第二个原因是，所描述的价格冲击的重要性已经降低，因为大部分交易者对所描述的冲击有相同的信念。只有当期货交易者对冲击中的价值存在重大分歧时，冲击才是显著的。C和D不能很容易地操纵价格，因为期货合约的大量交易将揭示玉米的准确价格。接下来，我们考虑转换成本对市场效率的影响。参与者被锁定与特定节点进行交易的市场往往不如参与者可以自由交换交易伙伴的市场效率高。正如Farrell和Kemperer所观察到的，转换成本[…]如果产品不兼容，将客户与供应商绑定，锁定客户甚至市场，使其接受早期选择。锁定阻碍了客户改变供应商以应对（可预测或不可预测的）效率变化，并赋予了供应商有利可图的事后市场力量[…][FK07，p.1970]两种类型的转换成本的影响如图10b所示。图中显示了三个服务提供商，A、B、C，它们为一组客户提供服务，以底部的节点表示。如果切换成本高得令人望而却步，人们可能会观察到左侧所示的网络。typicalcustomer只与其中一家服务提供商进行交易。如果发生冲击时，a的客户与其他市场客户的信念不同，a将成为冲击的瓶颈。右侧的网络显示了如果交换成本较低，网络可能会是什么样子。现在，大多数客户都与多家供应商进行交易，我们发现A对同一家供应商来说并不是一个瓶颈，因为客户也会感受到紧张和活力，因为他们与B和C之间的连接边缘。A不再能够定价，因为与B和C的竞争更具威胁性。

请注意，这个例子表明，贸易网络在识别垄断方面比计算市场份额更有效。在最后一个例子中，A只占市场的三分之一。然而，其锁定客户的能力使其在市场上具有相当大的优势。贸易网络解释力的另一个有趣例子来自于对纵向一体化的理解。垂直整合是指企业拥有产品供应链的几个部分的安排。垂直整合是否提高了市场效率？一方面，垂直一体化确实增加了大多数冲击的能量和张力；另一方面，有人观察到，垂直一体化与增加的失水率有关。Fligstein和Roehrkasse【FR16】认为，纵向一体化是导致2007-2009年金融危机的欺诈水平上升的罪魁祸首。他们写道，[…][T] 垂直整合会增加欺诈动机，因为欺诈行为的分散是继续正常运营的先决条件。[…][T] 垂直整合消除的交易点不仅仅是潜在欺诈的场所。它们也是质量控制和尽职调查的关键机会。【FR16，第624页】0.5-0.50G HshockA B CD E FIS供应链123-110.5-0.50shock-11G HA B CDEFIHB CV E FIHB CVE FI 8 8 4 4 4 4图11：垂直整合可能导致瓶颈。左边的网络显示了一个涉及a、B、C、D、E、F、G、H、I公司的供应链。每个公司与供应链的相邻级别以相同的速率进行交易。右侧的网络显示了在将A、D、G公司合并到V公司后施加的相同冲击。

张力和能量增加了，但V现在贡献了张力和能量的1/2，尽管它只参与了贸易的1/3\'rd。垂直整合的影响如图11所示。左侧的网络显示连接网络两部分的供应链。供应链的每一步都涉及3家拥有同等市场份额的公司。如果在供应链的两端之间存在冲击，那么供应链边界上的每一家公司对紧张和能量的贡献是相等的。右侧的网络显示了如果三家公司垂直整合会发生什么。这家新公司并没有增加其所涉及的DITS市场份额或贸易率，但其在紧张局势和能源中的份额大幅增加。尽管它只参与了三分之一的贸易，但它现在贡献了二分之一的紧张和能量。这是因为与V关联的边已拉伸为V替换的张力生成边的两倍长。3多种商品的交易网络当人们考虑涉及多种不同商品的交易网络时，市场的真正力量就会显现出来。将这样一个市场视为每个项目交易的不同市场的集合是错误的，因为一个项目的冲击可以通过另一个项目的交易来消散。这使得多项目网络比通过将注意力限制在单个项目上而获得的任何子网络都更有效。考虑图12所示的市场，这是一个同时种植玉米和小麦的农民市场。将市场视为一个玉米交易网络和一个单独的小麦交易网络表明，玉米网络的张力和能量为零，因此不会产生重大冲击，因为没有玉米在左右之间进行交易。但这是一种误导。如果左翼农民的玉米产量急剧下降，玉米价格就会上涨。

这将增加对左侧小麦的需求，使右侧小麦价格上涨，最终导致右侧玉米价格上涨。小麦贸易传递了玉米市场的冲击。然而，如果左右双方之间的贸易是一种与玉米关系不密切的商品，如铁矿石，那么市场在传达玉米网络中的冲击方面就没有那么有效了。这些考虑因素促使我们下一步做出选择。小麦玉米图12：小麦贸易可以携带有关玉米的信息，因此不应将贸易网络视为每个商品的两个不同贸易网络。我们将市场上交易的每个项目与单位向量τ相关联∈ 对于一些数字。我们将τ作为项目的类型向量。选择类型向量的方式应确保内积hτ，ηi能够捕捉向量τ，η所表示的项目之间的相关性。因此，两个完全不同的项用近正交向量hτ，ηi表示≈ 0-和两个在市场中的作用非常相似的项目由几乎相同的向量表示-hτ，ηi≈ 1、交易网络的每条边e对应一个项目，我们让τ（e）表示对应的类型向量。考虑到两个参与者可以交易多种类型的项目，我们允许边集E包含两个顶点u、v之间的多条边。我们开发的数学特征是，所有项目对之间的内积值是模型类型向量的唯一相关特征。例如，按相同的等级旋转所有类型向量将保留我们定义的所有数量，因为这样做不会改变任何内积。可以将代表市场中项目的向量视为模型的参数，或者使用交易网络本身来生成它们。

如果市场有n个参与者，且Edentes是交易项目z的边的子集，则将τ设为d=n维向量，使得τv=Pv∈e∈Ew（e）等于节点v参与的项目z的交易总量。然后，使用单位向量τ=τkτk表示项目z。两个主要由市场不相交部分交易的项目将对应于几乎正交的向量，两个通常由相同节点交易的项目将对应于具有较大内积的向量。两个可替代的项目可能会在市场中由相同的节点出售和交易，而两个彼此无关的项目可能会由不同的节点进行交易。这种选择符合我们的直觉，但可能并不总是理想的。人们可能需要结合使用数据驱动的方法和有关基础项的信息来提出这些向量。请注意，如果I类项目在市场上交易，则始终可以设置d≤ 一、 因为我们总是可以将类型向量投影到一个I维空间，同时保留内部空间。这些类型向量可以用于编码市场的地理信息，即使是在单品市场中。

如果我们想考虑到附近的项目可能更相关的事实，我们可以将每个边与单位向量相关联，单位向量与编码交易位置的向量成比例。小麦玉米（e） （a）如果白色节点位于该点(-1，0），灰色节点位于点（1，0），市场沿着小麦对应的方向经历一些张力，因为小麦的类型向量与冲击不正交。铁矿石玉米（e） （b）如果白色节点位于该点(-1，0），灰色节点位于点（1，0），市场没有紧张，因为铁矿石的类型向量与冲击是正交的。图13：对多项目网络的冲击，显示了选择不同类型向量的影响。产品。此外，通过Johnson-Lindenstrauss引理[JL84]，人们总是可以将类型向量投影到尺寸与对数I成比例的空间，同时在内积中引入微小误差。因此，我们可以确保d比n小得多。系统中的冲击是nd维向量x∈ Rnd，可以解释为维度d的n个向量。坐标xu∈ Rd对应于节点u对价值单位货币的所有项目金额的信念，内积hτ，xui对应于u对类型向量为τ的项目价值的信念。沿边e＝{u，v}的交易在v上产生规范化力W（e）·hτ（e），xu- xvi·τ（e）。边的能量为（1/2）·w（e）·hτ（e），xu- 十六。因此，如果xu- xvis与类型向量正交，则不会产生力，能量为0，因为双方就其交易项目的信念达成一致。

请注意，如果将类型向量替换为其求反，则这些量仍然是重要的。给定冲击x，我们将冲击张力定义为节点（x）=Xu感受到的所有力的大小之和∈五、X{u，v}∈e∈Ew（e）·hτ（e），xv- xui·τ（e）,其中，kyk=qPdj=1yjdenotes表示向量y的长度。图13a显示了当冲击沿着其中一个项目的方向，而另一个项目具有非正交的类型向量时，网络的张力。图13b显示了类型向量正交时的类似情况。我们将冲击能量定义为所有边上能量的总和：E（x）=（1/2）x{u，v}=E∈Ew（e）·hτ（e），xu- 十六。与单个项目的情况一样，能量梯度是每个节点保持网络到位所需的力的大小：(（E（x）））u=Xu∈e={u，v}w（e）·hτ（e），xu- xvi·τ（e），因此在每个节点上感受到的力的方向上调整信念是减少能量的最快方法。4严格定义市场联系在本节中，我们对贸易网络的张力和能量给出了数学定义，并展示了如何从数学上识别瓶颈。我们的目标是给出数字，以捕捉所有重大冲击的网络行为。为了便于理解，我们首先解释单个项目案例的定义，然后概括定义以处理多个项目。4.1单品市场根据定义，什么样的冲击应被视为重大冲击。网络中一个小的、完全断开连接的部分可以产生0张力/能量。假设网络由两个不相交的集合A、B组成，它们之间没有边，且A中所有边的权重之和为B中所有权重的和是w- . 如果 非常小，B连接良好，这应该被视为一个有效的市场。

但将A的所有节点放置在w- B的所有节点-给出E（x）=T（x）=0，即使考虑pu∈Vw（u）·xu=0。此类冲击过于关注网络中的小异常，不应被视为重大异常。观察如果每次冲击的输入都以相同的数字移动，则冲击的张力和能量保持不变。即，如果1表示所有1的向量，则对于每个数字γ，E（x）=E（x+γ1），T（x）=T（x+γ1）。记住这一点，可以方便地移动每个节点，使节点的平均置信度（由交易量加权）为0。对于任何冲击x，定义=x-聚氨酯∈Vw（u）·xuw·1。x是通过移动x获得的冲击，因此平均冲击值为0:Xu∈Vw（u）·xu=xu∈大众（u）·xu-徐∈Vw（u）·xu=0。对于任何节点u，xu是衡量节点u的信念与网络中平均信念的距离。为了避免对网络的小部分造成过大影响的冲击，我们为0≤ α≤ 1，为：Vα=（x：对于每个V∈ V、Xu∈Vw（u）·xu | w≥ α·| xv |）。重大冲击是指冲击的程度在节点之间传播良好的冲击，即冲击至少影响市场交易的α（加权）部分。我们的连通性度量应该是尺度不变的。人们总是可以通过将冲击波乘以标量来增加或减少能量和张力。为了忽略这些比例因子，我们测量了张力和能量与归一化因子的比率：定义3。贸易网络的α张力isTα=minx∈VαT（x）Pu∈大众（美国）·徐|。接下来，我们定义贸易网络的能量。在这种情况下，重大冲击由：Uα=（x：每v∈ V、Xu∈Vw（u）·xuw≥ α·xv）。定义4。

交易网络的α-能量isEα=minx∈UαE（x）Pu∈大众（u）·徐。对于张力和能量，归一化因子的选择和显著冲击的选择的差异可以通过它们确保的特性来解释。这些事实的证明是基本的，可以在附录A事实5中找到。1.≥ Tα≥ 0和1≥ Eα≥ 当网络连接良好时，这两个量都相对较大：网络的能量与谱图论中的电导概念密切相关。能量的表达式与图的归一化拉普拉斯函数的电导的表达式相同。事实6。对于每个α，n个节点上具有单位边权重的全连通网络的α=+2（n- 1） =Eα。当参与者人数为n=2时，事实6表明Tα=1=Eα。由于这组重大冲击只会随着α变小而变大，我们有：事实7。对于每个α≤ β、 Tα≤ Tβ，Eα≤ Eβ。虽然紧张和能量的一系列重大冲击是不同的，但它们密切相关：引理8。Uα Vα Uα。最后，我们有：事实9。Eα=0=> Tα=0=> Eα=0。设B是k个节点的子集。定义TB（x）为删除不接触B的网络边缘后的冲击张力。定义10。A（k，α，β）张力瓶颈是一组k节点B，使得存在avector x∈ T（x）>0和tb（x）T（x）的Vα≥ β。同样，让EB（x）表示由于接触集合B的所有边而产生的能量。定义11。A（k，α，β）能量瓶颈是一组k节点B，因此存在向量∈ E（x）>0且B（x）E（x）的Uα≥ β。当k较小且α、β相对较大时，A（k，α，β）瓶颈是效率的严重障碍。

直观地说，当网络有一个（k，α，β）瓶颈时，有一小组k节点B，当网络经历α级的大冲击时，它们负责网络张力/能量的异常大份额β。4.2有多个项目的市场在单个项目的情况下，我们定义：w（u）=Xe3uw（e），为所有接触u的边的总重量，w=Xu∈Vw（u）是每个节点的所有权重之和。我们需要一个技术引理，其证明推迟到附录a：引理12。对于每个冲击x，都有一个向量z∈ Rd这样Xu∈e∈Ew（e）hτ（e），xui·τ（e）=Xu∈e∈Ew（e）hτ（e），zi·τ（e）。设y为向量，对于每个u∈ V，yu=z，def=x- y、 这一定义的要点是，x的能量和张力与x的能量和张力保持完全相同，E（x）=E（x），T（x）=T（x），但x的加权平均信念为0:Xu∈e∈Ew（e）·hτ（e），xui·τ（e）=0，x仍然捕获x中描述的效率。为了确定α-张力，对于每个α>0，我们定义了一组重要冲击，以beVα=（x：对于每个v∈ V、Xu∈e∈Ew（e）·| hτ（e），xui | w≥ α·kxvk）。定义13。对于α>0，贸易网络的α-张力isTα=minx∈VαT（x）2·Pu∈e∈Ew（e）·| hτ（e），xui |。对于能量，我们使用以下集合定义重大冲击：Uα=（x：对于每v∈ V、Xu∈e∈Ew（e）·hτ（e），xuiw≥ α·kxvk）。定义14。对于α>0，贸易网络的α-能量isEα=minx∈UαE（x）Pu∈e∈Ew（e）·hτ（e），xui。如果τ（e）是每个边e的相同向量，则这些定义与针对单个项目情况定义的定义相同。为了理解这些定义，我们证明了几个事实，这些事实的证据可在附录A中找到。继续与单一项目市场的情况进行类比，我们有：事实15。1.≥ Tα≥ 0和1≥ Eα≥ 0、事实16。

对于任何类型向量的选择，如果网络有n个节点，使得每个节点以单位速率与其他节点进行交易，则我们有Tα≥α、 Eα=+2（n-1） 。注意，当参与者人数为n=2时，事实16表明Eα=1。对于largen来说，这个完全连接的网络的能量接近1/2。相比之下，紧张程度实际上很小。在附录B中，我们给出了一个例子，表明在张力接近α/2的情况下，可以有完全连接的网络。由于这组重大冲击只会随着α变小而变大，因此我们有：事实17。对于每个α≤ β、 Tα≤ Tβ和Eα≤ Eβ。引理18。Uα Vα 最后，我们有：事实19。Eα=0=> Tα=0=> Eα=0。鉴于我们已经做出的更改，捕获瓶颈的定义与单个项目案例中的相应定义是相同的。定义TB（x）为删除不接触B的网络边缘后的冲击张力。定义20。A（k，α，β）张力瓶颈是一组k节点B，使得存在avector x∈ T（x）>0和tb（x）T（x）的Vα≥ β。同样，让EB（x）表示由于接触集合B的所有边而产生的能量。定义21。A（k，α，β）能量瓶颈是一组k节点B，因此存在向量∈ E（x）>0且B（x）E（x）的Uα≥ β。当k较小且α、β相对较大时，A（k，α，β）瓶颈是效率的严重障碍。直观地说，当网络有一个（k，α，β）瓶颈时，有一小组k节点B，当网络经历α级的大冲击时，它们负责网络张力/能量的异常大份额β。5讨论和未来工作这项工作的主要贡献是定义了贸易网络和紧张、能源和瓶颈的概念，这使得市场效率理论不受联合假设问题的影响。

贸易网络提供了从可观察数据到市场效率等概念的桥梁，而无需对价格的演变或正确性做出任何假设。交易网络对市场参与者可见的信息和参与者能够采取行动的信息进行编码。市场效率取决于谁知道什么，而不是每个人都知道什么，而贸易网络的概念提供了关于谁知道什么的指标。我们相信，我们理论中的数学对于衡量效率是有用的，因为单项情况类似于用于模拟物理中类似概念的方程。实验证明，这些方程准确地描述了电气网络、弹簧网络和热扩散。也就是说，只有通过实际数据的实验，才能知道我们在张力、能量和瓶颈公式中所做的选择是否有充分的依据。实验有助于验证模型，或发现表明模型存在缺陷的问题。收集数据来估计贸易网络将非常有用。找到基于抽样的技术来估计网络的能量/张力，并使用它们来计算我们在这项工作中定义的统计数据，这将非常有用。我们能否对贸易网络的少量数据进行采样，并使用它来计算张力和能量，并找出瓶颈？有几种方法可以扩展我们的模型，我们认为这些方法可能会富有成效：o可以研究贸易网络随时间的演变。一个高效的市场应该有一个快速发展的贸易网络，交易员交换贸易伙伴，以利用新信息和更好的价格。如果节点不切换交易伙伴以响应SOCK，这就是一种效率。

人们可以寻找一种模型，该模型使用数据严格捕捉这种市场效率人们可以研究贸易率与价格之间的关系。如果节点不经常与合作伙伴合作，为其提供最优惠的价格，那么市场很可能会变得效率低下。同样，它仍然可以严格定义这种效率。6感谢Paul Beame、Morgan Dixon、Abe Friesen、Shayan Oveis Gharan、Kevin Miniter、ShayMoran、Alex Ja ffe、Anna Karlin、Kayur Patel、Sivaramakrishnan Natarajan Ramamoorthy、DarcyRao、Tim Roughgarden、Brad Wagenaar、Alex White和Amir Yehudayo ffe提出的有用意见。感谢Kayur Patel提出的许多建议，改进了本文中的图表。参考文献[DeG74]达成共识。《美国统计协会杂志》，69:118–121，1974年。埃里克·巴尔楚纳斯。ETF股票的交易量超过了美国GDP。彭博市场，2015年7月。贝拉·博洛巴斯。现代图论。斯普林格，1998年。[CRS08]Tarun Chordia、Richard Roll和Avanidhar Subrahmanyam。流动性和市场效率。《金融经济学杂志》，87:249–2682008年2月。[楚96]范忠。谱图论，数学区域会议系列第92卷。AMS，1996年。[Fam70]Eugene F.Fama。有效的资本市场。《金融杂志》，25（2）：383–4171970。[Fam91]Eugene F.Fama。有效的资本市场：二。《金融杂志》，46（5）：1575–16171991。Joseph Farrell和Paul Klemperer。协调和锁定：与切换成本和网络效应的竞争。《产业组织手册》第31章，1967-2072页。Elsevier，2007年。尼尔·弗利格斯坦和亚当·戈尔茨坦。对抵押贷款证券化危机的剖析。《组织社会学研究》，30A:29–702010。尼尔·弗利格斯坦和亚历山大·F·罗赫卡斯。2007年至2009年金融危机中的欺诈原因。

抵押贷款支持证券行业的证据。《美国社会学评论》，81（4）：617–64320016。弗里德里希·哈耶克。在社会中使用知识。《美国经济评论》，35（4）：519–5301945。托马斯·A·埃里奥尼莫斯。期货交易经济学。1977年。【Jac10】马修·O·杰克逊。社会和经济网络。普林斯顿大学出版社，2010年。W.B.Johnson和J.Lindenstrauss。lipschitz映射在hilbertspace中的推广。现代分析与概率会议，26:189–206，1984年。Graciela L.Kaminsky、Carmen M.Reinhart和Carlos A.V'egh。金融传染的邪恶三位一体。《经济展望杂志》，17:51–74，2003年秋季。【Mal03】伯顿·G·马尔基尔。有效市场假说及其批评者。《经济展望杂志》，17（1）：59–822003年。德文·G·蒲柏和贾斯汀·R·西德诺。行为经济学：经济学作为一门心理学学科。《威利·布莱克威尔判断和决策手册》第28章。2015年【Spi】丹·斯皮尔曼。谱图论课程笔记。http://www.cs.yale.edu/homes/spielman/561/.A事实5的技术证明。这种紧张局势显然不是消极的。我们有：T（x）=T（x）=Xu∈五、十五∈Vw（{u，v}）·（xu- 十五）≤徐∈VXv∈Vw（{u，v}）·（| xu |+| xv |）=2Xu∈Vw（u）·| xu |，证明Tα≤ 1，对于x∈ Vα，因为这样的x必须有2Pu∈Vw（u）·| xu |>0。同样，能量显然是非负的。我们有E（x）=E（x）=（1/2）x{u，v}∈Ew（{u，v}）·xu- 十五|≤X{u，v}∈Ew（{u，v}）·（| xu |+| xv |）自2a+2b以来≥ （a+b）对于所有a，b=Xu∈Vw（u）·| xu |，证明Eα≤ 1，对于x∈ Uα。事实证明6。对于任何冲击x∈ Vα，我们有T（x）=T（x）=Xu∈五、十五∈V（xu- 十五）=徐∈五、n·xu-十五∈Vxv=徐∈Vn·| xu |。

根据xThus的定义，我们有tα=minx∈VαT（x）Pu∈V（n- 1） | xu |=n2（n- 1） =+2（n- 1） 。对于任何x∈ Uα，我们有E（x）=E（x）=（1/2）x{U，v}∈E（xu- xv）=（1/2）X{u，v}∈Exu+xv- 2xuxv=（1/2）Xu∈V（n- 1） 徐- 2X{u，v}∈Exuxv。既然puxu=0，我们就得到了每个u的Pu6=vxv=-徐。SoE（x）=（1/2）Xu∈V（n- 1） 徐- 2Xu∈Vxu(-xu）=（1/2）xu∈V（n- 1） xu+2Xu∈Vxu=（1/2）Xu∈V（n+1）xu。ThusEα=最小值∈UαPu∈五（n+1）徐浦∈V（n- 1） xu=n+12（n- 1） =+2（n- 1） 。引理8的证明。假设x∈ Vα。那么我们有α·| xv |≤徐∈Vw（u）·xu | w≤sXu∈Vw（u）w·sXu∈Vw（u）w·xuby柯西-施瓦茨不等式=sXu∈大众（u）w·xu，证明xu∈Vw（u）·xuw≥ α·xv和so x∈ Uα。对于另一个容器，假设x∈ Uα和xvi是具有最大震级的坐标。然后每v∈ V，α·| xv |≤ α·| xv |=α·| xv | xv|≤|十五|徐∈Vw（u）·xuwsince x∈ Uα=| xv | Xu∈Vw（u）·xuw·xv≤ |十五|徐∈Vw（u）·| xu·| w·| xv |自| xu | | xv|≤ 1=Xu∈Vw（u）·| xu | w，so x∈ Vα。事实证明9。假设x∈ Uα是E（x）=0的冲击。然后通过引理8，x∈ Vα。此外，对于网络中的每一条边{u，v}，我们有xu=xv，否则能量是正的。所以我们必须让T（x）=0，证明Tα=0。假设x∈ Vα和T（x）=0。然后通过引理8，x∈ Uα。Let f（t）∈ Rnbe是节点在冲击tx期间感受到的力的向量。然后我们看到，当冲击为x时，f（t）是力的向量的t倍，因此每t f（t）=0。由于该向量是能量attx的梯度，我们必须有E（1·x）=E（0·x）=0。引理12的证明。这个证明需要一些关于正半限定矩阵的知识。将τ（e）视为d维列向量，并考虑d×d矩阵Xu=Xu∈e∈Ew（e）·τ（e）τ（e）|。我们有AZ=Xu∈e∈Ew（e）hτ（e），zi·τ（e）和A是正半定义，因为对于每个z，我们有z | Az=Xu∈e∈Ew（e）·hτ（e），zi≥ 因此有一个正交基e，e，Ed对于空间Rd和非负数γ。

，γdsuch thatA=dXi=1γi·eieii |。此外，每种类型的向量都包含在γi>0的向量范围ei中，因为例如，如果某条边的τ（e）不包含在该范围内，那么我们可以表示τ（e）=a+b，其中a在范围内，b 6=0与之正交。那么我们有0=b | dXi=1γi·eiei |！b=b | Ab=Xu∈e∈Ew（e）τ（e），b≥ w（e）hτ（e），bi=w（e）·kbk>0，这是一个矛盾。因此，对于q=Pu∈e∈Ew（e）·hτ（e），xui·τ（e），我们可以设置z=Xi：γi>0（1/γi）hq，eii·ei，然后我们得到xu∈e∈Ew（e）hτ（e），zi·τ（e）=Az=dXi=1hq，eii·ei=q，根据需要。事实证明15。这种紧张局势显然不是消极的。我们有：T（x）=T（x）=Xu∈五、X{u，v}=e∈Ew（e）·hτ（e），xv- xui·τ（e）≤徐∈VX{u，v}=e∈Ew（e）·khτ（e），xv- xui·τ（e）k≤徐∈VX{u，v}=e∈Ew（e）·（| hτ（e），xvi |+| hτ（e），xui |）=2Xu∈e∈Ew（e）·| hτ（e），xui |，证明Tα≤ 1，对于x∈ Vα。同样，能量显然是非负的。我们有E（x）=E（x）=（1/2）x{u，v}=E∈Ew（e）·hτ（e），xu- 十六≤X{u，v}=e∈Ew（e）·（hτ（e），xui+hτ（e），xvi）自a+b≥ （a+b）/2表示所有a，b=Xu∈e∈Ew（e）·hτ（e），xui，证明eα≤ 1，对于x∈ Uα。事实证明16。设I表示项集，τ（I）表示项I的类型向量。然后对于任何冲击x∈ Vα，我们有T（x）=T（x）=Xu∈五、十五∈五、 我∈Ihτ（i），xv- xui·τ（i）=徐∈五、（n）- 1） Xi∈Ihτ（i），xui·τ（i）-十五∈五、 我∈Ihτ（i），xvi·τ（i）=徐∈五、（n）- 1） Xi∈Ihτ（i），xui·τ（i）.

通过定义xTo界这个表达式，我们使用了两次Cauchy-Schwartz不等式：（n- 1） 徐∈五、xi∈Ihτ（i），xui·τ（i）≥ （n）- 1） 徐∈五、Pi∈Ihτ（i），xui·τ（i），xukxukby Cauchy Schwartz≥ （n）- 1） 徐∈五、 我∈Ihτ（i），xuikxuk。从x开始∈ Vα，我们有≥ （n）- 1） 徐∈五、 我∈Ihτ（i），xui·αn | i | Pu∈五、 我∈I | hτ（I），xui |自x∈ Vα≥ （n）- （1）聚氨酯∈五、 我∈I | hτ（I），xui|n | I |·αn | I | Pu∈五、 我∈I | hτ（I），xui |由Cauchy-Schwartz=α（n- 1） 徐∈五、 我∈I | hτ（I），xui |。所以我们得到α=minx∈VαT（x）Pu∈五、 我∈I（n）- 1） | hτ（i），xui|≥α。类似地，对于任何冲击x，我们都有∈ Uα，E（x）=E（x）=（1/2）Xu6=v，i∈Ihτ（i），xu- xvi=（1/2）Xu6=v，i∈Ihτ（i），xui+hτ（i），xvi- 2 hτ（i），xuihτ（i），xvi=（1/2）Xu，i∈I（n- 1） hτ（i），xui-徐∈u、 我∈Ihτ（i），xui·*τ（i），Xv6=uxv+。（2） 现在，根据x的定义，0=Xu∈五、 我∈Ihτ（i），xuiτ（i）=Xi∈I*τ（I），Xu∈Vxu+·τ（i），so0=*Xi∈I*τ（I），Xu∈Vxu+·τ（i），Xu∈Vxu+=Xi∈I*τ（I），Xu∈Vxu+，证明了对于每个i，τ（i），Pu∈Vxu= 0，和dτ（i），Pv6=VxvE=-hτ（i），xui。回到（2），我们有e（x）=（1/2）Xu，i∈I（n- 1） hτ（i），xui-徐∈u、 我∈Ihτ（i），xui*τ（i），Xv6=uxv+=（1/2）Xu，i∈I（n- 1） hτ（i），xui+Xu∈u、 我∈Ihτ（i），xui=（1/2）Xu，i∈I（n+1）hτ（I），xui。这证明了eα=minx∈UαE（x）Pu∈五、 我∈I（n- 1） hτ（i），xui=n+12（n- 1） =+2（n- 1） 。引理18的证明。如果x∈ Uα，设vbe为最大化kxvk的节点。然后是everyv∈ V，α·kxvk≤α·kxvkkxvk≤徐∈e∈Ew（e）·hτ（e），xuiw·kxvk=kxvkXu∈e∈Ew（e）·hτ（e），xuiw·kxvk≤ kxvkXu∈e∈Ew（e）·| hτ（e），xui | w·kxvk=Xu∈e∈Ew（e）·| hτ（e），xui | w，so x∈ Vα。如果x∈ Vα，那么对于每个V∈ V，α·kxvk≤徐∈e∈Ew（e）·| hτ（e），xui | w≤sXu∈e∈Ew（e）w·vuutXu∈e∈Ew（e）·hτ（e），xuiwby Cauchy-Schwartz不等式=vuutXu∈e∈Ew（e）·hτ（e），xuiw，证明x∈ Uα。事实证明19。假设x∈ Uα是E（x）=0的冲击。然后通过引理18，x∈ Vα。此外，对于网络中的每条边e={u，v}，我们有hτ（e），xu- xvi=0，否则能量将为正。

所以我们必须让T（x）=0，证明Tα=0。假设x∈ Vα和T（x）=0。然后通过引理18，x∈ Uα。Let f（t）∈ Rnbe是节点在冲击tx期间感受到的力的向量。然后我们看到，当冲击为x时，f（t）是力的向量的t倍，因此每t f（t）=0。由于该向量是能量attx的梯度，我们必须有E（1·x）=E（0·x）=0。B匹配事实16的示例（e）(,p1级 （2）(,p1级 2） 图14：即使是有两个参与者的完全连接的网络也有Tα=α。在这里，我们证明了一个完全连通的网络，其张力与α成正比，与事实证明的下限16匹配，直到因子2。类似的想法可以用来给出一个渐进匹配事实16给出的边界的大型网络。考虑图14所示的网络，它只有两个参与者，1、2。假设函数具有类型向量τ（1）=（α，√1.- α） ，第二个具有类型向量τ（2）=(-α，√1.- α） ，两者的权重均为1。如果我们设置x=（1，0）和x=(-1，0），我们得到x是一个显著的冲击，x=x。事实上，kxk，kxk≤ 1，andXi=1,2Xu=1,2 | hτ（i），xui |=4α=αw，so x∈ Uα。但是冲击的张力是：T（x）=Xi=1,2hτ（i），x- xiτ（i）+Xi=1,2hτ（i），x- xiτ（i）= 2.Xi=1,2hτ（i），x- xiτ（i）= 2.2α·（α，p1- α）- 2α·(-α、 p1级- α）= 8α，我们得到Tα≤T（x）Pi=1,2Pu=1,2 | hτ（i），xui |=8α8α=α。