在这种情况下，无论选择什么非零值，都需要遵守条件kαk<1，当且仅当kzk<q1时，这立即导致kαk<1- kβk.为了说明边缘化的影响，我们考虑了情况d=3，X=（X，X，X）0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0θm*图6：数量对（θ，m*) 这样VaRm*u（X）=最小平方意义下的eα（X）。这里u=（1，1）/√2和α=θu.Xis，如表1所示。灰色虚线表示用于比较的45度线。Y=（X，X）。我们进一步设置βr（t）=r（cos（t），sin（t））>，其中0<r<1，t∈ [0，2π）。对于αr（t）=（βr（t），z（r）），z（r）作为r函数的可能值被限制在区间内(-√1.- r√1.- r） 确保kαk<1。如图所示，X的第一个边际分布Xof X遵循Gumbel分布X~ tand x遵循标准的logistic分布，而依赖结构是根据参数θ=5的克莱顿copula给出的。因此，Y=（X，X）具有相同的Gumbel和tmargins，还通过参数θ=5的Clayton copula连接。在图7中，我们显示了产生的几何期望值eβr（t）（Y）和eαir（t）（X）的前两个成分，i∈ {1，…，7}，其中αir（t）=（βr（t）(-+ （一）- 1） （）√1.- r） 。图7显示了r=0.1（左上）、r=0.2（右上）、r=0.5（左下）和r=0.9（右下）的结果。从图中我们可以看出，预期曲线eβr（t）（Y）和eαir（t）（X）的前两个分量之间的多个交点∈ {1，…，7}是可能的。然而，有一个例外：在αr（t）的情况下，我们看到eβr（t）（Y）（橙色）总是包含在基于αr（t）（黑色）的相应预期曲线中。对于α的选择，数值结果暗示子向量Y的几何期望值作为一个集合包含在全向量X的几何期望值的各个分量中。

部分规划是指在计算eβr（t）（Y）时，根本不考虑组件（Xk+1，…，Xd）及其与（X，…，Xk）的依赖关系。虽然将α中的各元素设置为零确实消除了与（6）中（Xk+1，…，Xd）相关的内积项，另请参见（5），但在计算eαr（t）（X）时，它们仍然通过范数项对目标函数作出贡献。虽然这导致了相对较宽的扩展轮廓，但强制kα（t）k=kβ（t）k继续保持结果的可比性。在图8中，我们还计算了几何VaRβr（t）（Y）和VaRαir（t）（X），i∈ {1，…，7}，0.2 0.4 0.6 0.8-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4xyeβr（t）（Y）eαr1（t）（X）1,2eαr2（t）（X）1,2eαr3（t）（X）1,2eαr4（t）（X）1,2eαr5（t）（X）1,2eαr6（t）（X）1,2eαr7（t）（X）1,20.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2-0.6-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6xyeβr（t）（Y）eαr1（t）（X）1,2eαr2（t）（X）1,2eαr3（t）（X）1,2eαr4（t）（X）1,2eαr5（t）（X）1,2eαr6（t）（X）1,2eαr7（t）（X）1,2-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0xyeβr（t）（Y）eαr1（t）（X）1,2eαr2（t）（X）1,2eαr3（t）（X）1,2eαr4（t）（X）1,2eαr5（t）（X）1,2eαr6（t）（X）1,2eαr7（t）（X）1,2-2.-1 0 1 2 3 4-3.-2.-1 0 1 2 3xyeβr（t）（Y）eαr1（t）（X）1,2eαr2（t）（X）1,2eαr3（t）（X）1,2eαr4（t）（X）1,2eαr5（t）（X）1,2eαr6（t）（X）1,2eαr7（t）（X）1,20.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.6-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6xyVaRβr（t）（Y）VaRαr1（t）（X）1,2VaRαr2（t）（X）1,2VaRαr3（t）（X）1,2VaRαr4（t）（X）1,2VaRαr5（t）（X）1,2VaRαr6（t）（X）1,2VaRαr7（t）（X）1,2图8：βr（t）的VaRβr（t）（Y）=r（cos（t），sin（t））>，t∈ [0，2π）（橙色）和r=0.1。i=1（绿色，实心）、i=2（绿色，虚线）、i=3（绿色，虚线）、i=4（黑色）、i=5（蓝色，虚线）、i=6（蓝色，虚线）、i=7（蓝色，实心）的VaRαir（t）（X）的前两个条目。X=（X，X）和Y=（X，X），其中X遵循甘贝尔分布，X~ tand X遵循标准的物流配送。依赖结构以参数θ=5的Clayton copula形式给出。

计算基于20000个独立复制。Girard和Stup Fler【2017年】。为了进一步研究基础指数的范数趋于1时的行为，我们（数字）研究了函数D（r）=eα（r）（X）- E[X],其中α（r）=ru，对于固定的u，kuk=1且0<r<1。在图10中，我们展示了当u=-（1，1，1，1）/√图中，第一个边际分布X遵循Gumbel分布，X~ t、 X遵循标准物流配送和X~ N（0，1）。依赖结构以参数θ=3的Frank copula形式给出。根据数值实验，d（r）似乎在r中单调增加，而在r中没有限制。除了相关定义外，这一观察结果进一步支持了几何期望值与极端指数α的几何VaR行为相当的观点。这可能为研究几何期望值在多变量极值理论框架中的行为开辟了一条道路，沿袭Girard和Stup Fler【2015】的思路。-1 0 1 2-1 0 1 2xy●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●图9:X的eα（t）（X）~ Candα（t）=r（cos（t），sin（t））>对于r∈{0.1，0.2，…，0.9，0.95，0.99，0.9995，0.9999，0.99999}和t∈ [0，2π）橙色。黑色方框表示支持X，绿色圆圈表示从X中提取的样本。计算基于20000个独立的复制。5.6。

示例应用程序演示了如何在实际场景中使用几何期望值，我们考虑了adata生成过程，该过程推广了著名的复合泊松模型。通过E=（E，E），我们表示一个具有指数分布边距E的随机向量`~ Exp（β`），`=1，2。E分量之间的依赖结构由参数θ>0的Claytoncopula Cθ给出。对于泊松随机变量N~ Pois（λ）我们的最终随机向量X=（X，X）由X=NXk=1Ek，0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00 1 2 3 4 5 6r | eα（r）（X）给出- E[X]| | 2图10：eα（r）（X）- E[X]对于X=（X，…，X），当X遵循Gumbel分布时，X~ t、 X遵循标准物流配送和X~ N（0，1）。依赖结构以参数θ=3的Frank copula形式给出。此外，α（r）=-r（1，1，1，1）>/√r为4∈ {0，0.005，0.01，0.015…，0.995}。计算基于20000次独立复制。其中ek是E的一个独立副本（N和ej对于j 6=k）。通过构造，我们可以看到xj，j∈ {1，2}，是一个具有指数分布严重性的复合泊松模型。总之，该模型捕获了随机数个风险同时发生的情况，并且每个事件的组成部分不是独立的。我们的例子的动机是考虑车辆保险，它可以覆盖被保险方的医疗费用以及被保险车辆的物理损坏。从保险公司的角度来看，将有大量的事故发生，可以合理地假设保单的两个组成部分之间存在正相关性。对于我们的示例，我们考虑参数θ=0.9、β=1/10、β=1/15和λ=1。几何期望值的计算现在基于模拟iid样本（xi）i=1of X。因此，计算使用了符合推论4.2和其中讨论的蒙特卡罗估计量。

图11显示了产生的几何期望值，我们再次考虑前面介绍的，见图3和第5.2节，指数α（Д）=0.98（cos（Д），sin（Д））和α（Д）=（0.98 cos（Д），0.90 sin（Д））。考虑到在本例中，边缘为a.s.正，我们仅确定第一象限的方向，即∈ [0，π/2]。在这种情况下，数字表示指数αj（Дk），j的最终几何期望值∈ {1，2}，式中Дk=kπ/14，k∈ {0，…，7}。关于个人变量X和X，保险人现在可以根据医疗费用的覆盖范围根据各自的管辖权保留损失。涵盖医疗和物理损坏的车辆保险单在美国很常见。另一方面，例如，加拿大魁北克省没有此类产品，因为在这种情况下，医疗费用由该省承担。指数αj（Д）或分别为αj（Д）。取j=1对应于两个组成部分的传统置信度为0.99，而j=2对应于X的传统置信度为0.99，X的传统置信度为0.95。更重要的是，通过扩展所述的单变量预测模型验证理论，在Gneiting【2011年】或Nolde和Ziegel【2017年】中，可能通过回测根据实际数据验证拟议模型。然后，使用几何期望值，回溯测试将验证X的完整联合分布函数，而不仅仅是X和X.0 10 20 30 40 50 600 20 40 60 80xy的单个边缘分布●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0123456701234567●图11：双变量复合泊松模型的几何期望值eα（X）（绿线）和eα（X）（橙线）。指数表示为α（Д）=0.98（cos（Д），sin（Д））和α（Д）=（0.98 cos（Д），0.90 sin（Д）），其中∈ [0，π/2]。

数字表示指数αj（Дk），j的结果几何期望值∈ {1，2}，式中Дk=kπ/14，k∈ {0，…，7}。黑点表示二元平均值（E[X]，E[X]）。计算基于以灰色圆圈标记的X的100 IID化。6结论在本文中，我们引入了边缘具有有限二阶矩的多元分布函数的几何期望值。这一建议的函数自然地将Newey和Powell【1987】中引入的单变量期望值推广到任意固定维度d的多变量情况。几何期望值由d维向量表示，而不是单个实数，可用于风险管理目的，用于风险选择和比较。该方法与最近引入的其他多元风险度量方法一致。利用与Chaudhuri【1996】中引入的将分位数泛化的框架类似的框架，所得到的几何期望值通过Rd的openunit ball元素进行索引。几何期望值被视为统计函数，具有许多理想的性质。首先，对于任何具有有限二阶矩裕度的多元分布函数，它们都是定义明确且唯一的。其次，多元几何期望值在数据转换（如转换、重新缩放或重新排序数据）下具有理想的特性。推广了重排序，正交矩阵的乘法也表现良好。第三，在单变量情况下，几何期望值在多变量情况下是可以得出的。与单变量情况相比，这可能提供一种机制来对多变量预测程序进行排序，或对多变量模型与实际数据进行回溯测试。除了种群特征外，我们还研究了相应有限样本版本的性质和渐近性。

在这里，我们发现样本版本是人口特征的一致估计值。当不存在闭式解时，几何期望的蒙特卡罗估计很容易得到。此外，为了减少数值估计的方差，可以使用准蒙特卡罗方法来改进（4）和（6）中期望的蒙特卡罗估计的方差。这从数值的角度简化了极小化的计算。在所给出的示例中，我们利用这些基于模拟的近似来对比几何期望值与Chaudhuri【1996】中引入的几何分位数以及单变量期望值和分位数。我们的结果表明，对于给定的指数，几何风险值比几何期望值更为保守。如果边距上的二阶矩条件限制性太强，则仍需观察边距的缓和与几何期望值的相互作用，从而提供一种可能的方法。尽管目前的研究范围很广，但我们可以确定以下与多元几何期望有关的开放性问题：尚不清楚哪个随机顺序 随机向量之间与相应的几何期望相容，因此eα（X）@eα（Y）如果X 按此顺序为Y。此外，虽然本文提出的次可加性的多元推广可以在广泛的分布范围内进行数值验证，但尚不清楚如何通过分析来显示这一特性。第5.4节中讨论的边缘化也是如此，我们在数值上观察了几何期望值在应用于（高维）边缘和完整分布时的顺序。关于eα（X）到e[X]的距离，我们的发现与几何VaR一致，因此，我们有理由期望单调发散∞.

在有界随机向量的特殊情况下，这可能会妨碍几何期望值作为风险度量的直接应用，解决这一问题将是进一步研究的一部分。最后，尽管已知，见Koltchinskii【1997年】，几何VaRα（X）充分表征了X的联合分布，但不清楚这是否也适用于几何eα（X）。确认此项工作由NSERC在RGPIN-5010-2015和RGPIN-2015-05447赠款下支持。作者还想感谢康纳·杰克曼（ConnorJackman）在定理4.2的证明中传达了一个至关重要的步骤。参考B。Abdous和R.Theodorescu。关于随机向量的空间分位数的注记。《统计与概率快报》，13（4）：333–3361992。P、 Artzner、F.Delbaen、J.M.Eber和D.Heath。一致的风险度量。MathematicalFinance，9（3）：203–2281999年。A、 阿扎里尼。一类包含正态分布的分布。斯堪的纳维亚统计杂志，12:171–1781985。A、 Balb\'as、R.Balb\'as和P.Jim\'enez Guerra。向量风险函数。地中海数学杂志，6:139–150，2011年。五、 Barbu和T.Precupanu。Banach空间中的凸性与优化。Springer，第4届，2012年。F、 贝利尼和贝纳迪诺。带预期的风险管理。《欧洲金融杂志》，23（6）：487–506，2017年。一、 本·塔哈尔。向量值风险的尾部条件期望。SFB 649讨论论文，2006年。B、 脉轮。关于等变多元分位数。《统计数学研究所年鉴》，53（2）：380–4032001。P、 乔杜里。多元数据分位数的几何概念。《美国统计协会杂志》，91（434）：862-8721996。U、 Cherubini、E.Luciano和W.Vecchiato。金融学中的Copula方法。约翰·威利父子公司，奇切斯特，2004年。H、 Cossette、M.Mailhot和E.Marceau。

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