我们通过χ=0和χkt（xt）=infx定义χ=（χkt）∈ψkt（xt）（t-1Xs=0φks（x）s（xs）+（H·x）t；那么k的jtk上的χktis凹≥ 1作为职能的一部分。我们首先表明{χkt=+∞} nφk′t-1=+∞o∪ {χk′t-1=+∞}.尤其是，此类点仅存在于φkt（xt）=∞. 假设χkt（xt）=+∞ 和k≥ 1，则XT的前置路径与所有Jktupto t的前置路径一致- 1，但{Pt-1s=0φks（x）s（xs）<∞} 必须保持M（u）-q.s.为φ∈ Lc，g（u）。因此，我们必须有xt∈ 它然后，通过定义，χt（xt）=χkt-1（xt）+φkt-1（xt），权利要求如下。接下来，我们验证χ满意度（4.2）和（4.3）。为了便于注释，我们现在设置χn+1≡ infx公司∈VnPns=0φks（x）s（xs）+（H·x）no≥ 0、将χ的定义上限限制为一组路径x，其中xt+1=xt∈ It+1k′∩ Jtkyieldsχt+1（xt）=χk′t+1（xt）=infx∈ψk′t+1（xt）（tXs=0φks（x）s（xs）+（H·x）t+1）≤ infx公司∈ψkt（xt）（t-1Xs=0φks（x）s（xs）+（H·x）t）+φkt（xt）=χkt（xt）+φkt（xt）。自从∪k′≥0It+1k′=R，在我们检查χkt>-∞ 叉≥ 1和χt>-∞ 保持ut-a.s.，这也意味着χt>-∞ 保持ut-1-几乎可以肯定。我们对t进行归纳≥ 1、明确χn+1≥ 0>-∞. 现在，对于t≤ n归纳假设是χt+1>-∞ 几乎可以肯定地从φ保持ut∈ Lc，gandχt+1>-∞ ut-a.s.我们有φkt<∞, χt+1>-∞ 将ukt-a.s.保持为χktis凹，Jktis为uktwe拓扑支撑的凸包，然后得到χkt>-∞ 在所有的jktf上，从前面的不等式。当k=0时，不等式产生{χt=-∞}  {χt+1=-∞}∪{φt（xt）=∞} 这两组都是utnullsets。最终ut-1（{χt=-∞}) = 0是对角线分量的子集，其中ut-1以ut为主。Set'φkt：=φkt+χkt-χt+1 | Jtkfor 0≤ t型≤ n然后是φkt≥ 此外，选择任意P∈ M（u），崩解P=u κ · · ·  κn一些随机核κt（x，…，xt-1，dxt）。

从引理4.16我们知道u（φ）=P“nXt=0φkt（X）t（Xt）+（H·X）n#<∞.因此，我们可以将Fubini的核定理应用于Lemma 4.16的证明中的表达式0≤nXt=0φkt（x）t（xt）+（H·x）n=nXt=0φkt（x）t（xt）+nXt=1χt（xt-（1）- χkt（x）t（xt）+ （H·x）nand获得“nXt=0φkt（x）t（Xt）+（H·x）n#=nXt=0Xk≥0ukt（(R)φkt）+nXt=1Xk≥1（ut-1.- ut）k（χkt），表明右侧是有限的，因此χ是φ的凹面慢化剂。最后，第二项权利要求源自ukt（(R)φkt）≥ 我们的封闭性结果的最后一个工具是凹函数在一步情况下的紧性；参考【10，提案5.5】。提案4.20。Letu≤cν与dom-ain（I，J）和leta不可约∈ 我是u和ν的公共重心。Letχm:J→ R是凹函数，使得χm（a）=χ′m（a）=0和supm≥1（u- ν） （χm）<∞.存在一个子序列χmk，它将点tw ise收敛到一个凹函数χ：J→ R、 和（u- ν） （χ）≤ lim infk（u- ν） （χmk）。我们现在准备陈述并证明命题4.10在广义对偶中的相似性。提案4.21。Let fm:Rn+1→ [0，∞], m级≥ 1是一系列功能，以便→ f点宽度和宽度（φm，Hm）∈ Dgu（fm）应确保supmu（φm）<∞. 然后存在（φ，H）∈ Dgu（f）带u（φ）≤ lim信息→∞u（φm）。证据自（φm，Hm）∈ Dgu（fm）和fm≥ 0，我们可以在引理4.19中引入一系列凹慢化剂χmas。引理4.13（i）和（ii）中（φm，Hm）的归一化，以注释4.14的一般形式，允许我们在不损失一般性的情况下假设χt，m≡ 0和χkt，m（akt）=（χkt，m）′（akt）=0，其中aktis是ukt的重心。该修正是广义对偶空间的主要升力。虽然广义对偶有足够的自由度来选择这种归一化，但没有广义的对偶则没有。

这与不同时间t的间隔I、J可能重叠有关；另请参见图2和示例3.2之前的段落。通过对每个分量传递命题4.20中的子序列，并使用对角参数，我们得到逐点极限χkt:Jtk→ R表示χkt，mafter传递到另一个子序列。自φkt，m+χkt，m-χt+1，m≥ Jtkandχkt上的0，m→ χkt以及χt+1，m→χt+1，我们可以应用Komlos引理（以[15，引理A1.1]及其备注的形式）来寻找凸组合|φkt，m∈ conv{φkt，m，φkt，m+1，…}对于0，其收敛ukt-a.s≤ t型≤ n、 我们可以在不失去一般性的情况下假设▄φkt，m=φkt，m。因此，我们可以设置φkt：=lim supφkt，mon jtkfort=1，n、 φ：=lim infφ0，mTo be specific，让我们把χ′mis作为左导数，这并不重要。观察这个不等式在修改φ和χ后仍然成立，如引理4.13所示。取φkt，m→ φktukt-a.s.和φkt+χkt- χt+1≥ Jtk上的0。现在我们可以应用Fatou引理和命题4.20来推断u（φ）=nXt=0Xk≥0ukt（φkt+χkt- χt+1）+nXt=1Xk≥1（ut-1.- ut）k（χkt）≤nXt=0Xk≥0lim infukt（φkt，m+χkt，m- χt+1，m）+nXt=1Xk≥1lim inf（ut-1.- ut）k（χkt，m）≤ lim infnXt=0Xk≥0ukt（φkt，m+χkt，m- χt+1，m）+nXt=1Xk≥1（ut-1.- ut）k（χkt，m）= lim infu（φm）<∞.特别是，我们看到φ∈ Lc，g（u），带凹面慢化剂χ。仍然需要构造可预测的过程H=（H，…，Hn）。在轻度滥用符号的情况下，我们将用（x，…，xt）的相应函数来识别Ht（x，…，xn）-1） 在这个证明中。我们首先定义k=（k，…，kt）和x=（x，…，xt），使k=k（x），函数Gkt，mand GktbyGkt，m（x）：=tXs=0φkss，m（xs）+tXs=1Hs，m（x，…，xs-1） ·（xs- xs型-1） ，Gkt（x）：=lim inf Gkt，m（x）。给定k=（k，…，kt），我们写k′=（k，…，kt-1） 。我们声称存在一个F-可预测过程H，对于所有1≤ t型≤ n、 Gk′t-1（x，…，xt）-1） +φktt（xt）+Ht（x。

，xt公司-1） ·（xt-xt公司-（1）≥ Gkt（x，…，xt）。（4.4）一旦建立了这一点，命题后面会有归纳法，因为G（0）（x）=φ（x）和Gkn（x，…，xn）≥ f（x，…，xn）。为了证明这个说法，写下函数g的凹壳的gconc，并观察lim inf[Gk′t-1，m（x，…，xt）-1） +Ht，m（x，…，xt）-1） ·（xt- xt公司-1） ]≥ lim inf[（Gkt，m（x，…，xt-1，·）- φktt，m（·））conc（xt）]≥ [lim inf（Gkt，m（x，…，xt-1，·）- φktt，m（·）]conc（xt）≥ [Gkt（x，…，xt-1，·）- φktt（·）]conc（xt）=：φkt（x，…，xt-1，xt）。通过构造，^φktis在最后一个变量中是凹的，s atis fiesgk′t-1（x，…，xt）-（1）≥φkt（x，…，xt）-1，xt-1） 。允许t^φkt表示最后一个变量的左偏导数，并设置hkt（x，…，xt-1） ：=t^φkt（x，…，xt-1，xt-1） 对于kt≥ 1和Hkt（x，…，xt-1） =0表示kt=0；那我们就有了-1（x，…，xt）-1） +Hkt（x，…，xt）-1） ·（xt- xt公司-（1）≥φkt（x，…，xt）-1，xt-1） +Hkt（x，…，xt）-1） ·（xt- xt公司-（1）≥φkt（x，…，xt）-1，xt）≥ Gkt（x，…，xt）- φktt（xt）。最后，对于任何（x，…，xt-（1）∈ Rt，我们定义Ht（x，…，xt-1） as（Hkt（x，…，xt-1） ，如果k=k（x，…，xt-1，xt）对于某些xt∈ R0，否则；这是明确的，因为k（x，…，xt）仅取决于（x，…，xt-1） 。可预测过程满足（4.4），因此证明是完整的。命题4.10的证明。鉴于备注4.15和命题4.17，结果来自命题4.21.5对偶定理和单调性原则。本节的第一个目标是多步鞅输运问题的对偶结果；它确定了对偶问题中不存在对偶缺口和优化器的存在。

（众所周知，原问题的优化器只在附加条件下存在，如f的连续性。）第二个目标是描述最优运输几何的单调性原则；这将是双重结果的结果。如上所述，我们考虑一个凸阶边缘向量u=（u，…，un）。主要问题和双重问题如下。定义5.1。设f:Rn+1→ [0，∞]. 主要问题isSu（f）：=支持∈M（u）P（f）∈ [0，∞],式中，如果f不可测，则P（f）表示外积分。双重问题isIu（f）：=inf（φ，H）∈Du（f）u（φ）∈ [0，∞].我们记得函数f:Rn+1→ [0，∞] 称为集合{f的上半解析≥ c} 都是解析f或c∈ R、 其中，Rn+1的子集是波莱尔映射下波兰空间的波莱尔子集的图像，则为缩放分析。任何Borel函数都是上半解析函数，任何上半解析函数都是普适可测函数；我们参考【11，第7章】了解背景。下面是公布的二元性结果。定理5.2（对偶性）。设f:Rn+1→ [0，∞].（i） 如果f是上半解析的，则Su（f）=iu（f）∈ [0，∞].（ii）如果Iu（f）<∞, 存在一个双优化器（φ，H）∈ Du（f）。证据鉴于我们之前的结果，大部分证明遵循了[10，定理6.2]中一步情况下相应结果的路线；因此，我们将简明扼要。我们提到，就可测性条件而言，本定理比所引用的定理更一般（f是上半解析的，而不是Borel）；这要归功于Givenher的全球证明。第1步。使用引理4.8，我们可以看到Su（f）≤ Iu（f）适用于所有上部半连续f:Rn+1→ [0，∞].第2步。

使用德拉瓦莱-普桑定理和我们的假设，即边缘有一个有限的第一时刻，存在递增的超线性增长函数ζut:R+→ R+这样x 7→ ζut（| x |）对于所有0是ut-可积的≤ t型≤ n、 定义ζ（x，…，xn）：=1+nXt=0ζut（| xt |），并设Cζ为所有连续函数f的向量空间，使得f/ζ在单位处消失。然后，可以使用Hahn–Banach分离参数来表示Su（f）≥ Iu（f）适用于所有f∈ Cζ；论证的细节与[10，引理6.4]的证明相同。第3步。设f b e有界且上半连续；然后存在一个有界连续函数序列fm∈ Cb（Rn+1），按点递减为f。作为Cb（Rn+1） Cζ，在前两步中，所有m的Su（fm）=Iu（fm）。设U是Rn+1上所有有界、非负、上半连续函数的集合。我们回忆起地图C：[0，∞]注册护士+1→ [0，∞] 如果它是单调的，在[0]上连续的，则称为aU容量，∞]Rn+1并在U上按顺序向下连续。功能f 7→ Su（f）是U-容量；这源于M（u）的弱紧性和[34，命题1.21，1.26]中的论证。因此Su（fm）→ Su（f）。f 7的单调性→ Iu（f）和步骤1，我们得到Iu（f）≤ lim Iu（fm）=lim Su（fm）=Su（f）≤ Iu（f）。第4步。由于步骤3中U上的Su=Iu，Iu在U上顺序向下连续，就像Su一样。另一方面，命题4.10意味着它在[0]上连续向上，∞]Rn+1。因此，Iu是aU容量。第5步。设f:Rn+1→ [0，∞] 是上半解析的。对于任何电容C，Choquet的电容定理表明C（f）=sup{C（g）：g∈ U、 g级≤ f} 。由于Su和Iu是U上重合的U电容，因此Su（f）=Iu（f）。这就完成了（i）的证明。第6步。

为了确定如果Iu（f）是有限的，那么就可以得到Iu（f）的上限，我们需要应用命题4.10中的常量序列fm=f。我们可以轻松放宽f的下限。备注5.3。设f:Rn+1→ (-∞, ∞] 假设存在φ∈Qnt=0L（ut），且可预测的过程H使F≥nXt=0φt（Xt）+（H·X）非V。然后我们可以将定理5.2应用于[f-Pnt=0φt（Xt）- （H·X）n]+并获得其对f的类似断言。对偶结果根据经典输运理论中的循环单调性条件，给出了描述最优鞅输运支持的单调性原理。下面推广了[8，引理1.11]和[10，推论7.8]对于一步鞅输运问题的结果。定理5.4（单调性原理）。设f:Rn+1→ [0，∞] 假设Su（f）<∞. 存在Borel集Γ Rn+1具有以下特性。（i） A度量值P∈ M（u）集中在Γ上，当且仅当它最适合于Su（f）。（ii）设u=（u，…，un）为凸序边缘als的另一个向量。如果“P”∈ M（°u）集中在Γ上，那么对于S（f）而言，P是最佳的。的确，如果（φ，H）∈ Du（f）是Iu（f）的优化器，那么我们可以取Γ：=（nXt=0φt（Xt）+（H·X）n=f）∩ 五、 证明。Su（f）<∞, 定理5.2表明，Iu（f）=Su（f）<∞ 存在一个双重优化器（φ，H）∈ Du（f）。特别是，我们可以如上所述。（i） 作为0≤ f和P（f）≤ Su（f）<∞ 对于所有P∈ M（u），我们看到fis P-可积所有P∈ M（u）。sincept=0φt（Xt）+（H·X）n≥ 在有效域V上为0，且P[Pnt=0φt（Xt）+（H·X）n]=u（φ）=Iu（f）<∞通过引理4.8，我们还得到了NT=0φt（Xt）+（H·X）n的P-可积性≤ P“nXt=0φt（Xt）+（H·X）n- f#=u（φ）- P（f）=Su（f）- P（f）和等式成立的充要条件是P集中在Γ上。（ii）我们可以假设“P”是一个概率测度，其中“P（f）<∞.

作为第一步，我们表明M（(R)u）的有效域V是M（u）的有效域V的子集。为此，有必要证明如果1≤t型≤ n和x∈ R为uut-1（x）=uut（x），然后是uut-1（x）=u？ut（x），如果+uut-1（x）=+uut（x），然后+uut-1（x）=+u？ut（x），左导数也是如此-（参见提案2.3）。实际上，对于t和x，uut-1（x）=uut（x），我们假设 V表示Γ （Xt）-1，Xt）-1.(-∞, x]∪ [x，∞).同时使用E'P[Xt | Ft-1] =Xt-1且“P”集中在Γ，u”ut上-1（x）=E'P[| Xt-1.- x |]=E'P[（Xt-1.- x） 1Xt-1.≥x] +E'P[（x- Xt公司-1） 1Xt-1.≤x] =E'P[（Xt- x） 1Xt-1.≥x] +E'P[（x- Xt）1Xt-1.≤x] =E'P[| Xt- x |]=所需的u？ut（x）。如果另外+uut-1（x）=+uut（x），然后Γ V表示Γ （Xt）-1，Xt）-1.(-∞, x]∪ （十），∞).由于P集中在Γ上，因此+uut-1（x）=P[Xt-1.≤ x]-\'\'P[Xt-1> x]=(R)P[Xt≤ x]-\'\'P[Xt>x]=+u？ut（x）根据需要。相同的参数可用于左导数，我们已经证明了'V 五、 考虑到该包含项，不等式=0φt（Xt）+（H·X）n≥ 因为P集中在Γ上，\'P“nXt=0φt（Xt）+（H·X）n#=P（f）<∞.我们可以遵循引理4.19证明中的论点来构造一个调节子χ，并证明（φ，H）∈ Dg？u（f），其中我们隐式使用注释4.15中详述的嵌入项。（注意引理4.19的证明使用了条件（φ，H）∈ Dg？u（0）仅用于建立？P【Pnt=0φt（Xt）+（H·X）n】<∞. 在目前的情况下，后者是先验的，不需要条件。）然后，我们可以修改提案4.17中的χas，以查看（φ，H）∈ D？u（f）。

因此，我们可以应用引理4.8来获得‘P（f）=‘P’nXt=0φt（Xt）+（H·X）n#=’u（φ），而对于任何其他P′∈ M（|u）我们有p′（f）≤ P′“nXt=0φt（Xt）+（H·X）n#=(R)u（φ）=P（f）。这表明∈ M（(R)u）是最佳值。6左单调传输在本节中，我们定义了通过阴影性质的左单调传输，并证明了它们的存在性。6.1准备工作在讨论n步情况之前，我们回顾了关于左单调传输（也称为左帘耦合）的一步版本的基本定义和结果。第一个概念是所谓的阴影，将其定义为度量值u将非常有用≤pcν为正凸序，表示u（φ）≤ 对于任何非负凸函数φ，ν（φ）。显然，这个阶比凸阶u弱≤值得注意的是，u的质量可能比ν小。下面是[8，引理4.6]的结果。引理6.1。Letu≤pcν。然后是setJu；νK：={θ：u≤cθ≤ ν} 非空且包含唯一的最小元素Sν（u）对于凸阶：Sν（u）≤cθ表示所有θ∈ Ju；νK。度量Sν（u）称为ui nν的阴影。ul最好记住以下图片：如果u是Diracmeasure，则其在ν中的阴影是质量和重心相等的度量θ，chosensuch使方差最小，受约束θ的约束≤ ν。第二个概念是一类奖励函数。定义6.2。一个Borel函数f:R→ R称为二阶Spence–Mirrlees，如果y 7→ f（x′，y）- 对于任何x<x′，f（x，y）是严格凸的。我们注意到，如果f是充分可微的，这可以表示为交叉导数条件fxyy>0，也被称为鞅Spence–Mirrlees条件，类似于经典Spence–Mirrleescondition fxy>0。在一步情况下，左单调输运是唯一的，可以被描述为：；查阅

[8，定理4.18，4.21，6.1]，其中该传输称为左帘耦合，以及[37，定理1.2]f或所述一般性中的第三等效性。提案6.3。Letu≤cν和P∈ M（u，ν）。以下g是等效的：（i）对于所有x∈ R和A∈ B（R），P[(-∞, x] ×A]=Sν（u|(-∞,x] ）（A）。（ii）P i s集中于Borel集Γ R正在优化（x，y-), （x，y+，（x′，y′）∈ Γ，x<x′=> y′/∈ （y）-, y+。（iii）P是Su，ν（f）的优化器，用于部分（然后是全部）f:R→ R二阶Spence–存在函数∈ L（u），b∈ L（ν）带| f（x，y）|≤ a（x）+b（y）。存在唯一度量值“P”∈ M（u，ν）满足（i）–（iii），P称为（一步）左单调输运。如果u是一个离散度量，则可以理解（i）中的特征如下：左单调传输'P从左到右处理u的原子，将每个原子映射到剩余targetmeasure中的阴影。接下来，我们再记录两个关于阴影的结果，这些结果将在下面使用。第一个，引用自【9，定理3.1】，概括了上述观点，即原子仍然映射到其阴影，但可以按任何给定顺序进行处理；在一般（非离散）情况下，该阶数由从均匀测度到u的耦合π确定。提案6.4。Letu≤cν和π∈ ∏（λ，u），其中λ表示[0，1]上的Lebesguemeas ure。然后存在唯一度量Q∈ π（λ，u，ν）在r上，如Qo （X，X）-1=π和q |[0，s]×R×Ro （X，X）-1.∈ M（πs，sν（πs）），s∈ R、 其中πs：=π|[0，s]×Ro （十）-我们还需要以下关于阴影的事实。引理6.5。（i） 设u，u，ν为满足u+u的有限度量≤pcν。然后u≤pcν- Sν（u）和Sν（u+u）=Sν（u）+Sν-Sν（u）（u）。（ii）设u，ν，ν为有限的度量，使得u≤pcν≤cν。然后，Sν（u）≤pcν。此外，Sν（Sν（u））=Sν（u）当且仅当Sν（u）≤cSν（u）。证据第（i）部分是【8，定理4.8】。

为了获得（ii）中的第一句话，我们观察到Sν（u）≤ ν≤cν和henceSν（u）（φ）≤ ν（φ）≤ 对于任何非负凸函数φ，ν（φ）。关于第二种说法，“只有当”的含义直接来自于表6.1中阴影的定义。要显示反向含义，假设Sν（u）≤cSν（u）。那么，我们有u≤cSν（u）≤cSν（Sν（u））≤ ν和Sν（u）≤cSν（u）≤ ν。这些不等式意味着Sν（Sν（u））∈ Ju；νK和Sν（u）∈ JSν（u）；νK，现在阴影的最小属性显示为sν（u）≤cSν（Sν（u））和Sν（Sν（u））≤cSν（Sν（u））=需要的Sν（u）。6.2构建多步左单调传输我们的下一个目标是定义和构建多步左单调传输。以下概念至关重要。定义6.6。Letu≤pcu≤c···≤cun.用于1≤ t型≤ n、 uinut通过u的遮挡阴影，ut-1由Su、…、，。。。，ut（u）：=Sut（Su，…，ut-1（u））。由于引理6.5（ii），遮挡阴影得到了很好的定义。以下描述提供了另一种定义。引理6.7。Letu≤pcu≤c···≤cunand 1≤ t型≤ n、 然后Su，。。。，ut（u）是setJu中唯一的最小元素；utKu，。。。，ut-1： ={θt≤ ut：θs≤ us，1≤ s≤ t型-1，u≤cθ≤c···≤cθt}表示凸阶；即Su，。。。，ut（u）≤cθ表示所有元素θ。证据对于t=1，这通过引理6.1中阴影的定义成立。对于t>1，我们归纳地假设Su，。。。，ut-1（u）是ju中的最小元素；ut-1Ku，。。。，ut-2、考虑任意元素θt∈ Ju；utKu，。。。，ut-1并固定一些u≤cθ≤c···≤cθt-1.≤cθtwithθs≤ us，1≤ s≤ t型- 1、那么θt-1.∈ Ju；ut-1Ku，。。。，ut-2尤其是Su，。。。，ut-1（u）≤cθt-1、回想一下Su，。。。，ut（u）被定义为≤cofJSu，。。。，ut-1（u）；utK={θ≤ ut:Su，。。。，ut-1（u）≤cθ} {θ≤ ut：θt-1.≤cθ} θt。因此，Su，。。。，ut（u）≤cθt和asθt∈ Ju；utKu，。。。，ut-1是任意的，这表明Su，。。。，ut（u）是Ju的最小元素；utKu，。。。，ut-1.

最小元素的唯一性来自于θt≤cθ和θt≤cθtimplyθt=θt。我们现在可以陈述本节的主要结果。定理6.8。设u=（u，…，un）为凸序。然后就有了SP∈ M（u），使得双变量投影P0t：=Po （X，Xt）-1满足性P0T[(-∞, x] ×A]=Su，。。。，ut（u|(-∞,x] ）（A）对于x∈ R、 A∈ B（R），适用于所有1≤ t型≤ n、 任何此类P∈ M（u）称为左单调传输。我们观察到，一个n步左单调迁移纯粹是通过其二元投影P定义的o （X，Xt）-1、在一步式情况下，这完全决定了运输。对于n>1，我们将看到可以有多个（然后是很多）左单调传输；事实上，它们形成了一个凸紧集。第8节将对此进行更详细的讨论，其中还将显示，如果uisatomless，则唯一性确实成立。定理6.8的证明。第1步。我们首先构造测度πt∈ ∏（λ，ut），0≤ t型≤ n使得πt |[0，u((-∞,x] ）]×Ro 十、-1=Su，。。。，ut（u|(-∞,x] ）适用于所有x∈ R、 以及测量Qt∈ ∏（λ，ut-1，ut），1≤ t型≤ n使qt |[0，u((-∞,x] ）]×R×Ro （X，X）-1.∈MSu，。。。，ut-1（u|(-∞,x] ），Su，。。。，ut（u|(-∞,x] （）（6.1）对于所有x∈ R、 实际上，对于t=0，我们取π∈ π（λ，u）为量化耦合。然后，将命题6.4应用于π，得到度量Q，我们可以定义π：=Qo （X，X）-1、归纳式地进行，将命题6.4应用于πt-1产生Qt，进而允许我们定义πt：=Qto （X，X）-1、步骤2。对于1≤ t型≤ n、 考虑崩解Qt=πt-1. κtof Qt。根据（6.1），我们可以选择κt（s，xt-1，dxt）是鞅核；即Zxtκt（s，xt-1，dxt）=xt-1保留f或所有（s、xt-（1）∈ R、 我们现在定义一个度量π∈ 通过π=π，Rn+2上的∏（λ，u，…，un） κ · · ·  κn.那么，π满足πo （X，Xt）-1=πt-1和πo （X，Xt，Xt+1）-1=1的QT≤ t型≤ n、 设置P=πo （X。

，Xn+1）-1得出定理。以下结果研究了左单调传输的双变量投影P0tof，并特别表明p0t可能与左限幅耦合不同，单位为M（u，ut）。提案6.9。设u=（u，…，un）为凸序，设P∈M（u）是左单调输运。以下是等效的：（i）二元投影P0t=Po （X，Xt）-1.∈ M（u，ut）对于所有1都是左单调的≤ t型≤ n、 （ii）边缘u满足u（u|(-∞,x] （）≤c···≤cSun（u|(-∞,x] ）适用于所有x∈ R、 （6.2）证明。给定u≤ u，引理6.5（ii）的迭代应用表明，遮挡阴影与普通阴影一致，即Su，。。。，ut（u）=1的Sut（u）≤ t型≤ n、 当且仅当Su（u）≤c···≤cSun（u）。命题如下，将此观察值应用于u=u|(-∞,x] 。下面的例子说明了这个命题，并表明（6.2）可能确实会失败。分位数耦合（或Fréchet–Hoe ffing耦合）由（F）定律给出-1λ，F-λ下的1u），其中F-1u是u的逆c.d.f。图3：左面板显示了示例6.10中对左单调传输pf的支持。右面板显示了对P（顶部）的支持和对左侧单调传输的支持，单位为M（u，u）（底部）。支架的构件由对角线表示。示例6.10。考虑边缘u=δ-1+δ，u=δ-2+δ，u=δ-4+δ+δ。然后，集合M（u）由单个传输P组成；参见图3的左面板。因此，P必然是左单调的。同样，P=Po （X，X）-1是M（u，u）的唯一元素。然而，P=Po （X，X）-1是吉文比δ(-1.-4） +δ(-1,0）+δ(-1,4）+δ（1，-4） +δ（1,0）+δ（1,4），而M（u，u）中唯一的左单调输运可以被发现为δ(-1.-4） +δ(-1,0）+δ（1，-4） +δ（1,0）+δ（1,4）。因此，不存在传输P∈ M（u），使得Pand-Pare-left单调，命题6.9表明（6.2）失败。备注6.11。

当然，我们关于左单调输运的所有结果都有“右单调”类似物，是通过在实线上反转方向获得的（即替换x 7→ -x无处不在）。7几何和最优性在这一节中，我们介绍了导言中宣布的运输的最优性及其支撑的几何性质，并证明它们等价地刻画了左单调运输。7.1 Spence–Mirrlees类型奖励函数的最佳传输几何第一个目标是表明特定奖励函数的最佳传输集中在集合上 Rn+1满足我们接下来介绍的某些无交叉条件。给定1≤ t型≤ n、 我们写Γt={（x，…，xt）∈ Rt+1：（x，…，xn）∈ Γ对于某些（xt+1，…，xn）∈ 注册护士-t} 对于Γ在第一个t+1坐标上的投影。定义7.1。LetΓ Rn+1和1≤ t型≤ n、 考虑x=（x，…，xt-1） ，x′=（x′…，x′t-（1）∈ R和y+，y-, y′∈ R带y-< y+，使得（x，y+，（x，y-), （x′，y′）∈ 那么，如果y′，则投影是左单调的/∈ （y）-, 每当x<x′，y+。集合Γ是左单调的如果所有1都是左单调的≤ t型≤ n、 我们还需要以下概念。定义7.2。LetΓ Rn+1和1≤ t型≤ n、 如果对于所有x=（x，…，xt），投影Γ是非退化的-（1）∈ R和y∈ R使得（x，y）∈ Γt，以下保持：（i）如果y>xt-1，存在y′＜xt-1这样（x，y′）∈ Γt；（ii）如果y<xt-1，存在y′>xt-1这样（x，y′）∈ Γt。集合Γ称为nondegenerateifΓtis nondegenerate for all 1≤ t型≤ n、 广义而言，这一定义表示，任何通往右翼的道路都存在通往左翼的道路，反之亦然。对于支持amartingale的集合，在以下意义上，非退化不是一个限制。备注7.3。

设u为凸序，V为其有效域，且Γ 五、 （i）存在一个非退化的、普遍可测的集合Γ′ Γ因此P（Γ′）=1表示所有P∈ M（u），P（Γ）=1。（ii）固定P∈ M（u），P（Γ）=1。存在一个非退化的、borelmeasureable集Γ′P 使得P（Γ′P）=1。Γ的这个术语是滥用的，因为Γ=Γ实际上是一个投影本身，它将从上下文中明确其含义。脚注11在此也适用。证据设Nt为所有x的集合∈ Γt参见第7.2节定义（i）或（ii）。如果P是P（Γ）=1的鞅，我们可以看到Nt×Rn-t+1为P-null。此外，nTi是普遍可测的（作为Borel集的投影），我们可以设置Γ′：=Γ\\n[t=1（Nt×Rn-t+1）证明（i）。转向（ii），普遍可测性意味着存在一个Borel集N′t N使N′t\\N为Pt-1-null，其中Pt-1=Po （X，…，Xt）-（1）-1、然后我们可以设置Γ′P：=Γ\\∪nt=1（N′t×Rn-t+1）。接下来，我们将按照[8，定义1.10]的思路介绍竞争对手的概念。定义7.4。设π为Rt+1上的有限测度，其边缘具有有限的第一时刻，并考虑分解π=πt κ、 其中，π是π在第一个t坐标上的投影。A测度π′=πt 如果πt-a.e x=（x，…，xt）具有相同的最后边缘和bary（κ（x，·））=bary（κ′（x，·）），则κ′是π的竞争对手-1） 。利用这些定义，我们现在制定了定理5.4（i）中所述单调性原理的变体，这将便于推断Γ的几何结构。引理7.5。设u=（u，…，un）为凸序，1≤ t型≤ n，让f：Rt+1→ [0，∞) 博雷尔。考虑f（X，…，Xn）：=(R)f（X，…，Xt），并假设Iu（f）<∞. Let（φ，H）∈ Du（f）是Iu（f）的优化器，其性质为φs≡ Hs公司≡ 0表示s=t+1。

，n并定义集合：=（nXt=0φt（Xt）+（H·X）n=f）∩ 五、 设π为Rt+1上的一个有限支持概率，该概率集中在Γt上。然后π（(R)f）≥ π′（\'f）对于π的任何t-竞争对手π′，集中于Vt.证明。回想一下，第一个t坐标的投影π和π′Ton。因此，π[Ht·（Xt- Xt公司-1） ]=ZHt·（bary（κ（X，…，Xt-1，·）- Xt公司-1） dπt=ZHt·（bary（κ′（X，…，Xt-1，·）- Xt公司-1） dπ′t=π′[Ht·（Xt- Xt公司-1） 】。还利用最后的边缘重合，我们推断π[(R)f]=π“tXs=0φs（Xs）+（H·X）t#=π′”tXs=0φs（Xs）+（H·X）t#≥ π′[’f]。接下来，我们给出了一个中间结果，将Spence–Mirrlees奖励函数的最优性和支持度的左单调性联系起来。引理7。6、让1≤ t型≤ n和letΓ V是一个子集，使得Γtisnodegenerate。此外，设f:Rt+1→ 对于二阶Spence–Mirrlees函数，R的形式为f（X，…，Xt）=f（X，Xt）。假设对于任何集中在Γ上的有限支持概率π和集中在Vt上的π的y竞争因子π′，我们有π（f）≥ π′（f）。然后，投影是左单调的。证据考虑（x，y），（x，y），（x′，y′）∈ Γt满足x<x′，假设y<y′<y的矛盾。我们定义λ=y-y′y-yandπ=λδ（x，y）+1- λδ（x，y）+δ（x′，y′）π′=λδ（x′，y）+1- λδ（x′，y）+δ（x，y′）。然后，π和π′在第一个t边缘上具有相同的投影πt=π′，并且它们的最后一个边缘也重合。此外，崩解π=πt κ和π′=πt κ′，度量值κ（x），κ（x′），κ′（x），κ（x′）都有重心y′。因此，π和π′是t竞争对手。我们还必须让π′集中在Vt上，通过V的形状。现在我们的假设意味着π（f）≥ π′（f），但'f的二阶Spence-Mirrlees性质意味着π（f）<π′（f）。7.2左单调传输的几何学下一步，我们建立了具有左单调支持的传输在定理6.8的意义下是indeedleft单调的。定理7.7。设u=（u。

，un）为凸序，设P∈ M（u）集中于一个非退化的左单调集Γ Rn+1。那么P是左单调的。在说明定理的证明之前，我们记录了实线上关于测度的两个辅助结果。第一个是建议2.1的直接结果。引理7。8.设a<b和u≤cν。如果ν集中在(-∞, a] ，则为u，此外为ν（{a}）≥ u（{a}）。模拟值适用于[b，∞ ).第二个结果是[8，引理5.2]。引理7.9。设σ是R上σ（R）=0且σ=σ的非平凡有符号测度+- σ-是它的哈恩分解。存在一个∈ 支持（σ+）和b>a，使R（b- y） +[a，∞)dσ（y）>0。我们现在可以给出定理的证明；其灵感来源于【8，定理5.3】，对应于n=1的情况。定理7.7的证明。由于命题6.3涵盖了n=1的情况，我们可以假设该定理已被证明适用于n的传输- 1.采取步骤，集中精力进行归纳论证。对于每x∈ R我们用utx表示边缘（P|(-∞,x] ×Rn）o 十、-1吨。I nParticle，我们得到ux=u|(-∞,x] utxis是uxunder Pafter t步后的图像。为简洁起见，我们还设置了νtx：=Su，。。。，ut（ux）。根据定义，如果utx=νtxf对于所有x，P是左单调的∈ R和t≤ n、 根据诱导假说，我们可以假设这对t≤ n- 1、我们通过矛盾论证并假设存在x∈ R使得unx6=νnx。然后，有符号测度σ：=νnx- unx非常重要，我们可以用∈ 补充（σ+）如引理7.9所示。观察σ+≤ un- unx其中un- unx是un |（x，∞)在P下。因此∈ SUP（un- unx）当P集中在Γ上时，我们得出结论，存在一个点序列xm=（xm，…，xmn）∈ Γx<xm和xmn→ 一

（7.1）此外，根据引理6.7中阻塞阴影的特征，我们必须有νnx≤cunxasunx∈qux；unyu，。。。，un-1由于unx是uxunder amartingale传输的图像。第1步。我们声称，对于所有x=（x，…，xn-1） 带x≤ x和XN-1.≤ a、 它认为Γx∩ （a），∞) = ,其中Γx={y∈ R：（x，y）∈ Γ}是Γ在x上的截面。通过对比，假设对于某些x，x≤ x和xn-1.≤ a我们有Γx∩ （a），∞) 6=, 然后特别是Γx∩ （xn-1.∞) 6=. 鉴于Γ的非泛型性，我们得出以下结论：Γx∩ (-∞, xn公司-1） 6= 因此，Γx∩ (-∞, a） 6=. 对于足够大的m，定义7.1中x′使用xmfrom（7.1）表示，这与Γ的左单调性产生了矛盾，并且该权利要求的证明是完整的。第2步。类似地，我们可以证明，对于所有x=（x，…，xn-1） 带x≤ X和xn-1.≥ a、 Γx∩ (-∞, a） =.第3步。接下来，我们考虑边缘utx，a：=P|(-∞,x] ×Rn-2×(-∞,a] ×Ro 十、-1吨。然后，特别是un-1x，a=un-1台|(-∞,a] unx，ais是un的图像-1x，aunderp的最后一步。因此，证明的步骤1意味着unx，ais集中在(-∞, a] 。我们还写出νnx，a：=Sun（un-1台|(-∞,a] ）。我们有un-1x，a≤cunx，aas M（un-1x，a，unx，a）6=, 和unx，a≤ unx≤ un.因此，νnx，a≤cunx，a（7.2）由阴影的最小值决定。接下来，我们展示νnx- νnx，a≤cunx- unx，a.（7.3）观察unx- unx，aisun的图像-1x |（a，∞)根据P，预测集中在[a，∞) 步骤2。利用这一观察结果，unx，ais集中在(-∞, a] 如上所述，以及νnx，a（{a}）≤unx，a（{a}）作为（7.2）和引理7.8的结果，我们得到了unx-unx，a=（unx-unx，a）|[a，∞)≤ （un-unx，a）|[a，∞)≤ （un-νnx，a）|[a，∞)≤ un-νnx，a。我们还有un-1x |（a，∞)≤cunx-unx，因为后者是前者在P下的图像。

与前面的显示一起，我们建立了unx- unx，a∈qun-1x |（a，∞); un- νnx，ay。另一方面，νnx- νnx，a=Sun-νnx，a（un-1x |（a，∞))根据引理6.5（i）中阴影的可加性性质，因此（7.3）遵循s阴影的最小值。第4步。回想步骤3，unx，ais集中在(-∞, a] 和unx- unx，ais集中在[a，∞). 因此，νnx，ais集中在(-∞, a] 和νnx- νnx，ais集中在[a，∞), 引理7.8。此外，我们有νnx，a（{a}）≤ unx，a（{a}）通过相同的引理，最后是函数7→ （b）- y） +[a，∞)（y） 在[a]上是凸的，∞) a<b。使用这些因素和（7.3），Z（b- y） +[a，∞)（y） νnx（dy）=Z（b- y） +[a，∞)（y） （νnx- νnx，a）（dy）+（b- a） νnx，a（{a}）≤Z（b- y） +[a，∞)（y） （unx- unx，a）（dy）+（b- a） unx，a（{a}）=Z（b- y） +[a，∞)（y） unx（dy）。这与a和b的选择相矛盾，参见引理7.9，从而完成了证明。7.3最优性在本节中，我们将左单调传输和左单调集与Spence–Mirrlees f函数的最优传输问题联系起来。定理7.10。对于1≤ t型≤ n、 让ft：R→ R是二阶Spence–Mirrlees函数，因此| ft（x，y）|≤ a（x）+at（y）表示s ome a∈ L（u）和at∈ L（ut）。存在一个普遍可测的非退化左单调集Γ′ Rn+1任何同时优化∈ M（u）表示Su（ft（X，Xt）），1≤ t型≤ n主要集中在Γ′。特别地，任何suchP都是左单调的。证据最后一个断言之后是定理7.7的应用，因此我们可以集中精力寻找Γ′。对于每个1≤ t型≤ n、 我们使用定理5.2和Mark 5.3找到一个对偶优化器（φ，H）∈ Du（ft）表示Iu（ft（X，Xt）），并定义Borel集Γ（t）：=（nXs=0φs（Xs）+（H·X）n=ft）∩ 五、 这里，我们可以选择一个双优化器，使得φs≡ Hs公司≡ 0表示s=t+1，n、 （这可以通过将定理5.2应用于仅涉及边缘（u，…）的传输问题来实现。）。

，ut），并使用相应的双优化器。）定理5.4表明，任何同时优化∈ 对于所有t，M（u）集中在Γ（t）上，因此也集中在Borel集上：=n\\t=1Γ（t）。使用备注7.3（i），我们发现了一个普遍可测的非退化子集Γ′ Γ具有s ame属性。由于投影（Γ′）包含在投影（Γ（t））t中，引理7.5和引理7.6得出（Γ′）对于所有t都是左单调的；也就是说，Γ′是左单调的。备注7.11。在定理7.10中，如果我们只想找到一个非退化的左单调集Γ′P Rn+1这样一个给定的同时优化RP∈ M（u）集中在Γ′P上，那么我们可以选择Γ′P为Borel而不是普遍可测。随后，用证据中的注释7.3（ii）代替注释7.3（i）的应用。以下是与定理7.10的相反。定理7.12。给定1≤ t型≤ n、 让f∈ C1,2（R）应确保fxyy≥ 0并假设以下可积条件成立：（f（X，Xt），f（0，Xt），f（X，0），\'h（X）X，\'h（X）Xtare P-可对所有P∈ M（u），（7.4），其中'h（x）：=y | y=0[f（x，y）- f（0，y）]。然后每左单调传输∈ M（u）是Su（f）的优化器。当f是Lipschitz连续时，可积条件明显成立；特别是，光滑的二阶Spence-Mirrlees函数（如引言中所定义）满足了任何u的定理假设。证明将基于以下Spence–Mirrlees函数的构建块进行近似；结构新颖，可能具有独立的兴趣。引理7.13。让1≤ t型≤ 设f（X，…，Xn）：=1(-∞,a] （X）Д（Xt）用于凹函数Д和a∈ R、 然后每左单调传输∈ M（u）是Su（f）的优化器。证据

从引理6.7的观点来看，这是通过应用定理6.8中的definingshadow性质直接得出的，其中x=a。可积条件（7.4）意味着设置g（x，y）：=f（x，0）+f（0，y）- f（0，0）+h（x）y，三项组成g（x，Xt）=[f（x，0）+h（x）x]+[f（0，Xt）- f（0，0）]+[(R)h（X）（Xt- 十） ]是P可积的，且P[g（X，Xt）]在P上是常数∈ M（u）。用f替换GF- g、 因此，我们可以假设f（x，0）=f（0，y）=fy（x，0）=0，对于所有（x，y）∈ R、 （7.5）在该归一化之后，通过部分积分得到表示f（x，y）=ZyZx（y- t） fxyy（s，t）ds dt。（7.6）引理7.14。定理7.12在以下附加条件下成立：存在一个常数c>0，这样x 7→ f（x，y）在{x>c}和{x<-c} ，y 7→ f（x，y）i在{y>c}和{y<-c} 。证据部分积分意味着f或全部（x，y）∈ R、 我们有表示F（x，y）=-Zc公司-cZc公司-c类(-∞,s] （x）（y）- t） +fxyy（s，t）ds dt+[f（x，-c）- (-c） fy（x，-c） ]+[f（c，y）- f（c，-c）- fy（c，-c） （y）- (-c） ）]+财年（x，-c） y.由于附加条件，后三项的形式为g（x，y）=φ（x）+ψ（y）+h（x）y，且为线性增长。因此，如上所述，P′[g（X，Xt）]=P′的顺式常数∈ M（u）。如果P∈ M（u）是左单调的，P′∈ M（u）是任意的，Fubini定理和引理7.13得出p[f]=-Zc公司-cZc公司-cP[1(-∞,s] （x）（y）- t） +]fxyy（s，t）ds dt+C≥ -Zc公司-cZc公司-cP′[1(-∞,s] （x）（y）- t） +]fxyy（s，t）ds dt+C=P′[f]，其中P，P′被理解为关于（x，y）的积分，Fubini定理的应用由被积函数的非负性来证明。定理7.12的证明。设f如定理所示。我们将构造函数fm，m≥ 1满足引理7.14的假设以及asP[fm]→ P【f】表示所有P∈ M（u）。一旦实现了这一点，定理就从引理中推导出来。事实上，我们可以假设f如（7.5）中所示被归一化。

让m≥ 1 andletρm:R→ [0，1]是一个光滑函数，使得ρm=1[-m、 m]且ρm=0开[-m级- 1，m+1]c.鉴于（7.6），我们定义了fmbyfm（x，y）=ZyZx（y- t） fxyy（s，t）ρm（s）ρm（t）ds dt。然后，Fms满足引理7.14的假设，常数c=m+1。此外，我们有0≤ fm（x，y）≤ fm+1（x，y）≤ f（x，y）表示x≥ 0和x的相反不等式≤ 0，以及fm（x，y）→ f（x，y）表示所有（x，y）。让P∈ M（u）。由于f是P-可积的，在{x上分别应用单调收敛≥ 0}和{x≤ 0}产生P[fm]→ P[f]，证明是完整的。备注7.15。函数f（x，y）：=tanh（x）p1+y证明了定理7.12中所有凸序边缘u的条件，因为后者假设有一个有限的一阶矩。我们现在可以收集前面的结果，特别是得到定理1.1中所述的等价性。定理7.16。设u=（u，…，un）为凸序。存在一个左单调、非退化、通用可测集Γ Rn+1对于任何P∈ M（u），以下是等效的：（i）P是Su（f（X，Xt））的优化器，只要f是sm ooth二阶Spence–Mirrlees函数和1≤ t型≤ n、 （ii）P i集中在Γ上，（ii’）P集中在左单调集上，（iii）P是左单调的；i、 e.P0t运输u|(-∞,a] 至Su，。。。，ut（u|(-∞,a] ）适用于所有1≤ t型≤ n和a∈ R、 此外，存在P∈ M（u）满足（i）–（iii）。证据设Γ为定理7.10为注释7.15中的函数ft=(R)fo提供的集。给定P∈ M（u），定理7.10表明（i）意味着（ii），而这意味着（ii’）。定理7.7和备注7.3表明（ii’）意味着（iii），而定理7.12表明（iii）意味着（i）。

最后，定理6.8说明了左单调变换的存在性。我们以一个示例结束本节，该示例表明左单调变换一般不是马尔可夫变换，即使它们是唯一的并且（6.2）适用于u。示例7.17。考虑边缘u=δ+δ，u=δ+δ，u=δ-1+δ+δ+δ。运输P∈ M（u）由p=δ（0,0,0）+δ（1,0，-1） +δ（1,0,1）+δ（1,2,2）是左单调的，因为它的支撑是左单调的（图4），并且它显然不是马尔可夫的。另一方面，不难看出，这是以M（u）为单位构建左单调传输的唯一方法。图4：示例7.17.8中非马尔可夫传输的支持左单调传输的唯一性在本节中，我们考虑左单调传输的（非）唯一性。事实证明，u中原子的存在在这方面很重要，让我们从以下简单的观察开始。备注8.1。设u=（u，…，un）为凸序。如果u是狄拉克质量，则每个P∈ M（u）是lef t-单调的。实际上，M（u，ut）是1的单态≤ t型≤ n、 因此p0t必须是（一步）左单调传输。利用这一观察结果，以下结果表明，当n≥ 例8.2。设u=δ，u=δ-1+δ，u=δ-2+δ+δ。注意，M（u）中的任何元素都是左单调的。此外，M（u）是连续的，因为M（u，u）包含两个测量值的凸包pl=δ(-1.-2） +δ(-1,0）+δ（1，-2） +δ（1,2），Pr=δ(-1.-2） +δ(-1,2）+δ（1,0）+δ（1,2）。相应的支架如图5所示。图5：对相同边缘的两个左单调传输的支持。该示例说明，当u具有原子时，通常可以预期非唯一性。另一方面，我们有以下唯一的结果。定理8.3。设u=（u，…，un）为凸序。

如果u是无原子的，则存在唯一的左单调传输P∈ M（u）。本节的其余部分专门用于证明。让我们称核κ（x，dy）二项式if为所有x∈ R、 测量值κ（x，dy）最多由两个点质量组成。如果一个鞅输运可以只用二项式核分解，则称之为二项式输运。我们将证明当u为无原子时，任何左单调迁移都是二项式鞅，然后通过凸性论证得出唯一性。第一步是以下集合论结果。引理8.4。让k≥ 1为整数和Γ Rt+1。对于x∈ Rt，我们用Γx表示：={y∈ R：（x，y）∈ Γ}x处的截面。如果集合{x∈ Rt：| x |≥ k} 是不可数的，那么它有一个累积点。更准确地说，有x=（x，…，xt）∈ r和y<···<ykinΓx对于所有大于0的，存在x′=（x′，，x′t）∈ r和y′<···<y′kinΓx′满足（i）kx- x′k<，（ii）x<x′，（iii）最大值=1，。。。，k | yi- 是的。证据这个证明类似于[8，引理3.2]中的证明，因此省略了。以下关于二项式结构的陈述概括了[8]中一步情况的结果，并且具有独立的意义。提案8.5。设u=（u，…，un）为凸序，并设u为无。存在一个普遍可测集Γ Rn+1使得每左单调传输P∈ M（u）集中在Γ上，对于所有1≤ t型≤ n和x∈ Rt，|{y∈ R：（X，…，Xt）-1（x，y）∩ Γ6=}| ≤ 2.（8.1）特别地，每个左单调传输P∈ M（u）是二项鞅。证据设Γ如定理7.16所示；然后每个左单调P∈ M（u）集中在Γ上。设At为所有x的集合∈ 使（8.1）失效。提供不可数的支持；引理8.4得到点x，x′，对于某些y，y∈ Γtxand y∈ Γtx′我们有y<y<y。

这与Γ的左单调性（定义7.1）相矛盾，因此At必须是可数的。因此，（X，…，Xt-（1）-1（At）是Borel，P-对于所有P为null∈ M（u），因为u是无原子的。集合Γ′=Γ\\∪nt=1（X，…，Xt-（1）-1（At）则具有所需的属性。定理8.3的证明。我们将用n上的归纳法来证明这个结果。对于n=1，结果由命题6.3得到，无论有无原子。为了说明诱导步骤，设P′为唯一的左单调输运inM（u，…，un-1） 设P=P′ κ和P=P′ 两个n步左单调转运蛋白的κbe分解。那么，P+P=P′κ+κ再次是左单调的，命题8.5得出，（κ+κ）/2必须是二项式核P′-a.s。同时利用κ和κ的鞅性质，只有当κ=κ保持P′-a.s时，这才是真的，因此P=P.9自由中间边缘在本节中，我们讨论了中间边缘约束u，un-1省略；也就是说，仅规定了第一个和最后一个边缘u，unar。（人们可以将结果类似地调整到一种情况，即给出了一些中间边缘，但不是所有中间边缘。）原始空间用Mn（u，un）表示，由Rn+1上的所有鞅测度P组成，其中u=Po（十）-1和un=Po（Xn）-1、为了与前面的章节进行连接，我们注意到mn（u，un）=[M（u），其中并集接管所有向量u=（u，u，…，un）-1，un），按对流顺序排列。9.1极性结构我们首先描述Mn（u，un）的极性组。为此，我们引入了不可约成分的类似物。定义9。1.Letu≤cunand let（Ik，Jk） Rbe是命题2.3意义下相应的不可约域。

Mn（u，un）的n阶分量是setsA上标m表示m次笛卡尔积；nis是Rn+1中的对角线。（i） 墨水×Jk，其中k≥ 1，（ii）英寸+1∩ n、 （iii）Itk×{p}n-t+1，其中p∈ Jk\\i和1≤ t型≤ n、 k级≥ 1、特征描述采用以下形式。定理9.2（极性结构）。Letu≤cun.A Borel组B Rn+1为Mn（u，un）-极性当且仅当存在u-空集和un空集nn，使得b （N×Rn）∪ （Rn×Nn）∪[VjC此处，接头运行在所有n阶组件Vjof Mn（u，un）上。事实证明，我们以前的结果可以通过下面的引理来证明这个理论，这个引理可能是独立的。引理9.3。Letu≤cν与域（I，J）不可约，ρ是集中在J上的概率。然后，存在概率u≤cθ≤cν满足θ>> ρ使得u≤cθ和θ| I≤c（ν- θ| J\\I）都是不可约的。证据第1步。我们首先假设ρ=δxf对于某些x∈ J并表明存在满足u的θ≤cθ≤cν和θ>> δx。如果ν在x上有一个原子，我们可以选择θ=ν。因此，我们可以假设ν（{x}）=0，尤其是x∈ 一、 设a为u和ν的公共重心，并假设x<a。对于所有b∈ R和0≤ c≤ ν（{b}），测量值νb，c：=ν|(-∞,b） +cδbsatisνb，c≤ ν、 当x<a时，存在唯一的b，c，使得bary（νb，c）=x。设置α=νb，cand=α（R），我们就有δx≤cα≤ ν、 对于x，一个类似的构造会得到这个结果≥ a、 这种α的存在意味着δx≤pcν，0≤ ≤ 因此，阴影Sν（δx）得到了很好的定义。通过将ν限制到一个区间（可能包括端点处的原子分数）给出该度量；参见【8，示例4.7】。此外，在可能减小质量后，间隔是有界的。

因此，对于所有<δx的函数，势函数的差异susν（δx）- uδx≥ 0在紧致区间外消失，并一致收敛为0，如→ 0.另一方面，作为u≤cν是不可约的，差分uν- uu≥ 0在I的紧致子集上一致有界远离零，在J I上具有非零导数。加在一起，uν- uSν（δx）+uδx≥ uu（9.1）对于足够小的>0，因此θ：=ν- Sν（δx）+δx质量u≤cθ≤cν；此外，θ>> δxasν（{x}）=0。第2步。我们转向J上的一般概率测度ρ的情况。通过步骤1，我们可以找到每个x的测度θxf∈ J使u≤cθx≤cν和θx>> δx.map x 7→ θx可以很容易地选择为可测量的（通过以可测量的方式为（9.1）选择）。然后我们可以定义概率测度θ′（A）：=ZJθx（A）ρ（dx），A∈ B（R）表示u≤cθ′≤cν。此外，我们还有θ′>> ρ；确实，如果∈ B（R）是θ′-nullset，那么θx（a）=0表示ρ-a.e.x，因此ρ（a）=0表示θx>> δx。最后，θ：=（u+θ′+ν）/3具有这些性质。由于I上的uu<uν是不可约的，因此I上的uu<uθ<uν≤cθ和θ| I≤c（ν- θ| J\\I）是不可约的。引理9.4。Letu≤cunand设π为Rn+1的度量，其集中于Mn（u，un）的n阶组分V，且其第一和最后边缘满足π≤ u，πn≤ un。然后存在P∈ Mn（u，un），使P>> π。证据I f V=英寸+1∩ n、 那么π必须是一个相同的输运，我们可以把P看作M（u，u，…，u，un）的任何元素。因此，我们可以在定义9.1中确定V为（i）或（iii）型，然后通过定义k≥ 1，该u≤cunis与域（I，J）不可约。使用引理9.3，我们可以找到中间边缘utwithu≤cu≤c···≤cun-1.≤cun确保ut>> πt对于所有1≤ t型≤ n- 1和每个步骤ut-1.≤cut，1≤ t型≤ n有一个由（I，J）给出的不可约域，以及（可能）J上的对角分量。

我们注意到，V是M（u，u，…，un）的不可约分量，如定理3.1之后所述。设ft=dπt/dutbe为m的边缘日期t的Radon–Nikodym导数≥ 1，我们定义了度量πm<< π乘以πm（dx，…，dxn）=2-明尼苏达州-1Yt=1ft（xt）≤2米！π（dx，…，dxn）。然后，边缘πmt满足更强的条件πmt≤ ut用于0≤ t型≤ n、 因此，我们可以将引理3.3应用于u=（u，…，un）和不可约复合元V，以找到Pm∈ M（u） Mn（u，un）小于Pm>> πm.注意到PM≥1.-mπm>> π、 我们看到P：=Pm≥1.-mPm公司>> π满足引理的要求。定理9.2的证明。通过遵循定理3.1.9.2对偶证明中的论点，从引理9.4推导出结果。在这一节中，我们为具有自由中间边的输运问题建立了一个对偶定理。定义9.5。设f:Rn+1→ [0，∞]. 主要问题是nu，un（f）：=支持∈Mn（u，un）P（f）∈ [0，∞]对偶问题isInu，un（f）：=inf（φ，ψ，H）∈Dnu，un（f）u（φ）+un（ψ）∈ [0，∞],式中，Dnu，un（f）由所有三元组（φ，ψ，H）组成，使得（φ，ψ）∈ Lc（u，un）和H=（H，…，Hn）可以用φ（X）+ψ（Xn）+（H·X）n预测≥ f Mn（u，un）-q.s.e.不等式对所有P保持P-a.s∈ Mn（u，un）。与定理5.2类似的内容如下。定理9.6（对偶性）。设f:Rn+1→ [0，∞].（i） 如果f为上半解析，则Snu，un（f）=Inu，un（f）∈ [0，∞].（ii）如果单位为u，un（f）<∞, 存在一个对偶优化器（φ，ψ，H）∈ Dnu，un（f）。证明的主要步骤再次是接近结果。我们只讨论以下情况：≤cunis不可约；可以沿着第4节的线路获得对generalcase的扩展。提案9.7。Letu≤cunbe不可约且let fm:Rn+1→ [0，∞]是一系列功能，以便fm→ f点方向。此外，let（φm，ψm，Hm）∈ Dnu，un（fm）等于supmu（φm）+un（ψm）<∞.

然后存在（φ，ψ，H）∈ Dnu，un（f），使得u（φ）+un（ψ）≤ lim信息→∞u（φm）+un（ψm）。证据让ut，1≤ t型≤ n- 1应确保u=（u，…，un）为凸序且ut-1.≤cut对所有1不可约≤ t型≤ n通过规定它们的潜在功能，可以很容易地构建这样的u皮重。设置φm=（φm，0，…，0，ψm）wehave（φm，Hm）∈ Dgu（fm），因此可以应用命题4.21获得（φ，H）∈ Dgu（f）。证明该命题的构造得到φt≡ 1的0≤ t型≤ n- 因此，（φ，φn，H）∈ Dnu、un（f）和u（φ）+un（φn）=u（φ）≤ lim信息→∞u（φm）=lim infm→∞u（φm）+un（ψm）。定理9.6的证明。根据命题9.7的强度，证明类似于定理5.2.9.3中的单调传输。我们对左单调传输的结果的模拟有些退化：对于无约束的中间边缘，相应的耦合是第一个- 1步和最后一步中的（一步）左单调传输。完整结果如下所示。定理9.8。让P∈ Mn（u，un）。以下是等效的：（i）P是所有smoothsecond-order Spence–Mirrlees函数f和1的Snu，un（f（X，Xt））的同时优化因子≤ t型≤ n、 （ii）P i s集中在左单调集Γ上 Rn+1如此-1={（x，…，x）：x∈ Γ}。（iii）对于0≤ t型≤ n- 1，我们有Po （Xt）-1=u和Po （Xt，Xn）-1是（一步）左单调传输，单位为M（u，un）。存在唯一的P∈ Mn（u，un）满足（i）–（iii）。证据如（iii）中所述的传输P存在且唯一，因为等边值之间的相同传输和左单调传输inM（u，un）存在且唯一；参见提案6.3。（ii）和（iii）的等价性来自同一命题，并且从u到u的唯一鞅传输是恒等式。让P∈ Mn（u，un）满足（i）。

尤其是，P是Snu，un（f（X，Xn））的优化器，根据命题6.3，这意味着P0n=Po（X，Xn）-1是（一步）左单调传输，单位为M（u，un）。Fort=1，n- 1，P是Snu，un的优化器(-1{X≤a} | Xt- b |），对于ALA，b∈ R、 这意味着p0t传输u|(-∞,a] 到{θ：u的最小元素|(-∞,a]≤cθ≤pcun}在凸阶意义上，即θ=u|(-∞,a] 。因此，对于t=1，…，p0t必须是相同的传输，n- 1除最后一个边缘外，所有边缘均等于u。相反，设P∈ Mn（u，un）具有（iii）中的性质。那么，对于Snu，un，P是最佳的(-1{X≤a} （Xt）- b） +）适用于所有1≤ t型≤ 这可以推广到光滑二阶Spence–Mirrleesfunctions的最优性（i），如定理7.12的证明。参考文献【1】M.Beiglb"ock、A.M.G.Cox和M.Huesmann。多边缘Skorokhod嵌入的几何。预印本arXiv:1705.09505v12017。[2] M.Beiglb"ock、A.M.G.Cox和M.Huesmann。最佳传输和Skorokho d嵌入。在通风孔中。数学208（2）：327–4002017年。[3] M.Beiglb"ock、A.M.G.Cox、M.Huesmann、N.Perkowski和D.J.Pr"omel。通过Vovk的外部度量进行路径超级复制。财务Stoch。，21（4）：1141–1166，2017年。[4] M.Beig lb"ock、M.Goldstern、G.Maresch和W.Schachermayer。优化和更好的交通计划。J、 功能。分析。，256（6）：1907–19272009。[5] M.Beiglb"ock、P.Henry-L abordère和F.Penkner。期权价格的模型独立边界：大众运输方法。财务Stoch。，17（3）：477–501，2013年。[6] M.Beiglb"ock、P.Henry Laborère和N.Touzi。单调鞅运输计划和Skorokhod嵌入。随机过程。应用程序。，127（9）：3005–30132017。[7] M.Beiglb"ock、M.Huesmann和F.Stebegg。根到Kellerer。在Séminairede probabilitéS XLVIII《数学课堂讲稿》第2168卷中。，第1-12页。柏林斯普林格，2016年。[8] M.Beiglb"ock和N.Juillet。