长期投资 - 外文文献专区

2022-5-31 12:34:12

长期投资*德国缅因州缅因州莱森堡大学管理与经济学院Dietmar P.J.LeisenUniversity of MainzGutenberg School of Management and Economics 55099 Mainz电子邮件：leisen@uni-美因茨。deEckhard PlatenUniversity of Technology悉尼金融大学（SydneyFinance）学科组和数学与物理科学学院+新南威尔士州百老汇123号信箱，2007年，澳大利亚邮箱：Eckhard。Platen@uts.edu.auThis版本：2017年5月12日摘要本文研究了一个投资者的长期投资，该投资者通过终端财富或消费来最大化预期效用。我们引入了广义随机贴现因子（SDF）和实现目标支付的最低价格的概念。论文发现，需要捕捉SDF的动态，而不是整个市场动态，这简化了最佳组合策略的重要实际实施。我们特别关注SDF等于给定市场中增长最优投资组合的倒数的情况。然后，最优财富演化与增长最优投资组合密切相关。特别是，我们的概念使我们能够将适应性优化与增长投资的从业者方法相协调。我们的经验表明，我们的新框架改进了终身消费投资组合选择和资产分配策略。关键词短期贴现系数、最低定价、最优投资组合、增长最优投资组合11、G13*作者要感谢Jin Su提供的计算支持和改进论文的宝贵建议。+此外，还与澳大利亚堪培拉国立大学和南非开普敦大学合作1简介长期投资是个人投资者（如退休储蓄）和金融中介机构（如养老基金管理）的重要关注点。

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2022-5-31 12:34:15

对于中等风险的美国退休投资组合，一个流行的建议是60/40经验法则，即将60%的可销售财富持有在股票中，其余（40%）持有在债券中（Campbell和Viceira（2002））。然而，目前尚不清楚这种双基金投资组合策略何时是最优的，为什么这些比例（大致）是最优的，以及风险资产头寸的具体构成。本文旨在解决这些问题。特别是，我们讨论了最佳长期投资的实践方面，特别侧重于确定动态资产配置策略仍然相当简单的环境。关于终端财富和消费储蓄组合的预期效用优化，已有大量文献，包括默顿（1971）、爱泼斯坦和津（1989）、杜菲和爱泼斯坦（1992b）、坎贝尔和维切拉（1999）、查科和维切拉（2005）以及卡夫等人（2013）。在这篇文献中，鞅技术被证明是一种很有前途的方法；详见Cox和Huang（1989）、Cvitani\'c和Zapatero（2004）和Pennacchi（2008）。我们的论文植根于我们的观察，即鞅技术用所谓的随机贴现因子（SDF，也被称为定价核）来表示期望的资产配置。本文关注SDF的性质，放松了基于风险中性定价范式的经典无套利理论的限制性假设。相反，我们支持SDF可交易这一额外且相当自然的要求。我们介绍并讨论了最小定价的概念，它允许我们使用广义的定价技术，从而表明我们的可交易SDF概念在资产配置中起着重要作用。

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可人4

2022-5-31 12:34:19

这解决了我们最初的两个问题：两种基金策略何时是最优的？风险资产头寸的特征是什么？我们强调一个事实，即给定投资宇宙（以下简称GP）的所谓增长最优投资组合，见Kelly（1956）和Merton（1971），在解决最佳投资策略中起着核心作用。沿着这些思路，最低定价与Platen（2002）和Platen and Heath（2010）的基准定价理论相关，这两种理论比经典的noarbitrage范式下的建模世界更为广泛，因此更为现实。本文指出，GP的逆是SDF的自然选择，因此我们将重点关注此SDF。我们提请注意GP的随机动态，并表明当GP的动态为马尔可夫时，最优投资策略会显著简化。在这种情况下，对于一个有吸引力但又相当现实的建模者来说，由此产生的最优策略仅将资产分配到少数基金中。特别是，我们展示了一个具有一个不确定性驱动源的马尔可夫GP模型，即最优资产配置由两个基金组成：无风险资产和GP。最后，我们对从特定模型衍生的投资策略进行了实证评估。虽然该模型不满足经典的无套利假设，但其长期动态是现实的，允许以现在实际可行的可分割方式进行资产配置。我们的长期投资策略与更高的长期增长相关，并且实现目标的成本低于经典范式下的可能成本。沿着这些线，我们还解决了无风险资产和风险资产之间的最佳比例的初始量化问题。文献在资产管理的理论理解方面取得了巨大进步。

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kedemingshi

2022-5-31 12:34:21

看来，许多数学方面已经在很大程度上得到了澄清。然而，除了简单的情况外，还有一些有趣的问题阻碍了它们的实际相关性。我们通过解决三个formidabledi难题为本文献做出贡献。首先，长期投资解决了随着时间的推移投资机会集的变化（Campbell和Viceira（2002）），但解决相关的动态优化问题具有内在的难度。此外，已知的解决方案表明，总体而言，最优动态交易策略相当复杂。然而，我们的方法将资产配置减少到投资于少数基金，包括与可交易SDF的仓促动态密切相关的单一风险基金。其次，目前的文献给人的印象是，定性的见解在很大程度上取决于基础设置，尤其是投资目标的具体参数公式。例如，不同的偏好规格，例如加性效用与递归效用偏好，似乎会导致资产配置差异很大。当前的论文提供了一个统一的理论，阐明了最佳资产配置与可贸易SDF的关键联系，从而强调了共性。我们证明了我们的结果是成立的，只要投资者从终端财富或消费中实现效用最大化，就会以成本最低的策略为目标。MacLean et al.（2010）和Davis and Lleo（2015）指出，包括约翰·梅纳德·凯恩斯（JohnMaynardKeynes）、沃伦·布菲（WarrenBuffet）和比尔·格罗斯（BillGross）在内的几位传奇投资者都遵循最大化长期增长的策略。此外，克里斯滕森（Christensen）（2012）对另一位读者的生动文学作品进行了出色的描述，推荐使用此类策略。他有力地解释了增长最大化和效用最大化之间的区别。

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2022-5-31 12:34:24

然而，目前的论文采用了最小定价的概念，以表明在可交易（未知）SDF存在的情况下，效用最大化与增长最大化有着内在的联系。因此，我们重新审视了旧的增长最优投资文献，并为常见的长期从业者策略提供了额外的支持。第三，理论投资策略的实际实施是当前一项艰巨的任务。通常，它涉及在各种证券中进行动态资产配置，以获取理论上可能的驱动因素的影响，这在实施中似乎是一个不可行的挑战。更糟糕的是，在实践中很难对整个市场动态进行建模，尤其是对大量资产的均值和协方差进行可靠估计；见DeMiguel等人（2009年）。我们的方法在这项工作中提供了一个可考虑的简化，因为它需要关注GP的动态建模。特别是，我们为GP引入了一个现实的、单变量的长期动态，表明它可以可靠地实施，并导致了卓越的两种基金投资策略。本文的组织结构如下：第2节介绍了我们的设置，而下一节讨论了价格动态的结构特性。第4节用这些来描述GP方面的最优投资组合选择。这提请我们注意在第5节中对GP的价格动态进行建模，这使我们能够深入了解portfolioconstruction的结构。以下部分将我们的结果与文献中的著名结果联系起来。第7节评估了我们的模型与其他方法相比的性能。第8节总结全文。2市场环境我们假设一个过滤的概率空间(Ohm, A、 A，P），其中P表示真实世界的概率度量。Ais被假定为平凡的σ-代数。

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2022-5-31 12:34:28

过滤A=（At）0≤t型<∞描述市场中信息的演变，即在∈ [0，∞) σ-代数描述了当时可用的信息。2.1资产和投资组合我们认为市场由d+1个主要证券账户组成。这些证券包括本地无风险基线资产St=1，t∈ [0，∞). 此外，市场由d个有风险的主要证券账户Sj=（Sjt）t组成∈[0，∞), j=1，d、如果所有付款（如股息、收入或利息）都进行了再投资，且SJT以St单位计价。请注意，其中还可以包括人力资本、知识产权、生产设施或给定投资范围内的其他（非）金融资产，只要它们可以交易。根据Merton（1971），我们假设完美的资本市场：证券交易持续进行；无交易成本；在任何时间点，本地无风险、即时投资和借贷都是可能的；证券是完全可分割的，允许在充分利用收益的情况下进行卖空。为简单起见，我们仅说明了连续动力学的方法，但DynamicInvolving跳跃可以类似地处理。此外，为了便于说明，我们以本地无风险储蓄账户（我们的基准资产）为单位为我们的证券命名。然而，我们的方法允许使用多种面额。例如，从消费储蓄组合的角度来看，人们可能更倾向于以消费者价格指数（CPI）为单位来计价，即采用通货膨胀率累计账户作为分母。通过随机微分方程（SDE）dSjt=SJTATJTT+dXk=1bj，ktdWkt！=Sjt公司ajtdt+bj>tdWt, （1） t型∈ [0，∞). 这里，对于j=1，…，给出了Sj>0，d、和W，W。

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2022-5-31 12:34:31

，WDD是建模交易不确定性的独立布朗运动。我们用>向量/矩阵传输表示，用Wt=（Wt，…，Wdt）>表示时间t独立布朗运动值的d维向量。我们将aSt=（at，…，adt）>定义为d维（瞬时）增值率向量，bSt=（bj，kt）j，k=1，。。。，d=（bj>t）j=1，。。。，d×d维（瞬时）波动率矩阵。假设两个随机过程都适应过滤（At）0≤t型<∞除W建模的交易不确定性外，还可能受到不确定性来源的驱动。这允许我们捕获描述这个市场中某些（潜在）不完整性的状态变量。我们假设SDEs的相应系统有一个独特的强解决方案，参见Platen and Heath（2010）中的第7.7节。在本文中，我们采用了以下假设：假设1几乎可以肯定，在真实世界的概率测度P下，波动率矩阵Bst与逆bS是可逆的，-1对于所有t∈ [0，∞), 和过程（bSt）t∈[0，∞)满足条件rtpdj，k=1（bj，kt）dt<∞ 对于所有T∈ [0，∞).波动率矩阵的可逆性假设确保d维向量θt=bS，-1时间（2）在任何时候都有很好的定义，我们参考θtas时间t风险向量的市场价格。其结果是θt代表独特且有限的增长最优投资组合（GP）的波动性，我们将在后面讨论。假设1中的第二个条件确保了所涉及的随机It^o积分的有效可积性。2.2首选项我们引入一个指标变量χ∈ {0，1}，x T∈ [0，∞) 用V表示投资者的原始财富，用π=（πt）0表示≤t型≤财富权重的（向量）过程，其中πt=（πt，πt，…，πdt）>。这里，πjt表示时间t的相对权重∈ [0，T]风险主要证券投资Sjt，j=1，d

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2022-5-31 12:34:34

注意πt=1-Pdj=1πjt是投资于本地无风险基准资产的细分。（负权重表示借用。）Wedenote乘以C=（Ct）0≤t型≤t代理人的消费过程，由初始资本Vand通过投资策略π进行融资。然后，通过过程（Vπt）0给出代理人消费后的财富≤t型≤T、满足（2）SDEdVπT=π> taStVπt- χCtdt+（π>tbSt）VπtdWt（3）=π> tbStθtVπt- χCtdt+（π>tbSt）VπtdWt。（4）对于给定参数ε≥ 0和给定指标变量χ∈ {0，1}，我们的目标是确定进程J=（Jt）t∈[0，T]解决了优化jt=maxπ，CEZTtχf（Cs，Js，s）ds+εB（VπT）在, （5）对于所有t∈ [0，T）。此处，任何时间T∈ [0，T），通过选择相应的投资组合权重过程π和消费过程C以及相关的财富过程（4），在剩余时间段[T，T]内实现最大化。此外，我们在（5）中使用了真实世界概率测度P下的条件期望E[·| At]，给出了封装在At中的信息attime t。时间t信息包括投资组合Vπtattime t的价值。过程J表征了消费衍生的所谓的终身效用。在本文中，为了简单起见，我们对所涉及的效用函数采用以下附加假设：假设2∈ [0，T]和l∈ R函数f（·，l，s），B（·）：R+→ R是两次微分，严格递增，严格凹，完全满足INDA条件，即limx↓0f（x，l，s）=limx↓0B（x）=∞ 和limc→∞f（c，l，s）=limx→∞B（x）=0。参数ε和χ允许我们研究各种投资组合选择问题。χ=0，ε>0的情况对应于价格接受代理的问题，该代理最大化从终端财富VπT得出的预期效用，如Merton（1971），即。

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2022-5-31 12:34:37

没有消费的投资组合选择问题（所谓的资产配置问题）；函数B在这里扮演效用函数的角色。χ=1对应于有遗赠（ε>0）或无遗赠（ε=0）的消费储蓄问题（或跨期消费和投资组合选择问题）。参数ε控制遗赠相对于消费产生的效用的重要性。我们在（5）中的规定，除其他外，捕获了可分时效用的常见情况，以及杜夫和爱泼斯坦（1992a）在随机差异效用背景下产生的所谓爱泼斯坦锌偏好的连续时间版本，见附录A。我们将在第6.2和6.3小节中讨论所涵盖的时间相加偏好与消费偏好以及终端偏好的示例。无论何时需要，我们都假设随机微分效用的存在性和唯一性，即Duffeen和Epstein（1992a）意义上的随机微分效用。在一般的市场环境中，条件期望（5）通常是许多状态变量的一个相当复杂的函数。这使得理论最优策略的实际应用变得困难，如果不是看起来不可能的话：（太多）必须对许多数量进行准确建模和估计，以获得实际有用的策略。众所周知，估计表征预期收益的参数需要比实际情况更长的观察窗口，参见Kan和Zhou（2007）以及DeMiguel等人（2009）。此外，估计的收益协方差矩阵本身是随机的，通常很难估计和反转有意义的结果，尤其是对于大量资产，参见Bai和Ng（2002）、Ludvigson和Ng（2007）以及Okhrin和Schmid（2006）。

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2022-5-31 12:34:41

尽管存在这些困难，但本文的主要重点是指出现实和实际相关的情况，其中（5）中的条件期望成为当前时间t的函数，并且可能是一些可观察的状态变量。3价格动态的结构特性资产配置的关键决定因素是证券的价格动态。因此，为了准备下一节中的资产配置分析，我们对其一些结构特性进行了描述。第一小节讨论了通过（广义）随机贴现因子（SDF）进行定价。第二小节强调SDF的可交易性。以下小节确定了可交易SDF，即它们是所谓的增长最优投资组合（GP）的倒数。第四小节讨论了基准定价理论，并介绍了最低定价。第五小节解释了最低价格对于分析最优投资组合分配的有用性。3.1随机贴现系数市场动态中没有套利机会是金融经济学中的一个常见假设，通常用于确保金融市场定义良好。支撑建模效果的主要因素是资产定价的基本定理，该定理断言，没有所谓的经典套利机会，等同于存在一个等效的风险中性概率测度；参见Harrison和Kreps（1979）以及Delbaen和Schachermayer（2006）。在金融经济学的语言中，这相当于具有各自属性的随机贴现因子（SDF）的存在；参见例如Cochrane（2001）。不幸的是，停留在经典的无套利框架中是以限制性和潜在的不切实际的建模假设为代价的，这些假设阻碍了其在实践中的应用；参见示例。

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2022-5-31 12:34:44

Loewenstein和Willard（2000）以及Baldeaux等人（2015）。本文采用了一种更为普遍的方法，与越来越多的文献一致，这些文献避免了经典的无套利假设，并建议在比假设存在等效风险中性概率测度的建模世界更为广泛的建模世界中工作；见。g、 Loewenstein和Willard（2000）、Platen（2002）、Platen（2006）、Karatzas和Kardaras（2007）、Fernholz和Karatzas（2010）以及Platen和Heath（2010）。与我们追求的更一般的方法相比，对于短期投资来说，经典的、更具限制性的假设的后果可能很小。然而，正如我们所证明的那样，长期后果是巨大的。通过归纳Cochrane（2001）中总结的大量经典资产定价文献中提出的概念和想法，让我们引入以下假设：假设3存在一个经过调整的严格正过程（Fs）0≤s≤T、 T型∈ [0，∞) 0<英尺<∞ 几乎可以肯定t∈ [0，T]，对于所有一级证券Sjt，j=0，d、自我融资投资组合的价值过程FTA产品的SDE和价值或价格过程是无漂移的，尤其是，（Ft·Sjt）0≤t型≤这是无漂移的。更精确地说，我们假设我们可以用F=1的形式写入Ft=Ft（aFtdt+bF>tdWt+cF>td'Wt）（6），用于合适的自适应实值过程aF，合适的自适应向量过程bF=（bF 1，…，bF d）>，以及合适的自适应向量过程cF=（cF 1，…，cF n）>，带有非负整数n。这里，非交易不确定性W=（\'W，…，\'Wn）>由n个独立布朗运动的avector过程给出，该过程独立于交易不确定性的布朗运动向量过程W。

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何人来此

2022-5-31 12:34:47

我们将具有这些性质的F称为astochastic贴现因子（SDF）。这一假设比经典假设弱，其中产品过程（Ft·Sjt）0≤t型≤t必须形成（A，P）-鞅。这里我们只需要这些过程形成局部鞅。假设3允许我们以更加灵活、透明和统一的方式讨论建模者面临的定价和资产配置方面的不同交易。特别是，关于资产定价的成熟文献，作为一个特例，与我们的方法很方便地联系在一起。常见的建模方法首先假设存在风险中性概率度量。这样的限制将我们在假设3中都放松的两个条件混合在一起。首先，在经典的无套利假设下，我们通常假设对于任何价格过程（At）t∈[0，T]产品（AtFt）0≤t型≤t形成一个真正的鞅，这导致所有0≤ t型≤ s≤ T在假设3中，我们只要求AtFtis无漂移，从而形成一个局部鞅。其次，定价规则（7）恢复了所谓的经典风险中性定价，参见Cochrane（2001），当且仅当（Ft）0≤t型≤t形成真正的鞅。在这种情况下，风险中性概率度量通过Radon-Nikodym densityprocess（Ft）0进行表征≤t型≤T、我们强调了一个至关重要的事实，即假设3允许更广泛的模型，其中fts只需要形成（a，P）-局部鞅，定价规则（7）只是许多可能的规则之一。正如我们稍后将看到的那样，普通经典建模方法的一个非常有力的假设是，资产价格乘以SDF需要形成一个真正的鞅。我们再次强调，在本文件中，我们不假设此属性。因此，定价规则（7）不需要在我们更一般的设置中始终保持不变。

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2022-5-31 12:34:50

此外，即使定价规则成立，这也不一定意味着（Ft）0≤t型≤Titself需要形成一个真正的鞅。这并不意味着我们的市场价格过程中不能有正式应用风险中性定价规则的结果。然而，我们只要求假设3，当与SDF相乘时，得到的价格过程没有漂移，从而形成局部鞅。虽然假设3中的局部鞅性质明显放松（与鞅性质相比），但它仍然施加了限制。这使我们能够得出以下结论：首先，（6）中的假设3意味着，对于本地无风险资产，t=1，aFt=0。此外，通过等式（1）和（2），它通过it^o公式，对于所有风险证券Sjtwith j=1，d thatd（FtSjt）=ftajtsjttt+Ftbj>tSjtdWt+SjtFtbF>tdWt+SjtFtcF>td'Wt+bj>tbftsjttt=SjtFtajt+bj>tbFtdt+SJTTbj>t+bF>tdWt+SJTFCF>td？Wt=SJTTNBJ>tθt+bFtdt公司+bj>t+bF>tdWt+cF>td'Wto。要使SDE无漂移，我们必须有bj>tθt+bFt= 0表示所有j=1，d、这意味着我们需要bFt=-θt，即通过（6）我们得到dftft=-θ> tdWt+cF>td'Wt.（8）我们强调，这是我们市场上SDF的通用形式。3.2 SDF的可交易性假设3中SDF的四个定义明确允许SDF由交易驱动，也可能由非交易不确定性驱动，见方程式（6）。其中，SDF=（Ft）0≤t型≤T、满足式（8）可以表示为ft=Fexp-Ztθ>sθsds-Ztθ>sdWsFt，（9），系数▄Ft=exp-ZtcF>scFsds+ZtcF>sd'Ws. （10）流程F由非交易不确定性驱动，因此无法通过动态资产配置进行对冲。

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2022-5-31 12:34:53

分解（9）表明，在SDF中引入不可交易的不确定性相当于在SDF的构建中引入不可对冲的因子过程F。理论上，这一因素过程似乎为SDF的概念提供了更广泛的普遍性。然而，正如我们现在将要讨论的那样，它似乎没有在实际估值或对冲中提供任何可用的灵活性。因子F不是唯一的，但根据定义，任何对因子F的选择都不能由任何交易的不确定性驱动。从估值的角度来看这一事实，我们注意到，为了使定价规则（7）起作用，例如，在经典假设下，过程F必须是真鞅。根据随机演算的基本规则，（9）中的非交易不确定性F不会影响（7）中任何可对冲支付的价格，因此在这种估值方法中是多余的。因此，在对可复制索赔进行定价时，这是非常容易的。从最佳投资组合实际实施的角度来看，还有一个反对在SDF中引入超丰富因素Fin的概念性论点。我们将在接下来的章节中看到，最优投资组合及其价格过程将由SDF驱动。因此，当因子F不能从交易证券价格中复制时，即当非交易不确定性来源驱动SDF时，最优投资组合及其价格过程将由非交易不确定性驱动，即要求对非交易因子进行再投资。

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2022-5-31 12:34:58

为了实施这样的战略，我们必须使不可交易的不确定性可交易，这违背了目的。综上所述，SDF满足（8）的动力学形式的一般性（涉及因子F）是艺术性的，从实际可行性的角度来看，这种形式已经消失。基于这些见解，在本文的其余部分中，我们从SDF中删除了（9）中给出的超fluous non-tradeable factorF。相反，与经典假设相比，我们在本文中提供了更具实际相关性的灵活性：我们允许（AtFt）t∈[0，T]形成严格局部鞅（我们的方法），而不是真鞅（经典方法）。我们将证明这种灵活性对于降低长期投资成本非常重要。因此，在本文中，我们使用满足（8）且cFt=0的SDF，即从现在起SDDFT=-Ftθ>tdWt，（11）对于t≥ 0且F=1.3.3逆增长最优投资组合为SDF上一小节引入了可交易SDF的概念，我们在本小节中确定了这一概念，并在此讨论了其定价含义。价值VπGPt=VGPtat始终为t的增长最优投资组合（GP）∈ [0，T]以VGP=1的投资组合为特征，是唯一的，财富权重πGPt=bS，-1，>tθt（12），时间t∈ [0，T]（无消耗，C=0）。根据方程式（4），它完全符合SDEdVGPt=（πGP>taSt）VGPtdt+πGP>tbStVGPtdWt，=VGPt（θ>tθt）dt+θ>tdWt（13）对于t≥ 0，VGP=1。根据假设1，GP存在于我们的市场中，也就是说，由于其明确的预期瞬时增长率θ>tθt，它在任何特定时间都是严格正的和确定的。通过将It^o公式应用于1/VGPtwe，发现t的ft=VGPt（14）≥ 0求解SDE（11）。因此，在假设3的意义上，GP的逆是SDF的合适选择。此外，SDF（14）可交易。

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kedemingshi

2022-5-31 12:35:01

根据假设3，当用作GP分母时，可作为数字的可分解投资组合的任何其他候选应生成一个严格正的局部鞅，通过Fatou引理，该局部鞅是一个超鞅，参见Platen和Heath（2010）定理10.2.1。但当GP用作候选投资组合的分母时，它也是一个局部鞅，因此是一个超鞅。根据Jensen不等式，以GP单位表示的候选投资组合只能等于常数。因此，可交易SDF（14）是唯一的。在本文的其余部分中，我们根据方程式（14）设置F，或根据SDE（11）等效设置F。3.4基准定价理论由Platen（2002）提出的基准定价理论仅假设GP的存在，即所谓的基准，并将其作为其核心构建块。与FTI相乘的任何值称为基准值。特别是，我们用^Sjt=sjtvgpt表示主要风险证券Sjt的各自基准值，j=1，n、并考虑基准财富过程^Vπ=VtVGPtwithout consumption（C=0）。（下一小节将研究基准消费调整财富过程^Gπ。）通过GP的存在，参见Platen和Heath（2010），市场上没有任何具有经济意义的套利，因为没有任何策略可以在有限的初始资本中产生具有有限财富的严格正投资组合。在经典无套利假设下，Long（1990）观察到，风险中性价格可以通过选择GP作为num'eraire和现实世界的概率度量作为定价度量来恢复。这意味着，Ft=1/VGPTRE的定价规则（7）在经典设置中涵盖了可复制或有权益的风险中性价格。

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2022-5-31 12:35:04

因此，GP也被称为num'eraire投资组合（NP）。基准定价理论比重新制定经典风险中性定价更为深入，它放弃了经典假设，参见Platen和Heath（2010），并要求仅存在GP。然后，它使用GP作为分母、num'eraire和基准。综上所述，基准定价理论通过将Ftequal设置为当地无风险基准证券（以GP为单位）来获得唯一且可交易的SDF。这意味着SDF Ft代表折扣GP的倒数。因此，通过设置▄Ft=1，t≥ 0在（10）中，我们通过（14）确定逆F-1使用折扣基准VGPT。在基准定价理论的一般背景下，几个自我融资的投资组合可以复制相同的支付。虽然这意味着经典的一价定律可能不再适用于我们所考虑的更一般的建模世界，这不允许创建任何具有经济意义的套利：不存在具有经济意义的套利应被解释为不存在具有有限瞬时增长率的严格正投资组合，从而可以在有限时间内实现；参见Platen和Heath（2010）。最重要的是，从概念的角度来看，我们注意到，一个价格法则的失败允许多个定价规则共存。例如，人们可以正式应用风险中性定价规则，即使F没有形成一个随机鞅。然而，正如我们现在将看到的，总是存在一个最低价格，这是唯一确定的。如前所述，增长最优投资组合（GP）最大化了来自终端财富的预期对数效用。

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2022-5-31 12:35:07

GP是表现最好的严格正投资组合，从长远来看，其价值几乎肯定会超过所有其他严格正投资组合的价值，参见Platen和Heath（2010），定理10.5.1。这也意味着GP（我们的SDF）的倒数是投资组合的倒数，从长远来看，这几乎肯定会导致价值低于任何其他严格正投资组合的倒数。因此，当我们将GP的倒数用作SDF时，我们可以直观地预期它将引导我们在所有潜在的价格过程中，为目标支付找到可能的最低价格。这意味着，当使用基准储蓄账户作为SDF时，可以通过定价规则（7）直观地获得可能的最小价格过程。为了做到这一点，我们引入了公平价格或价值过程的概念：定义4价格或价值过程（At）0≤t型≤它被称为公平，当它满足原则（7）时，GP的倒数为SDF=1/VGP，即为tvgpt=EAsVGPs在（15）对于0≤ t型≤ s≤ T这意味着基准值^At=AtVGPt=FtAtforms an（A，P）-鞅。在公式（15）中，定价是在真实世界或客观概率度量下进行的，GP的倒数为SDF。在Platen and Heath（2010）中，这被称为真实世界定价，公式（15）被称为真实世界定价公式。假设3要求所有基准价格形成局部鞅。这意味着所有基准财富过程（无消费）都是局部鞅，因此是超鞅。众所周知，参见Du和Platen（2016）中的引理A1，鞅是在有界停止时间提供目标非负可积支付的最小非负上鞅。

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2022-5-31 12:35:10

这一事实意味着，基准财富过程（benchmarked wealthprocess）必须是一个鞅过程，因此，根据定义4，它必须是一个公平的价格过程。基准财富过程旨在尽可能减少初始费用，以实现特定的支付。各自的鞅存在且唯一，因为其在给定时间的基准值是可用信息下到期时基准投资组合价值的条件期望。我们将这一观点总结如下：推论5提供目标回报的最低价格或价值过程需要公平。更昂贵的价格或价值过程是可能的，当基准形成非负局部鞅，从而形成超鞅。需要强调的是，我们的假设确保了GP的存在，并避免了限制性的经典无套利假设。特别地，我们避免了存在等价风险中性概率测度的要求。这打开了一个比经典无套利假设下更宽的建模世界。3.5消费储蓄投资的最低定价上一小节引入了现实世界定价的概念，并表明这会导致最低可能的价格。现在让我们将这种定价方法应用于消费储蓄投资。回想一下，我们表示任何价值为Sjtby^Sjt=SjtVGPt=Sjtfits基准值的交易证券。对于给定的消费储蓄投资策略（π，C），通过方程式（3）-（4）定义财富过程，基准财富过程^Vπt=VtFt，weintroduce For t∈ [0，T]通过设置^GπT=^VπT+χZt^Csds，基准消费调整财富过程^Gπ，（16）基准消费^CπT=CπtFt。（17）在（16）中注意到，将累计基准消费添加到基准财富中，以获得基准消费调整后的财富。

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2022-5-31 12:35:13

这与大多数关于消费储蓄问题的论文所采用的方法不同，在这些论文中，积累的消费被添加到财富中，以获得经消费调整的财富。我们在（16）中的选择对于方便地获得产生目标回报流的成本最低的策略非常重要。方程式（4）和（11）表示基准财富^Vπt的SDEd^Vπt=FtdVπt- VπtFtθ>tdWt- （π>tbSt）VπtFtθtdt=（π>tbSt- θt）^VπtdWt- χ^Ctdt，（18）由（16）得出：d^Gπt=^Vπt（π>tbSt- θt）dWt。（19）这意味着基准自我融资投资组合过程^Gπ是无漂移的，因此形成了局部鞅。此外，^Gπ是非负的。因此，同样由Fatou\'sLemma提出，^Gπ是一个超鞅。请注意，基准（消费调整）财富过程可能存在于我们的设置中，这些设置是严格的超鞅，但不是鞅。这意味着这些投资组合可能不公平。然而，进一步研究那些公平的特定投资组合是有趣的。由于经典的一价定律，文献通常不强调投资者关心尽可能少的初始费用。然而，在我们更普遍的情况下，可能存在多个提供相同支出的自我融资投资组合，这一目标现在似乎是优化的合理组成部分。

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可人4

2022-5-31 12:35:16

支出所需的较低初始资本转化为允许较高消费的额外资本。因此，我们的目标是消费储蓄和相关的财富过程，这些过程需要最低的初始资本。在剩下的部分中，我们考虑了优化问题，投资者将自己限制在定义4意义上的公平消费储蓄组合中，因此其目标是确定过程J=（Jt）t∈[0，T]这解决了（5）中的优化jt=max（π，C）EZTtχf（Cs，Js，s）ds+εB（VπT）在, （20）对于所有t∈ [0，T），现在受制于公平和自我融资的财富动态（4）。效用优化问题（20）可能不同于我们最初的效用优化（5），因为成本最小化不是（5）中的明确目标因此，投资者似乎有机会将其收益与潜在的效用收益进行权衡。无论何时需要，我们都假设在这个受限策略集上，在Duffeen和Epstein（1992a）的意义上，随机微分效用的存在性和唯一性。在这一过程中，可以获得显著的实际效益。正如我们将在下一节中看到的，对公平策略的限制允许我们类似于众所周知的人工技术。直观地说，优化问题（20）意味着投资者按照鞅方法进行两步优化：首先，为任何给定的初始成本寻找公平的最优消费比例，然后，在第二步中，确保初始成本与初始财富匹配。在经典的无套利假设下，定价规则（7）是风险中性的定价规则，并且一直是流行的定价规则。正如我们稍后将看到的，通过将正式的风险中性定价应用于我们更一般的设置（这是可能的），可以获得一个基准组合，即局部鞅。

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2022-5-31 12:35:20

然而，它可能不是鞅。无论如何，这将是一个超鞅，当不是鞅时，将比相应的鞅（公平价格）更昂贵。根据（15）的现实世界定价是最小定价，并产生经公平消费调整的财富过程。在我们的一般情况下，关于存在等效风险中性概率测度的限制性假设不再强制执行，并且可以使用比正式应用风险中性定价更便宜的动态资产配置策略构建投资组合。最小定价（现实世界定价）与风险中性定价不同，风险中性概率度量Q假设存在于概率空间中(Ohm, A、假设风险中性概率测度下，储蓄账户贴现价格过程成为鞅。在经典无套利范式下，众所周知，SDF可用于确定风险中性概率测度，见Cochrane（2001）。在存在等效风险中性概率测度的情况下，风险中性定价和现实世界定价是等效的，参见Platen和Heath（2010）中的等式（10.4.5）。然而，它们在理论和实际市场上有所不同，参见Baldeaux et al.（2015）。通过正式应用风险中性定价（目前主要在实践中进行），人们完全忽略了基准储蓄账户在现实中可能是一个严格的局部鞅，从而是一个严格的超鞅的可能性。在这种情况下，正式获得的风险中性价格通常比通过实际定价公式获得的最低价格更昂贵（15）。优化过程中出现的一个重要问题是公平最优消费储蓄组合的可交易性。

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2022-5-31 12:35:23

下一节将说明，一旦SDF可交易，公平的投资组合是可交易的。总之，公平投资组合策略封装了重要的第一个优化步骤，在经典假设下不会出现，在经典假设中，人们正式应用风险中性定价。4最佳基准投资组合选择前几节讨论了GP作为基准或数字在定价中的核心作用。本节假设现实世界的定价是为了获得最低价格，并使用衍生的属性来重新表达GP和基准证券方面的最优财富过程（以及最优消费过程）。让我们考虑一个预算可行、公平的消费储蓄和终端财富计划，并推迟到进一步讨论该计划是否可交易的问题。然后，问题归结为找到最优、预算可行的计划，即我们寻找过程Esc和J，以及方程（20）中最大化右侧的随机变量Vπt。现实世界的定价告诉我们，具有基准消费调整价值过程的消费储蓄投资策略（π，C）的当前基准价值由条件期望^Gπt=Eh^Gπt给出Ati=EZTχCsVGPsds+VπTVGPT在.因此，我们对基准投资组合价值^Vπt=Vπtvgp和基准消费^Ct=ctvgpt的等式^Vπt=EZTtχ^Csds+^VπT在, （21）t∈ [0，T]。使用拉格朗日乘数λ来捕捉初始预算约束，我们得到了（20）在初始时间t=0时最大化以下表达式：maxπ，CEZTχf（Cs，Js，s）ds+εB（VπT）- λEh^GπTi-^G（22）=最大π，CEZTχf（Cs，Js，s）ds+εB（VπT）- λEZTχ^Csds+^VπT- 五、= 最大π，CE“χZTf（Cs、Js、s）- λ^Csds+εB（VπT）- λ^VπT- 五、#. （23）注意，我们在（22）中提出了一个约束，即在一个单一的总体预期下，^Gπ必须是公平的。

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2022-5-31 12:35:26

在某种意义上，如果我们能够最大化（23）中预期的随机变量，那么我们就有了一个最优支付的候选人，从而为最优策略提供了线索。为了确定最佳的投资和消费策略，人们试图确定时间∈ [0，T]，然后确定该时间点的最佳消费水平。利用时间加性效用，这种方法可以找到消费策略的正确特征，见Pennacchi（2008）。然而，即使使用时间加性效用，这种方法也表明，将消费设定在一个时间点上，会影响未来投资的财富，因此会影响未来的消费选择。与爱泼斯坦·津偏好（递归效用）相比，这些选择更加交织在一起，因为未来消费递归地影响当前效用水平以及消费水平。要使这种计算在数学上严格，需要在时间间隔[0，T]上适当定义整个消费路径的导数。达雷尔·杜菲和合著者在一系列研究这个问题的论文中，参见杜菲和爱泼斯坦（1992a）以及杜菲和斯基亚达斯（1994），并使用了应用于消费路径的ateaux导数的数学概念来证明这些因素驱动了SDF。Duffee（2001）第9.H节明确计算了时间相加效用的Gateaux导数，并表明SDF的流行特征在这种情况下成立。

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2022-5-31 12:35:30

杜菲和斯基亚达斯（1994）利用随机差异效用（Epstein Zin偏好）在125-127页明确描述了SDF，另见第9节。H以及杜菲（2001）中的附录F。在任何时候，他们的论点都允许我们从（23）的更一般的设置中推导出最优V的候选者的以下关系*接地C*s： dBdV（V*T） =λεVGPT，（24），并且，只要χ=1，对于0≤ s<T，并给出Jsone getsDsfC（C*s、 Js，s）=λVGPs，（25），其中ds=expZs公司fJ（C）*t、 Jt，t）dt, （26）见Duffee和Skiadas（1994）第120页示例3。为了简单起见，我们编写f（C，l，s）=fC（C，l，s）和B（V）=dBdV（V）。假设2表明，这两个函数分别相对于C>0和V>0是fand和Bare可逆的，我们用f0表示，-1（·，l，s）表示给定的（l，s），由B0表示，-1（·）他们各自的递归偏好，过程D捕捉到一个事实，即消费的边际变化在任何时候都会影响（递归）整个消费路径和终身效用。对于时间加性偏好，可以证明（25）简化了通常的公式，其中边际效用与SDF成比例。反向函数。这使我们能够为最佳终端财富asV编写候选人*T=B0，-1.λεVGPT, （27）以及时间s处最佳消耗的候选者∈ [0，T]asC*s=χf0，-1.λDsVGPs，Js，s. （28）注意，（26）中的过程D取决于公用工程过程J和最佳消耗过程C*. 这里的关键观察结果是，最优消费（28）和（27）中的终端财富表征，以及过程D仅取决于过程J和GP。在时间t=0时，投资者从初始财富V>0开始。因此，拉格朗日乘子λ必须在t=0时，使用最优方案（27）和（28）求解方程（21）。假设2中的inada条件让我们研究λ的情况→ 0和λ→ ∞.

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