这对应于信息比率√α≈ 0.15，这是实践中可能预期的高端值[32]。在这种噪音和缩放程度下，我们的收益预测准确度达到了我们可能从propertaryforecast中预期的顺序。例如，在所有资产和所有天数中，预期回报的符号与实际回报的符号在54%左右一致。交易量和波动性预测。我们使用对总市场交易量和每日波动率的简单估计（用于交易成本模型），作为实现价值的移动平均值，窗口长度为10。例如，时间段t和asseti的预测量为（^Vt）i=Pτ=1（Vt-τ） i.SPO回测。我们在整个期间进行了多次回测模拟，改变了风险规避参数γrisk，trading7.3。单期优化61厌恶参数γ交易和持有成本乘数γ持有（所有定义和讨论见第4.8节）。我们首先在超参数空间中执行粗略的网格搜索，测试γ风险=0.1、0.3、1、3、10、30、100、300、1000、γ权衡=1、2、5、10、20、γ保持=1的所有组合，共45个回测模拟。（对数间距在超级参数搜索中很常见。）图7.2显示了这些参数组合的平均超额投资组合回报反向超额波动率σe（在第3.2节中定义）。对于γ交易的每一个价值，我们用一条线连接点C，以响应γ风险的不同价值，从而获得γ交易和γ持有选择的风险-回报交易-效果曲线。这些数据显示了平均回报和风险之间的预期权衡。我们看到，交易厌恶参数的选择是至关重要的：对于γ交易的某些值，结果非常差，以至于产生的曲线甚至不在绘图区域。

γ折衷值5似乎给出了最好的结果。然后，我们进行详细的超参数搜索，重点关注γtrade=5、γtrade=4、5、6、7、8周围的交易厌恶参数值，以及γrisk和γhold的相同值。图7.3显示了超额收益与超额风险的结果曲线。γtrade=6左右的值似乎是最好的。在我们的最后一组模拟中，我们使用了一系列风险厌恶参数，重点关注更窄范围的交易厌恶参数，还改变了持有厌恶参数。我们测试γ风险=0.1、0.178、0.316、0.562、1、2、3、6、10、18、32、56100、178、316、562、1000、γ交易=5.5、6、6.5、7、7.5、8、γ持有=0.1、1、10、100、1000、62示例图7.2：SPO示例，粗超参数网格搜索。（有些曲线不在绘图中。）图7.3:SPO示例，确定超参数网格搜索。7.3。单周期优化63图7.4：SPO示例，网格搜索410个超参数组合。这条线连接帕累托最优点。共410次回测模拟。结果绘制在图7.4中，作为风险回报平面中的点。帕累托最优点，即在给定回报水平下风险最低的点，通过一条线连接。表7.2列出了帕累托最优点的选择，给出了相关的超参数值。从这条曲线和表格中，我们可以得出一些有趣的观察结果。第一，尽管实际持有成本（模拟器每天用于更新投资组合）非常小，但与γhold=1相比，持有成本乘数参数的值较大时，我们的表现要好得多，只有一个基点。

这是SPO正则化的一个很好的例子；我们的大持有成本乘数参数告诉SPO算法避免空头头寸，结果是整体投资组合表现更好。风险规避参数在选择帕累托最优点时发生变化，这并不奇怪；毕竟，这是与风险回报交易最直接相关的参数。令人惊讶的是，64个例子是超额γ风险γ交易γ持有回报风险1000.00 8.0 100 1.33%0.39%562.00 6.0 100 2.49%0.74%316.00 7.0 100 2.98%1.02%1000.00 7.5 10 4.64%1.22%562.00 8.0 10 5.31%1.56%316.00 7.5 10 6.53%2.27%316.00 6.5 10 6.88%2.61%178.00 6.5 10 8.04%3.20%100.0 10 8.26%3.32%32.00 7.0 10 12.35%5.43%18.00 6.5 0.1 14.96%7.32%6.00 7.5 10 18.51%10.44%2.00 6.5 10 23.40%13.87%0.32 6.5 10 26.79%17.50%0.18 7.0 1028.16%19.30%表7.2：SPO示例，帕累托最优点的选择（按风险和回报递增排序）。7.4。多周期优化65持有厌恶超参数的值也有很大变化。在实践中，我们将对这三个超参数的更多组合进行反向测试。实际上，我们还将对SPO算法中的其他参数组合进行回溯测试，例如杠杆率或交易成本函数中的单个术语。此外，我们还将进行压力测试和其他假设模拟，以了解我们的SPO算法如何应对其他或更具压力的市场条件。

（考虑到我们选择的回测日期范围，这将特别合适，因为这完全是牛市。）由于这些回测可以并行进行，因此没有理由不进行大量回测。7.4多周期优化在本节中，我们展示了第5章中开发的多周期优化模型的最简单示例，使用规划水平H=2。这意味着在每个时间段内，MPO算法都计划当天和次日的交易，然后只执行当天的交易。实际上，与使用H=1天的SPO相比，使用H=2天的计划期限，我们预计SPO的性能不会有很大改善。我们在这里的目的是证明它是不同的。使用第7.1节中描述的市场数据进行模拟。投资组合从总价值v=1亿美元和统一分配w=（1/n，0）开始。我们施加杠杆约束，最大值为3。风险模型与SPO示例中使用的风险模型相同。交易量和波动率估计（当前和下一个时期）也与SPO示例中使用的相同。返回预测。我们使用我们为前一个示例生成的相同收益预测，但在每个时间段，我们都提供当前时间段的预测和下一个时间段的预测：^rt | t=^rt，^rt+1 | t=^rt+1，66个示例，其中^rta和^rt+1与SPO示例中使用的预测相同，如（7.1）。因此，MPO交易算法将每个收益预测两次，即今天对明天收益的预测与明天对明天收益的预测相同。与SPO一样，这显然不是一个实际的预测，因为它使用的是已实现的回报。此外，在实际设置中，返回预测将在每个时间段更新，以便^rt+1 | t6=^rt+1 | t+1。

我们选择这些模拟收益预测的目的是得到与SPO示例中使用的预测相似的预测，以便比较两个优化过程的结果。背面测试。我们对参数γ风险、γ交易和γ持有进行了多次回测模拟。我们首先在超参数空间中使用与SPO示例中相同的参数执行粗略的网格搜索。我们测试了γ风险=0.1、0.3、1、3、10、30、100、300、1000、γ交易=1、2、5、10、20、γ保留=1的所有组合，共45个回测模拟。结果如图7.5所示，其中我们绘制了平均超额投资组合回报逆转超额风险σe。对于一些交易厌恶参数值，结果非常糟糕，以至于它们不在抽签区域。然后，我们使用γ风险的一个更精确的范围来执行更精确的超参数搜索，重点关注γ交易=10附近的值，同时也关注持有厌恶参数。我们测试了γ风险=1、2、3、6、10、18、32、56、100、178、316、562、1000、γ交易=7、8、9、10、11、12、γ持有=0.1、1、10、100、1000的所有组合，共390次回测模拟。结果绘制在图7.6中，作为风险回报平面中的点。帕累托最优点由一条直线连接。7.4。多阶段优化67图7.5：MPO示例，粗略的超参数网格搜索。图7.6：MPO示例，390个超参数组合的网格搜索。这条线连接帕累托最优点。68示例图7.7：SPO和MPO的帕累托最优边界。最后，我们将所得结果与SPO和MPO示例进行了比较。

图7.7显示了两种情况下的帕累托最优边界。我们看到，MPO方法比SPO方法有很大的优势，这主要是因为对明天和今天的收益进行预测的优势。7.5模拟时间此处，我们给出了执行上述模拟示例所需的计算时间的大致概念，重点是SPO情况。回测模拟是单线程的，因此可以在单独的线程上执行多个回测。图7.8给出了反向测试的执行时间细分，显示了模拟的每个步骤所花费的时间，细分为模拟器、数值解算器和策略的其余部分（数据管理和CVXPY操作）。我们可以看到，一天的模拟大约需要0.25秒，因此，5年的回溯测试需要7.5秒。模拟时间69图7.8：一次SPO回测每天的执行时间。大约5分钟。其中大部分（约0.15秒）是每天进行的优化。正如预期的那样，模拟器时间可以忽略不计。我们使用可以同时执行64个线程的32核机器执行了多个后台测试。执行410个回溯测试需要解决大约50万个凸优化问题，因此需要大约30分钟。（事实上，由于系统开销，这需要更长的时间。）最后，我们对这些优化时间发表一些评论。首先，可以通过避免3/2电力交易成本条款（这会降低优化器的运行速度）来大幅降低成本。通过用平方交易成本条款替换这些条款，我们可以获得超过两倍的Aspedup。将CVXPY中使用的默认genericsolver ECOS（23）替换为自定义解算器，例如基于操作符拆分方法的解算器（8），将导致更大的加速。参考文献【1】R.Almgren。高频波动性。

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