然而，如【19，第2.1章】所述，BQ={0}×B（x，R），因此s upBQ|vn |≤ 苏佩克|φ|，因为n≥ k+1，我们在{0}×Ek上有vn=φ。最后，数量oscOhmkvnis在【19，第4.1节】中有定义，但在我们的案例中，kvnis以bysup为界Ohmkvn公司- inf公司Ohmkvn=supOhmkGn公司- inf公司OhmkGn公司≤ C（k）- φ、 最后一个等式来自（6.18）和命题6.6。将所有这些放在一起，并使用Gnon公司Ohmkwe获得支持≥k+1sup0≤t型≤T、 x个∈埃克-1个|Gn（t，x）|≤ C（k）。如果我们通过移动k到k来重新索引它- 1我们获得（6.20）。步骤2：使用（6.20）和[9，定理4，第7章，第2节]来显示（6.25）supn≥k+3【Gn】β，Ohmk+[Gn]β，Ohmk≤ [19，方程式（11.7）]的C（k），++v等于p′p：见[19，方程式（11.2）]后面的内容。22 TETSUYA ISHIKAWA和SCOTT ROBERTSONwhere[·]β，Ohmkis定义见（6.2）。实际上，fix k≥ 2和n≥ k+2。现在，将[9，T heorem 4，Ch 7，Section 2]直接应用于vn（T，x）=Gn（T- t、 x）我们将其应用于vn的截断版本，由（6.26）ˇvn：=χk（vn）给出- φ） （t，x）；（t，x）∈ Ohmk、 请注意71vn∈ H2+β，Ohmk上的Γvn=0。将PDE用于vnin（6.6），得出Γvn解出thePDE（6.27）- ˇvnt+TrADˇvn= f、 式中（6.28）f：=-χkˇan+vnTrADχk+ (vn）′Aχk-Tr公司AD（χkφ）.注意f在{0}×处消失此外，由于（1）|χk | 0，Ohmk+Pdi=1|xiχk | 0，Ohmk+Pdi，j=1|xi，xjχk | 0，Ohmk≤ C（k）按构造。（2） φ≤ 越南≤ 第6.6和（6.18）条中的C（k）。（3）|vn | 0，Ohmk≤ C（k）乘以（6.20）。（4） φ∈ C2，β（E），因此φ∈ H2+β，Ohmkby假设，我们知道（6.29）| f | 0，Ohmk≤ C（k）。因此，通过【9，定理4，Ch 7，第2节】我们得到了【vn】β，Ohmk+[71vn]β，Ohmk≤ C（k）| f | 0，Ohmk、 现在，因为vn=φ+ˇvninOhmk-1三角形不等式意味着[vn]β，Ohmk-1+[vn]β，Ohmk-1.≤ [φ] β，Ohmk-1+[φ] β，Ohmk-1+[ˇvn]β，Ohmk-1+[71vn]β，Ohmk-1.≤ |φ| 2+β，Ohmk-1+C（k）| f | 0，Ohmk≤ C（k）。这保持了n≥ k+2。

更换k- 1对于k，我们可以看到n≥ k+3我们有[Gn]β，Ohmk+[Gn]β，Ohmk=[vn]β，Ohmk+[vn]β，Ohmk≤ C（k）。这就是我们想要展示的。步骤3：使用（6.25）和[19，定理（5.14）]表示（6.30）supn≥k+4 | Gn | 2+β，Ohmk≤ C（k）。让n≥ k+3。我们保留了上一步中的符号&vn。因为ˋVnStifies线性抛物线PDEin（6.27）inOhmk在Γk上，当边界条件|vn=0时，由众所周知的非线性抛物型偏微分方程的存在性结果（参见，例如，[19，定理5.14]）得出| vn | 2+β，Ohmk≤ C（k）| f |β，Ohmk=C（k）（| f | 0，Ohmk+[f]β，Ohmk） 。默认定价23By（6.29）我们已经知道| f | 0，Ohmk≤ C（k）。然而，从（6.28），（6.25）以及模型系数和χkit的规律性可以很容易地看出，[f]β，Ohmk≤ C（k）。这就产生了| vn | 2+β，Ohmk≤ C（k）。因为ˇvn=vninOhmk-我们看到| Gn | 2+β，Ohmk-1=| vn | 2+β，Ohmk-1.≤ ||vn | 2+β，Ohmk≤ C（k）。因此，替换k-1带k，从n开始≥ k+4表示| Gn | 2+β，Ohmk≤ C（k），精确地说是（6.30）。步骤4：使用（6.30）获得溶液G至（1.17）。这个证明是标准的，遵循对角线子序列参数。实际上，将一个整数k乘以（6.30）应用于k=kwe可以提取一个子序列gnk，该子序列在·······································································································································，OhmK到函数Gk。很明显，Gksolves（1.17）inOhmkwith Gk（T，·）=φon Ek。然后，对于k=k+1，我们可以取进一步的子序列gnk，其收敛于|·| 2+β，Ohmktoa函数gk满足中的PDEOhmk、 按构造Gk=GkinOhmk因此将G设置为该公共函数，G在Ohmk、 对k，k+1，…重复此过程。。。我们得到了一个函数gw，它在正确的边界条件下求解（0，T）×E中的完全偏微分方程。很明显，G∈ H2+β，Ohmkforeach k和G∈ H2+β，（0，T）×E，位置。这就完成了证明。6.4。展开本地化：概率结果。我们现在提供概率结果，以补充第6.3节中的分析结果。

第一个引理在精神上与引理6.3、6.4相似，但包含了关于（1.13）对偶问题的附加声明。双重问题是（回想一下，我们是从t开始的≤ T和因子过程满意度Xt=x）：（6.31）v（T，x；φ）：=infQ∈fM公司EhZQTlogZQT公司i+αEhZQTδ>Tφ（XT）i; ZQT=dQdP燃气轮机。引理6.8。假设FM 6= 因此有一个独特的优化器^Q∈fM到（6.31）的右侧（c.f.，[25，定理1.1]），那么Z^qm必须是t的形式≤ s≤ T：（6.32）Z^Qs=EZ·tu≤T∧δA′udWu+Z·tu≤T∧δBudWu+Z·tu≤T∧δCudMus、 式中，A、B、C为FW、W可预测过程，使得（6.33）0=（u-γ） （Xu）+（σρ）（Xu）′Au+（σp1-ρ′ρ）（Xu）Bu- γ（Xu）Cu，对于P×leb[t，t]，几乎每个（ω，u）。引理6.8的证明。与引理6.3、6.4中相同的参数表明，如果Q∈ M代表t≤ s≤ T:ZQs=EZ·tA′udWu+Z·tBudWu+Z·t+CudMus、 式中▄A，▄B，▄C是G可预测的，其中P×leb[t，t]几乎每（ω，s）0=1u≤T∧δ（u- γ） （Xu）+σρ（Xu）′~Au+σp1- ρ′ρ（Xu）~Bu- γ（Xu）~Cu.24 TETSUYA ISHIKAWA和SCOTT ROBERTSONWe首先声称∈对于对偶问题，fM，Q不可能是最优的，除非在T∧ δ。确实，Q∈fM意味着上面的ZQas是鞅和EhZQTlogZQT公司i<∞. 因此，ZQlog（ZQ）是一个次鞅。因此，由于1δ>Tφ（XT）=1δ>Tφ（XT∧δ） 在GT中∧δ我们通过次鞅性质和可选抽样定理得到了ehzqtlogZQT公司i+αEhZQTδ>Tφ（XT）i≥ EhZQT∧δlogZQT公司∧δi+αEhZQT∧Δδ>Tφ（XT∧δ） 因此，任何优化器都必须位于EhZQTlog所在的类中ZQT公司i=EhZQT∧δlogZQT公司∧δi、 这意味着几乎可以肯定ZQTlogZQT公司= ZQT公司∧δlogZQT公司∧δ. 因此，根据优化器的唯一性，它必须保持关联的A、B、C的形式为（6.34）A··≤T∧δ、 B··≤T∧δ、 C··≤T∧δ。现在，到目前为止，~A、~B、~C只需要是G可预测的。

但是，如【1，第5章】所示，由于G的特殊结构，我们得到了在区间【t，t】上，~A，~B，~C与FW，wp可预测过程A，B，C重合∧ δ） 。因此，P×leb[t，t]几乎可以肯定0=1u<t∧δ（u-γ） （Xu）+（σρ）（Xu）′Au+（σp1-ρ′ρ）（Xu）Bu- γ（Xu）Cu;= 1u≤T∧δ（u-γ） （Xu）+（σρ）（Xu）′Au+（σp1-ρ′ρ）（Xu）Bu- γ（Xu）Cu-1u=T∧δ（u- γ） （Xu）+（σρ）（Xu）′Au+（σp1- ρ′ρ）（Xu）Bu- γ（Xu）Cu.确定FW、WPR可预测流程：=（u-γ） （Xu）+（σρ）（Xu）′Au+（σp1-ρ′ρ）（Xu）Bu-γ（Xu）Cu; t型≤ u≤ T、 对于任何ε>0，我们有P×leb[T，T][1u=T∧δYu≥ ε]≤ P×leb[t，t][u=t∧ δ] 。但是，对于每个u∈ 我们知道P[u=t∧ δ] =EhEhu=δFW，W∞ii=0，因为δ的密度取决于FW，W∞. 当{u=T}的勒贝格测度为0时，我们可以看到P×leb[T，T][1u=T∧δYu≥ ε] =0表示所有ε>0。类似的参数显示P×leb[t，t][1u=t∧δYu≤ -ε] =0，因此P×leb[t，t]几乎可以肯定0=1u≤T∧δ（u- γ） （Xu）+（σρ）（Xu）′Au+（σp1-ρ′ρ）（Xu）Bu- γ（Xu）Cu（6.35）现在，对于如上所述的Y，假设存在一个开放区间（a，b） [t，t]，a集合a∈ FW，W和ε>0的常数≥ ε在A×（A，b）和P[A]>0上。然后我们有{1u≤T∧δ、 于≥ ε} （A×（A，b））∩ （{δ>T}×[T，T]）=（A∩ {δ>T}）×（a，b）。显然，leb[t，t]（a，b）=（b- a） /（T- t） >0。此外，P【A】∩ {T>δ}]=EhAe-RTγ（Xu）dui>0，其中最后一个不等式紧随其后，因为P[A]>0且γ是连续的。这与（6.35）相矛盾。Y的类似参数≤ -ε表明，P×leb[t，t]几乎可以肯定Y=0，从而得出结论。接下来，我们将给出命题6.7的概率对应项，该命题将产生一个候选对偶优化器以及确定性等价物的上界。默认定价256.9号提案。假设Gnbe是命题6.1和6.5中（6.5）的唯一解。

如命题6.7所示，假设每个k∈ N该（6.36）supn≥k+1sup0≤t型≤T、 x个∈EkGn（t，x）=C（k）<∞.设G表示命题6.7中（1.17）的解，并回忆子序列（仍标记为n），使得gn在H2+β，（0，T）×E，loc中收敛到G。修复t∈ [0，T]，x∈ E、 对于G，定义^π如（1.18）所示，定义^Z如（1.19）所示。（1）^Z是测度^Q的密度过程∈fM。（2） W^π是a^Q次鞅。（3） 对于（1.13）（6.37）中的u（t，x；φ）-α对数(-u（t，x））≤ G（t，x）。命题6.9的证明。取k，n≥ k+1足够大，以便x∈埃克。根据命题6.5，Gnis的确定性相当于（6.12）。此外，提案6.5中的流程^zn定义了度量^Qn∈FMN解决了对偶问题（类似于（6.31））。因此，Eh^ZnT∧τnlog^ZnT∧τni=αGn（t，x）- αEh^ZnT∧τnδn>T∧τn（χnφ）（XT∧τn）i≤ α（C（k）- φ） ，（6.38），其中最后一个等式来自（6.36）。这表明N^ZnT∧τ非≥k+1是一致可积的。接下来，当X=Xt时，我们几乎可以肯定地知道^πn（s，Xs）→ ^π（s，Xs），t≤ s≤ T^π决定财富过程^W，动态d^Ws=^π（s，Xs）1s≤δu（Xs）ds+（σρ）（Xs）′dWs+（σp1-ρ′ρ）（Xs）dWs- ^π（s，Xs）dHs。回顾命题6.5中的最优财富过程^Wns，其中dynamicd^Wns=^πn（s，Xs）1s≤τn∧δn（χnu）（Xs）ds+（χnσρ）（Xs）′dWs+(√χnσp1-χnρ′ρ）（Xs）dWs- ^πn（s，Xs）1s≤τndHns。对于u∈ [t，t]writeAnu：=^π（u，Xu）1u≤Δu（Xu）- ^πn（u，Xu）1u≤τn∧δn（χnu）（Xu）；Bnu：=^π（u，Xu）1u≤δ（σρ）（Xu）- ^πn（u，Xu）1u≤τn∧δn（χnσρ）（Xu）；Cnu：=^π（u，Xu）1u≤δ（σp1-ρ′ρ）（Xu）- ^πn（u，Xu）1u≤τn∧δn(√χnσp1-χnρ′ρ）（Xu）。请注意ZTT | 1u≤δ- 1u≤τn∧δnχn（Xu）| du≤ZTtu公司≤τn-1 | 1u≤δ- 1u≤δn |+ZTtu>τn-1 | 1u≤δ- 1u≤τn∧δnχn（Xu）| du；≤ δn∧ T- δ∧T+2最大值T- τn-1，0.26 TETSUYA ISHIKAWA和SCOTT Robertson最后一个不等式是从下面的L emma A.4中得到的s，它表示δn≥ δ。因此，根据引理A.4和假设1.2，我们几乎可以肯定limn↑∞RTt | 1u≤δ- 1u≤τn∧δnχn（Xu）| du=0。

从这里可以看出，X是连续的，模型系数是连续函数，Gn→ G在H2+β中，（0，T）×E，loc意味着几乎肯定limn↑∞ZTt | Anu | du=0；画↑∞ZTt | Bnu | du=0；画↑∞ZTt | Cnu | du=0。这表明关于du、dWu和dWuin^wn的积分在概率上一致收敛于[t，t]上的相应积分（见[17，命题3.2.26]）。最后，设置ˇMs：=Zst^π（u，Xu）dHu=1δ≤s^π（δ，Xδ）；ˇMns：=Zstu≤τn^πn（u，Xu）dHnu=1δn≤s∧τn^πn（δn，Xδn）。引理A.4表示1δn≤s∧τn→ 1δ<最肯定且明确的^πn（δn，Xδn）→ ^π（δ，Xδ）几乎肯定是好的。因此，我们几乎可以肯定limn↑∞|ˇMns- Ms |=1δ=s^π（s，Xs）。但是，如Lemma 6.8的证明所示，P[δ=s]=0，因此→G Msalmost sauly for each s∈ [t，t]。将上述事实放在一起，得出→^WTin概率。接下来，如（1.19）定义（6.39）^Zs:=e-α（^Ws-G（t，x）+1s<δG（s，Xs））；t型≤ s≤ T、 根据程序，我们通过构建^Wn:^ZnT∧τn=^ZnT=e-α（^WnT-Gn（t，x）+1T∧τn<δn（χnφ）（XT∧τn））→ e-α（^WT-G（t，x）+1T≤Δφ（XT））=^ZTeα1T=Δφ（XT）。极限在概率中。同样，由于P[T=δ]=0，我们看到^ZnT∧τn→^ZTin概率。我们已经证明了Eh^ZnT∧τni=1和n^ZnT∧τnon是一致可积的。这表明Eh^ZTi=1。此外，使用It^o的公式进行的纵向计算，与下面引理a.7中的计算结果完全一致，表明^Z具有动态性d^Zs^Zs-= 1秒≤δA’sdWs+BsdWs+ CSDM；As=-α（^πσρ+a）G） （s，Xs）；Bs=-α^πσp1-ρ′ρ（s，Xs）；Cs公司=eα（^π+G）（s，Xs）- 1..（6.40）同样，从引理A.7中得出（A.8）的计算中可以推断，G在（1.17）中解出thePDE，而^π在（1.18）中是这样的事实证明P×leb[t，t]几乎可以肯定0=1u≤δ∧T（u- γ） （Xu）+σρ（Xu）′Au+σp1- ρ′ρ（Xu）Bu- γ（Xu）Cu,因此，由d^Q/dP定义的^Q | GT=^ZTis，单位为M。

Fatou引理与^ZnT∧τn→^ZTin概率implyEh^ZTlog（^ZT）i≤ lim信息↑∞Eh^ZnT公司∧τnlog^ZnT∧τn我≤ α（C（k）- φ） .事实上，可以通过设置χn正式恢复结果≡ 1，τn≡ ∞, δn≡ 其中δ。违约定价27（6.38）之后是最后一个不平等。这表明^Q∈fM并给出声明（1）。继续，从（6.39）开始，接下来是（6.41）- α^Ws^Zs+α^ZsG（t，x）=^Zslog（^Zs）+α1s<Δ^ZsG（s，Xs）≥ -e+αφ，其中不等式遵循命题6.6和Gn→ G、 自^Q起∈fM我们看到了-α^Ws^Zs+α^ZsG（t，x）是一个从下方有界的局部鞅，因此是超鞅。因此，由于^Z是一个鞅，我们可以看到^W^Z是一个子鞅。这给出了语句（2）。次马尔基尼性意味着Eh^WT^ZTi≥因此，使用已知的对偶结果，我们从（1.13），（6.41）中得到-α对数(-u（t，x；φ））=infQ∈fM公司αEhZQTlogZQT公司i+EhZQTδ>Tφ（XT）i;≤αEh^ZTlog（^ZT）i+Eh^ZTδ>Tφ（XT）i；=G（t，x）-Eh^ZT^WTi；≤ G（t，x）。（6.42）因此，（6.37）成立，完成结果。根据以上结果，我们准备完成T heorem 1.11的证明。在这里，我们根据假设1.8或假设1.9是否成立来划分结果。要缩短符号，请设置l（x） :=u-γσ（x） ；ln（x）：=√χn√1.- χnρ′ρu-γσ（x） （6.43），并注意到假设1.8、1.9基本上涉及T的指数可积性l（徐）杜。提案6.10。假设1.8成立。然后，得出定理1.11的结论。命题6.10的证明。回想一下，我们已经为第1.2节和第6.2节的最佳投资问题确定了一个起点（t，x）。此外，根据命题6.5，每个n∈ N存在唯一函数Gn∈ H2+β，Ohmnsolving（6.5），相当于（6.12）的确定性。

因此，根据标准对偶结果gn（t，x）=infQn∈fMn公司αEhZQnT∧τnlogZQnT公司∧τni+EhZQnT∧τnδn>T∧τnχnφ（XT∧τn）i≤αinfQn∈fMnEhZQnT∧τnlogZQnT公司∧τni+φ。（6.44）现在，定义（6.45）Zns：=EZ·t-ln（Xu）dWus、 t型≤ s≤ T、 如果zn是测量Qnthen的密度过程，用引理6.4表示，我们有Anu≡ 0，Bnu=-ln（Xu）和Cnu≡ 0表示u≤ T由于Bnis FWpredictable，它也是Gnpredictable，28 TETSUYA ISHIKAWA和SCOTT ROBERTSONcalculation表明（6.13）是令人满意的。AlsoEZnT∧τn= EEZ·tBnudWuT∧τn= EEZ·tu≤T∧τnBnudWuT= 1，其中最后一个等式后跟条件fw，并注意到1·≤τnBn·是FW可预测的，Wis与W无关。因此，zn是一个gn鞅，我们从引理6.3和6.4中可以看到Qn∈ 明尼苏达州。事实上，使用1的独立性·≤T∧τnBn·和Wwe获得：EZnT∧τnlogZnT∧τn=EZT公司∧τntln（徐）杜≤2（1-ρ） E类ZTt公司l（徐）杜.上面，不等式使用0≤ χn≤ 1和supEρ′ρ=ρ<1。现在，回想一下X=Xt，X。使用马尔科夫性质和假设1.2中L on E鞅问题的解px，我们得到了ZTt公司l（Xt，xu）杜= Ex公司ZT公司-t型l（徐）杜≤εExheεRTl（Xu）dui，其中最后一个不等式使用x≤ （1/ε）eεx或x≥ 因此，从（6.44）和假设1.8中，我们得出每个k∈ N、 0个≤ t型≤ T，x∈Ekand n公司≥ k+1我们有gn（t，x）≤2（1- ρ） εαsupx∈EkExheεRTl（Xu）dui+φ=C（ε，k）。因此，命题6.7、6.9的结论成立。正如在后一个命题中，我们用（1.18）中的最优策略表示，用（1.19）中的财富过程和密度过程表示。现在我们来证明（6.37）中的相反不等式。为此，我们使用引理6.8。也就是说，让Q∈fM是引理6.8中的形式（任何优化器都必须位于引理6.8中），其中A、B、C是FW，wp可预测的过程满足（6.33）。用Z=ZQ表示合成密度过程。

创建Gnpredictable进程san，Bn，Cnon[t，t∧ τn]viaAnu=Auu≤δn∧T∧τn-1.Bnu=Buu≤δn∧T∧τn-1.- ln（Xu）1δn∧T∧τn-1<u≤δn∧T∧τn；Cnu=Cuu≤δn∧T∧τn-1A直接计算表明（6.13）中风险方程的市场价格满足要求。然后，创建Gnlocal鞅ZnbyZn·：=EZ·t（Anu）′dWu+Z·tBnudWu+Z·tCnudMnu·∧T∧τn.我们现在证明zn是鞅。首先，下面的引理A.8证明了技术事实，这基本上是因为En上的χn=1-1： （6.46）δn∧ T∧ τn-1=δ∧ T∧ τn-1.Znδn∧T∧τn-1=Zδ∧T∧τn-接下来，为了简化符号，定义（6.47）an：=δ∧ T∧ τn-1=δn∧ T∧ τn-1.bn：=δn∧ T∧ τn，默认定价29，并注意→ δ∧ T，bn→ δ∧ T还要注意，我们定义了δ的一个项，但上面的第二个等式来自引理A.8。通过这个符号，（6.46）和（6.45），我们在Gnan上使用了迭代条件作用，并且Wand（W，τn，δn）的独立性：E[ZnT∧τn]=E“ZnanZnbnZnan#=E兹南= E[赞]=1。最后一个等式如下，因为假设Z是鞅（作为Q的密度过程∈ M） 和可选抽样定理。因此，zn是鞅测度Qn的密度∈ 明尼苏达州。至于相对性：E[ZnT∧τnlog（ZnT∧τn）]=E“Znanlog兹南ZnbnZnan#+E“ZnanZnbnZnanlogZnbnZnan！#=E[Zanlog（Zan）]+E赞茨巴南ln（徐）杜.（6.48）由于Z是G鞅，因此≤ δ∧ T和E[ZTlog（ZT）]=E[Zδ∧Tlog（Zδ∧T） ]<∞, 第一项由E[Zδ从上方限定∧Tlog（Zδ∧T） 】。对于第二项，我们使用不等式xy≤ （1/K）eKx+（1/K）y对数（y）表示x∈ R、 y>0，K>0。

这是givesE赞茨巴南ln（徐）杜≤KE[Zanlog（Zan）]+KEheKRbnanln（徐）队；≤KE[Zδ∧Tlog（Zδ∧T） ]+凯赫克尔特ln（徐）队；（6.49）根据（6.43）和假设1.8，我们得到K=2（1-ρ） εthatEheKRTtln（徐）队≤ 排气εRTl（徐）对。因此，使用假设1.8，我们可以看到对于t≤ T、 x个∈Ek（6.50）E[ZnT∧τnlog（ZnT∧τn）]≤1+2（1- ρ） εE[Zδ∧Tlog（Zδ∧T） ]+2（1- ρ） εsupx∈EkExheεRTl（徐）对。这表明Zn∈fMnand因此来自命题6.5和（6.44）（6.51）Gn（t，x）≤αE[ZnT∧τnlog（ZnT∧τn）]+αE[ZnT∧τnδn>T∧τn（χnφ）（XT∧τn）]。继续，从（6.46）我们可以看到ZnT∧τn=ZanZnbn/Znan。自| bn起- 安|→ 0，τn↑ ∞ 很明显，ZNT∧τn→ Zδ∧塔尔莫特肯定。此外，（6.50）表示{ZnT∧τn}是一致可积的。因此，根据支配收敛定理：limn↑∞E[ZnT∧τnδn>T∧τn（χnφ）（XT∧τn）]=E[ZT∧Δδ≥Tφ（XT）]=E[ZT∧Δδ>Tφ（XT）]，30 TETSUYA ISHIKAWA和SCOTT Robertson，其中最后一个等式成立，因为P[δ=T]=0。至于E[ZnT∧τnlog（ZnT∧τn）]，回到（6.48）：E[ZnT∧τnlog（ZnT∧τn）]=E[Zanlog（Zan）]+E赞茨巴南ln（徐）杜.Fatou引理与Z log（Z）隐含limn的次鞅性质↑∞E[Zanlog（Zan）]=E[Zδ∧Tlog（Zδ∧T） 】。至于第二个任期，自- 安|→ 0我们几乎可以肯定Zarnbnanln（徐）杜→ 0.此外，如（6.49）所示，对于K=2（1-ρ） ε，该项从上方以2（1）为界- ρ） εZanlog（Zan）+2（1- ρ） εeεRTtl（徐）杜。但是，这个项是一致可积的，因为它在概率上收敛，在上面讨论的Las中也收敛。因此{ZnT∧τnlog（ZnT∧τn）}是一致可积的，因此我们从（6.51）中可以看到g（t，x）=limn↑∞Gn（t，x）≤αE[Zδ∧Tlog（Zδ∧T） ]+E[Zδ∧Tδ>Tφ（XT）]。现在，这个结果适用于所有Q∈引理6.8中的形式，但如中所述，对偶问题是通过最小化此类得到的。

因此，（6.52）G（t，x）≤ infQ公司∈fM公司αEhZQTlogZQT公司i+EhZQTδ>Tφ（XT）i= -α对数(-u（t，x；φ））。这与命题6.9中的（6.37）相结合，证明G是最优投资问题的确定性等价物。现在，我们已经从上面和命题6.9（1）证明了G是确定性等价物。（2） 测度^Q的存在性∈具有密度过程^Z的fM，对于对偶问题是最优的。注：这源自命题6.9和（6.52）的第（1）部分，后者表明（6.42）中的不平等是平等的。（3） 交易策略^π的存在性，因此对于所得财富过程^W，e-α（^WT+1δ>Tφ（XT））=e-αG（t，x）^ZT，使^W达到最佳效用。此外，由于（6.42）中的不等式是等位性质，因此E^Qh^WTi=0。最后要说明的是^π∈ A、 如果^W是所有Q的Q超鞅∈fM。这很难直接显示出来，所以在这一点上，我们求助于众所周知的n对偶结果，即局部有界半鞅的指数性。即asfM 6= 主要问题存在一个最优71π（c.f.[25]），由于^Q解决了对偶问题，我们已经从概率为1的最优性的必要和充分条件中知道：e-α（WˇπT+1δ>Tχ（XT））=e-αG（t，x）^ZT。这表明^WT=Wˇπt是最确定的。接下来，从命题6.9的第（2）部分，我们知道^W是一个^Qsub鞅。但是，E^Qh^Wi=0以及次鞅性质意味着^W是一个^Q鞅。抽象理论告诉我们，Wˇπ在^Q下也是m鞅≤ s≤ T认为^Ws=Wˇπ是最确定的，因此通过右连续性，它们在[T，T]上是不可区分的。最后，默认值为31的抽象理论定价意味着Wˇπ是所有Q的Q次鞅∈fM，因此对于^W也是如此。因此，^π∈ A并且证明是完整的。最后，我们转向假设1.9的情况。提案6.11。

假设1.9成立。然后，得出定理1.11的结论。命题6.11的证明。该证明与命题6.10相似，因此我们仅显示差异，并在步骤中引用之前的证明。因此，有两件事需要显示/执行：（1）对于0≤ t型≤ T、 x个∈ E、 n足够大，创建一个度量值qn=Q（t，x），n∈相对熵为GnT的FMN∧τn在x上局部有界，在n上均匀有界。这将使我们能够调用命题6.7,6.9。（2） 对于0≤ t型≤ T、 x个∈ E和Q=Qt，x∈fM，在随机间隔（T）中适当调整Q∧τn-1，T∧ τn]创建度量Qn∈fMnand然后显示与此调整相关的相对熵消失为n↑ ∞. 这将建立G的上界（6.52），从该上界出发，剩下的定理陈述与命题6.10证明的最后几段完全一致。我们首先考虑（1）。根据假设1.9的（A）部分，对于0≤ t型≤ T、 x个∈ E、 SDE dXt有一个独特的解决方案，xs=（b-laρ）（Xt，xs）ds+a（Xt，xs）dWs，s≥ t、 Xt，Xt=x，因此进程z0，s：=E-Z·tlρ（Xu）′dWust型≤ s≤ T、 是一个FW，Wmartingale，它定义了一个测量值Pon FW，WT。请注意，我们自lρ（x）1x∈Enis有界thatE[Z0，Tlog（Z0，T）]≤ lim信息↑∞E[Z0，T∧τnlog（Z0，T∧τn）]；E[Z0，T∧τnlog（Z0，T∧τn）]=EPZT公司∧τntlρ′ρ（Xu）du≤EP公司ZTt公司l（徐）杜≤εEPxheεRTl（徐）对。（6.53）最后一个不等式后面是{Px}X下X的马尔可夫性质∈E、 估计值（1/2）x≤（2/ε）eεx，ε>0时x>0。接下来，让n足够大，所以x∈ 回顾an、bnin（6.47）的定义，并定义GNT的可预测过程≤ u≤ T通过Anu=-1u≤bn公司lρ（Xu）和Bnu≡ 0，Cnu≡ 很明显，风险方程（6.13）的市场价格是令人满意的，并且由此产生的密度过程满足zn0，s=Z0，sfor t≤ s≤ bn。

自| Anu |≤ |l（许）| 1u≤bn公司≤ C（n），通过构造Gnwe，knowZnis是一个gn鞅，因此定义了一个测度qn∈ Mnby dQn/dPGnT公司∧τn=Zn0，T∧τn=Zn0，bn=32 TETSUYA ISHIKAWA和SCOTT ROBERTSONZ0，bn。此外，EZn0，T∧τnlogZn0，T∧τn= E[Z0，bnlog（Z0，bn）]；=EZTu公司≤T∧τnZ0，u∧T∧τnlog（Z0，u∧T∧τn）（χnγ）（Xu∧T∧τn）e-俄罗斯∧T∧τn（χnγ）（Xv）dvdu+ EhZ0，T∧τnlog（Z0，T∧τn）e-RT公司∧τn（χnγ）（Xv）dvi；≤ E[Z0，T∧τnlog（Z0，T∧τn）]；≤εEPxheεRTl（徐）对。上文中，第二个等式来自δn的条件密度。第一个等式成立于≤T∧τnis in FW，Wu∧T∧τnand因为（6.53）意味着Zlog（Z）是FW，Wsub鞅。最后一个不等式也可从（6.53）中得出。因此，Qn∈根据假设1.9的（6.44）和（A）部分，我们得出结论，对于每个k∈ N、 0个≤ t型≤ T，x∈Ekand n公司≥ k+1Gn（t，x）≤ supx公司∈EkεEPxheεRTl（Xu）dui+φ=C（ε，k）。因此，上述第（1）部分成立，我们可以应用命题6.7、6.9。如前所述，我们用（1.18）中的最优策略表示财富过程，用（1.19）中的密度过程表示财富过程。我们现在转向（2），上面的结果是（6.52）。为此，让Q∈fM是引理6.8中的形式，其中，B，C是FW，wp可预测过程满足（6.33）。用Z=ZQ表示合成密度过程。创建Gnpredictable进程An，Bn，Cnon[t，t∧ τn]通过Anu=Auu≤一- lρ（Xu）1an<u≤bn，Bnu=Buu≤anand Cnu=Cuu≤一再次，满足风险方程（6.13）的市场价格。然后，创建过程ZnbyZn·=EZ·t（Anu）′dWu+Z·tBnudWu+Z·tCnudMnu·∧T∧τn.为了证明Znis是鞅，我们使用引理a.8，在Gnan上的迭代条件，即lρ（x）1x∈Enis有界，Z是G鞅（自Q起∈fM）推导[ZnT∧τn]=E“ZnanEZ·t-lρ（Xu）′dWubnan#=E[赞]=1。因此，zn是鞅测度Qn的密度∈ 明尼苏达州。接下来，我们注意到Zis实际上也是一个gn鞅，因为W是一个gn鞅，lρ是GN可预测的，对于t，E[Z0，s]=1≤ s

因此，我们可以扩展到GT∧τnvia Z0，T∧τn.对于相对熵，再次使用lρ（x）1x∈Enis有界与默认33条件Bayes公式的定价：E[ZnT∧τnlog（ZnT∧τn）]=EZnanlog（Znan）Z0、bnZ0、an+ EZnanZ0、bnZ0、anlogZ0，bnZ0，an;= E[Zanlog（Zan）]+E扎内普日志Z0，bnZ0，an尼安;= E[Zanlog（Zan）]+E扎内普Zbnan公司lρ′ρ（Xu）du尼安.（6.54）如前所述，第一项以E[Zδ]为界∧Tlog（Zδ∧T） 】。至于第二学期，我们再次使用XY≤ （1/K）eKx+（1/K）y对数（y）表示x∈ R、 y>0，K>0扎内普Zbnan公司lρ′ρ（Xu）du尼安≤KE[Zanlog（Zan）]+KEeKEPhRbnan公司lρ′ρ（Xu）du格纳尼.第一项再次以（1/K）E[Zδ）为界∧Tlog（Zδ∧T） 】。第二学期：EeKEPhRbnan公司lρ′ρ（Xu）du格纳尼≤ Ehepherkrbnan公司lρ′ρ（Xu）duGnanii；=EPhˇZ0，anEPheKRbnanlρ′ρ（Xu）duGnanii，其中71z0，s=ER·tlρ（Xu）′dWPus=dP/dPGns（参见引理6.3）。继续，我们得到了假设1.9中（B）的p>1:EPhˇZ0，anEPheKRbnanlρ′ρ（Xu）duGnanii=EPhˇZ0，aneKRbnanlρ′ρ（Xu）对；≤ EP公司ˇZ0，anp1/政治公众人物eKp2（p-1） Rbnan公司lρ′ρ（Xu）du（p-1） /p.对于上述最右边的项，我们使用假设1.9的（A）部分，并取K=2ε（p- 1） /p.那么对于klarge足够的so x∈Ekand n公司≥ k+1我们有EPeKp2（p-1） Rbnan公司lρ′ρ（Xu）du≤ EPxheεRTl（Xu）dui<C（ε，k）。至于另一项，我们通过假设1.9的（B）部分和yp的凸性，p>1，对于x∈ E和k足够大，以便x∈Ekand n公司≥ k+1：EPˇZ0，anp≤ EP公司ˇZ0，Tp= EP公司EZ·tplρ（Xu）′dWPuTep（p-1） RTt公司lρ′ρ（Xu）du;= EPphep（p-1） RTt公司lρ′ρ（Xu）对；≤ EPxphep（p-1） RT公司l（徐）队≤ C（p，k），34 TETSUYA ISHIKAWA和SCOTT Robertson，其中最后一个不等式来自假设1.9的（B）。

把这些加在一起，我们得到了forx∈Ek，n≥ k+1:（6.55）EZnT∧τnlogZnT∧τn≤1+2p2（p-1） εE[Zδ∧Tlog（Zδ∧T） ]+C（ε，p，k）。因此，Qn∈命题6.5和（6.44）（6.56）Gn（t，x）的fMnand≤αE[ZnT∧τnlog（ZnT∧τn）]+αE[ZnT∧τnδn>T∧τn（χnφ）（XT∧τn）]。继续，再次从（6.46）我们可以写ZnT∧τn=ZanZ0，bn/Z0，ana，因此我们知道ZnT∧τn→ Zδ∧塔尔莫特肯定。此外，（6.55）表示{ZnT∧τn}是一致可积的。因此，limn↑∞E[ZnT∧τnδn>T∧τn（χnφ）（XT∧τn）]=E[ZT∧Δδ≥Tφ（XT）]=E[ZT∧Δδ>Tφ（XT）]，对于E[ZnT∧τnlog（ZnT∧τn）]，回到（6.54）：E[ZnT∧τnlog（ZnT∧τn）]=E[Zanlog（Zan）]+E扎内普Zbnan公司lρ′ρ（Xu）du尼安.与之前一样，可以证明上面的第二项消失为n↑ ∞. 但是，对于K>00≤ 扎内普Zbnan公司lρ′ρ（Xu）du尼安≤克赞洛（Zan）+凯克夫南（KeKEPhRbnan）lρ′ρ（Xu）duGnani；≤克赞洛格（Zan）+凯菲克布南lρ′ρ（Xu）du格纳尼。第一项是一致可积的。对于第二项，我们得到了一些p＞1，以及假设1.9的p＞1，即以弗克南lρ′ρ（Xu）du格纳尼p≤ EhEPhe▄pKRbnanlρ′ρ（Xu）duGnanii；=EPhˇZanepKRbnanlρ′ρ（Xu）对；≤ EP公司ˇZanp1/政治公众人物eppK2（p-1） Rbnan公司lρ′ρ（Xu）du（p-1） /p；右侧的第一个术语已经显示为有限的。对于第二项，我们取K>0小的值，因此对于任何▄p>1，我们有▄ppK/（2）（p- 1） ）<ε。这表明以弗所（K/2）Rbnanlρ′ρ（Xu）du对于所有▄p>1，gnanis在L▄p（p）中有界，因此一致可积。因此，ZanEPZbnan公司lρ′ρ（Xu）du尼安= ZanZ0、anZ0、bnlogZ0，anZ0，bn,是P一致可积的，由于它几乎肯定会收敛到0，所以它在预期中消失。因此，我们有∧τnlog（ZnT∧τn）]→ E[Zδ∧Tlog（Zδ∧T） 】。此给定sg（t，x）=limn↑∞Gn（t，x）≤αE[Zδ∧Tlog（Zδ∧T） ]+E[Zδ∧Tδ>Tφ（XT）]。因此，我们展示了第（2）部分。从这一点开始，证明与命题6.10相同，从上面（6.52）的句子开始。默认定价35附录A。

支持引理A.1。将θ定义为（1.15）。然后（1）对于y>0，y˙θ（y）（1+θ（y））=θ（y）。（2） 石灰↑∞θ（y）log（y）=1。（3） 对于x∈ R和y>02y+x- θ（yex）- 2θ（yex）≥ 0；px+2年- θ（yex）- 2θ（yex）-|x个-θ（yex）|≥ 0。（A.1）对于上述每个不等式，当且仅当x=y>0时才存在等式。引理A.1的证明。θ显然是光滑的，（1）后面是直接计算，因为y=θ（y）eθ（y）。对于（2），很明显θ（y）→ ∞ 作为y↑ ∞ . l\'Hospital的规则意味着Limy↑∞θ（y）log（y）=石灰↑∞y˙θ（y）=石灰↑∞θ（y）1+θ（y）=1，其中从（1）开始的倒数第二个等式。最后，对于（3），将h（x，y）设置为（A.1）中方程的左侧。然后Hx（x，y）=2x- 2yexθ（yex）˙θ（yex）- 2yex˙θ（yex）=2（x-θ（yex））；hxx（x，y）=2- 2yex˙θ（yex）=2- 2θ（yex）1+θ（yex）=1+θ（yex）>0。最后两个等式从（1）开始。因此，对于固定的y，当x=θ（yex）时，h（x，y）具有唯一的最小值，但这只能在x=y时发生，因为通过构造y=θ（yey）。在这种情况下，我们有2y+y- θ（yey）- 2θ（yey）=0，给出结果。至于第二个不等式，它相当于2y- θ（yex）- 2θ（yex）（1- x）≥ 使用（1）进行的计算表明，该函数对x的偏导数为2θ（yex）（x- θ（yex））/（1+θ）。然而，θ（yex）>0和x- θ（yex）在x中急剧增加，只有在x=y时才为0。因此，对于0的值，在x=y>0时，（a.1）中第二个方程的左侧唯一最小化。引理A.2。对于（6.7）中定义的ˇ和，有一个常数C（n），因此zˇan（x，z，0）≤ C（n）（1+| z |）forx∈恩。引理A.2的证明。为了简化表示法，我们抑制了x函数参数，但保留了z函数参数。此外，C（n）是一个常数，它可能会随着行的变化而变化。

在p=0时，我们有（A.2）ˇan（x，z，0）=σχn2α2γσ+μσ- θγσeμσ+αz- 2θγσeμσ+αz.当z<0时，引理A.1得出ˇan（x，z，0）≥σχn2α2γσ（1-eαz）≥ 0,36石川哲也和斯科特·罗伯逊，因此zˇan（x，z，0）≤ 当z>0时，θ的严格正性紧随其后，即ˇan（x，z，0）≤σχn2α2γσ+μσ≤ C（n），因为χnis支持的one和γ、u、σ都有界于En。因此，我们得到了zˇan（x，z，0）≤C（n）| z |≤ C（n）（1+z）。引理A.3。对于函数71anfrom（6.7），以及任何间隔[z，z]lim sup | p|↑∞supx公司∈恩，z∈[z，z]| an（x，z，p）| | p |<∞.引理A.3的证明。我们再次抑制了x函数参数，但保留了z，p参数。因为b、A、σ、χn、γ和u都是有界的，所以我们只需要考虑术语2γσ+uσ-ασp′aρ- θγσeμσ+αz-ασp′aρ- 2θγσeμσ+αz-ασp′aρ由于θ>0，这在上面以2γ/σ+2u/σ+（2α/σ）ρ′Aρp′p为界。通过引理A.1，这在下面以（2γ/σ）（1）为界-eαz）。结果很快就出来了。引理A.4。对于（1.2）中定义的δ和（6.8）中定义的δ，我们有δn↓ δ几乎可以肯定。引理A.4的证明。固定n<m。因为χn、χm、γ连续且χn≤ χmwe有-log（U）=Rδm（χmγ）（Xu）du≥Rδm（χnγ）（Xu）du，因此δm≤ δnand因此δ=limn↑∞δnexist几乎可以肯定。此外，由于χn≤ 1我们有-log（U）=Rδγ（Xu）du≥Rδ（χnγ）（Xu）du，给出δ≤ δ与因此δ≤ δ。但是-对数（U）=limn↑∞Zδn（χnγ）（Xu）du=limn↑∞Zδnγ（Xu）du+Zδn（（1-χn）γ）（许）杜≥Zδγ（许）都。ThusRδγ（Xu）du≤Rδγ（Xu）du和δ≤ δ、 这给出了结果。引理A.5。让Ak、Bk、Ckbe如（6.23）所示。对于任何常数C（k）>0，我们有a∞k： =lim sup | p|↑∞supx公司∈Ek，z∈[-C（k），C（k）]| Ak（x，z，p）|=1。B∞k： =lim sup | p|↑∞supx公司∈Ek，z∈[-C（k），C（k）]| Bk（x，z，p）|<∞.C∞k： =lim sup | p|↑∞supx公司∈Ek，z∈[-C（k），C（k）]| Ck（x，z，p）|=0。（A.3）引理A.5的证明。由于Aijdoes不依赖于p，我们得到δ（p）[Aij]（x，z，p）=0。此外，我们有δ（p）[E]（x，z，p）=2p′A（x）p，因此（δ（p）- 1） [E]（x，z，p）=p′A（x）′p=E（x，p）。

这表明，默认值为37Ak（x，z，p）=1的定价结果很简单。对于Bkwe，我们首先有，因为E（x，p）不依赖于z，即E（x，p）δ（p）[E]（x，z，p）=p′p p′App′x个p′A（x）p.根据椭圆度和正则性，这个项的数量级为1/| p |，因此lim | p|↑∞supx公司∈EkE（x，p）δ（p）[E]（x，z，p）=0。接下来，我们必须计算（δ（p）- 1） [ˇan]（x，z，p）。根据（6.7）中的p对术语进行分组，我们得到了ˇan（x，z，p）=p′b-χnuσρ′a（十）-αp′A.- χnaρρ′a′（x） p+χnαγ+u2σ（十）-χnσ2α（x）θ（x，z，p）+2θ（x，z，p）.（A.4）这意味着δ（p）[ˇan]（x，z，p）=p′b-χnuσρ′a（十）-αp′A.-χnaρρ′a′（x） p+χnσθ（x，z，p）p′aρ，（a.5），其中最后一项后面是引理a.1，这意味着对于任何光滑函数f（p）和常数K>0pθ（Kef（p））+2θ（Kef（p））= 2θ（Kef（p））pf（p）。这里，我们将其应用于K=（γ（x）/σ（x））eu（x）/σ（x）+αzand f（p）=-（α/σ（x））p′a（x）ρ（x）。因此我们有e（x，p）δ（p）- 1.[ˇan]（x，z，p）=p′A（x）p-αp′A.- χnaρρ′a′（x） p-χnαγ+u2σ（十）+p′A（x）pχnσ（x）p′aρ（x）θ（x，z，p）+χnσ2α（x）θ（x，z，p）-2θ（x，z，p）.根据A的椭圆度和系数正则性假设，上述第一项的数量级为1，一致为1，如| p |↑ ∞. 根据（6.7）中θ（x，z，p）的定义和引理A.1，我们推断θ（x，z，p）≈ x的O（| p |）均匀∈恩，z∈ [-C（k），C（k）]，因此上面的第二项也是在1的阶上，均匀地覆盖在x上∈Ek，z∈ [-C（k），C（k）]。Thuslim sup | p|↑∞supx公司∈Ek，z∈[-C（k），C（k）]| Bk（x，z，p）|≤ lim sup | p|↑∞supx公司∈EkE（x，p）δ（p）[E]（x，z，p）+lim sup | p|↑∞supx公司∈Ek，z∈[-C（k），C（k）]E（x，p）δ（p）- 1.[安]（x，z，p）<∞.最后，我们必须考虑Ck。

我们首先评估δ（p）[Aij]（x，z，p）=p′xAij（x）p′p。显然，这是在1/| p |的顺序上，所以（A.6）lim sup | p|↑∞supx公司∈EnE（x，p）p′p8λkdXi，j=1δ（p）[Aij]x，z，p= 0.38 TETSUYA ISHIKAWA和SCOTT ROBERTSONNext，我们必须评估δ（p）[安]（x，z，p）=安兹（x，z，p）+p′xˇan（x，z，p）p′p。从（A.4）和引理A.1我们可以看到ˇanz（x，z，p）=-χnσ（x）θ（x，z，p），通过引理A.1，它在| p |的阶上。接下来，我们从（A.4）中得到xˇan（x，z，p）=dXi=1pix个b-χnuσρ′ai（x）-αdXi，j=1pipjx个A.- χnaρρ′a′ij（x）+x个χnαγ+u2σ（十）-θ（x，z，p）+2θ（x，z，p）x个χnσ2α（十）-χnσ2α（x）x个θ（x，z，p）+2θ（x，z，p）.以上前两行的术语顺序为| p |。使用（6.7）和引理A.1，我们得到x个θ（x，z，p）+2θ（x，z，p）= 2θ（x，z，p）x个日志γσ+uσ（十）-αdXi=1pix个aρσi（x）！。再次使用（6.7）和引理A.1，我们可以看到这是在| p |的顺序上。因此，我们看到-χnσ2α（x）x个θ（x，z，p）+2θ（x，z，p）在| p |的顺序上，这意味着xˇan（x，z，p）也在| p |的顺序上。因此，我们推断δ（p）[ˇan]（x，z，p）=ˇanz（x，z，p）+p′xˇan（x，z，p）p′pis的顺序为| p |，因此lim sup | p|↑∞supx公司∈Ek，z∈[-C（k），C（k）]E（x，p）δ（p）[ˇan]（x，z，p）=0完成证明。引理A.6。让Dkbe如（6.24）所示。对于任何常数C（k）>0，我们有∞k： =lim sup | p|↑∞supx公司∈Ek，z∈[-C（k），C（k）]| Dk（x，z，p）|<∞.（A.7）引理A.6的证明。自|pE（x，p）|=| A（x）p |通过thatlim sup | p的椭圆度很清楚|↑∞supx公司∈Ek | p |∧k+| p||pE（x，p）| E（x，p）<∞.对于（1/E（x，p））| p||p y an |，从（A.5）我们可以看到pˇan（x，z，p）=b-χnuσρ′a（十）-αA.-χnaρρ′a′（x） p+χnσθ（x，z，p）aρ，根据引理a.1，我们可以看到这个项的数量级为| p |。Thereforelim sup | p|↑∞supx公司∈Ek | p||pˇan（x，z，p）| E（x，p）<∞,默认定价39，完成结果。引理A.7。让Gnbe来自命题6.1，回顾函数^πnfrom（6.15）和财富过程^Wnfrom（6.11）。

然后，对于（6.16）中的^Znas，可以得出^Zns=1-αZst^Znu-u≤τn∧δn^πnχnσρ′+(Gn）′a（u，Xu）dWu- αZst^Znu-u≤τn∧δn^πn√χnσp1-χnρ′ρ（u，Xu）dWu+Zst^Znu-u≤τneα（πn+Gn）（u，Xu）- 1.dMnu。此外，在[t，t]×Enit之后是χn（u- γ） +χnσρ′^πnχnσρ′+(Gn）′a+√χnσp1-χnρ′ρ^πn√χnσp1- χnρ′ρ- χnγeα（πn+Gn）- 1.= 引理的证明。写入^Zns=e-αynswwhere Yns=^Wns-Gn（t，x）+1s∧τn<δnG（s∧τn，Xs∧τn）。It^os公式表示^Zns=1- αZst^Znu-d（Yn）cu+αZst^Znu-d[Yn，Yn]cu+Xt<u≤塞兹努-1^Znu^Znu-- 1.（A.9）其中（Yn）表示Yn的连续部分。根据（6.9）和分部积分公式：dYns=1s≤τns≤δn^πn（s，Xs）（χnu）（Xs）ds+（χnσρ）（Xs）′dWs+√χnσp1-χnρ′ρ（Xs）dWs- 1秒≤τn^πn（s，Xs）dHns+1s∧τn≤δns≤τn（Gnt+LGn）（s，Xs）ds+1s∧τn≤δns≤τn(Gn）′a（Xs）dWs- 1秒≤τnGn（s，Xs）dHns。收集术语，这意味着d（Yn）cs=1s≤τn∧δn（^πnχnu+Gnt+LGn）（s，Xs）ds+1s≤τn∧δn^πnχnσρ′+(Gn）′a（s，Xs）dWs+1s≤τn∧δn^πn√χnσp1-χnρ′ρ（s，Xs）dWs，（A.10）和（A.11）d[Yn，Yn]cs=1s≤τn∧σn（πn）χnσ+2πnχnσ(Gn）′aρ+(Gn）′AGn公司（s，Xs）ds。40石川哲也（TETSUYA ISHIKAWA）和斯科特·罗伯逊（ScottRobertson）指出，^zn只会在u≤ 如果u=δn，则为s≤ τn.在这种情况下Ynu=-^πn（u，Xu）- Gn（u，Xu）sothat^Znu/^Znu-= eα（πn（u，Xu）+Gn（u，Xu））。

因此如下所示≤深圳大学-兹努兹努-- 1.=ZstZnu-u≤τneα（πn+Gn）（u，Xu）-1.dHnu=ZstZnu-u≤τneα（πn+Gn）（u，Xu）-1.dMnu+αZstZnu-u≤τn∧δnαeα（πn+Gn）- 1.χnγ（u，Xu）du（A.12）收集（A.10），（A.10），（A.11）中的结果，并在（A.12）中使用它们，以微分表示法给出d^Znu^Znu-= -α1u≤τn∧δnAnudu- α1u≤τn∧δn^πnχnσρ′+(Gn）′a（u，Xu）dWu+^πn√χnσp1-χnρ′ρ（u，Xu）dWu+ 1u≤τneα（πn+Gn）（u，Xu）- 1.dMnu。（A.13）式中，at（u，Xu）Anu=^πnχnu+Gnt+LGn-α（πn）χnσ+2πnχnσ(Gn）′aρ+(Gn）′AGn公司-αeα（πn+Gn）- 1.χnγ。现在，对于任何（u，y）∈ （t，t）×Enwe have（抑制函数参数），使用该Gnsolves（6.5）：Gnt+LGn-α(Gn）′AGn=-χnσ2α2γσ+uσ-ασ(Gn）′aρ-θGn- 2θGn.将其插入上述给定值-α（^πn）χnσ- α^πnχnσ(Gn）′aρ-αeα（πn+Gn）- 1.χnγ-χnσ2α2γσ+uσ-ασ(Gn）′aρ- θGn- 2θGn.注意上面右边的χn因子。按^πn分组，剩余项为^πnu-ασ(Gn）′aρ-α（^πn）σ-αeα（πn+Gn）- 1.γ-σ2α2γσ+uσ-ασ(Gn）′aρ- θGn- 2θGn.默认定价41We下一个插件用于^πnfrom（6.15）。这给出了αuσ-ασ(Gn）′aρ-θGnu-ασ(Gn）′aρ-ασαuσ-ασ(Gn）′aρ- θGn-αeααuσ-ασ(Gn）′aρ-θGn+Gn公司- 1.γ-σ2α2γσ+uσ-ασ(Gn）′aρ- θGn- 2θGn.这里有很多取消。其余项为σαθGn-γαeμσ-ασ(Gn）′aρ+αGn-θGn=e-θGnσαθGneθGn-γσeuσ-ασ(Gn）′aρ+αGn= 0，其中最后一个等式后面是θ的定义。因此，根据（A.13），第一个结果如下。Itremains显示（A.8）。为此，我们有χn（u- γ）-αχnσρ′（πnχnσρ+aGn）- α√χnσp1-χnρ′ρ^πn√χnσp1-χnρ′ρ- χnγeα（πn+Gn）- 1.= χnu-αχnσ(Gn）′aρ- αχnσ^πn- χnγeα（^πn+Gn）。记下χn因子。插入^πnfrom（6.15）u后，剩余项为-ασ(Gn）′aρ- ασαuσ-ασ(Gn）′aρ-θGn- γeααuσ-ασ(Gn）′aρ-θGn+Gn公司= σe-θGnθGneθGn-γσeuσ-ασ(Gn）′aρ+αGn= 0，其中最后一个等式后面是θ的定义。因此，（A.8）成立。引理A.8。

让t≤ T、 x个∈ E固定。设A，B，C为FW，wp可预测过程满足（6.33），并通过（6.32）的右侧设置Z。回顾（6.43）并创建Gnpredictable流程An，Bn，Cnon[t，t∧ τn]通过Anu=Auu≤δn∧T∧τn-1，Bnu=Buu≤δn∧T∧τn-1.-ln（Xu）1δn∧T∧τn-1<u≤δn∧T∧τnandCnu=Cuu≤δn∧T∧τn-1、SetZns=EZ·t（Anu）′dWu+Z·tBnudWu+Z·tCnudMnus∧T∧τn.那么对于足够大的n，x∈ 恩-1： （A.14）δn∧ T∧ τn-1=δ∧ T∧ τn-1.Znδn∧T∧τn-1=Zδ∧T∧τn-引理A的证明。我们在（A.14）中证明了第一个等式。确实，如果δn≤ T∧ τn-1thenZΔγ（Xu）du=-log（U）=Zδnχn（Xu）γ（Xu）du=Zδnγ（Xu）du，因为En上的χn（x）=1-1、这表明δn≤ δ、 但我们已经从引理A.4中知道δn≥ δ所以事实上它们是相等的。如果δn>T∧τn-1和δ>T∧τn-1然后δn∧T∧τn-1=T∧τn-1=δ∧T∧τn-1.42 TETSUYA ISHIKAWA和SCOTT ROBERTSONLastly，如果δn>T∧ τn-1和δ≤ T∧τn-1然后-log（U）=Zδγ（Xu）du=Zδχn（Xu）γ（Xu）du，这表明δn≤ δ≤ T∧ τn-1、矛盾。这将产生第一个结果。接下来，由于[t，δn]上的An=A，Bn=B∧ T∧ τn-1] =[t，δ∧ T∧ τn-1] 我们马上就看到了Z·t（Anu）′dWu+Z·tBnudWuδn∧T∧τn-1=EZ·tA′udWu+Z·tBudWuδ∧T∧τn-对于跳跃过程，仍然需要考虑随机指数。此处Z·t+CnudMnuδn∧T∧τn-1=e-Rδn∧T∧τn-1tχn（Xu）γ（Xu）duδn>δn∧T∧τn-1+（1+Cnδn）1δn≤δn∧T∧τn-1..现在，上述论点表明δn≤ T∧ τn-1指数δ=δn≤ T∧ τn-1δn>T不可能∧ τn-1和δ≤ T∧ τn-所以实际上δn>T∧ τn-1杂质δ>T∧ τn-因此，如果δn≤ T∧ τn-1乙烷Z·t+CnudMnuδn∧T∧τn-1=e-Rδn∧T∧τn-1tχn（Xu）γ（Xu）du1+Cnδn∧T∧τn-1.;= e-Rδ∧T∧τn-1tγ（Xu）du（1+Cδ∧T∧τn-1） ；=EZ·t+CudMuδ∧T∧τn-1、同样，如果δn>T∧ τn-1乙烷Z·t+CnudMnuδn∧T∧τn-1=e-Rδn∧T∧τn-1tχn（Xu）γ（Xu）du；=e-Rδ∧T∧τn-1tγ（Xu）du（1δ>δ∧T∧τn-1） ；=EZ·t+CudMuδ∧T∧τn-因此，（A.14）保留完成证明。参考文献【1】T.R.BIELECKI和M。

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