基于凸优化的多周期交易

2022-5-31 10:43:47

基础和趋势在OptimizationVol中。二十、 XX（2017）1-74c号 2017 now Publishers股份有限公司DOI:10.1561/xxxxxxxxxxxxx通过凸优化进行多期交易Stephen BoydStanfordUniversityboyd@stanford.eduEnzoBussetiStanford总线Universityebusseti@stanford.eduSteven钻石斯坦福Universitystevend2@stanford.eduRonaldN.KahnBlackrockron。kahn@blackrock.comKwangmooKohBlackrockkwangmoo。koh@blackrock.comPeter纽约理工大学Denmarkpnys@dtu.dkJanSpethBlackrockjan。speth@blackrock.comContents1简介22模型62.1组合资产和现金持有。62.2交易。82.3交易成本。92.4持有成本。112.5自我融资条件。122.6投资。142.7未建模的方面。152.8模拟。173指标193.1绝对指标。193.2与基准相关的指标。204单期优化224.1风险回报优化。234.2风险措施。264.3预测错误风险。304.4保持约束。324.5交易限制。35iiiii4.6软约束。364.7凸度。374.8使用单周期优化。405多周期优化445.1激励。

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nandehutu2022

2022-5-31 10:43:51

。445.2多周期优化。465.3计算。505.4如何使用MPO。515.5多尺度优化。516实施536.1组件。547示例567.1模拟数据。567.2投资组合模拟。577.3单周期优化。587.4多周期优化。657.5模拟时间。68参考文献70摘要我们考虑多期交易的基本模型，该模型可用于评估交易策略的绩效。我们描述了一个单周期优化的框架，其中每个周期的交易都是通过解决一个凸优化问题来发现的，该问题涉及预期收益、风险、交易成本和持有成本，如做空资产的借款成本。然后，我们描述了交易方法的多期版本，其中优化用于规划一系列交易，仅执行第一个交易，使用在选择交易时未知的未来数量估计。单周期法可以追溯到马科维茨；多周期方法又回到了模型预测控制。我们的贡献是在一个简单的框架中描述单周期和多周期方法，清楚地描述其发展和所做的近似。在本文中，我们不讨论交易算法中的一个关键组件，即对未来数量的预测。我们在本文中描述的方法可以被认为是利用预测的好方法，无论它们是如何做出的。

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大多数88

2022-5-31 10:43:55

我们还开发了一个公司开源软件库，它实现了本文中描述的许多思想和方法。现在是出版商公司。。通过凸优化进行多期交易。基础和趋势《优化》，第二十卷，第二十期，第1-74页，2017年。内政部：10.1561/xxxxxxxxx。简介单期和多期投资组合选择。马科维茨（Markowitz）[43]是第一个将投资组合的选择表述为风险和回报交易的优化问题的人。传统上，这是独立于与交易相关的成本来完成的，当交易在多个时期进行时，这一成本可能会非常重要[39]。Goldsmith[29]是最早在单一时期背景下考虑交易成本对投资组合选择影响的公司之一。在投资组合选择的单周期优化公式中，可能包含许多其他成本和约束条件【42，52】。在多期投资组合选择中，投资组合选择问题是选择一系列交易在一组时期内进行。自塞缪尔森（Samuelson）[57]和默顿（Merton）[47，48]的工作以来，关于这个主题的研究已经很多了。康斯坦丁尼德斯（Constantinides）[16]将萨缪尔森的离散时间公式扩展到了具有比例交易成本的问题。Davis和Norman【18】以及Dumas和Lucian【24】对连续时间公式得出了类似的结果。交易成本、约束和时变预测更自然地在多期设置中处理。继萨缪尔森（Samuelson）和默顿（Merton）之后，关于多期投资组合选择的文献主要基于动态规划（dynamicprogramming），动态规划恰当地考虑了资源的概念以及在选择交易顺序时可用的最新信息（见[28]和其中的参考文献）。

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nandehutu2022

2022-5-31 10:43:58

不幸的是，由于“维数灾难”，除了一些非常特殊或小的情况外，实际上为贸易选择进行动态规划是不切实际的[4，9]。因此，大多数研究只包括数量非常有限的资产和简单的目标和约束。大量文献研究在没有交易成本的情况下的多期投资组合选择（例如，参见[12]和其中的参考文献）；在这种特殊情况下，动态编程是易于处理的。在实际应用中，经常使用动态规划方法的各种近似方法，例如近似动态规划，甚至是将单周期公式推广到多周期优化问题的更简单公式[9]。本文将重点讨论这些简单的多周期方法。虽然这些简化的方法可能被批评为仅近似于完整的动态规划交易政策，但在实际问题中，性能损失可能很小，原因有几个。在[9]中，作者开发了一种数值边界方法，该方法可以量化使用简化方法时的最佳性损失，并且在数值示例中发现该方法非常小。但事实上，动态规划公式本身是一种近似，基于在实践中不需要很好的假设（如独立或同分布回报），因此“最优策略”的想法本身应该受到一些怀疑。为什么是现在？与10年、20年或30年前相比，现在的不同之处在于更强大的计算机能力、更好的算法、用于优化的规范语言以及对更多数据的访问。这些发展改变了我们在多期投资中使用优化的方式。特别是，我们现在可以快速运行完整的blownoptimization，运行多周期优化，并在回测中搜索超参数空间。

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2022-5-31 10:44:01

我们可以进行端到端的分析，实际上一次可以并行进行许多分析。早期的投资研究人员依赖的计算机功能远不如今天，他们更依赖于单独的模型和分析来估计参数值，并使用简化（通常无约束）优化来测试信号。球门在本教程中，我们考虑多期投资和交易。我们的目标是描述一个考虑到出现的主要实际问题的简单模型，以及几个基于解决凸优化问题[7]的简单实用框架，这些问题决定了要进行的交易。我们描述了所做的近似，并简要讨论了如何在实践中使用这些方法。我们的方法没有给出一个完整的交易系统，因为我们没有具体说明关键部分：预测未来回报、交易量、波动率和其他重要数量（参见，例如，[32]）。本文介绍了在给定预测的情况下，可用于交易的良好实用方法。当所要解决的问题是凸的时，我们描述的基于优化的交易方法是实用和可靠的。现实世界中，具有数千资产的单周期凸问题可以在一秒钟内用通用算法解决，这对于用历史或模拟数据对所提出的算法进行评估，形成该方法中的许多参数值至关重要。概述我们从第2章开始，描述了一个简单的多周期交易模型，考虑了回报、交易成本、持有成本和（某些）公司行为。该模型允许我们进行模拟，用于假设分析，以了解在不同条件下或在不同交易策略下会发生什么。

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2022-5-31 10:44:05

数据模拟可以是过去的数据（在回测中）或未发生但可能发生的模拟数据（在假设模拟中），或选择特别具有挑战性的数据（在压力测试中）。在第3章中，我们回顾了用于评估（已实现或模拟）交易绩效的几种常用指标，例如相对于基准的主动回报和风险。然后，我们转向基于优化的交易策略。在第4章中，我们描述了单期优化（SPO），这是一个简单但有效的交易框架，基于优化单期投资组合绩效。在第5章中，我们考虑多周期优化（MPO），其中通过解决一个覆盖未来多个周期的优化问题来选择交易。捐款本文中出现的大多数材料都曾出现在斯坦福大学凸优化课程之前的其他论文、书籍或EE364A中。我们的贡献是在一个地方收集基本定义、模型的详细描述，并讨论如何在多期交易中使用凸优化，所有这些都是在一个通用的符号和框架中进行的。我们的目标不是调查在这一领域和相关领域所做的所有工作，而是提供一个统一、独立的治疗。我们的重点不是理论问题，而是多期交易中出现的实际问题。为了进一步实现这一目标，我们开发了一个附带的开源软件库，该库用Python实现，并且可用athttps://github.com/cvxgrp/cvxportfolio.Target观众我们假设读者对定量投资组合选择、交易和融资的基本理念有一定的背景，如Grinold&Kahn（32）、Meucci（49）或Narang（53）的书中所述。

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2022-5-31 10:44:09

我们还假设读者已经看过一些基本的数学优化，特别是凸优化[7]。读者当然只需要了解凸优化的基本方面，例如本书第1章（[7]）中的概述材料。简言之，我们的目标读者是定量交易者，或者与定量交易者一起工作、为定量交易者工作或雇佣定量交易者的人。模型在本节中，我们设置了符号，并给出了多期交易的简化模型的一些细节。我们开发了基本的交易动态模型，该模型告诉我们，由于交易、投资收益以及与交易和持有投资组合相关的各种成本，投资组合和相关现金账户是如何随时间变化的。本节中开发的模型独立于选择或评估交易或投资组合策略的任何方法，也独立于用于评估交易绩效的任何方法。2.1组合资产和现金持有组合。我们考虑在有限的时间范围内持有n项资产的投资组合，加上一个现金账户，该时间范围分为离散的时间段，标记为t=1，T这些时间段不需要实时统一间隔或等长；例如，当它们表示交易日时，周期是一周中的一（日历）天和周末中的三（日历）天。我们使用标签t来表示时间点、时间段t的开始以及从时间t到t+1的时间间隔。我们模型中的时间段是任意的，2.1。例如，投资组合资产和现金持有7可以是每天、每周或一小时的间隔。我们偶尔会给出时间指数交易日的例子，但相同的符号和模型适用于任何其他时间段。我们的投资将是n项资产，以及一个关联现金账户。

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2022-5-31 10:44:13

我们让ht∈ Rn+1表示时间段t开始时的投资组合（头寸或持有量向量），其中（ht）是时间段t开始时资产i的美元价值，其中（ht）i<0表示资产i的空头头寸，对于i=1，n、只有当资产持有量均为非负时，即（ht）i，投资组合才为长投资组合≥ 0表示i=1，n、（ht）n+1的价值是现金余额，（ht）n+1<0表示欠款（或借款）。资产的美元价值使用参考价格pt确定∈ Rn+，定义为时间段t开始时的买入和卖出价格的平均值。当（ht）n+1=0时，投资组合已全部投资，这意味着我们持有（或我们持有）零现金，我们持有的所有资产（长期和短期）均为资产。总价值、风险敞口和杠杆率。在时间t时，投资组合的总价值（或净资产价值，NAV）vt（以美元为单位）为vt=1Tht，其中1是所有分录为1的向量。（由于交易成本，这并不完全是投资组合在清算时产生的现金量，下文将讨论。）在本文中，我们将假设vt>0，即投资组合总价值为正。向量（ht）1:n=（（ht），（ht）n）给出资产持有量。总风险敞口可表示为ask（ht）1:nk=|（ht）|+···+|（ht）n |，即资产头寸绝对值之和。投资组合的杠杆率是总风险敞口除以价值，k（ht）1:nk/vt。（还使用了其他几种杠杆定义，如上述数量的一半。）完全投资的纯长期投资组合的杠杆作用是唯一的。重量。我们还将使用总价值的权重或分数来描述投资组合。权重（或权重向量）wt∈ Rn+1与投资组合HT8相关的模型定义为wt=ht/vt。（回想一下我们的假设，vt>0。）通过定义，权重之和为1，1Twt=1，且无单位。

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2022-5-31 10:44:17

权重（wt）n+1是以现金形式持有的投资组合总价值的分数。当资产头寸较长且现金余额为非负时，权重均为非负。美元价值保持向量可以用权重表示为ht=vtwt。投资组合的平均值可以用权重表示为kw1:nk，即资产权重的`-范数。2.2 TradesTrade向量。在我们的简化模型中，我们假设所有交易，即资产的买卖，都发生在每个时间段的开始。（事实上，这些交易可能至少会在一段时间内分散。）我们让我们∈ Rn表示当前价格下交易的美元价值：（ut）i>0表示我们购买资产i，（ut）i<0表示我们在时间段t开始时出售资产i，i=1，n、数字（ut）n+1是我们存入现金账户的金额（如果是负数，则为外卖）。向量zt=ut/VT给出了按总价值标准化的交易。与权重向量wt一样，它是无单位的。交易后投资组合。交易后投资组合表示为DH+t=ht+ut，t=1，T、这是交易后T时间段内的投资组合。交易后投资组合价值为v+t=1次+t。交易后总投资组合价值的变化由v+t给出- vt=1次+t- 1HT=1UT。向量（ut）1:n∈ RN是（非现金）资产交易的集合。其`-范数k（ut）1:nk/2的一半是t期间的营业额（美元）。这一等分表示为总价值的百分比，即k（ut）1:nk/（2vt）=kz1:nk/2。我们可以用权重wt=ht/vt和归一化交易ash+t/vt=wt+zt来表示交易后投资组合，通过投资组合价值进行归一化。（2.1）2.3。

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2022-5-31 10:44:21

交易成本9请注意，此标准化数量不一定等于1。2.3交易成本交易产生的交易或交易成本（美元），我们称为φtradet（ut），其中φtradet:Rn+1→ R是（美元）交易成本函数。我们假设φtradedoes不依赖于（ut）n+1，即不存在与现金账户相关的交易成本。为了强调这一点，我们有时会将交易成本写为φtrade（（ut）1:n）。我们假设φtradet（0）=0，即当我们不交易时，没有交易成本。虽然φtradet（ut）通常是非负的，但在某些情况下它可能是负的，如下所述。我们假设交易成本函数φtradetis是可分离的，这意味着其形式为φtradet（x）=nXi=1（φtradet）i（xi），即交易成本分解为与单个资产相关的交易成本之和。我们将（φtradet）i（从R到R的一个函数）称为资产i，周期t的交易成本函数。我们注意到，一些作者使用了不可分离的交易成本模型，例如Grinold的二次动态模型【31】。通用交易成本模型。scalartransaction成本函数的合理模型（φtradet）iisx 7→ a | x |+bσ| x | 3/2V1/2+cx，（2.2），其中a、b、σ、V和c是下文所述的实数，x是阿道尔贸易额[32]。数字a是时间段开始时资产买卖价差的一半，表示为资产价格的分段（因此是无单位的）。我们还可以在这一术语中包括经纪人佣金或费用，这些佣金或费用是买卖股票数量（或美元价值）的线性函数。数字b是一个正恒量，单位为反向美元。数字V是一段时间内该资产的总市场交易量，以美元价值表示，因此| x | 3/2/V1/2有美元单位。

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nandehutu2022

2022-5-31 10:44:24

数字σ是最近一段时间内对应的模型价格波动率（标准差），单位为美元。根据一个标准的经验法则，交易一天的成交量会使价格波动一天左右，这表明数字b的值在1左右。（然而，在实践中，b的价值是通过将上述模型与已实现交易成本数据相匹配来确定的。）数字c用于在transactioncost函数中创建不对称。当c=0时，买卖的交易成本相同；它是| x |的函数。当c>0时，出售资产要比购买资产便宜，这通常发生在买方比卖方提供更多流动性的市场中（例如，如果在限价订单交易中账簿不平衡）。交易成本的不对称性也可以用来模拟交易执行期间的价格变动。当| c |>| a |时，可能会产生负交易成本。交易成本模型（2.2）中的常数随资产和交易周期的变化而变化，也就是说，它们通过i和t进行索引。标准化交易成本。交易成本模型（2.2）为indollars。我们可以通过vt（总投资组合价值）将其标准化，并用zi（资产i的标准化交易）表示，从而得到函数（为了简单起见，t被抑制）ai | zi |+biσi | zi | 3/2（Vi/v）1/2+cizi。（2.3）与（2.2）的唯一区别在于，我们使用标准化资产体积Vi/v，而不是美元体积Vi。这表明，相同的交易成本公式可用于表示美元交易成本作为美元交易的函数，交易量以美元表示，或标准化交易成本作为标准化交易的函数，以投资组合价值标准化的交易量。由于一些符号的滥用，我们将t期间的归一化交易成本写成φtradet（zt）。

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2022-5-31 10:44:28

当transactioncost函数的参数被规范化时，我们使用资产量也被规范化的版本。归一化交易成本φtradet（zt）依赖于投资组合价值vt以及其他参数的当前值，但我们抑制了这种依赖性以减轻符号。2.4。持有成本11其他交易成本模型。可以使用其他交易成本模型。常见的变量包括分段线性模型，或在贸易值zi中添加二次项[2、31、28]。几乎所有这些都是凸函数。（我们稍后讨论。）非凸的交易成本术语的一个例子是资产中任何非零交易的固定费用。然而，对于模拟，交易成本函数可以是任意的。2.4持有成本我们将在tth期间持有交易后投资组合h+。这将导致基于持有的成本（美元）φholdt（h+t），其中φholdt:Rn+1→R是持有成本函数。与交易成本一样，它通常是负相关的，但在某些情况下也可能是负的，如下所述。持有成本可以包括与期限长度相关的因素；例如，如果我们的周期是交易日，但持有成本是在所有日期（包括周末和节假日）进行评估的，则日持有成本可能会乘以3。为简单起见，我们假设持有成本函数不依赖于交易后现金余额（h+t）n+1。基本持有成本模型包括做空时借入资产的费用，其形式为φholdt（h+t）=sTt（h+t）-, （2.4）其中（st）i≥ 0是t期间做空资产的借款费用i，和（z）-= 最大值{-z、 0}表示数字z的负部分。这是在投资期内做空交易后资产的费用，这里我们在期初提前支付此费用。

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2022-5-31 10:44:33

我们假设持有成本不依赖于现金账户，要求（st）n+1=0。但如果需要，我们可以包括现金借款成本，在这种情况下（st）n+1>0。这是借款的溢价，而不是利率，利率包含在我们模型的另一部分中，如下所述。按投资组合价值归一化的持有成本（2.4）可以用权重和归一化交易表示为φhold（h+t）/vt=sTt（wt+zt）-. （2.5）12模型与交易成本一样，我们使用相同的函数符号表示标准化的持有成本，将上述数量写为φholdt（wt+zt）。（对于上述持有成本的特定形式，没有滥用符号，因为φhold在以美元或标准化形式表示时是相同的。）更复杂的持有成本函数出现了，例如当资产包括ETF（交易所买卖基金）时。多头头寸产生与hi成比例的费用；当我们持有空头头寸时，我们赚取的费用是相同的。这很容易被建模为持有成本中的线性项。（此外，我们还可以收取做空的标准费用。）这导致φholdt（wt+zt）=sTt（wt+zt）形式的住宿成本-+ fTt（wt+zt），其中FTI是一个向量，当资产i是ETF时，（ft）i表示资产i的每期管理费。甚至可以使用更复杂的持有成本模型。一个例子是借款成本的分段线性模型，当空头头寸超过某个阈值时，该模型会增加边际借款利率。这些更一般的持有成本函数几乎总是凸的。然而，对于模拟而言，持有成本函数可以承受。2.5自我融资条件我们假设没有外部现金流入或流出投资组合，交易和持有成本在期初从现金账户支付。

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2022-5-31 10:44:37

这种自融资条件可以表示为asTut+φtradet（ut）+φholdt（h+t）=0。（2.6）此处-1Tutis指投资组合中交易产生的现金总额；（2.6）表示，该现金流出必须平衡产生的现金成本，即交易成本加上持有成本。自融资条件意味着v+t=vt- φtradet（ut）- φholdt（h+t），即交易后价值是交易前价值减去交易和持有成本。2.5。自我融资条件13自我融资条件（2.6）将现金交易金额（ut）n+1与资产交易联系起来，（ut）1:n，由（ut）n+1=-T（ut）1:n+φtrade（（ht+ut）1:n）+φholdt（（ut）1:n）. （2.7）在这里，我们假设交易和持有成本不依赖于n+1（现金）成分，将参数明确写为前n个成分，即与（非现金）资产相关的成分。公式（2.7）表明，如果我们得到非现金资产的交易价值，即（ut）1:n，我们可以找到满足自我融资条件（2.6）的现金交易价值（ut）n+1。我们在这里提到一个稍后会提到的微妙之处。交易算法选择资产交易（ut）1:n在交易成本函数φtrade和（可能）持有成本函数φholdtar已知之前。交易算法必须使用这些函数的估计来选择交易。公式（2.7）给出了实现的现金交易金额。规范化自我融资。通过将美元自我融资条件（2.6）除以投资组合价值vt，我们可以用权重和标准化交易来表达自我融资条件，即asTzt+φtrade（vtzt）/vt+φholdt（vt（wt+zt））/vt=0，其中我们使用ut=vtzt和h+t=vt（wt+zt），成本函数OVE是美元价值版本。

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2022-5-31 10:44:40

用标准化值表示成本，我们得到zt+φtradet（zt）+φholdt（wt+zt）=0，（2.8），其中成本是标准化版本。与美元版本一样，假设成本不取决于现金价值，我们可以用非现金资产交易价值（zt）1表示现金交易价值（zt）n+1:nas（zt）n+1=-T（zt）1:n+φtrade（（wt+zt）1:n）+φholdt（（zt）1:n）. （2.9）14模型2.6投资交易后投资组合和现金在一个时期内进行投资，直至下一个时期开始。下一时间段的投资组合由HT+1=h+t+rt给出o h+t=（1+rt）o h+t，t=1，T- 1，其中rt∈ Rn+1是t+1期间的资产和现金回报向量，以及o 表示向量的Hadamard（elementwise）乘法。t期内资产i的收益定义为（rt）i=（pt+1）i- （pt）i（pt）i，i=1，n、资产价格在投资期间的部分增长。我们在此假设，价格和回报经过调整，以包括股票分割和股息的影响。我们假设价格是非负的，所以1+rt≥ 0（其中不等式表示元素）。我们提到了上述定义的另一种替代方法，即日志返回，log（pt+1）i（pt）i=log（1+（rt）i），i=1，n、对于与一相比较小的回报率，对数回报率与上述回报率非常接近。数字（rt）n+1是现金回报，即无风险利率。在简单模型中，现金存款和贷款的现金利率相同。我们还可以通过在（2.4）中取（st）n+1>0，在持有成本函数中包括借入现金的溢价（例如）。选择资产交易（ut）1:NAR时，资产回报（rt）1:NAR未知。有理由假设现金利率（rt）n+1未知。下一期投资组合价值。

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2022-5-31 10:44:44

为了将来的参考，我们为下一期投资组合的价值计算出了一些有用的公式。我们有vt+1=1Tht+1=（1+rt）Th+t=vt+rTtht+（1+rt）Tut=vt+rTtht+rTtut- φtradet（ut）- φholdt（h+t）。2.7。15投资组合回报未建模的方面。t期的投资组合实现回报率定义为RPT=vt+1- vtvt，投资组合价值在此期间的分数增长。它可以表示为Rpt=rTtwt+rTtzt- φtradet（zt）- φholdt（wt+zt）。（2.10）这很容易解释。t期间的投资组合回报由四部分组成：oRTTW是指不含交易或持有成本的投资组合回报，oRTTZT是指交易回报，o-φtradet（zt）是交易成本，并且o-φholdt（wt+zt）是持有成本。下一期权重。我们可以根据当前权重wt和归一化的等级zt，以及返回rt，使用上面的等式，推导出下一个周期权重wt+1的公式。单代数给定SWT+1=1+Rpt（1+rt）o （wt+zt）。（2.11）根据定义，我们有1Twt+1=1。当rt=0时，这个复杂的公式将wt+1=wt+ZT。为了便于将来使用，我们注意到，当后期回报率比1小时，我们有wt+1≈ wt+zt。2.7未建模的方面我们在此列出了我们的模型忽略的实际交易的一些方面，并讨论了一些必要时处理这些方面的方法。外部现金。我们的自我融资条件（2.6）假设没有外部现金进入或离开投资组合。通过将（2.6）的右侧替换为存入账户的外部现金（存入账户的现金为正，提取的现金为负），我们可以很容易地将外部存款和现金提取包括在内。16模型股息。股息通常包含在资产回报中，这意味着股息被重新投资。

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2022-5-31 10:44:48

或者，我们可以在持有成本中加入资产的现金股利，增加期限-dTtht，其中dt是t期间股息率的向量（以持有资产的美元/美元为单位）。换句话说，我们可以将现金股息视为负持有成本。非即时交易。我们的模型假设所有交易都是在每个投资期开始时进行的，但这些交易实际上是在投资期的某一部分执行的。这可以用交易成本中的线性项来建模，这可以解释执行过程中价格的变化。我们还可以改变动力学方程HT+1=（1+rt）o （ht+ut）至ht+1=（1+rt）o ht+（1- θt/2）（1+rt）o 式中θ是交易发生时间的分数。在本次修改中，当θt>0时，我们无法获得交易的全期回报，因为我们正随着价格的变动而进入头寸。处理非即时交易的最简单方法是使用更短的时间段。例如，如果我们对日常交易感兴趣，但交易是在整个交易日进行的，并且我们希望对这种影响进行建模，那么我们可以移动到每小时一次的模型。执行不完善。这里我们区分了ureqt（请求交易）和ut（实际实现交易）。在回测模拟中，我们可能会假设所请求的交易中的一部分（非常小）仅部分完成。多期价格影响。这是一个时期内大量订单对未来时期资产价格的影响。在我们的模型中，交易成本只是当期交易向量的函数，而不是之前交易向量的函数。2.8。模拟17贸易结算。在交易结算中，我们跟踪一天和两天前交易产生的现金（在每日模拟中），以及通常的（无负担）现金账户，其中包括三天或三天以上交易产生的所有现金，这些现金已经结算。

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2022-5-31 10:44:51

空头费用来自未支配现金，与交易相关的现金立即转入一天前类别（用于日常交易）。合并/收购。在一定时期内，一家公司购买另一家公司，将被收购公司的股份以某种比率转换为收购公司的股份。这将修改资产持有更新。在现金收购中，被收购公司的头寸被转换为现金。破产或解散。资产持有量减至零，可能需要支付现金。交易冻结。类似的行动是冻结交易，在某些时期内，资产不能买卖，或两者兼而有之。2.8模拟我们的模型可用于模拟投资组合在t=1、…、，T当使用上述标准模型时，这需要以下数据。（如果使用更一般的交易或持有成本函数，还需要它们所需的任何数据。）初始投资组合和现金账户价值，h∈ 注册护士+1.o资产交易向量（ut）1:n。现金交易价值（ut）n+1由（2.7）根据自我融资条件确定交易成本模型参数∈ 注册护士，英国电信∈ 注册护士，ct∈ Rn，σt∈ Rn和Vt∈ 注册号：做空率st∈ 注册号：返回rt∈ 注册护士+1.o现金股利率dt∈ Rn，如果它们不包括在报告中。18建模测试。在回测中，这些值将是过去实现的值，其中（ut）1:n交易算法提出的交易将被测试。这种测试估计了不同交易或不同交易算法下投资组合的演变情况。模拟确定了模拟期内的投资组合和现金账户价值，从中可以计算出下文第3章所述的其他指标。

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2022-5-31 10:44:54

作为一个简单的例子，我们可以每天、每周或每季度将重新平衡的绩效与给定的目标投资组合进行比较。一个简单但信息丰富的反向测试是使用投资组合中执行的实际交易来模拟投资组合的演变。然后，我们可以比较一段时间内实际和模拟或预测的投资组合持有量和总价值。真实的和模拟的投资组合价值不会完全相同，因为我们的模型依赖于交易和持有成本的估计，假设即时交易执行，等等。假设模拟。在假设模拟中，我们更改用于执行模拟的数据，即返回、卷等。使用的值是（可能）可能发生的值。这可以用来对交易算法进行压力测试，使用的数据虽然没有出现，但非常具有挑战性。在模拟中增加不确定性。任何投资组合演化的模拟都依赖于交易和持有成本的模型，而交易和持有成本又取决于参数。这些参数并不确切，而且在任何情况下，模型都不完全正确。因此，问题出现了，我们应该在多大程度上信任我们的模拟？检查这一点的一个简单方法是进行多个模拟，在那里我们随机地以合理的数量扰动模型参数。例如，我们可能每天将每日交通量与其真实（实现）值相差10%。如果用合理数量的参数进行的模拟产生了不同的结果，我们知道（不幸的是）我们不能相信这些模拟。度量可以使用几个通用的性能度量来评估投资组合的性能。3.1绝对指标我们首先考虑以绝对值衡量投资组合价值增长的指标，而不是与基准投资组合或无风险利率进行比较。回报和增长率。

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大多数88

2022-5-31 10:44:58

期间平均实现回报率st=1，T isRp=TTXt=1磅。回报的另一个衡量指标是t期投资组合的增长率（或对数回报），定义为GPT=对数（vt+1/vt）=对数（1+Rpt）。投资组合的平均增长率是t=1，…，期间gpt的平均值，T对于每期收益率为20个小指标的情况，与之相比（实践中几乎总是如此），GPT非常接近Rpt。以上给出的回报率和增长率是每个时期的。为了便于解释，它们通常是年化的[3]：回报率和增长率乘以P，其中P是一年中的周期数。（对于交易日，我们有P≈ 250）波动性和风险。已实现波动率是投资组合回报时间序列的标准偏差，σp=TTXt=1（Rpt- Rp）！1/2。（这是最大似然估计；对于无偏估计，我们将1/T替换为1/（T-1））。波动率的平方就是平方风险。当Rpt很小时（与1相比），二次风险的良好近似值是回报的二阶矩（σp）≈TTXt=1（Rpt）。上面给出的波动率和二次风险是每个周期的。为了便于解释，它们通常是按年计算的。为了得到年化值，我们将波动率乘以√P，二次风险。（这种比例是基于不同时期的回报率是独立的随机变量的想法。）3.2与基准相关的指标基准权重。通常根据一个基准来衡量投资组合绩效，该基准以wbt权重集的形式给出∈ Rn+1，即资产的一部分（包括现金），并满足1Twbt=1。我们将假设基准权重为非负，即WBtar中的条目为非负。基准权重wbt=en+1（除最后一个值为1的条目外，所有条目的单位向量值均为0）表示现金或无风险基准。

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可人4

2022-5-31 10:45:03

更常见的是，基准由一组特定的资产组成，其权重与其3.2成比例。与基准21资本化相关的指标。t期的基准回报率为Rbt=rTtwbt。（当基准是现金时，这是无风险利率（rt）n+1。）主动和超额回报。（相对于基准的投资组合）的主动回报率为byRat=Rpt- 苏格兰皇家银行。在特殊情况下，当基准由现金组成（因此基准回报率为无风险利率），这被称为超额回报，表示为Rpt=Rpt- （rt）n+1。我们将相对于基准的平均主动回报率Ra定义为Rat的平均值。We haveRat=Rpt- Rbt=rTtwt公司- wbt公司+ rTtzt公司- φtradet（zt）- φholdt（wt+zt）。请注意，如果zt=0且wt=wbt，即我们持有基准权重且不交易，则主动回报为零。（这取决于基准权重为非负的假设，因此φholdt（wbt）=0。）主动风险。Rat的标准偏差表示为σa，是相对于基准的风险或主动风险。当基准为现金时，这是超额风险σe。当无风险利率不变时，这与风险σp.信息和夏普比率相同。投资组合相对于基准的（已实现）信息比率（IR）是主动回报率Ra相对于主动回报率σa标准偏差的平均值[32]，IR=Ra/σa。在现金基准的特殊情况下，这被称为夏普比率（SR）[58，59]SR=Re/σe。IR和SR通常使用回报率和风险的年化值[3]。单期优化在本节中，我们考虑基于优化的交易策略，在t期开始时，使用所有可用数据，我们确定当前交易向量（ut）1:n的资产部分（或标准化资产交易（zt）1:n）。

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2022-5-31 10:45:06

一旦我们知道实现成本，交易向量（zt）n+1的现金成分由自融资方程（2.9）确定。我们将其表述为一个凸优化问题，该问题考虑了一个时期内的投资组合绩效、投资组合的约束和投资风险（如下所述）。Theidea可以追溯到Markowitz【43】，他是第一个将投资组合的选择表述为优化问题的人。（我们将在下一节中考虑多周期优化。）当我们选择（zt）1:n时，我们不知道RTA和其他市场参数（因此也不知道交易成本函数φtradet），因此我们必须依赖这些数量和函数的估计。我们将在周期t开始时（即，当我们选择（zt）1:n）对数量或函数Z的估计表示为^Z。例如，^φtradeis是我们对当期交易成本函数的估计（取决于预测或估计的市场容量和其他参数）。我们估计的最重要数量4.1。风险回报优化23是当前期间的回报率rt，我们将其表示为^rt。（回报预测有时称为信号。）如果我们采用收益率和其他数量的随机模型，在选择资产交易时，考虑到t期开始时可用的所有数据，^Z可以是Z的条件期望。在继续之前，我们注意到，开发好的交易算法的大部分作用在于形成估计或预测，尤其是收益率rt【13，32】。然而，在本文中，我们考虑了给定的估计。

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可人4

2022-5-31 10:45:09

因此，我们关注的问题是，给定一组估计值，什么是基于它们进行贸易的好方法？尽管我们并不关注如何构建估算，但本文中的想法对估算的制定很有用，因为一组估算的价值在很大程度上取决于如何利用它们，即如何将估算转化为交易。为了正确评估一组拟议估计或预测的价值，我们必须使用具有良好交易算法的真实模拟对其进行评估。我们将我们的估计投资组合回报率写为^Rpt=^rTtwt+^rTtzt-^φ贸易（zt）-^φholdt（wt+zt），即（2.10），未知收益率rt替换为估计值^rt。估计的主动收益率为^Rat=^rTt（wt- wbt）+^rTtzt-^φ贸易（zt）-^φholdt（wt+zt）。每一项都包含一个不依赖于交易的术语，加上^rTtzt-^φ贸易（zt）-^φholdt（wt+zt），（4.1）交易回报减去交易和持有成本。4.1风险回报优化在基于优化的基本交易策略中，我们通过解决优化问题Maximize^Rpt来确定标准化资产交易ZT- γtψt（wt+zt）受zt影响∈ Zt，wt+Zt∈ WtTzt+φtradet（zt）+φholdt（wt+zt）=0，（4.2）24个单周期优化变量zt。这里ψt:Rn+1→ R是一个风险函数，如下所述，γt>0是风险规避参数。（4.2）中的目标称为风险调整后的估计回报。集合ZT和WTA分别是交易和持有约束集合，下面将对其进行更详细的描述。问题（4.2）中已知当前投资组合权重，即参数。

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2022-5-31 10:45:12

风险函数、约束集以及估计的交易和持有成本都可以依赖于portfoliovalue vt，但我们抑制了这种依赖性以保持符号的简洁。为了针对无风险利率或基准利率组合优化绩效，我们将^Rptin（4.2）替换为^Retor^Rat。根据（4.1），这些都具有不依赖于zt加上^rTtzt的常数形式-^φ贸易（zt）-^φholdt（wt+zt）。因此，在这三种情况下，通过解决问题Maximize^rTtzt，我们得到了相同的交易-^φ贸易（zt）-^φholdt（wt+zt）- γtψt（wt+zt）受zt影响∈ Zt，wt+Zt∈ WtTzt+^φtradet（zt）+^φholdt（wt+zt）=0，（4.3），带变量zt。（我们稍后将看到，绝对回报、超额回报和主动回报的风险函数不同。）目标有四项：第一项是交易的估计回报，第二项是估计交易成本，第三项是交易后投资组合的持有成本，最后一项是交易后投资组合的风险。请注意，前两项取决于交易zt，后两项取决于交易后组合wt+zt。（同样，第一个约束依赖于交易，第二个约束依赖于交易后投资组合。）估计与实现的交易和持有成本。我们选择的资产等级由（zt）1:n=（z？t）1:n给出，其中z？这是（4.3）的最佳选择。以美元计算，资产交易为（ut）1:n=vt（z？t）1:n。真正的标准化现金交易价值（zt）n+1由非现金资产交易（z？t）1:n和已实现成本的自我融资条件（2.9）得出。这（通常）与（z？t）n+1不同，后者是通过解决优化问题（4.3）得到的标准化现金交易价值。数量（zt）n+1是4.1的标准化现金交易值。

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2022-5-31 10:45:16

风险收益优化25实现成本，而（z？t）n+1是估计成本的标准化现金交易价值。已实现现金交易价值（zt）n+1和计划或估计现金交易价值（z？t）n+1之间的（小）差异对交易后持有约束wt+z？有影响？t型∈ Wt.当我们求解（4.3）时，我们要求具有估计现金余额的交易后投资组合满足约束条件，这与要求具有已实现现金余额的交易后投资组合满足约束条件的要求不同。这种差异通常非常小，因为我们对交易成本的估计误差与真实交易成本相比通常很小，而真实交易成本又与投资组合总价值相比很小。但应记住，已实现的交易后投资组合wt+ztcan（轻微）违反了约束，因为我们仅约束估计的交易后投资组合wt+z？t满足约束条件。（假设完美的交易执行，与交易后投资组合的资产部分相关的约束（wt+z？t）1：nwillhold精确。）简化自我融资约束。我们可以通过将自融资约束Ttzt+φtrade（zt）+φholdt（wt+zt）=0替换为约束1Tzt=0来简化问题（4.3）。在所有实际情况下，成本条件与总投资组合价值相比都很小，因此近似值很好。

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2022-5-31 10:45:20

乍一看，通过在优化问题中使用简化约束Tz=0，我们实际上忽略了交易和持有成本，这不会产生好的结果。但我们仍然在目标中考虑了交易和持有成本。通过这种近似，我们得到了简化问题Maximize^rTtzt-^φ贸易（zt）-^φholdt（wt+zt）- γtψt（wt+zt），以1Tzt=0，zt为准∈ Zt，wt+Zt∈ Wt.（4.4）溶液z？t简化问题略微高估了实际现金交易（zt）n+1，因此高估了交易后现金余额26单期优化（wt+zt）n+1。优化中使用的成本函数只是对实现值的估计；在大多数实际情况下，该估计误差远大于简化1Tzt=0时引入的近似值。一个小优势（在多期交易案例中会很有用）是，在优化问题（4.4）中，wt+zt是一组很好的权重，即1T（wt+zt）=1；其中，在（4.3）中，1T（wt+zt）（通常）略小于1。我们可以根据变量wt+1=wt+zt重新编写问题（4.4），我们将其解释为交易后投资组合权重：最大化^rTtwt+1-^φtradet（重量+1- wt）-^φholdt（重量+1）- γtψt（wt+1）受1Twt+1=1，wt+1影响- wt公司∈ Zt，重量+1∈ Wt，（4.5）与可变Wt+1.4.2风险度量风险度量ψtin（4.3）或（4.4）传统上是使用收益的随机模型估计收益的方差【43，39】。但它可以是衡量我们持有投资组合的感知风险的任何函数。我们首先描述了传统的风险度量。绝对风险。

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2022-5-31 10:45:24

假设收益率r是随机的，协方差矩阵∑t∈ R（n+1）×（n+1），rptis的方差由var（Rpt）=（wt+zt）T∑T（wt+zt）给出。这给出了周期t的传统二次风险度量，ψt（x）=xT∑tx。必须强调的是，∑是在收益是随机的假设下对收益协方差的估计。通常假设现金回报率（无风险利率）（rt）n+1已知，在这种情况下，∑皮重的最后一行和最后一列为零。4.2。风险衡量27主动风险。假设RTI是随机的，协方差∑t，则主动收益率的方差var（Rat）=（wt+zt- wbt）T∑T（wt+zt- wbt）。这给出了传统的二次主动风险度量ψt（x）=（x- wbt）T∑T（x- wbt）。当基准为现金时，这将降低至xT∑tx，即绝对风险，因为∑皮重的最后一行和最后一列为零。在续集中，我们将处理主动风险，当基准是现金时，主动风险将减少到绝对或超额风险。风险规避参数。风险规避参数γtin（4.3）或（4.4）用于衡量估计收益和估计风险的相对重要性。在这里，我们描述了在忽略成本的情况下，在最大化预期增长率的近似值中，特定值γt=1/2是如何产生的。假设收益率R是分布中的独立样本，且w是固定的，则投资组合收益率Rpt=WTR是一个（标量）随机变量。最大化预期投资组合增长率E log（1+Rpt）的权重向量（根据1Tw=1，w≥ 0）被称为Kelly最优投资组合或对数最优投资组合【38，10】。使用对数对数的二次近似（1+a）≈ 一-（1/2）awe obtainE日志（1+Rpt）≈ ERpt公司- （1/2）（Rpt）= uTw-（1/2）重量（∑+uT）w，其中u=Ert，∑=E（rt-u）（rt-u）皮重返回rt的平均值和协方差。

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2022-5-31 10:45:27

假设|u与∑相比很小（这是实际每日收益和协方差的情况），预期增长率可以很好地近似为uTw-（1/2）wT∑w。因此，在单期优化问题（4.3）或（4.4）中，风险规避参数γt=1/2的选择对应于近似最大化的增长率，即Kelly最优交易。在实践中，我们发现Kelly最优投资组合往往具有太多的风险[10]，因此我们预计风险规避参数γtar的有用值大于1/2.28单期优化因子模型。当资产数量n较大时，协方差估计值∑t通常指定为低阶（“因子”）分量，加上对角矩阵∑t=Ft∑ftFTt+Dt，称为因子模型（用于二次风险）。此处英尺∈ R（n+1）×kis因子加载矩阵，∑ft∈ Rk×kis是FTrt（因子收益向量）协方差的估计，以及Dt∈ R（n+1）×（n+1）是一个负对角矩阵。系数k的数量远小于n（通常为几十对几千）。每个条目（Ft）ij是资产ito因子j的负荷（或敞口）。因子可以代表经济概念，如工业部门、特定国家的敞口、会计计量等。例如，对于技术资产，技术系数的载荷为1，对于其他行业的资产，载荷为0。但因子加载矩阵可以使用许多其他方法找到，例如通过数据驱动分析。矩阵dt解释了单个资产回报的额外方差，超出了factormodel预测的方差，称为特质风险。当在问题（4.3）或（4.4）中使用因子模型时，它可以大大提高求解速度【55，7】。

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