最后，附录中给出了大偏差理论的背景和主要结果的证明。注释和准备工作。具有到期时间t和行使时间K且连续平均的亚洲看涨期权和看跌期权的价格由风险中性中的预期给出。我们注意到，文献中使用多种方法研究了CEV模型下普通期权的短期到期渐近性，请参见[40、42、14]。4 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUmeasureC（T）：=e-rTE“TZTStdt- K+#,（6） P（T）：=e-rTE“K-TZTStdt+#,（7） 其中，C（T）和P（T）强调对成熟度T的依赖性。我们将风险中性度量中的平均资产价格预期表示为（8）A（T）：=TZTE[St]dt=S（r-q） T型e（r-q） T型- 1.,对于r- q 6=0和A（T）：=稳定部队- q=0，当K>A（T）时，亚式看涨期权不含货币和C（T）→ 0作为T→ 当A（T）>K时，看跌期权不含货币和P（T）→ 0作为T→ 看涨期权和看跌亚式期权的价格通过看跌期权平价关联为（9）C（K，T）- P（K，T）=e-rT（A（T）- K） 。作为T→ 0，我们有A（T）=S+O（T）。因此，对于小型到期制度，当且仅当K>Setc时，callAsian期权已失效。就短期到期限制而言，如果K>S（K<S），则称看涨期权为货币外期权（分别为货币内期权），如果K<S（分别为K>S），则称看跌期权为货币外期权（分别为货币内期权），最后称其为货币内期权（K=S.2）。平方根模型中的短期亚洲期权在本节中，我们假设资产价值St遵循平方根过程：（10）dSt=（r-q） Stdt+σpStdWt，S>0，wt是从零开始的标准布朗运动，时间为零W=0。我们得到以下结果。定理1。

P（TRTStdt∈ ·) 满足率函数（11）I（x，S）=supθ的大偏差原则∈R{θx- ∧（θ）}，其中（12）∧（θ）：=limT→0T对数EheθTRTStdti=√2θσtanσ√2θSif 0≤ θ<π2σ-√-2θσtanhσ√-2θSifθ≤ 0个+∞ 否则事实上，定理1中的速率函数有一个更明确的表达式。连同我们在第3节中证明的定理1和引理4，我们得到了以下结果。提案2。假设平方根模型：β=。CEV车型5（i）的亚洲选项用于K≤ S、 看跌期权为OTM，P（T）=e-TI（K，S）+o（1/T），作为T→ 0，其中（13）I（K，S）=Sσxcosh（x）sinh（2x）2x- 1.,其中x是方程（14）2 cosh（x）的解1+信噪比（2x）2x=堪萨斯州。（ii）对于K≥ S、 看涨期权为OTM，C（T）=e-TI（K，S）+o（1/T），作为T→ 0，其中（15）I（K，S）=Sσxcos（x）1.-sin（2x）2x,其中0≤ x个≤π由方程（16）2 cos（x）的解给出1+正弦（2x）2x=堪萨斯州。我们还可以研究速率函数的小/大走向渐近性。提案3。（i） 平方根模型β=is（17）limK的OTM亚式看涨期权K>Sin率函数的大走向渐近性→∞I（K，S）K=π2σ。（二）小罢工K→ 0平方根模型中OTM亚洲看跌期权K<的速率函数的渐近性β=is（18）I（K，S）~S2σK，作为K→ 0.2.1。ATM点周围速率函数的扩展。我们还给出了在x=log（K/S）幂级数中平方根模型（β=）中亚式期权的利率函数的展开。前几项为（19）I（K，S）=Sσx+x+x+O（x）.这给出了ATM点x=0附近的速率函数的近似值。使用命题2中的表达式，对平方根模型中的速率函数I（K，S）进行了数值计算。我们在图1中显示了该函数与K/S（左）和x=log（K/S）（右）的关系图。

我们还在右图中显示了通过保持级数展开式（19）中的前三项获得的速率函数近似值，这在ATM点x=0.3附近提供了良好的近似值。CEV模型中的亚洲期权CEV模型由风险中性度量（20）dSt=（r-q） Stdt+σSβtdWt，当S>0.6时，DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu很容易检查以下引理是否成立。引理4。对于亚洲OTM看涨期权，即K>S，我们有≤ β<1（21）极限→0T对数C（T）=极限→0T日志PTZTStdt≥ K.对于亚洲OTM看跌期权，即K≤ S、 我们有≤ β<1（22）极限→0T对数P（T）=极限→0T日志PTZTStdt≤ K.利用这个结果，我们可以证明CEV模型（4）中OTM亚洲期权的短期到期渐近性。定理5。CEV模型（4）中OTM亚式期权的短期到期渐近性≤ β<1由（23）limT给出→0T日志C（T）=-I（K，S），其中速率函数由一个变分问题的解给出，具体如下。（i） 对于OTM亚洲看涨期权K>Swe have（24）i（K，S）=infg（t）dt≥K、 g（0）=S，g（t）≥0,0≤t型≤1Z（g（t））σg（t）2βdt，K>S.（ii）对于OTM亚洲看跌期权，K<Swe有（25）I（K，S）=infg（t）dt≤K、 g（0）=S，g（t）≥0,0≤t型≤1Z（g（t））σg（t）2βdt，K<S.3.1。在货币亚洲期权。让我们考虑ATM的情况，即K=S>0。对于这种情况，我们得到以下结果。定理6。作为T→ 0，我们在CEV模型中有≤ β<1（26）C（T）=σSβ√T√6π+O（T），P（T）=σSβ√T√6π+O（T）。0.51 1.52 2.5 3 3.54123450K/S0-2-101212345对数（K/S）0图1。β=的速率函数I（K，S）以S/σvs K（左）和vs log（K/S）（右）（实心黑色曲线）为单位，泰勒展开式（55）保持前三项（蓝色虚线）。CEV 73.2型的亚洲选项。CEV模型中亚式期权的短到期渐近变分问题。

定理5将ECV模型中亚式期权的利率函数I（K，S）作为变分问题给出。对于OTM亚洲看涨期权K>S，该变量问题为（27）I（K，S）=infg2σZ（g（t））g（t）2βdt，其中函数g（t）是可微分的，且满足g（0）=S，g（t）>0，0≤ t型≤ 1，在约束（28）Zg（t）dt下取最大值≥ K同样，对于K<S的OTM亚式看跌期权，利率函数I（K，S）由不等式约束的变分问题（27）给出≤ K、 将IK（K，S）定义为变分问题（27）的解，通过将不等式（28）替换为等式获得。证明的策略是证明IK（K，S）是K>Sand的增函数，因此变分不等式的解由I（K，S）=IK（K，S）给出。对于K<，Swe将表明IK（K，S）是K<S的递减函数，因此变分不等式的解由i（K，S）=IK（K，S）给出。接下来，我们给出等式约束为trg（t）dt=K的变分问题（27）的解。这由以下结果给出。提案7。等式约束的变分问题（27）的解由（29）IK（K，S）给出=S2（1-β） 2σa（+）（x）b（+）（x）K≤ S、 S2（1-β） 2σa(-)（x） b类(-)（x） K级≥ S、 这两种情况如下：（i）K≤ S、 0<x≤ 1是方程（30）KS=x+b（+）（x）a（+）（x）的解，其中a（+）（x）=2x-β（1- x） F级β、 ，；；1.-x个,（31）b（+）（x）=x-β（1- x） F级β、 ，；；1.-x个.（32）参数z=1-超几何函数f（a，b；c；z）的xof为负。（ii）K≥ S

x个≥ 1是方程（33）的解KS=x-b类(-)（x） a(-)（x） ，8 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUwitha(-)（x） =2倍-β（x- 1） F级β、 ，；；1.-x个,（34）b(-)（x） =x-β（x- 1） F级β、 ，；；1.-x个.（35）参数z=1-超几何函数f（a，b；c；z）的xof为正。下面的结果给出了IK（K，S）解的另一种形式，它提供了关于该函数在K中的连续性和单调性的额外信息。提案8。（i） 函数IK（K，S）是为K>Sby（36）IK（K，S）=infД>K/S[G(-)（Д）]Д-KS，带G(-)（Д）=S1-βσZДZ-β√^1- zdz（37）=S1-βσД-β（Д）- 1） 3/2楼, β、 ；；1.-^1.（ii）函数IK（K，S）是针对K<Sby（38）IK（K，S）=inf0<χ<K/S[G（+）（χ）]KS给出的- χ、 带G（+）（χ）=S1-βσZχZ-β√z- χdz（39）=S1-βσχ-β（1- χ） 3/2楼, β、 ；；1.-χ.从命题8的表示可以看出，IK（K，S）是K的连续函数。我们还得到了该函数的单调性，这意味着与定理5给出的速率函数I（K，S）的关系。推论9。函数IK（K，S）关于走向K具有以下单调性：（i）对于K>S，函数IK（K，S）是K的增函数。（ii）对于K<S，函数IK（K，S）是K的减函数。（iii）速率函数i（K，S）由（40）i（K，S）=IK（K，S）给出。备注10。对于β=，命题7的结果恢复了命题2的结果。在这种情况下，超几何函数可以用初等函数表示。对于K<Swe的CEV模型9（i），亚洲期权需要a（+）（x），b（+）（x）表示x实数和负值。

我们有z∈ R+F,;; -z=ARCINH公司√z√z、 （41）F,;; -z= -ARCINH公司√zz3/2+√1+zz。（42）方程式（30）读数为（43）KS=x+√1.- 萨尔辛√1.-x个√x、 表示x→Coshx此方程与（14）相同。速率函数（29）为（44）I（K，S）=Sσ-萨尔辛√1.- x个√x个+√1.- 萨尔辛√1.- x个√x个.再次在此替换x→coshx这与平方根模型中K<的速率函数的结果（13）相同。（ii）使用正参数F的超几何函数表达式，K>也有类似的论点,;; z=Arcin公司√z√z、 （45）F,;; z=Arcin公司√zz3/2-√1.- zz。（46）备注11。对于β→ 1，命题7的结果恢复了[47]命题12中Black-Scholes模型的速率函数。（i） 对于K<，我们需要a（+）（x），b（+）（x）表示x∈ （0，1）。我们有forz=x- 1.∈ R+F1.-z=阿尔茨坦√z√z、 （47）F1.-z=z- 3arctan公司√zz3/2。（48）方程式（30）读数为（49）KS=px（1- x） arctanp1/x- 1、识别arctanp1/x- 1=ξ这再现了[47]（50）中的公式（33）KS=2ξsin（2ξ）。当用ξ（51）I（K，S）=σ2ξ（tanξ）表示时，速率函数（29）变为- ξ） ，10 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu再现了[47]中关于BSM模型中K<的速率函数的结果公式（31）。（ii）使用正变元x的超几何函数表达式，K>也有类似的变元≥ 1F层1.z=阿尔茨坦√z√z、 z=1-x、 （52）F1.z= -z3/2(√z- 阿尔茨坦√z） 。（53）识别^β=arctanhq1-我们得到了速率函数（54）I（K，S）=σ^β-^βtanh（^β/2）,式中，^β是方程ks=^βsinh（2^β）的解。这些结果与[47]中命题12的结果相同。3.3。ATM点周围速率函数的扩展。使用与[47]中命题14的证明相同的方法，可以对任意β展开x=log（K/S）的幂级数中的速率函数。

前几项为i（K，S）=S2（1-β） σx个+-+（1）- β）x（55）+-（1）- β） +（1- β）x+O（x）.对于β=这减少到方程（19）中平方根模型中速率函数的展开。3.4。速率函数的渐近性。接下来，我们讨论了非常小/大罢工K的CEV模型中比率函数I（K，S）的渐近性。这是由以下结果给出的，它将命题3的结果推广到一般情况≤ β<1。命题12（大罢工渐近）。我们有，对于β∈ [，1），（56）I（K，S）~S2（1-β） 2σπΓ（1- β） （3）- 2β）Γ（3/2- β）3.- 2β2（1- β） 堪萨斯州2（1-β） ，作为K→ ∞,式中，Γ（·）是伽马函数。对于β=这再现了命题3的结果（i）。（57）I（K，S）~πK2σ，单位为K→ ∞.命题13（小罢工渐近）。K→ 0β的速率函数的渐近性∈ （，1）由（58）limK给出→0KSI（K，S）=2S2（1-β） σ（3- 2β）。CEV 11型β的亚洲选项→, 这再现了命题3（59）limK的结果（ii）→0KSI（K，S）=2S2（1-β） σ（3- 2β）→S2σ，4。浮动行使亚洲期权我们在本节中考虑了浮动行使亚洲期权的短期到期渐近性。浮动罢工亚洲看涨期权/看跌期权的价格由风险中性预期SCF（T）：=e给出-rTE“κST-TZTStdt+#,（60）Pf（T）：=e-rTE“TZTStdt- κST+#.（61）首先，与引理4类似，我们有：（i）对于亚洲OTM看涨期权，即κ<1，我们有≤ β<1（62）极限→0T对数Cf（T）=极限→0T日志PTZTStdt≤ κST.（ii）对于亚洲OTM看跌期权，即κ>1，我们有≤ β<1（63）极限→0T对数Pf（T）=极限→0T日志PTZTStdt≥ κST.我们首先考虑平方根模型：（64）dSt=（r-q） Stdt+σpStdWt，S>0，wt是从零开始的标准布朗运动。0 0.51 1.52 2.5 30.511.5200K/硅（K，S）0β=1/2β=5/6β=2/3图2。

速率函数I（K，S）/（S2（1-β） β=（黑色）、β=（蓝色）和β=（红色）的CEV模型中的亚洲期权的/σ）与K/SFO。12 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu定理14。对于β=，PTRTStdt- κST∈ ·如果（x）：=supθ，则使用速率函数（65）满足大偏差原则∈R{θx- ∧f（θ）}其中∧f（θ）由∧f（θ）给出：=limT→0T对数EheθTRTStdti（66）=√2θσtanσ√2θ+tan-1.-σκqθSif 0≤ θ<θc-√-2θσtanhσ√-2θ+tanh-1.-σκq-θSifθ≤ 0个+∞ 否则其中θcis为方程（67）rσθc+tan的唯一正解-1.-σκrθc=π。从（62）和（63）可以看出，对于κ<1，看涨期权为OTM，Cf（T）=e-TIf（κ，S）+o（1/T），如T→ 0，对于κ>1，看跌期权为OTM，Pf（T）=e-TIf（κ，S）+o（1/T），如T→ 0，其中（68）If（κ，S）=If（0）=supθ∈R{-∧f（θ）}。平方根模型的If（κ，S）定理14的结果可以转化为更明确的形式，asIf（κ，S）=SσJf（κ），（69），其中Jf（κ）由以下公式给出：（i）对于κ≥ 1Jf（κ）=2zκz- tan z1+κz tan z，（70），其中z是方程1+κz+（1）的解- κz）sin 2z2z=2κcosz。（71）解被定义为符号，但这种模糊性与计算jf（κ）无关。（ii）对于κ≤ 1Jf（κ）=2zκz- tanh z1- κz tanh z，（72），其中z是方程1的解- κz+（1+κz）sinh 2z2z=2κcoshz。（73）平方根模型β=的速率函数Jf（κ，S）如图3所示（solidblack曲线）。这与命题2（虚线曲线）给出的CEV模型13期权的固定走向亚洲人期权的利率函数I（κ）进行了比较。在Black-Scholes模型中，它们是相等的【47】，这源自固定/浮动行使亚洲期权的等价关系【41】。

这些关系并不适用于Black-Scholes模型，因此相应的速率函数是不同的。浮动打击率函数在ATM点κ=1Jf（κ）=logκ附近具有扩展性-logκ+logκ+O（logκ）。（74）这是通过将方程（71）、（73）的解以z的幂展开，并将结果插入（70）和（72）中获得的。图3显示了通过保持此展开式中的前三项获得的速率函数Jf（κ）的近似值，即固蓝曲线。对于具有≤ β<1，根据定理5的证明，我们得到如下结果：定理15。CEV模型（4）中OTM浮动式亚式期权的短期到期渐近性≤ β<1由（i）给出，对于κ<1，OTM的短期成熟度渐近线为（75）limT→0T日志Cf（T）=-If（κ，S），其中（76）If（κ，S）=infg（t）dt≤κg（1），g（0）=S，g（t）≥0,0≤t型≤1Z（g（t））σg（t）2βdt。0.51 1.52 2.5 30.20.40.60.811.21.40κJf（）κ图3。平方根模型中的浮动期权的比率函数Jf（κ）vsκ，β=（黑色实心曲线）。蓝色实心曲线显示了通过保持展开式中的First3项获得的该函数的近似值（74）。这与命题2.14 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHU（ii）给出的同一模型（dashedcurve）的固定三次利率函数I（Sκ，S）（以S/σ为单位）进行了比较，对于κ>1，OTM浮动亚洲看跌期权的短期成熟度渐近性（77）limT→0T对数Pf（T）=-If（κ，S），其中（78）If（κ，S）=infg（t）dt≥κg（1），g（0）=S，g（t）≥0,0≤t型≤1Z（g（t））σg（t）2βdt。让我们考虑ATM的情况，即κ=1。对于这种情况，我们得到以下结果。该证明与定理6的证明非常相似，因此在此省略。定理16。作为T→ 0，我们在CEV模型中有≤ β<1，（79）Cf（T）=σSβ√T√6π+O（T），Pf（T）=σSβ√T√6π+O（T）。5.

本节对本文得到的CEV模型中的亚式期权的短期到期渐近结果进行了一些数值检验。在[47]之后，我们将使用亚式期权定价公式SCampt（K，T）=e-rT（A（T）N（d）- KN（d）），（80）Pasympt（K，T）=e-rT（KN(-d）- A（T）N(-d） ），（81）其中A（T）是平均资产价格的预期，（82）A（T）=S（r-q） T（e（r-q） T型- 1） ，和（83）d1,2=∑LN√TlogA（T）K±∑LNT.亚洲期权的等效对数正态波动率由（84）∑LN（K，S）=log（K/S）2I（K，S）定义，其中I（K，S）是利率函数，在（29）中给出了一般CEV模型，在命题2中给出了平方根模型β。如[47]的命题18所示，近似（80）、（81）与命题2给出的平方根模型β=、定理5给出的一般CEV模型具有相同的短成熟度渐近。5.1。CEV模型中亚洲期权的等效对数正态波动率。通过将（55）代入定义（84），可以获得等效对数正态波动率∑LN（K，S）的级数展开式，其幂为log strikex=log（K/S）。这是∑LN（K，S）=σ√Sβ-1.1个++（β- （1）x（85）+-+（β- 1） +（β- （1）x+O（x）.CEV模型15的亚洲期权对于ATM亚洲期权K=S，等效对数正态波动率为（86）∑LN（S，S）=σ√Sβ-1、对于平方根模型β=等效对数正态波动率的ATM偏斜和凸性为-和-ATM等值波动率。Weshow在图4中显示了∑LN/σvs x=log（K/S）的曲线图，该曲线图是使用方程（84）为平方根模型β=。图4中的曲线图与赫斯顿模型中已实现方差期权的隐含效用形状基本一致，这在数学上等同于平方根模型中的亚洲期权。参见【21】中的图5（右）。

如文献[21]所述，隐含波动率的向下倾斜形状是赫斯顿模型的不足之处，因为观察到的股票市场中方差期权的微笑正在上升。参考文献[21]提出了一种替代模型，即3/2随机波动率模型[12，13]，该模型具有方差期权的上坡微笑。从展开式（85）可以得到ATM倾斜和凸度与β参数的依赖关系。对于β=ATM偏斜为负；随着β的增加，ATMskew增加，在β=处穿过零并变为正。ATM凸性对于≤ β<1，因此等效对数正态波动率微笑略微凹陷。5.2。数字场景。对于Dassios和Nagardjasarma[18]提出的7种情景，我们将在平方根模型β=中对亚式期权定价进行下一步数值测试。我们还比较了Foschi、Pagliarani、Pascucci【32】（表示为FPP3）的三阶近似值，如【32】表5所示。结果如表1所示。我们注意到，渐近结果与FPP3的相对值的一致性总是优于1%-1.5-1-0.5 0 0.51 1.50.10.20.30.40.50.60.70.80β=1/2β=5/6β=2/30x=对数（K/S）∑ln图4。小到期等价对数正态波动率∑LN（K，S）/（σSβ-1） 在CEV模型中，β=（蓝色）、β=（黑色）和β=（红色）的亚洲期权的vs x=对数（K/S）。16 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUTable 1。Dassios和Nagardjasarma考虑的7种情景下，平方根模型β=中亚洲期权的短期到期渐近公式的比较【18】。

将结果与thoseof【18】（DN）和Foschi、Pagliarani、Pascucci【32】（表示为asFPP3）的结果进行比较。案例SK rσT Casympt（K，T）DN FPP31 2 0.01 0.14 1 0.055474 0.0197 0.0555622 2 0.18 0.42 1 0.216013 0.2189 0.2178743 2 0.0125 0.35 2 0.170568 0.1725 0.1709264 1.9 2 0.05 0.69 1 0.189863 0.1902 0.1908345 2 0.05 0.72 1 0.250113 NA 0.251216 2 0.05 0.72 1 0.307731 0.3098 0.3087157 2 0.05 0.71 2 0.350516 0.3339 0.353197表2。【18】和【32】中提出的情景的数值测试。案例σT Casympt（K，T）DN FPP31 0.71 0.1 0.075354 0.0751 0.0753872 0.71 0.5 0.172813 0.1725 0.1731753 0.71 1.0 0 0.247200 0.2468 0.2480164 0.71 2.0 0.350516 0.3339 0.3531975 0.71 5.0 0.536611 0.3733 0.5457146 0.1 0.061310 0.0484 0.0614397 0.1.0.0.120226 0.1207 0.1206808 0.5 1.0 0.181983 0.1827 0.1827239 0.7 1.0 0.243926 0.2446 0.244913如果我们确定等效对数正态挥发分Yas（87）∑LN（K，S）=log（K/A（T））2I（K，A（T））。然而，I（K，S）中的总因子必须仍然是S，而不是A（T），这是很罕见的。因此，我们不使用此近似值。通过这一选择，与FPP3的一致性相对值提高到0.1%以上。DN【18】提出的第二组方案如表2所示。共有9种情景，其中S=K=2，r=0.05，q=0，β=。与[18]和[32]的结果（本参考文献中的表6）相比，渐近结果如表2所示。由于它们是ALLTM情景，渐近公式的使用非常简单，并简化为方程（86）的使用。除了theT=5Y的情况外，渐近结果与FPP3的一致性也很好。在所有这些情况下（T=5Y除外），它们之间的差异相对值小于1%。对于小于1年的到期日，差异始终低于相对值的0.5%。CEV 175.3型的亚洲选项。

浮动行使亚洲期权。我们还讨论了浮动罢工亚洲期权的定价。可将其视为基础BT的看涨期权：=κST-位于。该资产的远期价格为FF（T）：=E【BT】=SκE（r-q） T型-e（r-q） T型- 1（右-q） T！。（88）对于κ≥ 0，则基础BTtakes值位于整个实轴上。因此，阿布拉克·斯科尔斯对该资产的表述不合适。我们建议使用Bachelier（normal）近似值来近似浮动行使亚洲期权的价格。这些期权近似为资产BT的零执行看跌期权和赎回期权，其价格为Cf（κ，T）=e-rT公司Ff（T）Φ（d）+√2π∑N√T e公司-d,（89）Pf（κ，T）=e-rT公司-Ff（T）Φ(-d）+√2π∑N√T e公司-d,d=Ff（T）∑N√T、 等效正态波动率∑N（κ，T）是通过要求浮动走线亚洲期权的小成熟度渐近与BacelieRexpression的小成熟度渐近匹配来规定的。这是由以下结果得出的。提案17。平方根模型β=中等效正常波动率的短期到期限制由以下公式给出：（i）对于OTM浮动行使亚洲期权，κ6=1limT→0∑N（κ，T）=σ2S（κ- 1） Jf（κ），（90），其中Jf（κ）由（69）给出。（ii）对于ATM浮动期权，亚洲期权κ=1limT→0∑N（κ，T）=σrS.（91）证明。该证明类似于[47]中命题18的证明，将被省略。平方根模型中的浮动行权亚洲期权定价已在[34]中考虑。本文研究了带支付的期权定价问题(-ST+AT- K） +同时使用离散时间和连续时间监控，K同时为正和负。我们将把K=0的结果与连续时间平均值进行比较，连续时间平均值在我们的符号中对应于κ=1的浮动行使亚洲看跌期权。【34】中使用的模型参数为S=1、r=0.04、σ=0.7，期权到期日为T=1。本文表3中K=0的报价为Cf（1，T）=0.14376。

交感式（89）给出Cf（1，T）=0.14524，这与[34]的结果（1%相对差异）相当一致。18 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHU6。附录：证明6.1。大偏差理论背景。我们首先给出大偏差原则的正式定义。关于大偏差理论及其应用的一般背景，我们参考Dembo和Zeitouni【19】。定义18（大偏差原则）。A序列（P)∈拓扑空间X上概率测度的R+满足率函数I:X的大偏差原理→ Rif I是非负的，下半连续的，对于任何可测集A，我们有（92）- infx公司∈AoI（x）≤ lim inf→0 日志P（A）≤ lim sup公司→0 日志P（A）≤ - infx公司∈AI（x）。这里，AO是A的内部，A是它的闭包。收缩原理在我们的证明中起着关键作用。为方便读者，我们将结果陈述如下：定理19（收缩原理，例如定理4.2.1。[19]）。如果P用速率函数I（X）和F:X满足X上的大偏差原理→ Y是连续映射，则概率度量Q:= PF-1用速率函数（93）J（Y）=infx:F（x）=yI（x）满足Y的大偏差原则。在本文的证明中，我们将使用G¨artner-Ellis定理的以下版本。定理20（G¨artner-Ellis定理，例如定理[19]）。让Z是R上的随机变量序列。假设极限∧（θ）：=lim 对数E[EθZ] 存在于扩展实线和集合D的内部：={θ：λ（θ）<∞} 包含0，并且∧（θ）对于D和∧（θ）|内部的任何θ都是不同的→ ∞ 当θ接近d的边界时。然后P（Z∈ ·) 用速率函数I（x）：=supθ满足大偏差原则∈R{θx- ∧（θ）}。6.2。第2节中结果的证明。定理1的证明。

对于任何θ∈ R、 u（t，x）=E[EθRtSsds | S=x]满足PDE：（94）ut=（r-q） x个ux+σxux+θxu（t，x），带u（0，x）≡ 该有效PDE具有解u（t，x）=eA（t）x+B（t），其中（t）=（r-q） A（t）+σA（t）+θ，（95）B（t）=0，（96），其中A（0）=B（0）=0，因此B（t）=0，对于θ>0，则为（97）p2σθ-（r）- q） 棕褐色-1r级-q+σAp2σθ-（r）- q） 哦！A=A（t）A=0=t，CEV模型19的亚洲选项，因此（98）A（t；θ）=p2σθ-（r）- q） σtan“p2σθ-（r）- q） t+棕褐色-1r级-qp2σθ-（r）- q） 哦#-r-qσ。对于θ<0完全负，（99）σq（r-q） σ-2θσ对数r-qσ-q（r-q） σ-2θσ+Ar-qσ+q（r-q） σ-2θσ+AA=A（t）A=0=t，thusA（t；θ）=et√（r）-q）-2θσ- 1r级-qσ-r（r-q） σ-2θσ-et公司√（r）-q）-2θσr-qσ+r（r-q） σ-2θσ（100）=2θσ（et√（r）-q）-2θσ- 1） r-qσ（1- et公司√（r）-q）-2θσ）+q（r-q） σ-2θσ（et√（r）-q）-2θσ+1）。现在让我们研究一下T→ 0限制。我们注意到，对于任何大于0的非常小的T，对于0，我们有（101）EheθTRTStdti=eA（T；θT）S≤ θ<π2σ，（102）极限→0吨ATθT=r2θσtanrσθ，这个极限是∞ 如果θ≥π2σ。对于θ<0，（103）limT→0吨ATθT=-√-2θσeσ√-2θ- 1eσ√-2θ+1=-√-2θσtanhσ√-2θ.因此，（104）∧（θ）：=limT→0T对数EheθTRTStdti=√2θσtanσ√2θSif 0≤ θ<π2σ-√-2θσtanhσ√-2θSifθ≤ 0个+∞ 否则对于0<θ<π2σ且θ<0，∧（θ）是可微的，并且很容易检查∧（θ）在θ=0时是可微的。最后，对于0<θ<π2σ，我们可以计算（105）∧（θ）θ=√σ2√θtanσ√2θS+√2θσ√√θ秒σ√2θS→ +∞,asθ↑π2σ。因此，我们证明了本质光滑条件。结论来自G¨artner-Ellis定理，见附录中的定理20。20 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu证明命题2。结果来自定理1和加特纳-埃利斯定理。根据这一结果，通过累积量函数（106）I（K，S）=supθ的勒让德变换给出了速率函数∈R{θK- ∧（θ）}，其中累积量函数∧（θ）由定理1给出。（i） K级≥ S、 此大小写对应于0≤ θ≤π2σ。

累积量函数∧（θ）由（107）∧（θ）=Sσ给出√2θσtanrσθ=SσF+（θσ）。其中，我们定义了F+（y）：=√2y tanqy。（106）中θ的最佳值由方程（108）K=SF+（θ）的解给出*σ） ，其中（109）F+（y）=2 cospy/21+正弦√2年√2年.数值计算表明，F+（y）：[0，∞) → [1，∞) 是一个双射映射，这样这个方程将有一个K>S的解。确定（110）x=rθ*σ、 很容易看出θ的方程*与（16）相同。速率函数的结果isI（K，S）=θ*K- ∧（θ）*) =Sσθ*σKS- F+（θ*σ）（111）=Sσ2x2 COXX1+正弦2x2x- 2x棕色x=Sσxcosx1.-sin（2x）2x,从而得出方程（15）。（ii）K≤ S、 这种情况对应于θ≤ 累积量函数∧（θ）为（112）∧（θ）=-Sσp-2θσtanhr-θσ=SσF-（θσ），其中我们引入了F-（y） ：=-√-2y tanhq公司-y、 这与前一种情况下显示为F的函数有关-（iy）=F+（y）。最佳θ由方程（113）KS=F的解给出-（θ*σ） ，CEV车型21的亚洲选项，其中（114）F-（y） =2个coshq-y1+新罕布什尔州√-2年√-2年.数值计算得出F-（y） :(-∞, 0]→ （0，1）是一个双射函数，因此该方程将有K<S的解。确定（115）x=r-θ*σ。我们看到等式（113）再现了（14）。速率函数isI（K，S）=θ的结果*K- ∧（θ）*) =Sσθ*σKS- F-（θ*σ）（116）=Sσ-2x2 coshx1+sinh 2x2x+ 2x棕色x= -Sσxcoshx1.-sinh（2x）2x,这给出了等式（13）的结果。命题3的证明。（i） 这是从关系式（117）i（K，S）=sup0开始获得的≤θ<π2σ（θK-√2θσtanσ√2θS） 。一方面，I（K，S）≤ sup0≤θ<π2σθK=π2σK。另一方面，对于任何 > 0，对于足够大的K，（118）I（K，S）=supπ2σ-≤θ<π2σ（θK-√2θσtanσ√2θS）≥π2σ- K- ∧π2σ- .因此，lim infK→∞I（K，S）K≥π2σ- .

因为它适用于任何 > 0，我们得出结论，关系式（17）成立。（ii）这是从关系式（119）I（K，S）=supθ开始获得的≤0Kθ+√-2θσtanhσ√-2θS.在最优性下，我们有（120）K=√2σ√-θtanhσ√-2θS+h1- tanh公司σ√-2θ是请注意，函数tanh x以x的指数速度接近1→ ∞. 因此，θ~ -S2σKas K→ 0，结果（18）如下。22 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHU6.3。第3节中结果的证明。引理4的证明。我们将证明亚洲看涨期权的结果。亚洲看跌期权的情况非常相似。请注意，根据H¨older不等式，对于anyp+p=1，p，p>1和p≥ 2，C（T）=e-rTE公司TZTStdt- KTRTStdt公司≥K（121）≤ e-rTE“TZTStdt- Kp#！聚丙烯TZTStdt≥ Kp≤ e-rTp-1便士Kp公司+ETZTSptdt1/页TZTStdt≥ Kp、 在最后一步中，我们使用Jensen不等式来写“TZTStdt- Kp#≤ E“TZTStdt+Kp#（122）≤ 2p级-1E“TZTStdtp+Kp#≤ 2p级-1E级TZTSptdt+ Kp公司.第二个不等式指出，对于p≥ 2，x→ xp是x的凸函数≥ 0，由Jensen不等式得出x+yp≤xp+yp对于任何x，y≥ 0、本文件“TZTStdt- Kp#≤ E“TZTStdt+Kp#（123）≤ 2p级-1“E”TZTStdtp#+Kp#。最后一个不等式来自Jensen不等式，它给出了p≥ 2E[（TRTStdt）p]≤ E【TRTSptdt】。对于任何p≥ 2，（124）TZTE【Spt】dt=O（1），因为对于CEV过程，所有这些力矩都是有限的，表现良好→ 0.Stin在该模型中的边缘分布已知[44]，上述表达式可以显式计算。因此，我们有（125）个lim supT→0T日志C（T）≤ lim支持→0pT日志PTZTStdt≥ K.因为它适用于任何2>p>1，所以我们有上限。CEV模型23的亚式期权接下来，我们推导出C（T）上的匹配下界。

对于任何 > 0，C（T）≥ e-rTE公司TZTStdt- KTRTStdt公司≥K级+（126）≥ e-rT公司PTZTStdt≥ K+,这意味着（127）lim infT→0T日志C（T）≥ lim信息→0T日志PTZTStdt≥ K+.因为它适用于任何 > 0，我们通过让 → 0，前提是限制I（K，S）：=-限制→0T日志PTRTStdt≥ K存在并在K中连续。K中的连续性可以从命题8中的表达式中看出。定理5的证明。我们把证据分成几个步骤。第1步。我们需要证明（128）limT→0T日志PTZTStdt≥ K= 限制→0T日志PTZT^Stdt≥ K,其中（129）d^St=σ^SβtdWt，其中^S=S。也就是说，对于小时间大偏差，漂移项可以忽略不计。让usnow证明（128）。注意，（130）St=Se（r-q） t+RtσSβsdWs-σRtS2βsds=e（r-q） t▄St，其中（131）d▄St=σ▄Sβte-（r）-q） βtdWt，~S=S>0。通过时间变化dτ（t）=e-2（右-q） βtdt，τ（0）=0，~St=^Sτ（t），其中^S在（129）中定义。因此，limT→0T日志PTZTStdt≥ K（132）=极限→0T日志PTZTe（右-q） t^Sτ（t）dt≥ K= 限制→0T对数PTZτ（T）e（r-q） （1）-2β）τ-1（t）^Stdt≥ K很容易检查τ（T）T→ 1作为T→ 0和限制→0输入0≤t型≤Te（r-q） （1）-2β）τ-1（t）=极限→0sup0≤t型≤Te（r-q） （1）-2β）τ-1（t）=1。因此，（128）如下。第2步。现在假设r=q=0，因此（133）dSt=σSβtdWt，S>0。因此，对于0≤ t型≤ 1，（134）dStT=σSβtTdWtT=√TσSβtTd（WtT/√T）=√TσSβtTdBt，24 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu，其中Bt：=WtT/√根据布朗运动的标度性质，T是标准布朗运动。因此，通过让T=,（135）极限→0T日志PZStTdt≥ K= lim公司→0 日志PZS公司tdt公司≥ K,其中（136）dSt型=√σ（St） βdBt，带S= S> 0。第3步。我们需要证明（137）lim→0 日志PZS公司tdt公司≥ K= limδ→0lim→0 日志PZS公司tdt公司≥ K、 St型≥ δ、 0个≤ t型≤ 1..注意，条件OFRtdt公司≥ K、 发生的事件t型≥ δ、 0个≤ t型≤ 1是典型事件，而t型≤ δ约为0≤ t型≤ 1是一个罕见的事件。

因此，对于su ficientlysmallδ>0，（138）PZS公司tdt公司≥ K≤ 2P级ZS公司tdt公司≥ K、 St型≥ δ、 0个≤ t型≤ 1..另一方面，对于任何δ>0，（139）PZS公司tdt公司≥ K≥ PZS公司tdt公司≥ K、 St型≥ δ、 0个≤ t型≤ 1.,这意味着，对于任何δ>0的情况。（140）lim→0 日志PZS公司tdt公司≥ K≥ lim公司→0 日志PZS公司tdt公司≥ K、 St型≥ δ、 0个≤ t型≤ 1..因此，（137）来自（138）和（140）。第4步。定义（141）dS,δt=bδ（S,δt）dt+√σ（S,δt）βdBt，S,δ=S，其中，对于任意x>δ，bδ（x）=0，也是局部Lipschitz连续且bδ（0）>0。Morever，S 7→ Sβ是指数H¨older连续≥对于β<1，在∞. 动力学（141）满足假设A1.1。在Baldi和Caramellino【7】。很容易看出（142）PZS公司tdt公司≥ K、 St型≥ δ、 0个≤ t型≤ 1.= PZS公司,δtdt≥ K、 S,δt≥ δ、 0个≤ t型≤ 1..根据Baldi和Caramellino[7]中的定理1.2，可以得出P（S,δ∈ ·) 满足CS（[0，1]）上的大偏差原则，连续函数的空间从具有一致拓扑的序列开始，速率函数为（g（t）-bδ（g（t）））σg（t）2βdt，了解速率函数为+∞ 如果g不可微。此外，地图g 7→ （Rg（t）dt，g）从CS[0，1]到R+×CS[0，1]是连续的。CEV模型25的亚洲期权根据收缩原理，见附录中的定理19，我们有→0 日志PZS公司tdt公司≥ K、 S,δt≥ δ、 0个≤ t型≤ 1.（143）=- 信息（t）dt≥K、 g（0）=S，g（t）≥δ、 0个≤t型≤1Z（克（吨）- bδ（g（t）））σg（t）2βdt=- 信息（t）dt≥K、 g（0）=S，g（t）≥δ、 0个≤t型≤1Z（g（t））σg（t）2βdt。因此，lim→0 日志PZS公司tdt公司≥ K（144）=limδ→0lim→0 日志PZS公司tdt公司≥ K、 St型≥ δ、 0个≤ t型≤ 1.= - 信息（t）dt≥K、 g（0）=S，g（t）≥0,0≤t型≤1Z（g（t））σg（t）2βdt。定理6的证明。我们只会在这里证明看涨期权的情况。看跌期权的证明非常相似，因此省略了。

作为T→ 0，（145）C（T）=e-rTE“TZTStdt- K+#= E“TZTStdt- K+#+ O（T），我们证明了（146）E“TZTStdt- K+#= E“TZτ（T）E（r-q） （1）-2β）τ-1（t）^Stdt- K！+#，其中，d^St=σ^Sβtdwt和^S=S。很容易证明E“TZτ（T）E（r-q） （1）-2β）τ-1（t）^Stdt- K+#- E“TZτ（T）^Stdt- K+#（147）≤ E“TZτ（T）| E（r-q） （1）-2β）τ-1（t）- 1 | Stdt#=STZτ（T）| e（r-q） （1）-2β）τ-1（t）- 1 | dt=O（T）。此外，我们可以证明E“TZT^Stdt- K+#- E“TZτ（T）^Stdt- K+#（148）≤ ETZTτ（T）^Stdt= ST | T- τ（T）|=O（T）。26 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUNext，设dXt=σSβdw和X=S，即Xt=S+σSβWt。通过It^o公式并取期望值，我们得到- Xt）=σZtE（^SβS- Sβ）ds（149）≤ 2σ中兴通讯[（^SβS- Xβs）]ds+2σZtE[（Xβs- Sβ）]ds。对于任何x>0，y≥ 0和≤ β<1，我们有| xβ- yβ|≤ |x个- y | xβ-1，参见例如Lemma2.2。在蔡和王[10]中。因此，（150）2σZtE[（Xβs- Sβ）]ds≤ 2σS2（β-1） 中兴通讯[（Xs- S） ]ds=σS2（β-1） σS2βt。此外，对于S>δ>0,2σZtE[（^SβS- Xβs）]ds（151）=2σZtE[（^sβs- Xβs）Xs≥δ] ds+2σ中兴通讯[（^SβS- Xβs）Xs<δ]ds。一方面，（152）2σ中兴通讯[（^SβS- Xβs）Xs≥δ] ds公司≤ 2σδ2（β-1） 中兴通讯[（^Ss- Xs）]ds。另一方面，2σZtE[（^SβS- Xβs）Xs<δ]ds（153）≤ 2σZtqE[（^SβS- Xβs）]pP（Xs<δ）ds≤ 2σ最大值0≤s≤tpP（Xs<δ）ZtqE[（^SβS- Xβs）]ds。注意，（154）ZtqE[（^SβS- Xβs）]ds≤Ztq4E[^S4βs+X4βs]ds，由于^Stis是一个CEV过程和Xtisa布朗运动，我们可以显式地计算E[^S4βs]和E[X4βs]。因此，很容易检查RTQE[（^SβS- Xβs）]ds=O（T）。此外，（155）2σmax0≤s≤tpP（Xs<δ）=2σΦδ- SσSβ√t！，式中Φ（x）：=√2πRx-∞e-伊迪。因此，通过Gronwall不等式，我们得出结论，（156）E[（^ST- XT）]=O（T）。CEV型号27的亚洲选项请注意- XT是鞅。利用Doob鞅不等式，（157）E最大值0≤t型≤T |^St- Xt公司|≤ CqE[（^ST- XT）]=O（T）。因此，我们得出结论C（T）=E“TZTXtdt- S+#+ O（T）（158）=E“σSβTZTWtdt+#+ O（T）=σSβ√T√E[Z1Z>0]+O（T），其中Z~ N（0，1）。

最后，我们可以计算出（159）E[Z1Z>0]=√2πZ∞xe公司-xdx公司=√2π。因此，我们证明了预期的结果。命题7的证明。我们将把IK（K，S）定义为变分问题（27）的解，通过用等式约束Trg（t）dt=K替换不等式（28）得到。这是通过考虑辅助泛函（160）∧[g]：=2σZ（g（t））g（t）2βdt的变分问题来解决的- λZg（t）dt- K,其中λ是拉格朗日乘数。该变分问题的解满足Euler-Lagrange方程（161）g（t）=β[g（t）]g（t）- λσ（g（t））2β，初始条件g（0）=砂横截性条件g（1）=0。该方程可以通过变量（162）g（t）=S（y（t））1的变化来简化-β。用y（t）表示，欧拉-拉格朗日方程（161）变为（163）y（t）=C（y（t））β1-β、 带C：=-λσ（1-β） S2β-解y（t）满足初始条件y（0）=1和横向条件y（1）=0。速率函数用该解表示为（164）IK（K，S）=S2-2β2σ（1- β） Z[y（t）]dt。constraintRg（t）dt=K读取（165）Z（y（t））1-βdt=KS。28 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu微分方程（163）被称为Emden-Fowler方程。指数γ：=β1-β满意度γ≥ 1对于此处考虑的情况β∈ [，1）。通过注意数量守恒（166）E：=[y（t）]- C（1-β） （y（t））γ+1。考虑到边界条件y（1）=0，我们得到关系式（167）[y（t）]=2C（1- β）[y（t）]γ+1- yγ+1,其中，我们表示y：=y（1）。我们区分了两种情况：1。C>0。这对应于y（t）<0和y（1）<y（0）=1。从（165）我们得到，这对应于K<S.2。C<0。这对应于y（t）>0和y（1）>y（0）=1。从（165）我们得到，这对应于K>S。我们分别考虑这两种情况。案例1。C>0。

我们可以用关系式（168）1=Zdt=Zy（0）ydyy=p2C（1）来表示C的阴项- β） Zydyqyγ+1- yγ+1。根据yas（169）C=2（1），此关系可用于消除C- β） [A（+）（y）]，其中我们定义了函数（+）（x）：=Zxdypyγ+1- xγ+1（170）=2xγ+1√1.- xγ+1xγ+1Fγγ+1，；；1.-xγ+1, 0<x≤ 1.可以使用（167）将约束（165）等效为（171）KS=Z[y（t）]γ+1dt=[y]γ+1+2C（1- β） Z[y（t）]dy。积分可以用变量asZdy[y（t）]=Zy（1）y（0）ydy=p2C（1）的变化来表示- β） Zy（1）qyγ+1- yγ+1dy（172）=A（+）（y（1））B（+）（y（1）），其中我们定义B（+）（x）：=Zxpyγ+1- xγ+1dy（173）=2x3（γ+1）（1- xγ+1）3/2xγ+1Fγγ+1，；；1.-xγ+1, 0<x≤ 1.CEV模型29的亚洲期权积分（172）与比率函数表达式（164）中出现的积分相同。综上所述，由（174）IK（K，S）=S2（1）给出的K<Sis的速率函数IK（K，S）-β） 2σ（1- β） A（+）（y）B（+）（y），其中y<1是方程（175）KS=yγ+1+B（+）（y）A（+）（y）的解。案例2。C<0。

我们可以用关系式（176）1=Zdt=Zy（1）y（0）dyy=p用C表示y（1）-2C（1- β） Zydyqyγ+1- yγ+1。我们可以用这个关系来消除-根据yas（177），C>0- C=2（1- β） [答(-)（y） ]中定义了功能(-)（x） ：=Zxdypxγ+1- yγ+1（178）=2xγ+1√xγ+1- 1xγ+1Fγγ+1，；；1.-xγ+1, x个≥ 1.可以使用（167）将约束（165）等效为（179）KS=Z[y（t）]γ+1dt=yγ+1+2C（1- β） Z[y（t）]dy。积分可以通过变量asZ[y（t）]dy=Zy（1）y（0）ydy=p的变化来书写-2C（1- β） Zyqyγ+1- yγ+1dy（180）=A(-)（y） B类(-)（y） ，我们定义B(-)（x） ：=Zxpxγ+1- yγ+1dy（181）=2x3（γ+1）（xγ+1- 1） 3/2xγ+1Fγγ+1，；；1.-xγ+1, x个≥ 1.这也给出了（164）中速率函数表达式中出现的积分。综上所述，由（182）IK（K，S）=S2（1）得出的K>Sis的速率函数IK（K，S）-β） 2σ（1- β） A(-)（y） B类(-)（y） ，30 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu，其中y>1是方程（183）KS=yγ+1的解-B类(-)（y） A(-)（y） 。根据超几何函数F（A，B；c；z），以闭合形式对积分A（±）（x）、B（±）（x）进行了评估，定义为（184）F（A，B；c；z）=Γ（c）Γ（B）Γ（c- b） Ztb公司-1（1- t） c类-b-1（1- tz）adt。通过改变变量yγ+1=z并引入函数a（±）（z）：=（1），可以简化结果- β） A（±）（y）和b（±）（z）：=（1- β） B（±）（y）。命题8的证明。

（i） Д的极值条件为（185）Д*-KS=克(-)（^1）*)F级(-)（^1）*),式中（186）F(-)（Д）：=2ddДG(-)（Д）=S1-βσZИdzzβ√^1- z、 方程式（185）与y的方程式（183）相同，表示*= yγ+1。将（185）代入（36），我们得到（187）IK（K，S）=F(-)（^1）*)G级(-)（^1）*) .该结果与（182）中的识别结果相同*= yγ+1。（ii）χ的极值条件为（188）KS- χ*=G（+）（χ*)F（+）（χ*),式中（189）F（+）（χ）：=-2ddχG（+）（χ）=S1-βσZχdzzβ√z- χ。方程（188）与方程（175）中的y相同，表示χ*= yγ+1。将（188）代入（38），我们得到（190）IK（K，S）=F（+）（χ*)G（+）（χ*) .该结果与（174）中的识别χ相同*= yγ+1。推论9的证明。（i） 引理29在[47]中。这个引理的技术条件要求G(-)（Д）是一个递增函数，且[G(-)（Д）]的超线性生长为Д→ ∞. 第一个条件满足G的导数(-)（Д）由（186）给出，这是一个正函数。CEV车型31的亚洲选项第二个技术条件也已满足，如下所示。利用超几何函数（191）F的渐近性, β、 ；；1.-^1=Γ（）Γ（1- β） Γ(- β） +O（Д）-1） ，作为^1→ ∞.我们得到（192）[G(-)（^1）]~（^1）- 1） Д2β，如Д→ ∞.如果β<1，这确实是超线性增长。（ii）遵循[47]中引理30。这需要以下两个技术条件：G（+）（χ）是一个递减函数，并且在下二进制χ=0时未达到（38）中的最大值。