后者意味着，对于每个| Ai，| Bi∈ H和Z，t∈ C、 我们有：（i）M（z | Ai+t | Bi）=zM | Ai+tM | Bi（线性）；（ii）hA | M | Bi=hB | M | Ai*（隐逸性）；（iii）M·M=M（幂等性）。恒等式操作符将每个向量映射到自身上，是一个平凡的正交投影操作符。如果包含在范围Mk（H）中的每个向量与包含在范围Ml（H）中的每个向量正交，我们说两个正交投影Mk和Ml是正交算子，我们写Mk⊥ Ml，在这种情况下。投影运算符mk和ml的正交性也可以用MkMl=0表示，其中0是空运算符。一组正交投影算子{Mk | k∈ {1，…，n}}被称为“光谱族”，如果所有投影仪都是相互正交的，即Mk⊥ 对于k 6=l，它们的和就是它们的同一性，即Pnk=1Mk=。谱族{Mk | k=1，…，n}确定了一个厄米算子^O=Pni=1okMk，其中，ok称为“O的特征值”，即方程^O | oi=ok | oi的解–满足该方程的非零向量称为“O的特征向量”。上述定义为我们阐明量子理论的第二个建模规则提供了必要的数学依据，如下所示。第二个量子建模规则：一个实体的可测量量Q——在我们的例子中是一个认知实体——由量子理论建模，并且具有一组可能的实值{Q，…，qn}由一个谱线{Mk | k=1，…，n}表示，等效地，由厄米特算子^Q=Pnk=1qkMk表示，如下所示。如果概念实体处于向量| Ai表示的状态，则获得可测量量Q的测量值qkin a的概率为hA | Mk | Ai=| Mk | Ai |。这个公式在量子术语中被称为“天生法则”。

此外，如果在测量中实际获得值qkis，则初始状态将更改为向量| Aki=Mk | Ai | | Mk | Ai | |（53）表示的状态。这种状态的更改在量子术语中称为“崩溃”。现在让我们来讨论量子概率的形式化。满足Kolmogorov公理的经典概率论与非Kolmogorovian的量子概率论之间的一个主要结构差异在于前者定义为布尔σ-事件代数，而后者定义为更一般的代数结构（Pitowsky 1989）。更具体地说，让我们用L（H）表示复希尔伯特空间H上所有正交投影算子的集合。L（H）具有完全正交补格的代数性质，但L（H）不是分配的，因此L（H）不形成σ-代数。L（H）上的“广义概率测度”是一个函数u：M∈ L（H）7-→ u（M）∈ [0，1]，使得u（）=1和u（P∞k=1Mk）=P∞k=1u（Mk），对于任何可数序列{Mk∈ L（H）| k∈ {1, 2, . . .}} 相互正交的投影运算符。在这个框架中，L（H）的元素表示“事件”。参考上述定义，“数量Q的测量得出结果qk”事件由正交投影运算符MK表示。玻恩规则在状态和广义概率测度之间建立了联系，如下所示。给定由向量Ai表示的认知实体的状态∈ 对于长度为1的H，可以将| Ai与L（H）上的广义概率度量uao关联，这样，对于每M∈ L（H），uA（M）=hA | M | Ai。广义概率测度uAis是（H）上的“量子概率测度”。

有趣的是，如果希尔伯特空间的维数大于3，则L（H）上的所有广义概率测度都可以写成函数uA（M）=hA | M | Ai，对于某些单位向量| Ai∈ H、 这是格里森定理（格里森1957）的内容。上述量子理论建模可以通过添加更多的量子规则来建模复合认知实体和更一般的认知实体测量类别来扩展。然而，目前的定义和结果足以达到本文的结果。ReferencesAerts，D.：认知中的量子结构。J、 数学。心理学。53314–348（2009）Aerts，D.，Sozzo，S.：从模糊厌恶到广义预期效用。aquantum概率框架中的建模首选项。J、 数学。心理学。74、117–127（2016）Aerts，D.、Broekaert，J.、Gabora，L.、Sozzo，S.：量子结构与人类思想。贝哈夫。脑Sci。36274–276（2013a）Aerts，D.，Gabora，L.，Sozzo，S.：概念及其动力学：人类思维的量子理论建模。顶部干邑。Sci。5737–772（2013b）Aerts，D.，Sozzo，S.，Tapia，J.：确定埃尔斯伯格悖论中的量子结构。内景J.Thero。物理。533666–3682（2014）Aerts，D.，Sozzo，S.，Veloz，T.：自然概念组合中非经典结构的新基本证据。菲洛斯。变速箱。罗伊。Soc。A 37420150095（2016）Aerts，D.，Haven，E.，Sozzo，S.：在量子概率框架中扩展预期效用的提案。经济。理论doi 10.1007/s00199-017-1051-2（2017）Allais，M.：《理性人的组成》（Le comportement de l\'homme rationnel devant Le risque）。《埃里卡因大学公理批判》。《计量经济学》21503–546（1953）Baillon，A.，l\'Haridon，O.，Placido，l.：模糊模型和机器悖论。是经济。修订版。1011547–1560（2011）Busemeyer，J.R.，Bruza，P.D.：《认知和决策的量子模型》。

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