系统性风险、最大熵与银行间传染

nandehutu2022

1390

收藏 2022-05-31

英文标题：
《Systemic Risk, Maximum Entropy and Interbank Contagion》
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作者：
M. Andrecut
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
We discuss the systemic risk implied by the interbank exposures reconstructed with the maximum entropy method. The maximum entropy method severely underestimates the risk of interbank contagion by assuming a fully connected network, while in reality the structure of the interbank network is sparsely connected. Here, we formulate an algorithm for sparse network reconstruction, and we show numerically that it provides a more reliable estimation of the systemic risk.
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中文摘要：
我们讨论了用最大熵方法重构的银行间风险敞口所隐含的系统性风险。最大熵方法通过假设一个完全连接的网络严重低估了银行间传染的风险，而实际上银行间网络的结构是稀疏连接的。在此，我们提出了一种稀疏网络重建算法，并通过数值计算表明，该算法可以更可靠地估计系统风险。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Risk Management 风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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Systemic_Risk,_Maximum_Entropy_and_Interbank_Contagion.pdf
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kedemingshi

2022-5-31 06:17:37

系统性风险、最大熵和银行间传染。安德烈·卡特2016年4月3日，加拿大亚伯达省卡尔加里市，T3G 5Y8。andrecut@gmail.comAbstractWe讨论用最大熵法重建的银行间风险敞口所隐含的系统性风险。最大熵法严重低估了银行间传染的风险，因为假设网络是完全连接的，而实际上银行间网络的结构是稀疏连接的。在这里，我们提出了一种稀疏网络重建算法，并在数值上表明，该算法可以更可靠地估计系统风险。关键词：系统性风险；银行间传染；最大熵。PACS：89.65。Gh，89.70。比照，89.75-k1简介由于银行间借贷市场的稳定性日益恶化，银行间传染的分析最近受到了关注[1]-[10]。这种不稳定可能会导致多米诺骨牌效应，一家银行的倒闭可能会引发其他银行的一连串倒闭，即使它们没有直接暴露给最初倒闭的银行。因此，有必要了解潜在的传染机制，以便将不良银行间贷款网络带来的系统性风险降至最低。对传染风险的正确估计取决于对银行间双边风险敞口相关细节的不完全了解，因为银行没有向中央银行和监管机构披露其双边风险敞口，因此通常无法获得这些信息。一般来说，只有每家银行的银行间资产和负债总额才能从其资产负债表中估算出来[1]-[10]。

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何人来此

2022-5-31 06:17:39

因此，对于风险模型至关重要的双边定位，如果不进行进一步的假设，就无法进行估计。标准方法是使用最大熵（ME）方法估计双边风险敞口，该方法尽可能均匀地分散风险敞口，以满足与每家银行总资产和负债相对应的约束条件[1]-[10]。不幸的是，众所周知，这种方法提供了一种不真实的网络拓扑，因为它假设一个完全连接的网络，而实际上银行间网络是稀疏连接的[9、11、12]。真正的稀疏网络结构取决于这样一个事实，即银行无法将其网络连接扩展到整个系统，因为维持如此大量的连接显然成本高昂，因此网络通常非常稀疏，只有少量已建立的连接[12]。这种差异的直接后果是，ME方法严重低估了银行间传染的风险。为了克服ME方法的局限性，已经提出了几种稀疏网络重建算法【11，12】。这些算法是基于启发式方法的，它们具有相对较高的计算成本要求。在这里，我们提出了另一种稀疏网络重建算法，该算法具有更简单的体系结构和非常快速的实现。我们在数值上表明，该算法实现了高度的网络稀疏性，并通过数值应力测试模拟表明，它提供了更可靠的风险估计。论文的其余部分组织如下。第2节介绍了标准密集网络重建方法。第三节讨论了稀疏重建算法及其实现。第4节分析了该算法的性能。

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何人来此

2022-5-31 06:17:43

在第5节中，我们为所提出的算法制定并模拟了传染压力测试。最后第6节总结了主要结果和结论。2密集网络重构我们考虑由N个银行组成的网络B={B，…，bN-1} ，其中每家银行可以向B中的其他银行借贷。银行间关系可以用N×N矩阵x=[xij]N×Nwherexij表示≥ 0表示bito bank bj的未偿贷款和存款。穿过第i行的矩阵元素C的和给出了bank biassets的总值，穿过第j列的和给出了bank bj的总值，如下所示：ai=N-1Xj=0xij，`j=N-1Xi=0xij。（1）此外，在不限制一般性的情况下，我们考虑一个封闭的经济体，即银行间资产和负债总额相等：N-1Xi=0ai=N-1Xj=0 ` j=∧，（2），因此风险反映了银行间网络中每家银行的相对重要性。在不丧失一般性的情况下，我们还假设∧=1，除非另有说明。x矩阵提供了有关银行间风险敞口的信息，原则上应能有效估计传染风险。然而，正如导言中所述，双边风险敞口通常未知，从每家银行的资产负债表中通常只能看到总资产和负债。因此，主要问题是估计银行间风险敞口矩阵x，仅考虑资产A和负债\'j，i，j=0，N- 1、ME方法根据约束条件（1）解决以下优化问题：maxxSx，（3）其中sx=-N-1Xi=0N-1Xj=0xijln xij。（4）是矩阵x的熵。使用拉格朗日乘子的方法，可以很容易地证明这个问题的解是：xij=ai\'j，i，j=0，N- 1.

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nandehutu2022

2022-5-31 06:17:46

（5）直觉上，该解决方案尽可能均匀地分散风险敞口，与约束条件一致，完全符合矩阵x，这与实际银行间网络不一致。第一个改进是考虑到银行不能有自身风险敞口，这意味着矩阵x的对角元素必须为零：xij=显然，矩阵xcan不再满足施加的约束（1）。然而，我们可以找到一个解决方案x，该解决方案可以最小化x和x之间的Kullback-Leibler散度（也称为交叉熵或相对熵）：D（x k x）=N-1Xi=0N-1Xj=0xijlnxijxij，（7）这意味着溶液x将尽可能接近x。由于xii=0没有定义D，我们应该注意，对于x，ε>0，我们有：limx→0x ln x=0，（8）limε→0x lnxε=∞. （9）因此，受约束（1）约束的优化问题变为：minxD（x k x）。（10）这个问题不再可以解析求解，因此需要数值优化。RAS算法提供了一种计算效率高的方法来解决这个最小化问题【13】。该算法首先分配一个元素数为nn的数组x，并设置xij（0）=xij。该算法迭代以下方程：xij（t+1）=xij（t）aiPN-1n=0xin（t），i，j=1，N- 1（11）xij（t+1）=xij（t+1）`jPN-1n=0xnj（t+1），j，i=1，N- 1，（12）使得一个完整迭代由两个循环组成，分别对应于x的行和列。当两个完整迭代之间的欧氏距离η小于描述的误差0<δ时，算法停止 1： η=kx（t+1）- x（t）k<δ。（13）在经济学文献中，解矩阵x被称为最大熵（ME）解，因为它是最接近ME矩阵（12）的矩阵，并且与施加的约束（1）[1]-[12]一致。

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2022-5-31 06:17:48

这个解决方案仍然很密集，因为只有矩阵x的对角线为零，这也导致了不现实的银行间网络结构。3稀疏网络重构让我们假设银行间网络是稀疏的，它由邻接矩阵q=[qij]N×N来描述。邻接矩阵具有二进制系数qij∈ {0，1}，如果银行BIAN和bj之间存在关系，则qij=1，否则qij=0。连通性κ∈ [0，1]和稀疏度σ∈ 因此，银行间网络的[0，1]由以下公式给出：κ=N-2N个-1Xi=0N-1Xj=0qij，σ=1- κ。（14）我们的目标是找到一个符合约束条件（1）的矩阵x，即：q=Θ（x），（15），其中Θ（x）是应用元素方面的Heaviside函数：qij=Θ（xij）=如果xij>00，则为1，否则为。（16）我们通过最小化x和q之间的Kullback-Leibler散度来解决这个问题：minxD（x k q）。（17）首先，我们定义了一组新的变量，如下所示：yij=如果qij=0，则xijif qij=10<=> xij=qijyij，（18），使得问题的拉格朗日变为：L（yij，αi，λj）=N-1Xi=0N-1Xj=0qijyijln yij+N-1Xi=0αi人工智能-N-1Xj=0qijyij+N-1Xj=0λj\'j-N-1Xi=0qijyij！，（19）最优性条件：Lyij=0，Lαi=0，Lλj=0，（20）给出以下方程式：ln yij+1- αi- λj=0，（21）N-1Xj=0qijyij=ai，N-1Xi=0qijyij=`j.（22）从第一个方程我们得到：yij=exp（αi+λj- 1）。（23）这里我们定义了新变量：ψi=exp（αi- 1/2），（24）Дj=exp（λj- 1/2），（25）使得：yij=ψiДj，i，j=0，N- 1.（26）从这些约束条件中，我们还得到以下方程：ψi=aiPN-1j=0qijДj，i=0，N- 1，（27）Дj=`jPN-1i=0qijψi，j=0，N- 1、（28）是稀疏重建算法的核心。变量ψiandДjc可以从上述方程中迭代获得，如下所示：ψi（t+1）=aiPN-1j=0qijДj（t），i=1，N- 1（29）Дj（t+1）=`日本-1i=0qijψi（t+1），j=1，N- 1.

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可人4

2022-5-31 06:17:53

（30）初始值如下所示：ψi（0）=ai，Дj（0）=` j，i，j=0，N- 1（31）最后，优化问题的解可以写成：xij=qijyij=qijψiДj，i，j=0，N- 1.（32）我们将此算法称为稀疏RAS（SRAS）算法，因为它提供了稀疏ME（SME）问题的解决方案。该解是距离邻接矩阵q最近的稀疏矩阵x，这也与约束（1）一致。SRAS算法的伪代码在算法1中给出。在第一步中，ψiandДjare的初始值分别设置为aian和\'j。计算ψiandДjis的主循环一直执行到两个连续状态{ψ，…，ψN之间的欧氏距离（伪码中的η）-1，^1，^1N-1} ，对应于完整迭代，小于规定的误差0<δ 1： η=N-1Xi=0[ψi（t+1）- ψi（t）]+N-1Xj=0[Βj（t+1）- ^1j（t）]1/2≤ δ。（33）根据方程（32），使用邻接矩阵q=【qij】和{ψ，…，ψN计算最终解-1，^1，^1N-1} 。算法1 SRAS：计算稀疏ME解决方案。函数SRAS（N，a，`，q，δ）x← 数组（N）ψ← 阵列（N）Д← i=0的数组（N）：N- 1 doψi← ai^1i← `η的iend← ∞虽然√η>δdoη← 0对于i=0：N- 1个dos← 0对于j=0:N- 1个dos← ξ的s+qijИjend← ai/sη← η+（ξ- ψi）ψi← ξj=0时的终点：N- 1个dos← 0对于i=0：N- 1个dos← ξ的s+qijψiend← `j/sη← η+（ξ- Дj）Дj← ξi=0时的前端：N- j=0时为1 Do:N- 1多西吉← qijψiИjend forend for return xend函数我们还应该注意，SRAS算法主循环的复杂度是O（2N），而RAS算法主循环的复杂度是O（4N）。

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可人4

2022-5-31 06:17:56

因此，SRAS比RAS快两倍，因为迭代变量ψ和Д是大小为N（SRAS）的一维数组，而tox是大小为N（RAS）的数组。给定银行间网络的正确邻接矩阵q，SRAS算法通过提供满足约束条件（1）的最近矩阵x精确地解决了问题，使得q=Θ（x）。不幸的是，实际上我们不知道正确的邻接矩阵q，因此我们只能通过假设我们可以估计连通性κ来“猜测”这样的矩阵。因此，我们面临的问题是找到具有给定连通度κ的邻接矩阵q。这样的邻接矩阵将对候选解矩阵x起到“支持”的作用，即使它可能不是真正的邻接矩阵。由于约束值（1）严格非负，ai>0和\'j>0，i，j=0，N- 1，算法2邻接矩阵：计算随机邻接矩阵。函数邻接矩阵（N，κ，tmax）q← i=0的数组（N）：N- j=0时为1 Do:N- 1 doqij← 0 PI结束← i=N的iend forfor- 1:1司法部← 兰特（i）m← 皮皮← pjpj公司← i=0时的修补：N- 1个doqipi← 1对于n=n，结束：κn- 1个dom← 兰德（N）j← bm/Nci← m级- 当qij=1或i=j dom时← （m+1）modNj← bm/Nci← m级- jNend whileqij← 1end forreturn qend Function最小连接性必须为κmin=1/N。此外，由于主对角线上的元素必须始终等于零，因此最大连接性为κmax=1-1/N。我们还应该注意，q的每一行和每一列必须至少包含一个非零元素，否则q不能支持x，这意味着我们必须有：N-1Xj=0qij≥ 1，N-1Xi=0qij≥ 1，i，j=0，N- 1.（34）当然，这只是一个必要条件，它不能保证候选解x将满足所施加的约束（1）。

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2022-5-31 06:17:59

然而，如果满足此条件，则矩阵q可以发挥支持候选解决方案的作用。算法2可以构造具有给定连通度κ的随机邻接矩阵q。首先，我们注意到，任何置换矩阵都满足最小连接性κmin=1/N的要求，因为它在每行和每列中只有一个条目1，在其他地方只有0。因此，我们用一个随机置换矩阵初始化q1。我们应该注意，置换矩阵的对角元素必须等于零。这种随机排列矩阵可以通过对Fisher-Yates-shu-free算法（14）的简单修改获得，该算法应用于单位矩阵的行（或列）。该wayq成为对角线上0的置换矩阵。该算法通过随机抽取κN来继续- N 0s到1，这样最终矩阵中有κN1s。此过程中仅使用主对角线的位置。算法2中给出了伪码，它精确地解决了1/N的问题≤ κ≤ 1.- 1/N。这里b.c是floor integer函数，rand（m）函数返回{0，…，m中的uniformrandom整数- 1} 。4稀疏重建数值结果在本节中，我们讨论了当我们只知道邻接矩阵的连通度κ和随机生成的约束值ai>0和\'j>0，i，j=0，…，时SRAS算法的性能，N-在这种情况下，我们首先用给定的连通度κ生成支持邻接矩阵q，然后使用SRAS算法计算候选解x。上述过程不能保证SRAS算法会收敛到正确的解，因为随机生成的邻接矩阵支持很可能不是正确的。

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何人来此

2022-5-31 06:18:02

我们应该注意，这种情况与正确的邻接矩阵已知的情况不同，SRASC可以准确地找到解x。这是因为并非所有稀疏邻接矩阵q（具有给定的连接性κ）都能支持与约束（1）兼容的候选矩阵x。因此，主要问题是：什么是最小连通度κ*对于随机生成的邻接矩阵q，它可以为满足线性约束（1）的候选解x提供正确的支持？因此，我们预计有一个连通范围[κ*, k max]对于随机生成的邻接矩阵q，也可以支持与约束（1）兼容的解矩阵x。这里，κmax=1- 1/N对应于密集网络重建案例，该案例始终允许兼容的解决方案，但尚不清楚如何找到κ*, 它对应于最小临界连通性，我们可以随机选择一个支持q，从而得到的候选解决方案x满足约束条件（1）。为了找到k*在数值上，我们将约束满足度的偏差作为连通度κ：ε的函数进行测量=PN编号-1i=0PN编号-1j=0xij- 人工智能+PN编号-1j=0PN编号-1i=0xij- `jPN编号-1i=0ai+PN-1j=0\'j1/2。（35）我们还测量了归一化熵Sx∈ 候选解矩阵x的[0，1]，作为κ的函数：Sx=-2 ln NN-1Xi=0N-1Xj=0xijln xij，（36）和熵Sq∈ 邻接支持矩阵q的[0，1]：Sq（κ）=-κlogκ- （1）- κ）日志（1- κ）。（37）不同网络规模的数值结果如图1所示：N=25、50、75、100、200、400。SRAS算法的收敛公差参数设置为δ=10-连接性κ在间隔[κmin，κmax]内变化，有一步κ=（κ最大值- κmin）/M，其中kmin=1/N，kmax=1- 1/N和M=100。

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nandehutu2022

2022-5-31 06:18:05

此外，对于每个κ，我们平均了10次试验的结果。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0ε，Sx，SqN=25*=0.2828εSxSq0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0ε，Sx，SqN=50*=0.1414εSxSq0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0ε，Sx，SqN=75*=0.0943εSxSq0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0ε，Sx，SqN=100*=0.0707εSxSq0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0ε，Sx，SqN=200*=0.0353εSxSq0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0ε，Sx，SqN=400*=0.0177εsxsq图1:SME方法的约束满足度的偏差ε、解的熵sx和邻接矩阵sq的熵（详见正文）。我们应该注意，误差ε几乎完全由以下高斯函数描述：ε（κ，N）=exp-（Nκ- （1）. （38）图中的连续线是具有上述功能的图。图中的灰色区域对应于区间[0，κ*) 其中，程序收敛到与施加的约束（1）不一致的解x，而白色区域是间隔[κ*, κmax]其中问题的解决误差小于ε*= 0.5·10-2、临界值κ*发生这种转变的地方与网络的大小N：κ成反比*（ε*, N） =1+r8 ln2ε*!N-1，（39），因此大型网络的误差消失：limN→∞κ*（ε*, N） =0。（40）5传染压力测试一旦计算出银行间风险敞口矩阵x，我们就可以指定触发传染的冲击。通常，通过让银行一次破产一家，并衡量由于直接或间接暴露于破产银行而破产的银行数量，来模拟这种传染。因此，onebank故障可能会引发一连串的后续故障。假设ci（0）是银行的初始资本bi，i=0，N-1.

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可人4

2022-5-31 06:18:08

然后，假设银行bi∈ B由于某些外部原因而失败，因此任何银行bj，j 6=i，j=0，N-1，损失金额等于其风险敞口乘以参数θ∈ [0，1]对于lossrate（违约损失）[3，11]。因此，如果Ft B是在时间点t发生故障的银行集合，则银行j在时间点t+1的资本为：cj（t+1）=cj（t）- θXn∈Ftxjn。（41）如果BJ银行的损失超过其初始资本cj（0），这也意味着流动资本变得消极：cj（t+1）≤ 0，（42）则银行bj也会失败。如果没有其他银行倒闭，传染过程就会停止，否则就会发生另一轮传染。因此，我们测量的量是分数ξ∈ [0，1]在这种冲击后失败的银行中，作为损失率θ和银行间网络连通性κ的函数：ξ（θ，κ）=N-1 | F（θ，κ）|。（43）在图2中，我们显示了具有N=200个银行的网络的模拟结果。在此，我们假设银行的初始资本为ci=0.01，i=0，N-1，且∧=N。

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kedemingshi

2022-5-31 06:18:11

图上的曲线对应于破产银行的分数ξ：（i）真实风险敞口矩阵，随机生成（圆圈）；（ii）致密基质曝光重建的标准ME溶液（stars）；（iii）稀疏矩阵曝光重建的SME解决方案（平方）。可以看到，默认值ξ（θ，κ）的分数作为θ的函数经历相变，当网络κ的连接性降低时，相变向θ的较低值移动，如图2所示。事实上违约率ξ可以用一个简单的逻辑增长模型很好地描述，0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0θ0.00.20.40.60.81.01.2ξ=0.8TrueSme0.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0θ0.00.20.40.81.01.2ξ=0.7TrueSme0.0 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0θ0.60.81.01.2ξ=0.6TrueSme0 Smeme0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0θ0.00.20.40.60.81.01.2ξ=0.5TrueSeme0.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0θ0.00.20.40.60.81.01.2ξ=0.4TruesMe0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0θ0.00.20.40.60.81.01.2ξ=0.3TruesMe0.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0θ0.00.20.40.60.81.01.2ξ=0.2TruesMe0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0θ0.20.40.60.81.01.2ξ=0.1TruesMe图2：银行违约率ξ损失率θ和连接性κ的函数：真实曝光矩阵（圆）；标准ME溶液（stars）；和SME解决方案（方块）。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0θ**, 真的*, 中小企业*, ME0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.10.20.30.40.50.60.70.8β/牛顿*, 真的*, 中小企业*, ME图3：参数θ*和logistic增长模型的β，其中银行违约率ξ是连通性κ的函数。解：ξ（θ，κ）=1+exp[-β（θ- θ*)], （44）式中θ*是中点，β是增长率（或违约率）。逻辑模型解决方案也如图2所示，它对应于连续线。模型参数如图3所示。

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kedemingshi

2022-5-31 06:18:14

可以看出，对于真矩阵，中点与κθ有线性关系*\' 0.05+0.5k，而速率β/N=0.5是恒定的。此外，可以看到，SME方法在低连通性值下提供的结果比标准ME方法更现实，后者严重低估了连通性风险。6结论在本文中，我们研究了由不完全信息重建银行间敞口所隐含的系统性风险。我们还开发了一种有效的算法来解决稀疏网络重建问题。此外，我们在数值上表明，与基于ME方法的标准方法相比，该算法可以更可靠地估计银行间网络中的传染风险。我们的解决方案也证实了之前通过比较ME双边风险与基于实际双边风险获得的结果[9]，再次表明ME方法低估了传染风险。事实上，我们的数值模拟表明，在经济学文献中广泛使用的ME方法严重低估了传染风险，而本文提出的SME方法给出了更稳健的结果。在结束语中，我们想指出的是，传染问题的模拟结果在很大程度上取决于网络拓扑和双边风险敞口的分布值，只有了解真实风险敞口，才能正确识别潜在传染的实际渠道。然而，这些基于不完整信息的简化模型和模拟再次表明，不应对此类传染病掉以轻心，依靠不适当的方法（如ME）并不能为潜在的系统性风险失败提供有效的警告。参考文献【1】G.Sheldon，M.R。

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能者818

2022-5-31 06:18:17

Maurer，《银行间借贷与系统性风险：瑞士的实证分析》，《瑞士经济与统计杂志》134685（1998）。[2] M.Blavarg，P.Nimander，《银行间风险敞口和系统性风险》，经济评论2，19（2002）。[3] C.H.Fur fine，《银行间风险敞口：量化传染风险》，《货币、信贷和银行杂志》35，1111（2003）。[4] S.Wells，《英国银行间市场的金融关联和传染风险》，英格兰银行第230号工作文件（2004年）。[5] C.Upper，A.Worms，《估计德国银行间市场的双边风险敞口：是否存在传染风险？《欧洲经济评论》48，4827（2004）。[6] I.P.P.van Lelyveld，F.R.Liedorp，《荷兰银行业的银行间传染：敏感性分析》，国际中央银行杂志，第299期（2006年）。[7] H.Degryse，G.Nguyen，《银行间风险敞口：比利时银行体系传染风险的实证检验》，国际中央银行杂志3123（2007）。[8] M.Toivanen，《芬兰银行间市场的金融关联和传染风险》，芬兰央行研究讨论论文第6期（2009年）。[9] P.E.Mistrulli，《评估银行间市场的金融传染：最大熵与观察到的银行间借贷模式》，银行与金融杂志35，51114（2011）。[10] M.Kanno，《基于日本银行系统银行间风险敞口的系统性风险评估》，金融稳定杂志20105（2015）。[11] I.Mastromatteo，E.Zarinelli，M.Marsili，《重建金融网络以稳健估计系统风险》，统计力学杂志：理论与实验，P03011（2012）。[12] K.Anand，B.Craig，G.von Peter，《填补空白：网络结构和银行间传染》，定量金融15（4），625（2014）。[13] M。

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nandehutu2022

2022-5-31 06:18:20

Bacharach，《从边际数据估计非负矩阵》，《国际经济评论》，6（3），294（1965）。[14] Knuth，半数值算法。《计算机编程艺术》，Addison-Wesley，波士顿（1998）。

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