根据方程（25）、（29）和（30），我们得出结论，最优财富过程V*,递归效用过程J，消费过程C*过程D全部由当前时间t和马尔可夫过程M各分量的当前值来表征。这允许我们引入最优值（函数）V*t=V*（t，Mt）和寿命效用（函数）Jt=J（t，Mt）通过方程（29）和（30），以及函数dt=D（t，Mt）通过方程（26）。这意味着，对于0≤ t型≤ 我们有*（t，m）=VGP（t，m）E“χZTtC*（s，Ms）VGP（s，Ms）ds+V*（吨，公吨）VGP（吨，公吨）Mt=m#，（32）J（t，m）=E“χZTtf（C*（s，Ms），J（s，Ms），s）ds+εB（V*T）Mt=m#，（33），其中v*T=V*（T，MT）=B0，-1.λεVGP（T，MT）, （34）和，对于0≤ s≤ we getC公司*（s，Ms）=χf0，-1.λD（s，Ms）VGP（s，Ms），J（s，Ms），s. （35）假设V*（·，·），It^o引理的一个应用产生V的DE*t=V*（t，Mt）=V*（t，Mt，…，Mnt）格式DV*t型=五、*t+nXi，j=1σMiσMj五、*密歇根州mj！dt+nXi=1五、*midMit。（36）dMitin方程（36）前面的条款通过标准对冲论证得出的收益率如下：推论8（多基金分离）假设所有成分Mi，i=1，nof M的构造方式使其可以交易，从而产生n只风险非冗余基金加上基准证券。然后，投资者可以通过持有时间t来实施她的最佳投资策略（并为她的消费储蓄计划提供资金）五、*mi（37）第i个基金单位Mit，i=1，n、 并将剩余财富投资于givenbaseline证券，即本地无风险证券。我们对这一结果的证明在数学上类似于消费储蓄文献中先前的多基金分离定理，参见Pennacchi（2008）。

这些文献表明，额外的状态变量会产生额外的基金，这些基金在优化投资中起着不可或缺的作用。然而，我们的结果通过将重点完全放在基线安全性中指定的GP上，从而放在决定其动态的M的组件上，从而澄清了这一点。构建非最优投资组合只需要这些组成部分，而不是表征整个金融市场的许多其他数量。此外，与经典金融理论相比，我们允许一个更加丰富的建模世界，以更真实地捕捉GP的长期动态。我们只要求GP的存在性，不再对等价风险中性概率测度的存在性做额外的假设。由于我们已通过本地无风险基准证券对多价证券进行贴现，因此我们还必须在我们的马尔可夫系统中对其动态进行建模，当目标支付是指货币单位或经汇率调整的支付时，这是一项标准任务。需要注意的是，在我们的方法中，不必关心市场的完整性，即完成市场可能需要的任何其他因素。所需要的只是由Mt的n个组成部分产生的n笔资金*无需其他资金。这将投资组合优化的任务减少到了核心，并澄清了利用GP ascentral构建块确定最优策略的自然输入。此外，我们的澄清简化了相当实际的投资组合构建，特别是当使用GP代理时。建立GP模型所需的因素数量明显小于表征整个全球市场模型的状态变量数量。当驱动GP的不确定性可以在一个布朗运动中被接受时，这一点变得最为明显。

就股票市场而言，GP由一种称为不可分散（系统）不确定性的不确定性来源驱动。尽管它很简单，但正如即将进行的研究所揭示的那样，这似乎是一个相当现实的情况。我们将在第7节中详细介绍此案例的样式化版本，然后展示此见解如何简化实际相关的应用程序。习惯于最优投资的读者可能会惊讶地发现，根据第8章，所谓的跨期对冲需求并没有出现，而只是在推动GP的条款中进行定位才有意义。必须做出两个重要的观察：首先，我们注意到，跨期对冲需求很可能出现在其他需求代表中，这些需求关注的是主要证券的定位，而不是GP的定位（退出力）。最重要的是，我们注意到假设7不允许马尔科夫过程M由非主要证券所跨越的状态变量驱动。当向量马尔可夫过程M由非规划状态变量驱动时，on很可能获得一些跨期套期保值需求。虽然可以很容易地想象跨期套期保值需要apear的情况，但本文的范围是关注实际可行性，并指出可以简化分析的实际相关情况。因此，我们对分析导致更复杂的动态资产配置的情况本身不感兴趣。5.2标量马尔可夫增长最优投资组合特别重要的情况是，当GP形成标量马尔可夫过程时，即当n=1时，可以将其驱动不确定性聚集在标量布朗运动中。然后，我们可以将mt替换为GP值VGPtat time t并写入V*tas是当前GP值的函数，即。

五、*= 五、*（t，VGPt）。假设函数V的充分可微性*, It^o lemmayields的一个应用V的SDE*t=V*（t，VGPt）。然后我们通过方程（13）得到thatdV*t型=五、*t+θt（VGPt）五、*vdt公司+五、*vdVGPt（38）=V*t（aVtdt+bVtdWt），（39）其中VTV*t型=五、*t+θtVGPt五、*v+θtVGPt五、*v、 （40）和bVtV*t=θtVGPt五、*v、 （41）dVGPtin方程（38）前面的项揭示了以下结果：定理9（两个基金分离）当贴现的GP形成标量马尔可夫过程时，投资者可以通过始终持有ω=五、*v（t，VGPt）（42）个GP单位，并将其剩余财富投资于给定的（无风险）基线证券。需要注意的是，在这种标量马尔可夫情况下，可以通过对GP和基准证券的投资来充分描述最优投资组合。这可能会令人惊讶，因为读者可能习惯于依赖于各种（未经训练或附加的）状态变量的财富过程。然而，在这里，只要交易基准证券（我们在这里假设），就没有未交易或额外的状态变量在最优解决方案中发挥任何作用。记住，我们的建模比经典无套利假设下的建模更一般，定理9概括了文献中的各种早期结果。例如，Pennacchi（2008）在其方程式（12.70）中报告了未经退火状态变量的财富权重。当所有状态变量都被交易时，他的方程与我们的方程在形式上是一致的。

然而，我们在这里的其他观察结果是，GP的规模效应简化了该策略，对投资两支基金具有重要意义。请注意，当只有一个布朗运动驱动一个多组分马尔可夫SDE，该SDE将GP确定为其其中一个组分的GP时，会出现类似的、更一般的两个基金分离。在这种情况下，当将It^o公式应用于V时，方程式（38）-（41）变得更一般*（吨，公吨）。6最佳投资组合价值上一节通过财富函数的一阶导数表达投资策略，即作为最佳投资组合价值的函数。这提供了一个重要的观点，即主要集中在GP和基准证券的交易上是足够的。在实际应用中，当雇佣GP的代理时，这将导致一个至关重要的简化。对于潜在的进一步理论见解，但主要是实际实施，仍需进一步描述流程V*. 为了简化我们的论述，我们将重点放在第5.2小节中讨论的标量马尔可夫GP的情况。描述函数V的更一般的马尔可夫多分量模型的处理*（t，Mt）则很简单。第一小节解释了应如何处理一般情况。以下两小节解释了如何在第2.2小节的偏好框架中涵盖常见的偏好规格。特别是，它们描述了导致标量马尔可夫GP动力学的投资策略。6.1一般情况基准消费调整最优财富过程*t=^V*t+χRt^C*sds，通过方程式（16）定义，完全符合SDEd^Gt=d五、*tVGPt公司+ χ^C*tdt=V*td公司VGPt+VGPtdV*t+d<V*,VGP>t+χ^C*tdt=VGPtaVtV*tdt+χC*t型- θtbVtV*t型dt公司+五、*tVGPtbVt-五、*tVGPtθt载重吨。该过程必须满足方程式（19）。

如前所述，流程^G必须是amartingale。因此，我们必须*t型aVt公司- θtbVt+ χC*t=0。（43）结合方程式（40）和（41），这使得我们可以建立一个描述V的部分微分方程（PDE）*（t，v）如下：五、*t+θtv五、*v+χC*（t，v）=0。（44）此外，对于V*tby（13）和（42）SDEdV*t型=θtVGPt五、*v- χC*t型dt+θtVGPt五、*vdWt=ωtdVGPt- χC*tdt，（45）见定理9。自C起*取决于J*, 见方程（35），一般情况下，第9节的J方程（3）需要与Hamilton Jacobi Bellman（HJB）PDE联合求解PDE（44）。Duffee（2001）中的A报告了其方程式（1）中给出的受控过程的HJB方程式。在我们的设置中，方程式（45）规定了受控过程，我们发现HJB方程式读数为Smaxc*（t，v）(J*t型+θt五、*vv型- χC*t型J*五、*+θtv五、*vJ*五、*2+χf（C*, J*, t） ）=0。（46）当χ=1（消费节约问题）时，这意味着（形式上）第一阶条件产生-J*五、*+ f（C*, J*, t） =0，（47），其中c*（t，v）=f0，-1.J*五、*, J*, t型. （48）使用此特征以及方程式（44）和（46），我们必须求解偏微分方程组五、*t+θtv五、*v+χf0，-1.J*五、*, J*, t型= 0，（49）J*t+θtv五、*vJ*五、*2+χff0，-1.J*五、*, J*, t型, J*, t型+θt五、*vv型- χf0，-1.J*五、*, J*, t型J*五、*= 0。（50）根据方程式（34）和（33），它仍然满足终端边界条件SV*（T，v）=B0，-1.λεv和J*（T，v）=εBB0，-1.λεv, （51）分别。最后，为了保证^G的鞅性质，我们施加以下空间边界条件：对于v→ ∞ 我们需要V*（t，v）→ ∞ 对于v→ 0我们需要*（t，v）→ 请注意，该解取决于拉格朗日乘子λ，即，de（44）的解以λ为特征。该参数应设置为完全满足初始预算约束，请参见我们之前在第4节中的讨论。

由于最优投资组合价值的特征在很大程度上取决于f的选择，因此下一小节将讨论特殊情况。6.2（时间加性）对消费的偏好在（时间加性）消费储蓄问题（χ=1）中，在给定的效用函数ua和时间偏好率δ>0的情况下，我们设置f（c，l，t）=e-δtu（c）。然后我们通过方程（26）和Ds得到D=1fc=e-方程式（25）中左侧项的δsu（c）。文献经常用CRRApreferences说明时间可分离的消费节约问题。使用（恒定）时间偏好率δ>0和风险规避系数0<γ，我们通常会看到B:x 7→ e-δTx1-γ/（1）- γ） 和f：（c，t）7→ e-δtc1-γ/（1）- γ） 对于γ6=1。对于γ=1，函数是类似的，用自然伽利略代替幂函数，得到B:x 7→ e-δTln（x）和f：（c，t）7→ e-δtln（c）。我们的偏好规范涵盖了CRRA偏好的这些情况和几个更一般的情况，或者，更符合文献，可以将聚合器视为f（c，l，t）=u（c）-δlto还发现Dsfc=e-δsu（c）。关于随机微分效用的文献表明，聚合器的这种函数形式导致了一个J过程，该过程在偏好排序方面与公共规范Jt=maxπ，CE[RTtexp(-δ（T- s） ）u（Cs）ds | At]，见杜菲和爱泼斯坦（1992a）。完整的假设2。为了在本小节中进一步说明，我们专门讨论了时间加性效用的情况，其中投资者具有CRRA偏好，如上所述。Wethen计算f0，-1（c、l、s）=（e-δsc）-1/γ，B0，-1（x）=（eδTx）-1/γ，表示*s=（eδsλ）-1/γ（VGPs）1/γ，对于0≤ s<T和V*T=ε1/γ（eδTλ）-1/γVGPT1/γ。

（52）该产量SV*（t，v）v=λ1/γZTte-δγsE（VGPs）（1/γ）-1.VGPt=vds+ε1/γe-ΔγTλ1/γE（VGPT）（1/γ）-1.VGPt=v.我们可以描述消费财富比C*电视/电视*（t，v），但不要这样做，因为我们的重点是投资策略。初始预算方程V=V*=五、*（0，VGP），VGP=1设置λ，这反过来给出基准投资组合价值asV*（t，v）v=车辆χRTte-（δ/γ）s（VGPs）（1/γ）-1ds+εe-（δ/γ）T（VGPT）（1/γ）-1.VGPt=viEhχRTe-（δ/γ）s（VGPs）（1/γ）-1ds+εe-（δ/γ）T（VGPT）（1/γ）-1i（53）根据（42）ωt取导数=五、*（t，v）v、 回想定理9，这给出了要保持的GP的单位数，并且Vrefer是GP的当前值。指定GP的随机动力学，我们可以计算≤ s≤ 预期E[（VGPs）（1/γ）-1 | VGPt=v]并确定最佳值函数v*. 这将通过定理9描述最优投资策略。我们将在下一节进一步讨论这一点，在这里我们将考虑GP的几个动态。一种特别方便的情况是，当最优值函数不依赖于一个期望E[（VGPs）（1/γ）时-1 | VGPt=v）]：这对应于对数投资者的情况（γ=1）。然后，上述方程简化为v*t=Vεδ+e-δ（t-T）- 1εδ+eδT- 1VGPt。（54）额外的计算将恢复方程式，如Pennacchi（2008）所示。方程（54）表明，最优值过程的增长与GP类似，其中依赖时间的函数决定了消费的影响。这表明投资者在GP中并没有持有全部财富。然后我们计算五、*v=v*投资者在时间t持有的标量马尔可夫GP的tvand Find basedon方程（42）∈ [0，T]：Vεδ+e-δ（t-T）- 1εδ+eδT- 1 GP的单位和当地无风险资产的剩余部分。

在最后时刻，遗赠金额为V*T=VGPTVεδεδ+eδT-1、请注意，随着我们增加T，对数投资者在GP中持有的财富越来越多；取极限T→ ∞ 我们发现，她在GP中拥有全部财富，这（正式）与前面提到的Kelly投资组合的见解相匹配。我们强调，对于对数投资者，最优策略独立于GP的动态，这是一个极其重要的观察结果，因为对数效用最大化投资组合从长期来看几乎肯定会产生最高的价值，参见Platen和Heath（2010）中的定理10.5.1。因此，如果一个投资者更喜欢lessand，并且拥有很长的投资期限，那么他自然会表现得像一个对数投资者。这类投资者通常也深切关注我们消费和经济活动的可持续性，这已成为人们越来越关注的焦点。6.3终端财富偏好在资产配置问题中（χ=0），通常引入时间偏好率δ>0，风险规避系数γ>0，并设置f=0，以及B:x 7→ 经验值(-δT）x1-γ/（1）- γ） 对于γ6=1和B:x 7→ 经验值(-γ=1时，δT）ln（x）。我们的偏好规范涵盖了这些和几个更一般的偏好案例，这些案例充分满足了假设2。对最终财富的偏好是我们在上一小节中分析的一个特例。为了完整并与文献进行比较，我们报告了方程式（52）和（53）的结果：V*T=ε1/γ（eδTλ）-1/γVGPT1/γ（55）V*（t，v）v=车辆VGPT（1/γ）-1.VGPt=viE[（VGPt）（1/γ）-1] 。（56）如前所述，我们从定理9中回忆起五、*v表示要观察的总成的单位数，v表示总成的当前值。

可以直接计算方程式（55）-（56）中的结果，根据方程式（26）设置f=0，使D=1，然后计算B0，-1（x）=（eδTx）-1/γ。当我们假设对数偏好，即γ=1时，方程（55）-（56）会大大简化。在这种情况下，我们发现*（t，v）v=v，（57），即投资者仅持有GP，如第3.3小节所述。在这种情况下→ ∞ 几乎可以肯定，一个人获得的投资组合价值最高。更准确地说，on获得了最大的长期增长率，即islimT→∞ln公司VGPTV≥ 限制→∞ln公司五、*（T，VGPT）V几乎可以肯定的是，GP的这一关键属性使其在所有其他最优投资组合中如此特殊，并直观地解释了其在投资组合优化中的核心作用。7实证评估前面几节介绍了我们基于几个假设的方法，特别是连续交易、SDF的可交易性及其过程的马尔可夫性。这使我们能够提出便利的消费储蓄和资产配置策略，从而达到更高的财富水平。然而，归根结底，我们的方法在实践中是否会带来更高的财富水平，这是一个经验问题。本节旨在对此提供支持。我们研究的是一位希望长期投资美国股市的投资者。从1925年到今天，采用标准普尔500总回报指数；该重建指数由Shiller（2015）提供。在本节中，我们将重点放在1925年至2017年的子时段，并用标准普尔500指数确定GP。正如本文各个阶段所指出的，在财务建模中，具有恒定相对风险厌恶（CRRA）的偏好是一种常见的假设。因此，我们也选择这些进行实证评估。为简单起见，我们评估终端财富，即。

weset f=0，χ=0，ε=1，B:x 7→ 经验值(-δT）x1-γ/（1）- γ） 对于γ6=1，分别为b:x 7→ 经验值(-γ=1时，δT）ln（x）。通常，γ指（相对）风险规避系数。然后，我们进入了第6.3小节的资产配置设置，并注意到投资策略通过ωt数字得到了很好的规定=五、*（t，v）标准普尔500指数中持有的vof单位，以及无风险证券中的剩余单位。对于实现，仍需确定V值*在整个时间和状态中，这要求我们计算等式（56）中的（有条件的）期望。尽管目前的结果表明相对风险规避系数γ=3，因为这是一种流行的金融选择。已对S＆P500的过程动力学进行了广泛研究，并对连续时间内的许多过程规范进行了研究。在本文中，我们特别感兴趣的是由单个布朗运动驱动的GP的马尔可夫过程。当假设股票市场的GP遵循普莱顿（2001）的最小市场模型（MMM）的动力学时，就会出现一个说明性的和相当现实的情况，另请参见普莱顿和希思（2010）中的第13章。当使用标普500总回报指数作为1871年至2017年期间GP的代理时，我们得到α=0.1828和η=0.0520。这允许我们计算上述期望值EhVGPT（1/γ）-1.VGPt=任何时间的Vi。为完整起见，附录B.2中提供了MMM和计算的详细信息。1925年1940年1955年1970年1985年2000年2015年财富10-1100101102103104GP60/40公用事业公司=3MV=3储蓄图1：1925年12月至2015年1月期间不同投资策略的财富动态。我们强调，我们采用MMM过程动力学只是为了计算公式（56）中的（有条件的）预期以及S&P500中的相关投资组合持有量。

GP的任何其他马尔可夫过程特征也将允许我们进行类似的处理。显然，我们越能捕捉GP和GP的随机动态，我们的策略在实施中的表现就越好，然而，为GP和相应模型找到合适的代理的任务超出了本文的范围。图1显示了从1925年12月到2015年1月，投资者的每月财富演变情况，当时她的初始财富为1美元（黄线）。在我们的最佳策略下，她的财富会有可观的增长，并增加到大约865美元，因此我们可以在对数刻度上绘制财富图，以便于分析。为了更好地理解这一点，让我们将其与四种备选策略进行比较。第一种是长期增长的最佳策略，将所有财富投资于标准普尔500指数，是对数投资者的最佳策略，请参见我们之前的讨论；我们在图1中将其绘制为一条蓝线。从长期来看，增长最佳投资组合的增长率最高，因此，在长期投资战略的最初几年，大量投资it是有意义的；正如所料，我们的最佳组合最初会密切跟踪GP，直到1955年左右。GP也带来了更高的风险，因此，随着我们接近结束日期（2015年），我们的最佳策略与GP不同，将更大比例的财富保留在无风险证券中。风险的增加可能是由于我们的最佳投资组合价值路径在这近90年的时间段内更加“平滑”，尤其是大约自1985年以来。第二个比较是与流行的60/40长期投资策略，该策略始终将其当前财富的60%（40%）投资于标准普尔500指数（无风险证券）。图1中的红线描绘了我们的投资者遵循60/40策略和月度平衡后的财富。

在大萧条期间，60/40策略不会导致价值大幅下降，但GP和更重要的是，我们的策略都会迅速回升，并从中超越60/40策略。这证实了我们的战略是针对长期的。第三个比较是具有均值-方差偏好的投资者的月度再平衡投资策略。众所周知，她在风险资产（此处为标准普尔500指数）中的投资组合权重为ut/（σtA），其中ut，σt表示所考虑时间段内超额收益的条件预期和标准差，以及表示风险规避参数。简单的泰勒近似表明，在风险规避参数γ=3的CRRA偏好的第一个近似中，我们的平均方差投资者的风险规避应设置为A=2γ=6。非条件参数u=6%，σ=20%是建模标准普尔500年收益率的常见金融选择。在通常的时间尺度下，比值u/σ与时间范围无关；考虑到众所周知的有条件地实施均值-方差方法的困难，我们采用这些值并无条件地实施均值-方差策略。

我们在图1中按照相关的均值-方差策略将投资者的财富绘制为紫色线。它显示出与60/40战略的一些相似之处，但在最后一年的表现不如1935年1945年1955年1965年1975年1995年2005年2015年Panel（a）：最优效用战略1925 1.91 2.91 8.31 20.69 32.97 120.20 333.60 572.63 865.141935 1.52 4.35 10.82 17.24 62.86 174.47 299.49 452.471945 2.86 7.11 11 11.33 41 114.66 196.82 297.361955 2.49 3.97 14 40.90 104.091965年1月59日5月81日16.13 27.68 41.821975 3.65 10.12 17.37 26.241985 2.78 4.76 7.201995 1.72 2.592005 1.51面板（b）：60/40战略1925 1.69 2.25 4.69 9.77 15.99 52.99 147.50 267.98 430.671935 1.33 2.77 5.79 9.47 31.37 87.32 158.65 254.971945 2.09 4.35 7.12 23.58 65.64 119.26 191.671955 2.09 3.41 31.31 47 57.17 91.891965 1.64 5.42 15.09 27.42 44.061975 3.31 9.22 16.76 26.931985 2.78 5.06 8.131995 1.82 2.9220051.61面板（c）：均值方差策略1925 1.42 1.64 2.41 3.90 6.69 18.60 39.82 63.55 92.621935 1.15 1.69 2.74 4.70 13.06 27.95 44.62 65.021945 1.47 2.38 4.09 11.36 24.33 38.83 56.581955 1.62 2.78 7.73 16.55 26.42 38.501965 1.72 4.77 10.22 16.31 23 771975 2.78 5.95 9.49 13.831985 2.14 3.42 4.985 1995 1.60 2.332005 1.46表1：总回报变化的开始和结束日期。从长远来看。最后将其与完全投资于无风险证券的策略进行比较。我们在图1中绘制了投资者遵循绿线策略的财富。正如所料，除了大萧条，这一战略是我们上面研究的所有其他战略的基础。

显然，这不是建议的长期投资策略。到目前为止，我们只考虑了1925年建立投资组合的投资者的情况。然而，众所周知，投资策略的绩效取决于投资者的开始日期和时间范围。因此，为了完整起见，我们现在确实研究了我们的方法在不同开始日期和不同时间范围（相当于各自投资组合策略的结束年份）与60/40策略和平均方差策略的对比情况。表1显示了单独面板中两种策略的结果。请注意，通过遍历相应的对角线，读者可以在10年的间隔内评估10到90年的时间范围的结果。表1强化了我们先前基于图1得出的结论。它表明，从长远来看，我们的策略在所有时间段（至少10年）都优于60/40策略，并且在所有时间段都优于均值-方差策略，结论本文在比经典无套利理论更一般的框架下，研究了期望效用最大化下的长期投资。这使得我们引入了一种比经典贴现因子更为普遍的随机贴现因子（SDF）。我们强调了其可交易性的重要性，并将其确定为增长最优投资组合（GP）的反比。使用此SDF，我们进行了类似于鞅技术的操作，并通过GP描述了最优消费储蓄和投资策略。这将我们的注意力转向了GP的随机过程性质。我们证明了多重基金分离定理成立。

其中，只要GP是马尔可夫状态过程的一部分，基金持有量就通过投资者价值函数的偏导数来表征。最后，我们对我们的策略进行了实证评估。附录：其他材料递归Epstein-Zin偏好这一设置还允许我们研究偏好结构比时间可分离偏好（所谓的递归偏好）更普遍的消费节约问题（χ=1）。函数f被称为当前消耗和持续实用程序的（规范化）聚合器。递归偏好的一种流行形式是所谓的Epstein-Zinpreferences，由Epstein和Zin（1989）根据Kreps-Porteus偏好规范引入。我们现在详细讨论这些问题。A、 1为了描述Epstein-Zin偏好，我们引入了所谓的跨时替代弹性参数ψ>0，时间偏好率δ>0，以及风险规避系数γ，0<γ，γ6=1。然后，我们定义了严格正c>0和严格正l>0（严格负l<0）的时间无关函数f，当γ<1（当γ>1时）：f（c，l）=δ1- γ1-ψlc（（1- γ） l）1-γ！1.-ψ- 1.对于ψ6=1，（A-1）f（c，l）=δ（1- γ） lln（c）-1.- γln（（1- γ） l）对于ψ=1。（A-2）撇开ε中的乘法项不谈，我们的优化问题产生了具有随机差异性的价格接受主体的参数化，该随机差异性来自终身消费。这也是Epstein和Zin（1989）偏好的连续时间版本的特征，允许将风险厌恶从时间间隔替代率中分离出来。在本文中，我们确实明确地允许了遗赠函数εB（VπT）。

与Liu（2007）类似，参数ε>0允许我们调整遗赠和终身消费的相对重要性。在方程（A-1）中设置ψ=1/γ，将上述递归效用消耗节约问题减少为具有时间可分离CRRA偏好和（相对）风险规避系数γ的消耗节约问题。文献中施加了这一限制，以将结果与所谓的默顿消费储蓄问题seeMerton（1971）的结果进行比较。为了证明方程（A-1）和（A-2）中的聚合函数f完全满足假设2中的条件，我们首先注意到函数f在R+上是两次可微的。根据方程式（A-1）（ψ6=1）和方程式（A-2）（ψ=1）求导数，我们得到：fc=δ（（1- γ） l）ψ-γ1-γc-ψ> 0，和fc=-ψcfc<0。（A-3）基于此表示，可以直接检查INDA条件。我们注意到，Duffee和Lions（1992）以及Schroder和Skiadas（1999）为终身效用J.A.2最优财富和消费储蓄决策的存在和唯一性提供了条件和证明。为了在本小节中进一步说明，我们使用遗赠函数B（x）=e-δTx1-γ/（1）- γ） 对于γ6=1和B（x）=e-γ=1时的δTln（x）。方程（A-3）提供了聚合器f的一阶导数，然后我们可以推导出逆w.r.t.消耗量。我们有f0，-1（x，l，s）=Δψ（（1- γ） l）1-γψ1-γx-ψ和B0，-1（x）=e-δT/x。这表示0≤ s<T最佳消耗量c*s=Δψ（（1- γ） Js）1-γψ1-γλ-ψ（DsVGPs）ψ，（A-4）和终端值V*T=e-δTελVGPT1/γ。（A-5）它允许我们计算方程（32）中定义的最佳基准投资组合价值函数，如下所示：V*（t，v）v（A-6）=E“ZTt（（1- γ） Js）1-γψ1-γδDsλψ（VGPs）ψ-1ds+e-δTελγ（VGPT）γ-1.VGPt=v#。拉格朗日乘子λ来自于求解初始预算方程V=V*=五、*（0，F）。

这提供了最佳价值过程的完整特征。如果我们假设替代的跨期弹性为ψ=1/γ，那么我们有1- γψ=0，使得（（1- γ） Js）1-γψ1-γ=1，过程J不再在不等式（a-6）中起作用。然后，我们回到前面的子节中所示的表示形式，即值函数（53）。这是意料之中的，因为众所周知，ψ=1/γ对应于时间加性CRRA偏好。无遗赠的情况（ε=0）允许我们进一步简化此结果。在这种情况下，我们可以算出Δψλ-ψ（1）-γ） （1）-γψ）/（1-γ） 使用V=V*（0，VGP）我们根据（A-6）发现，在任何时候0≤ t型≤ T one hasV*（t，v）=VvERTtJ1-γψ1-γsDψs（VGPs）ψ-1dsVGPt=vERTJ1-γψ1-γsDψs（VGPs）ψ-1.. （A-7）如果我们进一步假设替代的跨期弹性为ψ=1，那么函数v*简单到V*（t，v）=VvEhRTtJsDsdsVGPt=viEhRTJsDsi。对该方程和（A-7）的进一步分析需要研究GP的分布特性。B特定GP流程的最佳投资组合价值第3节确定了GP的属性，这将使我们能够找到目标回报的最低可能价格，而后续章节将展示如何通过仅投资于GP代理和基准证券来方便地对冲该回报。这使我们在第5节中研究了GP的可交易代理。此外，从建模的角度来看，这将我们的注意力吸引到GPS的属性上，并对其动力学进行充分的建模。构建GP的代理并将其解释为GP将避免建模和估计所有这些决定整个市场动态的因素和参数的实际挑战和几乎不可能的任务，原则上，为了准确识别理论上精确的GP，需要有权访问这些因素和参数。

因此，我们将在下文中假设，我们已经构建了GP的可交易代理，因此，我们将重点探索GP的特性，这些特性有助于消费储蓄投资的对冲。重要的是回顾一下，与著名的鞅技术不同，见Pennacchi（2008）和Cvitani\'c和Zapatero（2004），我们不假设存在等价的风险中性概率测度。这允许我们在描述市场动态时使用更丰富的modelingworld。下面的第一小节假设经典市场模型具有恒定的投资机会，而第二小节则认为市场模型更现实，不再适用于经典市场模型。B、 1恒定投资机会集文献中已广泛研究了一种最方便的情况，其中假设GP具有恒定波动性的aBlack-Scholes动力学。当我们假设风险θt=θ>0的恒定市场价格时，我们得到≤ t型≤ s≤ T表示折扣的GP表达式VGPS=VGPtexpθ（s- t） +θ（Ws- Wt）所以呃地磁极（1/γ）-1.VGPti=VGPt（1/γ）-1expθ1- γ2γ（s- t）.这允许我们表示值函数V*根据第5.2小节中的GP。Wethen在偏好终端财富的情况下，基于（56）基准价值函数^V*t=V*（t，VGPt）VGPt=Vexpθγ - 12γtVGPt（1/γ）-1.（B-8）将该期望乘以VGPt=v，得到v*（t，VGPt。取V的一阶导数*（t，VGPt）w.r.t。

v、 我们注意到，该等式中的右侧与v成正比*（t，VGPt，即五、*（t，VGPt）VGPt=γV*（t，VGPt）v=γ^v*t、 因此，根据定理9，V*（t，VGPt）也表示γ乘以投资者持有的GP单位数。接下来，我们看一下时间加性CRRA偏好的情况，其中我们写ρ=θ1- γ2γ- δ/γ.我们推导出中兴通讯-（δ/γ）s（VGPs）1/γ-1ds+εe-（δ/γ）T（VGPT）1/γ-1.VGPt=v=VGPt1/γ-1e级-（δ/γ）tZTtexp{ρ（s- t） }ds+εVGPt1/γ-1e级-（δ/γ）texp{ρ（T- t） }=VGPt1/γ-1e级-（δ/γ）tρ（exp{ρ（t- t） }- 1） +εVGPt1/γ-1e级-（δ/γ）texp{ρ（T- t） }在时间加性CRRA偏好的情况下，我们根据（53）thatV发现*（t，v）v=Vv1/γ-1e级-（δ/γ）t·ρ（exp{ρ（t- t） }- 1） +εexp{ρ（T- t） }ρ（exp{ρt}- 1） +εexp{ρT}。B、 2最小市场模型在Platen（2001）的最小市场模型（MMM）中，另见Platen and Heath（2010）中的第13章，（贴现）GP VGPTC可以表示为平方根过程（Ys）0的乘积VGPT=Ytαt（B-9）≤s≤Tof维数4，具有时间的指数函数αt=αexp（ηt），η>0，α>0，其中dyt=（1- Yt）ηdt+pηYtdWt（B-10）0≤ t<∞, Y=α，W表示布朗运动。VGPtequalsthen The volatibility of Yt，即￠bFt=rκYt=rκαtVGPt。（B-11）只需要两个参数：α>0和η。可以通过注意到Vgptequals的二次变化ν（t）=<qVGPt>t=α来验证这两者eηt- 1., （B-12）使得η=tln<pVGPt>tα+1！，（B-13），这使得我们能够估算出足够长时间内的η和α。如Platen和Heath（2010）所示，MMM不符合经典无轨范式，因为贴现GP的逆不是真鞅，而只是严格的局部鞅。因此，假定的风险中性测度vgpvgpt的密度只是一个严格的局部鞅，不存在等价的风险中性概率测度。

根据Platen and Heath（2010）中的方程式（8.7.14），γ如下所示∈ （1，∞] 和0≤ t型≤ s<∞ thatE[（VGPs）（1/γ）-1 | VGPt]（B-14）=（2（Д（s）- Д（t））（1/γ）-1exp-VGPt2（Д（s）- ^1（t））∞Xk=0VGPt2（Д（s）- ^1（t））kΓ（γ+1+k）k！Γ（k+2），式中Д（t）=α4ηeηt- 1., （B-15）和Γ表示伽马函数。例如，在特殊情况下，γ=1/2，我们有[VGPs | VGPt]=4（ν（s）- ^1（t））+VGPt。（B-16）在γ=1的情况下，我们有对数效用和obtainE[（VGPs）| VGPt]=1，这产生了任何计算的重要简化。参考Bai，J.，Ng，S.，2002年。确定近似因子模型中因子的数量。计量经济学70（1），191–221。Baldeaux，J.，Grasselli，M.，Platen，E.，2015年。基准法下的货币衍生品定价。《银行与金融杂志》53，34–48。坎贝尔，J.Y.，维切拉，L.，1999年。预期回报随时间变化时的消费和投资组合决策。《经济学季刊》114，433–495。坎贝尔，J.Y.，维切拉，L.，2002年。战略资产配置：长期投资者的投资组合选择。克拉伦登教授经济学。牛津大学出版社。Chacko，G.，Viceira，L.M.，2005年。不完全市场中随机波动的动态消费与投资组合选择。金融研究回顾18（4），1369–1402。Christensen，M.M.，2012年。关于增长最优投资组合的历史。摘自：Gyor fi，L.，Ottucsak，G.，Walk，H.（编辑），《金融工程机器学习》。计算机科学和工程进展第8卷。世界科学出版公司，第1章，第1-79页。科克伦，J.H.，2001年。资产定价。普林斯顿大学出版社。Cox，J.C.，Huang，C.F.，1989年。当资产价格遵循差异化过程时，优化消费和投资组合政策。《经济理论杂志》49，33–83。Cvitani\'c，J.，萨帕特罗，F.，2004年。金融市场经济学和数学导论。麻省理工学院出版社。Davis，M.H.，Leo，S.，2015年。

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