一个具有两状态马尔可夫链的模型假设我们有一个状态过程Y，由一个状态空间为E={E，E}的马尔可夫链描述。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设ERE代表市场的良好（牛市）状态，而eis代表的是不良（熊市）状态。我们认为，投资者持有的资产被视为市场其他部分相应表现的信号。然后，对于市场而言，牛市和熊市之间的转换强度取决于参考“大型”投资者的资本权重。在当前设置中，我们还假设港口物流对马尔可夫链的影响是线性的，并假设最小生成元的形式q（ht）=a- bht，q（ht）=a+bht。为了保证矩阵的条目q1,2和q2,1保持为正，我们取a，a>0，b∈ （0，a/L）a和b∈ （0，a/L）。发电机的这种选择有以下动机。如果投资者买入，那么她倾向于增加市场保持（或切换到）牛市状态的可能性，前提是当前的市场状态是牛市（或熊市）。相反，当投资者卖出时，保持或跳到熊市状态的概率增加。24 S.ALTAY、K.COLANERI和Z.Eksit这一机制反映了某些现实世界的情况，例如操纵和羊群行为，这在涉及大型投资者的市场中经常被观察到。我们假设返回过程可能有两种可能的跳转大小，R∈ {-θ, +θ}.形式上，它被赋予byRt：=N-t+N+t，t∈ [0，T]，其中dn-t=ZR-θ1[-λ-（年初至今）-),0]（ζ）N（dt，dζ），dN+t=ZRθ1[0，λ+（Yt-)]（ζ） N（dt，dζ）是两个泊松过程，跳跃大小为θ，强度为λ+（ei）=λ+i，λ-（ei）=λ-i、 我∈ {1，2}，对于某些常数λ+，λ+，λ-, λ-> 0且λ+>max{λ-, λ+}和λ-> 最大{λ-, λ+}.

这种情况意味着，与熊市相比，牛市状态下的上涨强度更大。此外，在牛市状态下，更容易观察到向上跳跃，然后是向下跳跃。在本例中，我们采用泊松随机测度N（dt，dζ），其强度（dζ）dt=1[-λ-,λ+]dζdt。那么补偿器的形式为ηP（t，ei，dz）=λ+iδ{θ}（dz）+λ-iδ{-θ}（dz），其中δ{x}（dz）是点x处的狄拉克质量。注意，此处假设2.2满足-θ<ht<θ。在本节的提醒中，我们将比较完整和部分信息设置的对数和电源实用程序选择的结果。5.1。对数效用。首先，我们考虑一个拥有市场完整信息的投资者。从没有市场影响的情况开始，应用命题3.1并检查一阶和二阶条件，我们得到了最优策略h*（t，ei）=λ+i+λ-i2ρ-sλ+i+λ-i2ρ+θ- 2λ+iθρ。特别是，如果λ+i=λ-i=λi我们得到h*（t，ei）=λiρ-qλiρ+θ。最后，我们可以描述值函数asV（t，w，ei）=log（w）+Et，iZTt公司（1）- h类*（s，e））1{Ys=e}ρ+（1- h类*（s，e））1{Ys=e}ρds+ZTtZRlog（1+小时*（s，e）z）1{Ys-=e} ηP（ds，e，dz）+ZTtZRlog（1+h*（s，e）z）1{Ys-=e} ηP（ds，e，dz）.对于影响非零的情况，值函数可以表示为v（t，w，ei）=log（w）+β（t，ei），i∈ {1，2}用函数β（t，e）和β（t，e）求解大型投资者的投资组合优化25dβdt（t，e）=- suph公司∈[-五十、 L]（（1- h） ρ+（β（t，e）- β（t，e））（a- bh）+ZRlog（1+hz）ηP（t，e，dz）），dβdt（t，e）=- suph公司∈[-五十、 L]（（1- h） ρ+（β（t，e）- β（t，e））（a+bh）+ZRlog（1+hz）ηP（t，e，dz）），边界条件β（t，ei）=0，对于i={1，2}。假设投资者的信息由过滤FS提供。

根据命题4.3，在没有市场影响的情况下，最佳策略是*（t，π）=πΛ++ π∧-2ρ-sπΛ++ π∧-2ρ+θ- 2πΛ+θρ.式中（λ+）= （λ+，λ+）和类似的（λ-)= (λ-, λ-). 这是一种经典情况，在这种情况下，最优策略与完全信息下的策略具有相同的结构，在这种情况下，未观察到的成分被其过滤后的估计值所取代。值函数的随机表示由v（t，w，π）=log（w）+Et，π给出ZTt（1- h类*（s，πs））ρds+ZTtπsZRlog（1+h*（s，πs）z）ηP（s，e，dz）ds+ZTtπsZRlog（1+h*（s，πs）z）ηP（s，e，dz）ds.在部分信息情况下，值函数的形式为V（t，w，π）=log（w）+B′（t，π），其中B′（t，π）=B（t，π，（1- π） ）是HJB方程26 S.Altai、K.COLANERI和Z.EKSI0=suph的解∈[-五十、 L]B′t（t，π）+（1- h） ρ+B′π（t，π）πq（h）+（1- π） q（h）-B′ππ(1 - π)(λ++ λ-- λ+- λ-)+ (πλ++ (1 - π） λ++低g（1+hz）+（πλ-+ （1）- π)λ-) 低压（1- hz）+π（λ++λ-)B′t、 πλ+πλ++（1- π)λ+- B′（t，π）+（1）- π)(λ++ λ-)B′t、 πλ+πλ++（1- π)λ+- B′（t，π）.很难找到上述方程的显式解。一般来说，可以应用数值实验来获得价值函数和最优策略的定性行为。由于对数效用情况没有提供任何简化，因此对于数值研究，我们只考虑电力效用情况。5.2。电力公司。在电力公司的情况下，当投资者有关于市场状态的完整信息时，对优化问题的分析导致求解系统γdt（t，e）=- suph公司∈[-五十、 L]（1）- h） ρ+θeθ（γ（t，e）-γ（t，e））- 1.（a）- bh）+λ+θ（1+hθ）θ- 1.+λ-θ（1）- hθ）θ- 1.,dγdt（t，e）=- suph公司∈[-五十、 L]（1）- h） ρ+θeθ（γ（t，e）-γ（t，e））- 1.（a+bh）+λ+θ（1+hθ）θ- 1.+λ-θ（1）- hθ）θ- 1.,最终条件γ（T，e）=γ（T，e）=0。对于解决方案，我们使用以下算法。让（t，…）。

，tN）是t=0且tN=t的离散时间点序列。了解最终条件可以轻松计算控制h*Tat时间T。然后，使用反向方案，我们在tN处求解相应的ODE-1、给定tN处的值-现在我们可以计算控制h*田纳西州-1我们继续，直到t=0。在数值分析中，我们使用一组参数：T=1年，w=1，ρ=0，θ=0.02，λ+=10，λ-= 5, λ+= 5, λ-= 20, θ = 0 .5，a=5，b=-0.1，a=5，b=0。1、在图1中，我们绘制了马尔可夫链初始状态为牛市（较浅线）或熊市（较深线）且有（实线）和无（虚线）市场影响的情况下的最佳投资策略。首先，我们观察到，在所有情况下，最优策略都不会达到值{-五十、 L}对应于L=50，这意味着大型投资者的投资组合优化27始终是一个内部解决方案。其次，我们可以看到，随着时间接近成熟，有影响的情况下的最优策略会收敛到无影响的情况下的最优策略。此外，当我们比较有影响和无影响的案例时，投资者的行为非常不同。例如，考虑初始状态为牛市的情况。我们观察到，在没有影响的情况下，策略是不变的，总是积极的，这意味着投资者总是购买。另一方面，在有影响的情况下，如果到期时间很长，投资者短期卖出。这种行为可以用以下方式解释。投资者试图在马尔可夫链中产生跳跃，并利用未来普遍存在的较低价格。显然，随着成熟时间的缩短，她会改变自己的行为，因为没有足够的时间来做出这样的改变。对于最初的熊市状态，我们看到投资者总是卖空。

这对于当前的参数选择是合理的，因为平均而言，价格会下降。对于有影响力的案例，该策略更具侵略性。0 0.25 0.5 0.75 1-60-40-200204060时间（t）最优策略（h*)  公牛-带impactbear-使用impactbull-无冲击熊-无影响图1。在有（实心）和无（虚线）影响的完全信息下的最优策略：T=1年，w=1，ρ=0，θ=0.02，λ+=1 0，λ-= 5,λ+= 5, λ-= 20，θ=0.5，a=5，b=0.1，a=5，b=0。具有市场影响力的投资者的不同行为会从效用最大化中获得正收益。实际上，如图2所示，与碰撞情况相对应的值函数明显大于与无碰撞情况相对应的t软管。对应于不良状态的最优值大于初始良好状态的最优值。这是允许投资者进行短期抛售的结果，显然这也取决于我们对向上和向下跳跃强度的选择。换句话说，我们看到没有绝对的好与坏状态。假设投资者的可用信息由FS提供。请注意，对于两态马尔可夫链，我们有π+π=1，然后用π表示π，我们可以定义28 S.ALTAY、K.COLANERI和Z.EKSI0 0.25 0.5 0.75 102040608010120time（t）最优值bull-带impactbear-使用impactbull-无冲击熊-无影响图2。有（实心）和无（虚线）影响的完整信息下的最佳值：T=1年，w=1，ρ=0，θ=0.0 2，λ+=10，λ-= 5,λ+= 5, λ-= 20，θ=0.5，a=5，b=0.1，a=5，b=0。1、Γ′（t，π）：=Γ（t，π，（1）- π） ）并减少优化问题的维数。

在这种情况下，函数Γ′可以表示为HJB0=suph的解∈[-五十、 L]Γ′t（t，π）+Γ′（t，π）θ（1- h） ρ+Γ′π（t，π）πq（h）+（1- π） q（h）-Γ′ππ(1 - π)(λ++ λ-- λ+- λ-)+ (πλ++ (1 - π)λ+)（1+hθ）θΓ′t、 πλ+πλ++（1- π)λ+- Γ′（t，π）+(πλ-+ （1）- π)λ-)（1）- hθ）θΓ′t、 πλ-πλ-+ （1）- π)λ-- Γ′（t，π）.由于通常不可能找到上述最大化问题的明确解决方案，我们通过数值实验深化了分析。在部分信息的情况下，我们使用显式有限差分方法来求解相应的部分积分微分方程。为了保证方案的正性，我们对一阶导数使用前向-后向近似（例如，参见[15]）。此外，为了保证方案的收敛性，我们验证了通常的一致性和稳定性条件。与全信息情形一样，我们研究了最优策略和价值函数，得到的结果与全信息情形下的结果一致。我们在图3中观察到，受影响情况下的最优策略在接近成熟的时间价值上收敛于无影响情况下的最优策略。此外，大型投资者的投资组合优化29保留了具有n影响的投资者的有趣行为：对于最初的牛市状态，当时间远未到期时卖空，而在最初的熊市状态，策略总是更积极。0 0.25 0.5 0.75 1-50-40-30-20-100102030时间（t）最优策略（h*)  π=0.85-冲击π=0.1-冲击π=0.85-无影响π=0.1-无影响图3。

部分信息（实心）和无（虚线）影响下的最优策略：T=1年，w=1，ρ=0，θ=0.02，λ+=10，λ-= 5, λ+= 5, λ-= 2 0，θ=0.5，a=5，b=0。1，a=5，b=0.1。对于有影响的投资者来说，价值函数始终较大，见图4.0 0.25 0.5 0.75 101020340506070时间（t）最优值π=0.85-冲击π=0.1-冲击π=0.85-无影响π=0.1-无影响图4。部分信息（实心）和无（虚线）影响下的最佳值：T=1年，w=1，ρ=0，θ=0.02，λ+=1 0，λ-= 5,λ+= 5, λ-= 20，θ=0.5，a=5，b=0.1，a=5，b=0。1.30 S.ALTAY、K.COLANERI和Z.Eksi最后，我们分析了过滤的收益。为了做到这一点，我们比较了两个投资者对应的价值函数。第一种方法使用在部分信息设置中获得的最优策略，而第二种方法忽略了市场中存在两种不同的制度。相反，第二个使用平均参数λ+=λ+p+λ+（1- p） ，λ-= λ-p+λ-（1）- p） ，其中p=aa+a。在图5中，我们观察到投资者使用过滤估计值而非平均参数获得的收益始终为非负。这些优势证明了部分信息导致的额外复杂性。0 0.25 0.5 0.75 1012345678910滤波的时间（t）增益π=0.85π=0.5π=0.1图5。过滤收益：T=1年，w=1，ρ=0，θ=0.02，λ+=10，λ-= 5, λ+= 5, λ-= 20，θ=0.5，a=5，b=0.1，a=5，b=0.1.6。结论本文研究了直接影响风险资产价格的投资者的投资组合优化问题。我们通过一个可能无法观察到的有限状态马尔可夫链来表示市场情绪的状态，其生成器取决于投资者的投资组合选择。

通过这种方式，我们打算模拟大型投资者对市场其他部分的影响，这些投资者往往会模仿她的选择。我们从终端财富的角度解决了投资者在完全信息和部分信息条件下的效用最大化问题。在完全信息条件下，我们从数学角度证明，对于对数效用，不能应用逐点最大化，因为在该模型中，投资者今天的决定可能会在未来改变市场的状态。因此，我们采用动态规划方法来解决这个问题。在对数和幂效用两种情况下，我们都证明了值函数是HJB方程的唯一解，它简化为常微分方程组。大型投资者的投资组合优化31在部分信息的情况下，我们应用简化方法将原始优化问题转化为等效优化问题，其中所有状态变量都可以观察到投资者的过滤。在此设置中，无法直接解决问题。然而，我们可以将控制理论应用于分段确定性过程，并证明优化问题有解，最优值函数是HJB方程的唯一粘性解。为了更好地理解投资者的最优决策，我们在一个简单的例子中用两状态马尔可夫链进行了数值研究。有趣的是，我们发现，如果与没有影响的投资者的选择相比，对市场有影响的投资者的行为是相当不同的，并且在完全和部分信息下，这会从效用最大化中获得收益。此外，我们的模型允许投资者在恶劣的市场条件下比在良好的市场条件下获得更大的收益。

最后，在部分信息中使用过滤，而不是平均数据，会产生积极的结果，这证明了额外的复杂性。附录A.定理3.1的技术证明。这个验证定理的证明是标准的。对于第（i）部分，给出容许控制h∈ H、 设W（H）是对应于策略H的方程（2）的解。设{Tn}n≥1b是Y的跳跃时间序列，用m表示Y的跳跃度量，m（[0，t]×{ej}）：=Xn≥1{YTn=ej}{Tn≤T}。其补偿器由φ（[0，t]×{ej}）=ZtXi6=jqi，j（hs）1{Ys）给出-=ei}ds。然后Y（h）的半鞅分解由Y（h）t=Y（h）+ZtKXi，j=1（ej）给出- ei）qi，j（hs）1{Y（h）s-= ei}ds+ZtKXi，j=1（ej- ei）1Y（h）s-=ei（米- φ） （ds×{ej}），t∈ [0，T]。（29）32 S.ALTAY、K.COLANERI和Z.Ekside分别指出Υ对时间和财富的偏导数为Υ和Υw，并应用其公式，我们得到Υ（T，w（h）T，Y（h）T）=Υ（T，w，ei）+ZTtLhΥ（S，w（h）S-, Y（h）s-)ds+ZTtKXi，j=1Υ（s、W（h）s、ej）- Υ（s，W（h）s，ei）1Y（h）s-=ei公司（m）- φ） （ds×{ej}）+ZRΥs、 W（h）s-（1+hsz），Y（h）s- Υ（s，W（h）s-, Y（h）s）ν（ds，dz），（30），其中ν（dt，dz）是（3）中定义的补偿跳跃测量。由于Υ满足（5）中的HJB方程，我们得到了Υ（T，W（h）T，Y（h）T）≤ Υ（t，w，ei）+ZTtKXi，j=1Υ（s，W（h）s-, ej）-Υ（s，W（h）s-, ei）1Y（h）s-=ei公司（m）- φ） （ds×{ej}）+ZTtZRΥs、 W（h）s-（1+hsz），Y（h）s- Υ（s，W（h）s-, Y（h）s）ν（ds，dz）。通过（6）和（7），随机积分ztkxi，j=1Υ（s，W（h）s-, ej）-Υ（s，W（h）s-, ei）1Y（h）s-=ei公司（m）- φ） （ds×{ej}），t∈ [0，T]，ZtZRΥs、 W（h）s-（1+hsz），Y（h）s- Υ（s，W（h）s-, Y（h）s）ν（ds，dz），t∈ [0，T]是（F，P）-真鞅（参见，例如[20，定理26.12第2部分]）。因此，根据（30）中的预期，我们得到Υ（t，w，ei）≥ V（t、w、ei）。（31）对于第（ii）部分，如果h*是方程（5）的最大化子，我们得到表达式（31）中的等式。命题4.1的证明。

考虑函数f:E→ R、 对于每个FS-可预测控制h，使用方程（29）中Y的半鞅分解，并应用It^o的公式，我们得到df（Yt）=Q（ht）f（Yt）dt+dM（1）t，其中M（1）是（f，P）-鞅，Q表示生成器矩阵q的转置。用h表示h在σ-代数FSt上的投影，对于一些F-适应过程h={Ht，t∈ [0，T]}即eHt | FSt, 然后我们得到d[f（Yt）=Q（ht）[f（Yt）dt+dM（2）t，大型投资者的投资组合优化33，其中现在M（2）是（FS，P）-鞅。使用（FS，P）-鞅的鞅表示理论（例如，参见[20，定理A5.5]），我们可以写出[f（Yt）-[f（Y）-ZtQ公司（hs）[f（Ys）ds=Ztwπ（s，z）νπ（ds，dz），对于一些FS可预测过程wπ，使得EhRTwπ（t，z）ηP（t，ei，dz）i<∞ 对于i∈{1，…，K}，其中νπ（dt，dz）是（18）中定义的FS补偿度量。让Ut=RtRRC（s，z）u（ds，dz），对于一些FS可预测的过程C。然后我们得到了（Utf（Yt））=UtQ公司（ht）f（Yt）+ZRf（Yt-)C（t，z）ηP（t，Yt-, dz）dt+dM（3）t，对于某些（F，P）-鞅M（3）。通过预测FSt的增益，并利用U ISF适应的事实，我们得到了D（\\Utf（Yt））=Ut\\Q（ht）f（Yt）+ZRΓ（t，z）\\f（Yt-)ηP（t，Yt-, dz）dt+dM（4）t，（32），其中M（4）是（FS，P）-鞅。现在我们计算乘积Ut[f（Yt）d（\\Utf（Yt））=Ut\\Q（ht）f（Yt）+ZRΓ（t，z）wπ（t，z）πt-（ηP（dz））+ZRC（t，z）\\f（Yt-)πt-（ηP（dz））dt+dM（5）t.（33）通过等式Ut[f（Yt）=\\Utf（Yt），我们得到方程（32）end（33）中的有限变分项重合，这就得到了过程wπwπ（t，z）=dπt的表达式-（fηP）dπt-（ηP）（z）- πt-（f） ，（t，z）∈ [0，T]×R，其中dπT-（fηP）dπt-（ηP）（z）是测度πt的Radon-Nikodym导数-（fηP（dz））关于πt-（ηP（dz））。

最后选择f（Yt）=1{Yt=ei}，我们得到wπ（t，z）=πit-PKj=1πjtdηP（t，ej，z）dηP（t，ei，z）- 1，（t，z）∈ [0，T]×R，其中dηP（T，ej，z）dηP（T，ei，z）是度量ηP（T，ej，dz）相对于ηP（T，ei，dz）的Radon-Nikodym导数，从而得出方程（19）。34 S.ALTAY、K.COLANERI和Z.EKSIProof引理4.1。证明遵循[7，定理9.3.1]的相同行。设（Tn，Zn）为PDMP的跳跃时间和跳跃大小的顺序。然后我们有v{hn}=E{hn}[U（WT）]=E{hn}”∞Xn=0Tn<T<Tn+1U（重量）#=∞Xn=0E{hn}E{hn}Tn<T<Tn+1U（重量）| Tn<T，XTn∧T=∞Xn=0E{hn}hE{hn}hE-∧hnT-Tn（Ln）U（wT-Tn）iTn<Ti=E{hn}”∞Xn=0Tn<Tr（Ln，hn）#=J{hn}∞.引理4.2的证明。自e起-∧αu（ex）<1我们得到r（ex，α）≤ w、 接下来，我们来估计qlb（ex，α）=ReXb（x′）QL（dx′ex，α）。它认为zexb（x′）QL（dx′ex，α）=ZT-tec（T-s-t） e类-∧αs（ex）ZL-LZRw（1+hz）KXj=1πjηj（t+s，dz）αs（dh）ds≤ b（ex）cη中兴通讯-crdr=b（ex）cηγ（1- e-cT）≤cηγb（ex），其中我们定义η=suph∈[-五十、 L]j∈{1，…，K}t∈[0，T]ZR（1+hz）ηP（t，ej，dz）< ∞.对于足够大的ge c，Clearlycηc<1，因此MDM正在收缩。命题4.2的证明。设（exn，αn）是收敛到（ex，α）为n的序列→ ∞.然后，根据[19，定理43.5]，我们得到了thatlimn→∞supu公司∈[0，T]| eДαnu（exn）- eИαu（ex）|=0。这意味着奖励函数r的连续性。此外，映射（ex，α）7的连续性→ QLv（ex，α）源自这样一个事实，即对于每个函数v∈ Bb，假设4.1映射（ex，α）7→ZRv（t，w（1+hz），π（1+u（t，π，z）），π（1+u（t，π，z）））ηP（t，ei，dz）大型投资者的投资组合优化35是连续的。为了证明这一点，我们可以应用[14，引理A5]，因为在我们的设置中，t 7→ ηP（t，ei，z）是连续的，λmax：=supi∈{1，…，K}t∈[0，T]ηP（T，ei，dz）<∞.

致谢作者感谢维也纳财经大学数学金融与概率维也纳研讨会和Brown Bag研讨会的与会者，特别是Rüdiger Frey和Uwe Schmock。作者感谢克劳迪娅·塞西仔细阅读了这篇文章，并提出了许多有价值的改进建议。Sühan Altay感谢奥地利科学基金会（FWF）在P25216赠款项下提供的部分财政支持。这篇论文的研究工作是在ZehraEksi访问佩鲁贾大学经济系时完成的，该系是ATARI青年调查员培训计划（YITP）的一部分。我们非常感谢意大利银行基金会和储蓄银行协会（ACRI）的支持。参考文献[1]Robert Almgren和Neil Chriss。投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，2001年3:5-40。[2] A.阿尔穆德瓦r。分段确定马尔可夫过程最优控制的动态规划算法。《暹罗控制与优化杂志》，40（2）：525–5392001。[3] N.B"auelle和U.Rieder。具有跳跃和不可观测强度过程的投资组合优化。《数学金融》，17（2）：205–2242007。[4] N.B"auelle和U.Rieder。有限时间区间分段确定马尔可夫过程的最优控制。受控stoc-hastic过程的现代趋势：理论与应用，第1 23–143页，2010年。[5] Nicole B"auelle和Ulrich Rieder。具有马尔可夫调节股票价格和利率的港口对账单优化。自动控制，即EEE交易，49（3）：442–4472004。[6] Nicole B"auelle和Ulrich Rieder。具有不可观测马尔可夫调制漂移过程的投资组合优化。《应用概率杂志》，42（2）：362–3782005。[7] Nicole B"auelle和Ulrich Rieder。马尔可夫决策过程及其在金融领域的应用。

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