多周期鞅输运 - 外文文献专区

nandehutu2022

1438

收藏 2022-05-31

英文标题：
《Multiperiod Martingale Transport》
---
作者：
Marcel Nutz, Florian Stebegg, Xiaowei Tan
---
最新提交年份：
2019
---
英文摘要：
Consider a multiperiod optimal transport problem where distributions $\\mu_{0},\\dots,\\mu_{n}$ are prescribed and a transport corresponds to a scalar martingale $X$ with marginals $X_{t}\\sim\\mu_{t}$. We introduce particular couplings called left-monotone transports; they are characterized equivalently by a no-crossing property of their support, as simultaneous optimizers for a class of bivariate transport cost functions with a Spence--Mirrlees property, and by an order-theoretic minimality property. Left-monotone transports are unique if $\\mu_{0}$ is atomless, but not in general. In the one-period case $n=1$, these transports reduce to the Left-Curtain coupling of Beiglb\\\"ock and Juillet. In the multiperiod case, the bivariate marginals for dates $(0,t)$ are of Left-Curtain type, if and only if $\\mu_{0},\\dots,\\mu_{n}$ have a specific order property. The general analysis of the transport problem also gives rise to a strong duality result and a description of its polar sets. Finally, we study a variant where the intermediate marginals $\\mu_{1},\\dots,\\mu_{n-1}$ are not prescribed.
---
中文摘要：
考虑一个多周期最优传输问题，其中规定了分布$\\mu\\u{0}、\\dots、\\mu\\u{n}$，并且传输对应于标量鞅$X$，边缘为$X\\u{t}\\sim\\mu\\t}$。我们引入了称为左单调传输的特殊耦合；它们的特征是其支持度的无交叉性，作为一类具有Spence-Mirrlees性质的二元运输成本函数的同时优化器，以及有序理论的最小性。如果$\\mu\\u{0}$是无原子的，但不是一般的，则左单调传输是唯一的。在一个期间的情况下，$n=1$，在多周期情况下，日期$（0，t）$的二元边值为左帘型，当且仅当$\\mu\\u{0}、\\dots、\\mu\\u{n}$具有特定的order属性。对输运问题的一般分析也给出了一个强对偶结果及其极集的描述。最后，我们研究了一个变量，其中中间边缘$\\mu\\u{1}、\\dots、\\mu\\u{n-1}$没有规定。
---
分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--
一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
--
一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--

---
PDF下载：
-->

Multiperiod_Martingale_Transport.pdf
大小:(606.24 KB)

马上下载

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

全部回复

kedemingshi

2022-5-31 07:12:33

多周期鞅运输*Florian Stebegg+Xiaowei Tan2019年5月21日摘要考虑一个多周期最优运输问题，其中分布u，unare指定，且传输对应于ascalar鞅X，边缘为Xt~ ut.我们引入了称为左单调传输的特殊耦合；它们的特征是其支持的无交叉性，具有aSpence–Mirrlees性质的一类二元运输成本函数的同时优化器，以及序理论的最小性。如果u为A，则左单调传输是唯一的，但不是一般的。在一个周期的情况下，n=1，这些传输减少到Beiglb"ock和Juillet的左帘耦合。在多周期情况下，日期（0，t）的双变量边缘为左帘型，当且仅当u，un具有特定的订单属性。对输运问题的一般分析也产生了一个强大的对偶结果及其极集的描述。最后，我们研究了中间边缘u，un-1未规定。关键词：最优运输；鞅耦合；DualityAMS 2010学科分类：60G42；49N051 IntroductionLetu=（u，…，un）是实线上概率度量的向量。Rn+1上的度量值P（其边缘由u给出）称为u的耦合（或传输），所有此类度量值的集合由∏（u）表示。我们应该对耦合P感兴趣，它是鞅；也就是说，Rn+1上的恒等式X=（X，…，Xn）是P下的鞅。因此，我们将总结所有边缘都有一个确定的第一时刻，并用M（u）表示该集合*哥伦比亚大学统计与数学系，mnutz@columbia.edu.Alfred P.支持的研究。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-31 07:12:36

斯隆奖学金和NSF授予DMS-1512900和DMS-1812661。+佛罗里达哥伦比亚大学统计系。stebegg@columbia.edu.哥伦比亚大学数学系，xt2161@columbia.edu.of鞅耦合。Strassen[41]的经典结果表明，M（u）是非空的，当且仅当边缘为凸序，用ut表示-1.≤cu并根据ut-1（φ）≤ ut（φ）对于任何凸函数φ，其中u（φ）：=Rφdu。本文的第一个目标是介绍和研究一系列“规范”耦合P∈ 我们称之为左单调的M（u）。这些联结器专门适用于[8]中的左帘式联结器，在一步情况下n=1，广义上讲，这些联结器具有一些类似于经典最优运输的Hoeffing–Fréchet联结器的特性。事实上，lef-t-单调耦合的特征是序理论的极小性，作为某些类别的报酬（或成本）函数的同时最优传输，并且通过其支持上的无交叉条件。第二个目标是发展一个关于多周期鞅最优运输的强对偶理论，沿着[10]对于单周期鞅情形和[34]对于经典最优运输问题的思路。也就是说，Weintroducing提出了一个合适的对偶优化问题，并证明了一般运输报酬（或成本）函数不存在成人差距以及对偶优化器的存在。对偶结果是研究左单调耦合的重要工具。我们还为我们的问题的一个变体开发了类似的结果，其中中间边缘为u，un-1没有规定（第9节），但为了介绍的目的，我们应将重点放在完整的边缘案例上。1.1离开单调传输为了定位，让我们首先陈述主要结果，然后解释其中包含的术语。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-31 07:12:39

以下是一个简化的版本。本文正文中的结果在某些技术方面更为强大。定理1.1。设u=（u，…，un）为凸序，P∈ M（u）这些边缘之间的阿马丁格尔迁移。以下是等效的：（i）P是f（X，Xt）的同时最优传输，1≤ t型≤ n每当f:R时→ R是一个光滑的二阶Spence–Mirrlees函数。（ii）P i s集中在左单调集Γ上 Rn+1。（iii）P输送u|(-∞,a] 到遮挡阴影Su，。。。，ut（u|(-∞,a] ）脚背t，适用于所有1≤ t型≤ n和a∈ R、存在P∈ M（u）满足ing（i）–（iii），任何这样的P称为左单调输运。如果u是无原子的，则P是唯一的。现在我们来讨论定理中的项目。（i）最佳运输。这个性质将P描述为同时最优传输。给定函数f:Rn+1→ R、我们可以考虑报酬为f（或成本）的鞅最优运输问题-f），Su（f）=支持∈M（u）P（f）；（1.1）回想一下，P（f）=EP[f（X，…，Xn）]。一个Lipschitz函数f∈ C1,2（R；R）如果满足交叉导数条件fxyy>0，则称为Smooth二阶Spence–Mirrlees函数；这也被称为鞅Spence–Mirrlees条件，类似于经典Spence–Mirrleescondition fxy>0。给定这样一个由两个变量和1≤ t型≤ n、我们可以考虑报酬为f（X，Xt）的n步鞅最优运输问题。特征化（i）表明左单调传输∈ M（u）同时是n个传输问题的优化器SF（X，Xt），1≤ t型≤ n、对于一些（然后是所有）光滑的二阶Spence–Mirrlees函数f。在一步情况下，左Curtaincoupling的相应结果成立[8]；在这里，同步优化变成了单个优化。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-31 07:12:42

鉴于（i）中的特征，一个直接的结果是，如果存在P∈ M（u），使得所有双变量投影P0t=Po （X，Xt）-1.∈M（u，ut）为左帘型，则P为左单调。然而，除非边缘满足一个非常特殊的条件（见命题6.9），否则这种传输不存在，并且通常阿列夫特单调传输的双变量投影不是左幕类型。（ii）几何形状。第二项通过其支撑的几何特性来表征P。A集合Γ 如果Rn+1对所有1都具有以下无交叉属性，则称其为左单调≤ t型≤ n：设x=（x，…，xt-1），x′=（x′…，x′t-（1）∈ 兰迪-, y+，y′∈ R带y-< y+应为（x，y+）（x，y-), （x′，y′）是Γ到Firstt+1坐标的投影。那么，y′/∈ （y）-, 每当x<x′，y+。也就是说，如果我们考虑Γ中的两条路径，从x开始，一直到- 第三条路径从x′开始到x的右侧，然后在时间t，第三条路径不能跨入前两条路径之间，如图1所示。第（ii）项指出，左单调传输P∈ M（u）可以是uut-1utxy-ty+tx′y′tut-1utxy-ty+tx′y′t图1：左单调集中禁止配置的两个示例。其特点是集中在左单调集Γ上。（在Orem 7.16中，我们将陈述一个更强的结果：我们可以找到一个同时携带所有左单调传输的左单调集。）在n=1的一步情况下，左单调性与[8]的left窗帘特性一致。然而，我们强调，对于t>1，我们的无交叉条件不同于双变量投影（X，Xt）（Γ）的左幕属性，因为后者不包含前两条路径必须在t之前重合的限制-1（另见示例6.10）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-5-31 07:12:45

这与上述事实相对应，即二元边际p0t不必为左帘型。另一方面，投影的几何结构（Xt-1，Xt）（Γ）与左侧帷幕也有很大不同，因为我们的条件可能会排除t处从右侧和左侧穿过的第三条路径- 1，取决于起点x′，而不是x′t的位置-1.（iii）凸序。这个性质以序理论的方式刻画了左单调迁移，并将用于存在性证明。为了解释这一想法，假设u由许多原子组成，xN公司∈ R、然后，对于任何固定的t，可以通过为每个原子指定“目的地”度量来确定u和ut的耦合。我们考虑所有链条u| xi≤cθ≤c···≤cθtof度量满足边缘约束θs的凸序θsin≤ usfor s≤ t、在这些链中，保持末端测量θ，并根据凸序对它们进行比较。u| xinut穿过u的遮挡阴影，ut-1，表示u，。。。，ut（u| xi）被定义为θt中唯一的最小元素。A parHereu| xidenotes是xi处质量u（{xi}）的狄拉克度量。有关此构造的详细信息，请参见定义6.6和引理6.7。u和u的光耦合是指在ut的其余部分中，原子uxit依次映射到其遮挡阴影，从最左边的原子xind开始，从左到右继续。在一般措施的情况下，我们考虑限制u|(-∞,a] 而不是成功地映射原子。然后，特征化（iii）指出左单调平移P∈ M（u）映射u|(-∞,a] 到日期t时被遮挡的阴影≤ t型≤ n和a∈ R

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

何人来此

2022-5-31 07:12:50

这特别表明，二元投影sp0t=Po （X，Xt）-左单调耦合的1唯一确定。在正文中，我们还将通过在迄今为止的边缘上迭代无障碍的s阴影，对障碍阴影给出另一种定义；见第6节。上面专门讨论了一步格[8]的构造，它对应于t=1的情况，其中没有中间边缘阻碍s阴影。当t>1时，中间边缘的障碍物再次导致p0t不需要为Left窗帘类型。更准确地说，表征（iii）在边缘u上产生了一个尖锐的标准（命题6.9），准确地描述了这种重合的发生时间。（非）唯一性。上面我们已经看到，对于左单调输运P∈ M（u）双变量投影P0t，1≤ t型≤ n是唯一确定的。特别是，对于n=1，我们恢复了[8]的结果，即左单调耦合是唯一的。对于n>1，根据第一个边缘的性质，情况会有很大不同。在一个极端，我们将看到，当u为无原子时，存在唯一的左单调传输P∈ M（u）。此外，P有一个退化结构，使人想起Brenier定理：当P=u时，它可以分解 κ · · · κn其中每个一步运输核κ集中在两个函数的图上。另一种极端情况是，如果u是狄拉克质量，典型情况是存在大量左单调耦合，详细讨论见第8节。我们还将证明，即使唯一性成立，左单调传输一般也不是马尔可夫的（例7.17）。1.2对偶左单调传输的分析基于我们为一般奖励函数f:Rn+1得出的对偶结果→ (-∞, ∞] 具有可积下界。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-31 07:12:53

形式上，传输问题的对偶问题su（f）=支持∈M（u）P（f）是最小值iu（f）：=inf（φ，H）nXt=0ut（φt），其中取实函数和可预测过程H=（H，…，Hn）的向量φ=（φ，…，φn），使得nXt=0φt（Xt）+（H·X）n≥ f（1.2）此处（H·X）n：=Pnt=1Ht（Xt- Xt公司-1）是离散时间积分。所设计的结果（定理5.2）表明，不存在对偶间隙，即iu（f）=Su（f），并且只要对偶问题是有限的，就可以得到对偶问题。从对[10]中一步情况的分析中，我们知道这个断言不符合上述对偶的天真公式，并且需要对函数φ和域V的可积性进行几次放宽 Rn+1，其中需要不等式（1.2）。具体而言，需要放宽M（u）-极集合上的不等式；i、 e.不收取任何运输费用P∈ M（u）。定理3.1中描述了这些集合的特征，其中我们证明了M（u）-极集合正是投影到M（ut）的二维极集合的集合（并集-1，ut）对于某些1≤ t型≤ n、对偶定理产生了一个单调性原理（定理5.4），它是左单调耦合分析的基础。与经典输运中的循环单调性条件类似，它允许我们研究给定函数f.1.3的最优输运支持几何。背景和相关文献[5]中引入了鞅最优输运问题（1.1），并以对偶问题为动机。事实上，在金融数学中，函数f被理解为写在基础X上的衍生工具的收益，（1.2）对应于通过静态交易欧洲期权φt（Xt）和根据策略H动态交易基础f的超边缘。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-31 07:12:56

然后，值Iu（f）对应于f的最低价格，如果边际值x t~ u皮重从期权市场数据中得知。在文献[5]中，证明了（在对偶问题的上述“天真”表述中）不存在对偶gapif是充分正则的，而对偶存在即使在正则情况下也被证明是失败的。无模型套期保值的思想以及与Korokhod嵌入的联系可以追溯到【26】；我们参考【12、13、14、27、38、43】以获取更多参考。在研究给定n个边值的鞅的最大值时，也会出现一个特定的多周期鞅最优运输问题[22]。对n=1的一步情况进行了详细研究。特别是，[8]引入了左帘耦合，并开创了定理1.1的许多基本思想，[24]提供了该耦合的明确构造，[31]建立了边缘的稳定性。当n=1时，我们的对偶结果专门化为[10]中的结果。不出所料，我们会尽可能利用这些论文中的许多论点和结果。如上所述，正如下面的证明所示，多步骤案例允许更丰富的结构，并需要新颖的想法；例如，极性集的分析（定理3.1）非常复杂。在一步鞅情形下的其他研究工作已经研究了诸如前向启动跨接（28，29）或亚洲支付（40）的奖励函数。关于多维边缘的最新发展，我们也参考了[20，35]。一步鞅最优运输问题可以交替地研究为具有边际约束的最优Skorokhod嵌入问题；参见[2、3、6、7]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-31 07:12:59

在撰写本文时，正在准备对[2]进行多边缘扩展[1]，作者提请我们注意，至少在u为无原子且满足一些进一步条件的情况下，它将消除对Skorokhod图中定理1.1的厌恶。在[21]中还研究了具有多边缘约束的Skorokhodembeding问题。通过以马尔可夫方式合成ut的左幕传输核，可以获得与我们完全不同的多级耦合-1至ut，1≤ t型≤ n、如【24】所述。在[32]中，这种耦合的连续时间限制为n→ ∞ 研究以找到所谓的Peacock问题的解，其中规定了连续时间鞅的边值；关于具有完全边缘约束的其他连续时间结果，请参见[23]和[33]。与连续时间鞅输运问题相关的早期贡献包括[16、17、19、36、39、42]。论文的其余部分组织如下。第2节确定了基本特征并回顾了一步案例的必要结果。在第3节中，我们描述了M（u）的极性结构。第四节介绍并分析了第五节对偶问题所涉及的空间，在这里我们陈述了对偶定理和单调性原理。第6节介绍了影子构造的左单调传输，第7节给出了支持度和最优性的等价刻画。第8节讨论了左单调传输的（非）唯一性。我们在第9.2节初步分析中对无约束中间边缘问题进行了分析，得出结论。在本文中，ut，u，ν表示具有有限初始力矩的R的有限测度，总质量不一定被归一化。将旋转推广到向量u=（u。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-31 07:13:02

，un），我们将为联轴器组写入∏（u）；也就是说，在Rn+1上测量P，这样Po 十、-1t=0ut≤ t型≤ n其中X=（X，…，Xn）：Rn+1→ Rn+1是标识。此外，M（u）是所有P的子集∈ π（u）是鞅，意味着zxsa（X，…，Xs）dP=ZXtA（X，…，Xs）dP≤ t和Borel集合A∈ B（卢比+1）。我们用F={Ft}0表示≤t型≤n标准过滤Ft：=σ（X，…，Xt）。通常，F-可预测过程H={Ht}1≤t型≤nis是Rn+1上的一系列实函数，例如Htis Ft-1-可测量；i、 e.Ht=Ht（X，…，Xt-1）对于某些Borel可测量的ht:Rt→ R、给定F-可预测过程H，离散随机积分{（H·X）t}0≤t型≤由（H·X）t定义：=tXs=1Hs·（Xs- Xs型-1）。如果X是测度P下的鞅，则H·X是广义条件期望意义下的广义（不一定可积）鞅；参见[30，提案1.64]。如果ut，我们说u=（u，…，un）是凸序的-1.≤cut适用于所有1≤ t型≤ n即ut-1（φ）≤ ut（φ）对于任意凸函数φ：R→ R、这意味着ut-1和ut的总质量相同。该顺序还可以通过势函数suut:R来表征→ R、 uut（x）：=Z | x- y |ut（dy）。以下性质是基本性质：（i）uutis非负和凸，（ii）+uut（x）- -uut（x）=2ut（{x}），（iii）lim | x|→∞uut（x）=∞1ut6=0，（iv）lim | x|→∞uut（x）- ut（R）| x- bary（ut）|=0，其中+和-分别表示右导数和左导数，而重心（ut）=（Rxdut）/ut（R）是重心。因此，我们可以将uut连续扩展到'R=[-∞, ∞]. Strassen的以下结果是经典的（参见[41]；最后一个陈述如[18，推论2.95]中所述）。提案2.1。设u=（u，…，un）为R上的有限度量值，第一时刻和总质量相等。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-31 07:13:05

以下为等效值：（i）u≤c···≤cun，（ii）uu≤ · · · ≤ uun，（iii）M（u）6=,（iv）存在随机核κt（x，…，xt）-1，dxt），使z | xt |κt（x，…，xt-1，dxt）<∞ andZxtκt（x，…，xt-1，dxt）=xt-1对于所有（x，…，xt）∈ R和1≤ t型≤ n、和ut=（u κ · · · κn）o （Xt）-1对于所有0≤ t型≤ n、所有内核都是随机的（即归一化的），如下所示。具有（iv）中第一个性质的核κt称为鞅核。2.1一步案例为了方便读者，我们总结了[8]和[10]f中关于一步问题（n=1）的一些结果，稍后将使用这些结果。在这一节中，我们用（u，ν）而不是（u，u）来表示凸序中的给定边缘。定义2.2。配对u≤如果集合i={uu<uν}断开且u（i）=u（R），则cν是不可约的。在这种情况下，让J是I和I的任何端点的并集，这些端点是ν的原子；那么（I，J）是M（u，ν）的域。第一个结果是将运输问题分解为不可约部分；参见【8，定理8.4】。提案2.3。Letu≤cν和let（Ik）1≤k≤Nbe{uu<uν}的（开放）成分，其中N∈ {0，1，∞}. 设置I=R \\∪k≥1Ikanduk=uIkfor k≥ 0，因此u=Pk≥0uk。然后，存在唯一分解ν=Pk≥0νk，u=ν和uk≤所有k的cνk≥ 1，该分解满足所有k的Ik={uuk<uνk}≥ 1、此外，任何P∈ M（u，ν）允许唯一分解P=Pk≥0PK这样的PK∈ M（uk，νk）表示所有k≥ 我们观察到，测量针提案2.3将u传输到其自身，并集中在:= ∩ 我在这里 = {（x，x）：x∈ R} 是对角线。因此，指数k=0的传输问题实际上不是一个不可约问题，但我们仍将（I，I）称为该问题的域。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-31 07:13:08

当我们想强调这一区别时，我们称（I，I）为对角域和（Ik，Jk）k≥1 M（u，ν）的不可约域。类似地，集合Vk：=Ik×Jk，k≥ 1将被称为不可约分量，V：=称为M（u，ν）的对角线分量。这个术语指的是【10，定理3.2】的以下结果，该结果本质上说明了分量是唯一可以通过鞅传输充电的集合。我们称a集为B集 RM（u，ν）-极性如果它是P-对于所有P为Null∈ M（u，ν），其中空集通常是零测度的Borelset中包含的任何集。提案2.4。Letu≤cν和B Rbe一个Borel集合。那么B isM（u，ν）-极性当且仅当存在u-null集Nu和ν-null集Nν，使得B （Nu×R）∪ （R×Nν）∪[k]≥0Vkc、 [10，引理3.3]的以下结果也将有用；它是证明上述命题的主要成分。引理2。5、让u≤cν不可约，设π为rw上的有限测度，其中π满足π≤ u和π≤ ν。然后，就有了SP∈ M（u，ν），使得P在绝对连续性意义上支配π。3极性结构本节的目标是确定边缘u=（u，…，un）对鞅传输造成的所有障碍，因此相反，s etsByπ≤ u我们的意思是π（A）≤ u（A）对于每个Borel组A R、这确实可以收费。我们记得，如果Rn+1的子集B是所有P的P-null集，则称其为dm（u）-polar∈ M（u）。命题2.4中一步案例的结果已经显示出一种明显的极性挫折 Rn+1：如果对于某些t，有一个M（ut-1，ut）-极坐标系B′ R如此B Rt公司-1×B′×Rn-t、那么B必须是M（u）-极性。下面显示了这些集合的并集实际上是M（u）的唯一极性集合。定理3.1（极性结构）。设u=（u。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-31 07:13:11

，un）为凸序。然后a Borel集合B Rn+1为M（u）-极性当且仅当存在utnullsets NTB时n[t=0（Xt）-1（Nt）∪n[t=1（Xt-1，Xt）-1.[k]≥0Vtkc（3.1）其中（Vtk）k≥1是M（ut）的不可约组分-1，ut），VT是对应的对角线分量。在陈述证明之前，我们先介绍一些附加术语。（3.1）的第二部分可按asn[t=1（Xt）]进行泄压-1，Xt）-1.[k]≥0Vtkc类=n\\t=1[k≥0（Xt-1，Xt）-1（Vtk）c类=[k，…，kn≥0n\\t=1（Xt-1，Xt）-1（Vtkt）c、（3.2）对于每k=（k，…，kn），setVk=n\\t=1（Xt-1，Xt）-1（Vtkt）在（3.2）的最后一个表达式中出现的Rn+1as将被称为M（u）的不可还原成分；这些集合自Vtk以来是不相交的∩ Vtk′= 对于k 6=k′。此外，我们称他们的unionV=∪kVk M（u）的有效域。粗略地说，一个不可约组分VKI是来自各个步骤（t）的一系列不可约组分- 1，t）。在【8，10】中考虑的一步情况下，分解传输问题是可能的，也是有用的。图2：阴影区域表示k=（1，1）的Vkfor。深入到它的不可约成分中，并在很大程度上分别研究它们；参见提案2.3。这在多步骤情况下是不可能的，如下例所示。示例3.2。考虑两步鞅输运问题，边缘u=δ，u=（δ-1+δ）和u=（δ-2+2δ+δ）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-5-31 07:13:14

然后它们的不可约分量由v={（x，x，x）：x给出/∈ (- 2，2）}V={（x，x）：x∈ (- 2.-1] }×[-2,0]V={（x，x）：x∈ [1，2）}×[0，2]V=(-1，1）×{0}×{0}V=(-1，1）×[-1，0）×[-2，0]V=(-1，1）×（0，1）×[0，2]，只有一个鞅输运P∈ M（u），由p=（δ（0，-1.-2） +δ（0，-1,0）+δ（0,1,0）+δ（0,1,2））。而V上支持P∪ 五、它不能分解为分别支持Vand V的两个鞅部分：Vand Vare不相交，但P | V=（δ（0，-1.-2） +δ（0，-1,0）不是鞅。定理3.1证明的主要步骤是以下引理。引理3.3。设Vkbe为M（u）的不可约组分，并假设λuπ集中在Vk上，使得πt≤ ut对于t=0，n、然后存在一个传输P∈ M（u），在绝对连续性意义上支配π。推迟证明，我们首先展示这是如何暗示定理的。定理3.1的证明。清晰（Xt）-对于t=0，…，1（Nt）为M（u）-极性，nand（Xt-1，Xt）-1.Sk公司≥0Vtkcis M（u）-对于t=1，…，极性，n、这表明（3.1）对于B Rn+1为M（u）-极性。相反，假设（3.1）不成立；我们证明了B是非m（u）-极性的。根据（3.2），如果需要，通过传递到B的子集，我们可以假设B V=[kVk=[kn\\t=1（Xt-1，Xt）-1（Vtkt）。我们还可以假设不存在ut-nullset ntb∪nt=0（Xt）-1（Nt）。根据经典最优输运[4，命题2.1]的结果，这意味着B不是∏（u）-极性；i、 e.我们可以找到一个测量ρ∈ π（u），使得ρ（B）>0。我们现在写B=SkB∩ Vk。Asρ（B）=Pkρ（B∩ Vk）>0，我们可以找到一些k，使得ρ（B∩ Vk）>0。但π：=ρ| Vksaties the Assumptions of Lemma 3.3，其产生P∈ M（u），使P>> π。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-5-31 07:13:18

特别是，P（B）>0，B不是M（u）-极性。3.1引理3.3的证明引理3.3的推理遵循时间步数n的归纳；其严格的公式要求对运输问题的后续步骤进行一定程度的控制。因此，我们首先陈述了引理（核心部分）的一个更定量的版本，该版本是根据归纳论点定制的。定义3.4。设u为凸序，V为m（u）的有效域。我们说，如果存在不相交的紧积集合，则有限测度π有一个紧支撑族，公里数 V带π(∪iKi）=π（Rn+1），使得Ki 对于某些不可约分量，对于所有i=1，m、定义3.5。设u为凸序，t≤ n和σ≤ ut在R上测量。如果t=n，我们说σ是对角兼容的（与u），如果是紧积集，我们指的是集K=a×···················，其中每个 R比较紧凑。有一个有限族的紧集L，Lm公司带σ的R(∪iLi）=σ（R）。然而，如果t<n，我们还需要，对于每个i，或者（a）Li Ik表示M（ut，ut+1）或（b）Li的某些不可约成分（Ik，Jk） I这里是t+1≤ t′型≤ n以便李 Is表示所有t的对角线分量M（us，us+1）≤ s<t′和Li 对于M（ut′，ut′+1）的某些（非对角线）不可约分量（It′k，Jt′k），我们设置Ink=Jnk=rf以便于记法。引理3.6。设t<n，设L Ibe包含在M（ut，ut+1）的对角线分量中的紧凑间隔，使得ut（L）>0。存在一个紧密间隔L′ L，ut（L′）>0和t+1≤ t′型≤ n使得L′ Is表示所有t的M（us，us+1）对角线分量≤ s<t′和L′ It′k对于M（ut′，ut′+1）的一些（非对角线）不可约分量（It′k，Jt′k），为了便于记法，我们再次设置Ink=Jnk=R。证据对于t=n，该陈述基本满足- 因为我们可以取L′=L。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-5-31 07:13:22

对于t<n- 1，考虑M（ut+1，ut+2）的不可约成分族（It+1k，Jt+1k）。我们区分了三种情况。（i）首先，考虑以下情况：∩ It+1k= 对于所有k≥ 1，则L包含在M的对角线分量中（ut+1，ut+2）。（ia）如果L={x}由一个具有正质量的单点组成，那么我们可以通过归纳得出t+1的结果。（ib）如果L的端点不在某些成分Itk的边界上，则观察ut | L=ut+1 | L。我们可以找到L′ 从t+1的thelemma语句中。然后L′给出的结果为ut（L′）=ut+1（L′）>0。（ic）如果L包含多个点，并且是某个组件Itk的端点。当这个端点x有正的点质量时，我们可以设置l′={x}，并得出（ia）中的结论。如果端点质量为零，我们可以找到 L使用ut（(R)L）>0压缩，其中不包含（ib）中的端点和参数。（请注意，可能最多有两个端点。）（ii）接下来，让k≥ 1应确保ut+1（L∩ It+1k）>0（尤其是RL∩ It+1k6=). 然后我们可以找到一个紧区间L′ L∩ 它+1k使得ut（L′）>0，我们直接看到L′满足引理的陈述。（iii）最后，假设有k≥ 1带L∩ It+1k6= 但是ut（L∩It+1k）=0。特别是这意味着L 6 It+1k。此外，这意味着It+1k6 五十、否则，ut+1（It+1k）=ut（It+1k）=ut（L∩ It+1k）=0，这与It+1k的定义相矛盾。因为L是一个紧区间，而它+1k是一个开放区间，所以我们得到L+1k是一个紧区间，ut（L+1k）=ut（L）>0。请注意，对于固定的L，最多可以有两个这样的组件It+1K，如有必要，我们将在（i）情况下删除这两个组件。引理3。7.让t≤ n和let J R是一个间隔，使得ut（J）>0。然后我们可以找到一个紧凑的区间K J，ut（K）>0，以便ut | Kis对角兼容。证据t=n的情况很简单。因此，设t<n。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-31 07:13:25

我们认为家族{Ik}k≥1对应于m（ut，ut+1）的不可约分量的开集，并区分两种情况。（i）有一些k≥ 1使ut（Ik∩ J） >0。在这种情况下，我们可以选择一个紧区间K Ik∩ J使得ut（K）>0。（ii）现在假设ut（Ik∩ J） =0表示所有k≥ 1、然后我们注意到最多有两个组件Ik，Ikso，Iki∩ J 6= andJ \\（Ik∪Ik）仍然是具有正ut质量的非空区间，因为Ik不能包含在J中。因此，我们可以在不丧失一般性的情况下假设J 土地紧凑。现在我们可以应用引理3.6来找到子区间 J使ut | Kis对角兼容。引理3.8。让t≤ n且设π是Rt+1上的一个度量，该Rt+1具有一个关于u的紧支撑族，u和满意度πs≤ usfor s≤ t、另外，假设π是对角相容的。然后在Rt+1上有一个鞅测度Q，它在绝对连续性意义下表示π，并且有一个关于u，…，的紧支撑族，u和满意度Qs≤ usfor s≤ t、此外，QT可以选择为对角兼容。最后，可以选择Q，使得dQ=gdπ+dσ，其中密度g有界，且测度σi相对于π是奇异的。证据我们在t上进行归纳。对于t=0，没有什么可以证明的；我们可以设置Q=π。考虑t≥ 假设引理已经为（t）给出- 1） -步骤措施。我们分解π=π′ κ（x，…，xt）-1，dxt）（3.3），观察π′满足引理的条件。特别是π′t-1必须对角兼容：支持的紧集包含在M（ut）的不可约分量中-1，ut）或在对角线组件中。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-31 07:13:29

M（ut）对角分量的任何此类紧子集-1，ut）必须对应于πtso支持的众多紧凑集合中的一个，它们继承了这些集合的兼容性属性。通过归纳假设，我们找到一个鞅测度Q′>>具有所述性质的rtn上的π′。特别是边缘Q′t-1与u对角兼容。再次，让{Ik}k≥1be M（ut）的不可约域（Ik，Jk）的开区间-1，ut），并让我记下相应的对角线域。我们将通过适当地操纵κ来构造鞅核^κ。让我们观察一下，由于π集中在V上，并且对于u，…，有一个紧凑的支持家族，ut，π′-a.e.x=（x，…，xt）的以下保持-（1）∈r和紧集的有限族li，其性质（a）或（b）来自定义3.5：oκ（x，·）=δxt-1无论何时xt-1.∈ 一、 oκ（x，·）集中在一些含Li的Li上 Jkfor xt公司-1.∈ Ikwithk公司≥ 1和Q′t-1（Ik）>0。通过改变π′-nullset上的κ，我们可以假设这两个性质适用于所有x∈ Rt.步骤1。接下来，我们认为我们可能会改变Q′和κ，使得边缘（Q′） κ） t=（Q′） κ）o 十、-1满意度（Q′） κ） t型≤ ut.（3.4）实际上，回想一下dQ′=dQ′abs+dσ′=g′dπ′+dσ′，其中密度g′有界，σ′相对于π′是奇异的。利用Lebesguedecomposition定理，我们找到了一个Borel集a 使σ′（A）=σ′（Rt）和π′（A）=0。通过用常数标度Q′，我们可以假设g′≤ 1/2。Asπt≤ ut，边缘（Q′abs κ）然后以ut为界，并保持为界（σ′） κ）用同样的方法罐头。注意，Q′t-1.≤ ut-1内含物σ′t-1.≤ ut-1、我们可以在集合A上任意改变κ，而不会失效（3.3）。实际上，对于M（ut）的每个不可约分量（Ik，Jk-1，ut）我们选择并固定一个紧凑的间隔Kk jk，ut（Kk）>0，使得ut | Kk对角兼容；这可以通过Emma 3.7实现。对于x=（x。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-31 07:13:32

，xt-（1）∈ 这样的xt-1.∈ Ikwe然后定义κ（x，·）：=ut（Kk）ut | Kk。设置k=ut（Kk）/ut-1（Ik）。然后：=信息：Q′t-1（Ik）>0k∧ 1是严格正的，因为只有很多k和Q′t-1（Ik）>0（这是归纳假设的目的，即Q′t-1对角线兼容）。Asσ′t-1.≤ ut-1，我们可以再次缩放Q′，以获得σ′t-1.≤ut-1、我们现在有（σ′| Rt）-1×Ik κ） t=σ′t-1（Ik）ut（Kk）ut | Kk≤ut-1（Ik）ut（Kk）ut | Kk≤ut | Kk。对于对角域，相应的不等式成立，因为我们有κ（x，·）=δxt-1对于xt-1.∈ Iandσ′t-1 | I≤ut-1 | I≤ut | I.作为一个序列，我们有（σ′）κ） t型≤utas是需要的，因此我们可以在下面的内容中假设（3.4）。第2步。我们现在构造一个鞅核^κ，使得Q=Q′ ^κ具有所需的属性。对于固定不可约分量（Ik，Jk），我们有Q′t-1 | Ik=Q′t-1 | K对于一些紧凑型K Ik。我们可以找到紧凑区间B-, B类+ jk与ut（B）-) > 0和ut（B+）>0，使得B-在x<y<z forx的意义上，位于K的左侧，B+位于K的右侧∈ B-, y∈ K和z∈ B+。通过引理3.7，我们可以进一步假设我们有B+ ITK和B- Itk′对于某些k，k′≥ 0，其中（Itl）l≥0属于M（ut，ut+1）的组分，且ut | B±对角兼容。接下来，我们定义两个非负函数x 7→ ε-（x），ε+（x）表示x=（x，…，xt-（1）∈ Rt公司-1×K如下：o对于x，使bary（κ（x，·））<xt-1，设ε+为唯一数，例如κ（x，·）+ε+（x）·ut | B+具有重心xt-1，o对于x，bary（κ（x，·））>xt-1，设ε-是唯一数，如κ（x，·）+ε-（x） ·ut | B- 具有重心xt-1，oε±（x）=0，否则。注意这些数字总是存在的，因为B-B+与点xt之间的距离为正-1.∈ K、现在，我们通过^κ（x）：=c（ε-· ut | B-+ κ+ε+·ut | B+，其中0<c≤ 1是一个规范化常数，使得^κ再次是一个随机tickernel。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-5-31 07:13:35

我们还定义了对角域上x的^κ（x）=κ（x）。对于每个k≥ 1，让B±K表示与上述Ikas相关的集合。一旦开始，数字c：=输入：Q′t-1（Ik）>0[ut（B-k）∧ ut（B+k）]是严格正的，因为只有很多k具有Q′t-1（Ik）>0。我们现在可以定义Q：=C·（Q′） ^κ）。那么Q是一个鞅输运，其边值满足Qs≤ Q’s≤ usfor0≤ s≤ t型- 1鉴于Qt≤ utby（3.4），^κ的构建和C的选择；确实，f对于每个xt-1.∈ Itkwe have3C^κ（x）≤ 3Cε-· ut | B-+ 3Cκ+3Cε+·ut | B+≤ ut | B-+ κ+ut | B+≤ 2ut+κ。要查看QTi对角兼容，请观察QTi由一个紧凑型集合的有限族支持，该紧凑型集合由以下组成：o紧凑型集合的有限族我有点担心-1 |(R)Li是对角可比的（根据归纳假设，Q′t-1对角线兼容），o一系列紧凑型Li JK代表一些k≥ 1带Q′t-1（Ik）>0，使Qt | Li≤ ut | Li是对角兼容的，并且o集合B±kF对于有限多个k，使得Q′t-1（Ik）>0，其中qt | B±k≤ ut | B±kis对角兼容。还需要检查Q是否具有关于π的所需分解。实际上，^κ可以分解为^κ=cκ+（1- c） κ⊥其中κ⊥是κ的单数。回顾分解Q′=Q′abs+σ′，wethen haveQ′ ^κ=cQ′abs κ+（1- c） Q\'abs κ⊥+ σ′型 ^κ。最后两项关于π=π′是奇异的κ、第一项对于有界密度是绝对连续的。引理3.3的证明。设π为边值为πt的测度≤ ut对于所有集中在某些不可还原组分V=VK上的T，尤其是有效域V。步骤1。我们首先分解π=P∞m=1πm，使得每个πm都符合引理3.8的要求，t=n。实际上，设V=∩nt=1（Xt-1，Xt）-1（Vtkt），首先假设1的kt6=0≤ t型≤ n

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-5-31 07:13:38

然后，我们可以把V写成非空区间的乘积：V=a×············································································································································∩ 对于1<t<n，它+1kt+1。因此，我们可以选择在=∪m级≥1Kmt用于所有t.设置π：=π| Qnt=0Km和πm：=π| Qnt=0Km\\Qnt=0Km-1TM>1产生所需的分解。如果一个或多个1的kt=0≤ t型≤ n、我们有V 。在这些修改之后，πmca可以如上定义；请记住，对角线组件始终是闭合的。第2步。对于每个测度πm，引理3.8产生一个鞅测度Qm>> πm具有引理中规定的性质。特别是，每个QM都有一个紧凑的支持系列。我们在下面显示存在∈ M（u），使Pm>> Qm，然后P：=P-mPmsatis公司∈ M（u）和P>> π根据需要。为了完成证明，还需要证明≥ 1存在0<<1和\'Qm∈ M（u- （Qm，…，Qmn）），我们可以通过设置Pm得出结论：=Qm+(R)Qm∈ M（u）。根据命题2.1，setM（u- 如果边值为凸序，则（Qm，…，Qmn））为非空；如果势函数满足ut，则（Qm，…，Qmn））为非空-1.- uQmt-1.≤ uut- uQmt（3.5），对于t=1，n、因此，对于固定t，可以用该性质找到>0，我们将问题归结为一个关于一步鞅运输问题的问题。事实上，我们有uut-1.≤ uuton R。由于QM有一个compactsupport系列，特别是由V支持，因此有一个紧凑集Kj的有限集合 R使每个KJI包含在其中一个间隔中-1KJ来自（ut）的分解-1，ut）转化为不可约组分，qm将质量f从kjt传输到每个j的自身，qm是补体上相同的Mongetransport(∪jKj）c。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-5-31 07:13:41

在每个Kj上，[10，引理3.3]的顶部中的步骤（a）和（b）产生>0，因此（3.5）保持Kj，并且我们可以独立于j选择>0，因为有很多j。另一方面，（3.5）通常保持(∪jKj）csince uQmt-1=设置的uQmton。这就完成了证明。4对偶空间在这一节中，我们引入了对偶优化问题的域，并证明了它具有一定的封闭性。后者将在下一节中对对偶定理至关重要。我们需要一个二重空间元素可积性的广义概念。为此，我们首先回顾凹函数的积分，详见【10，第4.1节】。定义4.1。Letu≤cν与域（I，J）不可约且letχ：J→ R是凹函数。我们定义（u- ν）（χ）：=ZI（uu- uν）dχ′+ZJ\\I|χ| dν∈ [0，∞]哪里-χ′是-χon I和|χ|是在边界点J\\I处χ跳跃的绝对大小。备注4.2。如【10，引理4.1】所示，该积分定义良好且满足（u- ν）（χ）=ZIχ（x）-ZJχ（y）κ（x，dy）u（dx）对于任何P=u κ∈ M（u，ν）。此外，它与差异u（χ）一致- 当χ∈ L（u）∩ L（ν）。为了以后的参考，我们记录了积分的另外两个性质。引理4.3。Letu≤cν与域（I，J）不可约且letχ：J→ Rbe凹面。（i）假设i有一个有限的右端点r，对于某些a，χ（a）=χ′（a）=0∈ 一、然后χ≤ 0和χ1[a，∞)是凹面的。如果ν有一个atomat r，那么χ（r）≥ -Cν（{r}）（u- ν）（χ1[a，∞))对于常数C≥ 0仅取决于u，ν。（ii）对于a、b∈ R、凹函数χ（x）：=χ（x）+ax+b满足度（u- ν）（(R)χ）=（u- ν）（χ）。证据第一部分为【10，备注4.6】，第二部分直接从‘χ′’=χ′’和(R)χ=χ。现在让我们回到向量u=（u，…）的多步骤情况。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-31 07:13:44

，un），并在不一定有φt的情况下引入u（φ）：=Pnt=0ut（φt）∈ L（ut）。如前所述，与[10]相比，多步运输问题并没有分解为不可约的组件，这迫使我们直接对积分进行全局定义。定义4.4。设φ=（φ，…，φn）是Borel函数φt:R的向量→\'R.Borel函数的向量χ=（χ，…，χn）χt:R→ R被称为φ的acocave慢化剂，if为1≤ t型≤ n、（i）M（ut）的不可约成分的每个域（i，J）的χt | Jis凹-1，ut），（ii）χt | I≡ 0表示对角线域Iof M（ut-1，ut），（iii）φt- χt+1+χt∈ L（ut），其中χn+1≡ 我们还召集了≡ 0.然后用u（φ）定义φ的模积分：=nXt=0ut（φt- χt+1+χt）+nXt=1Xk≥1（ut-1.- ut）k（χt）∈ (-∞, ∞], （4.1）式中（ut-1.- ut）k（χt）表示定义4.1对M（ut）的k-三次可约分量的积分-1，ut）。备注4.5。慢化积分与模数χ的选择无关。要看到这一点，考虑第二个慢化剂χ表示φ；那么我们就有（￠χt+1- χt+1）- （￠χt- χt）∈ L（ut）。我们可以假设（4.1）是至少一个主持人的定义。使用备注4.2和任意κtsuchthatut-1. κt∈ M（ut-1，ut）用于1≤ t型≤ n、以及福比尼定理forkernels，nXt=1Xk≥1（ut-1.- ut）k（χt）- （ut-1.- ut）k（￠χt）=Z··ZnXt=1χt（xt-（1）- χt（xt）κn（xn-1，dxn）··κ（x，dx）u（dx）-Z···ZnXt=1χt（xt-（1）- χt（xt）κn（xn-1，dxn）··κ（x，dx）u（dx）=nXt=0ut（（χt+1- χt+1）- （χt- χt））。现在可以得出（4.1）对两个慢化剂产生相同的值。为了以后参考，我们还记录了以下属性。备注4.6。如果χ是凹面慢化剂，定义4.4（ii）意味着χt=Xk≥1χt | Itk=Xk≥1χt | Jtkwhere（Itk，Jtk）是M（ut）的第k个不可约域-1，ut）。接下来，我们介绍了在缓和意义下具有有限积分的函数空间。定义4.7。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-31 07:13:47

我们用Lc（u）表示所有向量φ的空间，其中包含一个慢化子χ，pnt=1Pk≥1（ut-1.- ut）k（χt）<∞.因此，u（φ）是φ的定义∈ Lc（u），我们有u（φ）=Ptut（φt）表示φ∈ ∏nt=0升（ut）。在以下意义上，该定义也与鞅运输下的预期一致。引理4.8。Letφ∈ Lc（u），并设H=（H，…，Hn）为F-可预测。如果nXt=0φt（Xt）+（H·X）nis从下方以M（u）的有效域V为界，则u（φ）=P“nXt=0φt（Xt）+（H·X）n#，P∈ M（u）。证据让P∈ M（u），设χ为φ的凹慢化剂，在不丧失一般性的情况下，假设0为下限。使用备注4.6，我们得到Pnt=0φt（Xt）+（H·X）nequalsnXt=0（φt- χt+1+χt）（Xt）+nXt=1Xk≥1（χt | Itk（Xt-（1）- χt | Jtk（Xt））+（H·X）n≥ 根据假设，函数（φt- χt+1+χt）（Xt）是P-可积的。因此，剩余表达mus t的负部分也是P可积的。写入Pt：=Po （X，…，Xt）-1使用（χt | Jtk）+线性增长，我们可以看到，对于任何崩解，P=Pn-1. κn，Z“nXt=1Xk≥1（χt | Itk（Xt-（1）- χt | Jtk（Xt））+（H·X）n#κn（X，…，Xn-1，dXn）=n-1Xt=1Xk≥1（χt | Itk（Xt-（1）- χt | Jtk（Xt））+（H·X）n-1+Xk≥1Zχn |墨水（Xn-（1）- χn | Jnk（Xn）κn（X，…，Xn-1，dXn）。与内核迭代集成，使Pt=Pt-1. κ并观察到我们可以应用Fubini定理toPnt=1Pk≥1（χt | Itk（Xt-（1）-χt | Jtk（Xt））+（H·X）由于其负部分是P-可积的，我们得到了PnXt=1Xk≥1（χt | Itk（Xt-（1）- χt | Jtk（Xt））+（H·X）n=nXt=1Xk≥1（ut-1.- ut）k（χt），结果如下。我们现在可以定义我们的双重空间。使用非负奖励函数f会很方便，现在我们将放松这个约束；参见备注5.3。定义4.9。设f:Rn+1→ [0，∞]. 我们用Du（f）表示所有对（φ，H）的集合，其中φ∈ Lc（u）和H=（H。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-31 07:13:50

，Hn）是一个F-可预测过程，使得nxt=0φt（Xt）+（H·X）n≥ f在V上，引理4.8，在任何P下左手边的期望∈ M（u）由缓和积分u（φ）给出；当我们考虑对偶问题inf（φ，H）时，这将被视为（φ，H）的对偶代价∈Du（f）u（φ），见下文第5节。以下闭性性质是关于对偶空间的关键结果。提案4.10。Let fm:Rn+1→ [0，∞], m级≥ 1是一系列功能，以便→ f点宽度和宽度（φm，Hm）∈ Du（fm）应确保supmu（φm）<∞. 然后存在（φ，H）∈ Du（f）带u（φ）≤ lim信息→∞u（φm）。4.1提案证明4.10试图直接按照【10】的思路证明提案4.10，以解决凹型慢化剂控制的技术问题。粗略地说，他们不允许进行足够多的规范化；这与上述事实有关，即多步骤问题无法分解为其组件。我们将引入一个广义对偶空间，其中包含由分量索引的函数族，并在这个更大的空间中证明命题4.10的“提升”版本。一旦实现了这一点，我们也可以推断出原始空间中的封闭性结果。（愿意接受建议4.10的读者可以跳过本小节，而不会失去太多连续性。）定义4.11。设φ={φkt:0≤ t型≤ n、 k级≥ 0}是一个borelfunction族，由一个函数φkt:Jtk组成→对于M（ut）的每个不可约组分（Itk，Jtk），R-1，ut），按k索引≥ 1和1≤ t型≤ n、函数φt:It→\'R f或对角线分量由1确定≤ t型≤ n和一个函数φ：R→\'R表示t=0。同样，设χ={χkt:1≤ t型≤ n、 k级≥ 0}是一个函数族，由一个凹函数χkt:Jtk组成→ R foreach不可约分量（Itk，Jtk）和Borel函数χt:It→ R表示对角线分量。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-31 07:13:53

我们还召集了≡ 0并定义函数χt：=Pk≥0χkt |对于t=1，n、以及χn+1≡ 对于φ，我们称χ为凹慢化剂，如果对于所有t=0，n和k≥ 0，φkt+χkt- χt+1∈ L（ukt）和sumPk≥0ukt（φkt+χkt-χt+1）收敛于(-∞, ∞], 式中，ukt是m（ut）分解过程中第k个不可还原组分的第二个边缘-1，ut），如提案2.3和u≡ u。然后用u（φ）：=nXt=0Xk定义广义模型积分≥0ukt（φkt+χkt- χt+1）+nXt=1Xk≥1（ut-1.- ut）k（χkt）。对Itkis的限制对于避免总额中的“重复计算”非常重要。请注意，间隔J可能在其端点重叠。这个积分与广义鞅的概念无关。我们用Lc，g（u）表示所有族φ的集合，这些族允许凹慢化剂χ，使得nxt=0Xk≥0 |ukt（φkt+χkt- χt+1）|+nXt=1Xk≥1（ut-1.- ut）k（χkt）<∞.对于φ∈ Lc，g（u），u（φ）的值与模数χ的选择无关。如备注4.5所示。现在我们可以引入广义对偶空间。定义4.12。设f:Rn+1→ [0，∞]. 我们用Dgu（f）表示所有对（φ，H）的集合，其中φ∈ Lc，g（u），H=（H，…，Hn）是F-可预测的，nxt=0φktt（xt）+（H·x）n≥ f（x）对于所有x=（x，…，xn）和k=（k，…，kn），使得（xt-1，xt）∈ （Itkt，Jtkt）对于某些（不可约或对角）分量，t=1，n、我们观察到，对于任何x∈ V对应的k=（k，…，kn）是唯一定义的，其中指数k≡ 0的存在纯粹是为了便于注释。以下引理阐述了在选择Dgu（f）元素时的某些自由度，以供以后参考。引理4.13。Let（φ，H）∈ Dgu（f），设χ为相应的凹面慢化剂。让1≤ t型≤ n、设（Itk，Jtk）是M（ut）的不可约分量的域-1，ut）和c，c∈ R

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-31 07:13:56

通过（i）或（ii）引入新的家族（▄φ，▄H）和▄χ）：（i）定义▄φkt（y）=φkt（y）- （cy）- c），▄χkt（y）=χkt（y）+（cy- c），▄φk′t-1（x）=φk′t-1（x）+（cx- c） | Itk，￠χk′t-1=χk′t-1、~φk′s=φk′s、~χk′s=χk′s for s/∈ {t- 1，t}，~Ht=Ht+c | X-1吨-1（Itk），~Hs=Hs对于s 6=tw，其中k′运行在Subscript中相应步骤的所有组件上。给定不可约分量（I，J），表示法（x，y）∈ （I，J）表示x∈一、 y型∈ J、而对于对角线分量（I，I），应理解为x=y∈ 一、（ii）定义φt=φt+χt- χt+1 | It，▄χt=0，▄φkt=φkt- χt+1，§χkt=χkt代表k≥ 1，t=0，n、然后（▄φ，▄H）∈ Dgu（f）和￠χ是相应的凹面慢化剂。此外，我们有nXt=0φktt（xt）+（H·x）n=nXt=0▄φktt（xt）+（▄H·x）和φkt+χkt- χt+1=▄φkt+▄χkt- 对于所有k，χt+1≥ 1，t=0，n、以及u（φ）=u（￠φ）。证据（i）如果x等于（xt-1，xt）/∈ Itk×Jtk，则▄φktt（xt）=φktt（xt）fort=0，n和▄H（x）=H（x）。否则，▄φktt（xt）+▄φkt-1吨-1（xt-1） +~Ht（xt- xt公司-1） =φktt（xt）+φkt-1吨-1（xt-1） +Ht（xt- xt公司-1），▄φkt+▄χkt- χt+1=φkt+χkt- χt+1和|φk′t-1+￠χk′t-1.- χt=φk′t-1+χk′t-1.- χt.以及（ut-ut-1） k（χkt）=（ut-ut-1） k（￠χkt），这些标识仅是断言。（ii）与（i）中类似，所述术语在解释上一致。备注4.14。引理4.13（i）的修改可以同时应用于许多k，没有困难。在这种情况下，我们设置▄φk′t-1（x）：=φk′t-1（x）+Xk≥1（ckx- ck）| Itk，以及￠φkt（y）=φkt（y）- （cky- ck）和￠χkt（y）=χkt（y）+（cky- ck）对于组件k≥ 1在步骤t中，点态等式s保持如上所述，特别是缓和积分不会改变。备注4.15。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-5-31 07:14:01

任意（φ，H）∈ Du（f）诱导元素（φg，H）∈ Dgu（f），u（φg）=u（φ），通过选择一些凹面慢化剂χ作为φ并设置φkt：=φt | Jtk，χkt：=χt | Jtk。现在我们展示了广义对偶空间的引理4.8的类似物。引理4.16。Letφ∈ Lc，g（u），设H=（H，…，Hn）为F-可预测。如果nXt=0φkt（x）t（xt）+（H·x）nis从下方以M（u）的有效域V为界，则u（φ）=P“nXt=0φkt（x）t（xt）+（H·x）n#，P∈ M（u）。证据让P∈ M（u），设χ为φ的凹慢化剂，使得χt≡ 0并假设0是下限。很容易看出pnt=0φkt（x）t（xt）+（H·x）nequalsnXt=0（φkt（x）t-χt+1+χkt（x）t）（xt）+nXt=1（χkt（x）t（xt-（1）-χkt（x）t（xt））+（H·x）n≥ 假设Pnt=0（φkt（x）t- χt+1+χkt（x）t）（xt）是P可积的。因此，剩余表达mus t的负部分也是P可积的。写入Pt：=Po （X，…，Xt）-1使用（χkt）+线性增长，我们可以看到，对于任何崩解，P=Pn-1. κn，Z“nXt=1（χkt（x）t（xt-（1）- χkt（x）t（xt））+（H·x）n#κn（x，…，xn-1，dxn）=n-1Xt=1（χkt（x）t（xt-（1）- χkt（x）t（xt））+（H·x）n-1+Zh（χkn（x）n（xn-（1）- χkn（x）n（xn））iκn（x，…，xn-1，dxn）。与内核迭代集成，使Pt=Pt-1.κ并观察到我们可以应用Fubini定理toPnt=1（χkt（x）t（xt-（1）-χkt（x）t（xt））+（H·x）由于其负部分是P可积的，我们得到了P“nXt=1（χkt（x）t（xt-（1）- χkt（x）t（xt））+（H·x）n#=nXt=1Xk≥1（ut-1.- ut）k（χkt），结果如下。接下来，我们确定从Du（f）提升到Dgu（f）不会改变双重成本的范围。提案4.17。设f:Rn+1→ [0，∞]. 我们有{u（φg）：（φg，H）∈ Dgu（f）}={u（φ）：（φ，H）∈ Du（f）}。证据备注4.15显示了“包含”.” 为了显示相反的情况，我们可以应用引理4.13（i）和备注4.14来修改给定的一对（φg，H）∈ Dgu（f），使得x的φkt（x）=0∈ Jtk\\Itk，对于M（ut）的所有不可还原电源（Itk，Jtk-1，ut）和1≤ t型≤ n

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-5-31 07:14:04

这里我们使用了thatx∈ Jtk应用utk（{x}）>0，参见定义2.2，因此φg∈ Lc，g（u）表示φkt（x）∈ R也就是说，通过向φkt添加一个函数，这些端点确实可以移动到0。设χgbe为φg的凹慢化剂。使用上述引理4.3（ii）和againLemma 4.13，我们可以修改χkt以满足x的χkt（x）=0∈ Jtk\\Itk，对于M（ut）的所有不可约域（Itk，Jtk-1，ut）和1≤ t型≤ n、这里，终点处χkt的完整性来自引理4.3（i）和（ut-1.-ut）k（χkt）<∞.仍然通过（φg，H）表示修改的对偶元素，我们定义φ∈ Lc（u）和相应的凹面慢化剂χ乘以φt（x）：=φkt（x），χt（x）：=χkt（x），对于x∈ Jtk；由于φkt和χkt在属于多个集合Jtk的点处消失，因此它们得到了很好的定义。通过构造，我们得到了u（φ）=u（φg），结果如下。定义4.18。让1≤ t型≤ n和xt∈ R、序列x=（x，…，xt）是xt的前置路径，如果索引（k，…，kt）是（xs-1，xs）∈（ISK，JSK）对于M（us）的某些分量（不可约或对角线）-1，us），适用于所有1≤ s≤ t、我们为（唯一）关联序列（k，…，kt）写（x）f，然后是上述意义上的路径x，并为kt=k的所有前置路径的s et写ψkt（xt）。这些概念将有助于下一步的封闭性结果，即“正则化”凹慢化剂。为了下面一些表述的具体性，我们召集∞ - ∞ := ∞.引理4.19。Let（φ，H）∈ Dgu（0）。存在φ的凹慢化剂χ，使得φkt+χkt- χt+1≥ JTK上的0对于所有t=0，n、 k级≥ 1和（4.2）φt+χt- χt+1≥ 0ut-a.s.对于所有t=1，n、（4.3）因此，nXt=1Xk≥1（ut-1.- ut）k（χkt）≤ u（φ）。证据修复1≤ t型≤ n和let（Itk，Jtk）是m（ut）的某些组分的域-1，ut）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

栏目导航

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

分享

扫码加好友，拉您进群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群