（B.9）与（B.8）一起使用，在回顾任何矩阵Q的定义后，这些定义立即生效（4.4）∈ MK（R）具有特征值γ和相应的特征向量v，我们有| t- te | Qv=| t-te |γv。（4.3）的任何基本解都是可逆的，矩阵表达式也是可逆的。见定理2。Coddington&Carlson第5号（【16】）。见定理2。Coddington&Carlson第8号（【16】）。迷你闪存崩溃、模型风险和最佳执行25B。命题4.2的证明。我们知道Sexc（ω），Xθjj（ω）\'s和θj（ω）’在[0，T]上都是唯一定义和连续的（见引理4.1）。推论3.1意味着Xθjj（ω）和θj（ω）是j>K（某些试剂）的连续a t t。它还提供了限制↑TXθj j，t（ω）=0，对于j>K，它仍然显示limt↑TXu，θt（ω）=0和极限↑Tθu，t（ω）∈ RK。（B.10）如上所述，一个困难是（4.1）中B的对角线条目在T处爆炸（见引理B.1）；然而，解决此问题的方法与用于分析te附近溶液行为的方法类似。首先，我们证明（4.2）（用T替换后）在T处有一个Firstkind奇点。现在sinh（τj（·））在T sinced sinh（τj（T））dt处有一个重数为1的零t=t=-rκjηj，temcosh（τj（t））t=t=-rκjηj，透射电镜。因此，存在唯一的非消失解析函数gj，使得sinh（τj（t））=（t-T）gj（T）和gj（T）=-T的一个小ne-ighborhood上的rκjηj，tem（B.11）。在T附近，可以得出（T）的条目- T）B（T）由（T）给出- T）比克（T）=（t- T）（￠ηi，根据- ηi，per）Φi（t）-rκiηi，temcosh（τi（t））gi（t）如果i=k（t- T）ηk，如果i 6=k（B.12），则根据Φi（T）（见定义4.1）。在此区域上，（4.2）s aties（t- T）˙Xut（ω）=A-1（t）（t- T）B（T）Xut（ω）。（B.13）By（B.12）和引理B.1，（B.13）在T处有一个第一类奇点。其次，我们找到了T附近（B.13）的基本解。

我们知道塔塔-1（T）=（T- T）B（T）t=t=IKby（B.11），（B.12），引理B.1。[16]的定理6.5意味着[T]上的（B.13）基本解- δ、 对于某些δ>0的情况，由q（T）| T给出- T | IK=Q（T）| T-T |。（B.14）在（B.14）中，Q是一个解析的MK（R）值函数，Q（T）=IK。此外，Q（t）对于所有t都是不可变换的∈ [T- δ、 T）。最后，我们使用我们的基本解来解（4.1）并得出证明。注意，tanh（τj（·））在T正弦tanh（τj（T））dt处也有一个重数为1的零t=t=-rκjηj，temsech（τj（t）/2）t=t=-rκjηj，透射电镜。（B.13）的任何基本解在任何地方都是可逆的。26 ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNKThere是一个唯一的非消失解析函数Hj，使得tanh（τj（t）/2）=（t- T）hj（T）（B.15）位于T的一个邻域。特别是C（t，ω）/（t）的项- T）T附近给出了yci（T，ω）（T- T）=hi（t）νi√ηi，temκi（1+νit）uiνi+（S- Si，0）+βt-Xk公司≤Kk6=iηk，perxk- xi（|ηi，per）- ηi，per）+Xk>KηK，perXθkk，t- xk公司+Xk>KηK，temθk、 t+~Wt（ω）#。（B.16）自Q（t）| t起- T |δ-1季度-1（T- δ） 也是[T]上（4.3）的基本解- δ、 T）并等于IKat T- δ、 我们可以应用参数的变化来获得xu，θt（ω）=Q（t）| t-T |δ-1季度-1（T- δ） ·“Xθ”T-δ（ω）+ZtT-δQ（T- δ） δ| s- T型|-1季度-1（s）A.-1（s）C（s，ω）ds#。（B.17）通过（B.16），（B.17），以及推论3.1，我们得到（B.10）。附录C第5节证明C。引理5.1的证明。首先观察（5.1）等效于（Kηtem- ηtem）Φ（0）>2，（C.1）定义为3.7和4.1。根据定义4.1和5.1，我们看到A现在由AIK（t）给出，1.-（￠ηtem）- ηtem）Φ（t）如果i=k-§ηtemΦ（t）如果i 6=k.（C.2）s短计算表明det A（t）=1+ηtemΦ（t）K-1.1.-（Kηtem- ηtem）Φ（t）. （C.3）（C.3）中的第一项始终至少为1。

第二项在0处非零，但在（0，T）上没有根，当且仅当（C.1）成立时。这两个观察结果都来自引理B.1。现在，（C.1）意味着Kηtem>ηtem。既然TEI是det a的z e ro，我们就必须拥有它1-（Kηtem- ηtem）Φ（te）=0。（C.4）见定理2。Coddington&Carlson第5号（【16】）。见定理2。Coddington&Carlson第8号（【16】）。事实上，在这种情况下，TEI是det A的唯一根。迷你闪存崩溃、模型风险和最佳执行27因此，引理B.1，d【det A（t）】dtt=te=-（Kηtem- ηtem）1+ηtemΦ（t）K-1˙Φ（t）t=te>0。（C.5）C、 2。引理5.2的证明。由（B.4），（C.5）和Le mma 5.1得出，f（te）=d【det A（t）】dtt=te=-（Kηtem- ηtem）1+ηtemΦ（te）K-1˙Φ（te）。（C.6）s-short计算表明，调整A（t）由[调整A（t）]ik决定=1+ηtemΦ（t）K-2.1.-[（K- 1） §ηtem- ηtem]Φ（t）如果i=kηtemΦ（t）如果i 6=k.（C.7），则得出[（adjA（t）]B（t）]ik=~ηperΦ（t）1+ηtemΦ（t）K-1个+1+ηtemΦ（t）K-2.ηperΦ（t）+rκηtemcoth（τ（t））·[（K- 1） §ηtem- ηtem]Φ（t）- 1如果i=k-§ηtemΦ（t）如果i 6=k.（C.8），则可以检查λ=-（K？ηper）- ηper）Φ（te）-rκηtemcoth（τ（te））（Kηtem- ηtem）˙Φ（te）（C.9），具有上述相应的特征向量vKas。应用（5.2）后，我们从（C.9）中得到（5.3）。回想一下引理B得出的Φ（te）>0和Φ（te）<0。1、由于te、Φ和τ不依赖于ηperorηper，我们可以确保λ6∈ Z由pertur bing提供后一个参数。如命题4.1所示，D（te）是可对角化的，v，vK公司-1可使用（C.8）进行计算。28 ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNKC。定理5.1和5的证明。2、由于我们的不确定代理是半对称的，Ci（t，ω）=Φ（t）~Wt（ω）+Φ（t）“~βt+Xk>K▄ηK，根据Xθkk，t- xk公司+Xk>KηK，temθk、 t#+Φ（t）uiν+（S- Si，0）-Xk公司≤Kk6=iηperxk- xi（￠ηper）- ηper）（C.10）对于t≤ TEB定义4.1。

为方便起见，我们引入以下确定性函数c和常数c，cK:c（t），“￠βt+Xk>K￠ηK，根据Xθkk，t- xk公司+Xk>KηK，temθk、 t#KXi=1civi，uν+（S- S1,0）-Xk公司≤Kk6=1ηperxk- x（￠ηper）- η每）。。。uKν+（S- SK，0）-Xk公司≤Kk6=Kηperxk- xK（|ηper）- ηper）. （C.11）使用（C.10），我们得到C（t，ω）=Wt（ω）Φ（t）vK+C（t）Φ（t）vK+Φ（t）KXi=1civi。（C.12）由（C.7），{v，…，vK}是adj[A（t）]的特征基。此外1+ηtemΦ（t）K-2.1.-（Kηtem- ηtem）Φ（t）（C.13）是对应于v，…，的特征值，vK公司-1，而1+ηtemΦ（t）K-1（C.14）将池塘与vK对齐。函数c由推论3.1确定。迷你闪存崩溃、模型风险和最佳执行29By（B.9），得出kxj=1Fj（t，ω）vj=[P（t）]-1adj[A（t）]C（t，ω）f（t）=Wt（ω）Φ（t）1+ηtemΦ（t）K-1f（t）[P（t）]-1vK+Φ（t）1+ηtemΦ（t）K-1（c（t）+cK）f（t）[P（t）]-1vK+Φ（t）1+ηtemΦ（t）K-2.1.-（Kηtem- ηtem）Φ（t）f（t）·K-1Xi=1ci[P（t）]-1六。（C.15）因此，我们可以找到解析确定性函数Fj，1和Fj，2如Fj（t，ω），~Wt（ω）Fj，1（t）+Fj，2（t）（C.16）对于每个j∈ {1，…，K}。由于P（te）=IK（见命题4.1），（C.6）和Remark5.2进一步暗示Fj，1（te）=Fj，2（te）=······=FK-1,1（te）=FK-1,2（te）=0（C.17）和fk，1（te）=-Φ（te）˙Φ（te）>0和FK，2（te）=-Φ（te）˙Φ（te）（c（te）+cK）。（C.18）当FK，1（te）>0时，确定FK，2（te）的符号通常很困难，因为它依赖于C（te）+cK的符号（见（C.11））。我们从（C.16）和（C.17）中看到，表达式fj（s，ω）| s- te |（C.19）在Tef附近有界，对于每个j<K和几乎每个ω∈~Ohm. 特别是双方的协调-1Xj=1yj（ω）-中兴通讯-ρFj（s，ω）| s- te | dsP（t）vjan及其时间导数也在s uchω附近有界。由于P（te）=IK，P（t）vkt的vK坐标终止于1 t↑ te。当j<K时，P（t）vkt的vj坐标终止为0，即t↑ te。

在每种情况下，我们还可以通过推论3.1.30 ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNKLipschitz在收敛上的界，得到c在[0，te]上连续可微的结论。由于（4.4）和（C.16），Xu，θ坐标内可能发生爆炸t（ω）用imt表征↑te“| t- te |λyK（ω）-中兴通讯-ρИWs（ω）FK，1（s）+FK，2（s）| s- te | 1+λds！#。（C.20）规范，{|（C.20）|<+∞} <==>限制↑teXu，θt（ω）存在于RK中{（C.20）=+∞} <==>限制↑teXu，θt（ω）=[+∞, . . . , +∞]{（C.20）=-∞} <==>限制↑teXu，θt（ω）=[-∞, . . . , -∞]. （C.21）为了完成证明，我们分别考虑λ<0和λ>0情况。λ<0情况。假设λ<0。这就是限制↑特泽特-ρWs（ω）FK，1（s）|s- te | 1+λds<∞ 和限制↑特泽特-ρ| FK，2（s）| s- te | 1+λds<∞.显然，limt↑te | t- te |λ=+∞,意义That（yK（ω）- 限制↑特泽特-ρFK，2（s）| s- te | 1+λds>极限↑特泽特-ρИWs（ω）FK，1（s）| s- te | 1+λds）（C.22）==>限制↑teXu，θt（ω）=[+∞, . . . , +∞]和（yK（ω）- 限制↑特泽特-ρFK，2（s）| s- te | 1+λds<极限↑特泽特-ρИWs（ω）FK，1（s）| s- te | 1+λds）（C.23）==>限制↑teXu，θt（ω）=[-∞, . . . , -∞]正如我们对（C.19）的讨论一样，我们发现（C.22）和（C.23）中的假设也暗示限制↑teθu，t（ω）=[+∞, . . . , +∞]和限制↑teθu，t（ω）=[-∞, . . . , -∞],分别地以全职员工为条件-ρ、 （C.22）（和C.23）中不等式的RHS是确定的。由于FK，1（te）>0（见（C.18）），我们完成了定理5.1的证明。λ>0情况。假设λ>0。我们可以找到一个常数R（ω），使得yK（ω）-中兴通讯-ρИWs（ω）FK，1（s）+FK，2（s）| s- te | 1+λds≤R（ω）| t- te |λ。

（C.24）特别是θu的坐标，t（ω）将以| t的速率渐近爆炸- te公司|-λ-1.MINI-FLASH崩溃、模型风险和最佳执行31因此，（C.20）有界为t↑ teandlimt公司↑teXu，θt（ω）存在于我们之前的评论中。通过我们对（C.19）的讨论，我们看到θu坐标下的爆炸，t（ω）用imt表征↑te“-λ| t- te |λ-1yK（ω）-中兴通讯-ρИWs（ω）FK，1（s）+FK，2（s）| s- te | 1+λds！-Wt（ω）FK，1（t）+FK，2（t）| t- te |！#。（C.25）更准确地说，{（C.25）=+∞} <==>限制↑teθu，t（ω）=[+∞, . . . , +∞]{（C.25）=-∞} <==>限制↑teθu，t（ω）=[-∞, . . . , -∞]. （C.26）具有启发性的是，我们首先重写了（C.25）asFK，2（t）λ| t中的表达式- te |λ-1中兴通讯-ρ| s- te | 1+λds-|t型- te |！+λ| t-te |λ-1中兴通讯-ρFK，2（s）- FK，2（t）| s- te | 1+λds- λ| t-te |λ-1yK（ω）+Wt（ω）FK，1（t）λ| t- te |λ-1中兴通讯-ρ| s- te | 1+λds-|t型- te |！+λ| t-te |λ-1中兴通讯-ρИWs（ω）[FK，1（s）- FK，1（t）]| s- te | 1+λds+λt-te |λ-1FK，1（t）中兴通讯-ρИWs（ω）-Wt（ω）| s- te | 1+λds（C.27）让Rand Rbe确定FK，1和FK，2的Lipschitz系数。（C.27）的前两行是确定性的，我们可以得到以下界限：FK，2（t）λ| t- te |λ-1中兴通讯-ρ| s- te | 1+λds-|t型- te |！≤|FK，2（t）| | t- te |λ-1ρλλ| t- te |λ-1中兴通讯-ρFK，2（s）- FK，2（t）| s- te | 1+λds≤λR1- λρ1-λ| t- te |λ-1.- 1.在（C.27）中，第三行是以▄Fte为条件的确定性行-ρ. （C.27）中的第4-6行是以▄Fte为随机条件的-ρ. 设R（ω）为Wt（ω）关于32 ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNK- ρ、 te]，我们注意到Wt（ω）FK，1（t）λ| t- te |λ-1中兴通讯-ρ| s- te | 1+λds-|t型- te |！≤FK，1（t）Wt（ω）|t型- te |λ-1ρλλ| t- te |λ-1中兴通讯-ρИWs（ω）[FK，1（s）- FK，1（t）]| s- te | 1+λds≤λRR（ω）1- λρ1-λ| t- te |λ-1.- 1..当λ>1时，我们可以看到（C.2 5）具有与limt相同的行为↑te“| t- te |λ-1中兴通讯-ρИWs（ω）-Wt（ω）| s- te | 1+λds#（C.28）（所有其他术语趋向于0P-a.s.）。

使用部件集成，| t- te |λ-1中兴通讯-ρИWs（ω）-Wt（ω）| s- te | 1+λds~ N0，| t- te | 2λ-2Ztte公司-ρ| s- te公司|-λλ-λρλ!ds公司. （C.29）渐近地，（C.29）中的方差增长如| t- te公司|-1as t公司↑ 完成定理5.2的证明。参考书目1。BBC新闻：调查日本股票销售错误。http://news.bbc.co.uk/2/hi/business/4512962.stm.Accessed: 2017-04-15.2. 商品期货交易委员会和证券交易委员会：关于2010年5月6日市场事件的调查结果。https://www.sec.gov/news/studies/2010/marketevents-report.pdf.A通过日期：2017-0415.3。Nanex L信用证：飞机坠毁总结报告。http://www.nanex.net/FlashCrashFinal/FlashCrashSummary.html.Accessed: 2017-04-15.4. Nanex有限责任公司：NxResearch。http://www.nanex.net/NxResearch/.访问日期：2017-04-15.5。美国证券交易委员会（Securities and Exchange Commission）：美林证券交易所（Merrill L ynch）被控交易控制失误，导致小型金融崩溃。https://www.sec.gov/news/pressrelease/2016-192.html.访问日期：2017-04-15.6。R、 Almgren和N.Chris，《清算价值，风险》，12（1999），第61-63.7页。，《投资组合交易的最佳执行》，J.Risk，3（2001），第5-40.8页。R、 Almgren和J.Lorenz，《自适应到达价格，交易》，2007（2007），第59–66.9页。R、 F.Almgren，《具有非线性影响函数和交易增强风险的最优执行》，应用。数学《金融》，10（2003），第1-18.10页。P、 Bank、H.M.Soner和M.Voss，《具有临时价格影响的对冲》，数学。财务部。经济。，11（2017），第215-239.11页。五、 Barbu，《微分方程》，Springer本科数学系列，Springer，Cham，2016年。由利维·尼古拉斯库（LiviuNicolaescu）翻译自1985年罗马尼亚原文。12.P.Cardaliaguet and d C.-A.Lehalle，《控制的平均场游戏与贸易拥挤的应用》，数学与金融经济学，12（2018），第335–363.13页。B、 I.Carlin、M.S.Lobo和S。

Viswanathan，《偶发性流动性危机：合作与掠夺性交易》，J.Finance，62（2007），第2235-2274.14页。\'A.Cartea、S.Jaimungal和D.Kinzebulatov，《算法交易与学习》，Int.J.理论应用。《金融》，19（2016），第1650028页。迷你闪存崩溃、模型风险和最佳执行3315。P、 Casgra in和S.Jaimungal，《部分信息算法交易：平均场游戏法》，ArXiv e-prints，（2018年）。16.E.A.Coddington和R.Ca R lson，《线性常微分方程》，工业和应用数学学会（SIAM），宾夕法尼亚州费城，1997.17。K、 Colaneri、Z.Eksi、R.Frey和M。斯奥尔延伊，我该卖还是等？《部分信息价格影响下的最优清算》，ArXiv e-prints，（2016年）。18.D.Dick，《错误燃烧》，CFA Institute Magazine，24（2013），第20–21.19页。D、 Easley、M.M.L\'opez de Prado和M.O\'Hara，《高频世界中的流动毒性和流动性》，修订版。财务部。螺柱。，25（2012），第1457.20页。D、 Easley、M.M.L'opez de Prado和M.OHara，《金融崩溃的微观结构：流动毒性、流动性崩溃和知情交易的概率》，J.Portfolio Management。，37（2011），第118-128.21页。E、 Ekstrom–om和J.Vaicenavicius，《漂移不确定性下资产的最优清算》，暹罗J.金融数学。，7（2016），第357–381.22页。M、 Farrell，Mini-flash崩溃：一天十几次。http://money.cnn.com/2013/03/20/investing/mini-flash-crash/.Accessed: 2017-04-15.23. 五、 菲利莫诺夫（Filimonov）和D.Sornette（D.Sornette），《量化金融市场的流动性：预测金融崩溃》，Phys。修订版。E、 ，85（2012），第056108.24页。R、 Frey，A.Gabih，an d R.Wunderlich，《部分信息下的投资组合优化与专家意见》，Int.J.Theor。应用程序。《金融》，15（2012），第125009.25页。N、 G^arleanu和L.H.Pedersen，《具有可预测回报和交易成本的动态交易》，J。

《金融》，68（2013），第2309-2340.26页。R、 Gayduk和S.Nadtochiy，《交易频率的流动性影响》，数学。《金融》（即将出版）。27.A.Golub、J.Keane、A和S.-H.Poon，《高频交易和小型金融崩溃》，ArXive prints，（2012年）。28.J.Huang和J.Wang，《流动性和市场崩溃》，修订版。财务部。《螺柱》，22（2009），第2607–2643.29页。N、 I.Ismail和L.Mnyanda，pound ba Frees交易员的闪电崩盘，算法受到谴责。https://www.bloomberg.com/news/articles/2016-10-06/pound-plunges-6-1-percent-in-biggest-drop-since-brexit-result.Accessed: 2017-04-15.30. S、 J.Leal、M.Napoletano、A.Roventini和G.Fagiolo，《全天候摇滚：基于管理的低频和高频交易模型》，J.Evol。经济。，26（2016），第49-76.31页。N、 Johnson，G.Zhao，E.Hunsader，H.Qi，N.Johnson，J.Men G和B.Tivnan，《超越人类响应时间的新机器生态学的突然兴起》，Sci。Rep.，3（2013），第1-7.32页。A、 Joulin、A.Lefevre、D.Grunberg和J.-P.Bouchaud，《股价上涨：新闻和数量扮演次要角色》，Wilmott杂志，2008年9月/10月，第1-7.33页。A、 A.Kirilenko、A.S.Kyle、M.Samadi和T.Tuzun，《金融危机：电子市场中的高频交易》，J.Finance，（即将出版）。R.S.Liptser和A.N.Shiryaev，《随机过程统计》。一、 《数学应用》（纽约）第5卷，施普林格·维拉格，柏林，扩充版，2001年。《一般理论》，由A.B.Aries于1974年翻译自俄罗斯原著，《随机建模与应用概率》。SEC表示，股票暴跌通常是由人为失误造成的。https://www.bloomberg.com/news/articles/2013-06-18/sudden-stock-crashes-mostly-show-human-error-sec-s-berman-says.Accessed: 2017-04-15.36. F、 Passerini和S.E.Vazquez，《阿尔法预测的最优交易》，ArXiv E-prints，（2015年）。37、J.A.Scheinkman和W。

熊，过度自信与投机泡沫，J.Poli。经济。，111（2003），第1183-1220.38页。W、 Walter，《普通微分方程》，第182卷《数学研究生课本》，斯普林格·维拉格，纽约，1998年。由罗素·汤普森（RussellThompson）翻译的第六版德语（1996），数学阅读。密歇根大学数学系，密歇根州安娜堡48109电子邮件地址：erhan@umich.eduDepartment密歇根州安阿伯市密歇根大学数学系48109电子邮件地址：amunk@umich.edu