金融布朗运动Boltzmann方程的推导：

2022-5-31 06:37:09

金融布朗运动Boltzmann方程的推导：高频商人金泽清（Kiyoshi Kanazawa）集体运动的直接观测1,2，*东京理工大学创新研究所，东京理工大学，4259 Nagatsuta cho，Midori ku，Yokohama，226-8502，东京理工大学计算学院数学与计算科学系，4259 Nagatsuta cho，Midori ku，Yokohama，226-8502，日本东京Shinagawa ku，141-0022，通过直接观察外汇市场高频交易者（HFT）的动态，建立了金融布朗运动的微观模型。此外，还建立了一个与分子动力学理论平行的理论框架，用于从HFTs的微观动力学系统地描述金融市场。我们首先通过跟踪所有个体的轨迹，报告了交易员趋势跟踪行为的微观经验法则，该法则量化了高频交易的集体运动，但在传统的订单簿模型中尚未捕捉到。Wenext介绍了相应的HFTs微观模型，并给出了其理论解，平行于分子动力学理论：类Boltzmann和类Langevin方程是通过Bogoliubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon层次从微观动力学推导而来的。

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2022-5-31 06:37:12

我们的模型是第一个通过微观动力学数据分析直接验证的微观模型，显示出与介观和宏观经验结果的定量一致性。PACS编号：89.65。Gh，05.20。Dd，05.10。Gg，05.40。JC简介–在物理学中，胶体布朗运动的研究有着悠久的历史，始于爱因斯坦的著名著作【1】；对其机理的理解在动力学理论中得到了系统的发展【2，3】。具体而言，从微观牛顿动力学出发，分别推导了介观和宏观动力学的Boltzmann和Langevin方程。该框架是各种非平衡系统（如活性物质、颗粒物、费曼棘轮和流量[4-10]）的坚实基础，由于最近的技术突破，其直接实验基础已被重新审视。鉴于这一成功，自然会将这一框架应用于物理学之外的社会科学，如金融。事实上，随机游动的概念在历史上早于爱因斯坦（Bachelier Earlier Einstein）[14]就为价格动力学发明了，最近的高频数据分析（high-frequency data analysis）[15]深入研究了随机游动与物理布朗运动（例如，波动耗散关系）的相似性。作为统计物理学中的一个理念，金融市场的动力学有望通过扩展动力学理论从第一原理中得到澄清。虽然这个想法很有吸引力，但金融布朗运动的动力学描述尚未建立。为什么这个想法还没有实现？在我们看来，最大的问题是缺乏已建立的微观模型；存在介观模型[15-21]和宏观模型[22-28]的经验验证，其中没有通过直接经验分析验证微观模型。

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2022-5-31 06:37:15

事实上，以前的微观模型[29–33]纯粹是理论模型，没有定量ev*通讯作者：金泽。kae@m.titech.ac.jpidence显微镜下。作为一门实证科学，为了克服这一关键问题，必须将两个缺失的环节联系起来：（i）通过直接观察交易者的动力学建立微观模型（图1a）和（ii）构建动力学理论，以表明其与介观和宏观发现的一致性（即理论手册和价格动力学（图1b，c））。在这封信中，我们通过直接观察外汇市场高频交易者（HFT）动力学给出了相应的解决方案：（i）通过直接微观证据建立了高频交易者的微观模型，（ii）发展了相应的动力学理论，以证明其与细观和宏观证据的一致性。我们使用匿名交易员识别码（ID）分析订单数据，以跟踪所有个人的轨迹。我们发现HFT中存在一个经验规律，这一规律在以前的订单模型中没有得到体现。值得注意的是，这一特性诱导了订单簿的集体运动，并自然导致了分层订单簿结构【15】。然后，我们介绍了一个对应的HFTs后趋势的微观模型。从他们的“运动方程”出发，推导出订单和价格动态的类Boltzmann和类Langevin方程。我们的实证结果最终显示了定量一致性。我们的工作为基于微观证据的金融系统描述打开了大门。观察到的微观动力学–我们分析了2016年6月一周内美元（USD）和日元（JPY）之间电子经纪服务的高频外汇数据（见附录a 1）。本研究中使用的货币单位为0.001日元，称为第十皮普（tpip）。

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2022-5-31 06:37:18

在这里，我们特别关注HFT的动态【34】，经常提交或取消（b）中观：订单簿动态（a）微观：交易者动态（c）宏观：价格动态减少EBID侧市场最佳出价市场中市场最佳AskAsk侧市场交易价格PriceTimeBBGkyHierarchyfig。1、微观、介观和宏观动力学的金融布朗运动层次结构。106.7 106.86 6月1日01:31 6月6日01:32询问订单出价订单市场价格交易107.0 107.1 107.26 6月16日16:49 6月6日16:50PDF 107.1 107.2 107.3 107.46 6月07:29 6月07:30日元/美元0.02 0.04 0.06 20 40 60 80买入卖出价差PDF 0.02 0.04 0.06 20 60买入卖出价差PDF 0.02 0.04 0.06 20 40 60买入卖出价差（d）趋势跟踪分析（a）第一名HFT（b）第二名第i位交易员的HFTTrendReaction：报价变动PriceTime（c）排名第三的HFTFIG。2.（a–c）订单的寿命被绘制为前3个HFT的轨迹。典型的交易者倾向于连续的双边报价，买卖价差围绕交易者特有的时间常数波动。HFT中双边报价的百分比为48.4%（见附录A 3）。（d）单个交易员趋势跟踪的量化，其中p和Zi分别是第i个交易者的市场价格和中间价格的变动。根据算法订购（见附录A 2）。图2a-c显示了前三大HFT的典型投标和询价轨迹。他们通过快速连续提交和取消来修改报价，通常在几秒钟内完成；几乎99%的提交最终在没有交易的情况下被取消（见附录A 4）。根据市场规则，在双边报价中，他们还扮演着流动性提供者的角色，保持买卖订单之间的平衡。

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2022-5-31 06:37:21

买卖价差，即单个HFT的最佳出价和要价之间的差异，被观察到围绕某些时间常数波动（其分布见插图和附录a 5）。然后，我们报告了个人交易者趋势跟踪策略的经验微观规律。第i个顶级HFT的买卖报价由biand ai表示（见附录A 6）。我们调查了交易员报价中价zi的平均变动≡（bi+ai）/2以先前市场交易价格变动为条件的交易之间（图2d）。这里，我们将滴答时间T作为每个事务递增的整数时间。本周的平均交易间隔为9.3秒。由于典型的高频交易经常在交易之间修改价格，因此我们在此研究高频交易的趋势跟踪精度。对于前20名HFT（图3），我们发现运动的平均值和方差zi（T）≡ zi（T+1）-zi（T）服从齐伊p≈ 西坦pp*i、五p[zi]≈ σi，（1）其中条件平均值h。我上次价格变动为p（T- （1）≡ p（T）- p（T- 1）以及zi6=0（见附录A 6），条件方差由V定义p[zi]≡ h类(zi公司- h类齐伊p）我p、这里，p（T）是T点的市场交易价格，ci，p*i、 σi是转换器独有的特征常数，与p、其典型值为ci≈ 6.0 tpip，p*我≈ 7.5 tpip和σi≈ 14.5 tpip。我们的发现（1）表明，交易者的反应对于小趋势是线性的，但对于大趋势是饱和的，并且量化了高频交易的集体运动。值得注意的是，从一个月精度的价格变动数据分析中报告了类似的行为【37】。微观模型–在这里，我们介绍了一个结合上述特征的HFT最小微观模型。

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2022-5-31 06:37:25

我们有四个假设：（i）贸易商的数量非常大；（ii）交易者总是在单位交易量的同时报出买入价和卖出价（对于第i个交易者，BIAN和ai）；（iii）买卖价差是分布为ρ（L）的交易员独有的时间常数。然后，用midpricezi来描述转换器的动态特性≡ （铋+铝）/2；（iv）在微观动力学中假设随机行走后的趋势（图4a-c），dzi（t）dt=c tanhp（t）p*+ σηRi（t）（2），趋势跟随c，之前的价格变动p、和方差为σ的高斯白噪声σηRi。这里，c，p*, 为简单起见，假设所有交易者共享和σ。在此模型中，HFT经常通过连续提交和取消来修改其报价。事实上，该模型可以重新表述为具有高取消率的aPoisson价格调整过程（见附录B 2）。交易aj（t）=bi（t）（图4b）后，更新后的市场价格及其相应的变动记录为asp（t+0）=bi（t），p（t+0）=bi（t）- p（t），（3）-10-5 0 5 10-15-10-5 0 5 10 15 0 0.5 1.5 2-20-15-10-5 0 5 10 20-20-15-10-5 0 5 10 20-2-1 0 1 2-4-3-2-1 0 1 2 3 41st2nd3rd4th4th6th7th8th9th10th12th14th16th17th18th20th20缩放（a）平均移动趋势（双曲线函数）（b）随机噪声影响的标准偏差（与缩放无关）TPIPPIPTPIP tpip19th HFT11th HFT1ST2ND3RD4TH5TH6TH7TH8TH10TH12TH14TH15TH17TH18TH20TH4TH14THFIG。3.（a）平均值Zi假设之前的价格变动p和一位活跃的交易员zi6=0。通过引入缩放参数，可以通过前20个HFT的主曲线（1）来确定行为p*土地和ci。

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2022-5-31 06:37:28

（b）价格变动的条件标准差p、表明与趋势跟踪相关的随机性与p、（b）交易（a）随机游走后的趋势（c）需求跳跃卷冰山问（d）订单簿的集体运动（e）订单簿的分层结构订单簿中的正向趋势卷体积变化（重心）图4。微观模型示意图（2）。（a）每个交易者的中间价服从趋势跟随随机游走。（b）交易发生在bi=AJ与市场交易价格p及其变动匹配后p已更新。（c）交易结束后，这对交易双方同时重新报价和询价。（d）趋势跟踪引起的订单集体运动。（e）投标（ask）订单簿中的数量变化为正（负），接近p>0。发生再定量跳变（图4c），zi（t+0）=zi（t）-Li，zj（t+0）=zj（t）+Lj。（4）这里，t+0表示事务之后的时间。该模型的一个独特特征是趋势跟踪导致的订单簿集体运动（图4d）。对于p>0时，出价（ask）量的变化趋向于接近最佳价格的正（负）变化（图4e），与分层订购书结构一致【15】。动力学配方–接下来，根据动力学理论[2，3]，我们给出了该模型（2）的解析解。让我们首先介绍相对距离i≡ zi公司-zc。m、从“质心”zc。m。≡Pizi/N（图4a），式（2）中的趋势跟随效应被吸收到zc的动力学中。m、。。Ribrecome的动态更简单，因为趋势跟踪效应在这个移动的框架中消失了（见附录B 3）。Wenext引入了一体（二体）概率分布，即φL（r）（φLL（r，r）），条件是交易者的买卖价差。

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2022-5-31 06:37:31

从微观模型（2）中，导出了最低阶层次方程，如下所示：φL/t=（σ/2）(φL/r） +NPs=±1RdLρ（L）[JsLL（r+sL/2）-JsLL]带JsLL（r）≡（σ/2）|rr |φLL（r，r）r-r=s（L+L）/2和rr | f≡ |f级/r |+|f级/r |（见附录B 5）。假设“分子混沌”φLL（r，r）≈ φL（r）φL（r），（5）我们推导了订单中带有碰撞积分的类Boltzmann方程：φLt型≈σφLr+NXs=±1ZdLρ（L）[μJsLL（r+sL/2）-JsLL]（6）带▄JsLL（r）≡ （σ/2）|rr |{φL（r）φL（r）}r-r=s（L+L）/2。此处，s=+1（s=-1）作为投标人（asker）表示交易。由于交易者表现出由趋势跟踪引起的集体运动，因此还导出了一个类似朗之万的方程作为模型（2）的宏观描述，p（T+1）=cτ（T）tanhp（T）p*+ ζ（T），（7），其中τ（T）和ζ（T）分别是事务时间间隔和第T个滴答时间的随机噪声。第一个趋势跟随项对应于传统朗之万方程中的动量矩。方程（6）和（7）可通过分析评估n→ ∞. 我们首先将买卖价差分布设置为ρ（L）=L6L*4e-升/升*（8）衰减长度为L*= 15.5±0.2 tpip，在我们的数据集中进行了经验验证（图5a）。N的等式（6）的解→ ∞ 由φL（r）=（4/L）max{L/2给出-|r |，0}。tpip（c）价格变动CDF（一个刻度）（e）一周价格变动CDF（f）衰减长度CDF 0 20 40 60 80 1005th 18:00-20:006th 12:00-14:008th 20:00-22:0010-510-410-310-210-1100101 210一周距离。PowerPower-dist.10-210-110010-310-210-1100（b）每日订单概况（a）每日买卖价差距离。（d）按比例价格变动CDF（g）订单的分层结构（h）之间的相关性0 1 2 3 4 5 6 76年6月7日6月8日6月9日6月10日。（8）缩放6月6日、6月7日、6月8日、6月9日、6月10日。

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2022-5-31 06:37:34

（9） TPIPTPIP tpip 0.11.0 1 10 0 0.01 0.02 0 20 40 60 80 100 120 140 0 0.004 0.008 0.012 0 50 100 150 200-30-20-10 0 10 20 30-60-40-20 0 20 40 60 tpip-10 0 20 30 40 40 50 60 70 80内-外-0.2 0.2-0.4 0.4BidAskFIG。5.（a）使用经验主曲线（8）的HFT买卖价差的每日分布（见附录a 5）。（b）每日平均订单量（Dailyaverage order book pro）为HFT的最佳价格，与我们的理论行（9）一致，无需设置参数（见附录A 7）。这里的相对深度是从市场中间价而不是c.m.来衡量的，为简单起见，这与我们的理论相比并没有造成很大的数值差异（见附录B 6）。（c）在三个典型时间区域内，以一个刻度精度计算价格变动的两个小时分段CDF（见附录A 8）。CDF是指数型的，与我们的理论预测一致（10）。（d）每2小时（62个时间区域）将两个小时分段CDF缩放为单指数主曲线。（e）整个星期的价格变动CDF遵循指数α的幂律。（f）衰变长度κ服从幂律Q(≥ κ）~ κ-m、（g）我们的HFT模型的订单簿分层结构。皮尔逊系数C-r（C+r）在N-r（N+r）和带交叉点γc的p≈ 16.5 tpip。（h）内层总数量变化与价格变动的线性相关p，相关系数为0.63。平均订单量fA（r）=RdLρ（L）φL（r-然后，对于r>0，则给出L/2，byfA（r）=4e-3r2L*3升*2+rL*sinhr2L*-re公司-r2L*2升*.

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2022-5-31 06:37:37

（9）宏观模型（7）中τ（T）的统计数据来自于介观模型（6），价格运动的尾部近似由p给出(≥ |p |；κ）≈ e-|p |/κ(|p |→ ∞) （10）衰变长度κ≈ 2.z*/3、趋势跟踪的平均移动z*≡ cτ*, 平均交易间隔τ*≈ 3升*2/Nσ和互补累积分布函数（CDF）P(≥ |p |；κ）（数值验证另见附录B 6和B 7）。介观和宏观数据分析–我们接下来研究我们的微观模型是否与我们的数据集一致。研究了HFTs fA（r）最佳价格的平均询价订单（图5b）的经验每日利润。令人惊讶的是，我们发现与我们的理论（9）在数量上一致，没有任何设置参数，这有力地支持了我们描述的有效性。价格变动的两小时分段CDF也以一个刻度精度P2h进行评估(≥|p |；κ）（图5c），其服从指数定律，与我们的理论预测（10）定性一致。两小时衰减长度κfluct的值在一周内显著增加。为了消除这种非平稳特性，我们引入了两小时尺度的CDFP2h(≥ |p |）≡ P2h(≥ κ|p |；κ） /Z和缩放参数κ和Z（图5d），从而合并整个星期的两小时指数定律。价格在短期内服从指数规律，但在长期内同时服从幂律，指数α=3.6±0.13（图5e）。这种明显的差异源于衰变长度κ的幂律性质。因为κ近似服从幂律CDF Q(≥ κ）~ κ-移动M=3.5±0.13的一周（图。

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2022-5-31 06:37:41

5f），为期一周的CDF Pw(≥ |p |）作为两个小时分段指数CDF，Pw的叠加，渐近服从幂律(≥ |p |）=Z∞dκQ（κ）P2h(≥ |p |；κ）∝ |p|-m（11）带Q（κ）≡ -dQ公司(≥ κ） /dκ，与经验成分α一致≈ m、因此，作为κ的非平稳性质，我们的结果与之前报道的幂律[24–27]一致。由于我们的趋势跟踪HFT模型显示了有序书集体运动（图4d和e），因此该模型可以再现分层有序书结构【15】（见附录B 8）。让我们定义c-r（c+r）和a-r（a+r）为投标（ask）提交和取消之间的数量，在与市场中间价的相对距离r处打勾。我们还确定了数字变化N-r=c-r- 一-r（N+r=c+r- a+r）在距离r的投标（ask）侧。相关系数C-r（C+r）绘制在图5g中，N-r（N+r）和p、分别在内层（外层）和外层（内层）显示正相关和负相关。我们进一步显示了价格变动之间的线性相关性p和内层Ninner中的总数值变化≡Rγc-∞dr（N-r- N+r）。因此，趋势跟踪HFT模型与之前的发现【15】定性一致（数据分析见附录B 9），这意味着分层结构是集体运动的直接结果。讨论–我们对HFT的趋势跟踪进行了实证研究，归纳出了Theorer book的集体运动。之前的订单模型[16-21]没有捕捉到这一特性，这对于再现我们的经验发现至关重要。事实上，在没有集合运动的情况下，在现实参数下，我们的经验发现、订单簿文件、指数价格运动和分层订单簿结构[15]均未被先前的订单簿模型复制（见附录B 10）。

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2022-5-31 06:37:44

我们预计，引入集体订单动议模型将是复制这些经验发现的关键。结论–通过直接观察高频交易的动态，我们为外汇交易员建立了微观模型和动力学理论，在最小假设下，定量地与实证结果一致。在经济物理学领域，我们的模型（2）是由微观动力学证据直接支持的第一个微观模型，并且与介观和宏观发现一致。我们预计，基于微观证据的金融市场系统化描述将出现一股新潮流。感兴趣的读者可参考参考文献[38]了解更多数学细节。致谢我们非常感谢NEX提供了欧洲经济研究院的数据。我们还感谢M.Katori、H.Hayakawa、S.Ichiki、K.Yamada、S.Ogawa、F.van Wijland、D.Sornette、M.Sano、T.G.Sano和T.Ito的富有成效的讨论。这项工作得到了日本和以色列KAKENHI股份有限公司（赠款编号16K16016和17J10781）和JST战略国际合作研究项目（SICORP）的支持，主题是“ICT促进弹性社会”。我们感谢Edanz Group的Richard Haase博士编辑了这份手稿的草稿。附录A：数据分析1。市场规则我们分析了电子经纪服务（EBS）的高频交易数据，EBS是世界上最大的金融市场之一。除周末外，该市场持续开放，几乎没有规定。从格林威治时间2016年6月5日18:00至10日22:00，所有交易员活动均使用匿名交易员ID记录在我们的数据集中，时间精度为1毫秒。当时美元/日元对的最低价格精度为0.005日元，本研究中使用的货币单位为0.001日元，称为第十个pip（tpip）。

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nandehutu2022

2022-5-31 06:37:48

本周，交易的最小交易量单位为100万美元，总货币流量约为680亿美元。EBSmarket是一个综合了报价驱动和订单驱动系统的混合市场，交易员有三种选择：限价订单、市场订单和取消。限价订单是指具有一定数量且报价显示在订单簿上的订单报价。市场指令是指立即以可用的最低价买入或卖出货币的指令。在这里，我们定义了本文中的术语。最高出价和最低要价分别称为市场最佳出价和要价（由BM和aM表示）（见图6a）。市场买入价和卖出价的平均值称为市场中间价（用zM表示）。此外，市场交易价格p（或简称市场价格）是指市场上发生交易的价格。我们注意到关于交易者之间相互信用额度的中央交易规则【36】。所有市场参与者都需要提前为交易对手设定信用额度，在没有相互信用的情况下，他们无法进行交易。因此，交易者有时以低于最佳市场价格的价格进行交易。2、高频交易者的定义本文将高频交易者（HFT）定义为平均每天提交500次以上（即每周超过2500次）的交易者。该定义与参考文献[39]中的定义类似。由于少数交易员不愿意进行交易，并且经常在提交订单时中断订单，因此我们排除了现场订单少于交易时间0.5%的交易员。根据这一定义，本周HFT的数量为134家，而贸易商的总数为1015家。

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2022-5-31 06:37:50

我们注意到，在开市后提交限价订单的交易商总数（第5、6、7、8、9、10）位（a）（b）Bid SideMarket Best BidMarket MidMarket Best AskAsk SideVolumePrice 1、10、100、0.01、0.1、10图。6.（a）市场最佳买入价bM、市场最佳卖出价aM和市场中间价zM示意图。（b）本周内衰减长度κ和HFT 1/N倒数的时间序列表明，κ和1/N的值在格林尼治标准时间6月5日18:00–20:00（EBS市场开放后的一个非活动小时）期间最大。为922；其他93名交易员只提交了市场订单。我们还注意到，HFTs的出现最近迅速增长，在我们的数据集中，87.8%的订单是由HFTs提交的。在此，我们注意到一项关于该市场取消的规定，该规定与激励HFT发挥关键流动性提供者（KLP）的作用有关【36】。为了市场稳定，要求所有贸易商不要频繁取消订单；交易报价与报价总数之间的比率有一个阈值，称为报价充足率（QFR）。如果交易员的QFR低于阈值，则会对该市场的交易员处以罚款。然而，有一个特殊的规则来降低阈值。如果交易者在固定的时间间隔（称为关键流动性小时）内持续保持双边报价，则该交易者符合KLP的资格，并须遵守较低的QFR阈值。由于HFT往往频繁取消订单，它们通常是KLP，如图2a-c所示。我们还注意到与订单簿快照相关的HFT的典型数量。我们在每次交易后拍摄订单簿的快照，并统计出价和出价的不同交易员身份（ID）的总数。两侧报价的HFT计数权重为1，一侧报价的HFT计数权重为1/2。

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2022-5-31 06:37:54

然后，我们在图6b中绘制了每两个小时买卖双方交易员ID的平均数量，显示了高频交易的周期性日内活动模式（即，在格林威治时间20:00-22:00，N往往很小）。根据这一定义，在我们的数据集中，HFT的典型数字约为35。HFTs引用的总卷数通常约为80卷。诚然，在我们的模型中，哪一个数字适合校准交易者的总数，还有争论的余地；这仍然是一个有待进一步研究的课题。3、双边报价的百分比我们计算双边报价的百分比如下：；当交易者提交买入（卖出）订单时，我们会检查相应的卖出（卖出）订单是否存在。然后，我们计算每个订单提交时所有贸易商的双边报价数量，最后除以提交的总数量。4、单个交易员的取消比率对于每个交易员，我们计算了取消交易量的总数超过提交交易量的总数，以计算交易员的取消比率。第一、第二和第三大HFT的取消率分别为98.59%、99.93%和98.70%（或等效地，其QFR分别为1.41%、0.07%和1.30%）。所有HFT中的总取消率为94.42%（或相当于总QFR为5.58%）。买入卖出价差将最佳买入价和卖出价的差异作为HFT的买入卖出价差进行研究。对于图2a–c和图5a中的插图，仅以1秒的时间间隔采集同时存在买卖价格和买入价格的样本。我们将平均值的标准偏差绘制为每个点的误差条。6、趋势跟踪效应我们解释了各个HFT的投标（ask）价格的精确定义，以便分析趋势跟踪。

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2022-5-31 06:37:57

Ifa交易员在任何时候都会引用单次买入和单次卖出的订单，买入和卖出的价格是按字面定义的。在存在多个出价或要价订单的情况下，我们使用出价或要价订单的最佳值作为bior ai。在没有任何出价或要价或两个订单的情况下，我们使用最新的出价或要价作为bior aifor插值。由于该数据分析的离散性，交易者根本不移动的概率（即。，zi=0）估计较高。因此，我们排除了非活动时间间隔内的样本zi=0，用于计算以下代表值。这种异常处理对等式（1）中的双曲结构没有太大影响。特殊样本的出价或要价与市场价格相差0.1日元（总价格的0.02%），也不包括在条件集合平均h的计算中。我p、在图3a中，绘制了每个箱子中样本超过100个的数据点。将每个点的条件平均值的标准偏差绘制为误差条。此外，前20个HFT的中值使用ci给出~ 6.0 tpip/勾选和p*我~ 7.5 tpip，通过gnuplot中实施的最小二乘法进行估计。我们还计算了图3b中单个交易者在一个刻度精度下报价变动的标准偏差。对于第i个顶部HFT，我们计算了条件方差Vp[zi]≡ h类(zi公司- h类齐伊p）我pand tookits平方根。如图3b所示，标准偏差与前20名HFT为p。我们注意到中值为σi~ 14.5 tpip/刻度。这一观察结果与只有漂移项依赖于p但随机噪声影响不取决于在我们的微观模型中。7.

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2022-5-31 06:38:00

平均订单量每日平均订单量是针对HFTs的最佳价格计算的。我们每秒拍摄HFTs最佳价格的订单，并计算其每天的总体平均值。我们还绘制了平均值的标准偏差作为每个点的误差条。8、价格变动分布和衰减长度价格变动的两个小时分段互补累积分布函数（CDF）pare以图中的一个刻度精度计算。5c，d：p（T）≡ p（T+1）-p（T）与滴答时间T的市场价格p（T）。通过在gnuplot（图5d，f）中实施的最小二乘法估计decay lengthκ及其误差，并在图5d中绘制两个小时标度CDF，最大样本作为异常值排除。估计衰变长度κ的时间序列如图6b所示，表明κ在欧洲经济体系市场开放后（格林尼治标准时间18:00–20:00）是最长的。我们推测衰变长度κ与市场活动有关，如时间区域内HFT的数量。事实上，本周格林威治标准时间第5天18:00-20:00，HFT的数量也是最少的。附录B：理论分析1。模型动力学我们将模型动力学解释为带有跳跃规则（3）和（4）的趋势跟踪随机游动（2）。这些动态可以用δ函数在马尔可夫随机过程的框架内表示。随机动力学可以写成dzidt=c tanhpp*+ σηRi+ηTi，ηTi≡∞Xk=1j6=iXjzijδ（t- τk；ij），dpdt=∞Xk=1i<jXi，j（ppost- p） δ（t- τk；ij），dpdt公司=∞Xk=1i<jXi，j(ppost公司- p） δ（t- τk；ij），（B1）我们使用It^o公约的地方。

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2022-5-31 06:38:03

这里，τk；ij是第k次碰撞时间；跳转大小交易者i和j之间的ZIJ、后碰撞价格对峙和价格变动由| zi（τk；ij）定义的对手- zj（τk；ij）|=Li+Lj==> zij=-Lisgn（zi- zj），ppost=zi+zij，ppost公司≡ zi+zij公司- p（B2）106.97 106.98 106.99 107 107.01 107.02 107.03 0.2 0.4 0.6 0.8 1 106.99 107.01 107.02 107.03 107.04 107.05 107.06 0.2 0.4 0.6 0.8 1初始间隔时间高频取消限制（b）（a）图7。连续趋势跟踪随机游走模型（B1）可以重新表示为泊松价格修正过程（B3），具有高频率的取消率λ→ ∞. （a）泊松价格修正过程（B3）的典型轨迹，单位淘汰率λ。此处，单个交易员修改价格之间的平均间隔设置为tcan公司≡ 1/λ=τ*/4平均交易间隔τ*. 其他参数由L给出*= 15 tpip，p*= 6.75 tpip，z*= 3.6 tpip，andN=25。（b）泊松价格修正过程（B3）的典型轨迹，高取消率λ=400/τ*, 其中，对于λ，泊松模型（B3）渐近退化为连续模型（B1→ ∞.签名函数sgn（x）由sgn（x）=x/| x |定义，用于x 6=0和sgn（0）=0。值得注意的是，跳跃规则。（B2）对应于传统动力学理论中的接触条件和动量交换。在下文中，我们对该模型的介观和宏观层次进行了有效描述。2、关于泊松价格修正过程的注意事项：由于高斯噪声可以通过对泊松噪声取高频小跳限来获得[40]，因此模型（B1）可以重新表示为具有高频抵消率的泊松价格修正过程。这里，让我们重点关注在没有交易的情况下HFT的报价动态。如图所示。

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2022-5-31 06:38:06

2a–c，HFT往往通过连续取消和提交订单来频繁不断地修改其价格，这可能是由于市场规则（即，他们需要在固定的时间间隔内保持连续的双边报价[36]）。基于这些特征，我们可以考虑与模型（B1）相对应的泊松对消模型。让我们引入订单取消率λ，它将[t，t+dt]期间的取消概率表示为λdt。平均取消间隔的特征是tcan公司≡ 1/λ。取消后，我们假设HFT会立即恢复其价格，以维持连续的限价订单。在没有交易的情况下，所需价格假设为方程式（B1）aszi（t+dt）的离散版本- zi（t）=（0（概率=1- λdt）ctcantanh公司pp*+ σ√tcanηRi（概率=λdt）（B3），根据我们的经验发现（1），具有标准高斯随机数ηria。交易规则也被假定为与连续模型（B1）相同。这里，最小时间步长dt与平均取消间隔（cancellationinterval）不同tcan。图7示出了由该泊松动力学描述的示意轨迹。在高频抵消极限λ下得到连续模型（B1）→ ∞ 对于离散模型（B3）。因此，HFT频繁价格调整的性质反映在连续模型（B1）中。3、质心和相应的相对价格介绍我们这里介绍质心（c.m.）和相应的相对价格（示意图见图8）：zc。m。≡NNXi=1zi，ri≡ zi公司- zc。m、。。（B4）c.m.的动态和相对价格由DZC给出。m、 dt=c tanhpp*+ ξ、 dridt=σηRi+ηTi- ξ、 ξ≡NNXj=1σηRj+ηTj.

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2022-5-31 06:38:10

（B5）107.00 107.05 107.10 0 1 2 3 4 5-0.04-0.02 0.02 0.04 0 1 2 3 4 5时间（a）原始cordinateVariableTransformation（b）相对cordinateJPY/美元JPY/美元TransactionRequotation jumpFIG。8、相对价格ri≡ zi公司- zc。m、来自c.m。。（a）单个交易员的报价买入价和卖出价（bi，ai）与c.m.和市场价格（zc.m.，p）一起绘制。（b）在移动帧ri中删除趋势跟随效应。这些曲率是通过微观模型（B1）的蒙特卡罗模拟获得的，时间单位为L*2/σ，离散化时间步长t=4.0×10-4升*2/σ，L*= 15 tpip，p*= 6.75 tpip，z*= 3.6 tpip，N=25。值得注意的是，趋势跟踪只出现在c.m.的动力学中，而不出现在相对论价格的动力学中。这是很自然的，因为趋势跟踪会诱发交易者的集体行为，并且可以被c.m.的动力学所吸收。。此外，ξ对N的贡献远小于σηrian和ηtif对N的贡献→ ∞:|ξ| |σηRi+ηTi |。在c.m.的移动框架中，相对价格Ri的动态因此被简化，并大致遵循以下动力学方程：dridt≈ σηRi+ηTi。（B6）4。两体问题的BBGKY层次方程：N=2在推导N的Bogoliubov–Born–Green–Kirkwood–Yvon（BBGKY）层次方程之前 1，我们首先考虑两体交易者系统来指定碰撞积分。下一小节将研究多体问题的扩展。让我们用兰特R表示第一和第二交易者的相对中间价，其利差为常数L。动态由drdt=σηR1给出；ε+∞Xk=1rδ（t）- τk），drdt=σηR2；ε+∞Xk=1rδ（t- τk）（B7），带跳跃尺寸rrand k-th事务时间τk。此处，ηi；ε是满足hηRi的有色高斯噪声；ε（t）ηRj；ε（s）i=δije-|t型-s |/ε/2ε，对于i，j=1，2。

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2022-5-31 06:38:13

稍后，我们将取ε→ 0极限，其中有色高斯噪声ηRi；ε作为limε收敛到高斯白噪声→0hηRi；ε（t）ηRj；ε（s）i=δijδ（t- s）。第k个事务时间τkand跳转大小r使用碰撞规则| r（τk）确定稀有值- r（τk）|=L+L==> r=-Lsgn（r- r），则，r=-Lsgn（r- r）。（B8）我们首先推导出该系统的主方程。对于两体概率分布函数P（r，r），我们精确地得到了一个时间演化方程Pt=Xi=1,2σPri+Xs=±1σδ（r-r） ||Pr+sL，r-sL公司-δr- r- sL+L||P, （B9）其中|g（r，r）≡ |g（r，r）/r |+|g（r，r）/r |是任意g（r，r）的偏导数的绝对值之和。该方程可推导如下。对于任意函数f（r，r），我们得到了一个恒等式df（r，r）dt=Xi=1,2σηRi；εf（r，r）国际扶轮社+∞Xk=1[f（r+r、 r+r）- f（r，r）]δ（t- τk）=Xi=1,2σηRi；εf（r，r）ri+σ[f（r+r、 r+r）- f（r，r）]δ|r- r |-L+L|ηR1；ε- ηR2；ε|，（B10），其中我们使用了δ-函数的展开式：δ（g（t））=P∞k=0δ（t- τk）/| g（τk）|，具有第k个零点，使得g（τk）=0，τk<τk+1。这里我们考虑碰撞的方向；即η1；ε- η2；ε必须在碰撞r之前为正-r=（L+L）/2。相反，η1；ε-η2；ε必须在碰撞前为负r- r=-（升+升）/2。因此，我们得到了dfdt=Xi=1,2σηRi；εfri+Xs=±1sσfr-sL，r+sL- fδr- r- sL+L（ηR1；ε- ηR2；ε）。（B11）取两侧的集合平均值，得到dfdt公司=Xi=1,2σηRi；εf国际扶轮社+Xs=±1sσfr-sL，r+sL- fδr- r- sL+L（ηR1；ε- ηR2；ε）. （B12）这里，两体PDF P（x，x）表示r的概率∈ [x，x+dx]和r∈ [x，x+dx]asP（x，x）dxdx。

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2022-5-31 06:38:16

通过替换f（r，r）=δ（r- x） δ（r- x），我们得到了主方程Pt=Xi=1,2σPxi+Xs=±1sσ-δ（x- x） Px+sL，x-sL公司+ δx个- x个- sL+LP（B13）涉及衍生产品的缩写符号定义为▄≡ /x个- /x、将Novikov\'stheorem[41]用于任意函数g（r，r）aslimε→0ηRi；ε（t）g（r（t），r（t））= limε→0ZtdshηRi；ε（t）ηRi；ε（s）i*δg（r（t），r（t））ΔηRi；ε（s）+=σg（r，r）国际扶轮社. （B14）我们注意到是一个与|略有不同的符号| 就签名而言（参见等式（B15）了解其关系）。我们对衍生品的签名发表评论。考虑到P（x，x）≥ 0表示所有x，x和P（x，x）=0表示x-x> （L+L）/2，我们得到(P（x，x）/x） | x-x=（L+L）/2≤ 0和(P（x，x）/x） | x-x=（L+L）/2≥ 0、我们还获得(P（x，x）/x） | x-x个=-（升+升）/2≥ 0和(P（x，x）/x） |x-x个=-（升+升）/2≤ 0.总之，我们有P（x，x）x个-x=s（L+L）/2=-||P（x，x）x个-x=s（L+L）/2。（B15）更改符号x→ 兰特x→ r、我们得到等式（B9）。通过对ron两边积分，我们得到了一个单体PDF P（r）的层次方程≡RdrP（r，r）组件P（r）t=σP（r）r+Xs=±1[Js（r+sL/2）- Js（r）]，Js（r）≡σ||P（r，r）r-r=s（L+L）/2，（B16），其中Js（r）是投标人（s=+1）或询价人（s=-1）。右侧的第一项和第二项分别解释了自扩散项和碰撞项。对于N=2的特殊情况，这是一个最低阶的BBGKY层次方程。值得注意的是，碰撞项的数学结构与传统Boltzmann方程中的碰撞积分非常相似。5、多体问题的BBGKY层次方程：N 我们推导了特殊情况N=2的单体PDF的层次方程。在这里，我们将层次方程推广到N的多体问题 1.

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2022-5-31 06:38:19

我们首先假设交易者数量足够大，因此利差分布ρ（L）可以近似为一个连续函数。单体和双体PDF分别以φL（r）和φLL（r，r）表示的买卖价差L和Lare为条件。考虑到交易者之间的对称性，我们注意到单体和双体PDF Pi（ri）和Pij（ri，rj）对于交易者i和j的关系Pi（ri）=φLi（ri）和Pij（ri，rj）=φLiLj（ri，rj）。根据Boltzmannequation的精神，单体分布φL（r）的动力学方程可以分解为两部分：φL（r）t=σφL（r）r+C（φLL）（B17）体积价格。（B23）等式（B22）中间价询价图。9、从交易者的中间价订单簿到交易者的询价订单簿，坐标移动1/2。具有自扩散项（σ/2）(φL/r）和碰撞积分C（φLL）。通过扩展碰撞项inEq。（B16）对于大N 1，我们可以指定碰撞积分asC（φLL）=NXs=±1ZdLρ（L）[JsLL（r+sL/2）- JsLL（r）]，JsLL（r）=σ*2 |rr |φLL（r，r）r-r=s（L+L）/2（B18），单位时间的碰撞概率为投标人（s=+1）或询问人（s=-1）针对利差为L的交易者。这是类似Boltzmann的方程，公式（6）。我们注意到，这个BBGKY层次方程可以通过伪Liouville方程系统地推导出来。推导将在另一份准备中的技术论文中给出[38]。6、金融类玻耳兹曼方程我们接下来通过假设平均场近似，推导出单体分布函数φlb的闭合方程。让我们截断两体关联（即动力学理论中的分子混沌），φLL（r，r）≈ φL（r）φL（r）。

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2022-5-31 06:38:23

（B19）由此获得的单体分布φLis的闭合平均场方程，φL（r）t=σφL（r）r+NXs=±1ZdLρ（L）hJsLL（r+sL/2）-JsLL（r）i（B20），单位时间内的平均现场碰撞概率为投标人（s=+1）或投标人（s=-1） JsLL（r）=σ|rr |{φL（r）φL（r）}r-r=s（L+L）/2。（B21）方程（B20）是一个单体分布函数的闭合方程，对应于分子动力学中的Boltzmann方程。方程（B20）可解析求解N→ ∞, 稳态解ψL（r）由帐篷函数ψL（r）给出≡ 限制→∞画→0φL（r；t）=LmaxL- |r |，0. （B22）在这里，关于适当边界条件的技术性问题将在另一份准备中的技术文件中进行总结【38】。请注意，交易员中间价订单簿的帐篷函数（B22）暗示了移位坐标中BID和ask订单簿的帐篷函数（见图9的示意图）。然后，通过卷积帐篷函数fA（r）=ZdLρ（L）ψL（r），给出了任务侧fA（r）的平均订单量- 1/2）。（B23）我们在此讨论平均场解（B23）的直观含义。当ψL（+L/2）=ψL时，平均场解（B23）在r=±L/2处精确为零(-L/2）=0，这意味着边缘点r=±L/2有效地发挥了跳跃屏障的作用，在该屏障处粒子跳跃到r=0。事实上，方程式（B22）给出了与跳跃势垒相关的布朗运动问题完全相同的解决方案，如第。C 2。

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2022-5-31 06:38:26

这是N的合理结果→ ∞ 限额，其中市场流动性充足，大多数交易发生在r=±L/2.0.01 0.1 100 1000SimulationEq附近。（B26）0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0 2 4 6 8 10N=0050N=0100N=0200N=1000Eq。（B24）N=0050N=0100N=0200N=1000Eq。（B24）10-410-310-210-1100 0 1 2 3 4 5 6N=0050N=0100N=0200N=1000Eq。（B27）（b）（a）（c）（d）0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.2 6 10图。通过微观模型（B1）的蒙特卡罗模拟获得的数值图。用于模拟的参数设置为：t=1.0×10-2升*2/Nσ，L*= 15 tpip，p*= 4.5 tpip，z*= 3.15各种N.（a）数字图书馆订单的tpip。m、 A（rc.m.）来自c.m.和理论指南（B24）。（b）市场中价的数字平均订单账面价值fmidA（rmid），显示了fc的渐近等价性。m、 A（钢筋混凝土）≈ fmidA（rmid）。（c） Numericalmean交易间隔和理论指南（B26）。（d）交易间隔的数字CDF和理论指南（B27）。a、地块中心的平均订单量如果利差按照γ分布进行分布，如正文中的实证研究所示，平均订单量由ρ（L）=le给出-升/升*6升*4==> fA（r）=L*frL型*,§f（§r）≡e-3r（2+▄r）正弦▄r-re-r. （B24）为了验证该公式的有效性，我们对微观模型（B1）（图10a）进行了蒙特卡罗模拟，其中理论公式（B24）适用于各种N。在图中，我们用rc表示相对价格。m、强调它是从c.m.定义为rc。m。≡ z- zc。m、。。b、平均订单量从市场中间价技术上讲，我们研究了平均订单量fc。m、 A（rc.m.）来自c.m。

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nandehutu2022

2022-5-31 06:38:29

而不是市场中价fmidA（rmid），因为fc。m、 A（rc.m.）理论上比fmidA（rmid）更容易处理。这里是rmid≡ 人工智能-Zm是第i个交易员的要价Ai与市场中间价Zm的相对距离。幸运的是，它们在很大的N限制下是一致的，并且上述公式有助于从市场中价（fc）理解平均订单量fmidA（rmid）。m、 A（钢筋混凝土）≈ fmidA（rmid）（N→ ∞). （B25）为了验证这种渐近等效性，我们在图10b中从市场中价zmidin的数字上演示了平均订单利润fmidA（rmid）。该图从数字上表明，即使对于市场中价的订单，平均订单公式（B24）也是有效的。c、交易间隔统计我们对交易间隔τ的统计进行了评论。在平均场近似中，横向作用间隔的平均值由τ给出*≡ hτi≈2NσRL-2ρ（L）dL+O（N-2） =3L*2Nσ+O（N-2），（B26），这是在第。图10c中对C 1进行了数值验证。注意，这个公式可以更系统地从伪刘维尔方程推导出来[38]。基于平均交易间隔（B26），交易间隔P的CDF(≥ τ）近似由唯象公式P给出(≥ τ）≡Z∞τdτP（τ）≈ 1.- （1）- e-3τ/2τ*)（B27），交易间隔为PDF P（τ）。此公式以秒为单位推导得出。图10d中对C 2进行了数值验证。10-310-210-1100模拟图。通过微观模型（B1）的蒙特卡罗模拟获得的数值图t=1.0×10-4升*2/σ，L*= 15 tpip，p*= 3.0 tpip，z*= 7.2 N=100.7时的tpip。类朗之万金融方程我们从现象学上推导出金融布朗运动的基本方程，这与传统的朗之万方程相对应。

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2022-5-31 06:38:32

让我们用p（T）表示第T个交易价格，用p（T）≡ p（T+1）- p（T）。在这里，我们重点关注从方程式（B5）中获得的趋势跟踪效应，这会诱发宏观动力学的类正弦集体运动。价格运动的动力学方程由p（T+1）=c*τ（T）tanhp（T）p*+ ζ（T），（B28），其中τ（T）是第T次和第（T+1）次事务之间的时间间隔。第一项和第二项分别来自趋势跟踪和随机噪声。注意，τ（T）的统计数据是从细观模型（B20）中导出的，作为等式。（B26）和（B27）。方程（B28）控制金融布朗运动的宏观动力学，与传统的朗之万方程相对应。对于小趋势|p | p*, 我们确实得到了一个类似于传统Langevin方程的形式表达式，p（T）T≈ -γ（T）p（T）T+￠ζ（T）（B29）和￠γ（T）≡ （1）- cτ（T））/T，|ζ（T）≡ ζ（T）/(T），以及p（T）≡ p（T+1）- p（T）。接下来，我们使用金融朗之万方程（B28）研究价格变动分布，但这是一个无法精确求解的偏差方程。尽管如此，通过做出以下两个假设，可以大致评估其定性行为。（i）与随机噪声相比，趋势跟踪的影响非常大：| c*τ（T）| |ζ（T）|。（ii）趋势跟踪的平均移动z*≡ cτ*远大于饱和阈值：z* p*.在条件（i）下，定性行为由交易区间τ（T）的统计数据控制。此外，在条件（ii）下，方程式（1）中的双曲函数可近似用于大挠度astanh(p/p*) ≈ 新加坡元(p）而ζ（T）一词与尾部无关。基于等式。

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2022-5-31 06:38:36

（B27）对于交易间隔τ，价格分布P(≥ |p |）近似为|p |→ ∞ asP(≥ |p |）≈ e-3|p |/2z*= e-|p |/κ，（B30），估计衰变长度为κ≈ 2.z*/图11.8对该公式的有效性进行了数值验证。HFT模型的分层订单结构的数值分析在此，我们根据参考文献[15]中的方法对HFT模型的分层订单结构进行了详细的分析。在L参数集下，对泊松价格修正过程（B3）进行了数值模拟*= 15.5 tpip，p*= 3.65 tpip，z*= 4.56 tpip，tcan公司≡ 1/λ=4/τ*, N=50。Atiner Outertpip（a）（b）（c）tpip-0.4-0.3-0.2-0.1 0.1 0.2 0.3 0.4-10 0 20 30 40 50 60 70 80 bidask-30-20-10 0 20 20 30-60-40-20 0 20 40 60 0 0 20000 40000 60000 80000 120000 140000 160000 180000 200000-50 50 100 150 250 300101102103104105106 1 100图。12.（a）数据集中HFT订单的经验分层结构，显示交叉点γc≈ 26 TPI在内层和外层之间。（b）内层总数量变化与市场成交价格变动之间的线性关系p、 Pearson的相关系数为0.616p、（c）市场中价提交的限价单分布，显示指数为2.9的幂律尾（见对数-对数图插图）。投标方（ask）订单提交和取消的瞬间，bin宽度为1 tpip，我们从市场中价zM测量相对深度r，定义为r≡ zM公司-bi（r≡ 人工智能-zM），我们增加了c的数量-r（c+r）和a-r（a+r）分别为1。然后，我们将它们的数量在T和T+1之间累加，以获得一个N样本-r（T）≡ c-r（T）- 一-r（T）（N+r（T）≡ c+r（T）- a+r（T））。

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