多元几何期望值 - 外文文献专区

2022-5-31 07:59:41

多元几何期望值*Marius Hofert+M'elina Mailhot'2018年1月19日摘要介绍了d维多元分布函数期望值的推广。由此产生的几何期望值是凸风险最小化问题的唯一解，由d维向量给出。它们在常见的数据转换下表现良好，相应的样本版本被证明是一致的估计量。我们举例说明了它们在多变量环境中作为风险度量的使用，强调了不同利润率和依赖结构的影响。关键词：期望值、几何分位数、可引出性、依赖性、最小化期望损失、多元风险度量1简介风险管理和应用精算学的一项基本任务是量化与给定头寸相关的风险。风险头寸的主要例子是投资组合持有或（再）保险合同。量化风险不仅对于金融机构、保险公司或个人投资者的内部决策过程是必要的，而且从监管角度来看也是必要的。例如，银行（OSFI、AMF、Basel II、2.5、III）和保险公司（CIA以及欧洲的Solvency II、Swiss Solvency Test）的监管框架不仅需要内部风险建模，而且还特别要求企业使用风险度量以特定方式量化和报告风险。这项任务本质上是多变量的，因为美国财产和意外伤害最低资本目标咨询委员会的一项关键原则是“风险应汇总”。在有证据表明在压力情况下分散风险将保持不变之前，不允许在风险类别之间进行分散”（见金融机构总监【2010年】）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 07:59:45

加拿大金融机构总监办公室声明：“总、让与和*康科迪亚大学数学和统计系，1400 de Maisonneuve Blvd。加拿大蒙特内尔（魁北克）西部H3G 1M8；电子邮件：klaus。herrmann@concordia.ca+加拿大安大略省滑铁卢市大学大道西200号滑铁卢大学统计和精算学系N2L 3G1；电子邮件：马吕斯。hofert@uwaterloo.ca康科迪亚大学数学与统计系，1400 de Maisonneuve Blvd。加拿大蒙特内尔（魁北克）西部H3G 1M8；电子邮件：melina。mailhot@concordia.ca.net索赔负债准备金必须由精算业务部门提供”（见金融机构监管局[2014]）。直到最近，监管经济资本都是基于单变量风险度量来计算的。在这种情况下，即当单独考虑风险时，风险度量的理论已经建立，参见McNeil等人【2015】第2章的概述。在这种情况下，最常见的两种风险度量是风险价值（VaR）和尾部风险价值（TVaR；有时也称为条件尾部预期或预期短缺）。然而，在处理投资组合时，必须重新调查资本分配，因为投资组合更适合同时为多个业务活动获取资本。在本文中，我们介绍了一种方法，该方法允许用户根据可能不同的信心水平将资本分配给每个风险，并考虑业务线之间的依赖性。在现实世界中，市场和资产相互关联，或容易出现系统性风险。在考虑依赖性可以发挥重要作用的保险合同时，情况也是如此。因此，在联合框架中考虑风险，而不是像自上而下的分配规则那样将其视为孤立的实体，这可能是有益的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-31 07:59:50

在过去十年中，加拿大银行（Bank of Canada）特别指出了这一考虑中的许多问题（参见Gauthier等人【2010年】）。为此，最近出现了一种多变量风险度量的一般理论，该理论特别考虑了潜在的依赖结构。基于多变量风险度量，Cherubini et al.（2004）使用双变量反分位数研究了两个股票指数之间的权衡。Di Bernardino等人【2013】使用多元风险值和尾部风险值研究了损失和调整损失分配费用（ALAE）。Gu’egan和Hassani【2014年】根据双变量分位数分配风险资本，其中操作风险和其他相关风险被视为独立的相关类别。大多数技术都使用一个接受集，如Jouini等人[2004]所述，并考虑到这些类别之间的依赖性，为每个风险类别计算一个度量。Balb\'as等人【2011年】提出了多变量风险函数的一般表示的若干性质。从精算的角度来看，Embrechts和Pucceti【2006年】、Cossette等人【2012年】、Councise和Di Bernardino【2013年】以及Torres等人【2015年】对概括VaR的多元风险度量进行了论述。Kosin andDi Bernardino【2014】和Cossette等人【2015】定义了TVaR的多变量版本。Maume Deschamps等人【2017年】也引入了期望值的多变量扩展。然而，这种方法与我们的方法不同，因为它是非几何的。同样，统计界已经将分位数（即VaR）的概念推广到更高的维度，例如，通过统计深度的概念，参见Mosler【2013】的概述，以及Abdous和Theodorescu【1992】、Chaudhuri【1996】或Chakraborty【2001】中基于优化的定义。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 07:59:53

尽管这两种方法从不同的起点出发，但在某些情况下，互连是可能的，参见Hallin和Paindaveine【2010】的例子。Serfling【2002】对不同方法进行了全面概述，而McNeil和Smith【2012】建立了半空间深度与压力测试风险因素之间的联系。我们的工作是基于这样一个事实，即尽管其具有良好的性质和受欢迎程度，但在单变量情况下无法得出风险价值，参见Gneiting【2011年】。可激发性是Osband（1985年）研究的一种属性，目的是对风险的估计进行评分。因此，当使用TVaR，或者如Ziegel【2014】所示，使用预期以外的任何其他光谱风险度量时，不可能使用相同的标准进行基于预测的模型选择和风险评估。虽然单变量分位数是可引出的，因此可用于基于预测的模型选择，但它们不符合广泛接受的一致性框架，参见Artzner等人【1999年】，该框架以公理化的方式建立了风险度量的可参考属性。这是实际应用中的一个严重缺陷。正如齐格尔（Ziegel）[2014]所示，纽伊（Newey）和鲍威尔（Powell）[1987]提出的唯一可引出的、法律不变的和连贯的风险度量是期望值。期望值概括给定概率分布的平均值的方式与分位数概括中值的方式大致相同。此外，当考虑与给定头寸相关的损益比率时，它们有一个自然的解释，即预期收益与预期损失的比率，这是投资组合管理中一个流行的绩效衡量指标，见Bellini和Di Bernardino【2017】。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 07:59:56

为了达到预先规定的且在实际应用中具有足够高的盈亏比，需要增加到给定职位的金额由一个预期值给出。因此，在单变量情况下，预期值结合了风险度量的有利特性，构成了对已建立的VaR和TVaR的重要补充。考虑到多变量风险度量的需要和单变量期望值的有利性质，因此，本研究的主要目标是确定期望值的多变量变化并研究其性质。此外，本文还引入了一个新概念，即为每种风险分配一个不同的置信水平，同时考虑它们之间的依赖结构。本文的结构如下。第2节简要总结了单变量分位数和期望值，而第3节介绍了多变量框架背后的主要思想。具体而言，第3.1节回顾了几何分位数，而第3.2节定义了几何期望值作为本文的主要贡献。我们在第4节讨论了新引入的统计泛函的总体和渐近性质，而在第5节讨论了示例。最后，第6节得出结论。选定的绘图可以使用最新版本的R包qrmtools进行复制；请参阅vignette geometric\\u risk\\u measures。2单变量分位数和期望值这是统计学中的一种标准方法，用以在给定损失函数下最小化随机变量的期望损失来表示总体特征。考虑到绝对值|·|，中值解出med X=argminc∈RE[| X- c |]，而在考虑平方损失E[X]=argminc时，得到的平均值∈RE[（X- c）】。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-5-31 07:59:59

在绝对值损失函数的情况下，很容易观察到，使用|·|的非对称推广，可以得到中值以外的分位数。对于α∈ （0，1）我们将支票损失定义为ρα：R→ [0，∞), t 7→α- 1个(-∞,0]（t）|t |，（1）其中我们看到α=0.5的情况与通常的绝对值直接相关。与中值相似，这导致F-1（α）=argminc∈RE[ρα（X- c）】。在Koenker和Bassett【1978】中，这一观察结果是引入分位数回归框架的起点。作为替代品，Newey和Powell（1987）在相同的直线上引入了方形损耗的不对称版本。为此，我们设定λα：R→ [0，∞), t 7→α- 1个(-∞,0]（t）|t |，（2）其中α∈ （0，1）。极小值e（α）=argminc∈RE[λα（X-c） ]被称为期望值，类似于最小化支票损失的分位数。同样，情况α=0.5简化为众所周知的激励示例，即e（0.5）=e[X]。广义损失函数是其对称α=0.5对应项的对称版本。然而，与ρα相比，损失函数λα是连续可微的，从而在最小化的背景下产生了有利的分析性质。3多变量几何风险度量为了将单变量期望值推广到多变量环境，我们首先回顾了Chaudhuri（1996）提出的第3.1节框架。这允许对（1）中的损失函数进行适当的推广，从而得到多元几何分位数。在第3.2节中，我们应用Chaudhuri【1996】的基本思想，给出（2）的多元推广，并引入多元几何期望值，作为本文的主要贡献。3.1。RiskChaudhuri的多元几何值【1996】通过推广第2节中概述的方法，提供了多元分位数的定义。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 08:00:02

得到的几何分位数是基于（1）中给出的广义ρα的多元损失函数，通过最小化预期损失得到的。对于x，y∈ Rdwe用kxk表示=√x> x和hx，yi=x>y分别是欧几里德范数和内积，由Bd={x∈ Rd:kxk<1} RDINRD是开放单位球，在明确的情况下，我们忽略了上标。对于固定指数u∈ BChaudhuri【1996】定义了损失函数ΦuasΦu:Rd→ [0，∞), t 7→ Φu（t）=（ktk+hu，ti）。（3）而对于所有u，Φu（0）=0∈ B、对于所有（u，t），Φu（t）>0∈ B×Rd使用Cauchy-Schwarz不等式。Φu的凸性直接来自范数和内积的性质。基于α级的Φuthe（多元）几何分位数或几何VaR∈ B对于随机向量X，则定义为varα（X）=argminc∈RdE[Φα（X- c）】。（4）如Chaudhuri【1996】所示，（4）的右侧始终是有限的，因此最小化是适定的。此外，得到的几何VaR是（4）的唯一极小值。在（4）中，向量α∈ B担任信任级别的角色。然而，由于多变量上下文的原因，VaR现在由d维向量而不是标量索引。与其他方法相比，这增加了额外的灵活性，如Cousin和Di Bernardino【2013年】、Ben Tahar【2006年】和Cossette等人【2015年】，其中，只能为多变量风险X设置一个标量置信水平。还需要注意的是，几何量α（X）本身由Rd中的向量表示。这使得得出的风险度量比Cousinand Di Bernardino【2014】、Cousinand Di Bernardino【2013】和Mailhot等人的方法更容易用于风险分析。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 08:00:05

【2017年】当将（0，1）中的传统置信水平与我们设定的单变量情况进行比较时，如果得出的多变量数量是Rd中的子集，则必须小心调整指数。通过简单地根据f重新索引，两种设置是等效的：[0，1]→ [-1，1]，x 7→ f（x）=2x- 因此，传统设置中99%的指数与本文采用的惯例中98%的指数具有可比性。目标函数等高线的方向受指数u的方向影响，而指数的大小会改变等高线的形状。对于较小的Kukt值，等高线更像范数，即更圆，并且在极限kuk=0，即当且仅当u=（0，0）时，我们确实剩下范数的圆形等高线。3.2。多元几何期望根据Chaudhuri【1996】的方法，我们通过λα的多元推广引入期望的多元表示。为此，将（2）中给出的λα的原始定义改写为λα（t）=| t |（| t |+（2α- 1） t）。可以很容易地验证，所有t∈ R、与（3）类似，这激发了我们对损失函数∧uas∧u:Rd的定义→ [0，∞), t 7→ ∧u（t）=ktk（ktk+hu，ti），（5），其中u∈ B是开放单元球的固定元素。假设所有（u，t）的Φu（t）>0∈B×Rdit很明显，我们也有∧u（t）>0表示所有（u，t）∈ B×Rd.对于Φuwe，所有u的∧u（0）=0∈ B、对于给定的置信水平α∈ B我们现在将随机向量X的几何期望值定义为基于∧α的期望损失的最小值，即α（X）=argminc∈RdE[λα（X- c）】。（6）与几何VaR一样，几何预期值的定义基于指数α∈ B允许指定置信水平的方向和大小。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-31 08:00:09

此外，几何期望值是Rd中的向量。这使得它们比作为Rd子集给出的多变量风险度量更容易解释。例如，对于α=0，很容易看到E（X）=（E[X]，…，E[Xd]）。因此，平均向量类似于单变量情况，是（6）中定义的几何期望值的特例。在第4节中，我们讨论了极小eα的存在性及其唯一性，以及eα的进一步性质。u1=0.9/2（1,1）t1t20.05 0.0711 0.1011 0.1437 0.2042 0.2904 0.4128 0.5869 0.8343 1.1861 1 1.6862 2.3972 3.408 4.845 6.8879 9.7923 13.9212 19.7912 19.7912 19.7912 28 28.1362 40-4.-2 0 2 4-4.-2 0 2 4●u2=0.9/2时∧u2（t1，t2）的等高线(-1,1）t1t20.05 0.0711 0.1011 0.1437 0.2042 0.2904 0.4128 0.5869 0.8343 1.1861 1 1.6862 2.3972 3.408 4.845 6.8879 9.7923 13.9212 19.7912 19.7912 19.7912 19.7912 28.1362 40-4.-2 0 2 4-4.-2 0 2 4●u3=0.5/2时∧u3（t1，t2）的等高线(-1,1）t1t20.05 0.0711 0.1011 0.1437 0.2042 0.2904 0.4128 0.5869 0.8343 1.1861 1 1.6862 2.3972 3.408 4.845 6.8879 9.7923 9.7923 13.9212 19.7912 19.7912 19.7912 19.7912 28.1362-4.-2 0 2 4-4.-2 0 2 4●证据对于t 6=0，很明显，每个变量的偏导数存在且是有限的。为了证明t=0的说法，我们首先考虑梯度的第k个元素，由tk∧u（t）=tk+tk2 ktkhu，ti+ktkuk。现在考虑一个序列（tn）∞n=1如此限制→∞tn=0，我们可以通过d维极坐标来表示每个元素tn，也就是说，我们考虑半径rnand角度φn，1，φn，d-1使tn可以用tn=rn表示cos（φn，1）sin（φn，1）cos（φn，2）sin（φn，1）sin（φn，2）cos（φn，3）。。。sin（φn，1）···sin（φn，d-2） cos（φn，d-1） sin（φn，1）···sin（φn，d-2） sin（φn，d-1），则，= rnξ（φn，1，…，φn，d-1）其中rn→ 0作为n→ ∞. 写入ξ。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 08:00:13

，ξd对于ξ=ξ（φn，1，…，φn，d）的分量-1）注意到kξk=1，我们观察到tk∧u（t）=rnξk+rnξk2rnrnhu，ξi+rnkξkuk，对于n收敛到零→ ∞ 对于任何序列（tn）∞n=1接近零。从Φuin（3）的定义可以清楚地看出Φuis是一个凸函数。虽然这对于使用几何期望值的损失函数∧也是如此，但从（5）中还不能立即明确。为了简化讨论，我们首先回顾了凸分析的一个众所周知的结果，例如Rudin【1976年】。引理4.1（中点凸性）。用f表示：Rd→ R连续函数。那么f是凸的当且仅当它是中点凸的，即0.5f（t）+0.5f（t）- f（0.5（t+t））>0对于所有t，t∈ Rd.为了进一步准备结果，我们首先提出了一个定理，推广了常见的平行四边形恒等式。虽然这是定理4.3中凸性证明的一个重要组成部分，但结果本身很有趣。定理4.2（平行四边形不等式）。用B={u表示∈ Rd:kuk6 1}对于任意固定向量x，y，Rd.中的closedunit球∈ Rdit认为-kx公司- yk6 2 kxkhu，xi+2 kykhu，彝族- kx+ykhu，x+yi 6 kx- yk（7）适用于所有u∈ B、对于u，当且仅当x=y时，kuk<1等式在（7）中成立。我们首先考虑（7）的有界分量是u的函数，可以重写为fx，y（u）=hu，（2 kxk- kx+yk）x+（2 kyk- kx+yk）yi。首先，我们考虑两种特殊情况。对于x=y，（7）中所有边上的所有项均消失，且质量适用于所有u∈ B、对于x=0 6=y，我们有f0，y（u）=kykhu，yi。因此-kyk6 f0，y（u）6 kykholds是Cauchy-Schwarz不等式的结果。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 08:00:17

只有当kuk=1时，等式才成立。然后，对于一般情况，我们考虑y 6=x 6=0，定义（x，y）=k（2 kxk- kx+yk）x+（2 kyk- kx+yk）yk。对于Cauchy-Schwarz不等式和kuk6 1，我们得到了-L（x，y）6 fx，y（u）6 L（x，y），其中等式仅在kuk=1时成立。我们的索赔现在相当于L（x，y）6 kx- yk，或等效tokx- yk公司- L（x，y）>0。（8）由于这两个术语的尺度不变性，因此SL（σx，σy）=σL（x，y），kσx- σyk=σkx- yk，对于任何σ>0，我们在不损失一般性的情况下考虑x和y，使得kx+yk=1。任何其他情况都可以通过σ=1/kx+yk重新缩放来处理。我们继续考虑（kxk，kyk）的极坐标∈ r等于kxk=r cos（θ）和kyk=r sin（θ），其中r>0和0 6θ6π/2，因为（kxk，kyk）的严格分量正性。此Yieldskx+yk=kxk+kyk+2 hx，yi=r+2 hx，yi=1，或者（2 hx，yi=1- r）。对于kx- ykwe havekx- yk=kxk+kyk- 2 hx，yi=r- （1）- r） =2r- 1、对于（8）中的第一个术语，我们有kx- yk=（2r- 1）。关于L（x，y），我们有L（x，y）=αkxk+βkyk+αβ2 hx，yi和α=（2 kxk- kx+yk）和β=（2 kyk- kx+yk）。根据r和θ，我们得到α=（2r cos（θ）- 1） β=（2r sin（θ）- 1） αβ=（2r cos（θ）- 1）（2r sin（θ）- 1） L（x，y）=αrcos（θ）+βrsin（θ）+αβ（1- r）。根据r和θ重新计算（8），然后再计算yieldskx- yk公司- L（x，y）=2r（r cos（θ）+r sin（θ）- 1）（2r sin（θ）cos（θ）+sin（θ）+cos（θ）），考虑到θ的限制，它是非负的。给定引理4.1和定理4.2，我们现在可以建立∧u的严格凸性。定理4.3（∧u的严格凸性）。对于每个固定u∈ B（3）中定义的函数∧ude在Rd证明上是严格凸的。由于∧uand引理4.1的连续性，我们关注中点凸性。为此，定义D（x，y）=0.5∧u（x）+0.5∧u（y）- ∧u（0.5（x+y）），x，y∈ 其中∧u（0.5（x+y））=0.25 kx+yk+0.25 kx+ykhu，x+yi=0.25∧u（x+y）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 08:00:20

函数∧uis则凸当且仅当h:Rd×Rd→ R、（x，y）7→ h（x，y）=4D（x，y）=2∧u（x）+2∧u（y）- ∧u（x+y）为非负。对于h，我们有h（x，y）=2 kxk+2 kxkhu，xi+2 kyk+2 kykhu，yi- kx+yk- kx+ykhu，x+yi=kx- yk+2 kxkhu，xi+2 KKKHU，彝族- kx+ykhu，x+yi，其中我们使用平行四边形恒等式2 kxk+2 kyk=kx+yk+kx- 得到第二个等式。条件h（x，y）>0等于-kx公司- yk6 2 kxkhu，xi+2 kykhu，彝族- kx+ykhu，x+yi，定理4.2成立。由于指数u假设位于开放球中，即kuk=1，因此∧uis严格凸的事实是不允许的。到目前为止，我们已经确定∧uis在t=0的固定点是可微分的。此外，∧u的严格凸性保证了∧u至多存在一个全局最小值。为了最终确保这种最小值的存在，我们建立了∧u定义4.1的强制力（Rd上的强制函数）。实值函数f:Rd→ 如果limn→∞f（xn）=∞ 对于所有序列（xn）∞n=1如此限制→∞kxnk=∞.矫顽力在优化理论中起着重要作用，因为它保证了一大类实值函数至少存在一个极小值。这一事实在下面的定理中被形式化。定理4.4。用f表示：Rd→ R是强制凸函数。然后存在一个元素x∈ rdf（x）=infx∈Rdf（x）。证据

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 08:00:23

证明源自Barbu和Precupanu【2012】中更一般的定理2.11和备注2.13，适用于反射Banach空间上的下半连续函数。Tuy【2016】中的命题2.3保证了f的必要连续性，该命题指出RDI上的一个适当凸函数在其有效域的每个内点上都是连续的。为了最终将所有部分连接在一起，我们在以下定理中建立了∧uin的矫顽力。考虑到定理4.3中建立的∧u的严格凸性，应用定理4.4可确保存在唯一的全局极小值。根据我们以前的观察，特别是定理4.1，我们知道对于每个给定的u，这个最小值都位于0∈ B、定理4.5（矫顽力∧u）。函数∧uis在Rd.Proof上是强制的。考虑到kuk=s<1，Cauchy-Schwarz不等式意味着hu，xi>-s kxk。因此∧u（x）>0.5 kxk（1- s）这证明了这一说法。4.2。利用∧uin place的性质，我们现在可以处理eα的性质。在（6）中，有必要确保目标函数（即预期损失）是有限的。与单变量情况类似，我们发现边际分布的有限二阶矩条件是有效的。因此，我们引入了d维随机向量X的条件（C），假设E[Xj]<∞ 对于所有j∈ {1，…，d}以便于参考。这将导致以下结果。定理4.6。如果（C）对d维随机向量X=（X，…，Xd）成立，则0 6 E[λu（X- c） ]<∞ 对于每个c∈ RDA和u∈ B、证明。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 08:00:27

我们使用Jensen不等式和kuk<1来获得| E[kXkhu，Xi]| 6 E[kXk，hu，Xi |]6 E[kXk]。对于给定的c∈ RDA和u∈ B、这导致toE[λu（X- c） ]=|E[u（X）- c） ]| 6 E[kX- ck]+E[kX- ck | hu，X- ci |]6 2E[kX- ck]=2dXj=1E[（Xj- cj）]<∞,对于所有（u，t），as∧u（t）>0∈ B×Rd和E【Xj】<∞.现在，预期损失的完整性得到了解决，我们转向eα的存在性和唯一性。为此，我们将Lehmann【1983】中定理6.8的证明改编为更一般的设置。为此，设φ（c）=E[λα（X- c）（9）表示（6）中使用的目标函数，并回顾概率收敛到一致性。定义4.2（概率收敛到∞). 正随机变量序列（Yn）∞n=1概率接近∞, 如果，对于每K>0，limn→∞P【Yn>K】=1。为了显示φ的矫顽力，我们首先讨论∧α（X）的概率行为- c）当KCK朝∞.引理4.2。对于向量序列（cn）∞n=1使kcnk→ ∞ 对于固定的随机向量X，序列∧α（X- cn））∞n=1概率接近∞.证据根据定理4.5的证明，我们得到∧α（t）>0.5（1-s） ktk，其中s=kαk。因此，几乎可以肯定∧α（X- c） >0.5（1- s） kX公司- ck。（10）对于反三角形不等式，我们也有0.5（1- s） | kXk- kck | 6 0.5（1- s） kX公司- ck，（11）几乎可以肯定。对于任意固定的K>0，我们定义了setsAn（K）={ω∈ Ohm : 0.5（1- s） | kXk- kcnk |>K}，Bn（K）={ω∈ Ohm : 0.5（1- s） kX公司- cnk>K}，Cn（K）={ω∈ Ohm : ∧u（X- cn）>K}，导致An（K） Bn（K） Cn（K）基于不等式（10）和（11）。对于An（K）和每K>0，我们得到p[An（K）]=1- P[0.5（1- s） | kXk- kcnk | 6 K]，=1- P“| kXk- kcnk | 6r2K1- s#，=1-FkXkkcnk+r2K1- s- FKXKCNK-r2K1- s→ 1，对于n→ ∞.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 08:00:31

由于P[An（K）]6 P[Bn（K）]6 P[Cn（K）]，limn→∞P[Cn（K）]=1，表示每个K>0。在第二步中，我们证明了定理4.3中建立的∧u的严格凸性转移到φ。定理4.7（φ的严格凸性和连续性）。如果（C）适用于随机向量Xthenφ：Rd→ [0，∞), c 7→ φ（c）=E[λα（X- c） ]对于每个固定α，在Rd上严格凸且连续∈ B、证明。假设X的边缘二阶矩是有限的，定理4.6保证φ对于每个c∈ Rd.带λ∈ [0，1]和c，c∈ Rd使得c6=cwehaveφ（λc+（1- λ） c）=E[λα（X- （λc+（1- λ） c））]，=E[λα（λX+（1- λ） X个- λc- （1）- λ） c）]，=E[λα（λ（X- c） +（1- λ）（十）- c））]，<E[λ∧∧α（X- c） ]+（1- λ） ∧α（X- c） ]，=λφ（c）+（1- λ） φ（c）。连续性源于这样一个事实，即RDI上的每个适当凸函数都是其有效域的一个连续内点，例如，见Tuy【2016】的命题2.3。在确定φ在所有rds上都是严格凸的之后，权利要求如下。结合引理4.2和定理4.7，现在我们可以确保几何期望的存在性和唯一性。定理4.8（eα的存在性和唯一性）。如果（C）对d维随机向量X成立，则存在唯一解eα（X）=argminc∈每个固定α的Rdφ（c）∈ B、证明。首先，我们证明φ是强制的，fix是序列（cn）∞n=1使kcnk→ ∞.为了证明φ（cn）发散，我们假设任意K>0，且定义n（K）={ω∈ Ohm : ∧α（X- cn）>K}。假设∧α为正，则φ（cn）=E[∧α（X- cn）]=ZCn（K）∧α（X- cn）dP+ZOhm\\Cn（K）∧α（X- cn）dP>ZCn（K）∧α（X- cn）dP>KP[cn（K）]。引理4.2产生KP[Cn（K）]→ K为n→ ∞, 这表明φ是发散的，也就是说φ是强制的。注意，从定理4.7中，φ也是连续且严格凸的。然后应用EOREM 4.4。在建立了几何期望值的基本属性之后，我们现在讨论它们在数据转换下的行为。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 08:00:34

正如Chaudhuri（1996）对VaRα（X）所做的那样，很容易说明几何期望值在基础随机向量X的平移、旋转和重缩放方面的表现。将确定性量添加到不确定位置只会根据相干风险度量的平移不变性，简单地改变产生的风险度量。命题4.1（翻译不变性）。如果（C）适用于d维随机向量，则eα（X+a）=eα（X）+a适用于所有a∈ Rd证明。通过定义，我们得到eα（X）=argminc∈RdE[λα（X-c）】。因此，E[λα（X-（c）-a））]将通过eα（X）+a最小化。比例转换下的合理行为确保基本度量单位的变化（例如，从美分到美元）适当反映在风险度量的行为中。对于几何期望值，如下所示。这与一致风险度量的正同质性相似。命题4.2（正同质性）。如果（C）适用于d维随机向量，则对于每个正标量σ>0，eα（σX）=σeα（X）。证据∧α（σX- c） =kσX- ck（kσX- ck+hα，σX- ci）=σ十、- σ-1c级σ十、- σ-1c级+ σα、 X个- σ-1c级= σ∧α（X- σ-1c）。假设eα（X）最小化σe[λα（X- c），因为正因子σ只改变目标函数的值，而不改变最优值的位置，我们得到σeα（X）使∧α（σX）最小化- c），即eα（σX）=σeα（X）。可以合理预期，X的组成部分的排列应该像最终风险度量的条目排列一样。几何期望值不仅在置换下表现良好，而且在一般正交旋转下表现良好。命题4.3（正交矩阵旋转）。如果（C）对d维随机向量X成立，则eAα（AX）=每个正交矩阵a的Aeα（X）∈ Rd×d证明。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 08:00:38

通过A的正交性，对于每个x，y∈ Rd，我们有hAx，Ayi=hx，yi和kaxk=kxk。通过A>A的转置表示，因此得到∧Aα（AX- c） =kAX- ck（kAX- ck+hAα，AX- ci）=十、- A> c类十、- A> c类+α、 X个- A> c类= ∧α（X- A> c）。假设eα（X）最小化e[λα（X- c） ]，E[λα（X）的极小值- A> c）]由AEα（X）给出。综上所述，命题4.1–4.3保证eα（X）在最相关的数据转换中表现良好。在这种情况下，很自然会问是否存在suitableordering 对于随机向量，例如X Y表示eα（X）@eα（Y）为可能的不同顺序@。虽然这一点非常有趣，但事实证明，很难得出合适的结果，因此我们将其作为有待进一步研究的开放问题。在下面的推论4.1和命题4.4中，我们将一元期望值的著名对称性推广到多元设置。我们首先建立X的几何期望值和-X作为命题4.3的一个集合。推论4.1（向量符号对称）。如果（C）对d维随机向量Xthen eα成立(-十） =-e-α（X）表示所有α∈ B、证明。用A=-一、其中I是适当的单位矩阵，并且-α和重新排列术语。对于径向对称分布，参见McNeil等人【2015】第7章，当改变下垫指数α的符号时，预期值也遵循对称关系。命题4.4（索引符号对称性）。如果（C）适用于具有平均向量u的d维径向对称性向量X，则u=（eα（X）+e-α（X））表示所有α∈ B、证明。对于α∈ B我们有-α（X- c） ]=E[kX- ck]+E[kX- ckh公司-α、 X个- ci]=E[k-（c）- 十） k]+E[k-（c）- 十） khα，c- Xi]=E[λα（c- 十） ]=E[λα(-（十）- c））]对于所有c∈ Rd。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 08:00:43

根据平移不变性（命题4.1）和径向对称X- ud=-（十）- u）因此我们有-α（X- （2u- eα（X））]=e[λα(-（十）- u）- eα（X）+u）]=e[λα（（X- u）- （eα（X）- u））]=E[λα（（X- u）- eα（X- u））]，其中右手侧最小化，这意味着-α（X）=2u- eα（X）。在单变量环境中，预期值由于其可引出性，在可能的风险度量中是一个有吸引力的选择。正如Gneiting（2011）所述，在考虑点预测时，可引出性是统计泛函的一个属性。用F表示具有有限次边缘矩的rds上的概率分布类，我们用T表示统计函数，即T:F→ Rd，F 7→ T（F）。通常，统计泛函可以是集值映射，例如分位数。然而，我们将在这里集中讨论它们在欧几里德空间中取值的情况，因此我们将Gneiting【2011】中给出的可引出性定义调整为该情况。定义4.3（可引出性）。一个统计函数T被称为相对于F类的可导函数，如果1）存在一个评分函数S:Rd×Rd→ [0，∞), （x，y）7→ S（x，y），使得有一个表示t（F）=argminc∈RdE[S（c，X）]，对于每F∈ F其中X~ F，and 2）E[S（T（F），X）]=E[S（c，X）]表示c=T（F）。因此，如果函数T可以表示为适当评分函数的Bayes规则的唯一极小值，则它是可导出的。对于几何期望值，我们可以定义α∈ B、一个相关的功能性TαasTα：F→ Rd，F 7→ X的eα（X）~ F、其中定理4.8保证Tα（F）不是集值的。从eα的定义可以清楚地看出，评分函数α：Rd×Rd，（x，y）7→ ∧α（x- y）使Tα相对于类F可引出。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 08:00:46

在这里，定理4.8在具有有限二阶矩的边际的联合分布假设下起着至关重要的作用。在单变量情况下，可引出性允许评估和比较不同竞争模型的预测性能，有关讨论，请参见Nolde和Ziegel【2017】。在实际设置中，这允许根据预期点预测性能选择最佳模型，并针对实际数据实施有意义的基于预期的回溯测试过程。几何期望值的可引出性现在可能为实现模型选择和回溯测试程序打开了大门，这些程序只适用于与边际分布相反的潜在联合分布。从理论角度来看，几何期望通过证明一个不是单变量评分函数线性组合的评分函数，也有助于进一步理解多元可诱导性；有关深入讨论，请参见Fissler和Ziegel【2016年】。与几何期望值相关的评分函数Sα进一步为二阶正齐次函数，如下面的命题4.5所示。Efron[1991]强调了在估计环境中正同质性或尺度不变性的必要性。尺度不变性和尺度估计也是稳健统计理论的核心；例如，参见Huberand Ronchetti【2009年】。巴顿（Patton）[2011]进一步论证了预测排名的同质性，因为从同质评分函数获得的排名对于基础数据的重新缩放不变性。参见Gneiting【2011】和Nolde and Ziegel【2017】对单变量预期的讨论。通过建立Sα的正同质性，我们在多变量情况下也准备了同样的应用。命题4.5（2阶Sα的正同质性）。对于c>0和（x，y）∈ Rd×Rd，Sα（cx，cy）=cSα（x，y）。证据

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 08:00:49

利用范数和内积的基本性质，我们得到sα（cx，cy）=∧α（c（x- y））=kc（x- y） k（kc（x- y） k+hu，c（x- y） i）=ckx- yk（kx- yk+hu，x- yi）=c∧α（x- y） =cSα（x，y）。单变量期望值是有吸引力的风险度量，因为它们的一致性，次加性是其基石。对于单变量期望值，当α>0.5时，我们对任意随机变量X andY次加性eα（X+Y）6 eα（X）+eα（Y），而对于α6 0.5，我们有超加性eα（X+Y）>eα（X）+eα（Y）。重要的是要认识到e0.5（X）=E[X]，即有一个点将亚加性和超加性情况分开。虽然一元次可加性和超可加性的概念是基于序inR，但对于Rd，d>2，多元情况没有标准序。为了避免这个问题，我们利用在更高维度中仍然有效的集合包含。重新考虑单变量情况，我们可以看到，对于任何区间I （0，1）包括0.5，我们有{x∈ R:x=eα（x+Y），α∈ I} {x∈ R:x=eα（x）+eα（Y），α∈ 一} 。为了基于这一观察结果提出多变量一般化，我们在B.Definition 4.4（几何风险度量的多变量次加性）中将区间I替换为闭球。用X和二维随机向量表示，用ρα表示基于指数α的几何风险度量∈ B、对于0<r<1，确定设置ar（X；ρ）={X∈ Rd：x=ρα（x），kαk6 r}，Ar（x，Y；ρ）={x∈ Rd:x=ρα（x）+ρα（Y），kαk6 r}。多元几何风险度量ρα是多元次加性，ifAr（X+Y；ρ）所有0<r<1的Ar（X，Y；ρ）。我们使用第5节中讨论的数值技术进行二维演示。为此，我们引入了一个随机向量Z=（Z，…，Z），其中第一个边际分布Z跟随一个甘贝尔分布，Z~ t、 Z遵循标准物流配送和Z~ N（0，1）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 08:00:52

为了引入Z分量之间的依赖关系，我们通过一个参数θ=5的四维克莱顿copula Cθ连接边距。然后将二元随机向量表示为X=（Z，Z）和Y=（Z，Z）。在图2（左）中，我们显示了A0.2（X+Y；VaR）和A0.2（X，Y；VaR），其中很明显，几何VaR不是多元次加性，这与单变量情况一致。当关注α=0的情况时，可以解释这种行为，在这种情况下，geometricVaR是欧几里德距离Var（X）=argminc的最小值∈RdE[kX- ck]。没有理由认为得到的最优值是加性的，即VaR（X+Y）=VaR（X）+VaR（Y）。假设当α→ 0时，当rVenVar（X+Y）6=VaR（X）+VaR（Y）时，这些集合必然相交于某些r。此行为如图2左侧所示。在图2（右）中，我们显示了A0.2（X+Y；e）和A0.2（X，Y；e）。在这种情况下，我们观察到0.2（X+Y；e） A0.2（X，Y；e）。与几何变量相反，在几何期望值的情况下，我们有e（X）=e[X]，因此可加性e（X+Y）=e（X）+e（Y）。因此，排除了沿着forVaR的相同路线构建多元次加性反例的可能性。尽管对许多不同关节模型和r水平的数值检查表明几何期望值是多元次加的，但目前还没有正式的证据。4.3。渐近性和估计在第4节中，我们已经确定（6）中定义的几何期望值对于具有有限边缘二阶矩的随机向量是一个很好的定义函数。就实际应用而言，这提出了两个问题。首先，对于给定的随机向量X，可能无法计算eα（X）的闭式解，需要调用数值近似。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 08:00:55

其次，在实际应用中，有必要确定eα（X）的样本版本是eα（X）的一致估计量。虽然eα（X）的隐式定义一开始似乎很有挑战性，但我们的函数属于成熟的M估计框架；有关介绍，请参见Huber和Ronchetti【2009年】。为了讨论一致性，我们用（Xi）表示∞i=1a具有与X相同分布的独立和同分布（iid）随机向量序列。虽然对RGODIC和（弱）平稳随机向量的推广是直接的，但为了便于呈现，我们将重点放在iid情况。对于有限样本，我们将（6）中的期望值替换为样本0.0 0.5 1.0-0.6-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6xyA0.2（X+Y；VaR）A0.2（X，Y；VaR）0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4xyA0.2（X+Y；e）A0.2（X，Y；e）图2：集合的边界A0.2（X+Y；VaR）（左侧，边界为绿色）、A0.2（X，Y；VaR）（左侧，边界为橙色）和A0.2（X+Y；e）（右侧，边界为绿色）、A0.2（X，Y；e）（右侧，边界为橙色）。X=（Z，Z）和Y=（Z，Z），其中Z遵循Gumbeldistribution，Z~ t、 Z遵循标准物流配送和Z~ N（0，1）。所有边距由一个参数θ=5的四维Clayton copula Cθ连接。计算基于20000个独立的复制。平均的通过φn（c）=nnXi=1∧α（Xi），这提供了（9）中定义的φ的有限样本版本或蒙特卡罗估计量- c），我们立即得到φn（c）a.s。-→ φ（c）（因此φn（c）p-→ φ（c））来自强大的数定律。为了保证极小值的收敛性，我们引用Hayashi[2000]的命题7.4。推论4.2（一致性）。如果（C）对d维随机向量X成立，则为argminc∈Rdφn（c）p-→ eα（X）。证据我们采用Hayashi[2000]的命题7.4，该命题保证了估计值的一致性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 08:00:58

根据定理4.8，φ（c）在Rdat eα（X）上唯一最小化，且φ（c）存在且对所有c是有限的∈ Rd.此外，∧α是凸的。虽然Hayashi[2000]中的极小命题7.4的存在性只是渐近的，但很明显，极小值存在于每一个n∈ N在我们的情况下。推论4.2还提出了一种在无法建立闭合形式解时计算eα（X）的简单方法。如果X的抽样方法可用，则用经验平均值替换期望值可得到有效的近似值。通过（xn）ni=1表示通过模拟或真实数据获得的随机向量序列（Xi）ni=1的实现，还需要注意φnis是严格凸的。推论4.3（φn的严格凸性）。用（xi）ni=1a表示Rd中的向量序列。函数φn:Rd→ R、 c 7→ φn（c）=nPni=1∧α（xi- c）是严格凸的。证据假设φ是严格凸函数的凸组合，则从凸函数的基本性质出发进行证明。推论4.3的重要性在于最小化argminc∈Rdφn（c）在有限样本情况下也表现良好，根据推论4.2，函数存在唯一的极小值。然后，可以通过数值最小化技术获得最小值，即eα（X）的有限样本版本。5说明在本节中，我们讨论一种特殊情况，对于这种情况，可以获得多元几何期望的闭式表达式。此外，我们还为许多不同的随机向量提供了数值说明，以突出改变边缘和依赖结构的影响。5.1。均匀分布的解析解我们考虑二元均匀分布的情况，并用U=（U，U）表示密度为（b）的随机向量-a）（b）-a）其中bj>aj和bj，aj∈ R表示j=1，2。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 08:01:01

我们首先计算平方范数的期望值，即c=（c，c）asg（c，c）=E[kU- ck]=ZbaZba（u- c） +（u- c）（b）- a）（b）- a） dudu=（b- a）（b）- a） Zb公司-加利福尼亚州-cZb公司-加利福尼亚州-cu+ududu=（b- a）（（b）- c）- （a）- c））+（b- a）（（b）- c）- （a）- c））3（b）- a）（b）- a）。定义实值函数hand hash（x，y）=ypx+y+xlogy+px+yandh（x，y）=-3x+20xypx+y+y3年+8像素+年+ 12xlogy+px+y,我们还有thatddxh（x，y）=xh（x，y）和thatddyh（x，y）=px+y。因此，ZbaxZbapx+ydydx=Zbax（h（x，b）- h（x，a））dx=Zbaxh（x，b）dx-Zbaxh（x，a）dx=h（b，b）- h（a、b）- h（b，a）+h（a，a）。这最终导致tog（c，c）=E[kU- ck（U- c） ]=ZbaZba（u- c） p（u- c） +（u- c）（b）- a）（b）- a）嘟嘟，=（b- a）（b）- a） Zb公司-加利福尼亚州-库兹布-加利福尼亚州-cqu+ududu，=h（b- c、 b类- c）- h（a- c、 b类- c）- h（b- c、 a- c） +小时（a- c、 a- c）（b）- a）（b）- a），其中我们将Ganalogy定义为g（c，c）=E[kU- ck（U- c）】。把前面的结果加在一起，我们得到α=（α，α），φ（c）=E[λα（U- c） ]=E[kU- ck+αkU- ck（U- c） +αkU- ck（U- c） ]=g（c，c）+αg（c，c）+αg（c，c）。几何期望值eα（U）现在为aseα（U）=argminc∈Rφ（c）。这个例子最突出的是，即使在最简单的情况下，找到一个封闭形式的解决方案也是一个挑战。从这个意义上讲，第4.3节中介绍的数值近似法发挥着更为突出的作用。使用此方法的完整示例可在以下章节中找到。5.2。数值说明在本节中，我们将可视化所选二元随机向量的几何期望值。为此，我们定义了四个随机向量X，X具有不同的边缘和从属结构；见表1。依赖结构以copulas的形式化，例如，教科书介绍见Nelsen【2006】或Joe【2014】。作为我们比较的基线，X=（X，X）遵循具有独立标准正态边际的二元正态分布。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 08:01:04

考虑到x，我们保持组件之间的独立性，但我们改变了边距。Xnow遵循一个偏正态分布，见Azzalini【1985】，参数（ξ，ω，α）=(-1、1、2）和X遵循学生t分布，ν=4自由度。对于X，我们只改变了X的依赖结构，即向量Copula Xi1~ Xi2~X=（X，X）独立N（0，1）N（0，1）X=（X，X）独立SN(-1，1，2）tX=（X，X）Gumbel，θ=2 N（0，1）N（0，1）X=（X，X）Gumbel，θ=2 SN(-1，1，2）表1：随机向量X，十、 XA和Xstill均遵循标准正态分布，但依赖结构现在由参数θ=2的Gumbel copula给出。最后，Xdi不同于边缘和依赖结构的Xin项，其中我们使用了X的倾斜正态和学生t边缘以及X的Gumbel依赖结构。为了说明不同指数的影响，我们考虑了α的两个参数化。首先，我们根据α（Д）=0.98（cos（Д），sin（Д）），选择α∈ [0，2π），描述半径为0.98的圆圈。在单变量情况下，0.98的量级对应于0.99的置信水平。其次，我们根据α（Д）=（0.98 cos（Д），0.90 sin（Д）），选择α∈ [0，2π），它在B中描述了一个椭圆，其中在单变量情况下，0.90的量级对应于0.95的置信水平。图3中显示了两种指数选择。为了进一步参考，我们指出了结果指数αj（νk），j∈ {1，2}，对于Дk=k2π/8，k∈ {0，…，7}，通过k的相应值。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 08:01:07

由于没有可用于计算eαj（Д）（X`）的闭式解，`∈ {1，2，3，4}，我们取而代之的是从X的各自分布中抽取一个大小为10000的iid样本，并使用第4.3节中概述的数值程序；i、我们使用蒙特卡罗积分。图4显示了X（左上角）、X（右上角）、X（左下角）和X（右下角）的最终几何期望值和密度等高线。灰线表示潜在的二元分布函数的密度等值线。为了表示不同指数选择的影响，橙色实线表示产生的几何期望值α（Д）（X`），`∈ {1，…，4}，表示Д∈ [0，2π）。同样，绿色实线表示eα（Д）（X`），`∈ {1，…，4}，表示Д∈ [0，2π）。与图3一致，我们根据φk=k2π/8，k标记指数αj（φk）的最终几何期望值eαj（φk）（Xi）∈ {0，…，7}，通过k的相应值。从图4可以明显看出，几何期望值适应下面的分布。对于X的径向对称分布（左上面板），表示αj（Д）（X）的线表示所有可能的Д∈ [0，2π）类似于指数αj（Д）的形状。此外，我们还可以直观地观察到命题4.4中建立的对称性。然而，对于倾斜和较重的尾部边缘（右上图），几何期望值通过凸出来适应。这也会略微改变其中的方向，例如，eα（Д）（X）不再以y轴为中心。在X（底部leftpanel）的组件之间引入依赖关系会迫使几何预期变形。然而，与左上面板相比，变形并不像右上面板那样通过膨胀实现，而是通过压缩和旋转实现的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-31 08:01:11

最后，在X（右下面板）中组合这两种效果时，我们可以看到-1-0.5 0.0 0.5 1.0-1-0.5 0.0 0.5 1.0xy●0123456701234567图3：对于Д=3π/4（绿色箭头），双变量指数α（Д）=0.98（cos（Д），sin（Д）），对于Д=π/4，α（Д）=（0.98 cos（Д），0.90 sin（Д））（橙色箭头）。实线表示φ在[0，2π]内变化时可能的指数。数字表示αj（φk），j∈ {1，2}，对于Дk=k2π/8，其中k∈ {0，…，7}。灰色虚线表示开放单位球的边界B={x∈ R： kxk=1}。几何预期会根据先前观察到的效应叠加而变宽和变形。5.3。比较几何风险值和预期在继续第5.2节中的数值示例时，我们现在讨论计量VaR和几何预期之间的差异，以及它们的单变量对应项。对于固定α∈ （0，1）因此，我们考虑相应的指数α=（2α-1）（1，0），其中我们对第3.1节中讨论的指数的大小进行了必要的调整。然后，我们计算X=（X，X）的第一个成分在α水平的单变量VaRα（X）和期望值eα（X），见表1，以及基于α的几何VaRα（X）和几何期望值eα（X）。将单变量风险度量与图5中的多变量对应项的第一个组成部分进行比较，我们发现多变量风险度量更为保守，即绝对值更高。事实上，几何VaR为给定水平α提供了最保守的储量估计，而同一水平的单变量预期值是最保守的。我们进一步比较几何VaR和几何期望值，方法是计算一个给定方向的大小，该方向导致产生的多变量风险度量的每个分量的值相等。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 08:01:14

因此，我们确定了一个元素u∈ B={x∈ R： kxk=1}和θ∈ [0，1）获得一个起始指数α=θu，我们计算eα（X）。对于m∈ [0，1）然后，我们的目标是找到一个最佳的m*这就产生了VaRm*u（X）=eα（X），在最小二乘意义上，ism*= 阿格明姆∈[0,1）Xi=1（VaRmu（X）i- eα（X）i）。-3.-2.-1 0 1 2 3-3.-2.-1 0 1 2 3xy0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0123456701234567●01234567х0х1х2х3х4х5х6х7-3.-2.-1 0 1 2 3-3.-2.-1 0 1 2 3xy0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0123456701234567●01234567х0х1х2х3х4х5х6х7-3.-2.-1 0 1 2 3-3.-2.-1 0 1 2 3xy0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0123456701234567●01234567х0х1х2х3х4х5х6х7-3.-2.-1 0 1 2 3-3.-2.-1 0 1 2 3xy0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3 0.32 0123456701234567●01234567х0х1х2х3х4х5х6х7图4：`=1（左上）、`=2（右上）、`=3（左下）和`=4（右下）的几何期望值eαj（X`）和j∈ {1，2}。给出了X′的密度等值线。绿色实线表示eα（Д）（X`），Д∈ [0，2π），对于α（Д）=0.98（cos（Д），sin（Д））。橙色实线表示eα（Д）（X`），Д∈ [0，2π），对于α（Д）=（0.98 cos（Д），0.90 sin（Д））。数字表示εk=k2π/8的eαj（Дk）（X`），其中k∈ {0，…，7}。平均向量（E[X`，1]，E[X`，2]）由黑点表示。计算基于10000个IID对每个`X`的换算∈ {1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝