相对风险下最优投资的平均场与n-agent对策

2022-5-31 06:45:05

相对绩效准则下最优投资的平均场和N-AGENT博弈Daniel LACKER*和THALEIA ZARIPHOPOULOU+摘要。我们分析了在相对绩效基准下的一系列投资组合管理问题，这些问题是针对拥有CAR a或CRRA公用设施并在对数正常市场中的共同投资范围内交易的基金经理。我们为有限预测博弈和相应的平均场博弈构造了明确的常数均衡策略，我们证明了它们在常数均衡类中是唯一的。在CARA案例中，竞争促使代理人在风险资产上的投资超过其他情况，而在CRRA案例中，竞争代理人的投资可能过高或过低，这取决于他们的风险承受能力。1、导言本文是对有限人口和平均场博弈理论的贡献，也是对竞争和相对绩效标准下的最优投资组合管理的贡献。对于前者，我们为n人博弈和平均场博弈构造了经验解，提供了一系列新的可处理解。对于后者，我们针对具有指数（CARA）和幂（CRRA）效用的代理，针对有限数量和连续的代理，提出了一类新的竞争和相对性能最优投资问题。有限人口案例由n名基金经理（或代理人）组成，他们在普通无风险债券和个人股票之间进行交易。每个股票的价格被建模为由两个独立的布朗运动驱动的对数正态过程。第一个布朗运动对所有价格都是一样的，代表着一种常见的市场噪音，而第二个布朗运动则是特殊的，特定于每支股票。准确地说，ithfund专门研究价格（Sit）为t的股票i≥0由dsitsit=uidt+νidWit+σidBt给出，（1）恒定市场参数ui>0，σi≥ 0和νi≥ 0，σi+νi>0。

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nandehutu2022

2022-5-31 06:45:08

（一维）标准布朗运动B，W，W，Wn是独立的。当σi>0时，过程B在股票之间产生相关性，因此我们称B为公共噪声和Wian特殊噪声。我们的设置涵盖了所有基金在同一股票中交易的重要特殊情况；也就是说，对于所有i=1，…，ui=u，νi=0，σi=σ，n、对于某些u，σ>0取决于i。在这种情况下，所有股票都是相同的，该模型被解释为n个代理人投资一只普通股。这些代理人的风险偏好不同，但在其他方面面临相同的市场机会。为了简单起见，我们选择使用一维股票，但我们的分析将采用纯粹的符号化方法，以涵盖代理i可用的每个Siisa股票向量的情况。在这种多维环境中，“单一股票”案例将模拟大量代理在同一股票向量中交易的现实情况。*哥伦比亚大学工业工程与运营研究所。部分由国家科学基金会资助，奖项编号：DMS 1502980；d和iel。lacker@columbia.edu.+DPT。德克萨斯大学奥斯汀分校数学与IROM学院和牛津大学数学研究所；zariphop@m ath。尤特克斯。埃杜。所有基金经理都有一个共同的时间范围，T>0，目标是在T最大化他们的预期收益。效用函数U，Unare-agent-specific function of terminal wealth，XiT，and a“competition comp on ent”，XT，这取决于所有代理的终端财富。我们研究了两个与流行的指数和电力实用程序相关的代表性案例。对于指数情况，我们假设竞争会对财富产生相加的影响，并通过所有代理人的算术平均财富（Ui）进行建模XiT，XT= -e-δi（XiT-θiXT），其中xt=nnXk=1XkT。

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2022-5-31 06:45:11

（2）参数δi>0和θi∈ [0，1]表示ithagent的绝对风险承受能力和绝对竞争权重，θide的小（高）值表示低（高）相对性能问题。该模型与埃斯皮诺萨（Espinosaan）和图兹（Touzi）的模型相似，并在很大程度上受到其启发。对于power情况，竞争会对财富产生乘数效应，并通过所有代理的几何平均财富Ui进行建模XiT，XT=1.- 1/δiXiTX-θ它1.-1/δi，其中xt=nYk=1XkT！1/n.（3）现在，参数δi>0和θi∈ [0，1]代表ITH代理的相对风险承受能力和相对竞争权重。这里使用几何平均值主要是因为它的易处理性，但它也承认一种自然的解释：形式er的数量，ernhave geometric Meansexp（nPni=1ri），这表明财富的几何平均数只是收益算术平均数的指数。从这个意义上讲，代理人在衡量相对绩效时使用的是回报而不是绝对财富。目的是确定纳什均衡，即找到投资策略（π1，*t、，πn，*t） t型∈[0，T]使得πi，*这是ithagent针对所有其他竞争对手的战略选择进行的最优库存分配，i=1，n、与指数和幂风险偏好的情况一样，πi，*它分别被视为绝对财富和投资于ithstock的财富份额。值πi，*t可能为负数，表示代理人做空股票。基金经理之间的竞争在mutualand对冲基金的投资实践中都有很好的记录；例如，参见[1、3、11、19、22、27、37、41、52]。正如这些著作所述，竞争可能源于职业发展动机、从客户那里寻求更高的收入、优惠的薪酬合同等。

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大多数88

2022-5-31 06:45:14

在这些工作中，大多数都只考虑了两名经理的情况，并且是在离散时间（或两个周期）模型中，标准的变化涉及风险中性、相对于绝对基准或临界阈值的相对绩效，或者对经理的风险厌恶参数的限制。最近，作者在[3]中提出了一个连续时间对数正态模型，用于两个具有电力实用程序的有趣的数据管理器。资产专业化在金融文献中也有很好的记录，从Brennan开始[10、20、44]。其他代表作品包括[9、36、42、45、48、49、56]。正如这些著作所述，各种因素促使管理者专注于单个股票或资产类别，如熟悉度、学习成本降低、模糊厌恶、偿付能力要求、交易成本和约束、清算风险和信息摩擦。对于可跟踪性，我们只搜索投资策略为常数（即在时间零点选择）的纳什均衡。考虑到股票价格的对数正态性、CARA和CRRA实用程序的缩放特性以及相关竞争组件的形式，这种限制是很自然的。为了构建这样一个均衡，我们首先解决每个单个代理的优化问题，给出竞争对手恒定策略的任意（但固定）选择。将竞争分量x作为一个附加的非受控状态过程，得到了一个Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程，该方程具有唯一的可分离的lesmooth解。再加上一阶条件，这将生成封闭形式的候选策略。然后，我们通过一组相容条件来构造平衡点，这也为存在和唯一性提供了标准。

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2022-5-31 06:45:17

作为中间步骤，我们使用差异评估的论证来获得这些平滑解决方案的验证结果。具体而言，我们将每个HJB方程解释为由竞争组成部分确定的个人责任的作者解决的方程。每个模型中唯一的常数纳什均衡是两个分量的和。第一种是传统的默顿投资组合（见[43]），它最适合于不存在任何相对性能问题的双向预期效用问题。第二个组成部分取决于单个竞争参数和其他涉及所有代理的风险承受能力和竞争参数以及所有股票的市场参数的数量。自然，当没有竞争时，第二个组成部分就会消失。在指数模型中，竞争总是导致风险资产的更高投资。然而，功率模型并非如此，主要是因为第二个分量的符号可能并不总是固定的。该符号取决于相对风险公差的值，尤其是它是否大于或小于1；考虑到CRRA公用事业公司及其最佳港口的众所周知的性质，这是可以预期的（例如，参见[38]中所谓的“nirvana”案例）。在一只股票的值得注意的特殊情况下，所有代理人都有，均衡策略更简单。对于指数和幂次情形，纳什均衡均为梅顿型，但风险容忍度有所改变，风险容忍度与个体风险容忍度和竞争参数呈线性关系，该线性函数的系数取决于这些参数的总体平均值。当代理数n趋于不确定时，平衡策略的表达式会简化。

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nandehutu2022

2022-5-31 06:45:20

极限表达式仅取决于类型向量ζi=（xi，δi，θi，ui，νi，σi）的经验分布极限，对于i=1，n、我们表明，这些限制策略可以作为适当的平均场博弈（MFG）的均衡内在地存在。直观地说，有限的代理集成为一个连续统一体，每个代理都在普通债券和其个人股票之间进行单独交易，同时还通过影响其预期终端效用的相对性能函数与（有限）人群中的最高级竞争。虽然我们的n-agent游戏有明确的解决方案，但MFG f框架在这方面值得引入，部分原因是它自然地扩展到更复杂的模型，例如涉及投资组合约束或一般效用函数的模型。在这样的模型中，我们期望theMFG框架比n-agent游戏更易于处理。例如，[8、23、25]studyn代理模型与我们的CARA实用模型相似，但显著地包括了公平原则和投资组合约束，导致了复杂的n维二次BSDE系统。MFG公式可能更容易处理，至少可以减少问题的维数，尽管本文中我们没有处理这样的分析。根据在时间零点分配一个随机类型向量ζ=（ξ，δ，θ，u，ν，σ），确定初始财富ξ、偏好参数（δ，θ）和市场参数（u，ν，σ）中的制造商。类型向量的随机性编码了代理类型的分布（连续体）。对于指数情况，制造问题是找到一对π*, 十、具有以下特性。投资策略π*与（2）类似，优化supπEh-e-δ（XT-十） i，（4）式中，X是代表代理人的财富，X是代理人连续性的平均财富。

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2022-5-31 06:45:23

此外，在此最佳状态下，一致性条件X=E[X*T | FBT]必须保持，其中（FBT）T∈[0，T]是公共噪声B和X产生的过滤*是由π决定的最佳财富*.对于power情况，总财富X必须与其（3）中的n-代理形式一致。记住这一点，请注意，正随机变量Y的几何平均值可以写为exp E[log Y]，无论Y的分布是否离散。这就指向了找到一对的制造问题π*,十、, 这样π*优化SSUPπE1.- 1/δXTX公司-θ1.-1/δ, （5）此外，一致性条件X=exp E[log X*T | FBT]有效。虽然它在平均场博弈论中的应用似乎是新的，但度量的几何平均值的概念本质上是经过充分研究的广义平均值概念的特例（见[30，第三章]）。正如在有限人口CARA和CRRA案例中一样，我们关注的是策略π*时间是恒定的。这种策略仍然是随机的，相对于（时间零点可测量）随机类型向量是可测量的。我们直接求解MFG问题，构造出与n-代理博弈极限表达式一致的平衡点。在每个模型中，求解技术类似于n-agent设置，因为我们将聚集财富项视为一个不受控制的状态过程，找到单个HJB方程的光滑可分离解，然后强制执行一致性条件。

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2022-5-31 06:45:26

由此产生的MFG策略与n-agent对应策略具有相似但明显简单的形式，并表现出上述相同的均衡行为和双组分结构。最早在[40]和[32]中引入的平均场博弈，目前已在经济学和金融领域发现了许多应用，尤其包括收入不平等模型[26]、经济增长模型[35]、限额订单形成模型[28]、系统风险模型[17]、最优执行模型[34、13]和寡头市场模型[18]，仅举几例。最接近我们的工作是[29，第6节]的静态模型，它是马科维茨模型的竞争变体，以及[33]的随机增长模型，它具有一些与我们的电力效用模型相同的数学特征。也就是说，我们的工作似乎是制造理论首次应用于投资组合优化。我们的结果增加了两个显式可解制造模型的新示例。除了[5，15，17]的线性二次模型之外，此类示例很少，尤其是在存在公共噪声的情况下。我们所知道的唯一其他例子是[29，第5节和第7节]以及最近的[53]中的例子，除了平方根扩散项外，它是线性二次的。事实上，我们的模型允许显式求解所谓的主方程（参见[14]）。此外，我们希望通过如上所述随机化ζ=（ξ，δ，θ，u，ν，σ），强调我们加入不同类型药物的方式。

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2022-5-31 06:45:29

之前关于MFG的几项工作（例如，[32]）通过跟踪平均场相互作用的向量，将许多类型合并在一起，每种类型一个，但我们的方法具有无缝合并（不可数）许多类型的优势。虽然随机化类型是具有连续代理的静态游戏中的标准技术，但这一想法在（动态）MFG文献中几乎没有出现；据我们所知，它只出现在[13]中。本文的组织结构如下。在第2节中，我们给出了指数模型，并研究了n-agent博弈和MFG。在第3节中，我们给出了幂和对数效用的类似结果。对于这两类，我们分别在第2.3节和第3.3节中对纳什均衡和平均场均衡进行了定性评论。我们在第4节中总结了存在的问题和未来的研究方向。2、CARA风险偏好我们考虑具有指数风险偏好和恒定独立（绝对）风险容忍度的基金经理（此后称为代理人）。代理商还关心如何衡量他们的绩效与竞争对手的绩效之间的关系。这是一个基于平均财富的可加性项，并通过投资者特定的比较参数进行加权。我们从指数类开始分析，因为它具有加性标度特性，允许次瞬时可跟踪性。此外，指数类提供了与差异估值的直接联系，用于解决基础HJB方程。2.1。n-代理游戏。我们引入了一个由n个代理人组成的博弈，他们在一个共同的investmenthorizon[0，T]中进行交易。每个代理人在“个人”股票和无风险债券d之间进行交易。

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2022-5-31 06:45:32

latteris是所有代理人的共同货币，用作计息单位，并提供零利率。如引言所述，股票价格被视为对数正态，每一个都由两个独立的布朗运动驱动。准确地说，价格（Sit）t∈在给定市场参数ui>0，σi的情况下，ithagent交易的股票i的[0，T]解（1）≥ 0和νi≥ 0，σi+νi>0。独立布朗运动B，W，Wn定义在概率空间上(Ohm, F、 P），我们赋予其自然过滤（Ft）t∈[0，T]由这些n+1布朗运动生成。回想一下，单个库存情况是（ui，σi）=（u，σ），νi=0，对于i=1，n、对于某些u，σ>0独立于i。值得注意的是，在[23]和[25]中研究了单一s股票情况，这是一个更普遍的情况，结合了投资组合约束和更一般的股票价格动态。每个代理i=1，n使用自我融资策略的交易，（πit）t∈[0，T]，代表投资于ithstock的金额（按债券贴现）。ITH代理的财富（Xit）t∈[0，T]然后求解dxit=πit（uidt+νidWit+σidBt），（6）Xi=Xi∈ R、如果投资组合策略属于集合A，则认为其是可接受的，集合A由自融资F-逐步可测实值过程（πt）t组成∈[0，T]satisfyingERT |πT | dt<∞.ithagent的实用程序是一个函数Ui:R→ 她的个人财富x的R和所有代理人的平均财富m的R。它是福尔摩斯的（x，m）：=- 经验值-δi（x- θim）.我们将参考常数δi>0和θi∈ [0，1]分别作为个人风险承受能力和竞争权重参数。如果代理i=1，n选择容许策略π，πn，agent i的payoff由ji给出（π，…，πn）：=E- 经验值-δi退出- θiXT, 当xt=nnXk=1XkT时，（7）注意（δi，θi），i=1。

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2022-5-31 06:45:35

n是无单位的，因为所有的财富过程都被无风险债券贴现了。其中（Xit）t的动力学∈[0，T]如（6）所示。或者，我们可以表示上述asJi（π，…，πn）=E- 经验值-δi（1）- θi）XiT+θi（XiT-XT）,这突出了竞争权重θide如何决定ITH代理人对绝对财富与相对财富的风险偏好。因此，θi较大（接近1）的代理人更关心相对财富而非绝对财富。在上述投资环境中，应用纳什均衡的概念，竞争性地解决了这些相互依存的优化问题。定义1。向量（π1，*, . . . , πn，*) 对于所有πi，可容许策略是（Nash）均衡∈ A和i=1，n、 Ji（π1，*, . . . , πi，*, . . . , πn，*) ≥ Ji（π1，*, . . . , πi-1.*, πi，πi+1，*, . . . , πn，*). （8）常数（纳什）均衡是指，对于每个i，πi，*时间常数，即πi，*t=πi，*对于所有t∈ [0，T]。备注2。因为过滤F是布朗的，所以它适用于任何可容许策略π∈ Athatπ是非随机的。考虑到这一点，将使用向量（π1，*, . . . , πn，*) ∈ 注册护士。还要注意的是，对于每一种替代策略的选择，而不仅仅是恒定策略，恒定纳什均衡的定义需要在最优性条件（8）下的th。我们的第一个主要发现为常数纳什均衡的存在和不唯一性提供了条件，并明确地构造了它。定理3。假设所有i=1，n我们有δi>0，θi∈ [0，1]，ui>0，σi≥ 0，νi≥ 0，σi+νi>0。确定常数νn：=nnXk=1δkukσkσk+νk（1- θk/n）和ψn：=nnXk=1θkσkσk+νk（1- θk/n）。（9）有两种情况：（i）如果ψn<1，存在唯一的常数平衡，由πi给出，*= δiuiσi+νi（1- θi/n）+θiσiσi+νi（1- θi/n）Дn1- ψn。

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2022-5-31 06:45:38

（10）此外，我们有恒等式ynnxk=1σkπk，*=^1n1- ψn.（ii）如果ψn=1，则不存在常数平衡。一个重要的推论涵盖了单个s股票的特例。推论4（单株）。假设所有i=1，n我们有ui=u>0、σi=σ>0和νi=0。定义常数δ：=nnXk=1δkandθ：=nnXk=1θk。我们的纳什均衡概念更准确地称为开环纳什均衡。一种流行的替代方法是闭环纳什均衡，在这种均衡中，代理根据反馈函数选择策略，以对抗随机过程。然而，对于常数策略，开环和闭环概念是一致的。也就是说，常数（开环）纳什均衡也是闭环纳什均衡，反之亦然。有两种情况：（i）如果θ<1，存在唯一的常数平衡，由πi给出，*=δi+θiδ1- θuσ。（ii）如果θ=1，则不存在常数平衡。证据应用定理3，注意简化公式Дn=Δu/σ和ψn=θ。备注5。对于一个给定的代理人i，可以说更自然的做法是用所有其他代理人（不包括她自己）的平均收入来代替（7）中定义的国家收入中的平均收入X，即X(-i） T=n-1Pk6=iXkT。幸运的是，这两个公式之间有一对一的映射，因此不需要分别解决这两个问题。事实上，假设ITH代理的报酬- 经验值-δ′i退出- θ′iX(-i） T型,对于某些参数θ′i∈ [0，1]和δ′i>0。通过匹配系数，可以直接显示δ′i退出- θ′iX(-i） T型=δi退出- θiXT,当θi∈ [0，1]和δi>0由δi=δ′i1+n定义-1θ′i和θi=θ′in-1n+nθ′i。我们更喜欢我们的原始公式，主要是因为它导致了定理3和推论4中平衡策略的更简单公式。此外，对于大n，这种选择对策略πi的影响可以忽略，*, 作为差值|δi- δ′i |和θi- θ′i |消失。备注6。

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2022-5-31 06:45:41

即使在没有竞争的情况下，在预期效用优化中也存在着指数p参考的众所周知的技术问题，因为财富可能会变得任意负。这一点已经得到了研究和部分解决，主要是通过仔细重新定义可接受控制的类别。特别是，我们可以定义可接受的策略，使得财富过程在具有有限熵的所有鞅测度下都是超鞅。当然，我们必须解决双重问题，但一些技术问题可能仍然存在；参见【21，51】。另一方面，最近的工作确定了财务上有意义的可采性类别，这些类别通常（但不总是）包含所需的优化器；参见【6，7】。定理3的证明。让我来确定一下。假设所有其他代理，k 6=i，遵循常数投资策略，用αk表示∈ R、 Let（Xkt）t∈[0，T]是相关的财富过程，Xkt=xk+αkukt+νkWkt+σkBt,还有定义：=nXk6=iXkt。然后，ithagent解决了优化问题supπi∈AE- 经验值-δi1.-θ英寸退出- θiYT, （11）其中（Xit）t∈[0，T]和（Yt）T∈[0，T]具有动力学（参见。

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2022-5-31 06:45:44

（6））dXit=πit（uidt+νidWit+σidBt），Xi=Xi，dYt=cuαdt+cσαdBt+nXk6=iνkαkdWkt，Y=nXk6=ixk，其中我们有缩写dcuα：=nXk6=iukαkand cσα：=nXk6=iσkαk。在续集中，我们还将使用缩写\\（να）：=nXk6=iνkαk。在（11）中的上确界值等于v（Xi，Y，Y，kαk）。0），当e v（x，Y，t）解HamiltonJacobi-Bellman（HJB）方程vt+maxπ时∈R（σi+νi）πvxx+π（uivx+σicσαvxy）（12）+cσα+n \\（να）vy y+cuαvy=0，对于（x，y，t）∈ R×R×[0，T]，带终端条件V（x，y，T）=-e-γi（x-G（y））=- 经验值-δi1.-θ英寸x个- θiy.应用一阶条件，方程式（12）简化为vt-（uivx+σicσαvxy）（σi+νi）vxx+cσα+n \\（να）vy y+cuαvy=0。使ansatz v（x，y，t）=-f（t）扩展-δi（（1-θin）x- θiy）产量，对于t∈ [0，T]，f′（T）- ρf（t）=0。f（T）=1，ρ：=（ui+θiδ-1iσicσα）2（σi+νi）-θiδicuα-θi2δicσα+n \\（να）. （13）因此，f（t）=e-ρ（T）-t）反过来，v（x，y，t）=- 经验值-δi1.-θ英寸x个- θiy- ρ（T- t）. （14）（12）中的最大值，在πi处达到，*（x，y，t）：=-uivx（x，y，t）+σicσαvxy（x，y，t）（σi+νi）vxx（x，y，t）。直接计算得出πi，*是常数，πi，*=δ-1i（1- θi/n）（ui+θiδ-1iσicσα）（σi+νi）δ-2i（1- θi/n）=δiui+θiσicσα（σi+νi）（1- θi/n）。因此，我们构造了HJB方程的光滑解，并计算了其关联反馈策略，该策略是常数，因此是可容许的。利用显式形式（14）和该候选控制的可容许性，我们可以根据随机优化中的著名参数建立验证定理【24、50、55】。或者，我们注意到，随机优化问题（11）可以被视为是责任G（YT）：=θi1的“作者”的代理所解决的问题-θi/nYT，具有指数偏好，风险规避γi：=δi（1-θin）。

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2022-5-31 06:45:47

类似的问题已经在[31，46]中进行了研究，我们请读者参考这些问题，以了解有关当前特定优化问题的更详细的论据。因此，对于候选投资组合向量（α，…，αn）是常数纳什均衡，weneedπi，*= αi，对于i=1，n、设σα：=nnXk=1σkαk=cσα+nσiαi。那么，我们必须有αi=πi，*=δiui+θiσiσα（σi+νi）（1- θi/n）-θiσin（σi+νi）（1- θi/n）αi，这意味着αi=δiui+θiσiσα（σi+νi）（1- θi/n）1+θiσin（σi+νi）（1- θi/n）-1=δiui+θiσiσα（σi+νi）（1- θi/n）+σiθi/n=δiui+θiσiσασi+νi（1- θi/n）。（15）将两侧乘以σi，然后平均i=1，n、在（9）中给出σα=ψn+ψnσα，（16）和ψn，ψnas。对于等式（15）到h old，等式（16）也必须成立。有三种情况：（i）如果ψn<1，则（16）产生σα=Дn/（1）- ψn），平衡控制由（10）很好地定义和给出。（ii）如果ψn=1且ψn>0，则方程（16）没有解，因此不存在常数平衡。（iii）最小情况是ψn=1和Дn=0，在这种情况下，方程（16）有很多解。然而，这是不可能发生的。事实上，因为所有i的δi，ui>0，所以只有当所有i的σi=0时，我们才能得到νn=0。回顾假设σi+νi>0，这意味着ψn=0，这是一个矛盾。备注7。也可以通过显式计算（13）中定义的ρ来计算代理i的等式值函数v（x，y，t），因为数量cuα、cσα和cνα现在为kn。然而，我们省略了这个繁琐的计算。如果存在非常数的纳什均衡，例如反馈形式πi的均衡，则仍然是一个有待解决的问题，*= πi，*（t，x，…，xn），取决于时间和/或代理人的财富。

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2022-5-31 06:45:50

事实上，我们的论点可以证明，我们所追求的常数纳什均衡在涉及财富独立但潜在的时间依赖策略π=π（t）的更广泛的均衡中是唯一的。唯一微妙的一点是HJB方程（12）的可解性，这将迫使我们在适当的平滑度和增长条件下考虑时间依赖性。此外，关注恒定纳什均衡可以如下所示。众所周知，对于对数正态模型，指数效用导致常数策略。这不仅适用于普通投资问题，在没有竞争的情况下，也适用于不同类型的投资问题。我们在（11）中遇到的个别优化问题直接类似于这些标准差异类型的问题。在这种情况下，财富独立性得到了很好的证明，甚至在一般的半鞅模型中也是如此。这正是指数效用在资产价格均衡和差异估值领域如此流行的原因。2.2。平均场游戏。在本节中，我们将极限研究为n→ ∞ 在前一节中分析的n-agent博弈中。我们从非正式的论证开始，以建立直觉并激发即将到来的定义。对于n-代理博弈，我们确定每个代理i=1，n类型向量ζi：=（xi，δi，θi，ui，νi，σi）。这些类型向量产生了一种称为类型分布的经验度量，这是类型空间上的概率度量：=R×（0，∞) ×【0，1】×（0，∞) ×[0，∞ ) ×[0，∞), （17）由mn（A）=nnXi=1A（ζi）给出，对于Borel集A 泽。然后我们看到，对于每个主体i，平衡策略πi，*在定理3 d中，仅对其自己的类型向量ζi和所有类型向量的分布mn进行计算。实际上，常数νnandψn（cf。

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2022-5-31 06:45:53

（9））只需在mn下积分适当的函数即可得到。现在假设随着代理数量的增加，n→ ∞, 上述经验测量值为弱极限m，即Rzef dmn→对于Ze上的每个有界连续函数f，RZef dm。例如，如果ζi是来自m的i.i.d.样本，则这几乎是正确的。让ζ=（ξ，δ，θ，u，ν，σ）d成为具有此极限分布m的随机变量。然后，我们应该期望最优策略πi，*（参见（10）），以汇聚到→∞πi，*= δiuiσi+νi+θiσiσi+νiν1- ψ、（18）式中Д：=limn→∞^1n=EΔuσ+ν和ψ：=limn→∞ψn=Eθσ+ν.接下来定义的平均场博弈（MFG）允许我们将限制策略（18）导出为一个自包含的均衡问题的总体，它直观地表示了一个具有类型分布m的连续代理的博弈。而不是直接建模代理的连续统，我们遵循建模单个代表代理的MFG范式，我们认为他们是从人群中随机挑选出来的。概率测度m表示类型参数在代理连续体中的分布；等效地，代表性代理的类型向量是一个具有m定律的随机变量。启发式地，连续统中的每个代理在两个布朗运动的驱动下以单个股票交易，其中一个是该代理所特有的，另一个是所有代理所共有的。定义9中引入的均衡概念将使这种直觉形式化。2.2.1。制定平均场游戏。为了制定制造量，我们现在假设pr ob能力空间(Ohm, F、 P）支持另一个独立的（一维）布朗运动W，以及一个随机变量ζ=（ξ，δ，θ，u，ν，σ），独立于W和B，且具有（17）中定义的空间值。

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2022-5-31 06:45:56

该随机变量ζ称为类型向量，其分布称为类型分布。设FMF=（FMFt）t∈[0，T]表示满足通常假设的最小过滤，其中ζ是FMF可测量的，并且W和B都适用。也让FB=（FBt）t∈[0，T]表示由布朗运动B生成的自然过滤。代表代理人的财富过程solvesdXt=πT（udt+νdWt+σdBt），X=ξ，（19），其中投资组合策略必须属于自融资FMF可测量实值过程（πT）T的容许集amfo∈[0，T]满足ERT |πT | dt<∞. 随机变量ξ是代表性代理的初始财富，其中w（u，ν，σ）是市场参数。在后续研究中，参数δ和θ将影响代表性代理的风险偏好。在该平均场设置中，单一库存案例是指（u，ν，σ）为非随机的情况，其中ν=0，u>0，σ>0。在上述限制性论点的背景下，这对应于n-agent博弈，其中所有i的ui=u，νi=ν=0，σi=σ。请注意，连续统中的每个agent可能仍然有不同的偏好参数，由δ和θ处的th是随机的这一事实捕获。备注8。该模型中有两种不同的随机性来源。其中一个作用力来自布朗运动W和B，这两个运动随时间驱动股票价格过程。第二个来源是静态的，来自随机变量ζ，它描述了类型向量（包括初始财富、个人p参考参数和市场参数）在大量（实际上是连续的）人口中的分布。我们可以想象一个连续的代理，每个代理都被分配了一个i.i.d。

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2022-5-31 06:45:59

在时间零点输入vector，代理在完成这些分配后进行交互。为了了解如何制定代表性代理的优化问题，让我们首先重新说明如何构建n代理博弈中的纳什均衡。我们首先解决了每个代理i所面临的优化问题（12），其中其他代理k 6=i的策略被视为fix ed。然而，我们可以确定平均终端财富npk6=iXkT，而不是其他代理的策略，因为这实际上是代理之间交互的唯一来源。这正是定理3的证明背后的想法，这也指导了即将到来的MFG公式。为此，假设X是一个给定的随机变量，表示代理连续统的平均财富。代表性试剂对X没有影响，因为只有一种试剂在连续介质中。因此，代表代理人的目标是最大化预期收益supπ∈AMFE公司- 经验值-δXT公司- θX, （20）其中（Xt）t∈[0，T]由（19）给出。我们现在准备介绍本节的主要定义。我们也可以在不同的概率空间上从n-代理博弈中推导出MFG，但我们更倾向于避免引入额外的n-旋转。定义9。Letπ*∈ AMFbe是一种容许策略，并考虑FBT可测随机变量X：=E[X*T | FBT]，其中（X*t） t型∈[0，T]是（19）中对应于策略π的财富过程*. 我们说π*是平均场平衡（MFE），如果π*对于与此X选择相对应的优化问题（20）是最优的。常数MFE是FMF可测量的随机变量π*如果πt：=π*对于allt∈ [0，T]，然后（πT）T∈[0，T]是MFE。通常，MFE计算为固定点。一种是从一般的FBT可测随机变量x开始，求解（20）的最佳π*, 然后计算E[X*T | FBT]。

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2022-5-31 06:46:02

如果我们有一个固定点，即一致性条件，E[X*T | FBT]=X，保持，然后π*是aMFE。直观地说，连续体中的每个代理都面临一个独立的噪声W、一个独立的类型向量ζ和相同的公共噪声B。因此，有条件地，在B上，所有代理都面临相同优化问题的i.i.d副本。启发性地，大数定律表明，全体人口的平均最终财富应该是E[X*T | FBT]。这种一致性条件说明了代表性代理面对的两个布朗运动W和B所起的不同作用。也许直觉上更清楚的是σ=0 a.s.的情况，因此没有常见的噪声项。在这种情况下，一致性条件可以替换为X=E[X*T] ，因为连续体中的每个代理都面临相同优化问题的i.i.d.副本。我们请读者参考文献[16]详细讨论常见噪声的平均场对策，并参考文献[12，39]了解n-agent对策极限的一般结果。或者，所谓的“精确大数定律”提供了另一种形式化方法，即在连续的（有条件的）独立代理上求平均值。2.2.2。平均场博弈的另一种形式。值得强调的是，优化问题（20）将类型向量ζ视为随机性的真正来源，以及布朗运动产生的随机性。

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2022-5-31 06:46:06

然而，下面给出的另一种解释也有助于解决制造问题。作为我们的起点，请注意，对于固定的FBT可测量随机变量x，我们有SUPπ∈AMFEh公司-e-δ（XT-θX）i=E[u（ζ）]，（21），其中u（·）是为类型空间Zebyu（ζ）：=supπE的（确定性）元素ζ=（X，δ，θ，u，ν，σ）定义的值函数- 经验值-δeXζ，πT- θX, （22）对于dexζ，πt=πt（udt+νdWt+σdBt），eXζ，π=x，其中上确界是平方可积过程，该过程相对于布朗运动W和B产生的过滤是可逐步测量的（注意，该过滤中没有随机变量ζ）。对于确定性类型向量ζ∈ Ze，数量u（ζ）可解释为ζ型试剂面临的优化问题（22）的值。另一方面，（21）左侧的原始优化问题给出了在时间0随机分配类型之前管理者面临的最佳期望值。这种新的解释将在下文第10项证明中隐晦地用于计算MFE。我们可以将u（ζ）=vζ（x，0）写为HJB方程解的时间零值，vζ（x，t），对于（x，t）∈ R×[0，T]。此符号中的最佳值有一些冗余，因为xis已经是向量ζ的一部分。当使用随机型向量ζ时，（21）的左侧是这些时间零值的期望值，e[vζ（ξ，0）]。同样，最优策略πζ，*in（22）取决于ζ的固定值。然后通过插入随机类型向量得到（21）左侧的最优策略，得到πζ，*∈ AMF。这正好解释了策略πζ，*作为向量ζ型agent选择的策略。2.2.3。解决平均值博弈。

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2022-5-31 06:46:09

接下来，我们给出了第二个主要结果，其中我们构造了一个常数MFE，并为其唯一性提供了条件。结果还证实了MFG公式确实是合适的，因为我们获得的MFE符合（18）意义上的n-主体平衡策略的限制。定理10。假设a.s.，δ>0，θ∈ [0，1]，u>0，σ≥ 0，ν≥ 0，σ+ν>0。定义常数Д：=EΔuσ+ν和ψ：=Eθσ+ν,我们假设这两种预期都存在并且是确定的。有两种情况：（1）如果ψ<1，则存在唯一常数MFE，由π给出*= Δuσ+ν+θσ+νν1- ψ。（23）此外，我们有恒等式[σπ*] =^11- ψ。（2）如果ψ=1，则不存在常数MFE。接下来，我们重点介绍单个股票的情况，注意到解决方案的形式基本上与推论4中所示的n-agent博弈中的形式相同。推论11（单株）。假设（u，ν，σ）是确定性的，ν=0，u，σ>0。定义常数δ：=E[δ]和'θ：=E[θ]。有两种情况：（1）如果θ<1，则存在唯一常数MFE，由π给出*=δ+θδ1- θuσ。（2）如果θ=1，则不存在常数MFE。定理10的证明。构造常数MFE的第一步是解决（20）中的随机优化问题，对于给定的X选择。首先，观察到它有助于限制我们对形式为X=E【XαT | FBT】的随机变量X的关注，其中Xα为一些可接受的策略α求解（19）∈ AMF。然而，由于我们只研究常数MFE，我们可以确定一个常数策略，即FMF可测量的随机变量α与e[α]<∞.可以方便地定义∈ [0，T]，Xt：=E[XαT | FBT]。注意到XT=X，关键思想是确定过程的动力学（XT）t∈[0，T]并将其纳入控制问题的状态过程（20）。

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2022-5-31 06:46:12

因为（ξ，u，σ，ν，α），W和B是独立的，我们必须有xt=ξ+uαt+σαBt，其中我们对可积r和dom变量M使用符号M=E[M]。反过来，对于π∈ AMF，我们定义，用于∈ [0，T]，ZπT：=XπT- θXt，带（Xπt）t∈[0，T]求解（19）。那么，dZπt=（uπt- θuα）dt+νπtdWt+（σπt- θσα）dBt，Zπ=ξ- θξ。因此，我们将吸收X作为受控状态过程的一部分。因此，我们可以等价地解决Merton型问题supπ，而不是解决原始控制问题（20）∈AMFE公司- 经验值-δZπT. （24）如第2.2.2节所述，上述上确界等于E[v（ξ- θξ，0）]，其中v（x，t）是HJB方程vt+maxπ的唯一（光滑、strictly凹且在x中严格递增）解νπ+（σπ- θσα）vxx+（μπ- θuα）vx= 0，（25），终端条件v（x，T）=-e-x/δ。我们强调HJB方程是随机的，因为它取决于FMF可测量的类型参数（δ、θ、u、ν、σ）。方程式（25）简化为VT-（uvx- θσσαvxx）（σ+ν）vxx- θuαvx+（θσα）vxx=0。使ansatz v（x，t）=-e-x/δf（t），ab-ove减少tof′（t）- ρf（t）=0，f（t）=1，ρ由FMF可测随机变量ρ给出：=u+θδσα2（σ+ν）-θΔuα-θδσα. （26）因此，f（t）=e-ρ（T-t），和v（x，t）=-e-x/δf（t）。此外，在（25）中达到最大值的最佳反馈控制由π给出*（x，t）=-uvx（x，t）- θσσαvxx（x，t）（σ+ν）vxx（x，t）=Δuσ+ν+θσσ+νσα，（27）实际上，π*= π*（x，t）是可测量的FMF，不依赖于（x，t）。π的最优性*问题（24）如下。回顾定义9，我们发现候选控制α是常数MFE，我们需要α=π*. 根据（27），π*是常数MFE，如果它解方程π*= Δuσ+ν+θσσ+νσπ*. （28）将两侧乘以σ并求平均值，得出σπ*必须满足σπ*= EΔuσ+ν+ Eθσ+νσπ*= ψ+ψσπ*.

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2022-5-31 06:46:16

（29）然后我们有以下情况：（i）如果ψ<1，上述结果产生σπ*= ^1/（1）- ψ），并利用方程（28）证明了第（1）部分。（ii）如果ψ=1，但Д6=0，则方程（29）没有解，并且作为结果，不可能存在恒定MFE。（iii）其余情况为ψ=1和Д=0。然而，这不可能发生。如果是这种情况，则φ=0，对参数的限制意味着σ=0<νa.s.，这反过来会产生ψ=0，这是一个矛盾。这就完成了第（2）部分的证明。备注12。注意，上述证明为代表性代理的平衡值函数提供了一个易于处理的公式。由于受控过程（Zπt）t∈[0，T]从Zπ=ξ开始- θξ，代表剂的时间零值（在第2.2.2节中也称为u（ζ））为nbyv（ξ- θξ，0）=- 经验值-δ（ξ- θξ）- ρT. （30）现在需要使用uα和σα的值显式计算（26）中的ρ。实际上，ρ=2（σ+ν）u+θΔД1- ψσ-θδeψ+eДД1- ψ, （31）式中，常数eψ和ψ由ψ=e定义Δuσ+ν和eД=eθuσ+ν.值得注意的是，在单一股票的情况下，这进一步简化为ρ=1+Δθδ（1- θ）!u2σ。备注13。方程（30）基本上提供了所谓主方程的解；有关制造理论中主方程的介绍，请参见【4】或【14】。事实上，主方程是一个PDE，提供函数U=U（x，m，t），其中（x，t）∈ R×[0，T]和m是R上的概率度量。U（x，m，T）的值自然地被解释为一个代表性代理人在时间tf时的值，当其他代理人的财富分布为m时，从财富Xt=x开始。在我们的例子中，这个值只不过是U（x，m，T）=v（x- θ'm，t）=- 经验值-δ（x- θ'm）- ρ（T- t）,其中，m是度量值m的平均值。

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2022-5-31 06:46:19

我们不想让这更精确，因为对于具有不同类型试剂的模型，主方程的概念尚未解决。2.3。平衡的讨论。我们将大部分讨论集中在定理10和推论11的平均场平衡上，因为定理3和推论4的n-主体平衡基本上具有相同的结构。首先回顾一下MFEπ*FMF是可测量的，或等效地，ζ-可测量的，其中ζ=（ξ，δ，θ，u，ν，σ）是类型向量。ζ的随机性捕获了群体中类型向量的分布，而ζ的单个实现可以解释为单个代表性代理的类型向量。因此，我们解释投资策略π*作为具有类型向量ζ的代理所采用的平衡策略。平衡p-Portfolioπ*由两部分组成。第一种，Δu/（σ+ν），是在没有相对执行问题的情况下的经典默顿投资组合。第二个分量总是非负的，只有在没有竞争的情况下，即θ=0时才消失。它随竞争权重θ线性增加，因此我们发现竞争总是增加风险资产的价值。代表代理人的策略π*其他代理通过数量Д/（1）对ly产生影响- ψ） =E[σπ*]. 这个数量可以看作是总财富的波动性。的确，让X*表示与π相对应的财富过程*（即（19）的解）。t时人口的平均财富∈ [0，T]是Yt：=E[X*t | FBT]。使用ζ、W和B的独立性进行的直接计算yieldsYt=E[ξ]+E[uπ*]t+E[σπ*]Bt.或者，我们可以解释比率Д/（1- ψ）在类型分布方面。定义值=σ/（σ+ν），这是由共同噪声B驱动的代表代理人股票方差的分数。

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2022-5-31 06:46:21

然后，通过将每个代理的夏普比率乘以其风险容忍度参数和权重R，然后对所有代理进行平均，计算出Д=E[Rδu/σ]。类似地，ψ=E[Rθ]是平均竞争参数，由R加权。几个重要因素将导致ν/（1）增加- ψ），从而增加了投资π*在风险资产中。即π*随着其他代理变得更具风险承受能力（平均δ更高），随着其他代理变得更具竞争力（平均θ更高），或随着其他股票质量的提高，如夏普比率（平均u/σ更高）所测，增加。在Corolulary11的单只股票案例中，竞争的一些影响更加透明。使用MFEπ*与默顿投资组合非常相似，但具有有效的风险容忍度参数δeff：=δ+θδ1- θ。如果θ>0，我们总是有δe ff>δ，而差值δe ff- δ随θ、δ和θ增加。也就是说，如果代表代理人更具竞争力，如果其他代理人倾向于更具风险承受力，或者如果其他代理人倾向于更具竞争力，那么代表代理人会在风险资产上投资更多。在后一种情况下，wh enδ和θ增加，我们可以解释π的增加*作为一种帮助，代表代理人“跟上”更愿意冒险的人群。在极端端，当θ和θ都接近1时，π*爆炸得很快；也就是说，在一群高度竞争的代理人中，一个高度竞争的代理人在风险集合中投入了大量资金。下面的图1对此进行了说明。其他一些特殊情况值得讨论。如果σ=0 a.s.，则无常见噪声。在这种情况下，ψ=ψ=0，反过来，MFE等于默顿投资组合。所有代理都不具有竞争力，不考虑竞争对手的表现。0.80.80.60.60.40.40.20.2图1。

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2022-5-31 06:46:24

单个股票案例（推论11）：π*与θ和θ相对，δ=5，(R)δ=6，u=σ=1。另一方面，如果ν=0 a.s.，则不存在独立噪声，我们有简单化ψ=E[θ]和Д=E[Δu/σ]。如果E[θ]<1，则π*= Δuσ+θσ（1- E[θ]）EhΔuσi。如果ν=0 a.s.，并且E[θ]=1，则θ=1 a.s.，ψ=1。在这种情况下，每个代理都与相对而非绝对性能密切相关，并且不存在均衡。另一种退化情况是当所有代理都具有相同的类型向量时，即当ζ是确定性的。然后，MFE对于所有代理都是通用的，并且（假设θ<1）减少到π*=Δu（1- θ） σ+ν。最后，我们评论了定理3中给出的种群规模对n-主体博弈均衡的影响。与平均场设置相比，唯一真正的差异是重新校准νkby（1- θk/n），无论它出现在定理3中的任何地方，在推论4的单股票情况下都不存在重标度。目前尚不清楚如何正确解释这种重定标度，值得注意的是，备注5中讨论的变量变化并没有显著改变这种情况。解读平均财富n-1Pj6=iXjTas正如我们之前提到的，作为独立估值问题中的责任条款，似乎很有希望，但我们在此不再进一步探讨。3、CRRA风险偏好在本节中，我们重点关注电力和对数（CRRA）公用事业。考虑到电力风险偏好的同质性，我们选择使用多重因子而非加性因子来衡量相对绩效。在【3】和【2】中，根据前向相对性能标准，对此类案例进行了双代理设置分析。3.1。n-代理游戏。我们考虑一个与第2.1节类似的n-代理博弈，但其中每个代理都有一个CRRA实用程序。

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