股票市场的q相关去趋势互相关分析

2022-5-31 11:26:47

股票市场的q相关去趋势互相关分析，*, 魏丽亚，**, Andrea Fenub，f，Boris Podobnikb，c，d，e，Yougui Wangb，g，H.华中（华中）师范大学Eugene StanleybaComplexity科学中心和粒子物理研究所，武汉430079，中国聚合物研究中心和波士顿大学物理系，波士顿，马萨诸塞州02215，美国土木工程学院，里耶卡大学，里耶卡，HR 51000，萨格勒布克罗地亚经济与管理学院，人力资源10000，卢森堡大公国克罗地亚卢森堡商学院，卢森堡卡利亚里大学经济与管理系，北京师范大学系统科学学院，北京100875，本文利用随机矩阵理论和复杂网络分析了股票市场q相关互相关矩阵的性质。不同震级地震的相关结构具有独特的性质。小流量之间的相互关系比大流量之间的相互关系强得多。大小波动由不同的股票组主导。我们使用复杂网络表示来研究这些q相关矩阵，并发现一些新的恒等式。通过利用这些基于q相关的网络，我们能够通过那些表现始终最好的最独立的股票构建一些投资组合。投资组合优化的最优多重分形顺序约为q=2。这些结果加深了对复杂金融系统集体行为的理解。关键词：q相关去趋势互相关、股市、随机矩阵理论、基于相关性的网络、投资组合优化1。

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2022-5-31 11:26:50

自从研究人员开始报告违反有效市场假说（EMH）以来，对不同金融资产之间相互关系的分析变得非常有吸引力。从一开始，互相关分析就依赖于皮尔逊相关等线性工具，这要求数据是平稳的，但现实世界的金融数据集很少是平稳的。为了考虑真实世界数据中的非线性和非平稳性，人们提出了基于去趋势化的新方法，其中最流行的是去趋势波动分析（DFA）[3]。受应用于单个时间序列的DFA的启发，提出了一种称为去趋势互相关函数分析（DCCA）的泛化方法，以量化一对非平稳信号之间的长范围互相关[4]。DFA和DCCA随后被其多重分形版本扩展：分别为MFDFA和MFDCCA【5–7】。DFA、DCCA及其多重分形对策已应用于广泛的系统，包括生物、金融和物理系统【8–10】。最近，参考文献【11】中引入了与皮尔逊系数类似的去趋势互相关系数ρ（s）。应用于非平稳信号的该系数量化了给定去趋势标度s下去趋势非平稳信号之间的显著相关性水平【12】。最近，DCCA系数ρ（s）被广泛用于研究金融时间序列之间的非线性互相关[8，13–16]。尽管ρ（s）系数取得了成功，但当互相关在不同量级的函数之间进行量化时，它仍有一些局限性。

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2022-5-31 11:26:53

ρ（s）的最新扩展，q依赖的去趋势互相关系数ρ（q，s），q∈ R*通讯作者**相应的authorEmail地址：zlfccnu@mails.ccnu.edu.cn（赵龙凤），zlfccnu@bu.edu（赵龙凤），liw@mail.ccnu.edu.cn（WeiLi）2017年6月13日提交给JSTAT的预印本基于MFDFA和MFDCCA的q依赖函数FQ【5、7、17】。Kwapien等人最近指出，该方法可用于分析此类自然复杂系统（非物理、生物、社会和金融系统）的经验数据。我们的重点是金融市场。在此，我们应用q相关互相关系数来量化标准普尔500指数401只成份股的回归时间序列之间的互相关。对于这些返回时间序列，我们生成q依赖的交叉相关矩阵C（q，s）。我们计算了不同多重分形顺序和不同时间尺度下矩阵的统计特性。在分析皮尔逊互相关矩阵时，我们分析了矩阵的特征值和投资动态，发现不同幅度的股市波动的互相关表现出独特的结构和动态。大公司总是由少数行业集团主导，但小公司表现出不同的行为。然后，我们将互相关矩阵表示为复杂网络，并使用平面最大滤波图（PMFG）方法构建基于相关的网络，并分析其基本拓扑特征。小流量的PMFG网络比大流量的PMFG网络更不均匀。利用中心度指标，我们根据股票的中心度排名将股票分为中心股票和外围股票。

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2022-5-31 11:26:57

将其应用于投资组合优化，我们发现外围股票投资组合的回报率始终高于中心股票和随机选择的股票。本文的组织结构如下。以秒计。2介绍了本文采用的方法。以秒计。3我们给出了数据和主要的实证结果。以秒计。4、给出了在投资组合优化中的应用。最后一节提供了我们的结论。2、方法学2.1。q相关互相关分析q相关互相关系数可以通过以下步骤获得：（i）我们考虑一对时间序列，i=1。l、我们对这些时间序列进行了积分，得到了两个新的时间序列χx（k）=kXi=1xi- hxi，k=1。l、（1）χy（k）=kXi=1yi- hyi，k=1。l、（2）（ii）我们将χx（k）和χy（k）从两个积分时间序列的开始和结束分为2Ms=2×int（l/s）长度s的非重叠框。然后，我们计算每个v段的局部趋势（v=0，1，…，2Ms- 1）通过最后一个平方英尺，并将其从χx（k）和χy（k）中减去，得出积分序列。然后，我们发现残差信号x，Y等于积分信号与这些信号的m阶多项式P（m）s之间的差值：Xv（s，i）=iXj=1χx（vs+j）- P（m）X，s，v（j），（3）Yv（s，i）=iXj=1χy（vs+j）- P（m）Y，s，v（j）。（4）定义方框v中X和Y的协方差和方差：fXY（s，v）=ssXi=1Xv（s，i）Yv（s，i），（5）fZZ（s，v）=ssXi=1Zv（s，i），（6）其中Z表示X或Y。（iii）然后定义阶数q和标度sFqXY（s）=2Ms2Ms的函数-1Xv=0sgn[fXY（s，v）]| fXY（s，v）| q/2，（7）FqZZ（s）=2Ms2Ms-1Xv=0[fZZ（s，v）]q/2。（8）定义了xind-yi之间的q相关互相关系数：ρ（q，s）=FqXY（s）qFqXX（s）FqYY（s），（9）当q=2时，我们恢复ρ（s）的去趋势互相关系数【11】。

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2022-5-31 11:27:01

q相关互相关系数的界为[-1，1]当q>=0时。当q<0时，系数可以有任意值。这里我们重点讨论q>0的情况。指数q用作过滤器。当q>2时，具有较大波动的盒子对ρ（q，s）的贡献最大，但当q<2时，具有相对较小值的盒子主导了波动函数，因此对ρ（q，s）的贡献最大。2.2。随机矩阵理论引入了q相关的互相关系数，我们现在在不同的多重分形阶数q和去趋势尺度s下构造互相关矩阵c（q，s）。如果我们假设相关矩阵是随机的，随机矩阵理论可以作为一个基准来量化q相关交叉相关矩阵的性质在多大程度上偏离了纯随机矩阵的预测。随机矩阵理论已广泛应用于研究金融市场中的集体现象[2、1、19-27]。参考文献[28]中提供了全面的审查。我们考虑由时间序列构造的随机相关矩阵，例如，返回时间序列ri，i=1。LC=LRRT，（10），其中R是一个N×L矩阵，包含长度为L的N个返回时间序列，平均值和单位方差为零，相互不相关。随机矩阵特征值的概率分布函数可以在极限N，L内解析地写-→ ∞ 固定Q=LN>1P（λ）=Q2π√（λ+- λ）（λ- λ-)λ、（11）式中λ-λ+是C（q，s）的最小和最大特征值。λ-λ+由λ±=1+Q±2sQ给出。（12）方程11对于高斯分布矩阵元素是精确的。如果特征值分布偏离预测值11，则表明时间序列中存在相互关联。我们分解了特征值为λk，k=1的q相关互相关矩阵。N和特征向量，k=1。

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2022-5-31 11:27:04

N提供有关股票市场集体行为的信息。这里，我们使用反向参与比率来量化显著贡献的特征向量分量数量的倒数。反向参与比（IPR）定义为ik=NXl=1[ulk]（13）这里ulkis是特征向量uk的第l个分量，对应于特征值λk。ik的含义可以通过两种极限情况来说明，（i）具有相同分量的向量ulk=1/√N具有Ik=1/N，而（ii）具有一个分量ulk=1且剩余值为零的向量具有Ik=1。我们还将参与比（PR）定义为1/Ik，几乎等于特征值λk的重要贡献者。在随机矩阵理论中，IPRishIki的期望值=N∞Z-∞[乌尔克语]√2πNexp(-【ulk】2N）dulk=N.（14）2.3。参考文献[17]中提出的平面最大滤波图，我们使用复杂网络方法分析q相关互相关矩阵。我们采用平面最大滤波图（PMFG）方法【18】构建基于相关矩阵C（q，s）的网络。该算法实现如下：（i）将所有ρi j（q，s）按降序排序，以获得有序列表lsort。（ii）仅当添加EdgeI后图形保持平面时，才根据LSORT中的顺序在节点i和j之间添加边。（iii）图G（q，s）由Ne=3（N）构成- 2）平面度约束下的边。如参考文献[18]所述，PMFGs不仅保持最小生成树（MST）的层次结构，而且还生成派系。我们计算了基本拓扑参数，如聚类系数C、最短路径长度L和分类度A。我们还采用了异质性指数γ【29】来衡量MFG的异质性，其定义为γ=N- 2Pi j∈{e} （千焦）-1/2N- 2.√N- 1，（15）这里kiand kjare是由边{ei j}连接的节点i和j的度数。3、数据和结果3.1。

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2022-5-31 11:27:07

数据描述我们的数据集包括1999年1月4日至2014年12月31日期间的401只标准普尔500成分股，每只股票有4025份交易记录。我们使用对数返回定义为asri（t）=lnpi（t+1）- lnpi（t），（16），其中pi（t）是股票i在时间t的每日调整收盘价。然后，我们使用前面的方法计算任何一对回报时间序列ri（t）和rj（t）之间的q相关互相关系数，并获得N×Nmatrix C（q，s）。C（q，s）的矩阵项是所有股票对之间的相关系数ρi j（q，s）。Weset q公司∈ [0.2，5]，δq=0.2，去趋势标度s∈ [301000]个交易日，δs=40。我们还对回归时间序列和模拟随机时间序列进行了相同的计算，并将其用作参考模型。3.2。互相关矩阵分析利用一系列不同阶次q和去趋势标度s的互相关矩阵C（q，s），我们分析了互相关值的概率分布，即相关矩阵的上三角项。首先，我们在图1中显示了不同多重分形阶数q和去趋势标度s的矩阵图，将对角线项设置为零，以便更好地可视化。平均相关强度将随着尺度的增加而略有增加，但随着多重分形阶数q的增加而降低。我们根据标准普尔500指数的官方部门和子部门划分，对相关矩阵的行和列进行排序。请注意相关矩阵中不同的部门和子部门结构。当q<2时，部门结构更加明显。图2显示了六个不同值q和六个不同值s的矩阵元素P（ρ）的分布。

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2022-5-31 11:27:11

我们可以观察到矩阵的分布越来越向左倾斜，图1：（颜色在线）不同阶数q和尺度s的互相关矩阵。对角线元素已设置为零-0.5 0.50 5 15q=5.00，s=70P（ρ）-0.4 0.80 4 8 12q=3.00，s=70P（ρ）-0.2 0.40 2 4 6 8q=2.00，s=70P（ρ）-0.4 1.00 2 4 6 8q=1.40，s=70P（ρ）-0.4 0.2 0.80 2 4 6q=1.00，s=70P（ρ）-0.5 0.50 2 4q=0.40，s=70ρ-P 0.4 0.0 0.4 0.80 5 10q=5.00，s=110-0.2 0.6 1.00 4 8q=3.00，s=110-0.2 0.2 0.6 1.00 2 4 6 8q=2.00，s=110-0.4 0.0.4 0.80 2 4 6q=1.40，s=110-0.4 0.0.4 0.80 2 4q=1.00，s=110-0.5 0.0 0.5 1.00 2 4q=0.40，s=110ρ-0.5 0.0 0.5 1.00 4 8 12q=5.00，s=230-0.4 0.0 0 0.4 0.80 2 4 6q=3.00，s=230-0.4 0.0 0.4 0.80 2 4q=2.00，s=230-0.5 0.0.5 0.5 1.00 1 2 3 4q=1.40，s=230-0.5 0.0.5 0.5 1.00 1 2 3q=1.40 00，s=230-0.5 0.0 0.5 1.00.0 1.5q=0.40，s=230ρ-0.5 0.0 0.5 1.00 4 8 12q=5.00，s=430-0.5 0.0 0.5 1.00 2 4 6q=3.00，s=430-0.5 0.5 1.00 1 2 3 4q=2.00，s=430-0.5 0.0 0.5 1.00.0 1.0 2.0 3.0q=1.40，s=430-0.5 0.0 0.5 1.00.0 1.0 2.0q=1.00，s=430-1.0 0.0 0.5 1.00 1.5q=0.40，s=430ρ-0.5 0.0.0.5 1.00 4 8q=5.00，s=710-0.5 0.0.0.0.5 1.00 2 4q=3.00，s=710-0.5 0.0 0.5 1.00.0 1.0 2.0 3.0q=2.00，s=710-0.5 0.0 0.5 1.00.0 1.0 2.0q=1.40，s=710-0.5 0.0 0.5 1.00.0 1.0 2.0q=1.00，s=710-1.0 0.0 0 0.5 1.00.0 1.5q=0.40，s=710ρ-0.0.0.0.0.5 1.00 4 8q=5.00，s=830-0.5 0.0 0.5 1.00 1 2 3 4q=3.00，s=830-0.5 0.0 0.5 1.00.0 1.0 2.0 3.0q=2.00，s=830-0.5 0.0 0 0.5 1.00.0 1.0 2.0q=1.40，s=830-0.5 0.0 0 0.5 1.00 1.0 1.0 1.0 2.0q=1.00，s=830-1.0 0 0 0 0 0.5 1.00 1.0 1.5q=0 40，s=830ρ图2：（彩色在线）互相关矩阵的非对角线元素的分布。黑线是回归时间序列的Q相关互相关分布。

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2022-5-31 11:27:16

蓝线和绿线分别为模拟回归时间序列和模拟随机时间序列的相同分布。随着多重分形阶数q的增加，分布峰的宽度增加。回归时间序列的q依赖性互相关系数的概率分布与shu’ed分布有显著的偏差，这可能提供了关于不同量级波动之间互相关的真实信息。模拟分布和模拟分布相互吻合。因此，不同的互相关结构是不同波动幅度之间非线性相关的结果。此外，当q>2时，分布变得相对接近于shu’ed情况。我们计算相关矩阵的前四阶矩，以说明互相关分布的变化。图3显示了不同多重分形阶数SQ和衰减尺度s下相关系数分布的前四阶矩。平均互相关随着多重分形阶数的增加而减小，表明大波动之间的互相关相对较弱。从方差、偏度和峰度来看，分布有明显的转变。大小多重分形阶数的互相关系数相差很大，这表明不同量级的波动之间存在不同的相关结构。为了分析q相关互相关矩阵所携带的真实信息，我们对互相关矩阵进行分解，并对特征值λk，k=1进行排序。401以升序排列，其对应的特征向量Uk，k=1。图4和图5分别显示了整体特征值和偏差特征值的分布。图4仅给出了小于2的特征值。

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2022-5-31 11:27:19

黑线和蓝线是原始q相关互相关矩阵和shuêed方案的特征值分布。红线是由随机矩阵理论预测的特征值分布。我们还使用高斯分布模拟了401个时间序列。绿线是使用模拟高斯时间序列计算的q相关互相关矩阵的体特征值。我们发现，舒松林时间序列和模拟时间序列的体特征值分布大致相同。这证实了特征值分布的偏差是非线性交叉相关的结果。RMT预测的特征值的上下界为λ-= 0.47和λ+=1.73。原始q相关互相关的体特征值分布不同于随机矩阵理论预测。请注意，当q>2时，原始互相关矩阵和舒氏矩阵的体特征值分布接近随机矩阵预测。图5显示了原始互相关矩阵的偏差特征值（黑色）、shuêed结果（蓝色）和模拟结果（绿色）。这些偏离特征值的行为与q和s的值不同。大q值和小s值往往会导致更大的偏离特征值。请注意，大q=4和小s=70的偏差特征值尤其明显。相反，当q=0.4和s=830时，只有最大特征值继续偏离shued和Simulated特征值。这表明小的波动只有很短的特征时间。小波动的长期平均影响等于噪声级。

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2022-5-31 11:27:22

一般来说，大的多重分形阶数q和小的衰减尺度s使得部门结构（偏离特征值）和市场模式（最大特征值）与噪声水平分离。不同多重分形阶数q和去趋势标度s的前四个特征值如图6所示。q<2的最大特征值大约等于系统大小的阶数。最大特征值的行为类似于图3（a）中的平均互相关。这支持了这样一个结论，即最大特征值对应于众多研究[19，1]所描述的市场模式，并且随着q值的增加，它会减小。因此，小q的市场模式非常强大，这似乎违反直觉。我们还观察到，前四个特征值随着趋势标度s的增加而增加。据信，偏离随机矩阵理论预测的特征值包含参考文献[19，21]中所述的与部门或行业相关的一些真实信息。为了揭示不同多重分形阶数和趋势标度下偏离特征值所携带的隐藏信息，我们首先将401只股票划分为l=1的行业组。根据GICS供应股票的行业集团代码，24（各NL股票）。然后，我们构造一个投影矩阵P，如果股票i属于产业群l，则元素Pli=1/nl，否则元素Pli=0。对于每个特征向量Uk，可以获得每个行业组的贡献Xlk=NPi=1Pli（uik）。图7显示了每个行业组对最小和次最小特征值λk，k=1，λk，k=2的贡献。去除λ最大特征值的影响后，红色（k=1）和天蓝色（k=2）线是贡献值。

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2022-5-31 11:27:25

蓝线是使用shuf fled时间序列计算的相关矩阵的平均贡献值xlk。此参考模型告诉我们XLK偏离噪声级的程度。401只股票有24个主要行业集团：媒体、零售、耐用消费品和服装、汽车和零部件、消费服务、食品饮料和烟草、食品和主食零售、家居和个人产品、能源、，200 400 600 800 10001 2 3 4 5（a）平均值SQ0.10.20.30.40.50.6200 400 800 10001 2 3 4 5（b）方差Q0.020.040.060.080.10200 400 800 10001 2 3 4 5（c）偏度SQ-1.0-0.50.00.51.01.5200 400 400 600 10001 2 4 5（d）峰度Q345678图3：（线上颜色）前四阶矩：平均值、方差、偏度、，不同多重分形阶数下相关矩阵的峰度Q和去趋势标度s.0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.0 0.5 1.0 1.5q=4.00，s=70P（λ）0.0 0 0.5 1.0 1.5 2.00.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5q=2.00，s=70P（λ）-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.0 0 0 0.4 0.8 1.2q=1.00 P（λ）-1.0 0.0 1.0 2.00.0 0 0.4 0.8 1.2q=0.40，s=70λP（λ）0.0 0 0.5 1.0 1.5 2.00.0 0 0.5 1.0 1.5q=4.00，s=2300.0 0.5 1.0 1.5 2.00 1 2 3 4q=2.00，s=230-1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.0 0.4 0.8 1.2q=1.00，s=230-2-1 0 1 20.0 0 0.4 0.8 1.2q=0.40，s=230λ0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.0 0 0.5 1.5 2.0q=4.00，s=4300.0 0 0 0 0 0 0.5 1.0 1.5 2.00 1 2 3 4 5q=2.00，s=430-2-1 20.0.4 0.8 1.2q=1.00，s=430-4-3-2-1 0 1 20.0 0.4 0.8 1.2q=0.40，s=430λ0.0 0 0.5 1.0 1.5 2.00.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0q=4.00，s=8300.0 0 0.5 1.0 1.5 2.00 2 4 6 8q=2.00，s=830-3-2-1 0 1 20.0 0.4 0.8 1.2q=1.00，s=830-6-4-2 0 20.0 0.4 0.8 1.2q=0.40，s=830λ图4：（彩色在线）体内部互相关矩阵的特征值分布P（λ）。我们只显示了小于2的seeeigenvalue的分布。

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2022-5-31 11:27:29

黑线、蓝线和绿线分别是原始时间序列、模拟时间序列和模拟时间序列的q相关互相关矩阵的特征值分布。2 5 10 20 50q=4.00，s=702 5 10 20 50q=2.00，s=702 5 10 50 200q=1.00，s=702 5 10 50 200q=0.40，s=70λ2 5 10 20 50q=4.00，s=2302 5 10 20 50q=2.00，s=2302 5 10 50 200q=1.00，s=2302 5 10 50 200q=0.40，s=230λ2 5 10 50q=4.00，s=4302 5 10 50q=2.00，s=4302 5 10 50 200q=1.00，s=4302 5 10 50 200q=0.40，s=430λ2 5 10 20 50q=4.00，s=8302 5 10 50q=2.00，s=8302 5 10 50 200q=1.00，s=8302 5 20 50 200q=0.40，s=830λ图5：（彩色在线）偏离整体的互相关矩阵的特征值（λ>2）。颜色的含义与图4中的相同。从左至右为多样化的金融、银行、保险、房地产、制药、生物技术和生命科学、医疗设备和服务、资本货物、运输、软件和服务、商业和专业服务、材料、技术硬件和设备、半导体和半导体设备、电信服务、公用事业。结果表明，对于最小和次最小特征值λ和λ，贡献来自少数行业组，这些行业组的XLK远强于噪声水平。图8显示了大特征值λk，k=399400的行业贡献。对大特征值的贡献也来自少数行业组，并且远强于噪声水平。对于λ，有多个行业以混合模式作出重大贡献。主要贡献来自多元化的金融、银行、房地产和公用事业。但对λ的贡献总是来自能源和公用事业。如图4所示，在随机矩阵理论的预测范围内有许多小特征值。无花果

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2022-5-31 11:27:33

9显示了各行业组对特征值λk的贡献，k=200，250深入特征值块体区域。正如预期的那样，在这个区域，特征值没有表现出显著的模式。每个行业组的贡献水平Xlkof与shu’ed时间序列中的贡献水平相同。对于λk，k=200和λk，k=250，没有明显的贡献产业群。如上所述，反向参与比量化了显著贡献的特征向量分量数量的倒数。在这里，我们给出了图10中不同多重分形阶数和衰减尺度下q相关互相关矩阵的逆参与比。为了更好地可视化，我们提出了无最大特征值的逆参与比。注意，对于小多重分形序和大多重分形序q，IPR Ik中存在一个过渡≤ 2、小特征值占主导地位的股票比例相对较小，IPR较大。可以使用图12中的参与比1/Ik进行验证，这是小于50的小特征值的参与比。对于中、大特征值，参与比大于200。图11显示了最大特征值的参与比1/Ik。q<2的最大参与比为376，接近系统大小N=401。当q≥ 2，最大特征值的参与比迅速下降，值为200。不同函数的最大特征值的贡献数存在显著差异，这意味着小函数（q<2）的集体行为更加均匀（大参与比）。图12显示了参与比1/Ikat在不同多重分形阶数q=50、210、410、810时的热图。k是特征值λk的标签。

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2022-5-31 11:27:37

当q≥ 2，小特征值的参与比（smallk）非常小，表明小特征值包含有用的信息。只有很小的一组股票贡献给最小的特征值。我们可以使用图7中的特征向量分量贡献来验证这一点。当q≥ 2小特征值由几个扇区控制。这与portfoliooptimization相关。总的来说，小流量的集体行为模式不同于大流量的集体行为模式。3.3。PMFG分析平面最大过滤图（PMFG）用于分析危机时期股市的结构和动态【30，31】，它有效地捕捉了行业结构。在这里，我们使用Q相关互相关矩阵构造PMFG网络。图13显示了使用PMFG算法构建的网络。小q的扇形结构比大q的扇形结构更清晰。最近，Kawpen等人[32]利用q相关互相关矩阵构造了最小生成树。使用微小的数据集发现了一些隐藏的结构。在这里，我们发现当q≤ 2，出现hubstock，但当q>2时，程度异质性变弱。特别是当q≤ 2深绿色节点（金融部门的股票）彼此非常接近。然而，当q>2时，金融板块股票之间的联系就会放松。这些特征与文献[32]的结果在定性上一致，在文献[32]中，当q≤ 2、为了量化不同多重分形阶数q和去趋势无标度下，波动对PMFGs的影响，我们计算了PMFGs的拓扑量。PMFGs的拓扑量如图14所示。

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2022-5-31 11:27:41

图14（a）表明，PMFGs的聚类系数C随着多重分形阶数q的增加而增加。当去趋势尺度较小时，聚类系数较大。最短路径长度L已在G14（b）中显示。对于大q和短s，最短路径长度较大。图14（c）是异质性指数H【29】，它量化了PMFGs的异质性水平。它类似于无标度网络的幂律指数。BA网络的异质性为0.11。我们注意到，对于小q，PMFGnetwork的异构性大于BA网络。这意味着小多重分形阶数的PMFG网络的结构非常不均匀。我们还在图14（d）中显示了PMFGs的分类A。q<2的负组合性暗示了非组合结构，即枢纽库存倾向于与小规模库存相连。当q>2时，分类接近0。这表明对于大q，连接分布更均匀（见图13）。在q>2的网络中，枢纽存量的程度小于q<2的网络中的枢纽。从拓扑量的变化，我们可以推断，对于短时间尺度（s）的小波动（q），存在一些领先股票。但对于大波动（大q）和长时间尺度（大s），股票的相关性是一致的。综上所述，从这些拓扑量中可以明显看出一个明显的结构变化，这表明了在不同时间尺度上不同量级的波动之间的集体行为差异。4、应用我们现在正在探索在马科维茨投资组合框架下，使用依赖于q的PMFG网络来提高投资组合优化性能的可能性【33】。

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2022-5-31 11:27:44

首先，我们简要介绍了马科维茨投资组合理论，然后我们使用一些中心度指标从PMFG网络中选择投资组合。考虑收益率为ri，i=1的股票投资组合∏（t）。m、 m是投资组合规模，即投资组合中的股票数量。股票∏（t）的回报率为∏（t）=mXi=1ωiri（t），其中ωiis是投资于股票i的财富的分数。分数ωi被归一化，使得mpi=1ωi=1。投资组合的风险∏（t）可以通过方差进行量化Ohm=mXi=1mXj=1ωiωjCi jσiσj，这里是Rian和rj之间的Pearson互相关，σi和σjar是Rian和rj的标准偏差。为了找到最佳投资组合，我们在投资组合风险为某个固定值的约束条件下，使投资组合的回报率Φ=TPt=1∏（t）最大化Ohm. 在这两个约束条件下，Φ的最大化等价于一个二次优化问题ωT∑ω- q* RTω这里∑是前面提到的返回矩阵R的协方差矩阵（现在的维数为L×m）。参数q是风险容限q∈ [0，∞). 如果我们设定大q，我们对风险有很强的承受能力，这导致了巨大的预期回报。最优投资组合可以表示为回报Φ与风险的函数关系图Ohm这被称为高效前沿。在这里，我们在风险度量中不使用q相关互相关系数Ohm. 我们只使用q依赖的PMFG网络来选择m只股票，然后使用传统的Markowitz投资组合理论来量化投资组合的绩效。

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2022-5-31 11:27:48

研究表明，从Pearson互相关矩阵构建的PMFGnetworks中选择的投资组合，使用一些中心度度量，表现非常好【34】。这里，我们首先计算由η=CwD+CuD+CwBC+CuBC定义的中心性得分- 44×（N- 1） +CwE+CuE+CwC+CuC+CwEC+CuEC- 66×（N- 1）其中CwDis是加权度（D）的排名，CuDis是其未加权的对应项。其他的中心度指标是介数中心度（BC）、偏心率（E）、贴近度（C）、特征向量中心度（EC）。使用中心（外围）股票构建的投资组合是那些中心性值η非常高（低）的股票。参考文献[34]中提供了该组合中心度度量的完整描述。事实上，中心度指标的选择对最终结果没有显著影响。在图15中，我们展示了通过使用不同多重分形顺序的中央（黑线）、外围（红线）和随机（蓝线）股票构建的投资组合计算出的有效边界。我们对投资组合规模m=10、20、30、40、50、60进行了测试，并计算了在一个特定风险值下所有扭转规模的平均回报值，以显示不同程度的波动影响。很明显，对于10到60只股票的不同投资组合规模，外围投资组合（红线）总是表现最好的。中央投资组合的表现甚至比随机投资组合更差。然后，我们计算外围投资组合和中央投资组合之间的回报差异 = Φp-Φc（p和c分别是外围和中心投资组合）作为多重分形顺序q的函数，如图16所示。这里，我们使用从0.2到10的多重分形顺序来确定最佳q。很明显，外围投资组合在多重分形顺序q=2左右优于中央投资组合，并且表现出大于%7的优势。

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2022-5-31 11:27:51

这可能暗示我们应该在适度波动的基础上进行交易，以获得更高的回报和更低的风险。上述结果表明，将q相关互相关矩阵作为一种新的投资组合优化工具具有潜力。5、结论在本文中，我们使用q依赖的互相关系数来分析股票市场在不同量级上的互相关函数。借助随机矩阵理论和复杂网络理论，我们分析了不同波动幅度下股票市场的互相关矩阵。我们发现，小流量之间的互相关比大流量强。与小流量相比，大流量的偏差值更多。通过分析反向参与比和IGenvector贡献，我们发现，大型函数的互相关矩阵的小特征值主要由少数行业组控制。这类似于那些大偏差特征值，这些特征值也被少数行业集团所识别。因此，我们得出结论，q相关互相关矩阵的小特征值也携带一些真实信息，这似乎非常违反直觉。复杂网络表示也验证了小型和大型函数之间的相关性差异。对于由小流量构成的网络而言，网络结构更加异构和分散，这意味着小流量存在领先库存。然后，我们利用网络中心性作为投资组合选择指标。根据马科维茨投资组合理论，我们发现外围股票的投资组合总是优于中心股票的投资组合。最大收益差异接近%7的最优多重分形阶数q近似为q=2。

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2022-5-31 11:27:54

这可以作为一种新的投资组合优化工具。因此，我们对具有不同波动幅度的股票之间的相互关系的调查表明，股票市场的大波动和小波动之间存在巨大差异。它们由不同的非线性相关结构调节。这些结果扩展了我们对股票市场集体行为的理解。6、致谢这项工作部分得到格兰特诺大学学科人才引进计划的支持。B08033和中国奖学金委员会项目（编号201606770023）。参考文献[1]Vasiliki Plerou、Parameswaran Gopikrishnan、Bernd Rosenow、Lu's Nunes Amaral和H.Stanley。金融时间序列中互相关的普适性和非普适性。《物理评论快报》，83（7）：1471–14741999。[2] Laurent Laloux、Pierre Cizeau、Jean-Philippe Bouchaud和Marc Potters。金融相关矩阵的噪声修饰。PhysicalReview Letters，83（7）：1467–14701999年8月。[3] 彭志康、布尔迪列夫、哈夫林、西蒙斯、斯坦利和戈德伯格。DNA核苷酸的镶嵌结构。物理评论E，49（2）：1685-16891994。[4] 鲍里斯·波多布尼克和H·斯坦利。去趋势互相关分析：一种分析两个非平稳时间序列的新方法。《物理评论快报》，100（8）：0841022008年2月。[5] Jan W.Kantelhardt、Stephan a.Zschiegner和H.Eugene Stanley。非平稳时间序列的多重分形去趋势分析。Physica A，316:87–114，2002年。[6] 周伟兴。两个非平稳信号的多重分形去趋势互相关分析。物理评论E，77（6）：0662112008年6月。[7] PawelO\'swiemicka、Stanislaw Dro˙zd˙z、Marcin Forczek、Stanislaw Jadach和Jaroslaw Kwapie\'n。去趋势互相关分析一直扩展到多重分形。

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2022-5-31 11:27:58

体检E，89（2）：0233052014年2月。[8] Boris Podobnik、Zhi Qiang Jiang、Wei Xing Zhou和H.Eugene Stanley。幂律互相关过程的统计检验。PhysicalReview E-统计、非线性和软物质物理学，84:1–82011。[9] Hadrien Salat、Roberto Murcio和Elsa Arcaute。多重分形方法。Physica A，473:1–142016。[10] 赵龙凤、李伟、杨春斌、韩继辉、朱苏、邹一江。相变的多重分形和网络分析。《公共科学图书馆》第一期，12（1）：2017年1月至23日。[11] G.F.泽本德。DCCA互相关系数：量化互相关水平。Physica A：统计力学及其应用，390（4）：614–6182011年2月。[12] 拉迪斯拉夫·克里斯托菲克。使用DCCA系数测量非平稳序列之间的相关性。Physica A：统计力学及其应用，402:291–2982014年5月。[13] 王刚进、谢驰、陈寿、杨娇娇和杨明艳。USstock市场交叉相关性的随机矩阵理论分析：来自皮尔逊相关系数和去趋势交叉相关系数的证据。Physica A：统计力学及其应用，392（17）：3715–3730，2013年9月。[14] 王刚进、谢驰、陈怡君和陈寿。不同时间尺度下外汇网络的统计特性：来自detrenddcross相关系数和最小生成树的证据。熵，15（5）：1643–16622013。[15] G.F.Zebende、M.F.da Silva和A.Machado Filho。DCCA互相关系数差异：理论和实践方法。Physica A：统计力学及其应用，392（8）：1756–17612013年4月。[16] 孙雪莲和刘子贤。由DCCA系数组成的互相关矩阵的最优投资组合策略：来自中国股市的证据。

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2022-5-31 11:28:02

Physica A：统计力学及其应用，444:667–6792016。[17] Jaroslaw Kwapien、PaweAO\'swiemicka和StanisAaw DroAdA。去趋势流动分析可用于检测交叉相关流动的范围。物理检查。E、统计物理、等离子体、流体和相关跨学科主题，052815:1–112015。[18] M Tumminello、T Aste、T Di Matteo和R N Mantegna。在复杂系统中过滤信息的工具。《美国国家科学院院刊》，102（30）：10421-62005年7月。[19] Parameswaran Gopikrishnan、Bernd Rosenow、Vasiliki Plerou和H Stanley。量化和解释金融市场中的集体行为。《物理评论》E，64（3）：1–42001。[20] 罗森诺、普莱鲁、戈皮克里希南和斯坦利。投资组合优化和随机磁铁问题。《欧洲物理学快报》，59（4）：500–5062002。【21】瓦西里基·普莱鲁（Vasiliki Plerou）、帕拉米斯瓦兰·戈皮克里希南（Parameswaran Gopikrishnan）、伯纳德·罗森诺（Bernd Rosenow）、卢亚斯·阿马拉（Luis Amaral）、托马斯·古尔（Thomas Guhr）和H.斯坦利（H.Stanley）。金融数据中交叉相关性的随机矩阵方法。物理评论E，65（6）：0661262002年6月。【22】B.Podobnik、D.Wang、D.Horvatic、I.Grosse和H.E.Stanley。集体现象中的时滞互相关。EPL（欧洲物理学出版社），90:68001，2010年。【23】周伟兴、郭华木和J’anos Kert’esz。库存变化动态的随机矩阵方法。《新物理学杂志》，14（9）：0930252012年9月。【24】贾科莫·利万、西蒙·阿尔法拉诺和恩里科·斯卡拉斯。随机相关矩阵光谱特性的精细结构：金融市场的应用。体检E，84（1）：0161132011年7月。[25]Daniel J.Fenn、Mason a.Porter、Stacy Williams、Mark McDonald、Neil F.Johnson和Nick S.Jones。金融市场相关性的时间演变。

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2022-5-31 11:28:06

物理评论E，84（2）：0261092011年8月。[26]段旺、鲍里斯·波多布尼克、达沃·霍瓦蒂奇和H·尤金·斯坦利。量化和建模多重时间序列中的长期互相关，并应用于世界股指。《物理评论》E，83（4）：0461212011年4月。【27】阿贾伊·辛格和徐定海。随机矩阵应用于资产波动率之间的相关性。《定量金融》，16（1）：69–832015。[28]Jo¨el Bun、Jean-Philippe Bouchaud和Marc Potters。清理大型相关矩阵：来自随机矩阵理论的工具。《物理报告》，666:1–109，2016年。【29】埃内斯托·埃斯特拉达。量化网络异构性。物理评论E，82（6）：661022010。【30】宋东明、米歇尔图米尼罗、周伟兴和罗萨里奥·曼特格纳。全球股票市场的演变、相关性结构和基于相关性的图表。体检E，84（2）：0261082011年8月。[31]赵龙凤、李伟、徐才。危机时期股票市场的结构和动态。《物理快报A》，1:1–132015。【32】Jaroslaw Kwapie'n、PawelO'swie'cimka、Marcin Forczek和Stanislaw Dro'zd'z。对不同时间尺度和波动大小的相关性进行最小生成树过滤。2016年第1-8页。哈里·马科维茨。投资组合选择。《金融杂志》，7（1）：771952年3月。【34】F火山灰、T Di Matteo和T Aste。风险在整个金融市场的扩散：最好投资外围地区。科学报告，3:16652013.200 400 600 800 10001 2 3 4 5 FirstSQ50100150200250200 400 600 10001 2 3 4 5 SecondSQ152025035404045200 400 600 800 10001 2 4 5第三个Q15250354045200 600 800 10001 2 4 4 5对于Q101520530图6：（颜色在线）前四个特征值λK，K=1。

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2022-5-31 11:28:10

4作为多重分形顺序q和去趋势标度s.k=1，q=0.40，s=70k=1，q=0.40，s=110k=1，q=0.40，s=230k=1，q=0.40，s=430k=1，q=1.00，s=70k=1，q=1.00，s=110k=1，q=1.00，s=230k=1，q=2.00，s=70k=1，q=2.00，s=110k=1 1，q=2.00，s=230k=1，q=2.00，s=430k=1，q=4.00，s=70k=1，q=4.00，s=110k=1，q=4.00，s=230k=1，q=4.00，s=430k=2，q=0.40，s=70k=2，q=0.40，s=110k=2，q=0.40，s=230k=2，q=0.40，s=430k=2，q=1.00，s=70k=2，q=1.00，s=110k=2，q=1.00，s=230k=2，q=1.00，s=430k=2，q=2.00，s=70k=2，q=2.00，s=110k=2，q=2.00，s=230k=2，q=2.00，s=430k=2，q=4.00，s=110k=2，q=4.00，s=110k=2，q=4.00，s=230k=2，q=4.00，s=430图7：（在线上色）贡献Xlk，l=。在不同的多重分形阶数q和去趋势标度s下，每个行业组的最小特征值λk，k=1（红线）和第二个较小的特征值λk，k=2（天蓝色线）。蓝色实线和虚线是shu*ed相关矩阵的平均Xlkwithone标准偏差。k=399，q=0.40，s=70k=399，q=0.40，s=110k=399，q=0.40，s=230k=399，q=0.40，s=430k=399，q=1.00，s=70k=399，q=1.00，s=110k=399，q=1.00，s=230k=399，q=1.00，s=430k=399，q=2.00，s=70k=399，q=2.00，s=110k=399，q=2.00 00，s=230k=399，q=2.00，s=430k=399，q=4.00，s=70k=399，q=4.00，s=110k=399，q=4.00，s=230k=399，q=4.00，s=430k=400，q=0.40，s=70k=400，q=0.40，s=110k=400，q=0.40，s=230k=400，q=0.40，s=430k=400，q=1.00，s=70k=400，q=1.00，s=110k=400，q=1.00，s=230k=400，q=1.00，s=430k=400，q=2.00，s=110k=400，q=2.00，s=110k=400，q=2.00，s=230k=400，q=2.00，s=430k=400，q=4.00，s=110k=400，q=4.00，s=230k=400，q=4.00，s=4.00，s=430k=8图8：（颜色在线）贡献率为1。在不同的多重分形阶数q和衰减尺度s下，每个行业组的第三大特征值λk，k=399（红线）和第二大特征值λk，k=400（天蓝色线）。

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2022-5-31 11:28:14

蓝色实线和虚线是shu’ed相关矩阵的一个标准偏差的平均值。k=200，q=0.40，s=70k=200，q=0.40，s=110k=200，q=0.40，s=230k=200，q=0.40，s=430k=200，q=1.00，s=70k=200，q=1.00，s=110k=200，q=1.00，s=230k=200，q=1.00，s=430k=200，q=2.00，s=110k=200，q=2.00，s=230k=200，q=200 2.00，s=430k=200，q=4.00，s=70k=200，q=4.00，s=110k=200，q=4.00，s=230k=200，q=4.00，s=430k=250，q=0.40，s=70k=250，q=0.40，s=110k=250，q=0.40，s=230k=250，q=0.40，s=430k=250，q=1.00，s=70k=250，q=1.00，s=110k=250，q=1.00，s=230k=250，q=1.00，s=430k=250，q=2.00，s=70k=250，q=2.00，s=110k=250，q=2.00，s=230k=250，q=2.00，s=430k=250，q=4.00，s=70k=250，q=4.00，s=110k=250，q=4.00，s=230k=250，q=4.00，s=430图9：（颜色在线）贡献K，l=。每个行业组的24个特征值深入到不同阶次q和去趋势标度s的整体λk，k=200（红线）和λk，k=250（天蓝色线）。

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