缓解成本由f衡量，贴现支出为贴现GGDP的一部分，我们拟合模型：f（M）=f（M/M）-n、 当fB为将Mto限制在参考值M=1000 PgC的成本时：（a）参考成本f的对数，随着增长率和MAC指数的增加，其越大，但对前者更敏感；（b） 指数n越高，MAC指数越大，经济增长越小。如果MAC急剧上升且经济增长缓慢，缓解成本对累积排放目标更为敏感。缓解成本的变化可能超过一个数量级，这取决于对MAC和经济增长的假设。但第二个贡献起着越来越大的作用。据估计，MAC的上升幅度足以使被定义为GGDP一部分的支出的C省略负担预计会增加，如下等式（18）。即使在脱碳率下降的情况下，由于廉价的缓解方案已经用尽，未来几代人也必须将更大比例的GGDP用于脱碳。全球经济的快速增长增加了对后代的缓解压力，尽管在增长更高的情况下他们更富有，但他们将不得不花费GGDP的更多部分，因为有必要更快地提升MAC曲线。贴现缓解支出是累积协同排放的凸函数。从长期来看，脱碳率越高，对减少累积碳排放的益处就越小，而缓解支出的增长速度就越快。全球变暖与累积排放量大致成正比（Matthews et al.（2009）；MacDougall和Friedlingstein（2015）；麦克杜格尔（2016）；Tokarska等人。

（2016年）），而减排成本是全球变暖水平的一个凸函数，如果政策目标涉及到更大程度的全球变暖，则支出会急剧增加。由于阈值效应等非凸性损害，气候变化经济学中仍可能出现非凸性问题（Fisher和Hanemann（1993）；Lempert等人（1996年）；Keller等人（2004年））。我们通过贴现缓解支出作为贴现GDP的一部分来衡量总体成本，成本与1000 PgC以下的累积排放量之间存在近似的幂律关系，指数大大大于1。该指数主要取决于MAC中的指数。最好通过一个例子来说明含义。考虑未来累积排放量相差两倍的两种替代缓解轨迹，例如全球变暖2.0 K和1.5 K，其中来自其他力量的贡献与当前值保持不变。由于幂律指数通常大于2，更严格的轨迹将涉及至少4倍的合并成本。然而，这种说法忽视了低碳技术早期投资的益处以及对其他部门的知识溢出（Ag-hion et al.（2014）；Dechezleprêtre等人（2014年））。这里研究的优化问题寻求全球脱碳的途径，使折扣缓解费用最小化，同时满足累积碳排放的外部约束。解决它需要我们“正则化”变分问题，因为原始问题导致了一个代数Euler-Lagrange方程，其解不满足脱碳率积分的初始条件。

正则化得到了积分脱碳率初值问题形式的可解Euler-Lagrange方程。然而，该解决方案只有在缺乏外源脱碳和时间贴现的特殊情况下才具有经济意义。在存在外源脱碳的情况下，最小化贴现缓解支出的一般问题很重要，但超出了我们目前的范围。此外，对于一类受限制的扰动，该解仅为“准平稳”，在时间范围结束时也能保持完整的综合脱碳率。对于上述可溶情况，最佳解决方案的脱碳率与排放量成比例。这种解决方案的一个优点是它不依赖于MAC模型的参数。然而，如果不进行长期经济增长预测，就无法选择政策，这说明了在不确定性条件下选择气候政策的另一个困难（Roughgarden和Schneider（1999）；Pindyck（2013））。预测经济增长的难度使得累积经济框架中的政策选择不确定。例如，价格或数量工具的水平可能决定所达到的MAC头寸，但其效力无法确定，除非长期利息期内GGDP的事后平均增长率变为kn。贴现缓解支出不仅是累积排放量的函数，还取决于脱碳途径。在MAC值高得多的时期，未来需要更高脱碳率的情况下，支出更高。

我们用准静态解来说明在未来一百年内将累积排放量限制在300 PgC。虽然脱碳开始的速度很快，但目前缓解的成本很小（<GGDP的0.1%），但在100年期结束时会上升到1%或更多。对于满足这一累积排放限制的轨迹，那些目前减排负担较低的国家在未来将承担更高的负担，而目前的小节约将转化为更大的未来成本。这些结果与Vogt Sc hilb和Hallegate（2014）的工作一致，他们认为短期政策也应考虑长期目标，否则实现后者的成本会更高。累积碳核算似乎不可避免地会对后代造成更高的减排要求，但目前的选择可以缓解其中一些问题。虽然未来支出可以根据资本机会成本的商品贴现率进行贴现（Nordhaus（1993b）），但未来负担的贴现只能基于纯粹时间偏好率的正值，这反映出较低的权重被割让给子孙后代的福利。致谢这项工作得到了印度科学研究所Divecha气候变化中心的支持。感谢几位同事的有益建议。尽管在存在外源脱碳的情况下不是准平稳的，但它提供了一种涉及早期缓解的冷漠方式的原型。附录1：I的准平稳解的推导和平稳性的衰减K、 ˙K='Tft、 K，˙Kdt+λn\'Tmt、 K，˙Kdt公司- Mo，由于δK和δ˙K的微小变化，我们要求积分中的第一个变化δI为零。

变化量δI=IK+δK，˙K+δ˙K- 我K、 ˙KisδI=^TfKδK+f˙Kδ˙K+λm级KδK+m级˙Kδ˙Kdt=0（31），通过部分T积分f˙Kδ˙Kdt=f˙K（T）δK（T）-\'Tddtf˙KδKdt，使用δK（0）=0，并有一个涉及mt、 K，˙K. 这将产生δI=f˙K（T）+m级˙K（T）δK（T）+^TfK-滴滴涕f˙K+ λm级K-滴滴涕m级˙K对于任意变化δK，δKdt=0（32）。任意变化δK的子集包括δK（T）=0的变化fK-滴滴涕f˙K+λm级K-滴滴涕m级˙K必须消失。这就产生了Euler-Lagrange（E-L）方程（21），当其中一个端点（在本例中为T=T）不受问题规格的限制时，也必须满足该方程。此外，问题必须满足“自然边界条件”f˙K（T）+m级˙K（T）=0，在ord er中为平稳f或任意变化δK。读者可参考van Brunt（2004）进行一般性讨论。然而，无法找到满足上述自然边界条件的问题解决方案。因此，我们只考虑涉及δK（T）=0的变化，因此对于这些变化，方程（32）等效于E-L方程。这意味着，一旦对K（t）求解了初始条件为K（0）=0的E-L方程，该解仅为平稳解，且变化同时保持K（0）和K（t）。在这种情况下，解是“准静态”的，即仅相对于一组有限的变化δK。简并度以以下方式出现。在我们的问题中，ft、 K，˙K具有形式˙Kf（t，K）+f（t，K），因此滴滴涕f˙K=˙KfK级+f坦德fK=˙KfK级+fK、 所以fK-滴滴涕f˙K=fK-ft、 无任何涉及˙K.的条款m级K-滴滴涕m级˙Kn不会产生任何涉及˙K的项，因为m=m（K，t），我们只剩下一个代数E-L方程。当对˙K的依赖是线性的时，这种退化情况就出现了（van Brunt（2004））。

为了生成初值问题K，需要正则化。因此，我们引入了另一个对功能的贡献，即t、 K，˙K, 在第3节中。附录2：σ>0的Euler-Lagrange方程解δ=0但σ>0的考虑方程（29）˙x（t）=λuλn（t）-σβλn（t）（x（t））ν（33），其中n（t）=e-σtg（t）和扩展x（t）~=小参数σ中的x（t）+σx（t）<< 1并代入式（33）˙x（t）+σ˙x（t）~=λuλn（t）-σβλn（t）（x（t））ν1+σx（t）x（t）ν（34），σ中的常数项等于˙x（t）=λ|λn（t），x（0）=1，σ中的t度项产生˙x（t）=-βλn（t）（x（t））ν（35），x（0）=0。对x（t）=1+λuλN（t）积分0次方程，其中N（t）='tn（s）ds。那么x（t）=-\'tβλn（s）1+λuλN（s）νds，简化为x（t）=-β(ν+1)λu1+λuλN（t）ν+1- 1..λ|λN（t）<< 1我们可以进一步近似x（t）=-βλN（t），使用β=αux（t）~=1 +uλ(λ- σα）N（t）（36）事实证明，λ比σα小，因此λ- σα通常<0，σ>0时x（t）随时间递减。因此，σ>0的Euler-Lagrange解f与相关的经济最优解不对应，并且这种情况无法使用此处描述的正则化方法来解决。类似地，当δ>0时，溶液x（t）和ce K（t）随时间递减。因此，我们按照方程式（30）求解准稳态路径，但排放模型中存在σ，并影响如何达到累积排放目标。一旦对这一途径进行了估计，就会将其应用到我们的缓解支出模型中，该模型的σ和δ通常为非零。参考文献Saghion，P.、C.Hepburn、A.Teytelboym和D.Zenghelis（2014），《路径依赖、创新和气候变化经济学》，格兰瑟姆气候变化与环境研究所。Allen，M.R.和T.F。

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