澳元往往与新西兰元挂钩，但流动性更强。因此，它可能提供有关贸易抵达的有用信息。过去的持续时间被发现是一些高频金融应用的重要预测因素（例如，Engle和Russell，1998）。然而，书籍信息似乎有更大的影响。在下一节中，仅使用表1中变量的线性模型也将用于比较，并将被称为受限线性模型。4.3.1样本外绩效在第一天对模型进行了估计，有兴趣了解该模型是否可用于解释样本外的交易到达。这是通过计算平均对数似然比（g，g′）/S和σS来完成的/√第二天（见提案1）。然后可以使用命题1构建置信区间。目标是评估线性和立方模型以及受限模型（表1中有变量的模型）的样本外性能。验证将注意力限制在线性模型上是否会产生类似的样本外结果是很有意义的。当与恒定强度（续）进行比较时，该常数被计算为样本外最大似然估计量，即事后最佳常数强度。表2显示，所有模型都在具有压倒性证据的恒定强度上有所改善。当查看无限制模型的相对优点时，立方模型是否会在样本之外增加价值就变得不清楚了。从受限线性模型相对于非受限线性模型来看，有大量证据表明，非受限线性模型更可取。有趣的是，在比较受限模型时，有压倒性的证据表明立方模型确实比线性模型有所改进。

从这些结果可以推断，在研究小尺寸模型时，建模非线性确实会产生效果。然而，当模型是线性的，但有许多协变量时，账面和交易变量的非线性影响不太明显。第5节的模拟结果支持这一说法。表2：模型的样本外性能：g与g′，其中g和g′在以下标题中定义。林vs.康斯特。立方vs.常数。买入卖出买入卖出。记录LR。×103.77 4.48 4.02 4.56S。E、 ×100.33 0.25 0.31 0.26P-Val。<0.01<0.01<0.01<0.01立方vs.LinearBuy SellAvg。记录LR。×100.25 0.08S。E、 ×100.08 0.07P-Val。<0.01 0.22Lin。限制。vs.Const。林氏硬度。vs.Lin.买入卖出买入卖出。记录LR。×101.14 1.24-2.63-3.25S。E、 ×100.15 0.14 0.20 0.19P-Val<0.01<0.01<0.01<0.01<0.01立方限制。vs.Lin.Rest。买入卖出。记录LR。×100.26 0.25S。E、 ×100.10 0.06P-Val。<0.01<0.015数值示例如第1.2节所述，{∧（（Ti-1，Ti））：i∈ N} （如（1）中的∧）是i.i.d.指数分布，平均值为1。为简单起见，在模拟中，假设协变量仅在跳跃时间Ti’s处更新。因此，区间（Ti-1，Ti]是根据参数exp{g（X（Ti））的指数分布模拟的-1） ）}，即具有平均exp{-g（X（Ti-1） ）}。协变量是标准高斯随机变量，Toeplitz协方差Cov（Xk（t），Xl（t））=ρ| k-l |且随时间不相关。变量的绝对值被限制为2，即它们取[-2，2]。模拟中的参数为K∈ {10，50}协变量数，T=T（recallN（Tn）=n）样本量，ρ∈ {0，0.75}。考虑了g和Θ的不同选择。总结如下。为了简化估计，Θ是一组有限的函数。5.1真未知模型g我们描述了真函数g的各种选项。

真函数g的形式为g（x）=PKk=1g（k）（x），其中函数g（k）定义如下。真加法函数。线性：g（k）（x）=b0kxk；非线性：g（k）（x）=b0k（| xk |+0.5xk）。活动变量。当k=1时，b0k=1；当k>3时，b0k=0；ManySmallb0k=1/√10代表k≤ 10，当k>10时，b0k=0。即使没有模型错误，研究人员也不知道这些值。5.2 L（B，Θ，W）中的估计量这里我们定义了研究人员使用的参数空间L（B，Θ，W）。进行估算时考虑到模型的错误说明。因此，根据设计，功能的选择不需要对应于真正的功能g（k）（第5.1节）。估计模型的形式为g（x）=PKk=1Pθ∈920kbθ（x）。关于Θ和bθ估计的详细信息如下。Θ中的函数。线性（Lin）：θ（x）=xkforθ∈ Θk；单项式（Poly）：θ（x）=（xk/2）aforθ∈ Θk，a=1、2、3。默认情况下，会在估计中添加一个常量。当真函数为线性时（即，g（k）（x）=b0kxk），则不存在误判错误。然而，仍然需要对系数进行估计，其中许多系数可能为零。当真函数为非线性时，即使使用多项式（Poly）进行估计，也会产生误判错误。然而，在这种情况下，误判的程度很小。选择“B”和“W”参数“B”被选为“B”∈ {1、4、8、16}最大化第3.7节中定义的ICT。在这种情况下，样本量相对较小，AIC和交叉验证的性能（忽略许多变量）相似。因此，出于计算方便，最好使用AICTis。我们应用了第3.5节中的算法，F=ln（N（T）/T），而不是F=0。在这种情况下，EFI是Pλ的估计量，即预期强度。

主要原因是为了减少对不同功能和模拟设计的可能B值集的微调。模拟设计是这样的：随着活动变量数量的增加，Pλ增加，结果是B。如第4.2节所示，选择W中的权重作为样本Lnorm。注意，nowinsorization应用于变量，因为它们已经有界了。5.3模拟结果考虑以下损失函数来评估模型fit，损失（g）：=\'t+ST[g（X（t））- g（X（t））]dN（t）'t+ST[g（X（t））- γ] dN（t）（16），其中γ：=\'t+STg（X（t））dN（t）N（t+S）-N（T）。该损失函数正好指出，当S较大时，损失（g） |g级- g |λ/hinfγ>0 | g- γ|λi。因此，损失中的分子是定理1收敛准则的近似值，而分母是γ产生的误差，这是事后发现的最佳常数近似值。标准化确保损耗（g）∈ [0，1）如果g超过γ，如果没有损失（g）≥ 损失分母是此处进行的有限样本实验的基准。在模拟中，为采样周期[0，T]生成数据，并在[0，T]上估计模型，在[T，T]上评估样本外性能。因此，在损耗中，T=Tand S=T-T、 表3报告了损失的主题（gT）（损失）以及75%和25%分位数。总的来说，真实模型（线性或凸）和基函数的不同选择允许我们衡量估计器的主要特征。表3中的结果总结如下。当真实模型为非线性时，使用非线性模型有明显的优势，但当真实模型为线性时，也会有相当大的损失（主要是由于估计误差）。对于多项式等非线性估计器，明智地选择W来消除高阶系数的影响可以使估计器更加稳健。

目前对W的选择相当于通过变量的Lnorm来标准化变量。这很简单，但如果多项式的阶数不像这里那么小，可能会导致较大的振荡。在处理多项式时，W的选择是建模和估计过程的一个重要部分。变量相关性的增加会产生更好的预测。这与可变筛选的问题形成了对比。作者的数值实验（此处未报告）以及文献中的相关结果（如Bradic et al.，2011）表明，在这种情况下，主动变量的错误发现随着相关性的增加而显著增加。这是很自然的，相关性混淆了每个变量的优点。预测和变量筛选是相关但互补的问题，需要单独处理。表3：后见之明与最佳恒定强度相关的模拟结果。估计基于对应于N（T）=100个跳跃次数的Sizet样本。该表报告了中位数（Med.）以及损失×100的25（Q25%）和75（Q75%）分位数（损失如（16）所示）。一个低于100的数字意味着后见之明的最佳恒定强度的相对改善。损耗×100损耗×100Med。Q25%Q75%Med。

Q25%Q75%ρ=0ρ=0.75gis线性FEWLAGE K=10Lin 3.70 2.37 5.72 1.69 1.11 2.61多边形5.54 3.60 8.10 2.76 1.85 4.19gis线性FEWLAGE K=50Lin 6.83 4.92 9.41 3.64 2.34 5.26多边形10.61 8.01 13.66 4.30 2.82 6.65gis线性ManySmall K=10Lin 13.42 9.90 19.16 2.72 1.93 3.87多边形32.88 24.93 41.65 4.65 05 2.63 5.90gis线性ManySmall K=50Lin 47.02 35.29 57.26 4.81 3.42 6.22多边形60.83 51.45 74.576.23 4.64 8.30gis凸面FEWLAGE K=10Lin 81.08 75.13 92.10 70.08 63.90 77.56多边形19.92 15.03 26.82 9.35 7.19 12.77gis凸面FEWLAGE K=50Lin 110.23 90.67 123.28 83.53 72.46 95.66多边形35.47 28.08 45.36 14.70 11.86 19.36gis凸面ManySmall K=10Lin 97.95 87.20 112.47 73.59 66.67 82.64多边形17.16 14.42 20.58 5.49 4.906 GIS凸面ManySmall K=50Lin 104.12 94.80 114.59 67.38 62.5574.41Poly 48.24 40.72 57.95 10.67 8.86 13.135.3.1动力学模拟：具有协变量的霍克斯过程先前的模拟考虑了与时间无关的协变量。在这里，我们使协变量具有时间依赖性，遵循自回归过程，并允许强度遵循霍克斯过程。考虑强度λ（t）=exp（lnc+^（0，t）e-a（t-s） dN（s）！+g（X（t））（17）这是第3.6.2节的形式，虽然函数f（·）=ln（c+·）在下面有界（因为它的域是正的），但在上面没有界。这里，要求c>0以避免简并。为了直接应用第3.6.2节中的结果，我们可以使用f（·）=max{ln（c+·），\'c}来代替某些有限的\'c，在这种情况下，可以确保过程是稳定的（见推论5）。该过程简化为λ（t）=c+^（0，t）e-a（t-s） dN（s）！exp{g（X（t））}。（18） 使用标记霍克斯过程的结果（例如，Bremaud et al.，2002），可以推测，如果a>e exp{g（X（t））}，则（18）将是平稳的。据作者所知，正式的现有结果并不完全符合（18）的框架。

在模拟中，我们将constantto添加到真实模型中，即g（x）=γ+PKk=1g（k）（x），其中γ=-E expnPKk=1g（k）（X（t））o，因此E exp{g（X（t））}=1。当NA>1时，这应确保上述（18）的平稳性。除此之外，gare的真实模型如第5.1节所示。在模拟中，我们验证了（18）的r.h.s.上括号中的术语保持有界，因此确保了平稳性，无需封顶常数c。可以对该模型进行模拟和估计，有关这一点的详细信息以及下面讨论的一些计算可以在补充材料的a.2节中找到。与前面的模拟一样，我们让X（t）=X（Ti-1） 对于t∈ （Ti-1，Ti]。然而，X（Ti）现在遵循向量自回归X（Ti）=0.95X（Ti-1） +εi，X（T）=ε，其中K维新息εi生成为i.i.d.截断高斯分布，toeplitz协方差与第5.3节中使用的i.i.d.X（Ti）完全相同。如果在之前的模拟中X（Ti）是独立的，则霍克斯分量的依赖性将被exp{g（X（Ti））}中的独立可变性所混淆。给定依赖结构，我们使用更大的样本量tn，n=200。在模拟中，我们将c=2，a=1.3。除了这些差异外，设置与先前模拟中的设置相同。然而，我们需要估计cand aas额外参数。模拟的目的是看看在时间自变量的情况下所做的评论在这种情况下是如何保持的。结果见表4。表3和表4中的结果不具有直接可比性，因为平稳性需要标度。然而，我们可以从相对的角度得出结论。表4证实了表3的总体情况。然而，正如预期的那样，依赖性使问题变得更加困难。

在当前情景下，当真实的GIS非线性大幅下降时，估计非线性模型的相对益处。例如，在ConvexManySmall K=50的情况下，表3中Lin和Poly的损耗比为104.12/48.24=2.16，而表4中为52.55/42.55=1.23。表4：后见之明与最佳恒定强度相关的模拟结果。模型如（17）所示。估计基于与N（T）=200跳跃次数相关的大小T的样本。该表报告了中位数（Med.）以及25（Q25%）和75（Q75%）%的损失量×100（如（16）中的损失）。低于100的数字意味着事后来看，最佳恒定强度的相对改善。损耗×100损耗×100Med。Q25%Q75%Med。Q25%Q75%ρ=0ρ=0.75gis线性FEWLAGE K=10Lin 1.04 0.71 1.51 0.54 0.37 0.81多边形1.53 1.01 2.34 0.95 0.70 1.31gis线性FEWLAGE K=50Lin 3.53 1.78 7.78 2.72 1.96 3.74多边形4.76 2.87 8.29 4.15 3.26 5.60gis线性Manysmal K=10Lin 2.53 1.70 3.76 0.95 0.59 1.38多边形5.22 3.57 7.01 1.77 1.27 2.52gis线性ManySmall K=50Lin 19.70 13.32 28.09 4.66 3.13 6.96多边形20.49 14.23 28.27 6.224.28 8.88gis凸面FEWLAGE K=10Lin 45.96 37.24 57.86 36.94 29.25 48.42多边形5.82 4.38 8.16 3.26 2.40 4.70gis凸面FEWLAGE K=50Lin 72.03 56.68 91.19 44 36.51 55.90多边形26.40 20.22 36.27 14.58 11.59 20.43gis凸面ManySmall K=10Lin 33.96 26.78 46 21.46 17.07 28.86多边形14.35 10.79 19.01 5.43 3.93 7.84gis凸面ManySmall YSMALL K=50Lin 52.55 42.57 68.41 32.56 24.28 42.81多边形42.55 34.7950.73 23.48 17.94 29.866结论性意见本文介绍了高维点过程估计的一般框架，其中重点是预测。使用greedyalgorithm，估计方法是可行的。在许多添加剂组分的情况下，稠度率是最佳的。

作为主要结果的推论，导出了一组不同估计程序及其收敛性的适用性示例。这种渐近分析不同于只有少数变量处于活动状态的情况，这通常在高维文献中讨论。在金融领域，由于信噪比很低，通常会发现大多数变量是横截面相关的，但预测值很弱。因此，无人主宰。因此，这里进行的渐近分析就是这样。对新西兰元期货买卖交易到达量预测的实证研究表明，使用一小部分变量可能是次优的。因此，使用许多变量是值得的，只要它们正确聚合。在高维模型估计的情况下，需要设计更多的推理程序。在财务方面，许多应用程序需要对模型性能进行抽样评估。在高频情况下，数据集的大小很大，估计过程需要在计算上可行。本文提供了这方面的一些解决方案。对于非常大的样本量，可能需要放弃使用可能性，使用近似值。在这种情况下，可以将强度密度直接建模为加法模型，并用平方损失对比度估计器代替可能性（例如，Gaiffas和Guilloux，2012）。这方面的应用将是未来研究的主题。参考文献[1]Andersen，P.K.和R.D.Gill（1982）《计数过程的Cox回归模型：大样本研究》。《统计年鉴》101100-1120。[2] Barron，A.R.，A.Cohen，W.Dahmen和R。A.DeVore（2008）《贪婪算法的近似和学习》。《统计年鉴》36，64-94。[3] 鲍文斯，L.和N。

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Franses（2002）《平稳过渡自回归模型——近期发展概况》。计量经济学评论21，1-47。【30】van der Vaart，A.和J.A.Wellner（2000）《弱收敛和经验过程》。纽约：斯普林格。[31]Yukich，J.E.、M.B.Stinchcombe和H.White（1995）通过概率方法对网络的超范数近似边界。IEEE信息理论交易411021-1027。Alessio SancettaA“多卵巢点过程预测估计”的补充材料。1结果证明下一小节收集了注释，以便读者在需要时参考。A、 1.1初步引理和符号写L：=L（B，Θ，W），\'L：=L\'B，Θ，W和L：=L（B，Θ，W）表示任意但固定的B。根据条件2，L的包络函数，Isupg∈\'Lsupz∈R | g（z）|≤“B”θ/w=：“g.（A.1）从正文中，回忆一下“Bw：=”B/w。为了使符号更简单，假设K>1。为了便于记法，为'td∧（s）='tλ（X（s））ds写∧（t），为'teg（X（s））ds写'tegdu，类似地为'tgdN写'tgd∧'tgdu，等等，其中u是Lebesgue度量。因此，参数X（t）和t被删除，但这不会引起混淆：这里的所有积分都是w.r.t.dN（t），du（t）等，所有函数的参数都是X（t）。此外，λ（X（s））=eg（X（s）），其中'g：=| g|∞. 在不损失一般性的情况下，为了保持符号简单，还假设| gB|∞≤ g（如果不是这样，我们可以重新定义g，使其成为gB统一规范的上限（回想一下Bin（6）的定义）。然后从（6）得出supB>0 | gB|∞≤ (R)GBE因为gBis是gin L（B）和B的最佳一致近似≥ B、 （6）表示gB=gB。这些事实将在证据中自由使用，无需进一步提及。定义以下随机海林格度量dT（g，g）=q'Teg/2- eg/2du。

有时，可以使用ul来考虑恒等式dT（g，0）='Teg/2- 1.du。引理3假设f，f′是RK上的函数。然后，^Tf- f′ef′du≤ dT公司f、 f′. （A.2）证明。乘以和除以ef′，dTf、 f′=^Tef′型e（f-f′）/2- 1.du。（A.3）展开上面显示的方块e（f-f′）/2- 1.= e（f-f′）- 2e（f-f′）/2+1。通过两个指数的泰勒展开，上述等式等于∞Xj=0（f- f′）jj！- 2.∞Xj=0（f- f′）jj！j+1=∞Xj=2（f- f′）jj！1.-j-1.≥（f）- f′）。插入（A.3）推导（A.2）。引理4假设| gB|∞≤ (R)g.然后，0≤^T[（g- gB）d∧- （例如- egB）du]≤e2’g^T（g- g） d∧。证据通过定义d∧=egdu，^T[（g- g） d∧- （例如- eg）du]=^T[（g- g） eg公司- （例如- eg）]du=^Th（g- g） +e-（g）-g）- 1EGDu。（A.4）对于任何固定实x，通过泰勒级数和余数，对于某些x*在{0，x}，e的凸包中-x个-1+x=xe-x个*. （A.5）将此等式应用于x=g- 并将其插入（A.4）的r.h.s.方括号中，以推导引理的上界，因为| g- gB|∞≤ 2’g.对于任何x>0的情况，下列不等式成立：0≤ （十）- ln x- 1） （A.6）仅当x=1时相等。将此不等式应用于x=exp{-（g）- ，并将其插入（A.4）的r.h.s.方括号中，以推导引理的下界。A、 1.2为简单起见，假设T=0，如条件1所示，人口概率的解。然后，根据绪方（1978）中的引理2，L（g）=limTLT（g）T=limTT^T（gdN- egdu）=P（geg- 几乎可以肯定，其中Lti是时间T的对数可能性（例如，绪方，1978年，公式1.3）。取一阶导数，一阶条件为P（heg- heg）=任何h的0∈L.因此，如果g=g，则满足条件。要检查唯一性，请验证凹度的二阶条件，即：。，-P heg<0适用于任何h 6=0。使用下限e- \'\'g≤ 例如，推断-P heg公司≤ -e- (R)gP h<0适用于任何h 6=0 P-几乎所有地方。

鉴于此-L（g）是凸的，L是闭的，L（g）的最大化子是唯一的。A、 1.3定理1的证明推导了海林格距离dt的结果，而不是范数|·|λ，T.def CT：=C×T maxnr-2T，2e3’g | g- g'B|∞o鞅M=N- ∧（在（1）中∧是N的补偿器）。在这里，RTI是一个不减损的序列，将在indue课程中定义。用目前的符号，van deGeer（1995）中引理4.1的证明中的最后一个显示表明，^T（g- g） dM公司≥ dT（g，g）+LT（g，g），（A.7），其中LT（g，g）：=LT（g）- LT（g）对于任何g，g=gT也是如此。（以上显示仅在gis为真功能时有效，但不要求g∈ L（B）对于某些B.）ByCondition 3，以及不等式LT（gT，g'B）≥ LT（gT）- supg公司∈LLT（g），推导出LT（gT，g）=LT（gT，g'B）+LT（g'B，g）≥ -CT/2+ LT（g’B，g）（A.8）在定义CT时，选择足够大的C。因此，在（A.7）中插入（A.8），推断出thatPr（dT（gT，g）>CT）≤ 公关部^T（g- g） dM公司- LT（g’B，g）≥ dT（g，g）-某些g的CT（A.9）和dT（g，g）>CT∈\'\'L要将术语限定在方括号中，请加上和减去'Tg'BdM，并注意，LT（g'B，g）可以写为'T[（g'B- g） dM+（g'B- g） d∧- （例如B- eg）du]。这意味着^T（g- g） dM公司- LT（g'B，g）=^T[（g- g’B）+（g’B- g） ]dM-^T[（g'B- g） dM+（g'B-g） d∧- （例如B- eg）du]=^T（g- g'B）dM+^T[（g- g'B）d∧- （例如- eg'B）du]≤^T（g- g'B）dM+e2'g^T（g- g'B）d∧使用不等式中的引理4。根据上述计算，以及T（g- g'B）d∧≤T e'g'g- g'B|∞, 推断（A.9）小于Pr^T（g- g'B）dM≥ dT（g，g）-CT-T e3'g'g'B-g级|∞对于某些g，dT（g，g）>Ct∈\'\'L≤ 公关部^T（g- g'B）dM≥ dT（g，g）-对于某些g，CTand dT（g，g）>Ct∈\'\'L,使用CT的定义。

以上以Pr为界supg公司∈L’T（g- g'B）dM≥ CT, 进一步以CTE为界supg公司∈\'L^T（g- g'B）dM≤CTE公司supg公司∈\'L^TgdM使用M arkov不等式，然后使用三角形不等式，因为g'B∈\'L.写g=Pθbθ。请注意，SUPG∈\'\'L^TgdM= supbθ，θ∈Θ^TXθbθθ！dM公司≤\'Bwsupθ∈Θ^TθdM其中上确界覆盖了所有的bθ，使得pθ| bθ|≤\'\'体重。根据这些计算，对于束缚（A.9），束缚\'BwCTE supθ是有效的∈Θ^TθdM. （A.10）设{∏l（）：v=1，2，…，N∏}是Θ到N∏（）个元素的一个划分，其中supθ，θ′∈∏l（）|θ- θ′|≤。根据条件2，可以用N∏（）构造这样的分区。N（，Θ）和SUPθ，θ′等∈∏l（）θ- θ′∞≤ |θU，l- θL，L|∞（A.11）其中，[θL，L，θU，L]是∏L中函数的-括号，在统一范数下。因此，N∏\'θ= 1，因为统一范数下的直径Θ以2′θ为边界。Tobound（A.10），使用Nishiyama（1998，定理2.2.3）的以下最大不等式，该不等式专门用于本框架。引理5，条件2），E maxt∈[0，T]最大θ∈Θ^tθdM. C1，T^′θpln（1+N∏（））d+C2，T′θC1，T（A.12），对于任何C2，T≥\'T'θd∧，和C1，T≥ ||∏，T，其中|∏，T：=sup∈（0，’θ]最大值≤N∏（）r'Tsupθ，θ′∈∏l（）|θ- θ′|d∧。根据（A.11）的讨论，将N∏（）替换为N（，Θ）。引理5的应用本质上需要找到C1，Tand C2，T的界限。根据（a.11），|Θ∏，T的讨论，假设λ=d∧/du由e'g界定≤√e'gT，我们设置C1T=C√某些Cto的e'gT将稍后选择。同样，我们可以选择C2，T=’θe’gT。这意味着c2，T/’θC1，T=pe’gT/C。因此，（A.12）的r.h.s.上的第一项的数量级不小于第二项（即不小于T1/2的常数倍数）。因此，在下面的内容中，我们可以将C2，T/’θC1，Tinto并入其中，而无需进一步提及。

因此，引理5的界（A.10）被'BwCTE supθ应用∈Θ^TθdM.\'\'体重√e“gTCT^”θpln（1+N（，Θ）））d。（A.13）使用CT的定义，并选择rT.he3'g'g- g级|∞我-1，上述是r'Bwe'g/2T1/2^'θpln（1+N（，Θ））d的常数倍数，要求为O（1），因为它是（a.9）的上限。这意味着RT。T1/2’Bwe’g/2’θpln（1+N（，Θ））d。但是，RTI也要求不为零，事实上，除非近似误差不为零，否则RTI应该发散到单位。因此，上述显示器的r.h.s.需要远离零。若要限制熵积分，请回忆一下Θ=SKk=1Θk。集合的aunion的括号数是以单个集合的括号数之和为界的。因此，N（，Θ）≤PKk=1N（，Θk）。使用不等式ln（1+xy）≤ ln x+ln（1+y）表示实x，y≥ 1，这意味着^′θpln（1+N（，Θk））d≤^′θmaxk≤Kpln K+ln（1+N（，ΘK））d≤ 2〃θ√ln K+最大值≤K^′θpln（1+N（，ΘK））d。此外，假设θ是有界的，且上面的熵以为单位递减，则上面的显示可以以√ln K+最大值≤K^pln（1+N（，ΘK））d。（A.14）此外，我们可以放弃有界的项，即“gand”θ，但迄今为止只保留了它们的贡献。类似地，“Bw”可以替换为“B”，因为它作为一个乘法常数进入界。这些计算意味着定理中的语句中有一个序列rTas，对于足够大的C，PrrTTdT（gT，g）>C≤C、 通过dT（gT，g）/T和| gT之间的关系- g |λ，T（见（A.2）），定理如下。A、 1.4定理2的证明，便于记法，T=Tn。我们在Tsybakov（2003）中对定理2的证明中的计算进行了调整。这需要两个强度密度之间的Kullback-Leibler距离的上界，以及L（1）的适当子集的构造（使用我们定理的符号）。

Tsybakov（2003）的结果将提供必要的下限，如OREM 2中所述。为此，设N（1）和N（2）是强度为Eg和Eg的点过程，使得| gk|∞≤ \'g，k=1，2。设由过程X=（X（t））t生成的s igma代数≥0用FX表示。两个强度密度egand eg和eg之间的Kullback-Leibler距离限制为0，T]，并在FXisK上调节g、 g |外汇= EX^T（g- g） dN（1）-^T（例如- e）du，其中EXis是以外汇为条件的预期。如上所述，在FX条件下，持续时间随强度密度exp{g（X（t））}呈指数分布。那么，Kg、 g |外汇=^T（g- g） egdu-^T（例如- eg）du≤e3’g^T | g-g | du使用（A.5）和| gk|∞≤ \'g，k=1，2。这为Kullback-Leibler距离提供了必要的上界，用于Tsybakov（2003）定理2的证明。现在，遵循Bunea等人（2007，第1693页）的观点，稍作调整。对于每个k，我们应该构造一个函数，比如fk，inΘk。让Aj=Pji=11{Ti-Ti公司-1.≥ a} ，即前j个持续时间中大于a的持续时间数。自始至终，1{·}是指示函数。显然≤ 只有当a=0时，n才相等。定义fk（x）=γnXj=1φk阿詹1{xk=xk（Tj-1） }1{Tj- Tj公司-1.≥ a} pTj公司- Tj公司-其中γ>0是适时选择的常数，{φk（s）：k=1，2，…，k}是有界函数w.r.t.s∈ [0，1]，且anpanj=1φk1月φl1月= δkl，其中δkl=1 ifk=l，否则为零（例如，比照Bunea等人，2007，第1693页）。函数fk的绝对值一致有界于γ的常数倍/√a、 因此，fk∈ Θk，对于每个k，选择γs mall就足够了。因此，^Tfk（X（t））fl（X（t））dt=nXj=1fk（X（Tj-1） ）fl（X（Tj-1） ）（Tj- Tj公司-1） =γAnXj=1φk1月φl1月= γ和δkl。接下来是第一步，因为X（t）是可预测的，只有在跳跃后才会发生变化。

第二步是定义fk，因为通过X（0）分布的连续性和平稳性，对于i 6=j，Pr（X（Ti）=X（Tj））=0。此外，请注意，除非{Tj- Tj公司-1.≥ a} 如果为真，则FK定义中的jthterm将为零。设C是由m的任意凸组合组成的L（1）的子集≤ 重量为1/m的fk的K/6，以便重量总和为1。因此，对于任何g，g∈ C、 ^T（g- g） du Anγ/m.Let pa：=Pr（Tj- Tj公司-1.≥ a） 。我们声称Pr（An<npa/2）→ 0以指数速度增长。因此，上述显示的r.h.s.与nγ/m成正比，概率为1。此声明将在证明结束时进行验证。现在，通过适当选择小γ，可以逐行遵循Tsybakov（2003，定理2的证明）中等式（10）之后的参数。这将为我们提供T（gT）的结果- g） du而非T（gT- g） λdu，用n而不是T=Tn表示。要用tna代替n，在定理的陈述中，注意Tn/n几乎肯定会收敛到（Pλ）-1，它是有界的。最后，T（gT- g） λdu&'T（gT- g） du由定理的条件决定。这仍然需要证明，对Anholds的说法是正确的。对于实上的任何正递减函数h，集{An<cn}和{h（An）>h（c）}是相同的；此处c∈ （0，1）是适时选择的常数。因此，通过马尔可夫不等式，Pr（An<cn）≤呃n-1/2An/h类cn1/2, 这意味着以下下限Pr（An≥ 中国）≥ 1.-Eh（An/√n） h（c√n） 。还有待证明r.h.s.上的第二项为零。为此，设h（s）=e-ts，对于某些固定的t>0。对于之前在证明中定义的paas，writeAn√n个=√nnXi=1（1{Ti- Ti公司-1.≥ a}- pa）+√npa。r.h.s.上的第一项是以i.i.d.为中心的伯努利随机变量的根n标准化和。

因此，它有一个有界的矩母函数（使用伯努利随机变量中心极限定理的证明）。通过这句话，呃/√n） h（c√n） =E exp{-棕褐色/√n} 经验值{-tc公司√n} 。e-t（pa-c）√n、 如前所述，选择c=pa/2，以确保在任何t>0的情况下，r.h.s.以经验速度快速归零。A、 1.5引理1和推论Proof的证明。【引理1】证明是对Sancetta（2015）中引理4的一个小的重新改编。注意，如果B≥ B、 引理显然是真的，因为在这种情况下，L L：=L（B，Θ，W）。因此，假设B<带w.n.l.g.B=ρB或ρ∈ （0，1）。Writeg=Xθ∈Θbθ=Xθ∈Θλ0θ\'bθ，其中λθ为非负且加1，且\'b=Pθ∈Θ| bθ|。注意，constraintPθ∈Θwθ| bθ|≤ b用于跛行功能\'b≤ 定义g′（x）=ρg（x），对于ρ，B=ρBso，g′∈ 五十、 使用这个g′的选择，通过标准不等式，g级- g′r≤Xθ∈Θλθ′bθ-Xθ∈λθρ′bθr≤(R)b（1- ρ）Xθ∈Θλθ|θ| r≤(R)b（1- ρ） 最大θ∈Θ|θ| r≤\'θrw（B- B） 使用ρ的定义。这证明了结果，因为对于上面的g′，infg∈L | g- g | r≤|g级- g′| r.证明。[推论2]我们需要证明LT（~gT，gB）≥ -CT/2CTA在定理1的基础上，RTA在（9）中，例如CT和B√T lnk.为此，回想一下▄LT（g）='TgX（t）dN（t）-'TexpngX（t）odt，即当我们使用▄X而不是X时的对数似然。请注意，计数过程N仍然是相同的，无论我们使用X还是▄X，都可以观察到跳跃。根据定义，g是LT（g）的近似最大值，但不一定是LT（g）的最大值。这足以表明LT（~gT，gB）&-在概率中，通过定义CT中的常数，定理1中的证明将通过。给出这些备注，写入（~gT，gB）≥LT（▄gT，gB）-LT（gT，gB）-LT（▄gT，gB）.使用（11），我们得到了▄LT（▄gT，gB）&-（A.8）中的CTA。将第二个任期约束在其上。h、 s。

在上述显示中，有必要将SUPG的倍数设为常数∈\'\'LLT（g）-LT（g）= supg公司∈\'\'L^Thg（X（t））- g级X（t）idN（t）-^Thexp{g（X（t））}- expng公司X（t）oidt≤ supg公司∈\'\'L^Thg（X（t））- g级X（t）idN（t）+ supg公司∈\'\'L^Thexp{g（X（t））}- expng公司X（t）oidt=: I+II。首先，找到II的界限。利用Banach空间的中值定理，II≤ supg公司∈“Le”g^Tg（X（t））- g级X（t）dt。（A.15）现在，supg∈\'L^Tg（X（t））- g级X（t）dt公司≤ sup{bθ：Pθ∈ Θ| bθ|≤\'Bw}^TXθ∈Θ| bθ|θX（t）- θ（X（t））dt公司≤\'Bwmaxθ∈Θ^TθX（t）- θ（X（t））因为单纯形的上确界是在它的一条边上实现的。根据引理的条件，上述显示为Op“”Be- \'\'g√T长度K. 因此，推断（A.15）为Op\'\'B√T长度K= Op（CT）（回忆（A.1）中的符号）。它仍受约束I.Thg（X（t））的加减- g级X（t）id∧（t），并使用三角形不等式，I≤ supg公司∈\'\'L^Thg（X（t））- g级X（t）idM（t）+ supg公司∈\'\'L^Thg（X（t））- g级X（t）id∧（t）.上述显示中的第一项可并入（A.7）的l.h.s.中，并在定理1的证明中有界。通过定义D∧，supg，将第二项绑定到上述显示中∈\'\'L^Thg（X（t））- g级X（t）iexp{g（X（t））}dt≤ supg公司∈“Le”g^Tg（X（t））- g级X（t）dt。从II的导出界推导出r.h.s.为OpCT. 这就完成了推论中第一个陈述的证明，因为定理1的所有条件都已满足。要显示推论的最后一个陈述，请使用不等式g（X（t））- g级X（t）≤2？gg（X（t））- g级X（t）再加上对之前显示的细微修改。证据[推论4]假设近似误差为零。假设Θkha是一个单一元素，熵积分是非常有限的。因此，（9）简化为推论陈述。证据

【推论5】确定挫折：=支持>0^t（t- s） e类-a（t-s） dN（s）≤ β对于某些β<∞. 在定理1的证明中，writePr（dT（gT，g）>CT，）≤ Pr（dT（gT，g）>CT，B）+Pr（Bc），其中Bc是B的补码。我们将推论2应用于r.h.s.上的第一项，然后表明上述显示中的最后一项可以忽略不计。首先，表明强度密度λ（t）=exp{fa（t）+g（X（t））}的过程是平稳的。为此，我们应用了Brémaud和Massoulié（1996）中的定理2。使用它们的符号，这里将等式（1）中的非线性f函数φ（·）定义为exp{f（·）}exp{g（X（t））}，这与它们的情况不同，是随机的。然而，在证明定理2时，他们只使用了|φ（y）的f作用- φ（y′）|≤ α| y- y′|对于某些有限常数α（参见公式（23）和第1580页的FirstDisplay）。这里也是这样。要了解这一点，请回顾f的定义（见第3.6.2节），它是有界的和Lipschitz。然后exp{f（y）}exp{g（X（t））}- 经验值fy′exp{g（X（t））}≤ exp{g}f（y）- fy′（回顾g的统一规范）。我们还需要注意，exp{g（X（t））}是平稳的、有界的和可预测的。这确保了强度λ（t）有界且可预测，这是Brémaud和Massoulié（1996）中使用的引理所要求的。因此，满足条件1。为了验证条件2，我们验证了过程的熵积分是有限的，如下所示。我们将把这件事推迟到证据的最后。因此，经过必要的修改，我们现在验证推论2中的（10）。为此，我们限制Ct：=E maxa∈[a，\'a]\'Tfa（t）-fa（t）dt。推论2要求CTO为e-“Bw”θ√T长度K.

由Lipschitz条件和∈ [a，\'a]，^Tfa（t）-fa（t）dt。^Te-at^(-∞,0）easdN！dt。利用∧是N的补偿器，且∧有界密度exp{fa（t）+g（X（t））}的f作用，推导出∈[答：\'答：\'Tfa（t）-fa（t）dt公司≤ E“^(-∞,0）easdN！^Te-atdt公司#.aE^(-∞,0）easd∧（s）。a<∞.这验证了推论2中的（10）。为了验证▄fa的条件2，我们需要对随机过程A的f族的熵积分进行估计：=fa（t）t型≥0：a∈ [a，\'a]. 这意味着我们需要边界支持>0fa（t）-~fa′（t）. 支持>0^te-a（t-s）- e-a′（t-s）dN（s）≤ 支持>0^t（t- s） e类-a（t-s） dN（s）dt公司一- a′使用一阶泰勒展开式和a、a′的下界。在B上，上述为β| a- a′|。很容易看出，熵积分是β1/2的常数倍，因为[aβ，\'aβ]的均匀-括号数的大小为β（\'a- a） /。因此，我们可以应用推论2。设β=O（ln T））。没有近似错误，因此r-2T（第（9）中的RTA）变为第（14）中的RTA。术语√分母为（14）的lnt与A的熵积分成正比。总之，我们证明B的补码Bc是Pr（Bc）→ 0为β→ ∞.通过马尔可夫不等式，Pr（Bc）≤E支持>0\'t（t- s） e类-a（t-s） dN（s）β。回顾M=N- ∧，通过三角形不等式，r.h.s.上的分子可以有界，supt>0^t（t- s） e类-a（t-s） dM（s）+ E支持>0^t（t- s） e类-a（t-s） d∧（s）=: I+II。平方内的第一个积分是有界可预测函数w.r.t.一个鞅，andis一个鞅。由Burkholder-Davis-Gundy不等式，I.^∞（t- s） e类-a（t-s）d∧（s）≤ e’g^∞（t- s） e类-a（t-s）ds=O（1）。通过类似的参数II=O（1）。这些界限意味着Pr（Bc）→ 推论中的最后一个陈述是从推论4的证明中推导出来的。证据

[推论6]通过引理1，只要'B，近似误差将为零≥ B、 最终会变成“B”→ ∞ 和Bis fite。根据第3.6.3节的备注，熵积分是有限的。因此，界限遵循f rom（9）。证据[推论7]引理2和引理13的近似误差是V的常数倍-2α+最大值cα-\'B，0. 一元s平方一致逼近率V-2α后接第3.6.4节中的备注。假设每个Θkt中有V个元素，则entropyintegral是ln（1+V）的常数倍数。在（9）中插入，只要V>1，就可以推导出边界。特别是对于V和（T/lnt）1/（4α），有界简化更进一步。证据【推论8】证明与推论7相同。证据【推论9】如第3.6.6节所述，在平方均匀损失下，Bernsteinpolynomials的近似率是αV的常数倍-因此，通过引理2和（13），近似误差是αV的常数倍-1+最大值B-\'B，0.因此，作为“B”→ ∞, 近似误差最终为Opα/吨当V&T1/2α3/2时。根据第3.6.6节的备注，熵积分为α1/2。插入（9）下界。A、 1.6定理3d的证明，定义h：=bθ，设t∈ [0，1]。Lethm：=arg suph∈(R)LDT（Fm-1，h- Fm公司-1） 。通过线性，最大值由函数h=bθ和θ获得∈ Θk对于某些k和| b |≤因此，有能力最大化DTw的绝对值。r、 t.θ作为系数bis，不受符号约束。定义，G（Fm-1） ：=DT（Fm-1，hm- Fm公司-1） ，因此对于任何g∈\'L，LT（g）- LT（Fm-（1）≤ G（Fm-1） （A.16）凹面。对于m≥ 0，定义ρm=2/（m+2）。

同样，通过凹度，LT（Fm）=最大ρ∈[0,1]LT（Fm-1+ρ（h- Fm公司-1） （）≥ LT（Fm-1） +DT（Fm-1，h- Fm公司-1） ？ρm+？C？ρm此处？C：=最小值，g∈\'L，t∈[0,1]t[LT（g+t（h- g） （）- LT（g）- DT（g，t（h- g） ）]<0。上述两个显示器与（A.16）、implyLT（Fm）一起显示- LT（g）≥ LT（Fm-（1）- LT（g）+ρmG（Fm-1） +Cρm≥ LT（Fm-（1）- LT（g）+ρm（LT（g）- LT（Fm-1） ）+‘C’ρm=（1- ρm）（LT（Fm-（1）- LT（g））+\'C\'ρm≥对于给定的ρm选择，\'Cm+2（A.17）（如Jaggi（2013）中定理1的证明所示，作必要的修改）。它仍然受C的约束。在Banach空间中，由泰勒展开，LT（g+t（h- g） ）=LT（g）+DT（g，t（h- g） ）+高温g级*, t（h- g）,对于g*= t型*g+（1- t型*) h、 还有一些t*∈ [0，1]，其中g、 t（h- g）= -^Tt（h- g） egds。这意味着'C≥ 明，g∈\'L，t∈[0,1]t-^Tt（h（X（s））- g（X（s）））e’gds≥ -4T e’g’g≥ -4T e’B’θ/w“B”θ/w使用（A.1）。（A.17）中的替换给出了结果。A、 1.7命题1集M：=N的证明- ∧和ht：=gt- 为了简化记法，假设S是一个整数。然后，在命题（无效假设）的条件下，LSg、 g′=SXs=1^ss-1ht（X（t））dM（t）=SXs=1Ys。然后，{Ys:s=1，2，…}是一系列鞅微分。这源于不可预测的预期法则和HTA是一个可预测的过程这一事实。表示{Yi:i上的期望条件作用≤ s} 通过Es。结果将在McLeish（1974）中应用定理2.3。为此，有必要证明（即）SPSs=1Ys→ σ、 （二）limS公司→∞E最大值≤系统/秒<∞ 和（iii.）最大值≤SYs公司/√S→ 概率为0。请注意ESSXs=1Ys= ESSXs=1Es-1年（A.18）使用迭代期望和总和中的元素为正的事实。请注意，ES-1Ys=Es-1.^ss-1ht（X（t））dM（t）= Es公司-1.^ss-1ht（X（t））d∧（t）（例如，绪方，1978年，e.q.2.1）。

H ence，SSXs=1Es-1Ys=“SSXs=1Es-1^ss-1ht（X（t））d∧（t）#。通过这些备注，（A.18）等于SSXs=1Es-1^ss-1ht（X（t））d∧（t）=SSXs=1E^ss-1ht（X（t））d∧（t）=ES^Sht（X（t））d∧（t），使用总和中的项为正的事实。根据命题σS的条件：=S^Sht（X（t））d∧（t）→ σ> 概率为0。顺序σSS≥ 1一致有界。因此，收敛不概率意味着收敛于L，即σS→ σ。这验证了第一个条件（i.）。现在，E maxs≤系统≤SESXs=1YS用总和限定最大值。通过前面的计算，推断出上述条件是有界的，从而验证了第二个条件（ii）。最后，maxs≤S | Ys|/√S=√SMAX≤S^ss-1ht（X（t））dM（t）.√SMAX≤S^ss-1dN（t）+√SMAX≤S^ss-1d∧（t）=√SMAX≤S【N（S）】- N（s）- 1） ]+√SMAX≤S∧（[S- 1，s]），其中不等式使用htis有界的事实。r.h.s.上的最后一个术语是OpS-1/2.计数过程N随着强度的增加而增加。自λ（X（s））起≤ e’guniformly在s中，有一个计数过程N’，其强度密度e’gsuch Pr（N（s）>N）≤ Pr（N′（s）>N）。因此，对于任何s，E【N（s）】- N（s）- 1） ]≤ E[N′（s）- N′（s）- 1） ]≤ 对于某个绝对常数C，它取决于'gonly。后面是最后一个不等式，因为N′是强度为e的泊松分布√SMAX≤S【N（S）】- N（s）- 1） ]≤√SE最大值≤序号（S）- N（s）- （1）|四分之一≤√SSXs=1E | N（s）- N（s）- 1） |！1/4以和为最大值的边界。推断以上为（C/S）1/4=o（1）。这验证了在McLeish（1974）中应用定理2.3所需的第三个条件（iii.）。如果S不是整数，则写入S 对于其整数部分。然后√SLS公司g、 g′=SS1/2便士SSXs=1Ys+√S^SSht（X（t））dM（t）。清晰地S/S→ 此外，通过与用于验证上述第三个条件（iii.）的参数类似的参数，推断r.h.s.上的最后一项为op（1）。

这显示了结果σSas缩放序列，而不是^σS。然而，^S- σS=S’Sht（X（t））dM（t）→0 a.s.，我们可以使用^σ来定义t统计量。这就完成了证明。A、 2关于第5.3.1节的详细信息定义Yi：=exp{g（X（Ti））}和Zi：=PTj≤领带-a（Ti-Tj），调用R（Ti+1）=Ti+1- Ti。注意，对于t∈ （Ti，Ti+1），λ（t）=c+Zie-a（t-Ti）易。因此，∧（（Ti，Ti+1））=^Ti+1Tiλ（t）dt=cR（Ti+1）+Zia1.- e-aR（Ti+1）Yi是指1，指数分布，条件为Fi：=（Ti，Zi，Yi）。此外，Zi=Zi-1e级-a（Ti-Ti公司-1） Z=1时为+1。因此，定义c=cYi，c=YiZi，并模拟i.i.d.[0，1]均匀随机变量Ui。我们模拟R（Ti），将其设置为解算SCs+ca（1- e-as）=-在Ui中。给出（c，a）=（2，1.3）的初始猜测（2，1.5），我们估计exp{gT（X（t））}。给定nexp{gT（X（t））}我们估计c+PTi<te-a（t-Ti）exp{gT（X（t））}。我们执行第二次迭代。使用第3.5节中的算法估算g。在这种情况下，可能性的相关部分为nxi=1g（Ti-（1）-nXi=1exp{g（Ti-1） }我在这里i=cR（Ti）+Zi-1a级1.- e-aR（Ti）将c和a设置为其猜测/估计值。c和a的估计是通过给定exp{gT（X（t））}的最大似然进行的。