测量u取决于所选的范数，称为X的光谱测量。o单位球体Sd上存在一个有限的测量u-1，一个慢变函数L，一个正实θ>0，使得（1.3）limx-→+∞xθL（x）PkXk>x，XkXk∈ B= u（B），对于所有B∈ B（Sd-1） 带u(B） =0。从现在起，MRV表示多变量规则变化分布的集合，MRV（θ，u）表示具有规则变化尾部、指数θ和谱测度u的随机向量集。根据（1.3），我们可以假设u是归一化的，即u（Sd-1） =1，这意味着kXk有一个有规律的变尾索引-θ。另一方面，limx-→+∞PXkXk∈ BkXk>x，= 林克斯-→+∞PkXk>x，XkXk∈ BP（kXk>x）=limx-→+∞xθL（x）u（B）x-θL（x）=u（B），对于所有B∈ B（Sd-1） 带u(B） =0。这意味着有条件地{kXk>x}，xkxkc弱地收敛到u。MRV概念的不同可能特征见[？]。1.3。使用尾部相关函数进行表征。设X=（X，…，Xd）为随机向量。从现在起，FXIDE注意到Xi的生存功能。在本文中，我们使用了[？]中介绍的上尾相关函数的定义。定义1.8（尾部依赖函数）。设X是Rd上的随机向量，具有连续的边缘分布。尾部相关函数定义为（1.4）λXU（x，…，xd）=limt-→0吨-1P（(R)FX（X）≤ tx，(R)FXd（Xd）≤ txd），当限制存在时。对于k≤ d、 用X（k）表示X的k维子向量，C（k）表示其copula，C（k）表示其生存copula。上尾相关函数为（1.5）λkU（u，…，uk）=limt-→0+(R)C（k）（tu，…，tuk）t，如果存在此限制。下尾相关函数可通过λkL（u，…，uk）=limt进行类比定义-→0+C（k）（tu，…，tuk）t，当存在极限时。

在本文中，我们的研究仅限于（1.5）中定义的较高版本。我们假设X具有相等的规则变化的边缘尾部，这意味着：H1：(R)FX∈ RV-θ(+∞), θ>0时。H2：Xi的尾部，i=1，d相当。这是我的全部∈ {2，…，d}，有一个正常数cisuchthatlimx-→+∞\'FXi（x）\'FX（x）=ci。H1和H2意味着所有边际尾部指数都是有规律变化的-θat+∞.以下两个定理表明，在H1和H2下，多元分布的MRV性质等价于尾部依赖函数的存在性。定理1.9（[？]中的定理2.3）。设X=（X，…，Xd）是Rd中的随机向量，具有连续的边缘分布FXi，i=1，满足H1和H2的d。如果X具有MRV分布，则存在尾部依赖函数，由parλkU（u，…，uk）=limx给出-→+∞xPX>b（x）坎特伯雷大学-1/θ，Xk>b（x）udcd-1/θ！，对于任何k∈ {1，…，d}。定理1.10（[？]中的定理3.2）。设X=（X，…，Xd）是Rd中的随机向量，具有连续的边缘分布FXi，i=1，d满足H1和H2。如果所有k都存在尾部相关函数λku∈{1，…，d}，那么X是MRV，其归一化函数由b（u）给出=(R)外汇←-（u） 光谱测量值为u（[0，x]c）=dXi=1cix-θi-X1≤i<j≤dλU（cix-θi，cjx-θj）+···+(-1） d+1λdU（cx-θ、 ，cdx公司-θd）。通过构造多元期望值，只考虑了二元依赖结构。对于所有（i，k），我们将使用函数λ（Xi，Xk）U∈ {1，…，d}。为了简化符号，我们用λikU表示它。如果向量X具有MRV分布，则对于任何（i，j），对（Xi，Xj）也具有MRV分布∈ {1，…，d}。因此，在MRV框架中，在H1和H2下，函数λik的存在是有保证的。

此外，我们在本文的其余部分都假设这些函数是连续的。2、具有等效尾的Fréchet模型在本节中，我们假设X满足H1和H2，θ>1。这意味着Xbelongs到Fréchet MDA（Φθ）的极值吸引域。此域包含具有最终端点xF=sup{x：F（x）<1}=+∞, 因此α-→ 1我们得到eiα（X）-→ +∞ i、 同样，根据Karamata定理（Theorem1.4），对于i=1，d、 （2.1）limx-→+∞E[（Xi）- x） +]x'FXi（x）=θ- 1，尽管我∈ {1，…，d}。提案2.1。设∑=（πij）i，j=1，。。。，对于所有i，j，πij>0的数据∈ {1，…，d}。在H1和H2下，多元∑-期望值的分量eα（X）=（eiα（X））i=1，。。。，dsatisfy0<limα-→1eiα（X）eα（X）≤ limα-→1eiα（X）eα（X）<+∞, 我∈ {2，…，d}。命题2.1意味着具有等价尾部的分布具有渐近可比的多元期望分量。在证明命题2.1之前，我们将演示一些初步结果。首先，让X=（X，…，Xd）t满足H1和H2，我们表示所有i的xi=eiα（X）∈ {1，…，d}。我们为所有（i，j）定义了函数lαXi，xj∈{1，…，d}乘以（2.2）lαXi，Xj（Xi，Xj）=αE[（Xi- xi）+{Xj>Xj}]- （1）- α） E[（Xi）- xi）-{Xj<Xj}]，并且lαXi（Xi）=lαXi，Xi（Xi，Xi）。最优性系统（0.1）重写（2.3）lαXk（Xk）=-dXi=1，i6=kπkiπkklαXi，Xk（Xi，Xk）k∈ {1，…，d}。我们将使用以下集合：Ji={j∈ {1，…，d}{i}| limα-→1xjxi=0}，JiC={j∈ {1，…，d}\\{i}| 0<limα-→1xjxi<limα-→1xjxi<+∞},和Ji∞= {j∈ {1，…，d}{i}| limα-→1xjxi=+∞}.命题2.1的证明是针对πij=1，针对所有（i，j）∈ {1，…，d}，即对于L-期望值。如果所有（i，j）的πij>0，则可以用同样的方法处理泛型酶∈ {1，…，d}。命题2.1的证明来自下面的引理2.2和命题2.3。引理2.2。

假设H1和H2满足。（1）如果t=o（s），则所有（i，j）∈ {1，…，d}，极限→+∞s'FXi（s）t'FXj（t）=0。（2） 如果t=Θ（s），则对于所有（i，j）∈ {1，…，d}，FXi（s）FXj（t）~cicj公司st公司-θ为t→ ∞.附录A.1中给出了证明。回想一下，t=Θ（s）表示存在正常数Cand Csuch，Cs≤ t型≤ C建议2.3。在H1和H2下，极端多元期望满意度的分量0<limα-→11- α′FXi（eiα（X））≤ limα-→11- α′FXi（eiα（X））<+∞, 我∈ {2，…，d}。附录A.2给出了证明。我们现在可以证明命题2.1。命题2.1的证明。我们将证明J∞= , 事实上，Jk∞=  对于所有k∈ {1，…，d}可以用同样的方法证明。这意味着Jk=Jk∞=  对于所有k∈ {1，…，d}，因此得到结果。我们假设J∞6=, 让我∈ J∞, 如有必要，取一个子序列，我们可以假设xi/x→ +∞ asα→ 根据命题2.3，我们得到0<limα-→11- α′FXi（eiα（X））≤ limα-→11- α′FXi（eiα（X））<+∞, 我∈ {2。

，d}，因此，如果必要的话，取一个子序列，我们可以假设` ∈ R*\\{+∞} 使LIMα-→11- α？FX（x）=`。在这种情况下，limα-→1lαX（X）X'FX（X）=limα-→1.（2α- 1） E[（X- x） +]x'FX（x）-1.- α′F（x）（1-E[X]X）=θ- 1.- ` < +∞.此外，E[（Xi- xi）+{X>X}]X'FX（X）≤E[（Xi）- xi）+]x'FX（x）=E[（xi- xi）+]xi'FXi（xi）xi'FXi（xi）x'FX（x）-→ 0使用引理2.2。我们得到Limα-→1lαXi，X（Xi，X）X'FX（X）=limα-→1.αE[（Xi- xi）+{X>X}]- （1）- α） E[（Xi）- xi）-{X<X}]X'FX（X）= limα-→1.E[（Xi）- xi）+{X>X}]X'FX（X）-1.- α′FX（x）xix= -∞, 我∈ J∞.通过极限（α-→ 1） 在最优性系统（2.3）除以x'FX（x）的第一个方程中，得出（2.4）limα-→1Xk∈J∪JC\\J∞lαXk，X（Xk，X）X'FX（X）=-∞.现在，让k∈ JE[（Xk- xk）+{X>X}]X'FX（X）=ZxxkP（xk>t，X>X）dtx'FX（X）+Z+∞xP（Xk>t，X>X）dtx'FX（X）≤ZxxkP（X>X）dtx'FX（X）+Z+∞xP（Xk>t）dtx'FX（x），Karamata定理（定理1.4）导致-→1ZxxkP（X>X）dtx'FX（X）+Z+∞xP（Xk>t）dtx'FX（x）=1+ckθ- 1.k∈ J、 考虑k∈ JCE[（Xk- xk）+{X>X}]X'FX（X）≤E[（Xk- xk）+]x'FX（x）=E[（xk- xk）+]xk'FXk（xk）xi'FXk（xk）x'FX（x），andE[（xk- xk）+]xi'FXk（xk）xk'FXk（xk）x'FX（x）~α-→1ckθ- 1.侠客行-θ+1。最后，我们推断-Xk公司∈J∪JC\\J∞limα-→1xkx≤ limα-→1Xk∈J∪JC\\J∞lαXk，X（Xk，X）X'FX（X）≤ limα-→1Xk∈J∪JC\\J∞lαXk，X（Xk，X）X'FX（X）≤Xk公司∈JCckθ- 1.limα-→1xkx-θ+1- ` limα-→1xkx+Xk公司∈J\\J∞1+ckθ- 1..这与（2.4）相矛盾，因此J∞必须是一个空集。结果如下。命题2.4（极端多元期望值）。假设H1和H2满足，X在定义1.6的意义上具有规则变化的多元分布。考虑L-期望值eα（X）=（eiα（X））i=1，。。。，d、 则任何极限向量（η，β，…，βd）1.-α′FX（eα（X）），eα（X）eα（X），edα（X）eα（X）满足以下方程组（2.5）θ- 1.- η（βk）θck=-dXi=1，i6=kZ+∞βiβkλikUcickt公司-θ、 1个dt公司- ηβθ-1CKβi！，k∈ {1。

，d}。通过求解系统（2.5），我们可以使用边缘分位数得到一个等价的极端多元期望值。证据最优性系统（2.3）可写成以下形式（2α- 1） E[（Xk- xk）+]xk'FXk（xk）-1.- α′FXk（xk）1.-E[Xk]Xk=dXi=1，i6=k（1）- α） E[（Xi）- xi）-{Xk<Xk}]Xk'FXk（Xk）-dXi=1，i6=kαE[（Xi- xi）+{Xk>Xk}]Xk'FXk（Xk），k∈ {1，…，d}。对于所有k∈ {1，…，d}，我们有（必要时取一个子序列）limα-→1（2α- 1） E[（Xk- xk）+]xk'FXk（xk）-1.- α′FXk（xk）1.-E[Xk]Xk=θ- 1.- η（βk）θck，对于所有i∈ {1，…，d}\\{k}limα-→1（1- α） E[（Xi）- xi）-{Xk<Xk}]Xk'FXk（Xk）=limα-→11- α′FXk（xk）xixkP（Xi<Xi，Xk<Xk）-E[Xi{Xi<Xi，Xk<Xk}]Xk= ηβθkckβiβk=ηβθ-1ckβi.此外，E[（Xi- xi）+{Xk>Xk}]Xk'FXk（Xk）=Xk'FXk（Xk）Z+∞xiP（Xi>t，Xk>Xk）dt=Z+∞xixkP（Xi>txk，Xk>Xk）(R)FXk（Xk）dt=Z+∞xixkP\'FXi（Xi）<\'FXi（txk），\'FXk（Xk）<\'FXk（Xk）(R)FXk（xk）dt。首先，我们注意到ZxixkβiβkP\'FXi（Xi）<\'FXi（txk），\'FXk（Xk）<\'FXk（Xk）(R)FXk（xk）dt≤xixk公司-βiβk.由于函数λikUare假定为连续的，（2.6）limα-→1便士\'FXi（Xi）<\'FXi（txk），\'FXk（Xk）<\'FXk（Xk）(R)FXk（xk）=λikUcickt公司-θ、 1个.为了证明Limα-→1αE[（Xi- xi）+{Xk>Xk}]Xk'FXk（Xk）=Z+∞βiβkλikUcickt公司-θ、 1个对于正则变函数，我们可以使用Lebesgue的支配收敛定理和Potter的界（1942）（引理1.5）。首先，P\'FXi（Xi）<\'FXi（txk），\'FXk（Xk）<\'FXk（Xk）(R)FXk（xk）≤ 最小值1、\'FXi（txk）\'FXk（xk）,因为“FXi（txk）”“FXk（xk）=“FXi（txk）”“FXk（txk）”“FXk（txk）”“FXk（xk）”和limα-→1'FXi（txk）'FXk（txk）=对于所有ε>0和0<ε<θ，使用Potter界限的cick- 1，存在xk（ε，ε），使得对于min{xk，txk}≥ xk（ε，ε）(R)FXi（txk）(R)FXk（xk）≤cick+2εt型-θmax（tε，t-ε） 。Lebesgue定理给出了Slimα-→1Z+∞xixkP\'FXi（Xi）<\'FXi（txk），\'FXk（Xk）<\'FXk（Xk）(R)FXk（xk）dt=Z+∞βiβkλikUcickt公司-θ、 1个dt，so，对于所有（i 6=k）∈ {1。

，d}limα-→1E[（Xi）- xi）+{Xk>Xk}]Xk'FXk（Xk）=Z+∞βiβkλikUcickt公司-θ、 1个dt。因此，该系统在该提案中宣布。在∑-期望值的一般情况下，∑=（πij）i，j=1，。。。，d、 πij≥ 0，πii=πi>0，系统（2.5）变为θ- 1.- η（βk）θck=-dXi=1，i6=kπikπkZ+∞βiβkλikUcickt公司-θ、 1个dt公司- ηβθ-1CKβi！，k∈ {1，…，d}。此外，让我们注意到系统（2.5）等效于以下系统（2.7）dXi=1Z+∞βiβkλikUcit公司-θ、 ckβ-θkdt=dXi=1Z+∞βiλi1Ucit公司-θ、 1个dt，k∈ {2，…，d}。因此，极限点βi完全由向量X的边缘分量之间的渐近二元依赖关系确定。命题2.5。假设H1和H2满足，且X的多元分布在定义1.6的意义上有规律变化，考虑L-期望值eα（X）=（eiα（X））i=1，。。。，d、 则任何极限向量（η，β，…，βd）1.-α′FX（eα（X）），eα（X）eα（X），edα（X）eα（X）满足以下方程组，k∈ {1，…，d}（2.8）θ- 1.- η（βk）θck=-dXi=1，i6=kcick公司βiβk-θ+1Z+∞λikUt-θ、 ckci公司βkβi-θ！dt公司- ηβθ-1CKβi.证据使用系统（2.5）中的替换和二元尾部相关函数λikU的正齐性性质，证明很简单（见[？]中的命题2.2）。将渐近最优性系统写成（2.8）形式的主要用途是为某些依赖结构给出（η，β，…，βd）的显式形式。例如：假设X的依赖结构是由一个带生成元ψ的阿基米德copula给出的。生存copula由C（x，…，xd）=ψ（ψ（（x）+···+ψ（（xd）），其中ψ（（x）=inf{t≥ 0 |ψ（t）≤ x} （参见例如[？]了解更多详细信息）。假设ψ是具有非正指数ψ的正则变函数∈ RV-θψ。根据[？]，存在右尾相关函数，可以得到它们的显式形式λkU（x。

，xk）=kXi=1x-θψi！-θψ.因此，双变量上尾相关函数由λikUt给出-θ、 ckci公司βkβi-θ=tθθψ+cick公司θψβkβiθθψ！-θψ。特别是，如果θ=θψ，我们有z+∞λikUt-θ、 ckci公司βkβi-θ！dt=θ- 11+cick公司θβkβi！-θ+1，系统2.8变为θ- 1.- η（βk）θck=-dXi=1，i6=kθ- 1点击βiβk+cick公司θ！-θ+1- ηβθ-1CKβi.引理2.6（共单调Fréchet情形）。在H1和H2下，考虑L-期望值eα（X）=（eiα（X））i=1，。。。，d、 如果X=（X，…，Xd）是共单调随机向量，则极限（η，β，…，βd）=limα-→1.1.- α′FX（eα（X）），eα（X）eα（X），edα（X）eα（X）,满意度α-→11- α′FXk（ekα（X））=θ- 1和βk=c1/θk，k∈ {1，…，d}。证据由于随机向量X是共单调的，其生存copula isCX（u，…，ud）=min（u，…，ud），（u，…，ud）∈ 我们推导了函数λijUλijU（xi，xj）=min（xi，xj）的表达式，（xi、xj）∈ R+，i、 j∈ {1，…，d}。那么，Z+∞λikUt型-θ、 ckci（βkβi）-θdt=Z+∞造币厂-θ、 ckci公司βkβi-θ！dt=βkβickci公司-θ- 1+ckci公司βkβi-θ+θ- 11+βkβickci公司-θ- 1！+！-θ+1。在假设H1和H2下，根据命题2.8，设（η，β，…，βd）为以下方程组的解。ηdXi=1βi-θ- 1dXi=1ciβ-θ+1i=dXi=1，i6=kckβ-θkβiβkβickci公司-θ- 1++θ- 1dXi=1，i6=kciβ-θ+1i1+βkβickci公司-θ- 1！+！-θ+1- 1.,k∈ {1，…，d}。η=θ-1和βk=cθkis是该系统的唯一解决方案。命题2.7（渐近独立情况）。在H1和H2下，考虑L-期望值eα（X）=（eiα（X））i=1，。。。，d、 如果X=（X，…，Xd）使得对（Xi，Xj）渐近独立，则1.-α′FX（eα（X）），eα（X）eα（X），edα（X）eα（X）满意度η=（θ- （1）1+dXj=2cθ-1jβk=cθ-1k，所有k∈ {1，…，d}。证据渐近二元独立平均数的假设：limα-→1P（Xi>Xi，Xj>Xj）P（Xj>Xj）=limα-→1P（Xi>txj，Xj>Xj）P（Xj>Xj）=0，对于所有（i，j）∈ {1。

，d}对于所有t>0，那么，命题2.4中使用的Lebesgue定理给出了slimα-→1E[（Xi）- xi）+{Xj>Xj}]Xj'FXj（Xj）=limα-→1Z+∞xixjP（Xi>txj，Xj>Xj）P（Xj>Xj）dt=0。极端多元期望验证了以下方程组θ- 1.-ηckβθk=+dXi=1，i6=kηckβθ-1kβi，k∈ {1，…，d}，可以重写为（2.9）ckη（θ- 1） βθ-1k=dXi=1βi，k∈ {1，…，d}，因此βk=cθ-1K适用于所有k∈ {1，…，d}，η=（θ- （1）1+dXj=2cθ-1j.在正系数矩阵πij，i，j的一般情况下∈ {1，…，d}，极限βi，i=2，d保持不变，但极限η将改变：limα-→1ekα（X）eα（X）=cθ-1K和limα-→11- α′FXk（ekα（X））=cθ-1k（θ- （1）1+dXj=2πjkπkcθ-1j,对于所有k∈ {1，…，d}。我们注意到Limα-→11- α′FXi（xi）≤cθ-1iθ- 1，它允许在边际分位数和多变量目标的相应分量之间进行比较，并且由于F-1Xk（1- ·) 是一个规则变化的函数，对于所有k值均为0∈ {1，…，d}带索引-θ（见引理1.3），我们得到α（X）~α-→1VaRα（Xk）（θ- （1）-θ1+dXi=2cθ-1icθ-1公里-θ、 其中，VaRα（Xk）表示Xkat水平α的风险值，即α-分位数F←Xk的Xk（α）。这些结论与维度1中获得的结果一致，对于属于吸引域的分布，在[？]中。常数的值决定了边缘分位数的位置，与每个风险的多元期望值的相应分量相比较。3、具有优势尾的弗雷切特模型本节专门讨论Xhas关于Xi命题3.1（渐近优势）的优势尾的情况。在H1下，考虑L-期望值eα（X）=（eiα（X））i=1，。。。，d、 Iflimx↑+∞\'FXi（x）\'FX（x）=0，我∈ {2，…，d}，（显性尾部假设）然后βi=limα↑1eiα（X）eα（X）=0，limα↑11- α′FXi（eiα（X））=0，我∈ {2。

，d}，andlimα↑11- α′FX（eα（X））=θ- 命题3.1的证明遵循以下引理。引理3.2。在H1下，考虑L-期望值eα（X）=（eiα（X））i=1，。。。，d、 Iflimx↑+∞\'FXi（x）\'FX（x）=0，我∈ {2，…，d}，thenlimα↑1E[（Xi）- xi）+{X>X}]X'FX（X）=0， 我∈ {2，…，d}。引理3.3。在H1下，考虑L-期望值eα（X）=（eiα（X））i=1，。。。，d、 Iflimx↑+∞\'FXi（x）\'FX（x）=0，我∈ {2，…，d}，then0<limα↑11- α′FX（x）≤ limα↑11- α′FX（x）<+∞.引理3.2和3.3的poofs分别在附录A.3和A.4中给出。现在，我们有了所有必要的工具来证明命题3.1。命题3.1的证明。从引理3.3中，如果必要，我们得到一个子序列（αn）n∈NαN-→ 1，我们同意1-α′FX（x）正在收敛到表示为0<η<+∞ 极限limα→1xix=β存在。通过极限（α→ 1） 在系统0.1除以x'FX（x）的1方程中，使用引理3.2到（3.1）limα↑11- α′FX（x）Xi∈JC公司∪J∞xix！=limα↑1ηXi∈JC公司∪J∞xix=θ- 1.- η、 我们推断J∞= .我们假设JC6=, 所以至少存在一个i∈ {2，…，d}这样∈ JC和所有j∈ {1，…，d}\\{i}，我们有limα↑1E[（Xj- xj）+{Xi>Xi}]x'FX（x）=0。的确，如果j∈ JC \\{i}limα↑1E[（Xj- xj）+{Xi>Xi}]x'FX（x）=limα↑1Z+∞βjP（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）dt，因为ep（Xj>txj，Xi>Xi）P（X>X）=P（Xj>txj | Xi>Xi）P（Xi>Xi）P（X>X），和limα↑1P（Xi>Xi）P（X>X）=limα↑1P（Xi>Xi）P（X>Xi）P（X>Xi）P（X>X）=limα↑1P（Xi>Xi）P（X>Xi）十九-θ=0。

和sinceP（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）≤ 最小值P（Xj>tx）P（X>X），P（Xi>Xi）P（X>X）,为了应用支配收敛定理，我们使用与'FXas正则变化函数相关的波特界，得到了limα↑1E[（Xj- xj）+{Xi>Xi}]x'FX（x）=Z+∞βjlimα↑1P（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）dt=0，j∈ JC \\{i}。现在，如果j∈ JthenE[（Xj- xj）+{Xi>Xi}]x'FX（x）=ZxxjP（xj>t，Xi>Xi）xP（x>x）dt+Z+∞P（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）dt≤1.-xjx公司P（Xi>Xi）P（X>X）+Z+∞P（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）dt，thuslimα↑1E[（Xj- xj）+{Xi>Xi}]x'FX（x）=0，j∈ J、 因为limα↑1P（Xi>Xi）P（X>X）=0和limα↑1Z+∞P（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）dt=0。通过极限（α→ 1） 在系统0.1除以x'FX（x）的Ith方程中，导致-ηβi=η（1+Xj∈JC \\{i}βj），这是荒谬的，因此JC=.因此，我们证明了J={2，…，d}，这意味着slimα↑1eiα（X）eα（X）=βi=0，我∈ {2，…，d}。根据方程3.1，我们还推断η=limα↑11- α′FX（eα（X））=θ- 1和引理2.2 thatlimα↑11- α′FXk（eiα（X））=0，我∈ {2，…，d}。命题3.1表明，显性风险的行为与单变量情况下的行为一样渐近，其成分为极端多变量预期满意度α（X）α↑1.~ （θ- （1）-θVaRα（X）α↑1.~ eα（X），在单变量情况下，在[？]中证明了右等价性，提案2.3。示例：考虑帕累托分布，Xi~ P a（ai，b），i=1，d、 这样我就可以∈ {1，…，d}。X的尾巴代表Xi的尾巴，命题3.1适用。4、极值期望的估计在本节中，我们提出了一些极值多元期望的估计。我们关注的是同态独立和共单调的情况，对于这两种情况，方程组更容易处理。我们从方法的主要思想开始，然后利用极值统计工具构造估计量并证明其一致性。

我们以模拟研究结束本节。命题4.1（评估的想法）。使用前面章节的符号，考虑L-期望值eα（X）=（eiα（X））i=1，。。。，d、 在H1，H2和假设1.-α′FX（eα（X）），eα（X）eα（X），edα（X）eα（X）具有唯一的极限点（η，β，…，βd），eα（X）~α-→1VaRα（X）ηθ（1，β，…，βd）T.证明。Let（η，β，…，βd）=limα→1.1.-α′FX（eα（X）），eα（X）eα（X），edα（X）eα（X）, 我们有α（X）~α-→1eα（X）（1，β，…，βd）T。此外，limα-→11-α′FX（eα（X））=η，以及[？]中的定理1.5.12声明F←X（1- .) 在0处有规律地变化，带索引-θ。这导致toeα（X）~α-→1F层←X（α）η-θ、 结果如下。命题4.1给出了一种估计极端多元期望值的方法。设X=（X，…，Xd）t为X的一个大小为n的独立样本，对于所有i，Xi=（X1，i，…，Xd，i）t∈ {1，…，n}。我们用Xi，1，n表示≤Xi，2，n≤ · · · ≤ Xi，n，n对应于Xi的有序样本。4.1。估计员的结构。我们从渐近独立的情况开始。命题2.7和4.1是构建估计器的关键工具。我们都有我∈ {1，…，d}βi=cθ-1i和limα-→11- α′FXi（eiα（X））=cθ-1i（θ- （1）1+dXj=2cθ-1j.命题4.1给出了α（X）α↑1.~ VaRα（X）（θ- （1）-θ1+dXi=2cθ-1i！-θ1，cθ-1.cθ-1dT、 因此，为了估计极端多元期望值，我们需要一个X的单变量分位数的估计量，尾部等价参数的估计量。θ的和。同样，对于共单调风险，我们可以使用命题2.6limα-→11- α′FXi（eiα（X））=θ- 1和βi=c1/θi，我∈ {1，…，d}，通过命题4.1我们得到α（X）Tα↑1.~ VaRα（X）（θ- （1）-θ（1，cθ，…，cθd）T。Xi具有相同的规则变化指数θ，这也与kXk的规则变化指数相同。我们建议使用Hill估计量bγ来估计θ。我们将表示bθ=bγ。

参见[？]有关Hill估计器的详细信息。为了估计ci，我们将使用GPD近似值：对于u，一个大阈值，和x≥ u、 \'\'F（x）~\'F（u）徐-θ。让k∈ N固定并考虑阈值ui：(R)FXi（ui）=FX（u）=kn，我∈ {1，…，d}。Ui由Xi估算，n-k+1，N带k→ ∞ 和k/n→ 0作为n→ ∞. 使用引理2.2，我们得到ci=limn→∞uiuθ。我们将考虑（4.1）^ci=Xi，n-k+1，nX1，n-k+1，n^γ（k），其中^γ（k）是使用kXk的k个最大观测值构建的极值指数的Hill估计量。Letbθ=bγ（k）。提案4.2。设k=k（n）为k→ ∞ 和k/n-→ 0作为n→ ∞. 在H1和H2下，对于anyi=2，d、 bciP-→ ci。证据[？]中的结果第86页暗示，对于任何i=1，dXi，n-k+1，nuiP-→ 1、此外，这是众所周知的（见[？]）希尔估计是一致的。使用（4.1），以及xi，n-k+1，nX1，n-k+1，n~我们得到的结果是，uiuin概率是有界的，因此概率是有界的。为了估计极端分位数，我们将使用Weissman估计量（1978）[？]：dVaRα（X）=X1，n-k（n）+1，nk（n）（1）- α） n个^γ。Embrechts等人（1997）[？]以及[？]第119页。为了证明我们的极端多元期望估计量的一致性，我们需要以下二阶条件（见[？]第4.4节）。定义4.3。一个满足H1且θ=γ>0的随机变量X将被称为验证二阶条件SOC-β（b），β>0和b∈ RV-β(+∞) 如果函数U:y F←（1）-y） u>0的满意度：u（ux）u（x）=uγ（1+h-β（u）b（x）+o（b（x）），随着x进入单位。其中h-β（u）=1-u-ββ。现在，我们可以在渐近独立和完全依赖的情况下，利用前面的估计，推导出多元极值期望的一些估计。定义4.4（多元期望估计量，渐近独立性）。

在H1和H2下，在随机向量X=（X，…，Xd）T的双变量渐近独立的情况下，我们定义了LexSpectile的估计量，如下所示⊥α（X）=X1，n-k（n）+1，nk（n）（1）- α） n个^γ^γ1- ^γ^γ1+Pd`=2^c^γ1-^γ！^γ1，^c^γ1-^γ，^c^γ1-^γdT=dVaRα（X）^γ1- ^γ^γ1+Pd`=2^c^γ1-^γ！^γ1，^c^γ1-^γ，^c^γ1-^γdT、 定义4.5（多元预期估计量，共单调风险）。在具有等效尾的Fréchet模型的假设下，对于共单调随机向量X=（X，…，Xd）T，我们将L-期望的估计定义如下：e+α（X）=X1，n-k（n）+1，nk（n）（1）- α） n个^γ^γ1- ^γ^γ1，^c^γ，^c^γdT=dVaRα（X）^γ1- ^γ^γ1，^c^γ，^c^γdT、 我们在下面证明，如果二阶条件SOC-β（b）满足，则逐项比率^e⊥在渐近独立的情况下，α（X）/eα（X）的概率为1，而在协方差的情况下，^e+α（X）/eα（X）的概率为1。要得到渐近正态性还需要更多的工作。定理4.6。假设H1、H2和SOC-β（b）满足。选择k=k（n），以便ok（n）→ ∞ 作为n→ ∞,o k（n）/n→ 0作为n→ ∞,opk（n）1+对数（n）n（1-α）-→ ∞ 作为n→ ∞.然后，如果每对随机向量X是渐近独立的，则^e⊥α（X）/eα（X）-→ 概率为1，如n→ ∞.如果随机向量X是共单调的，则^e+α（X）/eα（X）-→ 概率为1，如n→ ∞.证据与SOC-β（b）假设和k的选择，我们使用[？]中的（4.18）p.120得到thatdVaRα（X）VaRα（X）-→ 概率为n的1→ ∞.然后，公布的结果来自提案2.7和4.2。4.2。数字插图。Fréchet的吸引域包含Pareto、Student、Burr和Cauchy的常见分布。

为了说明所提出的估计的收敛性，我们数值研究了Pareto、Burr和Student分布的情况。（2.2）中定义的函数lαXi，xjd在渐近独立的特殊情况下具有以下表达式lαXi，Xj（Xi，Xj）=α(R)FXj（xj）E（Xi）- 十一）+- （1）- α）FXj（xj）E（Xi）- xi）-.在共单调的情况下，我们有αXi，Xj（Xi，Xj）=α(R)FXj（xj）（ui，j- xi）++Eh（xi- 最大值（xi，ui，j））+i- （1）- α）FXj（xj）（xi- ui，j）++Eh（Xi- 最小值（xi，ui，j））-我,式中，ui，j=F←-Xi（FXj（xj））。从这些表达式出发，通过数值优化得到了多元极值期望值的精确值，我们可以将其与估计值进行比较。k（n）的选择是分布参数的函数，在我们的模拟中使用图形说明进行了选择。为了验证期望估计量的稳定性，我们给出了属于尾部等价系数估计量共同收敛范围的k（n）不同值的估计量？s收敛。4.2.1。帕累托分布。我们考虑一个二元Pareto模型Xi~ P a（a，bi），i∈ {1，2}。这两种分布都有相同的尺度参数a，因此它们有等效的尾部，等效参数C=limx→+∞\'FX（x）\'FX（x）=limx→+∞bb+x一bb+xa=bb型a、 在下面的内容中，我们考虑两个模型，其中L-期望值的精确值是可计算的。在FirstModel中，Xi是独立的。在第二种情况下，Xi是共单调的，对于帕累托分布ui，j=bibjxj。在下面的模拟中，我们采用相同的k=k（n）得到^γ和^eα（X）。Xi~ P a（2，5·（i+1））i=1,2，n=100000，图1说明了估值器^c的收敛性。在左侧，阴影区域表示n=100000时k（n）的合适值。获得n和a固定k不同值的箱线图∈ k（n），数据大小为1000。图1：。

^c.Xi的收敛性~ P a（2，5·（i+1））i=1,2。图2显示了在n=100000的独立情况下，不同k（n）值的所得结果。图3给出了维度4中的多变量说明。图4说明了共单调情况。模拟参数为a=2、b=10和b=15。图2：。^e的收敛性⊥α（X）（渐近独立情形）。左边是eα（X）和^e的第一坐标⊥绘制了各种k=k（n）值的α（X）。右图涉及第二个坐标。图3：。^e的收敛性⊥α（X）（渐近独立情形）。eα（X）和^e的坐标⊥尺寸d=4，n=100000，k（n）=100中的α（X）。图4：。^e+α（X）的收敛性（共单调情形）。左边是eα（X）和^e的第一个坐标⊥绘制了各种k=k（n）值的α（X）。右图涉及第二个坐标。4.2.2。毛刺分布。我们考虑一个多元Burr模型Xi~ Burr（a，bi，τ），i∈ {1，…，d}。在这种情况下，尾部与等效参数ci=limx相等→+∞\'FXi（x）\'FX（x）=limx→+∞bibi+xτ一bb+xτa=围嘴一我∈ {2，…，d}，和'FXi∈ RVa公司*τ(+∞) 对于{1，…，d}中的所有i。在Burr共单调情况下，ui，j=bibj公司τxj。该模型与帕累托模型在总体上是等价的，但差值是不同的，这有助于测试估计过程与理论结果的相关性。图5和图6分别给出了独立和共单调情况下不同k（n）值的所得结果。模拟参数面积=4、b=10、b=15、τ=0.75和n=10000。图5：。^e的收敛性⊥α（X）（渐近独立情形）。左边是eα（X）和^e的第一坐标⊥绘制了各种k=k（n）值的α（X）。右图涉及第二个坐标。图6：。^e+α（X）的收敛性（共单调情形）。

左边是eα（X）和^e的第一个坐标⊥绘制了各种k=k（n）值的α（X）。右图涉及第二个坐标。4.2.3。学生分配。为了说明其他分布性质的两个估计量的收敛性，我们用一个学生模型来封闭这一小节。我们考虑一个风险向量（X，…，Xd），使得Xi=aiTiforall i∈ {1，…，d}和（Ti）i按照参数z的t分布相同地分布。使用L\'H^opital\'srule，尾部是等效的sincelimx→+∞\'FXi（x）\'FX（x）=limx→+∞\'FT（x/ai）\'FX（x）=limx→+∞afT（x/ai）aifT（x/a）=友邦保险z=ci，我∈ {2，…，d}。边缘尾翼均为RV-（z+1）(+∞). 对于学生共单调模型ui，j=aiajxj。对于数值说明，参数为ai=2i-1对于i=1，d和z=2。在独立的情况下，我被认为是独立的，在同单调的情况下，他们是同单调的。图7和图8展示了在这两种情况下获得的结果。图7：。^e的收敛性⊥α（X）（渐近独立情形）。左边是eα（X）和^e的第一坐标⊥绘制了各种k=k（n）值的α（X）。右图涉及第二个坐标。图8：。^e+α（X）的收敛性（共单调情形）。左边是eα（X）和^e的第一个坐标⊥绘制了各种k=k（n）值的α（X）。右图涉及第二个坐标。对于Pareto、Weibull和Student这三个Fréchet模型，不同的插图表明，α值接近1时，收敛性更好。这是很自然的，因为我们正在接近极端水平，因此估计值会收敛到理论值。在收敛区，k（n）值的收敛似乎是稳定的。

当α远离1时，与理论值的差异显然是由尾部等效ci系数表示的边际风险水平的函数。结论我们在正则变分框架下研究了极端多元期望值的性质。我们已经看到期望向量的渐近行为强烈地依赖于边缘尾部行为和渐近依赖的性质。这一分析的主要结论是，边际尾的等价性等于极端期望成分的等价性。尾部相关函数积分的统计估计允许构造极端期望向量的估计。本文的估计仅限于渐近独立和共单调的情况，这些情况不需要估计尾部相关函数。本文最后一节中提出的估计量的渐近正态性需要仔细的技术分析，这在本文中没有考虑。这项工作的一个自然视角是研究∑-期望值在Weibull和Gumbel吸引域中边际分布等价情况下的渐近行为。Gumbel域包含大多数常见的分布，尤其是Weibull尾分布族，这使得对其情况的分析成为一项有趣的任务。致谢我们感谢编辑和审稿人。我们感谢他们的宝贵意见，这有助于提高我们手稿的质量。附录A.证明A。引理2.2。证据我们给出了第一项证明的一些细节，第二项可以通过同样的方式获得。在H1和H2下，对于所有i∈ {1。

，d}FXi∈ RV-θ(+∞),所有i都存在一个正的可测函数Li∈ RV(+∞) 这样'FXi（x）=x-θLi（x），x>0，则对于所有（i，j）∈ {1，…，d}和所有t，s>0（A.1）s'FXi（s）t'FXj（t）=st公司-θ+1Li（s）Lj（t）=st公司-θ+1Li（s）Li（t）Li（t）Lj（t），在H2（A.2）limx下↑+∞Li（x）Lj（x）=cicj。利用Karamata对慢变函数的表示（定理1.2），存在一个常数c>0，一个limx为正的可测函数c（·）↑+∞c（x）=c>0，因此 > 0， tsuch那个 t>tLi（s）Li（t）≤st公司c（s）c（t）。取0< < θ- 1、我们得出结论↑+∞s'FXi（s）t'FXj（t）=0，（i，j）∈ {1，…，d}。A、 2。提案2.3。证据我们首先证明limα-→11- α′FXi（eiα（X））<+∞, 我∈ {2，…，d}。使用H2，可以充分显示LIMα-→11- α′FX（eα（X））<+∞.假设limα-→11-α′FX（eα（X））=+∞, 我们将证明，在这种情况下，（2.3）不能满足要求。如有必要，采取子序列（αn→ 1） ，我们可以假设limα-→11-α′FX（eα（X））=+∞.我们有αX（X）（1- α） x个=αE[（X- x） +]- （1）- α） E[（X- x）-]（1）- α） x个=（2α- 1） E[（X- x） +]（1- α） x个-（1）- α） （十）- E[X]（1- α） x个=（2α- 1） E[（X- x） +]x'FX（x）'FX（x）1- α- 1+E[X]Xα↑1.-→ -1召回（2.1）。此外，我∈ {2，…，d}lαXi，X（Xi，X）（1- α） x个=αE[（Xi- xi）+{X>X}]- （1）- α） E[（Xi）- xi）-{X<X}]（1- α） x个=αE[（Xi- xi）+{X>X}]（1- α） x个-E[（Xi）- xi）+{X<X}]X-xiP（X<X）X+E[Xi{X<X}]X.在一侧，E[（Xi- xi）+{X>X}]（1- α） x个≤E[（Xi）- xi）+]（1- α） x=(R)FX（x）1- αE[（Xi- xi）+]xi'FXi（xi）xi'FXi（xi）x'FX（x），我∈ {2。

，d}。所以引理2.2意味着（A.3）limα-→1E[（Xi）- xi）+{X>X}]（1- α） x=0，k∈ JC公司∪ J∞.让我∈ J、 如果需要的话，我们可以假设xix→ 0.（A.4）E[（Xi）- xi）+{X>X}]（1- α） x=ZxxiP（Xi>t，x>x）dt（1- α） x+Z+∞xP（Xi>t，X>X）dt（1- α） x.现在，ZxxiP（Xi>t，x>x）dt（1- α） x个≤ZxxiP（X>X）dt（1- α） x=(R)FX（x）1- α1.-十九.因此，（A.5）limα-→1ZxxiP（Xi>t，X>X）dt（1- α） x=0。考虑（A.4）Z的第二项+∞xP（Xi>t，X>X）dt（1- α） x个≤Z+∞xP（Xi>t）dt（1- α） x，Karamata定理（定理1.4）givesZ+∞xP（Xk>t）dt（1- α） xα↑1.~θ- 1'FXk（x）1- α、 导致（A.6）limα-→1Z+∞xP（Xi>t，X>X）dt（1- α） x=0。最后，我们得到（A.7）limα-→1E[（Xi）- xi）+{X>X}]（1- α） x=0，我∈ J、 我们已经证明了limα-→1E[（Xk- xk）+{X>X}]（1- α） x=0，k∈ {2，…，d}，因此，最优性系统的第一个方程（2.3）意味着- limα→1.Xk公司∈J\\J∞lαXk，X（Xk，X）（1- α） x+Xk∈JClαXk，X（Xk，X）（1- α） x+Xk∈J∞lαXk，X（Xk，X）（1- α） x个= limα-→1dXk=2xkx=-1，这是荒谬的，因为xk是非负的，因此Limα-→11- α′FX（x）<+∞.现在，我们证明了极端多元期望的分量满足also0<limα-→11- α′FXi（eiα（X）），我∈ {2，…，d}。使用H2，可以显示0<limα-→11- α′FX（eα（X））。假设limα-→11-α′FX（eα（X））=0，我们将看到，在这种情况下，（2.3）无法满足要求。如果需要收敛子序列，我们可以假设limα-→11-α′FX（eα（X））=0。在这种情况下，lαX（X）X'FX（X）=（2α- 1） E[（X- x） +]x'FX（x）-1.- α′F（x）（1-E[X]X）α↑1.-→θ- 1> 0。在另一边，让我∈ J∞, 如有必要，取一个子序列，我们可以假设x=o（xi）。

引理2.2和命题2.3给出：1- α′F（x）xix=1- αFXi（xi）·xiFXi（xi）xFX（x）-→ 0为α→ 1、此外，E[（Xi- xi）+{X>X}]X'FX（X）≤E[（Xi）- xi）+]x'FX（x）=E[（xi- xi）+]xi'FXi（xi）xi'FXi（xi）x'FX（x），我们推导出αxi，x（xi，x）x'FX（x）=αE[（Xi- xi）+{X>X}]- （1）- α） E[（Xi）- xi）-{X<X}]X'FX（X）-→ 0，我∈ J∞.通过极限（α-→ 1） 在最优性系统（2.3）除以x'FX（x）的第一个方程中，导致-→1Xk∈J∪JC\\J∞lαXk，X（Xk，X）X'FX（X）=-θ- 1，这很荒谬，因为Elimα-→1Xk∈J∪JC\\J∞lαXk，X（Xk，X）X'FX（X）=limα-→1Xk∈J∪JC\\J∞αE[（Xk- xk）+{X>X}]- （1）- α） E[（Xk- xk）-{X<X}]X'FX（X）= limα-→1Xk∈J∪JC\\J∞E[（Xk- xk）+{X>X}]X'FX（X）-1.- α′FX（x）xkx= limα-→1Xk∈J∪JC\\J∞E[（Xk- xk）+{X>X}]X'FX（X）≥ 0.我们最终可以得出结论，LIMα-→11- α′FX（x）>0。A、 3。引理3.2。证据必要时取收敛子序列（αn）n∈NαN-→ 1，我们认为极限limα→1xix=β存在。使用符号JC={i∈ {2，…，d}| 0<βi<+∞}, 就我而言∈ JClimα↑1E[（Xi）- xi）+{X>X}]X'FX（X）=limα↑1Z+∞βiP（Xi>tx，X>X）P（X>X）dt，因为ep（Xi>tx，X>X）P（X>X）=P（Xi>tx | X>X）≤ 1、另一方面，P（Xi>tx，X>X）P（X>X）≤ 最小值{1，P（Xi>tx）P（X>X）}，和P（Xi>tx）P（X>X）=FXi（tx）–FX（tx）–FX（tx）–FX（X），然后使用limα↑1'FXi（tx）'FX（tx）=0和与'FX相关的波特界限（1.5），我们推断> 0和0<< 1，存在x(, ) 这样对于x≥x个(,)min{1，βi}P（Xi>tx）P（X>X）≤ （1+) 最大值t型-θ+, t型-θ-.支配收敛定理的应用导致了tolimα↑1E[（Xi）- xi）+{X>X}]X'FX（X）=Z+∞βilimα↑1P（Xi>tx，X>X）P（X>X）dt=0， 我∈ JC。我们用J表示∞集合J∞= {i∈ {2，…，d}|βi=+∞}.

所以，尽管我∈ J∞, x=o（xi）和[（xi- xi）+{X>X}]X'FX（X）=Z+∞xiP（Xi>t，X>X）xP（X>X）dt≤Z+∞xP（Xi>t，X>X）xP（X>X）dt=Z+∞P（Xi>tx，X>X）P（X>X）dt。以与前一个例子相同的方式，使用波特的边界，我们显示limα↑1Z+∞P（Xi>tx，X>X）P（X>X）dt=Z+∞limα↑1P（Xi>tx，X>X）P（X>X）dt=0，由此推导出thatlimα↑1E[（Xi）- xi）+{X>X}]X'FX（X）=0， 我∈ J∞.设Jbe集合J={i∈ {2，…，d}|βi=0}。就我而言∈ 我们有xi=o（x），thenlimα↑1E[（Xi）- xi）+{X>X}]X'FX（X）=limα↑1Z+∞xiP（Xi>t，X>X）xP（X>X）dt=limα↑1Z+∞P（Xi>tx，X>X）P（X>X）dt，因为limα↑1xix=0和P（Xi>tx，X>X）P（X>X）≤ 1、此外 > 0，我们有limα↑1Z+∞P（Xi>tx，X>X）P（X>X）dt=0，因为支配收敛定理适用于使用Potter边界和limα↑1P（Xi>tx，X>X）P（X>X）=0，对于所有t>0，因为ci=0。让κ>0， > 0α使得α>αZ+∞P（Xi>tx，X>X）P（X>X）dt<κ，然后z+∞P（Xi>tx，X>X）P（X>X）dt=ZP（Xi>tx，X>X）P（X>X）dt+Z+∞P（Xi>tx，X>X）P（X>X）dt< + κ、 我们推导出thatlimα↑1Z+∞P（Xi>tx，X>X）P（X>X）dt=0，so，limα↑1E[（Xi）- xi）+{X>X}]X'FX（X）=0，我∈ J、 因此，我们已经证明LIMα↑1E[（Xi）- xi）+{X>X}]X'FX（X）=0，我∈ {2，…，d}。A、 4。引理3.3。证据我们假设limα↑11-α′FX（eα（X））=+∞. 必要时取收敛子序列（αn）n∈n带αn-→ 1，我们认为极限limα→1xix=βiexist和limα↑11-α′FX（x）=+∞.我们使用符号JC={i∈ {2，…，d}| 0<βi<+∞}, J={i∈ {2，…，d}|βi=0}，和J∞= {i∈{2。

，d}|βi=+∞}.最优性系统（0.1）除以x'FX（x）的第一个方程可以写成（2α- 1） E[（X- x） +]x'FX（x）+dXi=2αE[（Xi- xi）+{X>X}]X'FX（X）=1- α′FX（x）x个- E[X]X+1.- α′FX（x）dXi=2E[（Xi- xi）-{X<X}]X！。（2.1）limα↑1（2α- 1） E[（X- x） +]x'FX（x）=θ- 1和引理3.2limα↑1dXi=2αE[（Xi- xi）+{X>X}]X'FX（X）=0，因此，通过极限（α→ 1） 在前面的等式中，导致tolimα↑11- α′FX（x）x- E[X]X+dXi=2E[（Xi- xi）-{X<X}]X=θ- 1，然而，limα↑11- α′FX（x）x- E[X]X+dXi=2E[（Xi- xi）-{X<X}]X！=limα↑11- α′FX（x）1+dXi=2xix！=+∞.根据这一矛盾，我们推断limα的情况↑11-α′FX（x）=+∞ 是荒谬的。现在，我们假设limα↑11-α′FX（eα（X））=0。必要时取子序列（αn）n∈n带αn-→ 1，我们认为极限limα→1xix=βiexist和limα↑11-α′FX（x）=0。我们表示JC={i∈ {2，…，d}| 0<βi<+∞}, J={i∈ {2，…，d}|βi=0}，和J∞= {i∈ {2，…，d}|βi=+∞}.通过极限（α→ 1） 在系统0.1除以x'FX（x）的第一个方程中，使用引理3.2和方程2.1，得出（A.8）limα↑11- α′FX（x）Xi∈J∞xix=θ- 1、如果J∞6=, 所以，我存在∈ {2，…，d}这样∈ J∞. 在这种情况下，limα↑1E[（Xi）- xi）+]x'FX（x）=limα↑1'FXi（xi）'FX（xi）xi'FX（xi）x'FX（x）E[（xi- xi）+]xi'FXi（xi）=0，因为limα↑1E[（Xi）-xi）+]xi'FXi（xi）=θ-1，limα↑1'FXi（xi）'FX（xi）=0，通过引理2.2（xi=Xj=X）limα↑1xi’FX（xi）x’FX（x）=0。另一方面，对于所有j∈ {1，…，d}\\{i}，E[（Xj- xj）+{Xi>Xi}]x'FX（x）=Z+∞xjP（Xj>t，Xi>Xi）xP（X>X）dt，所以如果j∈ JC，thenlimα↑1E[（Xj- xj）+{Xi>Xi}]x'FX（x）=limα↑1Z+∞xjxP（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）dt=limα↑1Z+∞βjP（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）dt，因为ep（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）≤P（Xj>tx）P（X>X）和limα↑1P（Xj>tx）P（X>X）=0表示所有t>0。

我们将支配收敛定理应用于getlimα，使用与“FX”相关的波特边界↑1E[（Xj- xj）+{Xi>Xi}]x'FX（x）=Z+∞βjlimα↑1P（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）dt和sinceP（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）≤P（Xi>Xi）P（X>X）=xxxi'FX（Xi）X'FX（X）'FXi（Xi）'FX（Xi），因此，通过引理2.2limα↑1P（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）=limα↑1P（Xi>Xi）P（X>X）=0，我们最终推导出limα↑1E[（Xj- xj）+{Xi>Xi}]x'FX（x）=0，j∈ JC。如果j∈ J∞\\{i} ，然后是[（Xj- xj）+{Xi>Xi}]x'FX（x）=Z+∞xjP（Xj>t，Xi>Xi）xP（X>X）dt≤Z+∞xP（Xj>t，Xi>Xi）xP（X>X）dt=Z+∞P（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）dt，我们以与前面情况相同的方式显示limα↑1Z+∞P（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）dt=Z+∞limα↑1P（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）dt=0，thenlimα↑1E[（Xj- xj）+{Xi>Xi}]x'FX（x）=0，j∈ J∞\\{i} 。如果j∈ J、 thenE[（Xj- xj）+{Xi>Xi}]x'FX（x）=ZxxjP（xj>tx，Xi>Xi）xP（x>x）dt+Z∞xP（Xj>tx，Xi>Xi）xP（X>X）dt≤x个- xjx'FXi（xi）'FX（x）+Z+∞P（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）dt，自limα↑1Z+∞P（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）dt=0，因此，通过引理2.2，我们得到limα↑1台- xjx'FXi（xi）'FX（x）=limα↑1台- xjx'FXi（xi）'FX（xi）xi'FX（xi）x'FX（x）xxi=0，我们从thatlimα中获得↑1E[（Xj- xj）+{Xi>Xi}]x'FX（x）=0，j∈ J、 然后是Limα↑1E[（Xj- xj）+{Xi>Xi}]x'FX（x）=0，j∈ {1，…，d}\\{i}。系统0.1除以x'FX（x）的Ith方程可以写成（2α- 1） E[（Xi）- xi）+]x'外汇（x）-1.- α′FX（x）xi- E[Xi]x=dXj=1j6=i（1- α） E[（Xj- xj）-{Xi<Xi}]x'FX（x）-dXj=1j6=iαE[（Xj- xj）+{Xi>Xi}]x'FX（x），通过极限（α→ 1） 在这个等式中-limα↑11- α′FX（x）xix=limα↑11- α？FX（x）dXj=1j6=ixjx，只有当limα↑11-α′FX（x）xix=0，这与方程式A.8相矛盾。里昂大学，法国里昂大学1号，约旦卡米尔学院UMR 5208电子邮件地址：veronique。maume@univ-里昂1。法国里昂大学里昂分校，实验室SAF EA 2429电子邮件地址：didier。rulliere@univ-里昂1。加拿大魁北克省拉瓦尔大学（UniversitéLaval，Québec，CanadaE）fr'Ecole d\'精算师，邮箱：khalil。说。1@ulaval.ca