，M，是M个给定的协方差矩阵；我们参考ias场景。我们可以通过假设收益来自M个分布中的一个，协方差∑（i）取决于哪种情况发生，来激发最坏情况下的风险。在每个时期，我们都不知道，也不试图预测会发生什么情况。最坏情况下的风险是M情景下的最大风险。如果我们估计情景发生的概率，并根据这些概率对情景协方差矩阵进行加权，我们最终得到一个二次风险度量，即情景协方差的加权和。我们必须使用最大值而不是加权和来组合它们，这一点至关重要。（尽管其他非线性组合函数也可以工作。）我们应该将情景视为描述可能出现的情况，但我们无法或不试图预测的情况。情景协方差∑（i）可以通过30种合理的单周期优化方法找到。它们可以是根据情景（例如，高或低市场波动率、高或低利率、高或低油价等）条件下的已实现（过去）回报估计的经验协方差[50]。它们可能是分析师对可能发生的情况下资产差异的最佳猜测。4.3预测误差风险上述风险度量试图对资产回报的周期变化以及由此产生的投资组合回报的相关周期变化进行建模。在本节中，我们考虑了在预测收益率和协方差时考虑误差的术语。（同样的想法也可以应用于weestimate的其他参数，如体积。）估计误差会显著影响投资组合权重，导致样本外表现不佳【36、51、15、37、20、25、39】。返回预测错误风险。

我们假设我们对返回向量^r的预测是不确定的：任何带有|δ|的预测^r+δ≤ ρ和ρ∈ RN是可能的，并且与我们所知道的一致。换言之，ρ是我们收益预测^r的不确定性因素。如果我们对资产i的收益（名义）预测成立，则取ρismall；相反，较大的ρ表示我们对预测不是很有信心。收益预测中的不确定性在年度化时易于解释；例如，我们对一项资产的不确定回报预测可能被描述为6%±2%，这意味着任何介于4%和8%之间的预测回报都是可能的。交易后估计收益为（^rt+δt）t（wt+zt）；我们定义了|δ|以上的最小值≤ ρ作为最坏情况下的收益预测。很容易看出δ的最坏情况值是什么：如果我们持有多头头寸，回报（该资产）应取其最小值^ri+ρi；如果我们持有空头头寸，则应取其最大允许值^ri-ρi.最坏情况下的收益预测值为^Rwct=^rTt（wt+zt- wbt）- ρT | wt+zt- wbt |。这里的第一项是我们的原始估计（包括我们在（4.3）和（4.4）中忽略的constant4.3预测误差风险31项）；第二项（总是非正的）是我们估计的有效回报在δ允许值之上的最差可能值。这是一种与预测不确定性相关的风险。这就得到ψt（x）=ρt | x- wbt |。（4.6）（这通常会添加到传统的二次风险度量中。）该术语是权重偏差的加权`-范数，鼓励少量偏离基准的权重，即部分或多个条目等于基准的权重【26、34、41】。协方差预测误差风险。以类似的方式，我们可以在传统的二次风险模型中添加一个与预测协方差矩阵中的错误风险相对应的术语。

例如，假设我们给定一个标称协方差矩阵∑，并考虑扰动协方差矩阵∑pert=∑+,哪里 是一个对称扰动矩阵|ij |≤ κ（∑ii∑jj）1/2，（4.7），其中κ∈ [0，1）是一个参数。这种扰动模型意味着协方差的对角线项可以通过分数κ来改变；忽略对角线项的变化，资产相关性可以改变多达（大致）κ。κ的值取决于我们对方差矩阵的信心；合理的值是κ=0.02、0.05或更大。v=x-wbt，这组扰动上的二次风险的最大（最坏情况）值由max给出|ij公司|≤κ（∑ii∑jj）1/2vT（∑pert）v=最大值|ij公司|≤κ∑ii∑jj）1/2vT∑+)v=vT∑v+最大值|ij公司|≤κ（Ⅱ∑jj）1/2Xijvivjij=vT∑v+κXij | vivj |（σii∑jj）1/2=vT∑v+κXi∑1/2ii | vi |！。32单周期优化这表明，与我们的风险预测误差假设（4.7）一致的所有扰动协方差矩阵的最坏情况协方差由ψt（x）=（x）给出- wbt）T∑（x- wbt）+κσT | x- wbt公司|, （4.8）其中σ=（σ1/2，…，σ1/2nn）是资产波动率的向量。Firsterm是通常的二次风险和名义协方差矩阵；第二项可以解释为与协方差预测误差相关的风险【34，41】。它是权重偏离基准的加权`-范数的平方。（对于现金基准，这将直接惩罚大型杠杆。）4.4持股限制持股限制限制了我们对标准化交易后投资组合wt+zt的选择。持有约束可能是WT+1约束的代理，我们无法直接约束，因为它依赖于未知的回报。

通常回报率很小，wt+1接近wt+zt，wt+zt上的Soconstraint是wt+1上约束的良好近似值。当某些类型的约束适用于wt+zt时，它们始终适用于wt+1。持有限制可能是法律或投资者强制实施的，也可能是自由裁量的，以避免某些不良投资组合。我们将在下面讨论常见的持有约束。根据具体情况，可以对activeholdings wt+zt施加这些限制- wbt代替绝对持有量wt+zt，我们在这里使用它来简化符号。仅长。该约束要求仅持有多头资产头寸，wt+zt≥ 如果只有资产必须为长资产，则变为（wt+zt）1:n≥ 0、当对交易后权重wt+zt施加长期约束时，它自动保持下一期值（1+rt）o （ht+zt），自1+rt起≥ 0.4.4。保持约束33利用约束。杠杆作用可通过constraintk（wt+zt）1:nk进行限制≤ Lmax，要求交易后投资组合杠杆不得超过Lmax。（请注意，由于期间的回报，下一期投资组合的杠杆率可能略大于Lmax。）相对于资产资本化的限制。持股通常是有限的，这样投资者就不会拥有太多的公司总价值。让Ct表示资产资本化的向量，indollars。约束（wt+zt）i≤ δo Ct/vt，其中δ≥ 0是分数限制的向量，并且/从元素上解释，将资产i的长期交易后头寸限制为不超过资本化的分数δiof。我们可以对短期头寸施加类似的限制，相对于资产资本化、总未偿空头价值或某些组合。相对于投资组合的限额。

我们可以将持有的每种资产限制在投资组合价值的最小和最大部分之间，-wmin公司≤ wt+zt≤ wmax，其中Wminan和wmax分别是允许的最大短分数和长分数的非负向量。例如，当wmax=wmin=（0.05）1时，我们不允许在任何一项资产（多头或空头）中持有超过5%的投资组合价值。最低现金余额。通常，现金余额必须保持在最低美元阈值cmin以上（可能为负值）。我们将最小现金余额表示为约束（wt+zt）n+1≥ cmin/vt。由于我们在估计成本时的错误，实现值可能会稍微违反此约束。34单周期优化无保留约束。资产i上的无持有约束禁止持有资产i中的头寸，即（wt+zt）i=0。β-中性。根据我们的估计∑tofcov（rt），β中性投资组合的收益率Rp与基准收益率Rb不相关。wt+ztbeβ中性的约束形式为（wbt）T∑T（wt+zt）=0。因素中立性。在因子协方差模型中，因子i的估计投资组合风险σf由下式给出σFi= （wt+zt）T（Ft）i（∑Ft）ii（Ft）Ti（wt+zt）。投资组合对因子i中性的约束意味着σFi=0，当（Ft）Ti（wt+zt）=0时发生。应力约束。压力约束保护投资组合免受市场条件意外变化的影响。考虑场景1，K、 每一个都代表着一个市场冲击事件，例如油价的突然变化、动量的普遍逆转或房地产价格的暴跌。每个场景i都有一个关联的（估计的）返回ci。如果场景i以前从未发生过，则该场景可以基于场景i过去发生的情况或分析师预测的情况。应力约束采用公式CTI（wt+zt）≥ Rmin，即情景i中的投资组合回报高于Rmin。

（通常Rmin为负值；这里我们限制了实际发生的投资组合价值下降。）压力约束与机会约束（如风险价值）相关，因为它们限制了因冲击而造成重大损失的可能性。4.5。交易约束35清算损失约束。我们可以通过在三个时期内清算投资组合来限制价值损失。对清算损失的限制将阻止优化器投资非流动资产。我们将清算建模为在TLIQ期间交易h+的交易成本。如果我们对所有期间使用交易成本估算值^φ，则最佳计划是在每个期间进行交易（wt+zt）/TLIQ。流动损失不超过投资组合价值分数δ的约束由Tliq^φtrade（（wt+zt）/Tliq给出≤ δ。（为了针对基准进行优化，我们将其替换为在Tliqperiods期间将投资组合交易到基准的成本。）浓度限值。作为非传统约束的一个例子，我们考虑集中度限制，该限制要求在某些给定部分（或仅特定数量K）的资产中持有的投资组合价值不得超过一个分数ω。这可以写成kxi=1（wt+zt）[i]≤ ω、 其中，符号a【i】表示向量a的第i个最大元素。左侧是K个最大交易后头寸的总和。例如，当K=20且ω=0.4时，该约束禁止持有任何20项资产总价值的40%以上。（这个约束是凸的，而且确实很容易处理，这一点还不得而知；请参见[7，第3.2.3节]。它很容易扩展到K不是整数的情况。）4.5交易限制交易限制对标准化交易的选择zt。

非现金交易（zt）1的限制条件是精确的（因为我们假设我们的交易全部执行），而现金交易（zt）n+1的限制条件是近似的，因为我们对成本进行了估计。作为扣缴限制，交易限制可能是强制性的或自由裁量的。36单周期优化营业额限额。t期投资组合的营业额由k（zt）1:nk/2给出。通常将营业额限制在一个分数δ（投资组合值），即k（zt）1:nk/2≤ δ。相对于交易量的限制。非现金资产交易可能被限制在当期市场容量的某个分数δt（估计），|（zt）1:n |≤ δ（Vt/Vt），其中右侧的除法表示元素方向。无买卖或交易限制。对资产III的不购买限制包括限制（zt）i≤ 0，而禁止出售限制施加了约束（zt）i≥ 0、无贸易限制规定了禁止买卖限制。4.6软约束对持有或交易的任何约束都可以变软，这意味着没有严格执行。我们将在一般设置中对此进行解释。对于变量或表达式x上的向量等式约束h（x）=0，我们将其替换为减去形式γkh（x）k的目标的项，其中γ>0是约束的优先级。（我们可以将其一般化为γT | h（x）|，使用γa向量，为h（x）的不同成分提供不同的优先级。）以类似的方式，我们可以替换不等式约束h（x）≤ 0带有一个从目标中减去的项，其形式为γT（h（x））+，其中γ>0是优先级向量。用这些惩罚项替换硬约束将导致软约束。对于足够大的优先级值，约束将准确地保持；对于较小的值，仅当需要时才违反约束（粗略地说）。4.7。

凸性37例如，我们可以通过从目标中减去一项γkFTt（wt+zt）kf，将一组因子中性约束FTt（wt+zt）=0转换为软约束，其中γ>0是优先级。对于较大的γ因子中性值，FTt（wt+zt）=0将保持不变（如果可能，精确）；对于较小的值，根据其他客观条件和约束条件，某些因子风险可能会变为零。4.7凸性只要问题是凸的，就可以使用现成的软件快速、可靠地解决投资组合优化问题（4.3）。这就要求风险和估计的交易和持有成本函数是凸的，交易和持有约束集是凸的。以上讨论的所有函数和约束都是凸的，除了自融资约束Ttzt+φtrade（zt）+φholdt（wt+zt）=0外，必须放宽到不等式Tzt+φtrade（zt）+φholdt（wt+zt）≤ 不等式在（4.3）的最佳值处是紧的。或者，可以用问题（4.4）中的简化版本zt=0来代替自我融资约束。解决方案时间。除了多重协方差风险模型外，上述SPO问题可以使用复杂度为O（nk）fl-ops的标准内点法解决，其中n是资产数量，k是因子数量。（没有因子模型，我们用n代替k。）前面的系数约为100，其中包括内点迭代计数和其他计算。即使对于复杂的杠杆约束、三分之二的电力交易成本、交易和持有限制等，情况也应该如此。这意味着一个处理器的典型当前单核（或线程）可以在半秒内解决具有1500个资产和50个因子的SPO问题（保守地基于1G flop/sec的计算速度38单周期优化）。

这已经足够快了，可以使用这些方法进行以秒为周期的交易。但即使每天都有交易，为了进行回测，速度仍然非常重要。对于日常交易，一年的回测（约250个交易日）可以在几分钟或更短的时间内完成。一台运行64个线程的generic32核计算机可以在不到10分钟的时间内，使用64种不同的参数选择（见下文），对五年的数据进行回测。这涉及到解决80000个凸优化问题。所有这些时间都与资产数量呈线性关系，与因素数量呈二次关系。对于一个有4500个资产和100个因子的问题，计算时间大约要长12倍。我们的估计保守地基于1G flop/sec的计算速度；对于这些或更大的问题，多线程优化线性代数例程可以达到100G fl op/sec，使回测速度加快100倍。我们提到一个可以更快解决的特殊情况。如果目标是二次函数，这意味着风险和成本是二次函数，唯一的约束是线性等式约束（例如，因子中性），那么问题可以用相同的O（nk）复杂性来解决，但前面的系数接近2，比使用内点法快约50倍。自定义解算器或针对GPU等特定平台的解算器可以更快地解决SPO问题。例如，在aGPU上运行的POG【27】中实现的一阶算子拆分方法可以解决非常大的SPO问题。POG可以在几秒钟或更短的时间内解决一个拥有100000个资产和1000个因素的问题（这比任何实际问题都要大得多）。

在另一个极端，像CVXGEN这样的代码生成系统可以以惊人的速度解决smallerSPO问题；例如，30个资产在一毫秒以下的问题。问题说明。新的凸优化框架，如CVX【27】、CVXPY【21】和凸集。jl【60】基于约束凸规划（DCP）的思想【30】，使得很容易在4.7的几行代码中指定和修改SPO问题。凸性39了解代码。这些框架使非标准交易和持有约束或风险和成本函数的实验变得很容易。非凸性。优化问题中非凸约束或项的存在极大地使其求解复杂化，使其求解时间更长，有时甚至更长。这可能不是生产交易引擎中的问题，该引擎决定每天或每小时一个交易。但非凸性至少会使回测降低很多，而且在许多情况下根本不切实际。这大大降低了整个基于优化的方法的效率。因此，应尽量避免非凸约束或术语。非凸约束通常只有在不理解这一点的人添加了一个听起来合理的约束，而不知道他或她正在制造麻烦时才会出现。例如，考虑施加一个最小交易条件，该条件规定，如果（zt）iis非零，它必须满足|（zt）i |≥ , 哪里 > 此约束似乎足够合理，但使问题成为非凸问题。

如果目的是实现稀疏交易，或者避免许多非常小的交易，那么可以使用凸约束或成本条件（costterms）来实现（以更好的方式）。非凸约束的其他示例（应避免）包括对所持资产数量的限制、非零持有的最小值，或将交易限制为股份的整数，或限制我们可以交易的资产总数。我们必须交易整数股的要求也是非凸的，但对于任何实际的投资组合都是相关的。对于规模合理的投资组合而言，将我们的交易清单（包含实数）四舍五入为整数股所导致的错误可以忽略不计。虽然应该避免使用非凸约束和目标项，并且通常不需要这些约束和目标项，但可以使用简单而强大的启发式方法来处理其中的许多约束和目标项，例如解决松弛问题、筛选非凸项，然后再次解决凸问题【22】。作为该方法的一个示例，考虑最小非零交易40单周期优化需求|（zt）i |≥  对于（zt）i6=0。我们首先在没有此约束的情况下解决SPO问题，找到一个解决方案z。我们使用此暂定交易向量来确定z的哪些条目将为零、负或正（即，我们持有、出售或购买哪些资产）。我们现在对交易向量施加这些符号约束：如果（~zt）i=0，（zt）i，我们需要（zt）i=0≥ 如果（▄zt）i>0和（zt）i，则为0≤ 如果（￠zt）i<0，则为0。我们再次用这些符号约束和最小贸易约束来求解SPO，它们现在是线性的，因此是凸的。这种简单的方法在实践中会非常有效。再举一个例子，假设我们被限制在任何给定的时间段内进行mostK非零交易。一个基于凸优化的非常简单的方案将非常有效。

首先，我们忽略限额来解决问题，并可能添加额外的“交易成本”，以阻止交易。我们采用此交易列表，找出K个最大的交易（买入或卖出）。然后，我们将约束添加到我们的问题中，即我们将只交易这些资产，然后我们再次解决portfoliooptimization问题，只使用这些交易。正如上面所述的例子，这种方法即使不是最优的，也会产生非常好的交易。这一近似值不会影响真正的利益衡量标准，即投资组合绩效。通常无需在全球范围内解决非凸问题，因为这大大增加了解决时间，并且在交易绩效方面没有带来实际好处。在投资组合优化中处理非凸问题的最佳方法是避免它们。4.8使用单周期优化思想。在本节中，我们简要地从较高的层面解释了如何在实践中使用SPO交易算法。我们不讨论什么可能是最关键的部分，即收益（和其他参数）估计和预测。相反，我们假设预测已经给出，并将重点放在如何使用SPO来利用它们。在SPO中，交易和持有成本中出现的参数可以受到我们对其真实价值的估计的启发或激励，但最好将其视为we4.8中的“旋钮”。使用单周期优化41turn实现我们喜欢的交易行为（参见，例如，[17，chapter8]、[35，19，41]），通过回测、假设模拟和压力测试进行验证。作为一个粗略但重要的例子，我们可以通过交易厌恶因子γtrade来衡量整个交易成本函数φtradetb。

（名称强调与风险规避参数的类比，该参数衡量目标中的风险项。）增加交易厌恶参数将阻止交易或减少成交量；减少它将增加交易量和营业额。我们甚至可以将1/γ交易视为我们将摊销所产生交易成本的时期数[31]。作为一个更复杂的例子，交易成本参数SAT用于模拟买卖价差，可以放大或缩小。如果我们增加这些资产，交易就会变得更加稀少，也就是说，有许多时期我们不交易每项资产。如果我们扩大3/2电力期限，我们鼓励或阻止大型交易。事实上，我们可以在SPO问题中加入水龙交易条款，这并不是因为我们认为这是一个很好的交易成本模型，而是为了比三分之二幂条款更能阻止大宗交易。任何SPO变化，如标定某些术语或添加新术语，都将通过回测和压力测试进行评估。同样的想法也适用于持有成本。我们可以通过正持有厌恶参数γholding来调整持有成本率，以鼓励或阻止持有产生持有成本的头寸，如空头头寸。如果持有成本反映了持有空头头寸的成本，那么参数γhold会衡量我们对持有空头头寸的厌恶程度。我们可以通过增加空头κT（wt+zt）的二次项来修改持有成本-, （用方块表示元素和κ≥ 0），这并不是因为我们的实际借贷成本率随着大量空头头寸的增加而增加，而是为了向SPO算法发送信息，表明我们希望避免持有大量空头头寸。另一个例子是，我们可以在持有成本中添加清算损失条款，并使用比例因子来控制其影响。我们增加这一术语并不是因为我们打算清算投资组合，而是为了避免在非流动资产中建立大额头寸。

通过增加流动损失项的比例因子，我们阻止SPO算法持有42个单期优化非流动头寸。交易、持有和风险规避参数。上述讨论表明，除了传统的风险规避参数外，我们还使用交易和持有成本的比例参数修改了（4.4）中的目标，这会产生SPO问题最大化^rTtzt- γtradet^φtradet（zt）- γholdt^φholdt（wt+zt）- γrisktψt（wt+zt）以1Tzt=0为准，zt∈ Zt，wt+Zt∈ Wt.（4.9），其中γtradet、γholdt和γrisktar是用于衡量各自成本的正参数。这些参数有时被称为超参数，它强调将统计模型与数据拟合时使用的超参数进行类比。超参数是我们“转动”（即选择或更改）以获得良好性能的“旋钮”，我们通过回测对其进行评估。我们甚至可以有三个以上的超参数，它们可以根据持有成本和交易成本来衡量各个条款。超参数的选择会极大地影响SPO方法的性能。它们应该通过反向测试、假设测试和压力测试进行选择。这种使用SPO的方式类似于优化在许多其他应用领域的使用方式，例如控制系统或机器学习。例如，在机器学习中，目标是找到一个能够对新数据做出良好预测的模型。大多数构建模型的方法都使用优化来最小化所谓的损失函数，该损失函数会惩罚未拟合观测数据，再加上一个正则化器，该正则化器会惩罚模型的敏感性或复杂性。这些函数中的每一个都是由数据生成的（过于简单的）理论模型所激发的。

但这些函数的最终选择，以及它们之间的（超参数）比例因子，是通过样本外验证或交叉验证来完成的，即在未看到的数据上测试模型。关于凸优化在控制或估计等应用中是如何本着这种精神使用的一般讨论，请参见【7】。4.8。使用单周期优化43判断预测值。在本文中，我们不考虑预测，这在交易中当然至关重要。对新提出的收益估计或预测最基本的检验是它能预测收益。这通常使用一个简单的模型来判断，该模型评估夏普比率或信息比率，隐式地忽略所有投资组合约束和成本。如果预测没有通过这些简单的SR或IRtests，那么它不太可能在交易算法中有用。但是，由于成本、投资组合约束和其他问题，在多期交易的背景下，拟议估计或预测的真实价值可能与简单的SR或IR预测测试所建议的非常不同。应在投资组合约束、其他预测（例如，交易量）、交易成本、持有成本、交易约束以及风险规避等参数选择的背景下判断新的拟议预测。这可以通过模拟、执行回测、假设模拟和压力测试来实现，在每种情况下，通过改变参数来实现最佳性能。该测试的结果是，与简单的SR和IR测试相比，预测的价值可能较低（通常情况下）或更高（通常情况下）。

这样做的一个后果是，预测的真实价值在很大程度上取决于正在交易的投资组合的类型和规模；例如，预测对于杠杆率适中的小型多空投资组合可能非常有价值，而对于大型只做多的投资组合则不太有价值。多期优化5.1动机在本节中，我们讨论了基于优化的策略，这些策略在选择当前期间的交易时考虑了有关多期的信息。在深入研究细节之前，我们应该考虑我们希望通过单周期方法获得什么。预测当前时期的回报已经足够困难了。为什么要尝试预测未来时期的回报率？一个原因是更好地考虑交易成本。在没有交易成本（和其他交易限制）的情况下，一次只考虑一个时期的贪婪策略是最优的，因为当前时期的业绩并不取决于之前持有的股票。然而，在任何现实模型中，当前持有量都会强烈影响回报预测是否能够有效实施。因此，我们应该考虑我们在当前时期进行的交易是否使我们在未来时期处于良好或不利的地位。虽然这种思想可以纳入单周期优化，但在多周期优化中处理起来更自然。例如，假设我们基于单周期优化的策略告诉我们要在很少交易的资产上做多。我们可能不想使用5.1。动机45进行交易，因为我们知道平仓将产生巨大的交易成本。单周期问题建模的是进入该职位的成本，而不是离开该职位的成本。为了模拟这样一个事实，即随着时间的推移，我们会将头寸恢复到基准水平，因此最终必须出售我们购买的头寸，我们需要对当前时期之后的时间进行建模。

（单周期优化的一个标准技巧是将交易成本翻一番，然后称为往返成本。）多期优化的另一个优点是，它可以在不同的时间尺度上自然地处理多个可能具有冲突性的回报估计（参见，例如，[28，54]）。作为一个例子，假设我们预测短期内回报率为正，但长期内回报率为负。第一个预测可能只与一天相关，而第二个预测可能与一个月或更长时间相关。在单周期优化框架中，当混合收益预测时，不清楚如何考虑不同的时间尺度。将这两个预测结合起来可能会取消它们，或者让我们根据更大的预测进行调整。但由此产生的行为可能非常不理想。如果交易成本很高，不采取任何行动可能是正确的选择，因为我们将不得不根据快速预测逆转任何交易，因为我们在未来时期遵循缓慢的预测。然而，如果交易成本较低，正确的选择是遵循快速预测，因为平仓很便宜。这种行为很自然地属于多周期优化，但很难在单个周期问题中捕获。在许多其他情况下，可以利用多周期（而不仅仅是当前周期）的预测进行多周期优化。我们在这里描述了其中的一些信号衰减和时变返回预测。概括以上关于快信号与慢信号的讨论，我们可以为每个返回预测信号指定一个指数衰减率。（这可以从历史上估计，例如，通过对信号值建立自回归模型。）然后，很容易用计算机在任何时间尺度上返回估计值。

预测精度的衰减也称为均值回归或α衰减（例如，参见46多周期优化[13、31、28]）。o波动性或风险的已知未来变化。如果我们知道未来的事件会增加风险，我们可能希望提前退出一些风险头寸。在MPO中，向低风险头寸的交易早在风险增加之前就开始了，交易会产生交易成本。在SPO中，只有当风险增加时，才会发生（较大）交易到较低风险头寸，从而导致较大的交易成本。相反，也可以利用已知的低风险期在多个期间更改约束。例如，假设我们希望在多个时期内降低投资组合的杠杆率，即将杠杆约束Lmaxover一些时期降低到较低的值。如果我们使用多期优化框架，我们很可能会产生比特定方法更低的交易成本，同时仍然利用我们的回报预测流动性或数量的已知未来变化。可以利用未来交易量或波动率预测来优化交易成本，例如，将某些交易推迟到交易结束。市场容量比市场回报具有更好的可预测性设置、关闭或转移投资组合。这些转换都可以通过MPO自然地处理，并结合随时间变化的约束条件和客观条件。5.2多期优化在多期优化中，我们通过解决规划期内的优化问题来选择当前交易向量zt，该规划期将h期延长到未来，t，t+1，t+H- 1.（单周期优化对应于H=1的情况。）t，t+1，…，时的许多量，t+H-当优化问题解决且资产交易为5.2时，1在时间t未知。

选择多周期优化47，因此在单周期情况下，我们将对其进行估计。对于任何数量或函数Z，我们让^Zτ| tdenote我们对Zτ的估计，给定我们在周期t开始时可用的所有信息。（推测为τ≥ t；否则，我们可以取^Zτ| t=Zτ，时间τ时Z的实现值。）例如，^rt |是在时间t对时间t的回报进行的估计（我们在单周期优化一节中表示了^rti）；^rt+2 |是在时间t时对时间t+2时的回报进行的估计。我们可以从（4.3）开始发展一个多周期优化问题。Letzt，zt+1，zt+H-1结束我们的计划交易序列。自然目标是总风险调整后的短期回报率，t+H-1Xτ=t^rTτ| t（wτ+zτ）- γτψτ（wτ+zτ）-^φ保持τ（wτ+zτ）-^φtradeτ（zτ）.（此表达式删除一个不依赖于交易的常数，并处理绝对或主动回报。）在这个表达式中，wt是已知的，但wt+1，wt+Hare不是，因为它们依赖于贸易，zt+H-1（我们将选择）和未知回报，通过动力学方程（2.11），wt+1=1+Rpt（1+rt）o （wt+zt），它将当前权重向量传播到下一个权重向量，给定trading和return向量。（这个真实的动力学方程确保了如果1Twt=1，我们就有1Twt+1=1。）在该目标中添加风险项γτψt（wτ+zτ）时，我们隐含地依赖于收益是独立随机变量的想法，因此总和的方差就是方差之和。我们还可以将γτψτ（wτ+zτ）解释为阻止我们持有某些投资组合的成本术语。简化动力学。我们现在做一个简化的近似：为了在我们的规划练习中将wt和ZT传播到wt+1，我们将假设Rpt=0和rt=0（即，一个周期48多个周期的优化回报比一个周期小）。

这将导致更简单的动力学方程wt+1=wt+zt。在这种近似情况下，我们必须添加约束1Tzt=0，以确保我们的规划练习中的权重添加到1，即1Twτ=1，τ=t+1，t+H。我们将使用约束tzτ=0，τ=t+1，t+H- 1、给出当前投资组合权重WT，且满足1Twt=1；对于τ=t+1，…，我们得到1Twτ=1，由于约束条件，t+H。（下文讨论了动力学简化的含义。）多周期优化问题。通过动力学简化，我们得出了MPO问题Maximizept+H-1τ=t^rTτ| t（wτ+zτ）- γτψτ（wτ+zτ）-^φ保持τ（wτ+zτ）-^φtradeτ（zτ）以1Tzτ=0，zτ为准∈ Zτ，wτ+Zτ∈ Wτ，Wτ+1=Wτ+zτ，τ=t，t+H- 1，（5.1）变量zt，zt+1，zt+H-1和重量+1，wt+H。请注意，wt不是一个变量，而是（已知）当前投资组合权重。当H=1时，多周期问题简化为单周期问题（4.4）。（我们可以忽略常数^rTt | twt，它不依赖于变量，如（5.1）而不是（4.4）所示。）利用wτ+1=wτ+zτ，我们可以消除交易变量zτ，从而得到等价问题maximizept+Hτ=t+1^rTτ| twτ- γτψτ（wτ）-^φ保持τ（wτ）-^φtradeτ（wτ- wτ-（1）受制于1Twτ=1，wτ- wτ-1.∈ Zτ，wτ∈ Wτ，τ=t+1，t+H，（5.2），变量wt+1，wt+H，下一个H周期的计划重量。这是（4.5）的多周期模拟。MPO公式（5.1）和（5.2）都是凸优化问题，前提是交易成本、持有成本、风险函数以及交易和持有约束都是凸的。5.2。多期优化49 MPO解释。MPO问题（5.1）或（5.2）可以解释如下。这些变量构成了一个交易计划，即在接下来的H期内执行的一组交易。

求解（5.1）或（5.2）是基于计划期内关键数量的预测和一些简化假设，形成一个交易计划。除第一笔交易外，我们不打算执行这一系列交易。我们有理由问，为什么我们要在未来的贸易中进行优化，zt+H-1，因为我们不打算执行它们。答案很简单：作为规划工作的一部分，我们对其进行优化，只是为了确保我们现在不会进行任何将使我们在未来处于abad地位的交易（即zt）。执行计划练习，但仅执行当前操作的想法出现并被用于许多领域，如自动控制（称为模型预测控制、MPC或滚动地平线控制）[40、45]、供应链优化[14]等。MPC在金融领域的应用包括[33、9、6、54]。关于动力学简化。在继续之前，让我们讨论动力学方程的简化，在这里，我们替换exactweight updatewt+1=1+Rpt（1+rt）o （wt+zt），通过假设rt=0，简化版本wt+1=wt+zt。乍一看，这似乎是一个粗略的简化，但这种假设只是为了在我们的规划过程中宣传投资组合的前瞻性；在我们的目标框架内，我们确实考虑了回报。因此，我们忽略了二阶条件，如果每个周期的回报率与一个周期的回报率相比很小，我们就不能做得太远。以类似的方式，为τ=t+1添加约束1Tzτ=0，t+H- 1表明我们忽略了交易和持有成本，因为如果zτ是已实现的交易，我们将有1Tzτ=-φtradeτ（zτ）- φholdτ（wτ+zτ）。

如上所述，该假设仅用于在我们的规划工作中传播我们的投资组合；我们在目标中确实考虑了成本。50个多周期优化终端约束。在MPO中，有一个相当长的范围，我们可以添加一个终端（相等）约束，它要求最终计划权重取一些特定值，wt+H=wterm。终端投资组合权重的合理选择是（我们对）t+H期间的基准权重WB。为了优化绝对或超额回报，终端权重将是现金，即wterm=en+1。这意味着我们的规划工作应该以全部现金完成投资组合。这并不意味着我们打算在H期内清算投资组合；相反，这意味着我们应该像这样执行我们的计划。这将防止Pus犯下错误，进入我们的回报预测似乎是一个有吸引力的位置，然而，放松代价很高。对于相对于基准的优化，自然终端约束应位于（预测的）基准中。请注意，添加端子约束会减少变量的数量。我们解决了问题（5.1），但wt+Ha给定常数，而不是变量。初始权重wt也是一个给定常数；中间权重wt+1，重量+小时-1是变量。5.3计算MPO问题（5.2）有Hn变量。一般来说，凸优化的复杂性随着变量数量的立方而增加，但在这种情况下，可以利用问题的特殊结构，使计算效果在H（地平线）中线性增长。因此，解决MPO问题（5.2）应该比解决SPO问题（4.5）慢一个因素H。对于一般的H（比如几十个），这不是一个问题。但是对于H=100（比如说），解决MPO问题可能是一个巨大的挑战。

基于ADMM[8，9]的分布式方法可用于解决使用多个处理器的MPO问题。在大多数情况下，我们可以解决生产中的MPO问题。问题是回测，因为我们必须多次解决这个问题，而且参数有很多变化。5.4。如何使用MPO 515.4如何使用MPO关于如何使用SPO的一般想法也适用于MPO；例如，我们将MPO问题中的参数视为我们调整的旋钮，以便在回测和压力测试下获得良好的性能。在MPO中，我们必须提供未来H期内每个时期的每个数量预测。这可以使用复杂的预测来完成，每个时期的预测可能不同，或者以非常简单的方式，使用恒定的预测。5.5多尺度优化MPO交易需要估计未来H个交易周期内的所有相关数量，如回报、交易成本和风险。在本节中，我们描述了MPO的简化，该简化需要更少的预测，以及更少的计算来执行每个阶段所需的优化。我们仍然为未来H期的交易和权重制定了一个计划，但我们假设交易只在短期内发生了几次；在其他时间段，计划的portfoliois保持不交易。这保留了我们有追索权的想法；但这大大简化了问题（5.1）。

我们描述了短期、中期和长期三种交易的想法，以及最终满足终端约束的额外交易TWT+H=wb。具体地说，我们在（5.1）中增加了一个约束条件，即对于τ=t，τ=t+Tmed，τ=t+Tlong，τ=t+H，交易（即zτ6=0）仅在未来的特定时期发生- 1，其中1<Tmed<Tlong<H- 1、在我们的交易计划中，我们将zshort=zt视为我们的短期交易，zmed=zt+Tmedasour中期交易，zlong=zt+tlong视为我们的长期交易。最终非零贸易zt+H-1由Terminal约束确定。例如，我们可以取Tmed=5，Tlong=21，H=100。如果周期代表天，我们计划现在（短期）、a52多周期优化周（中期）和月份（长期）进行交易；在99天内，我们达到了基准。我们仅有的变量是短期、中期和长期交易以及相关权重，由wshort=wt+zshort、wmed=wshort+zmed、wlong=wmed+zlong给出。为了确定要进行的交易，我们求解（5.1），将所有其他zτ设置为零，并使用上面给出的权重。这导致了一个与（5.1）形式相同的优化问题，但交易和权重只有三个变量，目标中有三个术语，加上一个额外的术语，表示与t+H时基准的最终交易相关的交易成本- 1.实现我们开发了一个开源Python包CVXPortfolio[11]，它实现了本文讨论的投资组合模拟和优化概念。该软件包依靠Pandas[46]来管理数据。Pandas实现了memorydatabases中的结构化数据类型（类似于R数据帧），并为访问和操作它们提供了丰富的API。通过Pandas，很容易将我们的包与数据库后端连接起来。

该软件包使用凸优化建模框架CVXPY【21】来构建和解决投资组合优化问题。该软件包提供了一个面向对象的框架，其中包含类别代表回报、风险度量、交易成本、持有约束、交易约束等。单周期和多周期优化模型是从这些类别的实例构建的。Eachinstance为任何给定的周期t生成CVXPY表达式和约束，从而可以轻松地将实例组合到单个convexmodel中。在第7章中，我们给出了一些使用cvxportfolio的简单数值例子。54实现6.1组件我们简要回顾软件包中的主要类。实现额外的类，例如新的策略或风险度量，是一个很好的解决方案。回报估算。AlphaSource类的实例仅使用时段t的可用信息生成时段t的返回估计值^rtt。最简单的AlphaSource实例将Pandas dataframe包装为每个期间的返回估计数：alpha\\u source=AlphaSource（return\\u estimates\\u dataframe）多个AlphaSource实例可以混合成线性组合。风险度量。RiskMeasure类的实例生成一个convexcost，表示给定时期t的风险度量。例如，FullSigma子类生成成本（wt+zt）t∑t（wt+zt），其中∑t∈R（n+1）×（n+1）是一个显式矩阵，而FactorModel子类使用∑t的因子模型生成成本。任何风险度量都可以切换为绝对风险或主动风险，并使用风险规避参数进行加权。该包提供了第4.2节讨论的所有风险措施。成本。TcostModel和HcostModel类的实例分别生成交易和持有成本估算。同样的类别既适用于投资组合优化问题中的成本建模，也适用于交易模拟中的已实现成本计算。

成本对象也可以用来表示其他客观条件，如软约束。约束条件。该包提供了代表第4.4节和第4.5节中讨论的每个约束的类。例如，LeverageLimit类的实例会生成一个杠杆限制约束，该约束可以随时间段而变化。约束对象可以转换为软约束，软约束是成本对象。6.1。组件55策略。Policy类的实例使用时段t中可用的信息获取holdings wtandvalue VT和output trades ZT。使用SinglePeriodopt子类构建单时段优化策略。构造函数采用AlphaSource、成本列表，包括风险模型（乘以其系数）和约束。例如，以下代码段构造了一个SPOpolicy：spo\\u policy=SinglePeriodOpt（alpha\\u source，[gamma\\u risk*factor\\u risk，gamma\\u trade*tcost\\u model，gamma\\u hold*hcost\\u model]，[leverage\\u limit]）多周期优化策略的构造类似。该包还为简单的策略（如定期重新平衡）提供子类。模拟器。MarketSimulator类用于运行交易模拟或反向测试。实例是用历史回报和其他市场数据以及交易和持有成本模型构建的。给定MarketSimulator实例market\\u sim，通过调用run\\u backtest方法运行backtest，方法包括初始投资组合、策略以及开始和结束期间：backtest\\u results=market\\u sim。run\\u backtest（init\\u公文包、策略、start\\u t、end\\t）可以在不同的条件下并行运行多个back测试。

背面测试结果包括第3章中讨论的所有指标。示例在本节中，我们提供了简单的数字示例，说明了以上开发的想法，所有这些想法都是使用CVXPortfolio和开源市场数据（以及一些没有开源数据的近似值）执行的。这些代码可用athttps://github.com/cvxgrp/cvxportfolio/examples.Given我们的近似值，以及我们将在下面提到的模拟的其他不足之处，我们展示的特定数值结果不应该太认真。但这些模拟足以说明真实现象，例如交易成本可以发挥的关键作用，或者超参数搜索的重要性。7.1模拟数据从2012年1月到2016年12月，我们对截至2016年12月的标准普尔500指数的组成部分进行了为期5年的研究。我们选择在此期间持续交易的股票。（通过这样做，我们引入了生存偏差，这并不是一个问题，因为这些例子只是为了说教。）我们从Quandl7.2中收集开源市场数据。投资组合模拟57【56】。数据包括实现的每日市场回报率rt（使用收盘价计算）和交易量Vt。我们使用美联储的隔夜利率作为现金回报。在[1]之后，我们用一个简单的估计量（σt）i=| log（popent）i近似每日波动率- log（pcloset）i |，其中（popent）i和（pcloset）i是t期资产i的开盘价和收盘价。我们无法找到买卖价差的开源数据，因此我们使用了所有资产和期间的价值=0.05%（5个基点）。对于所有资产和期间，我们使用st=0.01%（1个基点）作为持有成本。

我们为交易和持有成本模型的其他参数选择了标准值：所有资产和期间的bt=1、ct=0、dt=0。7.2投资组合模拟为了说明回测投资组合模拟，我们考虑一个旨在跟踪统一投资组合基准的投资组合，该投资组合的权重wb=（1/n，0），即所有非现金资产的价值分数相等。这不是一个特别有趣或很好的基准投资组合；我们仅将其作为一个简单的示例来说明交易成本的影响。投资组合从w=wb开始，由于资产回报率偏离此权重向量。我们定期重新平衡，这意味着使用tradevector zt=wb-wt.对于t的其他值（即wedo not re balance的周期），我们的zt=0。我们对两个初始投资组合价值（1亿美元和100亿美元）分别进行了六次回测模拟。这六种模拟的重新平衡频率各不相同：每日、每周、每月、每季度、每年或从不（也称为“持有”或“买入并持有”）。对于每个模拟，我们给出了投资组合的主动回报率Ra和主动风险σa（在第3.2节中定义），年度平均交易成本Tptt=1φtradet（zt），年度平均营业额Tpt=1k（zt）1:nk/2。表7.1显示了结果。（出于完整性考虑，包括主动回报，但没有特殊意义；它是交易成本加上一个小的随机成分的负值。）我们观察到，正如预期的那样，交易成本取决于投资组合的总价值，重新平衡频率的选择会影响交易成本和ac58示例重新平衡主动主动主动交易。总营业额。

频率回报风险成本每天1亿美元-每周0.07%0.00%0.07%220.53%-每月0.07%0.09%0.04%105.67%-每季度0.12%0.21%0.02%52.71%-每年0.11%0.35%0.01%29.98%-每年0.10%0.63%0.01%12.54%持有-每天0.36%1.53%0.00%100亿美元-每周0.25%0.01%0.25%220.53%-每周0.19%0.09%0.16%每月105.67%-每季度0.20%0.21%0.10%52.71%-每年0.17%0.35%0.07%29.99%-每年0.13%0.63%0.04%12.54%持有-0.36%1.53%0.00%0.00%表7.1：不同初始值和不同平衡频率的投资组合模拟结果。所有值均为年化值。积极风险。（每日重新平衡时，主动风险并非完全为零，因为交易成本的可变性包含在投资组合回报中。）图7.1分别显示了两种组合的主动风险与交易成本。7.3单周期优化在本节中，我们展示了第4章中开发的单周期优化模型的一个简单示例。投资组合从总价值V=1亿美元开始，分配等于统一投资组合w=（1/n，0）。我们施加了Lmax=3的杠杆约束。该模拟使用第7.1节中定义的市场数据。SPO中使用的预测和风险模型如下所述。风险模型。所有权风险模型，例如MSCI（前巴里巴）的模型，被广泛使用。这里我们使用一个简单的因素风险模型es7.3。单期优化59图7.1：两种初始投资组合规模的主动风险与交易成本。线上的点对应于重新平衡频率。使用与[1]类似的程序，根据过去实现的回报进行估值。我们在每个月的第一天进行估算，并将其用于本月的其余时间。设t为估计时间段，t-Mr是两年前的时间段。

考虑已实现收益窗口的二阶矩∑exp=MriskPt-1τ=t-MriskrτrTτ，其特征分解∑exp=Pni=1λiqiqTi，其中特征值λ为独立阶。我们的因子风险模型isF=[q···qk]，∑f=diag（λ，…，λk），D=nXi=k+1λidiag（qi）diag（qi），其中k=15。（选择对角矩阵D，使因子模型F∑fFT+D和经验二阶矩∑Exp具有相同的对角元素。）返回预测。无风险利率是准确已知的，（rt）n+1=（rt）n+1，对于所有t。非现金资产的回报预测是60个示例。它们是使用多种方法生成的，从分析预测到复杂的机器学习技术，都是基于各种数据馈送和来源。对于这些例子，我们通过将零平均噪声添加到实际收益中，然后重新缩放，来生成模拟收益预测，以获得（大约）最小化均方误差的收益估计。当然，这不是一个真实的回报预测，因为它使用的是实际实现的回报；但我们在这里的目的只是为了说明想法和方法。对于所有t，非现金资产的回报估计为（^rt）1:n=α（（rt）1:n+t） ，（7.1）其中t型~ N（0，σ一） 都是独立的。我们使用噪声方差σ=0.02，因此噪声分量的标准偏差约为14%，约为比已实现回转式的标准偏差大10倍的系数。选择比例因子α以最小化均方误差（（^rt）1:n-（rt）1:n），如果我们认为RTA是方差为σr的随机变量，即α=σr/（σr+σ). 我们使用典型值σr=0.0005，即实现的回报标准偏差约为2%，因此α=0.024。我们的典型回报预测约为±0.3%。