表示ψ：=（ψ，Д0:n），一个定义（ψ）=-2 lnπ（y1:n |ψ）+2 ln h（y1:n），（52）作为模型的偏差。由于h（y1:n）独立于所考虑的模型，通常假设h（y1:n）=1。有效参数数Pd定义为bepD=(R)D（ψ）- D（(R)ψ），（53），其中(R)D（ψ）是D（ψ）的平均值，而¨是ψ的后验平均值。然后定义条件DIC asDIC：=\'D（ψ）+pD=2\'D（ψ）- D（(R)ψ），（54），可使用第4节中所述的MCMC样品计算。请注意，DIC值较小的模型排名高于DIC值较大的模型。表5报告了基于男性和女性人口数据的考虑模型获得的估计条件DIC值。我们观察到，根据估计的DIC值，改善后的fits比纳入所考虑国家的队列因素所产生的复杂性得到了更大的补偿。模型的改进对于简化队列模型比LC模型更为重要，而对于完整队列模型比简化队列模型更为重要。有趣的是，尽管图5和图6所示的美国数据缺乏fcohort模式，但在美国死亡率数据上，使用队列模型比LC模型有明显的改善。这表明，对于美国人口而言，多因素模型优于单周期因素模型，如THLC模型。

对于美国数据而言，是首选多期模型还是周期队列模型是一个悬而未决的问题，然而，这超出了本文的范围。LC模型简化队列模型完整队列模型Malesuk-5418-6376-6666US-5575-6836-7111ITA-4758-6433-6474FemalesUK-5053-6794-6910US-5395-6824-6993ITA-5098-6485-6607表5：所考虑的男性和女性人口数据模型的DIC值。5.3从c oh ort模型预测队列模型和LC模型的死亡率。通过MCMC抽样对状态空间模型进行贝叶斯推理的一个优点是，可以严格推导死亡率的预测分布，并且可以很容易地从MCMC估计步骤获得的样本生成预测分布的样本。明确地说，我们可以将队列模型的预测分布表示为π（yn+k | y1:n）=Zπ（yn+k | n+k，ψ）π（Дn+k | n+k-1，ψ）。π（ψn，ψ| y1:n）dψdДn:n+k，（55），其中π（yn+k | y1:n）是k步超前预测后验预测分布。这意味着可以模拟动态因素的预测样本，以获得如下死亡率预测样本(l)n+k~ N∧(l)^1(l)n+k-1+Θ(l), Υ(l), （56a）y(l)n+k~ Nα(l)+ B类(l)^1(l)n+k，σε(l)p, （56b）对于全队列模型，其中l = 1.L和L是老化后MCMC样品的数量。对于简化的cohor t模型，一个简单地将B替换为B。

可通过在（55）中设置Д=κ来对LC模型进行预测，并递归获得死亡率预测样本，如下κ(l)n+k~ Nκ(l)n+k-1+θ(l),σω(l), （57a）y(l)n+k~ Nα(l)+ β(l)κ(l)n+k，σε(l)p, （57b）是（56）的特例。5.3.1死亡率预测图7显示了基于英国、美国和意大利65、70、75和80岁男性死亡率数据的全队列模型和LC模型预测死亡率的平均值和95%后验预测区间。我们观察到，全队列模型的预测结果与英国和意大利人口的LC模型预测结果存在显著差异，而美国数据的差异明显较小。与我们在第5.1节和第5.2节中发现的结果一致，队列模型的拟合表明，队列效应对英国和意大利人口的影响较大，但对美国死亡率数据的影响较小。因此，预计从预测角度来看，队列模型与英国和意大利数据的TLC模型的差异将更大，但与美国数据的差异将更小，这一点已被此处显示的预测结果所证实。另一个重要的观察结果是，全队列模型的预测死亡率的tr端发生了明显的变化。更仔细的观察表明，这种变化出现在1945年出生的一代人身上。例如，75岁预测死亡率的变化发生在2020年，这与1945年出生的队列相对应；从其他ag的预测死亡率可以得出同样的结论。

有趣的是，我们的数据中考虑的最近一代人正是1945年的出生年份。这一观察结果表明，tr末端行为的这种变化是从1945年开始的队列因素预测的结果。我们将在第5.3.2节对此问题进行详细讨论。图8显示了基于女性死亡率数据的相应ecasting分布。上述观察结果也适用于这种情况。如第5.1节和第5.2节所述，我们发现研究国家的男性和女性人口显示出类似的死亡率特征，包括模型拟合方面的队列模式。这里的结果表明，从预测的角度来看，也可以这样说。图9显示了对男性人口和女性人口的全队列模型和简化队列模型预测的比较。很明显，完整和简化的模型为英国和意大利人口生成了类似的预测分布。然而，对于美国男性人口，简化模型产生的预测区间比完全同龄人模型产生的区间要宽得多；这种差异在女性群体中更为明显。这些结果表明，如果数据中强烈存在队列模式，那么完整模型和简化模型在模型拟合和预测方面几乎没有差异。

相反，如果数据仅显示队列模式较弱，则完整队列模型可能会导致与简化队列模型的显著差异和预测结果，这表明在这种情况下可能不需要队列模型。我们数据的年龄范围和年龄范围分别为65-95岁和1970-2010年；因此，考虑的最新一代是2010年出生的群体- 65=1945年。利用R软件包StMoMo（Villegas et al.（2015）），对基于GLM框架的死亡率模型进行估计和预测，我们还观察了队列模型预测死亡率的趋势行为变化。5.3.2第5.3.1节讨论了1945年出生时预测死亡率的周期和队列事实预测或趋势变化行为的定期发生，表明这一现象可能源于1945年出生t年开始的队列因素预测。为了研究这一点，我们在图11中绘制了所考虑国家中男性人口和女性人口的全队列模型的周期和队列因素预测图。我们首先注意到，在英国、美国和意大利的人口中，预测的周期因素继续保持着预期的线性趋势。它保证了周期因子的预测是正确的，因此我们应该专注于对短期因子的预测，以解释上述趋势变化行为。有趣的是，我们从男性人群中观察到，与英国人群1920-1945年校准期间的趋势相比，从1945年开始，预测队列因子的方向略有变化。我们观察到，美国人口的方向基本上没有变化，而营利性人口的方向发生了重大变化。

同样的观察也适用于女性死亡率数据a。这些结果强烈表明，预测死亡率是否会观察到tr末端的变化取决于预测队列因素的性质；也就是说，这取决于投影开始时，估计的coho r t因子是否会改变方向。在英国和意大利的案例中，观察到1945年预测队列因子方向的变化，因此导致预测死亡率的趋势变化行为，如图7和图8所示，与美国数据的案例相反。还要注意的是，这些结果与我们之前章节中的讨论一致，即队列模式在英国和意大利的数据中非常普遍，而在美国，队列模式并不明确。图1-4中所示的估计队列因素实际上反映了关于队列因素动态是否可以通过文献中常见的平稳ARIMA模型捕捉的问题。有人可能会说，同居因素显然表现出趋势变化的行为。最近，人们对将结构变化动力学应用于周期因素越来越感兴趣，见Li et al.（2011）、van Berkum et al.（2016）和Liu and Li（2016b）。结果表明，这种新型模型可能同样适用于队列因素动力学。然而，对这一问题的调查超出了当前论文的范围，将留给未来的研究。6结论在本文中，我们研究了状态空间方法下队列模型的制定、估计和预测。状态空间框架提供了一个统一的环境，在这个环境中，动态死亡率模型的估计和预测可以以统计上严格的方式进行。

数值滤波和模型估计中先进统计技术的不断发展表明，状态空间方法可以成为处理人类死亡率建模的必要工具。本文通过显示队列模型与状态空间框架相兼容，为这一领域的文献做出了贡献。本文证明，通过考虑多维状态空间系统，可以克服队列因素按出生年份而不是年份进行索引的问题。队列因子的定义特性对产生的状态空间模型的观测和状态方程施加了限制。统计方程中规定了周期和队列因素的动态，允许考虑一系列时间序列模型。通过将周期和队列f参与者视为状态空间模型的状态动力学，可以基于过滤和MCMCmethod对队列模型进行贝叶斯推理。我们为最终模型开发了一个高效的MCMC采样器，包括静态参数的共轭Gibbs采样步骤和潜在状态动力学的前向后向Kalman滤波。整体算法可以自然地应用于完整队列模型以及其嵌套模型，包括简化队列模型和LC模型。我们应用状态空间公式中的队列模型来分析英国、美国和意大利人口的男性和女性死亡率数据。贝叶斯方法允许我们对队列模型进行估计，其中参数不确定性被适当量化和计算。我们的实证研究表明，英国和意大利人口的队列模式较强，而美国人口的队列模式较弱。我们还发现，在所考虑的国家，男女都有共同的死亡率特征，包括队列效应。

对COHORTMODEL和LC模型产生的残余热图的检查表明，队列模型能够捕捉队列效应，而LC模型无法捕捉到队列效应。使用DIC进行模型排名，我们发现，与简化的队列模型相比，完全队列模型更受欢迎，而简化的队列模型又优于所考虑国家的LCmodel。我们表明，对于存在大量队列模式的国家，队列模型预测的死亡率在预测队列因素的年份显示出趋势变化行为。我们对状态空间队列模型的估计和预测研究表明，可能需要更复杂的模型，如结构变化模型，以充分捕捉队列因素的动态。此外，观察到的男女共同的死亡率特征表明，可以将本文提出的方法推广到多人口环境中，其中可以为一个国家内的男性和女性人口假设共同的时期和队列因素。最近，应用状态空间方法来处理长寿风险的定价和混合问题的兴趣也在增长（Liu和Li（2016a）和Liu和Li（2016b））。本文提出的方法可以显著提高状态空间方法论解决涉及长寿风险的实际问题的能力，因为队列模型与状态空间框架是一致的。

本文所研究的状态空间队列模型在长寿风险定价和管理中的关键问题上的应用将有助于未来的研究。Acknow l Edgements这项研究得到了CSIRO莫纳什养老金研究集群的支持，该集群是CSIRO、莫纳什大学、格里菲斯大学、西澳大利亚大学、华威大学和退休系统利益相关者之间的合作，旨在为所有人带来更好的结果。这项研究也得到了澳大利亚研究委员会发现项目资助计划（项目编号：DP160103489）的部分支持。我们感谢日本信息与系统研究组织授予的跨学科项目“城市智能研究”。1970 1980 1990 2000 2010-4.-2 0 2 4千年1880 1900 1920 1940-15-5 0 5γ年-属于-出生65 70 75 80 85 90 95-3.5-2.5-1.5α年龄65 70 75 80 85 90 950.00 0.02 0.04β年龄65 70 75 80 85 90 950.00 0.02 0.04βγ年龄1970 1980 1990 2000 2010-6.-4.-2 0 2 4千年1880 1900 1920 1940-8.-4 0 2 4 6γ年-属于-出生65 70 75 80 85 90 95-3.5-2.5-1.5α年龄65 70 75 80 85 90 950.01 0.03 0.05β年龄65 70 75 80 85 90 95-0.10 0.00 0.10βγ年龄1970 1980 1990 2000 2010-5 0 5 10千年1880 1900 1920 1940-15-5 0 5γ年-属于-出生65 70 75 80 85 90 95-3.5-2.5-1.5α年龄65 70 75 80 85 90 950.010 0.025 0.040β年龄65 70 75 80 85 90 950.020 0.030 0.040 0 0.050βγ年龄图1：全队列模型：估计（左栏）英国、（中栏）美国和（右栏）意大利男性人群的κ、γ、α、β和dβγ。

绘制后验分布的平均值（实线）和95%可信区间（虚线）。1970 1980 1990 2000 2010-4.-2 0 2 4千年1880 1900 1920 1940-10-5 0 5γ年-属于-出生65 70 75 80 85 90 95-4-3-2.0α年龄65 70 75 80 85 90 95-0.01 0.01 0.03 0.05β年龄65 70 75 80 85 90 95-0.02 0.02βγ年龄1970 1980 1990 2000 2010-10-5 0 5 10千年1880 1900 1920 1940-10-5 0 5γ年-属于-出生65 70 75 80 85 90 95-4.5-3.5-2.5-1.5α年龄65 70 75 80 85 90 950.030 0.040β年龄65 70 75 80 85 90 950.00 0.02 0.04 0.06βγ年龄1970 1980 1990 2000 2010-5 0 5 10千年1880 1900 1920 1940-15-5 0 5γ年-属于-出生65 70 75 80 85 90 95-4.5-3.5-2.5-1.5α年龄65 70 75 80 85 90 950.015 0.025 0.035β年龄65 70 75 80 85 90 950.015 0.025 0.035βγ年龄图2：全队列模型：估计（左栏）英国、（中栏）美国和（右栏）意大利女性人口的κ、γ、α、β和βγ。绘制后验分布的平均值（实线）和95%可信区间（虚线）。1970 1980 1990 2000 2010-4 0 2 4 6千年1880 1900 1920 1940-0.6-0.2 0.2γ年-属于-出生65 70 75 80 85 90 95-3.5-2.5-1.5α年龄65 70 75 80 85 90 950.01 0.03β年龄1970 1980 1990 2000 2010-10 0 5 10千年1880 1900 1920 1940-0.4-0.2 0.0 0.2γ年-属于-出生65 70 75 80 85 90 95-3.5-2.5-1.5α年龄65 70 75 80 85 90 950.024 0.030 0.036β年龄1970 1980 1990 2000 2010-5 0 5 10千年1880 1900 1920 1940-0.6-0.2 0.2γ年-属于-出生65 70 75 80 85 90 95-3.5-2.5-1.5α年龄65 70 75 80 85 90 950.01 0.03β年龄图3：简化队列模型：估计（左栏）英国、（中栏）美国和（右栏）意大利男性人群的κ、γ、α和β。

绘制后验分布的平均值（实线）和95%可信区间（虚线）。1970 1980 1990 2000 2010-5 0 5 10千年1880 1900 1920 1940-0.4-0.2 0.0 0.2γ年-属于-出生65 70 75 80 85 90 95-4-3-2.0α年龄65 70 75 80 85 90 950.01 0.03β年龄1970 1980 1990 2000 2010-10 0 5 10千年1880 1900 1920 1940-0.6-0.2 0.2γ年-属于-出生65 70 75 80 85 90 95-4.5-3.5-2.5-1.5α年龄65 70 75 80 85 90 950.020 0.030β年龄1970 1980 1990 2000 2010-5 0 5 10千年1880 1900 1920 1940-0.6-0.2 0.2γ年-属于-出生65 70 75 80 85 90 95-4.5-3.5-2.5-1.5α年龄65 70 75 80 85 90 950.01 0.03 0.05β年龄图4：简化队列模型：估计（左栏）英国、（中栏）美国和（右栏）意大利女性人群的κ、γ、α和β。