让我们选择这些分数作为这三家银行的出清利率Ui。根据π的定义，我们得到ui=ni，i=1，2，3，因此ci（t）=ci，i=1，2，3表示所有t>0。然后每隔一段时间 = [0，t）我们有bi（t）=bi- uit，i=1，2，3。然后在T=7的时刻，我们得到b（T）=b- uT=0，b（T）=b- uT=>0，b（T）=b- uT=>0。我们得到了清除向量p=p（T）=, 3.以及未偿还债务的载体, 0，. 1号银行和3号银行分别对2号银行和的剩余债务不可偿还，但其相互剩余债务（分别为和）可以取消。最终，银行2不欠银行3任何款项，银行3欠银行2的金额为。模型无法进一步重组。5.3沼泽当遍历集B中的所有银行都有零现金时，会引起沼泽的重要注意，通常情况下会导致clearingequation解的非唯一性。形式上，我们说沼泽B是在t=0时拥有零现金或负现金的银行的遍历子类。下一个引理5.3从马尔可夫链状态的角度描述了银行的演变。状态变化的不可逆转性伴随着状态变化的不可逆转性。（如上所述，我们假设一次只能有一家银行更改其状态。）第（c）点正式确定沼泽可能在最初存在，但不会在以后出现。回想一下，A+是参与基本流动（常规情况）的银行，A是指在最初时刻没有正现金，也没有来自外部的正投入的银行。他们可能对A+和J中的银行负有债务*（0），但反之亦然。引理5.3。

作为马尔可夫链状态的银行，唯一可能的进化是：（a）缴足款项的银行总是在吸收，向这种状态的过渡是不可逆转的；（b） 正银行和A+中的零银行可能是遍历的或暂时的；由于遍历性，它们可能会变得短暂或吸收，因为短暂，它们可能只会吸收；（c） 阿玛的零银行可能是暂时的或遍历的；如果是瞬态的，则它们总是瞬态和非活动的，即对于它们来说，ui（t）≡ 所有t均为0；如果存在遍历子类，则其成员只能在不变的输出速率下活动，直到其中一个变为吸收，然后所有其他成员变为瞬态和非活动。因此，沼泽可能从一开始就存在，但不会在以后出现。证据（a）部分很简单。正银行可能是遍历的或暂时的。随着遍历或瞬态银行的状态变为已付清，其状态变得吸收。遍历子集中的所有其他状态都变为瞬态，因为现在它们连接到吸收状态。如果A+中的零银行是暂时的，则其出局率为正，因此它可能成为吸收状态或保持暂时状态，直到结束，这意味着该银行将以违约告终。这证明了（b）。如果B是从a开始的所有瞬态组的集合，对于所有力矩t，输入向量eB=0，根据引理5.1的（a）部分，平衡速率的唯一解为零，因此它们永远不起作用。如果B是A中的遍历子类，那么唯一可能的输出速率ai，i∈ B、 byLemma 5.2，必须与不变输出率πi成比例，其中πiis是QB的不变分布。只有这些输出率才能保持ci（t）≡ 每隔一段时间。

当采用可变的出局率π时，在某个区间[0，T]，所有债务将减少到bi级- πiT≥ 0，只有一个组j，bj（T）=0，所有其他bi（T）>0。此时，T银行j将其状态更改为“已缴清”，其状态变为“吸收”。然后，B中的所有其他银行都变为暂时性银行，并变为非活动银行。因此，所有的过渡银行永远都有能力偿还债务，但每个遍历子类中的银行都有能力重组和减少彼此之间的债务。这证明了（c）。现在我们有了所有的东西来完成定理2的证明。定理2的证明。第（a）部分来自定理1和pi=0的事实∈ A明显满足清算方程（1）。引理5.3的（a）部分后面是（b）部分。第（c）部分来自引理5.3和5.2，并且如果它们的不可约子类的数目k大于1，则它们有一个空交集，因此这些解的系数为0的任何线性组合≤ sk公司≤ 1也是坐标为p的（1）的解*我≤ 比福尔一世∈ B和p*i=0表示i/∈ B、 6级联定理和级联算法在介绍该模型时，我们提出了以下问题：使所有银行最终偿还债务的最小初始现金向量c是多少？答案是向量Cm（3）。下一个自然问题如下。

给定矩阵Q和向量b，使至少一家银行能够偿还债务的最小向量c是什么？这个问题的答案似乎令人惊讶：对于任何初始现金向量c=（c，…，cn），即使所有ci<0，也存在一家完全偿还债务的银行。在本节中，我们将展示任何有效模型M=（b、Q、c）都可以重组为等效的级联模型，其中有一组银行可以偿还债务，即使现金头寸为负，还有一组银行只需要向第一组中的银行付款，等等。6.1级联理论给定任何模型M=（b，Q，c），我们说，如果付款p=（p，…，pn）不超过银行的义务，并且与银行的义务成比例，则付款p=（p，…，pn）是可以接受的。我们认为模型M=（b，Q，c）是通过重组模型M=（b，Q，c）获得的，如果第二个模型是通过可接受的付款从第一个模型获得的。请注意，我们并不假设这些比例相等。根据可受理付款，一家银行可以支付其债务的10%，另一家银行可以支付其债务的20%。同时，观察清除向量p*在初始模型中，实际上是可受理付款的最大可能向量，即p* p表示任何可接受的p。该定义尤其意味着bij≥ 对于所有的i，j，我们也说M被减少到M，并表示M→ M、 很容易看出，如果（p*)是新模型中的清除向量，然后是初始模型p中的清除向量*= p+（p*). 我们还可以考虑一系列重组模型M→ M→ M

→ MN获取付款时间表。我们说模型有一个级联结构，或者简单地说模型是一个级联，如果集合J可以划分为集合（J，J，…，Jm），那么债务结构有以下形式：有一组银行J没有任何债务，有一组银行J只欠J中的银行，等等，最后还有一组银行Jm，m≤ n、 没有一家银行欠他的钱，这些银行可能欠所有其他银行的债。层级结构表明，哪些银行是债务的主要来源，以及这一支付链中的最薄弱环节。初始模型有效的假设很重要。否则，由于强假设（a），导致重组为级联的某些银行子集团相互取消债务的过程是不可能的。尽管如此，即使在不充分的情况下，级联也可以用来确定注入现金可以减轻债务负担的地方（见Farthing和Sonin，2021）。我们在第4.3小节中提供了一个完整的级联重组示例，使用方程（9）和（10）确定状态变化的离散时间。定理3。（a） 给定任何模型（b、Q、c），至少有一家银行j能够在没有任何资金的情况下偿还债务，即pj=bj，即使有cj≤ 0；（b） 给定任何有效模型（b、Q、c），可以将其重构为等效的级联模型（b、Q、c）。定理3的证明是基于下一小节中给出的显式构造，通过级联算法给出的。6.2级联算法我们在定理3的证明中提供了算法的形式化描述。示例5演示了证明的基本逻辑。定理3的证明。

如果在时间0时，至少有一家付费银行，（a）基本正确。否则，存在一个遍历子类B，其不变分布πi>0，i∈ B、 然后通过引理5.2，在这个子类中应用不变率ui=π，我们保证所有ci（t）保持等于初始值ci。我们也有所有bi（t）=bi- TUI急剧下降。设ti=maxs{s:bi（s）>0}，T=minitian和iis为达到该最小值的银行。为简单起见，我们假设只有一家银行拥有此属性；否则，银行I将替换为子集J。这意味着bi（T）=0，该银行对B中的所有银行没有负债，因此对J中的所有银行没有负债。B中的分配银行有债务bi（T）=bi- Tui=bi>0，仅适用于B中的银行。让我们表示剩余河岸的集合B\\i=沙表示n- 这些银行剩余债务的一维向量b（1）=b（T），作为两个向量b（1）=f（1）+e（1）的和，其中每个分量f（1）是银行i对银行i的剩余债务，即f（1）i=bi（T）qii，i∈ S、 那么向量e（1）是n- 银行间剩余负债的一维向量。让我们获得n- 一维随机矩阵Q（1）={Q（1）ij}，i，j∈ Sby在Q行和列i中删除，即所有条目qii和qii，i 6=i并规范化新行，即Q（1）ij=qij/Pj6=1qij。如果Ssuch中有银行i或几个银行qii=1，则应将其从集合中排除，然后将其包括在集合J中。在对集合进行此类修改后，所有剩余银行构成遍历子类。事实上，所有剩下的银行都与该集团中的某家银行有联系。下一步是获得不变分布（πi），i∈ SFO矩阵Q（1）。然后是BY引理5.2，对这个子类应用不变利率，在某个时刻，我们获得的银行在不改变现金状况的情况下偿还了债务。

换言之，我们将相同的步骤应用于矩阵Q（1）和债务向量e（1）的银行集合，就像我们将矩阵Q和债务向量b应用于集合J一样。如果每个时刻只有一家银行偿还债务，那么显然在- 1步骤：我们获得一个级联，每个层级有一个组。否则，在较少的步骤中，我们得到了定理3中提到的集合。示例5。设n=4，矩阵Q由Q=Q=Q=Q=，Q=，Q=，Q=，Q=，Q=，Q=，Q=，Q=，Q=，Q=，Q=，Q=，和Q=。由Q定义的马尔可夫链的不变分布为π=（84160147117）。考虑债务向量图2：（a）相对负债的初始矩阵，最小现金向量作为初始现金向量c。（b）三步支付的级联。b类=, 56, 55, 20. 利用公式（3），我们得到cm=, 7, 8, -23.Q=0 1/3 1/3 1/31/4 0 1/2 1/41/6 1/2 0 1/31/6 1/2 1/3 0（13） 假设现金向量c cm，所以我们的模型很有效。我们的目标是得到一个等效的级联模型。如例3和引理5.2中的第一个区间，我们将使用ui=πi，i=1。。。，4、然后在这个区间，ci（t）=ci对于所有t，因此当bi（t）中的一个达到零时，时刻t=是第一次。很容易检查，这是银行i=4和t=π。对于i=1，2，3，我们有bi（t）=20πiπ：b（t）=b- 20=19，b（t）=b- 20=29，b（t）=b- 20=30，b（t）=b- 20 = 0.让我们用两个向量之和来表示时间tas时所有银行的剩余债务向量，b（t）=f（1）+e（1），其中向量f（1）表示银行1、2、3对银行4的剩余债务向量，向量e（1）表示银行1、2、3对彼此的剩余债务向量。我们使用矩阵Q找到这些向量。因此，f（1）i=bi（t）qi4，ande（1）i=bi（t）- f（1）i.我们得到f（1）=,, 10e（1）=（13、22、20）。这是示例2中的Debt向量。

因此，我们可以考虑只有三个组1、2、3的子模型，通过删除第4行和第4列，并对新行进行归一化，从Q中获得转移矩阵Q（1）。由于在示例2中分析了向量e（1）=（13、22、20），所以存在以下形式的级联。在步骤1，拥有最低现金7的银行1向银行4、forto银行2和forto银行3发送支票6。在第2步中，银行2拥有最低现金7，并将支票F发送给银行3，7发送给银行4。在第3步中，银行3收到来自银行1的最低现金，并从银行2收到，将10的支票发送给银行4。银行4，现金最低-23，共收到6+7+10=23。图2（b）描述了此级联中的付款。由于有效模型总是如此，付款可以通过反向归纳法唯一识别。所有银行都偿还了债务，如果c=cm，其最终现金头寸为0。如果是c cm，那么就有可能在不到三步的时间内解决所有债务。7扩展虽然我们的设置使用Eisenberg和Noe（2001）的初始设置作为起点，但我们的模型可以自然地进行推广，以使用许多扩展。例如，我们的算法可以处理不同资历或多个到期日的负债或股份。在本节中，我们简要讨论可能的扩展。7.1债务优先级首先，我们可以假设矩阵Q不是通过等式qij=bij/bi获得的，只是表示付款的优先级。当然，我们需要进行以下修改。现在，储罐i的所有出口管道不是同时关闭的，而是在支付相应债务时，一个接一个地关闭，即在支付债务时，（i，j）管道关闭。相应的方程和状态变化时间可以很容易地修改。

如果我们假设一些债务不仅应该更快地偿还，而且应该在其他付款之前偿还，那么在最初的时刻，并非所有（i，j）管道都是开放的，但只有高级（for i）类的j管道是开放的。当这些债务得到偿付时，另一组（i，j）管道打开，等等。同样，虽然我们假设所有“积极”银行的总产能都相同，等于1，但分析很容易扩展到不同的利率（如果监管机构认为对某些付款进行优先排序很重要）。请注意，尽管连续时间模型的动态将发生变化，但如果所有付款的比例相同，则清算向量将相同。当然，如果支付比例的要求发生变化，那么不仅会改变连续时间模型的动态，还会改变清算向量。下一个观察结果是，由于不可逆性，并非所有银行都能在T之前离开群J+（0）*, 我们可以粗略估计T*≤ maxibi。如果总容量从1变为m，那么T*将更改为T*/m、 让我们讨论以下潜在的问题：xi有多少额外资金≥ 应为每个（或某些）银行提供0以避免所有违约？请注意，未付债务的总和，即Pi∈Jki，ki=bi- pi（T*) 可以大大超过X=Pi∈Jxi。让我们考虑以下机制。更改J（T）中所有银行的初始现金头寸*)从cito ci=ci+ki，再次运行连续时间模型。直观地看，很明显并且可以证明，通过这些新的初始头寸，所有债务都将得到偿还，并且这些银行中的一些最终可能会有正现金头寸ci（T*).

直觉是清楚的，可以证明如果现在所有银行的初始现金头寸*)已从cito c更改*i=ci+xi，其中xi=ki- ci（T*), e、 例如，由中央银行或aprivate财团，那么所有这些银行都将以零现金头寸结束，但同时全额偿还债务。显然是0≤ xi≤ ki。这个问题还与“实际违约”与“临时违约”之间的区别有关。7.2多重到期在最近的一篇论文中，Kusnetov和Veraart（2019）分析了多重到期的情况。我们的模型允许一个简单的扩展来包含这种可能性。假设有一个时间刻度[0+∞) 每家银行的债务可能有不同的到期日，即所有负债都有额外的到期时间（盖章）bij（tk），k=1，2。。。，镍。Asin Kusnetsov和Veraart（2019），我们从所有银行的两个到期日开始，短期和长期，t<t。我们修改我们的模型如下。银行系统的所有参数都是“加倍的”，有一个额外的指数1或2，比如bi（s）=Pjbij（s），s=1，2。所有银行都有两种类型的油箱，基本型（1）和休眠型（2），两种现金头寸ci（s），s=1，2，以及两种类型的进出管道，也标记为短（1）和长（2）。银行i的休眠罐代表一个只能从长时间开始使用的账户，该账户从其他对银行i有短期负债的银行积累资金。所有“短”管道都指向短罐，所有“长”管道都指向长罐。为了修改容量，我们必须引入两个新的公理。第一个类似于toKusnetsov和Veraart（2019），源自英国破产规则的要求是：所有到期日不同的债务在相同的债务类别内享有相同的优先权。

引入第二种不同于Kusnetsov和Veraart（2019）的假设可能是合理的，即“根据破产规则进行清算的银行不再存在，即使清算人收回足够的资产以充分补偿所有债权人，也无法收回。”具体而言，可以要求所有“短期破产”的银行必须从外部银行借入固定利息的资金，以支付短期债务，前提是他们从其他银行的长期债务将允许他们在长期内避免破产。这将允许我们将分析扩展到具有多重成熟度的环境。7.3清除方程作为Bellman最优性方程在我们的连续时间模型中，我们使用马尔可夫链的数学技术来分析确定性动力系统中解的多重性。事实上，艾森伯格和诺伊问题与马尔可夫链理论中的一些经典问题之间有着更深层的关系。清除方程（1）与许多使用Bellman优化的应用程序中使用的非线性方程v=max（c+Qv，b），（14）非常相似。大多数线性模型，例如具有额外约束的lontief闭合和开放模型将满足（14）。考虑具有转移矩阵Q的马尔可夫链的最优停止的经典问题，其中观察链的决策者在每个时刻都有两个选择，要么继续，要么停止（Puterman，2014）。在这种情况下，Bellman（最优性）原则采用方程（14）的形式，其中向量v=（vi）是值函数，即，如果马尔可夫链从状态i开始，则v是所有可能停止时间内的最大可能预期回报，c=（c，…，cn）是由状态i中的当前回报Ci组成的向量，b=（b，…，bn）是终端回报向量，其中，BI是马尔可夫链在状态i停止时的最终报酬。

请注意，在Bellman方程中，取最大值而不是最小值，并使用直矩阵Q而不是转换矩阵。Sonin（1999，2006）提出了一种简单的递归算法，即状态消除算法，用于求解Bellman方程（14），并对其进行了修改，以计算Sonin（2008）中的经典和广义Gittins指数。Kabanov、Mokbel和El-Bitar（2018）讨论了theEisenberg和Noe基本方程（1）与（14）定义的最优停止问题之间的关系。8结论在本文中，我们建立了金融网络清算的连续时间模型。该方法为Eisenberg和Noe（2001）提出的经典静态财务清算模型提供了直观、简单的递归解决方案。同样的方法为解决涉及线性系统和最大-最小操作的非线性方程提供了有用的工具，类似于马尔可夫链最优停止的Bellman方程和其他优化问题。允许财政拮据的银行在没有任何流动性注入或担保的情况下以最大可用速度偿还债务，将产生一个巨大的支付向量。我们的结果表明，至少在理论上，如果同时支付的解决机制设置正确，那么在财务困境的情况下，就不需要进行详细的监管。另一方面，我们的模型提供了一个方便的工具来研究中央机构的最优策略，以最小化一些银行倒闭引发的潜在传染效应。最后，我们的方法允许将瞬间“拉伸”到有限的时间间隔，从而在财务困难时解决同时或几乎同时支付的问题。参考Acemoglu、Daron、Asuman Ozdaglar和Alireza Tahbaz Salehi。2015

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我们知道，通常J（t）组在时间上是变化的，可以增加、减少、变为空集并再次出现。当k=1，ui=1时，对于所有i，正如我们在第4.2小节中所解释的，在组J第一次出现时，该组成员J的出局率值，vj=uj<1。假设此语句在状态间隔上为truek、 k>0。和前面一样，我们跳过进一步的指示到k，表示ui，k=ui，k=, Tk=T，Tk+1=T。我们表示状态更改之前的其他向量、坐标、分区元素和矩阵，即在区间上k、 当J=J0时，变化后的值为J=J0，k+1等。我们表示区间上平衡方程的解kas（vi）和间隔k+1as（wi）。因此，我们的归纳陈述是0<vi<1，i∈ J、 我们的目标是证明vi≥ wifor all i公司∈ J、 当br（T）=0或cr（T）=0时，在Tk=T时刻发生状态变化，其中∈ J+∪ J、 如果br（T）=0表示r∈ J+，这意味着零组保持不变，但如果银行r是零组的发起人，则前一个输入向量（ei）可以减少。然后根据引理5.1的（c）点，平衡方程的新解只能严格减少。更困难的情况是r的cr（T）=0∈ J+和whenbr（T）=0表示r∈ J、 在第一种情况下，J=J∪ r、 如果| J |=m，新系统有m+1个变量，值ur=1变为（额外未知）值wr。在第二种情况下，新的平衡系统只有m- 1变量。我们只证明了第一个病例，第二个病例可以以类似的方式处理。对于包括第一种情况在内的以下情况，我们考虑更一般（稍微）的陈述：假设我们有两个分区：初始P=（J+，J，J*), 使得正组有一个子集lw，ni<1，i∈ L和新分区P=（J+=J+\\L，J=J∪ 五十、 J*).引理A1.1。

在上述假设下，设vi=nibe分区P的平衡系统解，wi=nibe分区P的平衡系统解。然后vi≥ wifor all i公司∈ J、 和ni≥ nifor all i.启发式证明如下。当L中的银行被归类为正值时，其出超率等于1，即最大可能出超率；当它们作为零组的成员包含时，零组的输入向量会减少，并且由于所有义务都是相同的，因此，新零组中的输入率（输出率）会降低。那么所有的纽因利率都更低。严格证明的技术难点在于，我们必须比较两个大小不同的平衡系统的解。只有当| L |=1时，才有必要考虑这种情况。设L={r}，nr<1。证据J=J的wi平衡系统（7）∪ r、 iswi=ei+Xj∈Jwjqji+wrqri，i∈ J、 wr=er+Xj∈Jwjqjr，（A1），其中ei=Pj∈（J+\\r）qji=Pj∈J+qji- qri=ei- Q和er=Pj∈J+qjr=er。vi、i系统∈ Jis：vi=ei+Pj∈Jvjqji。我们可以重写此系统，使其类似于（A1），使用人工变量vr=1，等式ei=ei- qriand er=年代：vi=ei+Xj∈Jvjqji+vrqri，i∈ J1=vr=er+ar+Xj∈Jvjqjr，（A2），其中ar=1- （er+Pj∈Jvjqjr）。我们知道这个系统有一个解vi<1，i∈J、 vr=1。现在我们要比较系统（A1）和（A2）的解，以显示vi≥ wi，i∈ （J）∪ r） 和wr<1。要使用引理5.1的点（c），我们只需要显示ar≡ 1.- （Pj∈J+qjr+Pj∈Jvjqjr）>0。我们假设nr=nr（T-) < 1、丁腈橡胶（T-) =Pj公司∈J+qjr+Pj∈Jvjqjr=1- ar<1，因此ar>0。然后，利用引理5.1的点（c），我们得到了vi≥ wifor all i公司∈ Jand表示1>wr，即所有i的wi<1∈ J

由于正组中的输出率保持不变，而新零组（包括新成员r）中的输出率较低，则全入率较低。第二种情况，当br（T）=0时，r∈ J、 而新的平衡系统只有较小的变量可以得到类似的证明。因此，我们证明了定理1的（b）部分，或者等价地证明了输入速率和输出速率的单调性。A2大爆炸效应如果此时集合J（0）不为空，则初始时刻t=0是例外情况。原因如下。如果在时间t=0时，所有银行都有正现金，然后ui（t）=1，对于所有银行，在某个区间[0，t]，其中时刻是其中一家银行偿还债务或其现金头寸达到零水平的第一个时刻。之后，我们可以应用单调性属性，即（b）部分定理1。然而，如果在timezero有一些零银行，那么非正式地说，就会出现第二十二条军规。如果某些零银行的输入利率超过一，则在t=0时，应将其归类为正。这意味着在“零点后的下一刻”，它们立即变为正值。等价地，对于这些银行，余额率di（0）>0，或等价地ci（t）t=0>0。按钮通过解方程（7）找到所有银行的输入利率，我们需要知道哪些银行为正，哪些银行为零。在某些情况下，例如在我们的示例1中，只有一家银行的初始现金等于零，并且输入利率不止一个，很容易将这家银行重新归类为正。如果有两个或两个以上的零银行，那么重新分类就不那么容易了。规避此问题的一种方法如下。假设所有零组在零动量之前收到一个小的正值ε，然后在小的“探测”时间间隔内= [0，tm），具有ε阶长度，我们在第4小节中分析了一个常规情况。

然后在这段时间内，每个最初为零的银行都将“揭示”其真实状态：“真正为零”的银行的现金价值，其余额率di（t）为负值，很快在一系列收盘时刻达到零水平。。。，tm，m可能等于零。“真正积极”的银行将在小区间（0，tm）保持积极，并至少在更遥远的时刻保持积极。这意味着在很短的时间间隔内，我们可能有时刻t，t。。。，tmof faststatus会发生变化，在天猫，真实的状态会显示出来。