，≤ T}，我们有{S-> 0}=∪n【0，n】 [0，），-在{S=0}上，我们有{S-> 0}= = [0，）。在这两种情况下，我们都有{S-> 0} [0，），这完成了d演示。4。不同情况下的不变时间。在本节中，我们回顾了涉及不变时间的各种情况。4.1。与伪停止时间的比较。在本节中，我们研究了Nikeghbali和Yor（2005a）的不变时间和伪停止时间之间的关系。此外，我们还评估了在条件（A）中，在θ之前停车的重要性，即在θ处停车的重要性。考虑a（0+∞)-值r为dom时间θ。

根据Nikeghbali和Yor（2005a），它是（F，Q）伪停止时间，当且仅当Qθ是任何（F，Q）局部鞅Q的局部鞅。显然，如果伪停止时间θ避免了F停止时间，则它是满足任何正常数T的条件（a）的不变性时间，利用不变性测度P=Q。Nikeghbali和Yor（2005a，定理1（3））也表明θ是apseudo停止时间，当且仅当∞= 1，即当且仅当S=1时- A、 式中，d enotesthe F dual optional projection of 1[θ，∞). 相反，命题3.1（2）表明，Q本身是任何正常数T的不变性测度，当且仅当S=1- D（注意这里s=1，θ>0）。当且仅当A=D时，这两个条件都是一致的。我们回忆起，在w的情况下，S=1和D是连续的（即，在我们的设置中，当θ是A（G，Q）的总可访问停止时间时），那么A=D当且仅当θ避免F停止时间时。因此，在S=1且d d是连续的情况下，有两种“正交”情况：-如果θ具有回避特性，那么θ是伪停止时间当且仅当Q本身是一个不变性度量；-如果θ是一个没有回避性质的伪停止时间，那么Q本身就不能度量不变性。这是因为伪停止时间是根据在θ处停止定义的，而不变性是根据在θ之前停止定义的。此外，与用r定义的伪停止时间（特别是固定概率测度Q）相比，不变性时间的额外灵活性在于在变化测度P下考虑鞅性质的可能性。事实上，伪停止时间条件是非常严格的。相比之下，定理3.5表明不变性时间是规则，而不是例外。

事实上，不变性时间的本质并不是要定义一个更奇特的时间类别，而是要表明过滤的简化方法可以非常广泛地使用，远远超出第2.2.1节的基本简化形式设置。以下示例提供了有关伪停止时间和不变时间之间关系的更多信息。示例4.1确定满足常规条件的过滤器。对于i=1，2，让σi>0表示有界连续补偿器vi的停止时间。假设σ>T，定义θ=1Aσ+1Acσ，对于一些与F无关的随机事件A∞使得α=imsart aop ver。2014年10月16日文件：不变性决赛。德克萨斯州日期：2017年2月6日S.CR'EPEY和S.SONGQ（A）∈ （0，1）。设G是F与θ的推进放大。因此，θ与Fstopping时间σi相交。通过A的独立性，在[0，T]上，我们得到s=1[0，σ）α+1[0，σ）（1- α） ，D=αv+（1- α） v，Q=α（1[0，σ）+v）+（1- α） （1[0，σ）+v）。因此，由于σ>T，我们有S和in-turns≥ 1.- α>0在[0，T]上，因此e（pS D） =每股收益D≤ e1级-α分布在[0，T]上。因此，理论3.5中的条件已满，θ是方差时间。此外，对于每个有界F可选过程K，通过a的独立性，我们得到E[Kθ]=E[1AKσ+1AcKσ]=E[αKσ+（1- α） Kσ]，henceA=（1[θ，∞))o=α1[σ，∞)+ （1）- α） 1[σ，∞).作为σi定义，如下所示：∞= 1和θ是伪停止时间。示例4.2为了获得与F停止时间相交的不变性时间θ，而不是伪停止时间，我们设置θ=1Aσ+1Aσ+1Aσ，其中σ和σ如示例4.1所示，其中有限随机时间σ>0不是F伪停止时间，对于分区Ai，i=1，2，3，与F无关∞和σ。假设αi=Q（Ai）>0，我们有a=（1[θ，∞))o=α[σ，∞)+ α[σ，∞)+ α（1[σ，∞))o、 式中（1[σ，∞))o∞6=1，因此A∞6=1，具有正Q概率。因此，θ不是p seudostopping时间。

但θ的Az'ema上鞅由s=1[0，σ）α+1[0，σ）α+o（1[0，σ））α给出≥ α在[0，T]上，因此θ是一个不变性时间，其参数与示例4.1.4.2中的参数相同。与生存措施的联系。在可违约资产定价的财务背景下，为了推导一个不受Du ffe et al.（1996）中无跳跃条件约束的基于强度的定价公式，本文中过滤方法的另一种替代方法是纯粹在过滤G中工作，但从风险中性度量转换为一些非等效的定价度量。为了建立两个框架之间的联系，让我们假设在满足条件（B）（如本文中的任何地方）的放大设置中，G停止时间θ，a（G，Q）强度γ和ST>0，因此E（pS D） =E（S）- D） =eγ′λ保持[0，T]，由Emmama决定。1、假设eγλθ∧ 如果Q是可积的（这是Collin Dufresne et al.（2004）的基本假设），则满足定理3.5的所有条件。因此，通过应用该定理，我们得出结论，θ是一个不变性时间，该过程是有效的。2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：2017年2月6日不变性乘以25eγλ[0，θ）是[0，T]上的（G，Q）真鞅，并且通过eγ对“生存测度”S的限制提供了不变性测度Pλ[0，θ）作为SDQ的G密度过程（首次引入了“生存度量”概念和术语，并用于Sch¨onbucher（1999，2004））中的不同曲线。不同的是，如果默认时间θinCollin Dufresne et al.（2004）也满足条件（B），则条件（A）满足，并且su rvivalmeasures对FTof的限制是一个不变性度量。这就建立了方差概念和生存度量之间的联系。

特别是，这表明，即使S和Q不等效（甚至在第2.2.1节的基本简化形式设置中也不等效），eir对FTare的限制也是等效的。假设eγλθ∧ Tis Q可积，Collin Dufresne et al.（2004）获得了不受无跳跃条件约束的基于强度的（G，S）定价公式（1996）。inFisher、Pulido和Ruf（2015）给出了生存度量S的无套利解释，他们用它来建模可能在θ时间相互失去价值的社会资产。4.3。交易对手风险的BSDE。不变性时间使得过滤简化技术对于处理具有随机终端时间的盲源分离设备特别有效（这实际上是我们引入不变性时间的最初动机，参见第2.2节）。例如，在Bichuch、Capponi和Stu rm（2015）的分为两部分的论文中，其中F是一种过滤，G是通过银行及其交易对手的默认时间逐步扩大的F，通过应用Fcr'epey和Song（2015，定理4.3），将第一部分中的主要跳跃BSDE（17）（或类似的（18））转换，可以大大简化分析，根据时间间隔[0，θ]上的放大过滤G制定∧ 在时间间隔[0，T]上，转换为关于参考过滤F的连续BSDE。这两个BSDE是等效的，但连续的BSDE当然更容易研究。相关PDE也变得连续。如果没有ju mps，他们工作中所有技术结果的证明，即。

第一部分中的BSDE适定性和比较定理A.2和A.3以及第二部分中的PDE唯一粘度解定理3.2（或者更确切地说，它们的连续类似物），成为参考标准连续BSDE和PDE结果的问题。将“完整”（G，Q）BSDE（2.11）重新表述为“减少”（F，P）BSDE（2.16），也可以通过考虑数值解来表示显著的改进。在上述示例中，这意味着可以使用不带泵的标准数值格式来解决问题（参见Bichuch、C ap poni和Sturm（2015，第二部分备注3.4））。4.4。动态连接函数。交易对手风险领域的一个奇点是，由于交易对手的信用风险和基础市场（本例中为信用）风险敞口之间的脆弱性和传染形式，导致基础合同为信用衍生品。在交易对手和参考信贷实体可能同时违约的“瞬时传染”模型中，错误的方式风险可能采取瞬时缺口风险的极端形式，这不仅是信贷保护价值的激增，而且是信贷保护现金流，因为违约交易对手在时间θ未能支付给银行。为了将这种信用脆弱性和传染效应嵌入其模型中，市场实践者使用（静态）关联式来计算参考实体的违约时间。在信用衍生产品交易对手风险的情况下，on e需要对交易对手jointlyimsart aop版本的违约时间进行建模。2014年10月16日文件：不变性决赛。德克萨斯州日期：2017年2月6日S.CR'EPEY和S.SONGwith their，即需要（θ，θ，…）的模型。

，θn），其中θ=θcorr对应于参与参考实体信用衍生品交易的银行交易对手的违约时间θi，i=1，n、 此外，由于交易对手风险和不确定性估值调整实际上是这些方面的选择，因此需要以某种方式使模型动态化。一种可能性是使用“动态copu-la模型”，该模型是在静态copula模型的基础上引入合适的过滤得到的。文献中的相关参考文献包括Ch¨onbucher和Schubert（2001）的开创性工作文件，以及Brigo、Capponi和Pallavicini（2014，第3节）、Bo和Capponi（2015）、Lee和Capriotti（2015）或Cr'epey和Song（2016）（参见Kusuoka和Nakashima（2012）和Bielecki等人（2009，第7.3节））。现在，为了理解动态copulamodel中信贷依赖性的性质，我们想补充以下问题：给定相对于完整模型过滤的停顿时间θ，何时以及如何将θ中的信息与“市场过滤”F中的信息分离，以确保一致性和可跟踪性，F和G之间存在某种局部鞅不变性？不变性时间正是本着这种精神设计的。

具体而言，inCr'epey和Song（2016）表明：-在动态高斯copula模型的背景下，条件（A）通过θ=θ实现，对于合适的P 6=Q，对于G，F通过θ逐步放大。该模型可用作嵌入信贷衍生品中的交易对手风险的“错误方式风险模型”，其中存续参考名称的违约强度，以及作为交易对手违约时间P 6=Q的影响的信贷保护尖峰值；-在动态Marshall-Olkin copula（或“共同冲击”模型，其中信贷依赖性源于同时违约的可能性）的背景下，条件（A）是通过θ=θ实现的，对于P=Q，但G大于F的渐进放大θ，反映了可能导致交易对手违约的各种可能的联合违约场景。该模型可用作信用衍生品中嵌入的交易对手风险的“缺口风险模型”，在联合违约场景中，承诺的现金流无法在交易对手违约时间θ支付。（参见图7 inCr'epey and Song（2016，预印本））。4.4.1。一个公开的问题。本文认为，满足条件（B）的子过滤器在所有地方都给出了。作为一个与不变性时间相关的开放性问题，存在一个确定给定完整模型过滤G的su b过滤F的问题，以便满足条件（b）（在考虑（a）之前）。可以在上述动态copu la模型中根据具体情况进行适当的细分F。但是，除了《宋》（2016b，第9节）中的必要条件之外，我们在这方面没有建设性的方法。结论从70年代过滤文献的扩大来看，有两个事实是已知的。首先，在θ之前，“容易”研究具有随机时间θ的过滤的渐进扩大。

其次，半鞅分解的Jeulin-Yor公式，在逐步扩大的过滤中，在较小过滤F中的鞅，与Girsanov测度变化公式相似，但Jeulin-Yor和Girsanov公式彼此不等价，主要是由于时间θ的可积性原因。在本文中，我们刻画了随机时间θ，使得局部鞅Propmsart aop ver。2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：2017年2月6日，对于在θunder filtration放大和等效度量值更改之前停止的过程，保持不变乘以27erty。相应的随机时间称为不变性时间，这使得过滤减少技术对于处理具有随机终端时间的盲源分离设备特别有效。更广泛地说，本文是对两个平行渐进放大过滤文献的贡献，这取决于是否考虑了可预测或可选的观点：-集合的终点：Az’ema（1972）中的可预测性与Jeulin和Yor（1978）中的可选性；-θ的Az'ema Super artin gale S的乘法分解：可预测inJaco d（1979）和S on g（2016b）与Kard aras（2015）中的可选表格XX下的S表示*, 对于某些正局部鞅X和X*= sup0≤s≤·Xs，Following Nikeghbali和Yor（2006）（参见示例3.3）：对于诚实时间，避免F（可选）停车时间Incardaras（2014）与F可预测停车时间Inaciao和Penner（2014）（以及对于一般诚实时间Insong（2016a））；-定义：Aksamit et al.（2013）orAcciaio et al.中的可预测内生（2016b）与可选内生（2016b）对比。

（2016年）；-局部martin-gale不变性：对于在θ之前停止的进程，基于θ的双可预测投影D，关于本文的不变性时间，相对于在Nikeghbali和Yor（2005b）中的伪停止时间，基于θ的可选投影A（且无测量变化）在θ停止的进程。从应用的角度来看，在θ之前停止（如Aksamit et al.（2013）或Acciaio et al.（2016）中观察θ的内幕人士的无套利研究）或在θ之前停止（如定价交易对手风险）的相关性取决于手头的问题。在技术层面，处理过程Xθ的最佳方法-（如本文所述）是利用Az'ema supermartingale的可预测乘法分解和更普遍的过滤减少方法。相比之下，考虑Xθ自然会导致可选计算。就可违约证券的定价而言，基于本文件的（F，P）（或“扩展简化形式”）方法揭示了数学金融文献中三种流之间的关系，即杜菲等人（1996）的（G，Q）开创性方法，基本简化形式设置中的nowad ays标准（F，Q）方法和Collin Dufresne等人（2004）的（G，s）生存测量方法。附录A：关于AZ'EMA supermartingale，本节概括了AZ'EMA supermartingale S=oJ（随机时间θ，其中J=1[0，θ）），以及标准Doob-Meyer分解S=S+Q的最经典性质- D（参见第2.1节）。更多信息，请参见Jeulin（1980）和Jeulin and Yor（1978）。我们有P（J-) = S-打开（0，∞)（A.1）（见Jeulin（1980，第63页））和PS=Q-- D=S- Q=S-- D≤ S-.（A.2）imsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。德克萨斯州日期：2017年2月6日。

Song特别是，如果D是连续的，则Nps=S-.（A.3）θsatis fiesv=Z的（G，Q）补偿器v·∧θSs-dDs（A.4）（见Jeulin（1980年，备注4.5））。引理A.1当且仅当S=1且d是连续的（因此E（±S））时，G停止时间θ（G，Q）完全不可访问-D） =e±S-{S上的Dholds-> 0}）。在θ具有（G，Q）强度γ的特殊情况下，则为1（0，θ]S- D=γ λ和D=γ′S- λ保持R+（其中γ′表示γ的F可预测还原），henceS-D=γ′λ保持{S-> 0}。证据根据本文的定义（参见第1.1节），当且仅当S=1且θ的（G，Q）补偿器v在[0，θ]上连续时，θ是（G，Q）完全不可访问的。根据（A.4），当且仅当S=1和D=0，在[0，θ）上，或等效于引理2.3的可预测版本，如果在{S上D=0-> 0}，即如果D是R+上的连续s（参见Song（2016b，引理3.7））。如果θ有一个强度γ，那么（A.4）和引理A.1表明（0，θ）S- D=γ λ和D=γ′S- λ。定义=inf{s>0；Ss=0}，定义=infs>0；不锈钢≤n（n>0）。（A.5）那么，=inf{s>0；Ss-= 0}（A.6）（因为S是负上鞅上的n）且=supnn，{S-> 0}∪ [0]=∪n【0，n】。（A.7）同样，{pS>0}是一个可预测的区间，根据Jaco d（1979，（6.24）和（6.28）），存在一个非递减序列（ζn）n∈停止时间为{pS>0}∪ [0]=∪n[0，ζn]和以（0，ζn）为界的psis对于每n.（A.8），以下关系成立：[0，）={S>0} {pS>0} {S-> 0}，（A.9）然而，在（）上，∞),S=S-=pS=0，D和Q是常数。（A.10）我们有θ-> 0在{0<θ<∞}（A.11）（比照约尔（1978，第63页）和宋（2016b，引理3.7））。参见编号o17第六章inDellacherie和Meyer（1975年）。imsart aop版本。

2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：2017年2月6日不变性时间29附录B：概率测度的等价变化局部鞅的下列民间传说结果在本文中起着重要作用。引理B.1设U为停止时间。设X是[0，U]上的局部鞅，这样，对于[0，U]上的任何局部有界局部鞅Y，X i与Y正交，即[X，Y]是[0，U]上的局部鞅。那么X=Xon[0，U]。证据假设X是一致可积的，但不失一般性。对于任何停止时间σ>0，请使用σX.首先，假设σ>0完全不可访问，则使用1的补偿器[σ，∞), 所以（1[σ，∞)- u） 是一个局部有界的局部鞅。根据假设的正交性，由于u是连续的（参见He et al.（1992，推论5.28）），过程|σX | 1[σ，∞)= [X，1[σ，∞)- u] 必须是[0，u]上的局部鞅。因此为空。同样，对于任何可预测的停止时间σ>0和有界随机变量χ，使得E[χ| Fσ-] = 0（表示过滤F=（Ft）t∈R+，χ1[σ，∞)是有界鞅，正交性假设意味着σXχ1[σ，∞)是[0，U]上的鞅。考虑χ=1{σ<∞}- E[1{σ<∞}|Fσ-], 我们有[|σX | 1{σ<∞}] = E类[σXχ1{σ<∞}] = 0，因为E[1{σ<∞}|Fσ-] 是Fσ-可测量和E[σX | Fσ-] = 0，通过σ的可预测性。总之，局部鞅X在任何可预测或完全不可接近的停止时间都是连续的。因此X是[0，U]上的连续局部鞅。因此，应用于X本身的正交性假设，[X，X]是一个连续的局部鞅[0，U]。在[0，U]上的[X，X]=[X，X]=0，证明了引理。在本节的其余部分中，我们得出了独立利益的衡量变化结果（与扩大过滤无关），用于第C节中理论3.1的第二个证明。

给定一个与FT上的概率测度Q相等的概率测度P，我们使用（3.1）中引入的符号P、\'P、Q、\'Q。（F，P）可预测括号用h·、·iP表示，而（F，Q）可预测括号用h·、·i表示（当然，当一个参数连续时，两个括号重合，我们通常写h·、·i）。局部鞅的连续部分和纯不连续部分（从0开始）用·cand·d表示。Girsanov定理有两种形式。可选的b racket Girsanov公式表明，对于M（F，P），（b.1）P中的任何P- q [p，p]以M[0，T]（F，Q）表示。可预测括号Girsanov公式指出，如果M（F，P）中的P表示[P，P]是（F，P）局部可积的，那么q（P）：=P- q- hp，P iP=P- h'p，p iP（B.2）单位为M【0，T】（F，Q）。狐猴。2和B.3研究了可预测括号Girsanov变换下的（F，Q）局部鞅类。参见（2.6）和（2.5）以及He等人（1992年，定理12.18）。参见He等人（1992年，定理12.13）。imsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：201730年2月6日S.CR'EPEY和S.SONGLemma B.2设Q是（F，Q）一致可积鞅，使得Q=0，对于从0开始的任何有界（F，P）鞅P，Q（P）Q是[0，T]上的（F，Q）局部鞅。然后Q=0，在[0，T]上。证据对于任意边界（F，P）鞅P，从0开始，任意F停止时间σ≤ 将所涉及的过程转化为可积性，我们得到0=E[Q（P）σQσ]=EP[（P- q- hp，P iP）σQσPσ]=EP[[Qp，P]σ- Q- hp，P iPσ]=EP[[Qp- Q- p、 p]σ]，（B.3），其中pσ和（Qp）σ的（F，p）鞅性质被用于传递到第二线，结合以下可预测的投影公式：EP[q- hp，P iPσQσPσ]=EP[P·P（QσPσ）Q- hp，P iPσ]=EP[Q- hp，P iPσ]，其中·P·P表示（F，P）可预测的对偶投影。因此，根据He等人。

（1992年，定理4.40），[Qp- Q- p、 p]单位为M[0，T]（F，p）。因为这必须适用于M[0，T]（F，P）中的每个有界P，所以LemmaB。1意味着0=Qp=Qp- Q- p=Qp- （Qp）- （q）- p） 在[0，T]上。（B.4）因此，Q p=QpE（Q- p） =0（假设Q=0）。引理B.3对于从0开始的任何（F，P）局部鞅P，使得[P，P]是（F，P）局部可积的，Q（Pc）和Q（Pd）分别是[0，T]上的连续（F，Q）鞅和纯间断（F，Q）鞅。因此，Q（Pc）=（Q（P））cand和Q（Pd）=（Q（P））dhold在[0，T]上。证据可预测括号Girsan-ov公式（B.2）表明Q（Pc）是[0，T]上的连续慢鞅。对于从0开始的任何连续（F，Q）鞅，只要证明Q（Pd）Q在M[0，T]（F，Q）中就足够了。实际上，对于任何F停止时间σ≤ 将相关过程导出为可积性，如在L emmaB的证明中。2，我们可以写：E[Q（Pd）σQσ]=EP[[Qp- Q- p、 Pd]σ]，其中，通过[0，T]，[Qp]上的分部积分公式- Q- p、 Pd]=[p- Q+[Q，p]，Pd]=0，因为p- Q+[Q，p]是连续的，就像Q.ByHe et al.（1992，定理4.40），这证明了Q（Pd）Q在M[0，T]（F，Q）中。引理B.4我们在测量变化密度过程q，p和它们的随机对数q，p之间有以下关系：，qc=-Q（(R)pc），(R)qd=-q[0，T]上的p。（B.5）Cf.He等人（1992年，备注5.3和定理5.26）。参见He等人（1992年，定理7.34）。imsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：2017年2月6日不变性乘以31证明。注意，对于任何有界的F可预测过程K和F可预测停止时间σ≤ T，E[Kσqσσp]=EP[Kσσp]=0。因此，根据He等人的定理7.42。

（1992），在[0，T]上存在一个（F，Q）纯d连续局部鞅Q，如sq=qssp.（B.6）由Karatzas和Kardaras（2007）中的引理3.4得出，q和p之间存在以下关系：\'q=-“p+h”pc、“pci+Xs”≤·(标准普尔）1+s'p.（B.7）此外，在[0，T]上，我们有tq公司=tppt=pt-t'ppt-+ tp=t’p1+t'p，因此[q，'pd]=Xs≤·(标准普尔）1+s'p.（B.8）使用（B.7）和（B.8），我们得到'q=-“p+h”pc，“pci+[q，\'pd]=-？pc+h？pc、？pci- \'pd+[q，\'pd]=-Q（(R)pc）- [0，T]上的\'pd+[q，\'pd]（参见（B.2））。因此，与引理B.3一起，我们有“qc=-Q（(R)pc）。此外，根据（B.7），t？qd=t'q=-t'p+(t'p）1+t'p=-t’p1+t'p=-tq，由（B.8）中的第一部分确定。新加坡(-q） 都是（F，q）纯间断局部鞅，根据inHe et al.（1992）的推论7.23，它们在[0，T]上重合。鉴于（B.6），这证明(R)qd=-qp、 附录C：通过Girsanov和JEULIN-YOR公式描述不变性度量在本节中，我们将度量变化引理B.2至B.4（仍使用第B节中介绍的方法）与过滤计算的扩大相结合，以获得定理3.1的第二个证明。目标是将不变性度量属性与（3.3）联系起来。从（F，P）传递到（F，Q）会产生Girs和ov漂移，而从（F，Q）传递到（G，Q），与θ之前的停止相结合，会产生Jeulin-Yor漂移。在此之前，为了具有不变性概率性质，两个dr if t必须相互抵消。然后，可以使用尤林（1980）系统使用的经典方法项目法，将过滤G中的取消条件转换为过滤F中的取消条件，在引理B.2至B.4的帮助下，将其视为等效于（3.3）。imsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。德克萨斯州日期：2017年2月6日。

SONGRecall J=1[0，θ）。对于任何P∈ M（F，P），Girsanov公式（B.1）表示P- q【p，p】∈ M[0，T]（F，Q）。适用于Q=P的Jeulin-Yor公式（2.2）- q [p，p]然后屈服于（p- q [p，p]）θ-- J-S- 总部，P- q [p，p]i=pθ--Jq公司 [p，p]+J-S- 总部，P- q [p，p]i∈ M[0，T]（G，Q）。因此，第一项Pθ-在右边，对于任何P，M[0，T]（G，Q）等于第二项（括号中）为in[0，T]（G，Q）的条件∈ M（F，P）。换句话说，我们从上面得出结论，P是一个不变性测度，当且仅当，对于任何P∈ M（F，P），（C.1）Jq [p，p]+J-S- 总部，P- q [p，p]i∈ M[0，T]（G，Q）。在接下来的步骤中，我们通过投影导出条件（C.1）的F对应项。为此，我们需要以期望的形式表达条件（C.1）。事实上，（C.1）相当于 G停止时间（τn）n的一个非减量序列∈我想确认一下， 有界G可预测过程L和n∈ N、 E[LJq [p，p]τn∧T+LJ-S- 总部，P- q [p，p]iτn∧T] =0。（C.2）引理2.2 1），G停止时间（τn）n的非减量序列∈与F停止时间（σn）n的非递减序列相关的Nis∈Nsuchthat，对于每n∈ N、 θ∧ σn=θ∧ τn.我们必须∪n∈N[0，σN] [0，θ]。ByJeulin（1980，引理（4,3）），{p（1（θ），∞)) = 1} 是（θ，∞). 因此，{p（1（θ，∞)) = 1} （R+×）Ohm) \\ (∪n∈N[0，σN]）或等效（C.3）{0}∪ {S-> 0}={0}∪ {1- S-< 1} ={p（1（θ，∞)) < 1} ∪n∈N[0，σN]。相反，如果（C.3）保持F停止时间（σn）n的非递减序列∈N、 然后，根据（A.11），G停止时间τN=（σN）{σN<θ}的非递减序列趋于一致。

此外，通过条件（B），有界G可预测过程L通过约化恒等式k1（0，θ）=L1（0，θ）与有界F可预测过程K相关联。通过这些对应关系和投影id实体o（J）=S和p（J-) = S-打开（0，∞), （C.2）可以根据F停止时间和适应的过程重写，如下所示 F停止时间（σn）n的一个非减量序列∈满足（C.3）要求， 有界F可预测过程K和n∈ N、 E[千先令 [p，p]σn∧T+K 总部，P- q [p，p]iσn∧T] =0。（C.4）我们现在被转移到F中。为了与（3.3）建立所需的连接，我们将（C.4）解释为F中的局部鞅条件。事实上，（C.4）等价于（C.1）的以下F对应项：Sq [p，p]+总部，p- q [p，p]i∈ M{S->0}∩[0，T]（F，Q），（C.5）imsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：2017年2月6日不变性乘以33，相当于Q [p，p]+[Q，p- q [p，p]]∈ M{S->0}∩[0，T]（F，Q）。（C.6）分别对（F，P）局部鞅P的连续部分Pc和纯不连续部分Pd进行操作，我们得出结论，P是一个不变性测度，当且仅当，对于任何P∈ M（F，P），（C.7）平方英尺 hpc、Pci+hQc、Pc- q hp，Pcii∈ M{S->0}∩[0，T]（F，Q），平方 【pd，pd】+【Qd，pd】- q [p，Pd]]∈ M{S->0}∩[0，T]（F，Q）。我们现在可以推导出等效条件（3.3）。使用identiesps=S- Q和“qc=-Q（(R)pc）（参见（A.2）和引理B.4），通过连续性，我们得到了sq hpc、Pci+hQc、Pc- q hp，Pcii=pS h'pc，Pci+hQc，pc- q hp，Pcii=pS 总部（(R)pc），Q（pc）i+hQc，Q（pc）i=h-聚苯乙烯 (R)qc+qc，Q（Pc）i。因此，（C.7）中的FIRS t行表示-聚苯乙烯 (R)qc+qc，Q（Pc）i∈ M{S->0}∩[0，T]（F，Q）。对于所有（F，P）局部鞅P，包括有界于es F或which-聚苯乙烯 (R)qc+qc，Q（Pc）i=h-聚苯乙烯 (R)qc+qc，Q（P）i（比照。

引理B.3），等于引理B.2到（C.8）-聚苯乙烯 {S上的\'qc+qc=0-> 0}∩ [0，T]。同样，我们有SQ 【pd，pd】+【Qd，pd】- q 【p，Pd】]=p（平方pP+Q(P- qpP））=P（S）- QqpP+QP）=-聚苯乙烯 [(R)qd，P][qd，P]=[-聚苯乙烯 \'qd+qd，P]，其中identiesps=S- Q和(R)qd=-qp（参见（A.2）和引理B.4）用于倒数第二个等式。因此，（C.7）中的第二行表示[-聚苯乙烯 \'qd+qd，P]∈ M{S->0}∩[0，T]（F，Q）。对于P有界（因此可预测括号Girsanov公式（B.2）适用），鉴于Yoeurp引理，这意味着[-聚苯乙烯 (R)qd+qd，Q（P）]∈ M{S->0}∩[0，T]（F，Q）。使用Lemm aB.2，我们得出结论，（C.7）中的第二行适用于所有（F，P）局部鞅P（包括有界鞅），当且仅当（C.9）-聚苯乙烯 {S上的\'qd+qd=0-> 0}∩ [0，T]。根据引理2.5，Q在{S上是常数-= 0} {pS=0}。因此，（C.8）和（C.9）分别是（3.3）的连续部分和纯不连续部分，因此定理3.1得到了验证。imsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。德克萨斯州日期：1973年2月6日S.CR'EPEY和S.SONGC。1、副产品。通过检验定理3.1的上述证明，我们可以看到，基于引理B.2的不变性测度性质到（3.3）的推导，只使用了有界（F，P）鞅。因此，我们可以产生一种似乎较弱的条件。条件（A’）。在FTsuch上存在一个与Q等价的概率测度P，对于任何有界（F，P）鞅P，Pθ-是[0，T]上的（G，Q）局部鞅。推论C.1条件（A）等价于条件（A′）。参考ACCIAIO，B.、C.Fontana和C.Kardaras（2016）。半鞅金融模型中的第一k指数套利和过滤放大。随机过程及其应用1261761-1784。Acciaio，B.和I.Penner（2014年）。

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