多协变量点过程预测的估计

2022-5-31 04:36:24

用manycoveonatesalsio-Sancetta预测点过程的估计*2017年2月20日抽象在非参数框架内考虑点过程强度的估计。强度度量是未知的，并且取决于协变量，可能比观察到的跳跃数还要多。只观察到计数过程的单一轨迹。兴趣在于估计以协变量为条件的强度。协变量的影响由一个加性模型建模，其中每个分量都可以写成可能未知函数的线性组合。重点是预测，而不是可变筛选。对这种线性组合的系数施加条件，以控制估计误差。当活动协变量数目较大时，收敛速度最快。作为一个应用，估计了新西兰元期货买卖交易的强度，并提出了一个预测价值测试。包括模拟，以提供一些关于模型和渐近性质的有限样本直觉。关键词：考克斯过程；计数过程；维度诅咒；预测评估；贪婪算法；霍克斯流程，高频交易；鞅；贸易抵达；变量选择。JEL代码：C13；C 32；C55.1引言支持您要估计并预测某些金融工具交易到达的可能性，这些金融工具的交易相对频繁。这样做的原因可能是做市或最优执行；这些问题在金融业中很常见。例如，在这里要考虑的一个应用中，工具是新西兰元的未来。

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2022-5-31 04:36:26

此类票据的贸易抵达可能取决于*致谢：我要感谢联合编辑、裁判员和卢卡·穆西安特的评论，这些评论在内容和演示方面都带来了实质性的改进。电子邮件：<asancetta@gmail.com>，URL：<http://sites.google.com/site/wwwsancetta/>。通信地址：英国伦敦皇家霍洛威大学经济系，Egham TW20 0EX。订单簿，包含5个级别的投标和报价。它还可能取决于其他相关工具的适用性、过去的价格和报价量动态以及过去的交易。即使对于高频数据，可能的协变量数量也可能快速增长并变得相对较大。将贸易到达视为计数过程的跳跃，其强度（在一个很小的时间段内的平均值）取决于一组协变量，可以解决上述问题。本文针对数据为时间序列、协变量数量大、强度函数形式不需要参数化的问题，考虑了这种计数过程的估计。Let（N（t））t≥0be对于任何Borel集a，强度测度∧（a）=^Aexp{g（X（t））}dt，（1）的计数过程 [0，∞), 其中，gis是一个未知函数，X（t）是K维变量，可以依赖于t。在（1）中的强度被理解为平均值↓0Pr（N（t+s）- N（t）=1 | Ft）s=exp{g（X（t））}，其中fti是由（N（s），X（s））s生成的sigma代数≤t、考虑到协变量与时间相关，强度可能取决于N（t）最后一次跳跃所经过的时间。协变量是可预测的，例如，自适应的左连续过程。

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2022-5-31 04:36:31

如果在协变量X上设置条件，则过程为泊松过程，则计数过程通常称为asCox或双随机过程。确定停止时间Ti：=inf{s>0:N（s）≥ i} ，T=0，即T是泵的时间。在本文要考虑的实证金融微观结构应用中，跳跃时间Ti是特定证券的ithtrade到达时间，协变量将是从订单簿中提取的信息，以及其他数量。统计问题是在时间t之前观察（N（t），X（t））的问题。根据s打顶时间的定义，等到T=T意味着观察到n次跳跃。目标是估计g。已知该函数只存在于某类加性函数中，将在适当的时候介绍。协变量和跳跃之间的持续时间应该是平稳的，但既不是独立的，也不是马尔可夫的。文献中以前没有讨论过这样的时间序列问题，即只观察到一条过程轨迹，而gin（1）可能是非线性的，并且协变量的数量很大。该框架允许我们处理协变数指数大于样本量（T=Tn时为n）的超高维问题。卵巢可能是时间序列和滞后变量。这一设置受到许多应用问题的推动，例如前面提到的交易到达估计问题（例如，Bauwensand Hautsch，2009年，用于调查和参考适用于金融的计数模型）。加密仪器可能取决于其他仪器的更新和信息。这导致可能的变量数量激增，尽管人们可能认为只有少数变量可能是相关的，或者许多协变量可以解释强度，但重要性程度在降低。

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2022-5-31 04:36:34

在第4节中的建模应用程序中，有一种情况下，最终得到了1000多个变量，交易数量n约为1000。本研究的主要技术特点是：1。gin（1）的估计，当Gis只存在于一些大的函数集中时；2、协变量的数量允许大于观测持续时间n的数量；3、定义了一类可加函数，并表明在这类函数中，可以获得在高维情况下最优的收敛速度；4、估计问题可用Frank-Wolfe算法求解，并给出了收敛速度；5、一项实证研究提供了该方法的适用性，并对计数模型之间的预测优势进行了检验，结果表明，适当约束的大型模型在样本外表现更好。从理论角度来看，对加法模型中线性系数（系数的形式）的绝对可和性施加了限制。这种套索约束倾向于生成稀疏的模型。这意味着，如果所有系数都不为零，但很小，那么收紧约束会导致许多变量为零，而少数变量为非零。另一方面，众所周知，收紧系数平方的约束（即岭回归中的lnorm）会导致所有系数都很小，但没有一个系数为零。从实证角度来看，pap er考虑了新西兰元期货合约上买卖交易到达强度的估计。强度使用许多与持续时间数量相同数量级的协变量进行建模。文献中考虑了买卖订单强度的估计（如Hall和Hautsch 2007）。

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2022-5-31 04:36:37

然而，似乎没有任何研究考虑交易工具以及其他相关工具的市场信息（如订单）。抽样结果表明，其他仪器提供的信息是相关的。为了评估竞争模型的无样本性能，使用了基于似然比的无样本测试。有关正文中的证明和推导的详细信息，请参阅补充材料。1.1与文献的关系在回归背景下，文献中考虑了高维加性建模（例如，Bühlmann和van de Geer，2011年，以及其中的参考文献）。本文似乎是第一个考虑多协变量的估计，考虑到时间序列背景下的非线性链接函数。在这里，时间序列意味着在未来扩展的窗口上只观察到该过程的一个实现。该框架不同于Ofcx比例风险模型和Aalen乘法和加法模型。在这种情况下，不同的作者考虑了许多变量的估计（例如，Bradic等人，2011年，Gai ffas和Guilloux，2012年等）。在那里，重点通常是恢复活动变量的真实子集。这通常导致对协变量设计和交叉依赖的严格限制。在这里，重点是预测和弱条件，即使不可忽略的协变量数量随着样本规模的增加而增加，也会导致一致性。此外，除了可加性之外，这里考虑的估计是非常一般的。第3.6节概述了应用程序。

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2022-5-31 04:36:40

其中包括线性模型、具有协变量的霍克斯过程、阈值模型和加性单调函数等。强度函数估计量的分析通常依赖于鞅方法（Andersen和Gill，1982，van de Geer，1995）。在固定数量的协变量背景下，非参数估计量并不少见（例如，Nielsen和Linton，1995年，Fan等人，1997年，是早期参考）。这里导出的结果适用于参数函数以及某些非参数函数类。在金融计量经济学文献中，人们的兴趣通常在于单点过程的参数建模（例如，Bauwens和Hautsch，2009年的调查）。因此，本文将时间序列问题视为金融计量经济学文献中的问题，但允许可能的非参数估计和高维统计中的大量协变量。在时间序列背景下，强度通常由霍克斯过程建模。松散峰值，强度可以写成持续时间的可预测函数（例如，Bauwensand Hautsch，2009）。本文的框架允许对上述变量进行处理。1.2似然估计众所周知（例如，Brémaud，1981年，第二章，定理16），即{∧（（Ti-1，Ti））：i∈ N} （如（1）中的∧）是i.i.d.指数分布，当我们条件为∧时，平均值为1。从这里可以得出可能性，即∧具有关于勒贝格测度的密度λ（例如，Ogata，1978，公式1.3）。定义人口对数likeliho odL（g）：=Eg（X（0））exp{g（X（0））}- E exp{g（X（0））}，（2）假设预期已明确（见补充材料A.1.2节）。支持gin（1）位于一组G中，暂时假定为可数，以避免分散技术注意力。然后，g=arg supg∈GL（g）使用对数似然的凹度。

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2022-5-31 04:36:43

鉴于预期未知，上述内容被经验估计值gT:=arg sup LT（g）所取代，其中sup是在下一节中定义的某类函数上，抽样可能性isLT（g）：=^Tg（X（t））dN（t）-^Texp{g（X（t））}dt，（3）式中，L（g）=limTLT（g）/t几乎可以肯定（关于此陈述的证明，请参见补充材料中的A.1.2节）。假设等待直到时间Tn，使得N（Tn）=N，则可以将上述内容写入ltn（g）：=nXi=1“g（X（Ti））-^TiTi-1exp{g（X（t））}dt#。最后显示中的表示对于实际计算很有用，。1.3文件大纲文件计划如下。第2节定义了估计员的模型，并说明了本文的目标。第3节说明了一致性结果及其最优性。讨论了Agreedy算法作为一种在实际中进行估计的方法。第3.6节显示了主要结果对各种估计问题的应用，并推导了收敛率。还提供了其他详细信息。例如，建议使用基于似然比的样本外测试进行预测评估。第4节将估算程序应用于买卖交易的强度。第5节提供了一些足够的证据，以便更好地理解不同参数在估计中的作用。第6节包含更多备注。补充材料第A.1节提供了结果证明。2该模型的目标是允许简单解释协变量对强度的影响。通过让g（x）在x中是线性的，可以获得很好的可解释性。然而，每个协变量的影响可能是非线性的。例如，非线性在许多应用中都有记录，例如高频金融数据（例如，Hasbrouck，1991，Lillo等人，2003）。

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2022-5-31 04:36:46

这些非线性是否会影响强度取决于应用。可加非线性模型被认为是解释性和非线性关系可能性之间的合理权衡。在这种情况下，g（x）=PKk=1g（k）（x），其中g（k）是一些有界函数，可能为零，对于每个k，g（k）（x）仅取决于xk，x的k坐标=（x，x，…，xk）（即滥用符号，g（k）（x）=g（k）（xk））。这是为了减轻符号负担。2.1加法函数的表示为了控制估计误差，有必要对加法函数所在的集合施加某种结构。具有以下结构的函数被视为dg（k）（x）=xθ∈Θkbθθ（x）（4），其中Θkis是一组仅依赖于xk的函数，Θkis是可能不可数的s et，bθ是实值系数。考虑到Θkcan是不可数的，上述表示比标准级数展开更一般。总和被理解为xθ∈Θkbθ：=sup（Xθ∈Fbθ：H Θk，他的名字）。例如，我们可以有gk=bθθf或一些θ∈ Θk，其中Θkis是一个模型，可能在有限维中。由于g的加性结构，g（x）=KXk=1Xθ∈Θkbθ（x）, （5）其中，括号中的术语仅为（4）中的g（k），这是一个仅依赖于kthcovinate的函数。这种结构适合估计。在此框架内的估计需要选择bθ和θ。出于实际目的，后者可能是简单的参数函数或固定函数，而不是一般的有限维模型。详情和示例推迟到第3.6节。感兴趣的读者可以浏览f部分或概述。为了施加一般限制，假设用户确定一组权重W：={Wθ∈ （0，∞) : θ∈ Θ}，其中Θ：=SKk=1Θk。

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2022-5-31 04:36:49

这意味着对于kthexplanative变量的每个函数θ，权重wθ可以不同。那么，定义L（B）=L（B，Θ，W）：=Pθ∈Θbθ：Pθ∈Θwθ| bθ|≤ B、 wθ∈ W. 这是（5）中函数的子集，因此系数的加权绝对和以某个有限常数B>0为界。权重通常用于控制每个θ的重要性。例如，可以让wθ=V ar（θ（X（t）），这样，直观地说，所有函数都具有相同的重要性。在Lasso估计中，回归系数加权绝对和的界很常见（例如，Bühlmann和van de Geer，2011）。示例1让g（x）=PKk=1bkXkandπkbe映射，使得πkx=xkf对于任何x∈ Rk和xkis是x中的k元素。然后，k：={πk}包含一个mapsx的函数∈ Rk进入其kthco坐标xk。同样，当θ∈ Θkand Xkis X的kthco坐标。约束isPKk=1 | bk | pV ar（Xk（0））≤ B、在其他情况下，重量可用于每个功能fk内的收缩，这在有限尺寸空间中很重要。示例2为了避免分心符号，假设g（x）=P∞j=1bjxjk，一个依赖于xk的多项式∈ 仅限[0，1]。也假设P∞j=1（j！）|北京|≤ B、因此权重迫使系数比j！衰减得更快！。一个所有阶导数均以一为界的有限可微函数可以写成上面的多项式，其中| bj |≤ （j！）-因此，权重考虑到了这一点，由于可加性约束，该约束会导致系数产生额外的收缩效应。从现在起，在编写L（B）时，对Θ和W的依赖将是隐式的。L（B）中函数对某些B的逼近误差<∞ 可以与系数的绝对值上的界有关。如果假设g∈ L（B）表示未知但有限的B。

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2022-5-31 04:36:52

如果用户使用B<Ban近似值估计模型，将产生误差。然而，请注意，本文的结果将允许更一般形式的误认。设P（x）为x（t）的边际分布，其平稳性不依赖于t。对于任何函数g:RK→ R、设pg=`g（x）dP（x）。Lr（P）范数为|·| r=\'|·| rdP1/r，用于r∈ [1，∞), 当r=∞. 以下是Sancetta（2015）中结果的重新调整，可用于控制估计值的近似误差。引理1 Let g∈ 对于某些B<∞ d′θr：=supθ∈Θ|θ| r<∞. 然后，对于anyB<∞, 和r∈ [1，∞], 明∈L（B）| g- g | r≤ w-1′θrmax{B- B、 0}。当g/∈ L（B），确定最佳均匀近似值gB=arg inf | g- g级|∞, 其中上限超过L（B）。我们将定义b=arg infB<∞|gB-g级|∞. （6）这意味着，对于任何g，Gb是Gf的最佳一致逼近∈SB>0升（B）。2.2目标用户假设g∈ L（B），但忽略B的值。他们猜测a值“B<∞.如果g∈ L（B）和“B”≥ B、不会有近似误差。估计误差可能很高，尤其是当“B”比“B”大得多时。一旦选择了“B”，则（3）中的对数可能性在L上最大化\'\'B.设λ=d∧/du，其中∧是强度度量（1），u是勒贝格度量。然后，λ（X（t））=exp{g（X（t））}如（1）所示。假设g是固定且有界的。定义随机范数| g- g |λ，T：=sT^T（g（X（T））- g（X（t）））d∧（t）。通过平稳性和遍历性（例如，绪方引理2，1978），| g- g |λ，T→ P（g- g） λ=^（g（x）- g（x））λ（x）dP（x），（7）几乎可以肯定。目标是确定gTin L的估计器\'\'B并获得| gT的收敛速度为零- g |λ，T。通过（7），这种收敛也意味着P（gT）的收敛-g） λ，但除非我们对协变量施加依赖条件，否则无法得出后者的收敛速度。

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2022-5-31 04:36:55

如果| g |是有界的（此处将假定）-（7）的右侧（r.h.s.）与P（g）成比例- g） =| g- g |，因此得出的结果也包含在P积分平方误差中。证明表明，对于exp{gT}和exp{g}之间的海林格距离b，收敛结果成立。为了尽量减少符号负担，文本中未明确说明这一点。详见补充材料A.1节。注意元素g，g′∈ L\'\'B如果P（g- g′）λ=0.2.2.1与Lassogin的连接——系数bθ的约束，L上的最小化\'\'B正是无惩罚似然估计的原始值，即Lasso。更具体地说，对样本进行调节，对于每个‘B’，都有一个常数π’B（拉格朗日乘数，它随T增加，但速率可能与LT不同），因此以下两个显示的左侧是相同的：arg supθ，BθLTXθ∈Θbθ！，其中，上确界接管θ和bθ，使得pθ∈Θbθθ∈ L\'\'B;arg supθ，bθLTXθ∈Θbθ！- π′BXθ∈Θwθ| bθ|，（8）其中上确界接管θ和bθ，使得θ∈ Θ和bθ是实数。IfL公司\'\'B是一个有限维空间，π′B/T→ 0（概率），当估计量与人参皂苷L一致时\'\'B. 然而，当我\'\'B是有限维的，范数是不等价的，在本文所考虑的范数下的一致性并不意味着在约束所隐含的范数下的一致性。因此，对于有限维L\'\'B, 即使估计量是一致的且在L内滑动，π'B/T也可能收敛到常数\'\'B.当我们能够将约束映射到拉格朗日乘子π′B中时，原始或对偶问题的估计给出了相同的解决方案。

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2022-5-31 04:36:58

一般来说，这并不简单。套索问题的解决方案通常是通过坐标下降，但通常不会得出收敛速度（例如，Bühlmann和van de Geer，以及其中的参考文献）。在这里，我们解决了约束优化问题，并在实践中提出了这样做的算法，并推导了算法的收敛速度（第3.5节）。3估值的一致性3.1条件施加以下条件。第3.4节对这些问题进行了说明。为了帮助直觉，条件可以分为三组：随机限制、参数空间限制和估计量限制。条件使用第2.1节（1）和（1）中定义的符号。条件1随机限制。1.（X（t））t≥0是一个平稳的、遍历的、可预测的K维过程，其值在某个集合X中 RK（K>1）；2、累积强度∧具有关于勒贝格测度的密度λ（如（1）所示）；3.T=0是在时间T跳转之前的最后一次跳转的时间。条件2参数空间限制。Θ=SKk=1Θkar中的函数是可测量的，并且一致地由单位常数θ：=supθ限定∈Θsupx∈X |θ（X）|。布景是一个L∞（P）-括号数（，Θk），使得熵积分'pln（1+N（，Θk））d对于每k是有限的（无界的，并且可以随着s的充分大小而增长）；L（B，Θ，W）中的权重满足yw：=infθ∈Θwθ>0；2、在（1）中，(R)g：=| g|∞< ∞ 如果g6=gB，则B<∞ （见（6））。条件3估计器限制。估计值：1。公关部燃气轮机/∈ L\'B，Θ，W= o（1）；2、LT（gT）≥ supg公司∈L（\'B，Θ，W）LT（g）- Op公司TrT公司, 其中RTI如第3.2节（9）所示。一般来说，从（9）可以推断rT.T1/2，其中，贯穿。等于乘法泛有限绝对常数的不等式。3.2一致性结果将表明，统计估计的总体复杂性取决于三个因素。

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2022-5-31 04:37:01

变量K，B（在L中）的对数\'\'B) 和最大集合的熵积分Θk。为了便于记法，对θ和wis的依赖性在下文中被抑制。在结果的证明中可以找到更多的显式界限。定理1假设存在一个非减量序列Rt，使得Rt。最小值\'\'B-1/2√ln K+最大值≤印尼国家电力公司（1+N（，ΘK））d，infg∈L（\'B）| g- g级|∞. （9）在条件1、2和3下，| gT- g |λ，T=Opr-1吨.请注意，RTI不减损的条件隐含地对“B，Kand N（，Θk）”施加了限制。令人望而生畏的表达式（9）确实简化了，但为了灵活性，它以这种形式出现。第3.6节考虑了该结果在各种问题上的应用，从而使界限变得相当简单。为了提供边界清晰度的感觉，可以方便地假设近似误差影响∈L（\'B）| g- g级|∞为零。同时，也反对熵积分以有限常数为界。在这种情况下，| gT的收敛速度- g |λ，Tis O（ln（K）/T）1/4. 通过平稳性和遍历性，很容易看出，对于T=Tn（Tn是第n次跳跃的时间），Tn n、在哪里表示等于多复制有限绝对常数。因此，边界变得更加熟悉（ln（K）/n）1/4对于K>1。Tsybakov（2003）的结果表明，在具有高斯误差的回归环境中，K有界项的凸组合的线性估计不能比Op（ln（K）/n）1/4当K的数量级大于n1/2时（参见Tsybakov，2003年的定理2）。因此，在没有进一步假设的情况下，可以假设这里导出的收敛速度在这种情况下是最优的。第3.3节中的定理2为这一假设提供了一些严密性。现在显示当g∈ L（B）对于一些未知但确定的B，考虑以下场景。

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2022-5-31 04:37:04

让“B”→ ∞ 所以最终≥ B、 ByLemma 1推断，对于某些有限的B，近似误差最终完全为零。不合理的是，以下情况成立。推论1 S上推g∈ L（B）。在定理1的条件下，对于任何→ ∞,|燃气轮机- g |λ，T=Op(R)Bh√ln K+最大值≤K'pln（1+N（，ΘK））diT1/2更一般地说，当g/∈ L（B）对于任何B，定理1中的逼近误差可以使用以下等式来有界，这是由三角形不等式和引理1得出的。引理2在条件2下，infg∈L（\'B）| g- g级|∞. infB>0最大值B-\'B，0+ infg公司∈L（B）| g- g级|∞.对可能的应用范围感兴趣的读者可以直接访问第3.6节。下一节将对估计问题的最优性、条件和解决方法进行说明。3.3最优性从前面的评论可以合理地推断，定理1中的收敛速度对于K large是最优的。为避免技术问题，请考虑以下简化场景。有人可能会争辩说，不太严格的条件会使估计问题更加困难，因此，如果下限在限制性条件下成立，那么它应该在更一般的条件下成立。回想一下，Xk（t）是协变量X（t）向量中的k元素。定理2假设L（1）：=L（1，Θ，W），其中集合Θk包含有界函数，并且W中的权重已设置为1。假设X（t+Ti-1） =X（Ti-1）对于t∈ （0，Ti），即X（t）在点过程N的跳跃之间是常数，t=0。也假设（X（Ti））i≥0形成i.i.d.随机变量序列，且Xk（Ti）是独立的交叉k，具有连续分布函数。

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2022-5-31 04:37:07

对于K>T1/2n，对于anyp，K=O（Tpn）<∞, 和n→ ∞,infgTsupg公司∈L（1）^Tn | gTn（X（t））- g（X（t））| exp{g（X（t））}dt&rTnln1+KT-1/2n在概率中，最大值超过了强度的所有可能估计量gTnof。定理2指出，即使在相当严格的条件下，只要变量K的数量级大于T1/2n，在··λ下的收敛速度也不能快于qt-1/2nln K.3.4关于条件的备注值得强调的是，条件并不限制g∈ 对于某些B<∞.情况1轻微。对于所有实际情况，人们通常将X定义为一个保持连续的自适应过程。这意味着可预测性（例如，Brémaud，1981）。因此，从最后一次跳转开始的时间R（t）：=inf{t- Ti:t- Ti>0，i=0，1，2…}可以用作协变量，因为这是一个可预测的过程。在第3.6节中估计某些非线性Hawkes过程时会出现这种情况。T=0这一事实被用来保持符号的简单。类似地，条件K>1用于避免在不同位置写入ln（1+K），而不是ln K。在条件2中，函数类的熵积分限制是标准的。由于框架非常通用，因此需要对Θk中函数的复杂性进行一些控制。熵积分是有限的，但可以随着样本量的增加而增加，即使符号中没有明确说明（见第3.6.6节，以及补充材料中引理5的证明）。L∞（P）-集合的括号数Θkis是某个集合V中元素的圈数，对于每个θ∈ Θk，有一个括号[θL，θU]满足θL≤ θ≤ θU和|θL- θU|∞≤ 。统一范数可以用随机范数代替-1’T |θL- θU | d∧，这实际上是证明中使用的范数。

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2022-5-31 04:37:10

这很难控制，在本文考虑的应用中，使用了（更强的）统一范数。为了涵盖筛分估计和/或误判的情况，gis不限于位于L，但需要一致有界。条件3只要求估计量渐近满足本文讨论的复杂性限制。这比假设任何样本量的系数绝对总和以'B为界，并且函数θk的估计值始终在'k中的假设要弱。这种设置允许覆盖不同的估计方法，而不限制对特定方法的关注。此外，估计量GT只需渐近地而非精确地最大化样本似然Lt。第3.5节详细介绍了计算上可行的估算方法。在某些情况下，我们无法观察到真正的协变量，只能使用近似数据来估计其强度，甚至可能不是平稳的。一个典型的例子是在霍克斯过程中（见第3.6节），或者协变量是过去值的移动平均值。在上述情况下，真实协变量是某种数量的因果过滤器，但我们只能使用一些初始条件而不是时间T=0之前的观察构建过滤器。注意，真实协变量仍然满足条件1。然而，我们对一些代理数据进行了优化，这样条件3中的最后一点就不会直接成立。以下内容允许我们考虑此类情况。推论2支持条件1和2成立，并使rTbe如（1）所示。定义“Bw：=”B/w。设▄X（t）为任意协变量，但E supθ∈Θ^TθX（t）- θ（X（t））dt=Oe-“Bw”θ√T长度K.

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2022-5-31 04:37:13

（10）假设▄gtsaties Pr燃气轮机/∈ L\'B，Θ，W= o（1）和▄LT（▄gT）≥ supg公司∈L（\'B，Θ，W）~LT（g）- Op公司TrT公司（11）其中，当我们使用协变量X（t）而不是X（t）作为数据时，lti是对数似然lti。那么，▄GT也是LT的近似最小值，即它满足条件3（误差Op电话/传真).因此，gT- g |λ=^T | gT（X（T））- g（X（t））| exp{g（X（t））}=Opr-2吨.此外，^T燃气轮机X（t）- g（X（t））exp{g（X（t））}dt=Opr-2吨RTA在（1）中。推论2表示，即使根据基于替代协变量的对数似然（loglikelionlt）计算估计量，只要替代协变量满足（10），我们也可以获得相同的收敛速度。推论2中的最后一个显示是▄gTX（t）接近g（X（t）），即使在不同的数据下进行评估。3.5估计算法L上的对数似然最大化\'\'B由于目标函数的凹性和凸闭约束，导致了唯一的最大值（在等价类内）。然而，虽然它适合于理论推导，但对于实际实现来说太抽象了。图1中的算法可用于解决约束最小化问题。对于RK上的重值函数g和h，使用函数h方向上对数似然的以下导数dDT（g，h）：=^Th（X（t））dN（t）-^Th（X（t））exp{g（X（t））}dt。有一个直线搜索来查找系数ρj。为了加快计算速度，可以将其设置为确定性值ρj=2/（j+1）。步骤j处约束最大值的更新近似值用Fj表示。定理3给出的界在这种情况下也成立。图1：。

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2022-5-31 04:37:17

对数似然优化集：m∈ NF：=0？B<∞对于：j=1，2。。。，mθj：=arg supθ∈Θ| DT（Fj）-1，θ）|/wθbj：=(R)Bwθ符号（DT（Fj-1，θj））ρj：=arg m axρ∈[0,1]LT（（1- ρ） Fj公司-1+ρbjθj）或ρj：=2/（j+1）Fj（X）：=（1- ρj）Fj-1（X）+ρjbjθj（X）定理3让Fmbe为图1的结果估计量。定义“Bw”：“B/w”。然后，LT（Fm）≥ supg公司∈L（(R)B）LT（g）-8T e“Bw”θ“Bw”θm+2，其中符号来自条件2。图1中的算法属于Frank Wolfe算法家族（例如，Jaggi，2013，关于收敛到最佳点的一般证明，Sancetta，2016，关于线性模型的统计特性）。以下确定了适当的迭代次数，以便进行一致的估计。推论3 I f m-1=oT-1/2e-“Bw”θ“Bw”θ-2., 然后，图1中的Fmin满足条件3。因此，如果“B”有界，则m-1=oT-1/2.3.6各种估算方法和模型规范的应用功能类别是通用的，可以适应各种估算方法和模型规范。下面讨论了不同的模型、函数类和估计量。有些应用程序有一些重叠，但近似误差方面的变化使它们差异很大，足以证明其单独处理的合理性。为了避免讨论中出现一些奇怪的情况，请定义地图（x，x，…，xK）=x 7→ πk（x）=xkso，对于R上的任何f，fo πk（x）=f（xk）。在所有的例子中，它都假设每个协变量的支持度为[0，1]。这样做是为了避免不必要的技术性干扰。在各种情况下，我们可能会有一个离心近似误差。

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2022-5-31 04:37:20

在这种情况下，以下内容将用于指示包含真实g，g（B）的集合：=（g=KXk=1bkfko πk:fk∈ H、 KXk=1 | bk |≤ B），（12）其中，H是一类单变量函数，将根据应用情况在下面各节中定义。在本节的所有示例中，所有权重wθ均应等于1，无需进一步提及。那么，当Θk={fo πk:f∈ H} ，L（B）=G（B）。假设fV，kis是f函数fk的近似值∈ H、那么KXk=1bkfk-KXk=1bkfV，k∞≤ B最大值≤K | fk- fV，k|∞（13）当kk=1 | bk |≤ B、这将在一些示例中使用，以估计近似误差。在这种情况下，（13）将与引理2结合使用，其中B只是一个有界常数（例如，B=B）。最后，在下面的所有边界中避免琐碎的K>1。当K&T1/2时，边界特别重要。注意，在示例中，我们可以有| gT之类的界限- g |λ，T.’Bp（ln K）/T。我们默认要求r.h.s.为O（1）。定理1的下列推论的证明可以在A部分找到。补充材料的1.5。3.6.1多变量线性模型LetΘk：={πk}，映射x∈ Rk进入其kthco坐标xk。那么，g（x）=PKk=1bkxk。以下内容适用。推论4s上推g∈ L\'\'B. 在条件1和3下，| gT- g |λ，T。ln KT概率为1/2。推论表明，即使在超高维情况下，估计量也是一致的等对于c∈ [0，1）。3.6.2具有许多协变量的霍克斯过程霍克斯过程有许多版本。为了便于说明，请考虑标准指数衰减情况的非线性函数（例如，Brémaud和Massoulié，1996）。定义过程族fa（t）t型≥0：a∈ [a，\'a] （0，∞ ), 其中，对于每个a，~fa（t）：=f\'[0，t）e-a（t-s） dN（s）f是有界Lipschitz函数。

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2022-5-31 04:37:23

由于在t=0时启动，因此过程fa（t）不是静止的。因此，根据条件1，它不能用作协变量之一。确定家庭成员≥0：a∈ [a，\'a] （0，∞ )o、式中fa（t）=f\'(-∞,t） e类-a（t-s） dN（s）f和前面一样。过程fa是静止的，但不可观测。尽管存在符号差异，但我们可以验证推论2的条件，以确保定理1仍然成立。我们还需要验证使用fa（t）的计数过程是平稳的。推论5在条件1下，强度密度λ（t）=exp{fa（t）+g（X（t））}（对于任何∈ （a，’a））具有固定分布。此外，假设对数似然度与强度expnfa（t）+g（X（t））ois最大化w.r.t。g级∈ L\'\'B和a∈ GT和aT的[a，\'a]（即使误差与条件1中的误差大致相同）。假设B是固定的，g∈ L\'\'B, 然后，在概率上，燃气轮机+￠英尺- （g+f）λ、 T。√ln K+√ln T+最大值≤K'pln（1+N（，ΘK））d√T、（14）也假设Θk：={πk}，那么燃气轮机+￠英尺- （g+f）λ、 T。ln KTT概率为1/2。请注意，为了简化表示，我们使用ln KT=ln（KT）和类似的通配符。3.6.3多变量阈值模型→ [0，1]是参数α的Holder连续∈ （0，1），即|Д（x）- ^1（y）||x个- y |α。考虑一类线性阈值函数f（x，z）：=ax+axД（cz- c），x，z∈ R、其中a，a，c，关心未知的实系数，a，a，c，c∈ [-1，1]。用H.Let（Z（t））t表示这类函数的集合≥0是一个可预测的平稳遍历实值过程，取[0，1]中的值作为Xk的值。将其称为阈值变量。那么，f（Xk（t），Z（t））是一个转换过程，对于KthCovenate：Xkdepends对阈值变量Z的影响。

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2022-5-31 04:37:26

因此，f（x，z）是一个平滑过渡函数（参见van Dijk et al.，2002，了解基于此函数规范的平滑回归模型调查）。具有元素Д（cz）的函数类- c）有界z具有有限熵积分（例如，从van der Vaart和Wellner，2000年的定理2.7.11中推导出）。鉴于此a，a∈ [-1，1]，因此H具有有限熵积分。设Θk：={fo （πk，ι）：f∈ H} ，其中，ι是单位映射ι（z）=z（即，fo （πkx，ιz）=f（xk，z））。推论6设Z如前所述。假设g∈ L（B）。在条件1和3下，对于估计量gT∈ L\'\'B, 对于任何“B”→ ∞ 使得“B=O”T1/2, |燃气轮机-g |λ，T.’Bln KT最终，概率为1/2。3.6.4 Lconstraintc下固定字典的扩展，考虑表示为f=P的单变量函数的情况∞v=1avevwhere{ev：v=1，2，…}是一本字典∞v=1 | av |<∞. Barron等人考虑了此类函数的子空间。（2008年）。一个典型的例子是当f是多项式时。然后，letPVv=1avev（xk）是某些特定V的KthCovenate函数的（截断）表示。然后，假设gc可以写成g（x）=KXk=1bkVXv=1avk，kevk（xk）（15），因此Θk={evo πk：v=1，2。。。，V}和pkk=1PVv=1 | bkavk，k |≤ B、在这种情况下，可以直接估计系数bkavk，并将优化减少到元素ev的选择上o πkinΘ。每个Θk中都有V固定的元素。因此，每个Θk的熵积分是√第五层。如果没有产生近似误差（即GCA可以写为（15）），则| gT-g |λ，T。ln千伏1/2，与线性情况（第3.6.1节）一样，但使用KV变量代替K。该框架适用于平滑函数的筛选估计，在这种情况下会产生近似误差。

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2022-5-31 04:37:29

对于不确定性，假设{ev:v=1，2，…}是周期为1的三角多项式，而不是通用字典。设H是[0，1]上指数α>1/2、常数为1且一致有界的保持连续函数类，即| f（x）- f（y）|≤ |x个- y |α和| f|∞≤ 1，如果f∈ H根据Bernstein定理（例如，Katznelson，2002，第33页），如果f∈ H、存在一个有限的绝对常数cα，仅取决于α>1/2，因此f=P∞v=1avevandP∞v=1 | av |≤ cα，其中等式在上范数中成立。因此，在下面的内容中，我们可以将H等价于具有这种级数展开的函数类。设hv为V阶三角多项式的集合。根据Jackson定理（例如，Katznelson，2002，p.49），对于任何f∈ 有一个V阶三角多项式，比如fV∈ HV，因此| fV-f级|∞. 五、-α。假设g∈ G（1）（在（12）中），然后使用下标0表示G的系数，G=KXk=1bk0∞Xv=1avk0ev=KXk=1（(R)ak0bk0）∞Xv=1avk0？ak0ev！设置“ak0：=P”∞v=1 | avk0 |。根据上述关于Bernstein定理的备注，存在一个有限常数cα，使得'ak0≤ cα。因此，PKk=1（(R)ak0bk0）≤ cα，通过将注意力限制在g上，对bk0进行约束∈ G（1）。设k：=nPVv=1avevo πk：PVv=1 | av |≤ 1o。利用（13），我们可以导出该问题的近似误差，并推导出以下一致性率。推论7 Let g∈ G（1）（如12所示），H Holder连续，指数α>1/2。在条件1和3下，对于gT∈ L\'\'B, 存在一个有限常数cα，使得| gT- g |λ，T.’Bln千伏1/2+V-2α+最大值cα-\'B，0在概率上。因此，对于任何“B”→ ∞, 选择V （T/lnt）1/（4α），| gT- g |λ，T.\'BT-1/2（ln-KT）1/2，概率。3.6.5神经网络对于x，应用ose f（x）='R'Rν（ax+a）dν（a，a）∈ [0，1]，其中ν是有限变化的有符号度量，等于1/2，ν如第3.6.3节所示。

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2022-5-31 04:37:31

对于缩放常数，[0，1]上的任何连续有界函数都允许这种表示（例如，Yukich等人，1995年，第二节）。用H.Us表示此类一元函数，通常，Д是一个S形函数，一个单调函数，limx→∞Д（x）=1和limx→-∞ν（x）=0，例如，双曲余弦tanh。考虑截断系列扩展PVV=1a1vД（a2vx- a3v）适用于某些单位。用V项表示该系列展开式的集合，用HV表示：=（f（x）=VXv=1a1vД（a2vx- a3v）：VXv=1 | a1v |≤ 1、a2v、a3v∈ R）。设Θk：={fo πk:f∈ HV}。假设g∈ G（B）（in（12））。HVfor H中的最佳逼近引起的一致性误差为V-1/2P-几乎可以肯定（Yukich等人，1995年的定理2.1）。因此，使用（13），筛子带有V-1=OT-1/2导致G的近似误差为O英国电信-四分之一. 根据第3.6.4节中的论点和第3.6.3节中的事实，即Д是Holder\'s continuous，可以推断出以下内容。推论8s大于g∈ G（B）。在条件1和3下，对于估计量gT∈L\'\'B, 对于任何V≥ 1，| gT-g |λ，T.’Bln千伏1/2+最大值B-\'B，0+ 五、-1可能性。因此，选择V T1/2，对于任何“B”→ ∞, |燃气轮机- g |λ，T.’Bln KTT1/2不可能。3.6.6形状约束估计：许多单调Lipschitz函数考虑单调函数约束下的估计。假设H是一类域为[0，1]且有界于1的单调递增Lipschitz函数。设Lipschitz常数为已知且等于L。设HV为V阶一元Bernsteinpolynomials类。回想一下，如果fV（x）=PVv=0，则fV是V阶Bernstein多项式Vvavxv（1- x）五-v、 x个∈ [0，1]，对于任何实际av。如果av≥ 影音-1对于所有v，多项式单调递增。如果也是av-影音-1.≤ α/V对于所有V，它是具有常数α的Lipschitz（例如，Lorentz，1986，Ch.1.4）。

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2022-5-31 04:37:35

因此，在多项式系数的这些约束下，HV是Lipschitz常数以α为界的函数子集。此外，对于eachf∈ H有一个fV∈ HV使| fV- f级|∞. αV-1/2（例如，Lorentz，1986，Theorem1.6.1）。设Θk：={fo πk:f∈ HV}。已知Lipschitz约束的单调f函数的估计可以使用Bernstein多项式，使用第3.5节的算法方便地进行。估计问题在每一步都变成一个线性规划问题。要看到这一点，请定义qv（x）：=Vv十五（1）- x）五-v、特别是，第3.5节中的DT（g，θ）在θ中是线性的。因此，DT（Fj）的最大化-1，θ）w.r.t.θ∈ Θkis等效tomax{av:v≤V}VXv=0av^Tqv（Xk（t））dN（t）-^Tqv（Xk（t））exp{g（X（t））}dt使0≤ 影音-1.≤ 影音≤ 1和av-影音-1.≤ α/V，V=1，2。。。，五、这通常通过单纯形法对每个k进行求解。此外，可以沿着这些线得出有关估计程序的详细信息。根据van der Vaart和Wellner（2000）的推论2.7.2，推导出HV中函数的熵积分是α1/2的常数倍。下面在应用定理1时使用这个观察结果。推论9 Let g∈ G（B）。在条件1和3下，对于gT∈ L\'\'B, V&α3/2×T1/2和'B→ ∞, |燃气轮机- g |λ，T.’Bα+ln KT概率为1/2。如果Lipschitz常数未知，我们可以让α→ ∞ 在估算中。在这种情况下，熵积分是有限的，但不是有界的。3.7“B”的选择考虑到与lpenalization的关系（见（8）），模型自由度可以通过产生的活动变量数量来近似（例如，Bradic等人，2011）。因此，可以通过最大化Akaike的惩罚可能性（AIC）：AICT（B）：=supg来选择值'B∈L（B）LT（g）-kb其中kb是gT=arg supg中非零参数的数目∈L（B）。这比交叉验证的计算强度小。

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2022-5-31 04:37:39

（在时间序列背景下，交叉验证需要一些谨慎，只有少数特殊情况除外；例如，Burman等人，1994年）。对于非常大的样本量，AIC将选择非常大的模型。在这种情况下，具有较大验证样本的交叉验证（即，省略大部分数据）倾向于选择较小的模型。因此，要使用的方法取决于上下文。有关进一步的讨论和应用，请参见第4.2节和第5节。最后，请注意，为了加快选择“B”的计算速度，可以使用第3.5节中的算法，而无需行搜索。3.8模型拟合和样本外评估可使用样本外评估的对数似然在大样本中执行模型充分性。两种竞争模型gt，g′t的样本外对数似然比∈ L\'\'B在时间t isLS时可预测g、 g′=^Sgt（X（t））- g′t（X（t））dN（t）-^Sexp{gt（X（t））}- 经验值g′t（X（t））dt。在实践中，人们可能会分割样本，并在前半部分估算GT和g′ton，或者每隔一段时间计算过去的观察值。对数似然比的可预测部分isHSg、 g′=^Sgt（X（t））- g′t（X（t））d∧（t）-^Sexp{gt（X（t））}- 经验值g′t（X（t））dt，其中∧（t）是∧（[0，t]）的缩写。当HS（g，g′）大于0时，模型g优于g′。（如果g=g，HS（g，g′）≥ 0，仅当g′=g时相等，见补充材料中的引理4。）可以对以下零假设进行检验：HS（g，g′）=0与单侧或双侧备选方案对比。在null下，LSg、 g′=^Sgt（X（t））- g′t（X（t））d（N（t）- ∧（t））。以下鞅结果是测试程序的正确性。命题1假设GT和g′是可预测的有界过程，HS（g，g′）=0。假设为S→ ∞S^Sgt（X（t））- g′t（X（t））d∧（t）→ σ> 概率为0。设^σS：=S'S[gt（X（t））- g′t（X（t））]dN（t）。

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2022-5-31 04:37:42

然后，LS（g，g′）/qS^σ在分布上收敛到标准正态随机dom变量。测试框架属于Dawid的前置框架（例如，SeillierMoiseiwitsch和Dawid，1993年，适用于应用程序）。这种方法可以以多种方式应用。例如，考虑一个2T大小的示例。使用[0，T]找到估计量GT和g′T。对（T，2T）因此，经必要修改后，命题中的S=T。在这种情况下，gta和g′tar是可预测的。我们需要假设测试样本大小S增加到整数，以便应用结果。如果测试样本的大小T很大，则渐近结果是适用的。4新西兰元未来贸易抵达的估计和预测的应用这里讨论的估算方法是为了了解影响新西兰元期货交易到达的变量，即芝加哥商品交易所（CME）NZDUSD交易的期货。新西兰元是一种流动性货币期货，但不如欧元、澳元和瑞士法郎（兑美元）等其他货币期货（外汇期货）那么多。影响交易到达的变量有哪些，比如买入交易？这些变量和关系（如果有的话）是否稳定，从某种意义上说，在使用今天的数据估计模型后，可以预测明天的买入交易到达？这些问题对于理解市场微观结构、外汇期货市场的一般理论及其与其他工具（如股票市场、大宗商品等）的关系非常重要。事实上，新西兰元属于商品外汇集团，包括澳元、加元等。这些是经济依赖商品出口的国家的货币。

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2022-5-31 04:37:45

轶事证据似乎表明，当风险偏好增加时，新西兰元往往会升值。下文对数据进行了描述，随后对模型进行了估计。4.1数据和变量描述贸易抵达强度的估计是一个重要问题（例如，Hall and Hautsch，2007）。新西兰元期货（新西兰元/美元期货前月合约，其股票代码为6N）在芝加哥商品交易所交易。考虑格林威治时间上午8点至下午5点之间的两天交易，特别是2013年9月10日至2013年9月11日。时间段基于流动性考虑。数据是专有数据，由芝加哥一家自营交易公司与位于芝加哥的欧罗拉数据中心的同一位置服务器使用高精度时间戳收集。因此，交易被视为买入或卖出，错误概率最小。数据具有纳秒时间戳，交易时间戳已经调整，以考虑CME网络和报告中的延迟（这些调整大约为半毫秒）。这确保仅使用交易前的信息来确定协变量。买卖强度分别估算。协变量是利用来自6N以及其他被认为可能产生影响的合同的信息得出的。协变量由以下CME期货构成：新西兰元（6N）、澳元（6A）、欧元（6E）、英镑（6B）、加元（6C）、日元（6J）、瑞士法郎（6S）、墨西哥元（6M）、原油（CL）、黄金（GC）和迷你S&P500（ES）。对于每种工具，协变量来自订单和贸易更新。具体而言，变量包括中间价格回报、买卖价差、前两个水平的交易量失衡、贸易失衡和贸易持续时间。变量的值每次发生变化时都会更新。

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2022-5-31 04:37:49

例如，当中间价与前一个中间价发生变化时，计算回报。量的不平衡计算为每个级别的投标和询价数量的差异（合同通常为5个级别的报价）。然后，这些差异通过该级别上的买卖数量之和进行标准化。贸易失衡是指签署的交易规模，ifa买入为正，卖出为负。除价差外，还计算了所有变量的移动平均值。特别是，使用了顺序为1、2、4、8、16、32、64、128的移动平均数。这是为了让信息以稍微不同的频率以类似于toMIDAS的方式影响强度。总的来说，变量的总数是508，包括一个常量。还估计了一个也允许所有标准化变量的平方和三次方的模型。在这种情况下，包括常数在内的变量总数为1522。一旦计算了特征变量，为了减少计算负担，仅当NZDUSD期货中有更新时才对其进行采样。理由是，如果一个工具领先6N，那么6N的帐簿将在交易前更新。4.2计算测定两天的样本分为三部分。第一天的前半部分是估计样本。第一天的后半部分是验证样本。第二天是测试样品。变量在95%的分位数处进行风标化，然后用它进行标准化，以获取数值[-1，1]。对于三次多项式的估计，在将变量映射到[-1，1]。分位数仅使用第一天的数据计算。因此，测试样本的风沙化基于前一天的95%分位数。风沙化后，选择的权重s集W等于Lnorm的样本es Timato，即Wθ=T'Tθ（X（T））dt1/2超过第一天。

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