[18，19]，其中提交和取消均假定服从齐次泊松过程。为了了解实际平均订单量，参考文献[20]将统一提交率替换为遵守功率定律的实际非统一提交率。在此，我们从与我们的经验结果一致的角度研究了参考文献[20]中改进的ZI-OB模型。ZI-OB模型的输入包括以下三个部分。提交率密度u（rmid）：假设限额订单提交服从非均匀泊松过程，其特征是提交率u（rmid）与市场中间价的相对深度RMIDF。换句话说，在时间间隔[t，t+dt]之间的[rmid，rmid+drmid]范围内提交一个新的限制顺序，概率为u（rmid）drmidt。（B31）我们数据集中的经验提交柱状图如图12c所示，显示指数为2.9的幂律尾。

对于我们的数字实现，限额订单提交率直接由相关系数=0.105相关系数=0.08710-710-610-510-410-310-210-1100100101102数字功率-40-30-20-10 0 10 20 30 40-10-5 0 0 5 10 0 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0 20 40 60 100 120-0.4-0.3-0.2-0.1 0.1 0 0.2 0.3 5 0 5 10-0.4-0.3-0.2-0.1 00.1 0.2 0.3 0.4-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Bidsk 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0 20 60 80 100 1206 6 6 6月7日6月8日6月9日6月10日JuneZI OB model10-610-510-410-310-210-1100 0 2 4 6 8 10 12 14数字高斯（b）平均订单分布（c）订单的分层结构（d）之间的相关性（a）价格变动CDF（高斯）（f）平均订单分布（g）订单的分层结构（h）价格变动之间的相关性（e）CDF（电力）TPIPTPIPTPIPTPIPTPIPTPIPPIP6 6月7日6月8日6月9日6月10日JuneZI OB modelBidAskFIG。对ZI-OB模型进行数值研究【18–20】，以检验其与正文中的经验结果的一致性。（a–d）我们首先研究了真实参数集满足（Nvol、QFR）条件下的模拟≈ （100，5%）。价格变动服从高斯定律（图a），这与我们数据集中的指数定律相矛盾。本周平均订单数量与实际订单数量不符（图b）。也未观察到分层订单结构（图c和d）。（e–h）通过调整市场订单率ω，我们试图通过ZI OBmodel拟合实际订单。虽然ZI-OB模型通过参数调整复制了平均订单量（图f），但价格变动统计数据和分层订单结构均与我们的数据集不一致（即，图f）。

e显示的幂律统计数据p和图。g和h表示没有层状结构）。我们还注意到，adjustedparameter意味着QFR≈ 75%，是实际QFR的十倍以上。从这个意义上讲，ZI-OB模型与现实参数下的经验结果不一致。rmid的经验提交柱状图≥ 0、总提交率由utot给出≡Z∞drmidu（rmid），（B32）描述总提交频率。订单的性别（即买卖）以相同的概率随机选择。2、取消率λ：根据强度为λ的齐次泊松过程，假设任何订单都被取消。换言之，在概率为λdt的时间间隔【t，t+dt】之间取消一个顺序。（B33）3。市场订单率ω：假设市场订单服从强度为ω的泊松过程。换言之，在区间[t，t+dt]之间提交买入或卖出市场指令，概率为ωdt。（B34）顺序的性别以等概率随机选择。这些参数表征了稳态下的订单动态。例如，NVOL给出了双方的平均总订单量和QFR（即订单最终交易的概率）≈utot- ωλ，QFR≈ωutot，（B35）。这些关系是从稳态下的阶数守恒推导出来的：utot≈ λNvol+ω。a、 具有真实参数的数值模拟首先考虑基于数据集中真实参数的数值模拟，最小价格精度为1 tpip。提交率密度u（rmid）直接从数据集中的经验提交直方图中确定（图12c）。取消和市场订单率固定为λ/utot=9.5×10-3和ω/utot=0.05以满足ynvol≈ 100和QFR≈ 5%。

虽然这些参数在我们的数据集中是真实的，但图13a-d中的数值结果与经验结果不一致。事实上，ZI-OB模型中的价格变动服从高斯统计（图13a），这与我们数据集中的经验指数定律不同。数字平均订单帐簿比例与实际订单帐簿比例没有定量关系（图13b）。此外，ZI-OB模型中没有出现订单簿的分层结构（图13c和d）。为了复制这些经验发现，特别是分层订单簿结构，我们推测极限订单簿的集体运动（即微观趋势跟踪行为）需要与传统订单簿模型相结合。b、 调整参数的数值模拟参考文献[20]中，研究了ZI-OB模型通过调整参数来生成真实订单的可能性。同样，我们在此寻求调整模型参数的可能性，以复制数据集中的实际订单账簿。通过将平均订单量定义为Nvol≈ 100，我们调整了市场订单率ω作为拟合参数，以复制数据集中的实际订单（见图13e-h）。通过输入ω/utot=0.75（或等效QFR≈ ZI-OB模型复制了实际订单，如图所示。13f。然而，ZI-OB模型的其他数值结果与指数价格变动统计数据（图13e表示幂律价格变动）或分层订单结构（图13g和h）不一致。此外，参数调整意味着QFR≈ 75%，比实际QFR高出10倍以上（见第A 4节）。

因此，我们得出结论，至少在我们的数据集中，在现实参数下，ZI-OB模型并没有一致地复制我们的经验结果。附录C：衍生产品的技术问题1。由跳跃障碍定义的布朗运动在本小节中，我们研究了由r=±L/2的跳跃障碍定义的布朗运动（如图14所示）。让我们假设粒子在没有碰撞的情况下随机移动r∈ (-1/2，1/2）。然后我们在r=±L/2处放置跳跃势垒，并假设粒子在碰撞后移动到原点r=0。粒子的位置r（t）遵循动力学方程drdt=σηr+ηt++ηt-, ^ηT+=-L∞Xk=1δ（t- τ+k），^ηT-= +L∞Xk=1δ（t- τ-k） ，（C1）其中^ηRis是单位方差的高斯白噪声，以及^ηT+和^ηT-分别是从r=±L/2处的跳跃屏障开始的跳跃项。这里，第k次碰撞时间τ+kandτ-k屏障r=±L/2满足关系r（τ±k）=±L/2。以秒为单位进行平行计算。概率分布函数P（r）的动力学方程如下所示：P（r）t=σrP（r）+Xs=±1[Js（r- sL/2）- Js（r）]，Js（r）=σδ（r+sL/2）|sP（r）|。（C2）然后由帐篷函数PSS（r）给出稳态解≡ 限制→∞P（r）=ψL（r），这与N的平均场解（B22）相同→ ∞. 这意味着平均场描述对应于极限N内跳跃势垒定义的布朗运动→ ∞.从上图中，我们可以导出平均交易区间的方程（B26），以N表示。因为我们模型中的单个粒子表现为布朗运动，由N的跳跃势垒所限定→ ∞,通过考虑模型（C1）的生存率问题，可以导出单个粒子的平均交易间隔。根据参考文献[33]，对于单个粒子，平均交易间隔由L/4σ给出。

接下来，我们推导了整个系统的平均事务间隔。扩散碰撞和跳跃图的碰撞次数NL的计数。由r=±L/2处的跳跃势垒确定的布朗运动示意图。当布朗粒子与跳跃障碍碰撞时，粒子跳到原点r=0。在时间间隔内，当T足够大时，T产生nL=T/（L/4σ）。碰撞总数ntotis由ntot=NXi=1TLi/4σ给出≈ NZdLρ（L）TL/4σ，（C3），其中存在重复计数，因为任何事务都作为二进制冲突发生。考虑到重复计数，平均交易间隔τ*对于整个系统，由τ给出*= T/（ntot/2），这意味着等式（B26）。2、交易区间分布本文给出了交易区间（B27）累积分布的唯象估计。假设投标人和询价人在质心的到达时间间隔服从泊松统计：PA(≥ τA）=Z∞τAPA（τA）dτA=e-τA/A，PB(≥ τB）=Z∞τBPB（τB）dτB=e-具有特征时间间隔a的τB/a（C4）。PA（τa）（PB（τB））和PA(≥ τA）（PB(≥ τB）分别是询价人（投标人）到达时间间隔的PDF和CDF。我们还假设交易发生在投标人和投标人到达质心时。此图表明，事务间隔τ近似由τ给出≈ 最大值{τA，τB}==> P(≥ τ） =1- （1）- e-τ/a），（C5），其中我们使用了顺序统计的公式【42】。考虑到等式（C5）和平均交易间隔（B26）之间的一致性，我们得到了自洽条件τ*= 3a/2。方程式（B27）如下所示。[1] A.爱因斯坦，安。物理-柏林322549（1905）。[2] S.Chapman和T.G.Cowling，《非均匀气体的数学理论》（剑桥大学出版社，剑桥，1970年）。[3] N.G。

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