网络SIS流行病的博弈论疫苗接种及其影响

2022-5-31 06:55:31

此外，使用这些系统的人类做出的决策也对他们的安全性和弹性产生了重大影响【5、6、7】。在本文中，我们研究了网络上易感感染易感（SIS）流行病背景下博弈论和人类决策的影响[2]。SIS流行病已被证明能捕捉广泛的动态，例如疾病在人类社会中的传播【8】、计算机网络中的病毒使用【9】以及复杂网络中的观点【10】。确实有大量关于网络流行病的文献，包括平均场近似法[11，12]、稳态行为特征[13，14]、控制传播过程的集中保护策略[15，4]，以及对流行病有弹性的网络设计[16，17]；最近的评论见[18，2]f。虽然集中式保护策略对于大规模网络系统来说并不实用，但对于分散和博弈论的网络流行病保护策略的探索相对较少[1 8，2]。Ashish R.Hota就职于印度哈拉格布尔印度理工学院（IIT）电气工程系。Shreyas Sundaram就职于美国普渡大学电气与计算机工程学院。电子邮件：ahota@ee.iitkgp.ac.in，则，sundara2@purdue.edu.这项研究的一部分是在AshishR.Hota在瑞士ETH Z¨urich自动控制实验室工作时进行的。这项研究也得到了国家科学基金会的部分资助，资助号为CNS-1718637。现有文献侧重于两种类型的保护战略；i）节点独立选择其治愈率【19，5】，ii）节点选择是否接种疫苗【20，21，22】。在本文中，我们重点讨论第二类保护战略。

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2022-5-31 06:55:35

在博思农网络环境（即，具有完全混合的人群）和网络环境中研究了疫苗ga me【20、21】和【22】。在[22]中，节点决定是否购买疫苗或是否有感染的风险，概率由SIS动力学的N-交织平均场近似（NIMFA）[12]的流行状态给出。作者分析了某些类别的网络，特别是完全图、完全二部图和多社区网络中的纳什均衡。在后续研究中，作者研究了抵抗SIS流行病的网络的博弈论设计。除了限于某些类别的网络之外，现有博弈论文献中的一个常见假设是，决策者是风险中性的（即预期成本最小化），并且感染概率为ir真值。然而，心理学和行为经济学的大量研究表明，人类对概率的感知与其真实值不同【23、24、25】（详情见第二节）。最近的研究表明，在决策的这些行为方面，尤其是前景理论所捕获的行为方面，可能会对网络引擎系统的效率、安全性和鲁棒性产生重大影响[5，26]。例如，最近的一系列论文研究了在智能电网[27、28、29]和通信网络定价[30、31]的能源消耗决策背景下，前瞻性理论参考的各种含义。最近的文献也调查了行为偏差的影响，例如对概率的错误认识，对（网络）安全环境下的决策的影响。

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2022-5-31 06:55:37

在[32,33]中，作者考虑了一个有防御者和秘密攻击者的云计算环境，并研究了当两个实体都有（累积的）前景理论偏好时的纯和混合Na-sh均衡。它们确定了攻击者行为偏差的条件，从而提高了系统的安全性。我们还研究了非线性概率加权对相互依存的网络安全博弈[3]和网络阻断博弈[7]的影响。流行病模型与上述设置有根本不同。与[32，33]相比，流行病有多个决策者被网络中的节点捕获，与[3]相比，流行病通过随机过程在网络中传播。在流行病的背景中，有一个相关的研究机构在进化博弈理论框架中调查决策的某些人性方面，特别是模仿行为[34，35]和移情[36]。另一方面，对概率错误感知的影响研究相对较少；我们最近的工作是研究网络中节点对治愈率的博弈论选择。在本文中，我们在真实和人类对感染概率的感知（由前景理论概率加权函数捕获）下，研究了一般网络中针对SIS流行病的免疫决策。由于我们考虑了一个成本最小化框架，我们将认为概率是其真实值的参与者称为真实期望最小化者。我们考虑了基于梯度的平均场（DBMF）近似值[11，2]，以捕获节点经历的感染概率。

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2022-5-31 06:55:41

虽然DBMF近似比NIMFA更精确，但它更易于分析。我们考虑一个人口博弈框架来模拟大规模网络中节点的战略决策；洛杉矶最近在一类相关的网络安全游戏上的工作推动了这一点[38，39]。我们将具有给定等级的所有节点视为单个总体。无des选择是否以c>0的成本接种疫苗。接种疫苗的玩家对感染完全免疫。社会状态被定义为每个群体中节点的分数，这些节点被注射疫苗并保持不受保护。每个节点都被视为一个微型实体，单个节点的行为变化不会改变社会状态。社会状态决定了流行病的传播行为，我们在DBMF框架下近似于此。对于给定的社会状态，在流行病持续存在的情况下，确定DBMF近似的贫血状态存在和唯一的条件。保持不受保护的节点的成本被定义为由soc ia l状态引起的流行状态下的感知感染概率（因此，取决于网络中所有节点采取的行动）。人口博弈的纯纳什均衡（PNE）是一种非社会状态，在这种状态下，没有人愿意单方面切换到不同的行动。我们首先表明，在PNE社会状态下，所有学位严格大于阈值的节点都接种疫苗，反之亦然。此外，我们还证明了存在一种独特的社会状态。

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2022-5-31 06:55:44

然后，我们证明，当接种者接种疫苗时，行为偏差导致接种的节点更少，因此它们具有更高的感染概率。此外，在幂律度分布下（这是现实世界中不同地区出现的网络的特征[40]），我们获得了关于亲婴儿的真实和非线性感知的平衡阈值的结果，并表明这些平衡阈值的比率随着疫苗接种成本的增加而增加。然后，我们得出了PNE效率的界限，并对主要理论结果进行了数值说明。虽然La也考虑了感染级联，我们的一些结构结果，如PNE的阈值性质和唯一性，类似于[38，39]，但我们的流行病背景与his截然不同。此外，我们调查了人类决策的影响，而[38，39]只考虑风险中性的决策者。0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81xw（x）α=1α=0.8α=0.4图。1：概率加权函数（1）的形状；x是真实概率，w（x）是感知概率。二、非线性概率权重行为经济学和心理学的大量文献表明，人类以非线性方式感知与结果不确定性相关的概率【23，24】。具体而言，人类超重概率接近0（称为可能性效应），体重不足概率接近1（称为确定性效应）。在前景理论框架【23】中，Kahneman和T Versky通过逆S形概率加权函数w【0，1】捕获了真实概率到感知概率的转换→ [0，1]（即，真实概率x被视为w（x））。已经提出了加权函数的几种p参数形式[41，42]。

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2022-5-31 06:55:47

这些加权函数具有与图1所示相同的一般形状，并满足以下特性[3]。假设1：满足以下性能。1、w严格递增，w（0）=0，w（1）=1.2。w′（x）有一个唯一的最小值，用xmin表示，w：=argminx∈[0,1]w′（x）。此外，w′（xmin，w）<1和dw′（xmin，w）=0.3。对于x，w（x）是严格凹的∈ [0，xmin，w），x为三次凸∈ （xmin，w，1）.4.w′（）→ ∞ as→ 0和w′（1- ）→ ∞ as→ 0.上述假设意味着存在唯一的x0，w∈[0，1]使得x的w（x）>x∈ [0，x0，w），且w（x）<x forx∈ （x0，w，1）。虽然我们的理论结果适用于任何满足假设1的加权函数，但我们在模拟中考虑了Prelec[42]提出的参数形式，以深入了解与概率真实感知的偏差越来越大的影响。当一个结果的真实概率为x时，带有参数α的Prelec加权函数∈ （0，1）由w（x）=exp给出(-(- ln（x））α），x∈ [0，1]，（1）其中exp（·）是指数函数。对于α=1，我们有w（x）=x。可以验证对于α∈ （0，1），Prelec加权函数（1）满足假设1。对于α<1的情况，w对低概率的权重急剧增加，对高概率的权重急剧减少。图1显示了不同α值的Prelec加权函数的形状。对于Prelec加权函数，对于每个α，xmin，w=x0，w=e，w（e）=efo∈ （0，1）。此外，w′（e）=α。三、疫苗接种博弈我们首先介绍人口博弈框架，其中节点决定是否接种疫苗。然后讨论SI S流行病的行为如何依赖于节点所做的决策，并确定DBMF近似下流行病状态下的感染概率。A、网络人口博弈考虑一个无向网络G，其中D：={1，2。

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2022-5-31 06:55:50

，D}，D<∞, 是无des的阶数s的集合。我们将所有具有给定度数的节点视为一个单一总体，并引用所有具有度数d的节点∈ D表示流行的D。度为D的节点的分数用md表示。相应地，向量r{md}D∈Dis网络的经验度分布。我们用hdi表示平均度数：=Pd∈DDM和定义hdi：=Pd∈DDMDHDI和hdi∈ （0，∞).我们进一步假设网络是不相关的，即。，从度为的节点出发的边连接到度为k′的节点的可能性与k无关。对于不相关网络，randomlychosen邻居具有度d的概率约为qd：=dmdhdi【2】。当节点数增长到整数时，近似值会提高，这是人口博弈中的一种机制。网络中的节点有两个可用的纯策略或动作，由A={V，U}表示。流行状态∈ D由xd=（xd，U，xd，V）表示，其中xd，U（分别，xd，V）表示选择保持不受保护（分别，接种）的节点的子种群。由于每个节点必须选择保持不受保护或接种疫苗，因此我们有xd，U+xd，V=md。相应地，对于总体d，可行的总体状态集是xd={xd∈R+| xd，U+xd，V=md}。社会状态由向量x={xd}d表示∈D∈ X：=Qd∈DXd。每个节点都会根据自己的学位（即，她所属的人口）、所选择的行动和社会状态来承担成本。当社会状态为x时∈ 十、选择动作a的d级节点的（预期感知）成本∈A由Jd（A，x）表示。在[38]之后，我们将人口博弈的pureNash均衡（PNE）定义如下。定义1：社会状态x*∈ X是人口游戏的PNE，如果对于每个a∈ A、 d∈ D、我们有*d、 a>0==> 一∈ argmina\'∈AJd（a′，x*)<==> Jd（a，x*) ≤ Jd（a′，x*), a′∈ A.

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2022-5-31 06:55:54

（2）根据定义1，如果给定总体的节点的非零fr动作选择特定动作a∈ A在PNE中，则动作A必须在PNE中为该群体的节点实现最小成本。这一定义类似于战略游戏中的PNE（有一定数量的玩家），因为没有人喜欢单方面偏离不同的行动，但区别在于这种单方面偏离不会改变人口游戏中的社会状态（与战略游戏相反）。因此，特别是如果处于PNE社会状态x*, 有一个种群d，使得x和*d、 U>0和x*d、 V>0，然后Jd（U，x*) = Jd（V，x*).人口博弈中，个体节点对人口和社会状态没有影响。上述公式是由[3 8，39]中研究的一类相关网络安全游戏的类似人口博弈模型所推动的，而在本文中，我们主要关注SIS流行病模型。我们现在描述给定社会状态下SIS流行病的动态和稳态。B、 SIS流行病和DBMF近似SIS流行病的传播过程取决于参与者所做的决定，即人口博弈的社会状态。具体而言，接种疫苗的淋巴结对流行病完全免疫，在流行病传播中不起作用。另一方面，网络中每个未受保护的节点可能处于两种状态之一：i）易受影响，或ii）受感染。接种疫苗的淋巴结既不易感也不受感染。在未受保护的节点中，受感染的节点以均匀的治愈率δ>0治愈，而易受感染的节点在aPoisson过程后以每个受感染邻居的速率ν=1（不丧失一般性）感染。

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2022-5-31 06:55:57

因此，未受保护的节点不会受到来自接种疫苗的邻居的感染风险。考虑一个社会状态x，它捕获每个群体中未受保护和接种疫苗的节点的比例。在DBMF近似值[11，2]下，每一个未受保护的d级节点在统计学上是等效的。根据DBMF近似，无保护d度节点的感染概率，^pd（x，t），演变为 ^pd（x，t）t=-δ^pd（x，t）+（1- ^pd（x，t））dXi∈Dqixi，Umi^pi（x，t），（3），其中qi=imihdiis随机选择的邻居具有i度的概率（作为网络不相关假设的一致性），以及Xi，Umi捕获在社会状态x中未受保护的程度i节点的比例。如果随机图模型中节点相互接触或混合的时间尺度快于流行病传播的时间尺度，则DBMF近似值会更好【11，2】。因此，我们表示未受保护的d度d节点的稳态感染概率aspd（x）=dv（x）δ+dv（x），（4），其中v（x）de注意到随机选择的邻居在社会状态x诱导的流行病稳态中被感染的概率。特别是，v（x）满足v（x）=Xi∈Dqi·xi，Umi·iv（x）δ+iv（x）==> v（x）“1-xi∈Di^qi（x）δ+iv（x）#=0，（5），其中^qi（x）：=ixi，Uhdi。注1：上述方程是在网络不相关的假设下成立的。否则，d度节点的随机选择邻居具有degreei的概率将取决于d和i，而不仅仅是（3）中的i。所以，对于不同的d值，v（x）也会不同。请注意，v（x）=0始终是每个社会状态的boveequation的解，它对应于自由状态pd（x）=0，d∈ D、此外，根据社会状态x，re可能存在非零v（x）∈ （0，1）满足（5）。

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2022-5-31 06:56:00

当流行病在人群中持续很长时间时，根据（4）由这种非z ero v（x）引起的感染概率pd（x）被称为“地方病”状态【12，2】。我们陈述了关于地方病状态的唯一性和稳定性的以下结果。据我们所知，以下结果是DBMF近似值的第一个时间。虽然我们依赖于[13，43]中获得的NIMFA结果，但我们在证明中利用了两个模型之间的某些结构相似性。附录A正式给出了证明。定理1：对于给定的社会状态x，定义R（x）：=Pd∈Dd^qd（x）δ=Pd∈Ddxd，Uδhdi。那么，1）pd（x）=0，d∈ D是（3）中动力学的唯一稳态，当且仅当R（x）≤ 1、该无病稳态是全局渐近稳定的。2）如果R（x）>1，pd（x）=0，d∈ D是动力学（3）的非平衡态平衡。存在pd（x）>0的非零正稳态（3）（称为endem icstate），d∈ D当且仅当R（x）>1。地方病状态是唯一的，局部指数稳定，动力学（3）从除无病状态外的任何初始条件收敛到该地方病状态。根据上述定理，如果社会状态x的R（x）>1，则存在满足（5）的唯一n on零v（x）。在这种情况下，我们将v（x）解释为这个非零解。地方病状态下无保护结节的感染概率为非零，由（4）给出。四、纯纳什均衡的性质在上述框架的基础上，我们现在定义了参与者的成本函数，并建立了一般网络中真实期望和感知期望最小的唯一阈值均衡的存在性。每个节点独立决定是否接种疫苗。

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2022-5-31 06:56:03

对于未受保护的淋巴结，我们将其成本定义为在流行病的DBMF近似下，她在流行状态下的感染概率。具体而言，社会状态下未受保护的d级节点的成本x isJd（U，x）=w（pd（x））=wdv（x）δ+dv（x）, （6）其中，w是节点的概率加权函数，v（x）满足度（5）。具体而言，如果R（x）≤ 1，v（x）=0。否则，v（x）是（5）的非Ze-ro溶液。上述成本函数可以被解释为预期成本低于模拟前景理论[41]，其中被感染的感知损失被归一化为1。另一方面，我们假设接种疫苗的成本为c∈ （0，1），与节点的度数无关。因此，Jd（V，x）=每d的c∈ D、 x个∈ 十、这里c可以解释为接种疫苗的相对成本与被感染的成本之比。注意，如果c≥ 1，我们将始终保持Jd（U，x）<c，即所有节点都希望保持不受保护。我们考虑一个由Γ（G，{md}d）表示的完全信息博弈∈D、 w，c，δ）。自Γ（G，{md}d∈D、 w，c，δ）有一定数量的人口和行动，总是存在纯纳什均衡（PNE）[44]。备注2：正如在任何完全信息博弈中一样，假设n个节点知道社会状态和程度分布，从中可以计算数量v（x）。我们设想了两种可能的方法，节点可以在实践中估计v（x）。首先，中央当局向民众广播这一信息；例如，通过新闻和社交媒体。其次，节点可以通过与邻居重复交互并观察感染频率来学习或估计v（x）。

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2022-5-31 06:56:06

对流行病博弈的动力学进行显式建模，其中节点估计v（x）并更新其疫苗接种决策，并探索动力学是否收敛于本文研究的均衡，这将是未来研究的一个有趣方向。我们现在讨论在Na-sh平衡时出现的疫苗接种策略的特点。我们从以下结果开始，结果表明，如果死亡率不高，那么在每个PNE社会状态下，都存在一种地方性状态，使得流行病持续存在。命题1：让x*成为PNE的社会状态。然后，R（x*) > 1当且仅当δ<hdihdi=Pd∈DdmdPd∈Ddmd。证明：Le tδ<hdihdi。在合同中假设r（x*) ≤ 1对于PNE社会状态x*. 然后，从定理1，我们有v（x*) = 现在让d∈ D是一个节点的总体，例如，一个不可忽略的D度节点的一部分接种疫苗，即x*d、 V>0。然而，在定义1之后，这意味着≤ w（pd（x*)) = 既然>0，我们就必须让ssarilyhave x*d、 V=0，或同等地，x*d、 U=每d的MDD∈ D、因此，我们有r（x*) =Xd公司∈Ddmdδhdi=hdiδhdi>1，这是期望的矛盾。反之，我们可以证明R（x*) > 1个==>δ<hdihdi。我们以相反的立场来证明这一说法。假设δ≥hdihdi。现在，考虑一个PNE社会状态x*. 然后，R（x*) =Xd公司∈Ddx公司*d、 Uδhdi≤hdiδhdi≤ 这就完成了证明。上述结果适用于真实和感知的预期成本最小值s。预测结果表明，如果δ≥hdihdi，则即使对于没有节点购买疫苗的soc ia l状态，无疾病状态也是DBMFapproximation的唯一解决方案。换言之，由于治愈率高，且与参与者的疫苗接种决定无关，疫情完全消失。

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2022-5-31 06:56:10

因此，我们将重点放在一个更有趣的案例上，即疾病的传播取决于节点的接种决定。注意，在[19]中获得了类似的结果，其中节点战略性地选择其固化速率。在结果平衡m处，量类似于R（x*) grea te r tha不等于1，但绝对不小于1。现在，我们在本文的其余部分提出以下假设。假设2：铜环率δ∈0，hdihdi. 此外，w（x）=x，或w满足假设1。现在，我们可以推导出网络上社会状态的某些性质。让x*成为PNE的社会状态。考虑一个度，例如x*d、 U>0，即d级节点的非零分数未购买疫苗。那么，我们必须有w（pd（x*)) = wdv（x*)δ+dv（x*)≤ c、（7）类似地，如果对于d节点es x的总体*d、 V=md-x个*d、 U>0，我们必须有w（pd（x*)) = wdv（x*)δ+dv（x*)≥ c、（8）以下结果表明，疫苗游戏的任何PNE都表现出阈值特性。命题2：让x*成为PNE的社会状态。然后，存在一个度D，如x*d、 U型∈ （0，md），andx*d、 U=（md，d<d0，d>d.（9）证明：Let'd∈ D是最小的度数，以确保接种度数为D的节点的比例，即m'D-x个*\'d，U>0。由于w是一个递增函数，我们有c≤ w(R)dv（x*)δ+(R)dv（x*)< wdv（x*)δ+dv（x*),对于每个d>(R)d。请注意v（x*) > Assum ption2之后为0。根据ly，x*d、 U=0表示每d>\'d。换句话说，所有具有严格大于Tha n\'d程度的节点都接种疫苗。我们现在有以下两种可能的情况。案例1：x*\'d，U=0。在这种情况下，所有具有“dvaccinate”度的节点。由于“d”是接种节点无反应的最小度数，因此所有度数为“d”的节点均不受保护。因此，d：=(R)d- 1具有（9）中所述的thresholdproperty（带x*d、 U=md）。案例2：x*\'d，U>0。

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2022-5-31 06:56:13

在这种情况下，我们有c=w(R)dv（x*)δ+(R)dv（x*)> wdv（x*)δ+dv（x*),对于所有d<d。因此，x*d、每d<d，U=md。因此，d：=(R)d具有（9）中所述的阈值属性。请注意，与度较小的节点相比，度较高的节点在其邻居中更容易遇到受影响的节点。这是因为假设网络是不相关的。上述结果证实了我们的直觉，即高度n节点更有可能在平衡状态下接种疫苗，因为它们经历了更高的感染风险。对于特定类别的网络（具体而言，完全图、完全二部图和多社区网络），在NIMFA下[22]也获得了类似的阈值行为。我们的结果表明，在一般网络的DBMF近似下，这个性质成立。此外，在[45]中，人们认为，在具有幂律分布的网络中，接种高度n节点疫苗在减少流行病传播方面非常有效。在本文中，我们展示了这种策略在分散决策和不相关的网络中自然产生（与仅在幂律度分布下相对）。根据命题2，我们发现任何PNE上未受保护的节点的填充状态都是formx*U={m，m，…，md-1，x*d、 U，0，0}，（10）带x*d、 U型∈ （0，md）对于一些d。因此，我们将无保护节点的人口状态具有上述形式的社会状态称为候选社会状态。我们定义了候选社会状态之间的以下偏好关系。定义2：对于两个候选社会状态x和x，无保护节点的人口由x1给出，U={m，m，…，md-1，x1，d，U，0，0}，和（11）x2，U={m，m，…，md-1，x2，d，U，0，0}，（12）我们说x xif（i）d<dor（ii）d=dandx1，d，U<x2，d，U。

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2022-5-31 06:56:16

类似地，我们说x xif或x 异或d=d，x1，d，U=x2，d，U。换言之，x xif xis中无保护节点的分数最多是x的分数。我们现在陈述以下引理，这将有助于证明我们的几个结果。引理1：考虑两个候选社会状态x和x。如果x x、然后v（x）≤ v（x），不等式严格如果x x、证明：支持v（x）>0；否则，结果就微不足道了。如果x x、从（5）开始，我们有xd∈Ddx1，d，Uδ+dv（x）=hdi=Xd∈Ddx2，d，Uδ+dv（x）≥Xd公司∈Ddx1，d，Uδ+dv（x）。上述等式表示v（x）≤ v（x）。此外，如果x x、上述引理表明，在两个不同的社会状态中，如果其中一个社会状态的未受保护节点比例较大，则对于该社会状态，随机选择的邻居被感染的可能性较高。上述引理和下面的唯一性结果适用于概率的真实感知和非线性感知。命题3：L和X是两个PNE社会状态。那么，v（x）=v（x）。此外，x=x。证明：在命题2之后，让dand和Dde分别注意社会状态x和x的三个阈值。换言之，d的最大度数分别为x1，d，U>0和x2，d，U>0。此外，X和X中未受保护节点的数量可以分别表示为（11）和（12）。注意x2，d，U≤ md.相应地，从（5），v（x）满足度1=Xd∈Dd^qd（x）δ+dv（x）≤hdidXd=1dmdδ+dv（x）。（13）现在假设相反，v（x）<v（x），但不丧失一般性。从PNE的定义来看，我们有dv（x）δ+dv（x）< wdv（x）δ+dv（x）≤ c（14）==> x1，d，U=md。换句话说，所有dnodes在x处保持不受保护。因此，我们有d≤ d

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2022-5-31 06:56:19

因此，v（x）满意度1=Xd∈Dd^qd（x）δ+dv（x）≥hdidXd=1dmdδ+dv（x）；（15）如果d<d，则上述不等式是严格的，并且在x1，d，U=md时也成立。因此，对于m方程（13）和（15），我们有dxd=1dmdδ+dv（x）≤dXd=1dmdδ+dv（x）==> v（x）≥ v（x），给出所需的矛盾。因此，我们有v（x）=v（x）。现在，假设X x、那么，引理1意味着v（x）<v（x），这是一个矛盾。因此，我们必须有x=x.V。在真实期望和感知期望极小化下的平衡比较建立了在真实期望和感知期望极小化下疫苗g中PNE的存在性和唯一性，我们现在比较它们的特征。设XwB为PNE社会状态，xwU为博弈PNE处未受保护节点的总体，其中节点的概率权重函数为w。根据命题2，xwU={m，m，…，xwdw，0，…，0}，whe xwdw∈ （0，mdw）。设v（xw）为随机cho sen邻居在PNE感染的概率。从PNE的定义来看，我们有dwv（xw）δ+dwv（xw）≤ c≤ w（dw+1）v（xw）δ+（dw+1）v（xw）, （16）至少有一个不等式是严格的。由于w严格增加，从上面的第一个不等式中，我们得到了dwv（xw）δ+dwv（xw）≤ w-1（c）==> 1.- w-1（c）≤ 1.-dwv（xw）δ+dwv（xw）=Δδ+dwv（xw）==> dwv（xw）≤δw-1（c）1- w-1（c）。按照第二个不等式的相同步骤，我们得出结论，（16）与wv（xw）等价≤δw-1（c）1- w-1（c）≤ （dw+1）v（xw）。（17）我们现在陈述以下主要结果。命题4：设XT为TRUEExpection极小化下的PNE社会状态。如果接种成本c满足c≥w（c），那么我们有xt xw，反之亦然。证明：Le t xtU={m，m，…，xtdt，0，…，0}。假定C≥ w（c），并在相反的条件下假设xw xt。在引理1之后，我们有v（xt）>v（xw）。

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2022-5-31 06:56:22

因此，我们有dtv（xw）<dtv（xt）≤δc1- c≤δw-1（c）1- w-1（c），其中第二个不等式从（17）开始，最后一个不等式从c开始≥ w（c），或e，相当于w-1（c）≥c、因此，dtv（xw）<δw-1（c）1-w-1（c）意味着数字电视（xw）（1- w-1（c））<δw-1（c）==> w数字电视（xw）δ+数字电视（xw）< c类==> xwdt=mdt，即，在PNE欠概率权重下，DTD度的所有n节点均不受保护。因此，我们有xt xw，这是想要的矛盾。c的情况≤ w（c）跟在恒等参数后面，在这种情况下，我们有xw xt。为了节省空间，我们省略了细节。上述结果背后的关键直觉是，疫苗接种成本非常接近PNE阈值下的感知感染概率，这是（16）的结果。因此，在疫苗接种成本较高的情况下，在e平衡阈值下感知到的感染概率也很高。对于agiven感知概率，由于高概率未减权，在非线性概率加权下，与真期望最小值相比，真实概率更高。因此，对于较大的接种成本，与真实期望最小的情况相比，行为偏差导致较少的节点接种疫苗。具体而言，非线性概率下的平衡阈值更高。

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2022-5-31 06:56:25

反之，当疫苗接种成本足够小，而决策者对低感染概率的认识过重时，情况正好相反。因此，为了降低接种成本，在概率加权下，更多的节点在PNE接种。我们强调，无论网络的程度分布如何，上述结果都是成立的，并且只取决于疫苗接种成本c和概率加权函数w。该结果的一般性具有重大的政策影响：将疫苗接种成本降低到w（c）=c的水平以下是有益的，这样会导致行为偏差，特别是对低概率的过度加权，会导致较高的疫苗接种率。相反，如果不考虑行为偏差，并且疫苗相对昂贵，那么人类的疫苗接种率可能远远低于风险中性决策者的预期。以下小节量化了一类具有幂律度分布的网络中的这种影响。A、具有幂律度分布的网络我们现在考虑一类网络，其中度的集合是D={D，D，…，D}和D≥ 1，D<∞. 我们假设d度节点的牵引∈ D o指数β服从幂律∈ [2，3]，即md=κd-β、式中，κ=（Pd∈Dd公司-β）-1是归一化常数。我们考虑该模型的主要动机是，指数为3的幂律度分布网络（通常在区间[2，3]）出现在广泛的设置中，尤其是在Barab\'asi-Albert（BA）优先依恋模型下[40]。在比较平衡阈值之前，我们首先获得了基于阈值的社会状态的稳态感染概率的界限。

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2022-5-31 06:56:28

设xt为社会状态，xt为未受保护节点的数量，其中t度最大的所有节点均不受保护，t度严格大于t的所有节点均接种疫苗，即xt，U：={md，md，…，mt，0，…，0}。（18）对于指数为β的幂律分布，在该社会状态下，一个随机选择的邻居在末态受到影响的概率用vβ（xt）表示；vβ（xt）满意度1=tXi=dimihdi（δ+ivβ（xt））=κhditXi=diβ-2（δ+Ⅳβ（xt））。（19）我们首先获得以下界限。引理2：考虑具有指数β幂律分布的网络∈ [2，3]。让阈值t足够大，使vβ（xt）>0。那么，t- dBt公司- d≤tvβ（xt）δ+tvβ（xt），（20），其中B=exp（δhdiκ）。此外，如果β=3且d>1，则tv（xt）δ+tv（xt）≤t型- （d）- 1）英国电信- d+1。（21）通过使用适当的积分来限定（19）中的总和，从而得出结果。证明见附录B。现在，我们应用上述边界来说明均衡阈值是如何作为疫苗接种成本c的函数的。命题5：考虑指数为β的幂律度分布网络上的疫苗接种博弈∈ [2，3]。设dw（c）表示接种成本为c且权重函数为w时的均衡阈值。然后，dw（c）≤ 最小值D、 1+D+D（B- 1） 1个- w-1（c）.证明：让xw（c）表示PNE社会状态。假设DW（c）≥ d+1；否则，结果就微不足道了。重新调用（18），即所有节点都达到degreedw（c）的社会状态- 1不受保护，用xdw（c）表示-根据gLemma 1，我们有v（xw（c））>v（xdw（c）-1）。

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2022-5-31 06:56:33

从引理2中PNE和（20）的定义，我们得到了≥ w（dw（c）- 1） v（xdw（c）-1） δ+（dw（c）- 1） v（xdw（c）-（1）==> w-1（c）≥dw（c）- 1.- dBdw（c）- 1.- d==> 1.- w-1（c）≤ 1.-dw（c）- 1.- dBdw（c）- 1.- d=d（B- 1） dw（c）- 1.- d==> dw（c）- 1.- d≤d（B- 1） 1个- w-1（c）。结果成立，因为最大阶数为D。请注意，上面得到的上边界不依赖于幂律指数β，只要β∈ [2，3]。此外，当接种成本c增加到1时，均衡接种阈值的界限增加，并且与1成反比- w-1（c）。特别是，作为c→ 1、高概率低估影响w-1（c）>c。因此，1- c>1- w-1（c），阈值上的界在概率加权下更高，这与命题4的观察结果一致。在指数β=3的特殊情况下，以下结果得到了非线性和真实概率感知下平衡阈值比率的严格界限。命题6：考虑指数β=3且d>1的幂律分布网络。对于疫苗成本c，将真实和感知期望最小值下的均衡阈值表示为dt（c）和dw（c）。那么，dw（c）dt（c）=Θ1.- c1类- w-1（c）.证明：首先，我们考虑真实期望极小下的PNE。按照命题5，我们有dt（c）- 1.- d≤d（B- 1） 1个- c、在引理2的第二部分之后，我们现在得到了dt（c）的下界。设xt（c）为具有真期望极小值的Pnew处的社会状态。由于在社会状态xdt（c）下，所有具有degreeat most dt（c）的节点都未受保护，因此我们有xt（c） xdt（c），和下面的引理1，v（xt（c））≤v（xdt（c））。

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2022-5-31 06:56:35

从PNE的定义出发，结合引理2中的（21），我们得到了C≤dt（c）v（xdt（c））δ+dt（c）v（xdt（c））≤dt（c）- （d）- 1） Bdt（c）- d+1==> 1.- c≥ 1.-dt（c）- （d）- 1） Bdt（c）- d+1=（d- 1）（B）- 1） dt（c）+1- d==> dt（c）+1- d≥（d）- 1）（B）- 1） 1个- c、根据上述计算，我们得到dt（c）=Θ（（1-c）-1）。根据非线性概率加权（16）下PNE的定义，并重复上述论点，我们得到了dw（c）=Θ（（1- w-1（c））-1）。证据到此结束。因此，引理2中（21）中的upp e r界使我们能够在指数tβ=3的特殊情况下得出更明确的结果。回想假设1，w′（1-）→ ∞as→ 因此，作为c→ 1.1.-c1类-w-1（c）→ ∞. 因此，在指数为3的幂律度分布网络中，概率加权下的阈值明显高于真实经验最小值下的阈值→ 换言之，当疫苗接种成本接近感染成本时，概率过低会导致即使是高度节点也无法接种疫苗。因此，网络很容易受到流行病传播的影响。我们的研究结果强调了将决策者的行为偏差纳入其中的重要性；否则，我们可能会严重低估人群中的流行病风险。六、 PNE的社会优化和低效为了描述PNE的低效性，我们考虑中央当局决定接种哪些疫苗（即社会状态）以最小化社会成本的情况。我们首先表明，社会最优疫苗接种政策也具有与PNE类似的阈值属性。我们将社会状态x下的社会成本定义为ψ（x）：=Xd∈DXa公司∈Axd，aJd（a，x）=Xd∈Dxd，Udv（x）δ+dv（x）+（md- xd，U）c= c+Xd∈Dxd，Udv（x）δ+dv（x）- c, （22）sincePd∈Dmd=1。

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2022-5-31 06:56:38

从上述第二个等式中注意到，社会成本由两项组成；第一个是在第十四种状态下感染的淋巴结的预期比例，第二个是疫苗接种的标准化成本。此外，社会成本是所有人群的总真实预期成本，即中央当局没有行为偏差。以下结果表明，社会最优疫苗接种政策遵循阈值行为。提议7：让y*∈ argminx∈Xψ（X）。假设存在一个度d′，使得y*d′，U<md.然后，y*d、对于每个d>d′，U=0。证明：注意ψ（x）在x中是连续的；当v（x）为Nonzer o时，它在（5）之后的x中是连续的。因此，y*存在。相反，假设存在度d和d，d<d，如y*d、 U<M和y*d、 U>0。我们现在以较小的社会成本构建一个社会国家。Le t0<<最小值（y*d、美国马里兰州- y*d、 U）。我们定义了yd，U=y*d、如果d=dy，则为U+*d、 U型- 如果d=d，y*d、 U其他方面。（23）换句话说，在y中，与y相比，接种degreedare的节点的fr作用更小，接种degreedare的节点的fr作用更大*.在比较y的社会成本之前*并且，我们首先确定v（\'y）<v（y*). 假设不是，而是V（\'y）≥ v（y*). 从（5）中，我们得到hdi=Xd∈Ddy公司*d、 Uδ+dv（y*)=Xd公司∈Dd'yd，Uδ+dv（'y）≤Xd公司∈Dd'yd，Uδ+dv（y*)==>Xd公司∈Dd（y*d、 U型- (R)yd，U）δ+dv（y*)≤ 0个==>-dδ+dv（y*)+dδ+dv（y*)≤ 0，从（23）==> d（δ+dv（y*)) ≤ d（δ+dv（y*))==> δ（d- d） +ddv（y*)（d）- d）≤ 0，这是一个矛盾，因为d>d，左手边是严格正的。因此，我们有v（(R)y）<v（y*).现在我们计算差值ψ（(R)y）- ψ（y*) asXd公司∈D？yd，Udv（\'y）δ+dv（\'y）- c-Xd公司∈Dy公司*d、 U型dv（y*)δ+dv（y*)- c<Xd公司∈D（(R)yd，U- y*d、 U）dv（y*)δ+dv（y*)= dv（y*)δ+dv（y*)-dv（y*)δ+dv（y*)< 0，其中第一个不等式是v（(R)y）<v（y）的结果*)andPd∈D？yd，U=Pd∈Dy公司*d、 U（在（23）之后）。第二个不等式成立，因为d>d。

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2022-5-31 06:56:41

这正好相反*是社会最优的社会状态。上述结果表明，中央当局也会选择对高度节点进行接种，并使高度节点不受保护。此外，处于社会最优状态的未受保护节点的种群状态具有与（10）相似的结构。尽管在结构上与命题2有这种相似性，但我们表明，在真实期望极小值下，与命题2相比，在更大比例的节点上，接种疫苗的节点处于一个特定的最优状态，并且当≥ w（c）。根据命题2和命题7，我们可以表示PNE和soc上未受保护节点的数量*U： ={m，m，…，xdx，0，…，0}，y*U： ={m，m，…，ydy，0，…，0}，其中xdx∈ （0，mdx）和ydy∈ （0，mdy）。我们在x之间有以下关系*U和y*U、命题8：让参与者是真期望最小值或接种成本和非线性概率加权函数满足c≥ w（c）。让社会状态处于最佳状态，社会最优状态为x*和y*. 然后，y* x个*,或等效地，dy<dx或dy=dx和ydy≤ xdx。证明：我们证明了TrueExpection极小化下平衡的结果。非线性概率加权的结果来自命题4。为了更好的可读性，我们在校样中去掉了上标。相反，假设x y、在引理1之后，我们有v（y）>v（x）；回想一下，v（x）是指随机选择的n e ighbor感染的概率。L et公司y：=yU-xU>0（不均匀性为成分方面）表示在社会最优y未受保护，但在PNE接种的节点的数量。

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2022-5-31 06:56:44

我们计算了PNE的社会成本差异和社会最优值ψ（x）- ψ（y），asXd∈Dxd，Udv（x）δ+dv（x）- c-Xd公司∈Dyd，Udv（y）δ+dv（y）- c=Xd公司∈Dxd，Udv（x）δ+dv（x）-dv（y）δ+dv（y）-Xd公司∈Dyd，Udv（y）δ+dv（y）- c< -Xd公司∈Dyd，Udv（y）δ+dv（y）- c. （24）仍需证明（24）中的右侧为负数，这将与y的最优性相矛盾。我们考虑以下三种详尽的情况。情况1：dy=dx，ydy>xdx。在这种情况下，我们必须有xdx<mdx。然后，根据PNE（7）和（8）的定义，我们得到c=dxv（x）δ+dxv（x）<dxv（y）δ+dxv（y）。此外y={0，…，0，ydy-xdx，0，本例中为0}。因此，（24）中的表达式为负数。情况2：dy>dx，xdx=mdx。此处，在PNE（即c）处，没有一个degreestrictly大于dx的节点保持不受保护≤d′v（x）δ+d′v（x）<d′v（y）δ+d′v（y），对于每个d′>dx。此外，在这种情况下，y={0，…，0，mdx+1，…，ydy，0，…，0}。因此，在这种情况下，（24）中的表达式也是负数。情况3：dy>dx，xdx<mdx。根据前两种情况的类似原因，我们可以得出以下结论：c<d′v（y）δ+d′v（y）代表每个d′≥ dx。相应地，（24）中的表达式是否定的。因此，我们有了想要的矛盾。因此，上述结果表明，在分散决策（即节点展示搭便车行为）下，无需再进行重复评估。相关文献（如[19,22,38]）也表明，PNE在各自的网络安全游戏设置中是不够的。我们在命题8中的结果与这些结果类似。此外，当疫苗接种成本足够高时，即使在行为概率加权下，Pr-Position8也成立。

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2022-5-31 06:56:47

虽然比较一般网络和概率权重函数中分散决策和集中决策下的社会成本是一个挑战，但我们证明了真期望极小化的社会成本差的上界。命题9：让规划者成为真正的期望最小化者。让PNE的社会状态和社会运行时间为x*和y*, 分别地那么，ψ（x*) - ψ（y*) ≤hdiδ。证据：我们去掉了上标* 从社会状态来看，具有更好的可读性。从位置8，我们知道y x、那么，我们有v（y）≤ 引理1之后的v（x）。允许x：=xU-于≥ 0（各成分的不平等性）表示在社会最优状态接种疫苗的节点数量，但在PNE状态下不接种。我们现在计算ψ（x）- ψ（y）=Xd∈D（yd，U+xd，U）dv（x）δ+dv（x）- c-Xd公司∈Dyd，Udv（y）δ+dv（y）- c=Xd公司∈Dyd，Udv（x）δ+dv（x）-yd，Udv（y）δ+dv（y）+xd，Udv（x）δ+dv（x）- c≤Xd公司∈Dyd，Udv（x）δ+dv（x）-dv（y）δ+dv（y）（25）≤Xd公司∈Dδyd，Ud（v（x）- v（y））（δ+dv（y））≤Xd公司∈Dmddδ=hdiδ，（26），其中（25）来自PNE（7）的定义，以及（26）中的自v（y）起保持的特性≤ v（x），v（x）≤ 1，v（y）≥0和yd，U≤ 医学博士，d∈ D、虽然上界不一定很紧，但它提供了一个重要的见解：分散和集中决策下的社会成本差异的增长速度并不超过网络的平均程度。七、数值说明我们现在通过数值示例说明一些理论发现。我们考虑指数为3且D={1，2，…，100}的幂律度分布网络。我们选择固化速率δ=2。我们利用阈值性质和候选社会状态的特征来计算PNEand和social最优社会状态。所有计算均在MATLAB中进行。我们首先比较预照明参数α（方程式（1））不同值的PNE阈值。

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2022-5-31 06:56:50

重新调用注意xd，U>0，仅当d阶节点中的非零部分仍不受保护时。对于此类节点，流行状态下的感染概率必须最多为疫苗接种成本c。α=1对应于真实期望极小值，α值越小，则意味着低概率和高概率的过度和低估程度越高。图2a显示，对于高达0.5的疫苗接种成本，真实和行为概率感知下的PNEthresholds几乎相同。当c增加到1时，非线性概率加权下的阈值比真实期望最小值下的阈值高得多，这证实了我们在概率s 4和6中的发现。尽管PNE阈值在接种成本高达0.5的情况下基本相同，但对于不同的α值，无保护节点的数量有很大不同。如命题4所示，对于c<e，在行为概率权重下接种的节点比例大于真实期望最小值，反之亦然。这可以在图2b中观察到，图2b显示了PNE中感染节点的预期比例（即数量∈当c<e时，对于较小的α值，Dxd，Udv（x）δ+dv（x））较小，反之亦然。此外，作为c→ 1，PNE的预期感染nodessaturates分数。这是因为度数大于10的节点的总比例可以忽略不计（0.003），超过这一水平的疫苗接种率增加对疫情传播的影响有限。另一方面，在社会最优条件下，预期的感染节点比例可以忽略不计，并且随着疫苗接种成本的增加，只会略有增加。我们观察到，与PNE相比，在特定时期，整个c范围内的接种阈值为1（接种1度节点的比例不容忽视）。

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2022-5-31 06:56:53

最后，图2c比较了各自的社会成本。没有证据表明，在社会最优状态下，社会成本主要由疫苗接种成本决定，而在均衡状态下，ψ主要由受感染节点的预期感染率决定。八、结论我们调查了人类决策者在凋亡博弈中针对网络化SI s流行病的分散接种决策。我们首先建立了阈值平衡的存在性和唯一性，这里只有度数大于接种阈值的节点，度数小于阈值的节点仍然不受保护。然后，我们证明，如果接种成本大于依赖于概率权重函数的数量，那么行为偏差会导致接种节点数量减少，反之亦然。此外，无论网络拓扑如何，这个结果都成立。然后，我们得到了一类度分布服从幂律的网络在概率的非线性真实感知下的接种率的紧界。最后，我们分析了社会最优疫苗接种政策。当节点将概率视为其真实值时，我们表明，与社会最优接种政策相比，无des接种ata PNE的数量更少，并且社会成本的差异由网络平均程度的数量比例上界。

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