迷你闪存崩溃、模型风险和最佳执行

2022-5-31 21:02:01

MINI-FLASH崩溃、模型风险和最佳执行人Han BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNKAbstract。经常被引用的小型金融崩溃的原因包括人为错误、内生反馈循环、现代流动性供给的性质。我们开发了一个数学模型，它捕获了这些解释的各个方面。我们的框架中展示了近期小型车祸的经验特征。例如，存在不会发生此类事件的时段。如果他们这样做了，即使是在刚开始之前，市场参与者也可能不确定会出现中断。我们的小型金融崩溃可以在低交易量和高交易量环境中实现，并可能伴随着部分同步以提交订单。我们没有采用经典的平衡方法，而是借用了最优执行文献中的思想。我们的每一位代理人都从自己的交易如何影响价格以及在他不在的情况下价格将如何变动的信念开始。然后，他们与其他市场参与者一起提交订单，并在公共场所执行。自然，这会使我们明确区分价格的实际演变和代理商的意见。特别是，每个代理人的信念都是明显错误的。概述在2010年5月6日的剧烈市场动荡中，臭名昭著的闪电崩盘，“就在不久前，300多种证券中的20000多笔交易的价格与其价值相差60%以上。此外，其中许多交易的价格都是一便士或更低，或高达100000美元，然后这些证券的价格才恢复到“危机前”的水平”（[2]）。今天，这一特殊事件因其非凡的故事而令人难忘。事实上，较小版本的Flash崩溃或迷你Flash崩溃经常发生。传闻证据表明，每天可能有十几个以上的人（[22]）。

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2022-5-31 21:02:04

一项严格的实证分析发现，从2006年到2011年，股价出现了“18520次持续时间小于1500ms的崩盘和尖峰”（[31]）。Nanex LLC“NXRearch”网站上的详尽文档也提供了进一步的佐证（[4]）。为什么会出现这种现象？已经提出了几个答案。大致上，大多数指向人为错误、内生反馈循环、现代流动性的本质2010年数学学科分类。初级91G80；辅助60H30、60H10、34M35。关键词和短语。飞机坠毁，模型错误，最佳执行。Erhan Bayraktar得到了国家科学基金会DMS-1613170拨款和Susan M.Smith教授职位的支持。亚历山大·芒克得到了拉克汉姆博士前奖学金的支持。我们非常感谢E.Jerome Benveniste、Charles-Albert LeHalle、Sebastian Jaimungal以及德菲内蒂风险研讨会（由博科尼大学和米兰大学联合举办）、路易斯数学经济学和金融研讨会、密歇根大学金融/精算数学研讨会和菲尔德研究所定量金融研讨会的参与者，为他们的宝贵建议。2 ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNKprovision。这些想法可以被视为不同的方式来合理化现代市场中如何出现极端（本地或全球）供需错位。我们的贡献是开发了一个模型来捕捉这一点。我们的模型a也似乎展示了历史上的迷你们火山岩的特征。例如，在某些时期，极端的价格波动不会表现出来。如果他们这样做，公司的交易量可能会很高，也可能很低。一些市场参与者可能会在小型金融崩盘期间部分同步交易。

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2022-5-31 21:02:07

我们的代理人可能不知道一场小规模的金融危机即将开始，甚至在它发生之前。我们的结果似乎也与直觉预期一致。例如，如果我们的一些代理人对其最初的信念太不确定，对价格动态的理解不准确，更新模型和目标的速度慢，或者愿意接受风险，那么我们的小型金融崩溃就可能开始。我们从有限的单风险资产交易群体开始构建模型，每个人都必须根据自己的喜好、信仰和观察来决定如何行动。我们的规格来自价格影响和最佳执行文献中的想法，并在第3.1-3.2节中给出。我们设想，我们的代理商的订单被提交到一个单独的场所，在那里，它们与其他（未建模）市场参与者的交易一起执行。这自然促使我们明确区分风险资产价格的实际波动方式和我们的代理人对其未来演变的信念（见第3.3节）。由于我们认为我们的代理同时解决他们自己的最优执行问题，因此我们避免了某些强烈的假设，如果我们使用经典的基于均衡的方法，这些假设是隐含需要的。我们使用了与[12，15]类似的框架，因为我们的参与者与世界其他地区的互动（除了彼此之外）是由价格影响模型给出的。另一个结果是，我们准确地描述了代理人信念中的错误。潜在地，每个年龄段的人都会对自己的交易如何影响价格以及在他缺席的情况下价格如何变动的问题产生误解。据我们所知，这种通用设置应用程序是一种新的范例，用于在最佳执行和小型崩溃的环境中建模异构代理系统。我们准备开始详细介绍我们的工作。

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2022-5-31 21:02:10

我们在第2节中重点介绍了关键的背景材料和我们的论文在这方面的贡献。第3部分描述了我们的代理人及其信仰。我们在第3.3节中描述了风险资产性质的正确动态。当我们的代理人按照第3节的规定行事，但价格实际按照第3节的规定变动时，动态系统的一般分析。3第4节重新给出。使用第4节中的材料，我们获得了5中不确定因素半对称时的微小碰撞的明确表征。第6节给出了说明我们主要结果的数值例子。我们的较长证明包含在附录A C.2中。背景与贡献在本节中，我们将阐明我们的贡献，并解释它们是如何融入当前文献的。我们已经提到，关于小型飞机坠毁原因的现有理论可分为五类（见第1节）。以下是进一步的细节。i）人为失误（以及相关的风险管理不当）是最常见的小型车祸原因之一（[29]、[35]、[5]）。美国证券交易委员会（SEC）声称，事实上，大多数小型金融机构的崩溃都源自此类来源（[35]）。当我们在媒体上看到肥佬交易、流氓算法或小故障时，通常是人为错误间接造成的。例如，由于东京证券交易所（Tokyo Stock Exchange）系统中的bugMINI FLASH崩溃、模型风险和最佳执行3，以及瑞穗证券提交的交易中的拼写错误，招聘机构J-Com的股价在几分钟内从67.2万欧元跌至2005年12月8日的57.2万欧元（[1]）。ii）小型车祸可能由正反馈回路的快速内部形成引起（[3]、[31]、[23]、[29]、[28]、[30]）。正如Johnson等人。

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2022-5-31 21:02:13

换言之，“不同年龄段的nts人群经常集中在同一个策略上，同时以相同的订单类型活跃市场，从而产生频繁的极端价格变化事件”（[31]）。一项关于2010年5月6日闪电崩盘的单独实证研究明确指出，在其峰值，“95%的交易是由于内生触发效应”（[23]）。iii）现代市场中流动性供给的性质被认为会导致一些小型流动性崩溃（[33]、[20]、[18]、[27]、[32]、[26]、[19]）。如今，大部分流动性是由不受正式市场准入限制的参与者提供的（[18]）。特别是，他们可以在某个地点即时查看订单的一面或另一面。当买卖价差扩大时，或者当市场订单（任何规模）撕破几乎空空如也的限价订单集合时，可以直接出现迷你们型的Crash。这种现象一直在影响流动性，并可能导致2006-201年间38%的小型金融崩溃的发生1（[27]）。这一拟议的解释与一个重要的实证观察结果紧密交织在一起：小型金融崩溃发生在高交易量和低交易量两种情况下。例如，2012年11月27日，“WisdomTreeLargeCap”成长基金30年代的迷你泡沫崩盘期间的交易量几乎是该证券日均交易量的八倍（[5]）。Florescuet al.o的实证研究提供了大量证据，表明小型金融崩溃也经常发生在交易量较低的时期。我们工作中反映的（i）、（ii）和（iii）方面。例如，人因失误理论的产生有以下几种方式：a）每个代理人都认为轻微的皮疹是无效事件。

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2022-5-31 21:02:17

相反，在某些情况下，几乎肯定会发生这种情况（见定理ms 5.1和5.2）。b）每个代理人都认为其交易通过特定的临时和永久价格影响系数影响价格（见第3.1节）。他对这些参数的估计可能是错误的（见第3.3节）。c）每个代理人的交易也可能通过诱使其他人做出不同的决策来间接影响价格（见第3.2节和第3.3节）。我们的年龄nts没有模拟这种潜在影响（见第3.1节）。更一般而言，即使我们在与其他非特定市场参与者的交易中有单独的代理人，其基本价值模型中的参数也可能不准确（见第3.1节和第3.3节）。d）在我们的时间范围内，没有代理人修改其信念、可接受策略或目标的一般类别（见第3.1节-第3.2节）。在某些情况下，如果这段时间相当短，则不会发生小型金融崩溃，但如果这段时间太长，则会发生小型金融崩溃（se eLemmas 4.2 a和5.1）。e）每个代理人都厌恶其头寸的明显波动性风险（见第3.2节）。在某些情况下，当我们的代理人充分应对这些风险时，不会出现小规模的崩溃；否则，将有一个（见引理4.2和5.1）。f）每个代理都有机会根据其观察结果更新其价格模型中的漂移参数（见第3.1节）。在某些情况下，由于我们的代理人很容易被说服修改他们的先验知识，因此会发生一场小规模的崩溃（见引理4.2和5.1）。g）每个代理人都有一个模型，说明交易的临时影响如何影响价格（s e e第3.1节）。在某些情况下，如果我们的代理人充分低估了ag gregate临时影响的作用，就会出现小规模的崩溃。否则不会发生此类干扰。

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2022-5-31 21:02:20

我们的代理可能更容易以这种方式引发小规模的崩溃，因为它们有很多（见引理4.2和5.1）。请注意，我们代理的一些人为错误直接导致了小型飞机坠毁，但并非全部（见第4.2条）。我们在图1-3中强调了这一观察结果。间接地说，偶尔没有发生小型车祸也符合（i）。尽管在整个市场基础上，这些干扰是正常的，但个别证券可能很少经历这种情况。同样，交易员的模型和策略在大多数情况下都大致实现了他们的预期目标，我们也观察到了这一点（见命题4.2）。本文介绍了内生反馈环路理论的几个关键思想。例如，如果确实发生了小规模的金融崩溃，几乎可以肯定是因为“内源性触发效应”具体而言，当我们的一些代理以越来越快的速度进行买卖时，我们的小型金融崩溃就会出现，这只是因为他们开始交易的速度更快（见第3.3节和引理4.1）。正如这一理论所预测的那样，我们的一些代理人在小型金融危机期间也“趋同于同一战略”：在某些情况下，推动这些事件的年龄段都与相同（爆炸性）增长率同时买入或卖出（s e e定理5.1和5.2）。图5、8和11以图形方式说明了这种部分同步。我们没有在我们的框架中明确建模流动性提供者，因为我们认为我们的代理将市场订单提交给单一场所（见第3.3节）。从某种意义上讲，我们仍然认为我们的论文反映了（iii），因为我们的小爆发可能伴随着高交易量和低交易量（见推论3.1和定理5.1和5.2）。图4、6、7、9、10和12.3显示了这一点。

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mingdashike22

2022-5-31 21:02:23

代理和执行价格在本节中，我们描述了我们的代理及其各自的最优执行问题。本节结束时，我们将介绍“真实”执行价格。3.1。代理的模型。我们的代理人通过从特定类别的可接受策略中最佳选择交易对象来进行连续交易。为了激励我们对他们的选择和目标的规定，我们首先确定了他们的模型和信念。在时间t提交的所有交易将立即以SEXT的价格执行。在每个时间t，每个代理都会观察到正确的Sexct值。然而，没有一个特工知道随机过程的真实动态。在我们的框架中，代理j∈ {1，····，N}的模型是指不进行自营交易的风险资产，t=Sj，0+βjt+Wj，t，t∈ [0，T]，（3.1）其中，Wjis为维纳过程，βjis为正态分布，平均ujand方差νjj与维纳过程无关。（在下文中，我们将为代理人j的概率度量写下PJJ。）该漂移项表示代理人j认为由于（其他）机构投资者的交易而产生的价格压力。Agentj使用BrownianMINI FLASH崩溃、模型风险和最优执行5项来近似未知或噪声交易者的平均行为。如果νj>0，那么我们称Agent j为不确定Agent。如果νj=0，那么我们称Agentj为某个代理。不管他在这件事上是肯定的还是不确定的，我们很快就会看到j特工在很多事情上都是肯定的，e。g、他不会改变[0，T]上模型、目标或可接受策略的形式。从这个角度来看，人们可能会部分将我们关于小型金融崩溃的研究与基于过度自信投资者的长期金融泡沫的预测联系起来（[37]）。直观地说，当N较大而t较短时，代理j选择（3.1）最有意义。

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2022-5-31 21:02:26

请注意，代理j没有试图准确估计其他市场参与者的数量，也没有试图准确估计他们的个人目标或信念。他认为这样做并不能提高（3.1）的预测准确性，这似乎表明交易者的数量足够大。再加上真实的浮沙波动率是非常数的事实，（3.1）似乎只在短期内可能是合理的。设Ajbe为Funfj的空间，t-适应过程θjof交易速度，使得θj，·（ω）在[0，t]上连续，对于Pj几乎可以肯定，EPj“ZTθj，tdt#<∞, （3.2）和xj+ZTθj，tdt=0 Pj- a、 s.（3.3）对于任何θj∈ Aj，我们表示byXθjj，t=xj+Ztθj，sds，（3.4）代理库存。代理将电子执行价格建模为Sexcj，θj，由excj，θj，t=Sunfj，t+ηj，perZtθj，sds+ηj，temθj，t，t给出∈ [0，T]。（3.5）Agent j在时间t=0之前选择了确定性正常数ηj，perandηj，temin（3.5）。代理人j可以被视为考虑了他自己对Almgren Chriss简化模型执行价格的影响（[7]、[6]、[9]）。ηj，perwould表示代理人j对其永久价格影响参数的估计，而他将用ηj，tem近似其临时价格影响参数。3.2。每个代理的优化问题。代理人j的目标是最大化以下目标函数：EPj“-ZTθj，tSexcj，θj，tdt-κjZTXθjj，tdt#。（3.6）这一经常使用的标准平衡了其实现的交易收入和与延迟清算相关的风险。Agent j根据自己的偏好选择确定性风险规避参数κj>0。让我们表示τj（t），rκjηj，tem（t- t），t∈ [0，T]。（3.7）Almgren&Lorenz提供了有关（3.1）（[8]）解释的更多详细信息。

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mingdashike22

2022-5-31 21:02:30

我们工作的一个可能扩展可以用最优交易问题文献中考虑的最新模型之一来代替（3.1），该模型具有学习方面（[8]、[21]、[14]、[25]、[36]、[24]、[17]）。6 ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNKLemma 3.1。（3.6）具有唯一的优化器θj∈ 几乎可以肯定。当ω∈ Ohmjis的选择使得Wj，·（ω）在[0，T]，Xθ上是连续的jj（ω）满足线性ODEθj、 t（ω）=-rκjηj，temcoth（τj（t））Xθjj，t（ω）+tanh（τj（t）/2）huj+νjSunfj，t（ω）- Sj，0我√ηj，temκj1+νjt, t型∈ （0，T）Xθjj，0（ω）=xj。（3.8）证明。见App endix A.1。备注3.1。（3.8）中的第一项来自我们的规定，即代理人j必须在终止时间前清算（见（3.3））。事实上，权重因子-rκjηj，temcoth（τj（t））倾向于-∞ 作为t↑ T从直觉上看，Agent j相信Xθjj，tandθj、特雷梅因岩（t）↑ T是Xθjj，t迅速降到零。代理人j认为，随着时间的推移，他了解到了βj的实现值，这是自Epjhβj以来（3.8）中的第二项Funfj，ti=uj+νjSunfj，t- Sj，01+νjtPj- a、 s.（3.9）（[34]）。系数tanh（τj（t）/2）√ηj，temκjis以1为界/√ηj，temκjand随着t趋于零↑ T第二项可能减弱或放大第一项的影响。代理人j认为，加权事实反映了他清算的需要最终必须压倒他通过向风险资产漂移的方向交易来获利的愿望。引理3.1中的一个即时观察是对某些试剂的以下观察，我们将其记录为一个推论，以便于参考。推论3.1。如果νj=0，则XθJJD不依赖于Sunfj。特别是，它是确定的，满足线性常微分方程θj、 t=-rκjηj，temcoth（τj（t））Xθjj，t+ujtanh（τj（t）/2）√ηj，temκj，t∈ （0，T）Xθjj，0=xj。(3.10)3.3. 执行价格。现在我们来详细说明性行为是如何演变的。

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大多数88

2022-5-31 21:02:33

虽然每个代理都服务于此过程的相同实现路径，但一般来说，没有代理知道正确的动态。经纪人的交易决定完全取决于他对性行为单一实现路径的信念、偏好和观察。有一个简单的例子，这是不正确的。如果N=1，|β=β，ν=0，|η1，tem=η1，tem和|η1，per=η1，per，我们的l-one代理模型将完全正确。迷你闪存崩溃、模型风险和最佳执行7Let~Ohm,~F，n▄Fto0≤t型≤T、 P是一个满足一般条件的过滤概率空间。空间在P下有一个▄Ft维纳过程，我们用▄W表示。我们还有以下确定的实常数：△β，S，△η1，per，ηN，per，和▄η1，tem，ИηN，瞬变电磁波。β可以是任意的；然而，剩下的常数是绝对正的。实际执行价格Sexcunder▄P是▄Ft适应过程SEXct=S+▄βt+NXi=1▄ηi，根据Xθii，t- xi+NXi=1？ηi，temθi、 t+~重量，t∈ [0，T]。（3.11）方程（3.11）可以看作是Almgren-Chriss模型的多智能体扩展（[7]、[6]、[9]）。这种形式的模型，特别是当|ηj，tem（|ηj，per）都相同时，甚至可以应用于掠夺性交易的情况下（[13]）。另一方面，[12，15]考虑一个平均场博弈模型，在该模型中，参与者之间的互动是通过价格来实现的。虽然这两篇论文都讨论了模型中的延迟和学习问题，但对代理模型的错误描述是我们框架中的一个重要元素。此外，我们的代理不互相观察，也不知道对方的参数。

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2022-5-31 21:02:38

事实上，在我们的最终玩家设置中，他们甚至不知道玩家的数量。在下面的内容中，我们会说，如果性倾向于+∞ 或-∞ 在我们的时间范围内。参数？ηj，per和？ηj，Tem分别是代理人j的个人和临时价格影响参数的正确值。我们允许这些量与代理j的相应估计ηj，perandηj，tem具有任意关系。例如，代理人j可能低估了他的永久影响（ηj，per<ηj，per），但完美地估计了他的速度影响（ηj，tem=°ηj，tem）。类似地，Agent j针对correctdrift▄β的先验βj可能是准确的或严重错误的。比较我们对Sexcj、θjin（3.5）和Sexcin（3.11）的描述，我们发现Agent j代表（3.11）中的每个术语，如下所示：ηj，根据Xθjj，t- xj公司←→ §ηj，根据Xθjj，t- xj公司ηj，temθj、 t型←→Иηj，temθj、 tSj，0+βjt+Wj，t←→ S+￠βt+Xi6=j￠ηi，根据Xθii，t- xi+Xi6=jηi，temθi、 t+~Wt.4。动态系统分析当我们的代理实施他们认为是最优的策略（见Lemma3.1），但超过（3.11）中的动态时，会发生什么？第4节的目的是为这个问题提供一些一般答案。为了简化我们的演示，我们通过引入和分析其他符号（参见定义4.1和引理b.1）来简化演示。我们发现，我们公司的存货和交易率根据特定的ODE系统和s-to-Castic系数变化（见引理4.1）。在某些条件下，系统可能具有奇点（se eLemma 4.2）。为方便起见，我们研究当该奇点为第一类时会发生什么（见命题4.1）。我们还研究了不存在奇点的情况（命题4.2）。我们将有一个均匀的混合确定性和随机地图。在下面的内容中，wealways明确指出ω依赖性以区分两者。

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2022-5-31 21:02:41

我们的方程8 ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNKare按路径求解，因此我们不会遇到概率集中。我们将xω∈~Ohm使得▄W·（ω）有一条连续的路径。定义4.1。确定地图Φi:[0，T]-→ RA：[0，T]-→ MK（R）B：[0，T）-→ MK（R）C（·，ω）：[0，T]-→ RKbyΦi（t），tanh（τi（t）/2）νi√ηi，temκi（1+νit）Aik（t），1.-（￠ηi，tem- ηi，tem）Φi（t）如果i=k-如果i 6=kBik（t），则ηk，temΦi（t），（￠ηi，根据- ηi，per）Φi（t）-rκiηi，temcoth（τi（t）），如果i=kηk，每Φi（t），如果i 6=kCi（t，ω），Φi（t）uiνi+（S- Si，0）+βt-Xk公司≤Kk6=iηk，perxk- xi（|ηi，per）- ηi，per）+Xk>KηK，perXθkk，t- xk公司+Xk>KηK，temθk、 t+~Wt（ω）#。这里，我∈ {1，…，K}是不确定的代理，我们将描述其行为。已经描述了某些代理人的行为。他们不受执行价格的影响，但对执行价格有影响。注意，我们现在可以将（3.8）中的动力学写成θj、 t（ω）=-rκjηj，temcoth（τj（t））Xθjj，t（ω）+Φj（t）“ujνj+Sunfj，t（ω）- Sj，0#当代理j不确定时。定义4.2。当det A在[0，T]上有根时，我们让tedenote取最小的根（见引理B.1）。引理4.1。假设det A在[0，T]上有根。如果te>0，那么Sexc（ω），theXθjj（ω）\'s和θj（ω）’在[0，te]上都是唯一定义和连续的。此外，不确定主体的策略以a（t）θu为特征，t（ω）=B（t）Xu，θt（ω）+C（t，ω），t∈ （0，te）Xu，θ（ω） =xu，（4.1），其中θu，t（ω）表示θ的第一个K项t（ω）。当det A在[0，T]上没有根时，在用T替换Te后，相同的语句仍然有效。证据见附录endix B.1。MINI-FLASH崩溃、模型风险和最佳执行9Lemma 4.1没有解决我们的不确定代理的发明家和交易率的行为↑ 或t↑ T

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可人4

2022-5-31 21:02:44

困难在于A在te处不可逆，而leb的条目在T处爆炸（见引理B.1）。解决这些问题的方法已经很成熟（见【16】第6章）。当n det A在[0，T]上有根且te>0时，我们讨论了关键点。分析B在T处爆炸的影响类似（见命题4.2）。我们首先考虑对应于（4.1）的齐次方程：A（t）˙Xut（ω）=B（t）Xut（ω），t∈ （0，te）Xu（ω）=Xu。（4.2）我们更改了符号，以强调（4.2）不再描述不确定代理的最优策略。我们接下来以更方便的形式编写（4.2）。引理4.2。假设det A在[0，T]上有根，te>0。在te附近，满足（4.2）的解决方案（t- te）m+1˙Xut（ω）=D（t）Xut（ω）。（4.3）在（4.3）中，m是一个非负整数，使得det a在teis（m+1）处的零的重数。D是一个特殊的解析图，其D（te）的秩为0或1（见（B.5））。证据见附录endix B.2。定义4.3。让我们用λ表示上述引理中D（te）的唯一非零特征值。提案4.1。假设det A在[0，T]上有根，te>0，m=0。如果λ6∈ Z、对于一些sm，所有ρ>0，Xu，θt（ω）=P（t）K-1Xj=1yj（ω）-中兴通讯-ρFj（s，ω）| s- te | dsvj+| t- te |λyK（ω）-中兴通讯-ρFK（s，ω）| s- te | 1+λds！对于t，vK#（4.4）∈ （te）- ρ、 te）。这里，o{v，…，vK}是D（te）（vK对应于λ）的本征基；oP是[te]上的（非奇异）矩阵值解析函数- ρ、 te]这样p（te）=IK（见（B.6））；o{y（ω），…，yK（ω）}是常数（s ee（B.9））；o和{F（·，ω），…，FK（·，ω）}是[te]上的连续实值函数- ρ、 te]（见（B.9））。我们得到θu，（ω）（te）上的Sexc（ω）- ρ、 te）通过微分（4.4）和替代xθ（ω）和θ（ω）分别为（3.11）。证据见附录endix B.3。提案4.2。假设det A在[0，T]上没有根。

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2022-5-31 21:02:47

然后是Sexc（ω），theXθjj（ω）\'s和θj（ω）’在[0，T]上都是唯一定义和连续的。此外，limt↑TXθt（ω）=0。（4.5）备注4.1。每个代理人都相信他的最终发明家y几乎肯定是零（见（3.3））。提案4.2 sp e ci规定了代理人在本法规中有效纠正的条件。10 ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNKProof。见附录endix B.4。5、半对称某些代理的闪存崩溃的明确特征在本节中，我们彻底分析了一类广泛但易于处理的场景。这将使我们能够从理论上和数值上研究小型车祸的发生。我们规定，我们的代理参数中的不确定性是相同的，除了它们的初始库存xj、它们的初始漂移先验均值uj以及它们对基本价格的初始估计Sj，0。这种年龄是完全对称的，所以我们称之为半对称的。定义5.1。我们说我们的不确定代理是半对称的，当有正常数▄ηtem，ηtem，▄ηper，ηper，ν和κ时，每个∈ {1，…，K}▄ηi，tem=▄ηtem，ηi，tem=ηtem，▄ηper=▄ηi，per，ηi，per=ηper，νi=ν，κi=κ。因为τj和Φj对于r j是相同的≤ K（见定义3.7、4.1和5.1）。分别用τ和Φ表示这些函数。定义5.1意味着A的诊断条目与有效诊断条目相同。B也是如此（见定义4.1）。这种简化可以减少计算det a、λ和D（te）特征基的难度（见（C.3）和引理5.2）。xj、uj和Sj、0只在C中输入，C的结构也很好（参见（C.13））。5.1。后果引理5.1。假设不确定代理是半对称的。那么det A在[0，T]上有aroot且te>0当且仅当ν（K|ηtem- ηtem）tanhTrκηtem√ηtemκ>2。

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2022-5-31 21:02:51

（5.1）在这种情况下，det A（·）在多重数1的TEI处的零。备注5.1。通过每次改变（5.1）中的一个参数，我们可以获得第2节中讨论的以下解释：i）（5.1）在ν较高时成立。由于ν是不确定代理漂移先验的方差，我们在第2节中得到（f）。ii）（5.1）在（Kηtem）时保持- ηtem）高。一个给定的不确定主体相信自己的临时冲击参数是ηtem，而不确定主体诱导的实际集体临时冲击参数是Kηtem。然后（Kηtem- 当每个不确定因素严重低估其自身的暂时影响或存在许多不确定因素时，ηtem）很大，给出（g）第2类。iii）（5.1）在T高时保持。因为[0，T]是我们的时间轴，所以我们得到了第2个方程中的（d）。请注意，T必须足够小，以使我们的代理的建模原理能够成立（见第3节）；然而，T在这里不必太大，因为Tanhre的值达到其上确界的95%[0，∞) 对于大于1.8的参数。当κ较低时，迷你闪存崩溃、模型风险和最佳执行11iv）（5.1）成立。我们在第2节得出结论（e），因为κ衡量我们的不确定代理人对波动性风险的厌恶程度（见第3.2节）。观察（C.1）中LHS的分子和分母大致如下√小κ的κ；然而，当κ较大时，整个LHS看起来像1/√k sinc e tanh在[0]上以1为界，∞).证据见附录endix C.1。备注5.2。如（C.4）中所观察到的，当det A在[0，T]上有根时，我们有Φ（te）=Kηtem- ηtem。（5.2）没有代理人会考虑计算TES，因为他们都认为小型飞机坠毁是所有事件；然而，（5.2）特别清楚地表明，他们无论如何都不能这样做。引理5.2。

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2022-5-31 21:02:54

假设不确定代理是半对称的，（5.1）成立。然后λ=rκηtemcoth（τ（te））- 2.K？ηper- ηperKηtem- ηtem（Kηtem- ηtem）˙Φ（te）（5.3），相应的特征向量为vK=[1，…，1]. 如有必要，通过稍微扰动|ηperand/或ηper，我们可以确保λ6∈ Z、在这种情况下，D（te）是可对角化的，D（te）的特征基中的剩余向量（所有特征值均为零）为v=[-1, 1, 0, . . . , 0], . . . , vK公司-1= [-1, 0, . . . , 0, 1].备注5.3。（5.3）中的所有参数都决定了det A是否在[0，T]上有根（见引理5.1），除了￠ηperandηper之外。它们还固定了te的值（见备注5.2）。因此，为了解释（5.3），我们只考虑￠ηperan和ηper的r值。这些参数输入（5.3）viaKηper- ηperKηtem- ηtem。（5.4）直观地说，（5.4）可以看作是两项的比率：分子衡量的是给定的不确定主体对其自身永久影响的估计与不确定主体的实际集体永久影响之间的距离。根据引理5.1，分母必须为正，它是临时影响的相应度量。有人可能会说（5.4）是一个错误率。由于引理B.1的˙Φ（te）<0，只有当（5.4）足够高时，λ才是正的。在不确定代理人的总永久影响和单个不确定代理人对其自身永久影响的估计过于接近或超过累积永久影响时，我们得出λ<0。更精确地说，{λ>0}<==>rκηtemcoth（τ（te））（Kηtem- ηtem）<Kηper- ηper{λ < 0} <==>rκηtemcoth（τ（te））（Kηtem- ηtem）>Kηper- ηper. （5.5）小型飞机失事是否伴随着高或低载量，取决于（5.5）中的不等式（见定理5.1和5.2以及第2、6.2和6.3节）。证据见附录endix C.2。12 ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNKTheorem 5.1。

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2022-5-31 21:02:57

假设不确定代理是半对称的，（5.1）成立。假设λ6∈ Z和λ<0（见引理5.2）。将ρ、yK（ω）和FK（·，ω）定义为命题4.1。然后（yK（ω）>limt↑特泽特-ρFK（s，ω）| s- te | 1+λds）（5.6）==>限制↑teXu，θt（ω）=极限↑teθu，t（ω）=[+∞, . . . , +∞], 限制↑TESEXT（ω）=+∞和（yK（ω）<limt↑特泽特-ρFK（s，ω）| s- te | 1+λds）（5.7）==>限制↑teXu，θt（ω）=极限↑teθu，t（ω）=[-∞, . . . , -∞], 限制↑TESEXT（ω）=-∞.此外，i）（5.6）和（5.7）中的积分极限存在并且是有限的。ii）（5.6）或（5.7）中的任何一个在te处保持▄P-a.s.iii）- ρ、事件（5.6）和（5.7）都具有正的▄P-概率；然而，如果我们让ρ↓ 0、备注5.4。由于P（te）=IK（见命题4.1），（B.9）和引理5.2意味着，当不确定因素持有重要的、类似的多头头寸时，yk（ω）将较大且为正。如果不确定因素进行实质性的、类似规模的短期头寸，则yK（ω）将是高量级的，但为负。因此，当不确定的代理是同步的攻击性买家时，Sexc（ω）的峰值更有可能出现，而当他们是系统化的重卖家时，崩溃的几率会增加。这些影响起着决定性的作用↑ te，因为（5.6）和（5.7）中的积分限值是有限的。尽管如此，由于我们如何分解FK（见（C.16）），基本价格中的大波动可能会使小型金融崩溃的方向在不久之前变得不明确（见图9）。证据见附录endix C.3。定理5.2。假设不确定代理是半对称的，（5.1）成立。假设tλ6∈ Z和λ>0（见引理5.2）。然后▄P-a.s.，限制↑teXθ在RN中存在t（ω）。如果θu的任何坐标，t（ω）爆炸，然后Sexct（ω）和θu的所有坐标，t（ω）沿同一方向爆炸。

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2022-5-31 21:03:00

例如，当λ>1时，（limt↑te“| t- te |λ-1中兴通讯-ρИWs（ω）-Wt（ω）| s- te | 1+λds#=+∞)(5.8)==>限制↑teθu，t（ω）=[+∞, . . . , +∞], 限制↑TESEXT（ω）=+∞迷你闪存崩溃、模型风险和最佳执行13和（limt↑te“| t- te |λ-1中兴通讯-ρИWs（ω）-Wt（ω）| s- te | 1+λds#=-∞)(5.9)==>限制↑teθu，t（ω）=[-∞, . . . , -∞], 限制↑TESEXT（ω）=-∞.此外，i）（5.8）或（5.9）中的任何一个在te处保持▄P-a.s.ii）- ρ、事件（5.8）和（5.9）都具有正的▄P-概率；然而，如果我们让ρ↓ 0、备注5.5。关于λ，我们没有做出严格的声明∈ （0，1）案例。大多数第5.2条的证明仍然有效（见附录C.3）；然而，当λ>1时，最终估计特别方便（见（C.27）-（C.29））。第5.2条的总体目的只是为了说明在交通量较低的环境中可能会发生小型车祸（见第2节）。然而，我们怀疑当λ∈ （0，1），例如，参见第6节。2和（C.27）-（C.29）。证据见附录endix C.3。数字说明6.1。示例1：无小碰撞。我们的小型车祸并不总是发生（见引理4.2和5.1）。在第6.1节中，我们通过数值模拟ascenario来说明这一点，其中det A在[0，T]上没有根。通过引理5.1和（C.3），我们知道det A在[0，T]上是非Vanishing的当且仅当（Kηtem- ηtem）Φ（0）<2。（6.1）满足（6.1）要求的一个参数选择为=3，K=2，T=1，S=100，§β=1，§ηtem=1，ηtem=0.75，§ηper=1，ηper=1，ν=2，κ=5，x=2，x=-2, u= 15, u= -10，S1,0=100，S2,0=100，￠η3，tem=1，η3，tem=1，￠η3，per=1，u=-3，ν=2，κ=5，x=2。（6.2）事实上，（6.1）的LHS等于1.1095。

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2022-5-31 21:03:03

注意，无需指定η3、Per和S3,0，因为它们是不相关的（见推论3.1、定义4.1和引理4.1）。同样，我们的目的只是说明性的，我们将复制一个具有实际意义的场景留给未来的工作。由于K=2和N=3，我们在明图中有两个不确定因素和一个确定因素。我们用U1、U2、a和C1标记相应的曲线。例如，标签U 1将点燃第一个不确定代理1的数量。在图1和图2中，我们绘制了库存和交易率。执行价格如图3所示。这些图表展示了我们根据理论结果所期望的所有重要品质。以下是几个关键特征：i）所有代理在终端时间T前平仓（见（4.5）和图1）。ii）Sexc（ω），Xθjj（ω）\'s和θj（ω）’在[0，T]上都是连续的（见命题4.2和图1-3）。14 ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNK0 0.2 0.4 0.6 0.8 1t-4-2U1 U2 C1图1。第6.1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1t-10-5U1 U2 C1节对代理人发明人ie的描述见图2。第6.1节对代理人交易利率的描述。iii）不确定代理人的交易率似乎表现出布朗成分（参见引理3.1和图2）。iv）某些代理人的交易率在[0，T]上似乎平稳（见推论3.1和图2）。v）代理人无需在整个[0，T]期间严格购买或严格出售（见图2）。vi）即使如此，代理商可能会决定在整个[0，T]期间严格购买或严格出售（见图2）。vii）不确定代理人的交易利率似乎不同步（见图2）。6.2. 例2：交易量较低的金融危机。我们的小型金融崩溃可能伴随着低交易量（见定理5.2）。

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2022-5-31 21:03:06

在第6.2节中，我们通过研究det a在[0，T]上有根的具体场景来实现这一点；te>0；det A在多重数1的teis处的零；λ 6∈ Zλ>0。xθ的行为jj（ω）’的特征是推论3.1和定理5.2。定理5.2将严格描述Sexct（ω）和θj、 t（ω）\'s作为t↑ te，如果λ>1。为了提高绘图质量，我们考虑λ∈ （0，1）（见Remar k 5.5）。迷你闪存崩溃、模型风险和最佳执行150 0.2 0.4 0.6 0.8 1图3。第6.1.0 0.1 0.2 0.3t-5U1 U2 C1节对执行价格的描述见图4。第6.2节对代理人发明人ie的描述。根据引理5.1和5.2，我们必须选择满足（5.1）和λ的参数=rκηtemcoth（τ（te））- 2.K？ηper- ηperKηtem- ηtem（Kηtem- ηtem）˙Φ（te）（6.3）为正非整数。我们可以保持（6.2）中的大多数选择不变，只做一些修改：△ηtem=0.5，ηtem=0.2，△ηper=0.8，ηper=0.025，ν=3，κ=1。（6.4）如第6.1节所述，我们认为k不能复制特定的历史情况。Weimmetly得到（5.1），因为它的LHS是4.330 2。使用备注5.2和（6.3），我们可以显示te=0.2691和λ=0.5939。同样，我们有两个不确定的代理和一个确定的代理。我们保留了第6.1节中的{U1，U2，C1}标记系统。库存、交易价格和执行价格如图4-6所示。为了便于说明，我们将图5-6中的时域截断为0, 0.75te公司- 10-6.和0，te- 10-6.分别用于左图和右图。16 ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNK0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25t-10U1 U2 C10 0.1 0.2 0.3t-200U1 U2 C10图5。第6.2.0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25t0 0.1 0.2 0.3节中对代理人交易利率的描述图6。

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2022-5-31 21:03:11

第6.2节对执行价格的描述。我们根据定理5.2和备注5.5所体验到的性质都是存在的。我们在第6.1节中提供了一些适用的评论，因此我们仅在此添加了一些新的观察结果。i）所有代理商的库存接近一个固定限额↑ te（见定理5.2和图4）。ii）执行价格和不确定代理人的交易风险随着↑ te（见定理5.2，备注5.5和图5-6）。iii）不确定代理人的交易利率同步↑ te（见定理5.2、备注5.5和图5）。iv）Sexc（ω）将发生爆炸，并且随着t↑ te；然而，一开始并不一定清楚（见定理5.2、备注5.5和图6）。6.3。示例3：交易量高的小型金融崩溃。我们的小型金融崩溃也可能伴随着高交易量（见定理5.1）。我们在第6.3节中通过模拟det a在[0，T]上有根的情况来说明这一点；te>0；det A在多重数1的teis处的零；λ 6∈ Zλ<0。Sexc（ω）的bε，Xθjj（ω）\'s和θj（ω）’由推论3.1和Theo-rem 5.1描述。迷你闪存崩溃、模型风险和最佳执行17我们特别希望强调随机爆炸方向，并通过两种方式实现这一点。首先，我们选择相同的确定性参数来创建图7-12。不同之处在于，图7-9中使用了一种W·的实现，而图10-12中使用了另一种。我们用ωUp和ωdn表示相应的ω，因为前者和后者的图中分别存在尖峰和铬灰。其次，图7-9本身表明爆炸方向是随机的。这在图8-9中尤其如此，因为我们最初注意到，随着不确定年龄段的nts购买率同步，价格迅速上涨。

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大多数88

2022-5-31 21:03:14

就在迷你们飞机坠毁前的几分钟，我们看到了价格暴跌和不确定的nts的疯狂销售。现在，我们需要选择满足（5.1）和λ的参数=rκηtemcoth（τ（te））- 2.K？ηper- ηperKηtem- ηtem（Kηtem- 由于引理5.1和5.1，ηtem）˙Φ（te）是一个负的非整数。与第6.2节相比，我们将|ηper=0.5，ηper=0.5，并保持其他参数不变。正如第6.1-6.2节所述，我们在这里没有想到一个特殊的历史例子。由于我们只改变了ηper和ηper，所以（Kηtem）的值- ηtem）Φ（0）和tedo不受第6.2节的影响；然而，λ现在为负：（Kηtem- ηtem）Φ（0）=4.3302，te=0.2691，λ=-0.4531.不确定因素和确定因素的数量仍然是两个和一个，尤其是。我们还保留了第6.1-6.2节中的{U1，u2，C1}标记系统。图7和图10描述了代理商的库存。我们在图8和图11中绘制了年龄nts的交易率。执行价格如图9和图12所示。为了帮助我们进行可视化，图7-9和图10-12中左图中的时域被截断为0, 0.94te公司- 10-6.和0, 0.75te公司- 10-6., 分别地我们对图7-12的观察结果与推论3.1和定理5.1一致。

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可人4

2022-5-31 21:03:17

我们已经注意到了第6.1和6.2节中的许多重要方面，只对新的细节进行了评论。i）执行价格，以及代理商库存和交易中的不确定性，都朝着与t相同的方向爆炸↑ te（见定理5.1和图7-12）。ii）爆炸发生在确定时间te（见定理5.1和图7-12）。iii）爆炸方向取决于ω∈~Ohm （见定理5.1和图7-12）。iv）在te之前，无法完全确定爆炸方向（见定理5.1和图7-12）。v）第6.2节中的价格爆炸率和不确定代理人交易率低于第6.3节（见图s 5-6、图8-9和图11-12）。我们之前没有明确说明这一点；然而，这是可以预期的，因为交易率在第6.2节中是可积的，但在第6.3.18节中不是可积的，即ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNK0 0.1 0.2 0.3t-4-2U1 U2 C10 0.1 0.2 0.3t-600-400-200U1 U2 c1图7。第6.3.0 0.1 0.2 0.3t-10-5U1 U2 C10 0.1 0.2 0.3t-3-2-1U1 U2 c1图8中对ωdN代理商库存的描述。第6.3.0 0.1 0.2 0.3t0 0.1 0.2 0.3t0 0.1 0.2 0.3t-15-10-5节中对ωD代理交易率的描述图9。第6.3节描述了ωdN的执行价格。迷你闪存崩溃、模型风险和最佳执行190 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25t-5U1 U2 C10 0.1 0.2 0.3t-500U1 U2 C10图10。第6.3.0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25t-20U1 U2 C10 0.1 0.2 0.3t-2U1 U2 C10图11描述了ωUp的代理商库存。第6.3.0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25t0 0.1 0.2 0.3t0.51.52.5节中对ωUp的代理加载速率的描述图12。第6.3.20节ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNK7中对ωUp执行价格的描述。

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可人4

2022-5-31 21:03:20

结论在本文中，我们展示了当代理人根据错误的模型学习并做出决策时，小型车祸是如何发生的。我们给出了发生小型金融崩盘的必要和充分的条件，并观察到，如果代理i）对其先前的信息过于不确定ii）严重低估了总体临时影响iii）交易周期长siv）风险厌恶程度低，则会发生小型金融崩盘。我们的数值部分有三个主要的例子来说明我们的三个主要结果。在第一个示例中，我们发现并非所有人为错误都会直接导致迷你们型cra-shesillustrating命题4.2。尽管在整个市场范围内，人为错误是经常发生的，但个人安全可能很少经历此类事件。同样，交易者的模型和策略在大多数情况下都大致实现了他们的预期目标，因为这在真实市场中是有用的。另外两个例子是关于小型飞机失事的性质。如果确实发生小型飞机失事，几乎可以肯定是因为“内在触发效应”根据定理5.1和5.2的预测，我们的一些公司在小型金融危机期间也“趋同于相同的战略”：在某些情况下，推动这些事件的代理商都以相同的（爆炸式）增长率进行买卖。这两个定理和举例说明它们是为了证明小型金融崩溃可能伴随着高交易量和低交易量。附录A第3节证明A。引理3.1的证明。步骤1：表示通常的Pj对fnfj的增强，为0≤t型≤TbynFunfj，to0≤t型≤T、设▄aj为▄Funfj，T-渐进可测过程θjsuch的空间，其（3.2）和（3.3）保持不变。我们再次定义了任何策略θj的过程Xθjjby（3.4）∈Aj。代理j的辅助问题是最大化EEPJ“-ZTθj，tSexcj，θj，tdt-κjZTXθjj，tθj上的dt#（A.1）∈Aj。

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2022-5-31 21:03:25

不难证明EPJHβjFunfj，ti=EPjhβjFunfj，tiPj- a、 s.（a.2）第2步：通过（3.5）和（3.4），-ZTθj，tSexcj，θj，tdt=-ZTθj、tSunfj、tdt-ZTθj，tηj，perXθjj，t- xj公司+ηj，temθj，tθj的dt∈Aj。【34】第7.4节和（3.1）节暗示该过程Wj，t0≤t型≤TwithWj，t，Sunfj，t- Sj，0-ZtEPjhβjFunfj，sidsis an Funfj，PjandSunfj下的t-Wiener过程，t=Sj，0+ZtEPjhβjFunfj、sids+Wj、t.（A.3）迷你闪存崩溃、模型风险和最佳执行21按部件集成并召回（3.4）和（A.3），我们得到了EPJ“-ZTθj，tSunfj，tdt#=EPj“-Xθjj，TSunfj，T+ZTXθjj，tEPjhβjFunfj，tidt#+xjSj，0。我们还有EPJ“-ZTθj，tηj，perXθjj，t- xj公司+ηj，temθj，tdt#=EPj“-ηj，perXθjj，T- xj公司-ηj，temZTθj，tdt#。现在Xθjj，T=0 Pj-a.s.根据步骤1中的定义。由于xj、Sj、0和Sunfj，t不依赖于代理j对θj的选择∈Aj，（A.2）表示θjθj上的最大值（A.1）∈Ajif且仅当其最大化epj“ZTXθjj，tEPjhβjFunfj，tidt-ηj，temZTθj，tdt-κjZTXθjj，tdt#。（A.4）很明显，θjθj上的最大值（A.4）∈Ajif且仅当其最小化PJ时ZT公司Xθjj，t-EPjhβj~Funfj，tiκjdt+ηj，tem2κjZTθj，tdt. （A.5）步骤3：从（3.7）和letKj（t，s），rκjηj，tem中重新定义τj（·）sinh（τj（s））cosh（τj（t））- 1., 0≤ t型≤ s<T^βj，T，EPjκj1.-cosh（τj（t））·ZTtEPjhβjFunfj，siKj（t，s）dsFunfj，t#，t∈ （A.6）我们从[10]的定理3.2中可以看出，T（A.5）有唯一的解θj∈Aj。此外，相应的最优库存过程XθJJ表示线性ODEdXθjj，t=rκjηj，temcoth（τj（t））^βj，t- Xθjj，tdtXθjj，0=xj（A.7）dPj dt-a.s.开启Ohmj×[0，T）。利用Fubini定理和（A.2），我们得到了Epj“ZTtEPjhβjFunfj，siKj（t，s）dsFunfj，t#=EPjhβjFunfj、ti、Pj- a、 s。

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2022-5-31 21:03:29

（A.8）22 ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNKThe tanh半角公式以及（3.9）和（A.6）意味着（A.7）可以重写为θj、 t=-rκjηj，temcoth（τj（t））Xθjj，t+tanh（τj（t）/2）huj+νjSunfj，t- Sj，0我√ηj，temκj1+νjt, t型∈ （0，T）Xθjj，0=xj。（A.9）步骤4：我们知道θJSaties（3.2）和（3.3）中的所有策略都具有这些属性。现在Wj，·（ω）在[0，T]上对Pj是连续的，几乎每个ω∈ Ohmj、当选择ω时，（A.9）变为（3.8）。后者是具有连续系数的一阶线性常微分方程，所以θj、 ·（ω）在[0，T]上是连续的（例如，根据[38]的第1.2章）。由于我们的终端库存约束是确定性的，我们观察到这一限制↑Tθj、 t（ω）存在，并且在定理3的证明中是（28）和（29）的唯一形式。[10]中的2，以及步骤3中的（A.8）。特别是，我们可以查看θ的路径jon[0，T]为Pj-a.s.连续。最后，我们注意到θjis还根据[10]中第3.2项证明中的（28）和（29），（3.9）和步骤3中的（A.8）进行了调整。附录B.第4节证明经常引用定义4.1中函数的各种简单属性。为了方便起见，我们收集了下面的这些。我们将把证据留给读者。引理B.1。固定j∈ {1，…，K}。我们有如下结果：i）Φjis是[0，T]上的严格递减非负函数，Φj（T）=0。ii）A的条目在[0，T]上进行分析，A（T）=IK。iii）如果det A在[0，T]上有根，我们可以找到用te表示的最小值。在这种情况下，te<T，且det A的零位于有限重数的tei处。iv）B的条目在[0，T）butlimt上进行分析↑TBjj（t）=-∞.v） C（·，ω）的项在[0，T]上是连续的。B、 1。引理4.1的证明。让j∈ {1，…，K}。

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