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在[43，13]中，证明了定理1的陈述适用于NI-MFA-dyn a-mics（27），因为R是矩阵的光谱半径-1AT。现在，我们通过在NIMFA和DBMFapproximations（分别为（27）和（3））之间建立联系，使用[43，13]的结果来验证定理1。定理1的证明：如果所有节点都接种，则R（x）=0≤显然，唯一的地方病状态是pd（x）=0，d∈ D、 现在，考虑一个社会状态x，这样至少有一些节点处于未受保护的状态。现在，我们从原始网络G构建一个有向图^G（x），使得^G（x）上SIS流行病的NIMFA与G上的DBMFapproximation（如（3）所述）一致。具体地说，让^G（x）是一个有权有向图，其中包含一组节点D；每个节点^G（x）表示G中存在的一个度。我们定义了边的宽度（j，i）∈ Das aij（x）：=i^qj（x），其中^qj（x）=jxj，Uhdi。具体而言，定向边（j，i）的强度是i与i度阳极在原始图G中的相邻节点中遇到具有degreej的未保护节点的可能性的乘积。因此，由^A（x）=d·q（x）T给出^G（x）的关联矩阵，其中d是G度向量，q（x）=[jxj，Uhdi]j∈D、 换言之，^A（x）有一个唯一的非零特征值，由^λ（x）=q（x）Td=Pi给出∈迪^奇（x）。注意，NIMFA（27）下的^G（x）中SIS流行病的演变与（3）一致。此外，matr ix的光谱半径-1^AT（x）是R（x）=Pi∈Di^qi（x）δ。因此，（3）中动力学平衡点的唯一性和稳定性直接来自于[43，13]。B、 引理2的证明引理2的证明：回想一下β∈ [2，3]。

因此，iβ-（19）中的2（δ+Ⅳβ（xt））在i中单调递减，且txi=diβ-2（δ+Ⅳβ（xt））≥tXi=di（δ+ivβ（xt））≥ztddi（δ+Ⅳβ（xt）），（29），其中i对应于度，d表示积分变量。我们表示R.H.S.byI（t）：=ztddi（δ+Ⅳβ（xt））=δZtd（δ+Ⅳβ（xt）- ivβ（xt））dii（δ+ivβ（xt））=δZtddii公司-Ztdvβ（xt）diδ+ivβ（xt）=δ日志td公司- 日志δ+tvβ（xt）δ+dvβ（xt）=δlogt（δ+dvβ（xt））d（δ+tvβ（xt））.回想一下（19）中（29）中的第一项ishdiκ。因此，从I（t）≤hdiκ，我们得到logt（δ+dvβ（xt））d（δ+tvβ（xt））≤δhdiκ==>t（δ+dvβ（xt））d（δ+tvβ（xt））- 1.≤ eδhdiκ- 1=B- 1个==>（B）- （1）-1（t- d） δd≤ δ+tvβ（xt）（30）==>Δδ+tvβ（xt）≤d（B- 1） t型- d（31）==>tvβ（xt）δ+tvβ（xt）≥ 1.-d（B- 1） t型- d=t- dBt公司- d、 （32）对于第二部分，设d>1，β=3。那么，hdiκ=tXi=diβ-2（δ+Ⅳβ（xt））≤Ztd公司-1dii（δ+Ⅳβ（xt））。因此，我们重复上述分析，逆转不平等，并用d替换d- 1和obta intv（xt）δ+tv（xt）≤t型- （d）- 1） 英国电信- （d）- 1） 。（33）证据到此结束。