控制市场情绪的大投资者投资组合优化

2022-5-31 22:37:58

也就是说，大多数时候，市场的其他部分都将大型投资者的投资组合决策视为向小型投资者或定价投资者提供的重要内幕信息的信号。此外，由于羊群行为，当市场陷入投机泡沫或市场低迷等极端情况时，这种影响可能会加剧。当然，通过了解他们对市场的影响，大型投资者可以利用这一事实，在这些时期和时期改变他们的投资组合和消费选择，以获得优势。然而，即使是大型投资者，也很难观察整体的准确状态。例如，在美国，大型机构投资者需要填写SEC表格13F，该表格包含证券交易委员会（SEC），也称为机构投资经理表格所需的信息。这是超过1002名S.ALTAY、K.COLANERI和Z.EKSImarket的机构投资管理人员要求的表格，以及它对风险资产价格的影响，因此需要采取相应的行动。

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2022-5-31 22:38:02

如果不知道环境的确切状态，自然需要一个部分的信息设置，在这个信息设置中，大投资者只观察风险资产的价格过程。因此，在本研究中，我们通过考虑一个部分可观察的制度转换环境来解决一个有限时间效用最大化问题，在这个环境中，有一个大型投资者（或一组机构投资者）可以控制控制控制环境状态的连续时间有限状态马尔可夫链的强度矩阵。我们允许大投资者的投资组合选择，作为投资于风险集合的财富的一部分，通过依赖于下一邻域类型动态的马尔可夫链的受控强度，对价格过程产生间接但持久的影响。我们将这种影响称为标记和影响。通过将不可观测马尔可夫链的生成矩阵作为投资者投资组合持有量的函数，并关注受不可观测马尔可夫链影响的纯跳跃动态价格过程，我们解决了对数效用偏好和幂效用偏好的终端财富效用最大化问题。[10]首先在完全信息情况下研究了大型投资者最优投资和消费的类似控制问题，其中资产价格遵循跳跃扩散动力学，市场具有两种可能的状态。为了在特定信息环境下描述最优策略，我们首先解决相应的过滤问题，并使用创新方法推导出K ushner–Stratonovich型过滤方程。

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2022-5-31 22:38:05

一旦过滤问题得到解决，我们将部分信息下的最优控制问题简化为完全信息下的最优控制问题，即ase。g、，在[3，12]中，不可观测变量被其过滤估计值代替。由于由此产生的最优控制问题的状态是分段确定的，因此我们参考了文[19]中所述的分段确定马尔可夫过程（PDMP）的最优控制理论（有关更多详细信息，请参见lso[20]）。确切地说，其思想是，相应的分段确定性控制问题可以重新描述为马尔可夫决策过程，其中值函数的特征是一个固定点参数。这里我们应该注意到，虽然用马尔可夫决策过程识别最优控制问题PDMP已经得到了很好的研究（参见[20、22、2、27、4、16]和其中的参考文献），但就我们所知，涵盖不可观测马尔可夫链强度控制的PDMP最优控制的具体应用是新颖的。在这种程度上，我们对[14]中的某些结果进行了修改，其中主要动机是在部分信息环境下研究资产价格具有纯跳跃动态的最优清算（有关更深入的讨论，请参见第4.2节）。我们将值函数描述为奖励算子的唯一不动点，并进一步得到了Hamilton–Jacobi–Bellman（HJB）方程的唯一粘性解。在我们的环境中，可以以不变的方式解释具有区域切换的环境状态。一种自然的解释是，例如在一个两州的案例中，州可以被描述为“熊市”或“牛市”情绪，以便大型投资者在合格资产上投资数百万美元。

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2022-5-31 22:38:09

它包含有关投资经理的信息以及他们最近持有的投资资产的列表。大型投资者的投资组合优化3通过其投资组合选择改变市场方向（上升趋势或下降趋势）。同样，也可以将这些状态解释为市场微观结构框架中不同水平的市场“流动性”，或更一般的宏观结构框架中不同阶段的商业周期。在前者中，大投资者可以被视为流动性提供者或做市商，而在后者中，她可以被视为中央银行或ZF等中心规划师。我们还应该注意到，大型投资者所追求的操纵型策略，即市场对这些操纵企图的反应具有不确定性，可以在这个部分观察到的控制框架中建模。与信用风险建模类似，我们的建模框架可以被视为市场操纵的简化模型，因为大型投资者对价格的影响是直接通过其对市场情绪的影响而产生的，而不是直接影响结构变量（如资产价格过程的漂移或波动）的模型（参见，例如，32，33）对于大投资者在离散和连续时间内对资产价格动态有直接影响的市场操纵模型）。特别是，我们的设置允许la r ge投资者改变heractions进入“牛市”或“熊市”的概率。例如，通过卖空，大型投资者可能会阻止市场进入“牛市”状态，从而获得“熊市”情绪的优势。

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2022-5-31 22:38:12

同样，我们可以使用提议的模型来分析大型投资者投资组合选择对股价的羊群效应和动量型行为效应，因为例如，在我们提议的纯跳跃型资产价格动态环境中，我们可以模拟市场情况，在这种情况下，大型投资者试图通过改变投资组合来影响市场情绪，从而将其从“熊市”转换为“牛市”，在这种情况下，上涨的可能性更大，反之亦然。考虑到大型投资者所涉及的市场的高频率性质（参见[35，25]，了解马尔可夫调制的纯跳跃动力学的资产价格），我们还应该指出，我们对使用马尔可夫链调制的纯跳跃过程的选择没有限制性。有大量关于大型投资者最优决策的文献，在各种环境下进行了分析。与我们最相关的工作是研究最优消费对账单选择问题的【10】，在该问题中，资产价格动态是由一个大投资者在完全信息环境下控制的制度转换环境所影响的跳跃差异给出的。他们表明，最优策略与经典默顿问题中获得的策略存在显著偏差。更重要的是，他们表明，可能存在这样的情况（市场操纵），即大投资者可以消费，即使她没有从消费中获得效用。一般而言，在文献中，大型投资者对资产价格的影响直接体现在决策变量（如投资组合持有量、交易速度等）已在风险资产价格的漂移或波动过程中显现出来。例如，世界各地的某些中央银行（日本和瑞士）都在股票市场上进行了大量投资。

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2022-5-31 22:38:15

尽管他们的目标不同于终端财富的效用最大化，但相同的设定（间接影响经济以促进增长）可以用同样的方式进行分析。4[18]、[17]、[36]和[23]的S.ALTAY、K.COLANERI和Z.EKSImodels研究了大型投资者的最优消费和投资问题，投资组合选择影响瞬时预期收益不变的设置。在最优订单执行问题的背景下，股票价格过程由差异驱动，投资者的影响由直接影响漂移的交易量或交易速度来建模（参见Almgren–Chriss模型[1]及其变体）。也有大量文献涉及部分信息下马尔可夫调制价格动态的投资组合优化问题。【37】和【38】在漂移不确定性由线性高斯过程建模的情况下。[34]研究了具有恒定但未知漂移的类似问题。[41]和[31]研究了部分信息下多资产环境下的投资组合优化问题，并用mart-ingale方法找到了最优投资组合策略。另一方面，[6]利用动态规划方法解决了具有不可观测马尔可夫链调制漂移过程的po r-tfolio优化问题。[8] 利用鞅方法，考虑一般情况，给出局部信息下效用最大化问题的最优财富和投资过程的显式表示。[29]通过包含专家意见，在部分信息下解决投资组合优化问题。关于部分信息下的投资组合优化问题，最终可以参考文献[40]，对之前关于该主题的研究进行了非常广泛的概述。

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2022-5-31 22:38:19

对于完全信息情况，也有研究在马尔可夫制度转换框架中分析投资组合选择问题（参见示例[44]、[5]和[4 2]）。为了总结我们的贡献，我们首先解决了对数和幂效用偏好的效用最大化问题，在完全和部分信息设置下，通过控制马尔可夫cha的强度产生间接影响。为了比较的目的，我们也给出了这些问题的无影响的解决方案，也就是说，当强度没有控制时。即使对于简单的对数效用情况，间接影响的存在也使得逐点最大化不可能实现，因此我们需要依赖动态编程技术。其次，我们利用随机滤波将局部信息问题转化为全信息问题，并将分段确定性马尔可夫过程（PDMP）的控制理论应用于我们的问题，以推导值函数的最优性方程。我们将值函数描述为相关动态规划方程的唯一粘度解。第三，通过关注一个两状态马尔可夫链的例子，我们表明，无论是在完全设置还是部分设置中，大型投资者都可以通过控制马尔可夫链的强度获得收益，尽管后者的收益较小。特别是，大型投资者可以通过卖空利用市场的“熊市”状态。此外，在存在市场影响的情况下，最优策略更具侵略性，因此与相应的无影响情况相比，大型投资者在“牛市”状态下买入更多，在“熊市”状态下卖空更多。

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2022-5-31 22:38:23

此外，从数值例子中可以明显看出，在完全信息和部分信息条件下，astime接近成熟度的最优投资组合策略，无论是否受到灵敏度控制的影响，都会相互收敛。大型投资者投资组合优化5本文结构如下。在第2节中，我们介绍了基本框架以及随后使用的主要假设。在第3节中，我们研究了完全信息下的优化问题，并给出了相关的验证结果。第4节包含部分信息下的优化问题，以及通过随机滤波将问题还原为完全信息，以及通过相关HJB的唯一粘度解来解决问题和表征最优值函数的PDMP技术。最后，在第5节中，我们给出了一个双状态马尔可夫链示例，并讨论了模型对大型投资者的影响。我们还提供了一个附录，包含技术证明。2、基本框架我们考虑了有限的时间间隔[0，T]和市场上的连续交易。我们得到了概率空间(Ohm, F、 F，P），其中F={Ft，t∈ [0，T]}满足使用条件；我们在这里考虑的所有过程都假设是F适应的。我们有一个初始财富给定的投资者w∈ R> 其目标是在有限期内形成一个自我融资的投资组合[0，T]，以便通过投资风险资产和无风险债券最大化终端财富的预期效用。设h={ht，t∈ [0，T]}是F-可预测过程，表示投资于风险资产的财富比例。然后，1- Ht给出在时间t投资于债券的财富份额∈ [0，T]。我们允许卖空风险资产和无风险债券。也就是说，ht∈ 每t的R∈ [0，T]。我们在假设2.1下工作。

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2022-5-31 22:38:26

ht公司∈ [-五十、 L]，对于某些L>0，对于每个t∈ [0，T]。例如，为了处理在紧凑空间中取值的控件集，需要这种假设。我们将看到，对于第5节中考虑的示例，该假设没有限制性，因为我们获得了一个最佳控制，取值为(-五十、 L）。我们用Y（h）表示代表市场状态的连续时间有限状态马尔可夫链。Y取正则状态空间E={E，E，…，eK}中的值，其中eK是RK的第k个基列向量。马尔可夫链的初始分布由π=（π，····，πK）给出。符号Y（h）代表我们假设投资者的行为对市场状态有影响的事实。形式上，我们得到Y（h）的最小生成元的形式为Q（ht）=（qi，j（ht））i，j∈{1，…，K}。为了保持旋转简单，在下面的例子中，我们将其限制为下一个相邻的动力学，即qi，如果| i，则j（·）=0- j |>1。然而，请注意，结果可以很容易地扩展到一般结果。这意味着发电机Q（ht）的结构如下=-q1,2（ht）q1,2（ht）0。0 0q2,1（ht）-q2,1（ht）- q2,3（ht）q2,3（ht）。0 0..................0 0 0 . . . qK，K-1（ht）-qK，K-1（ht）请注意，由于假设h是可预测的，因此ge发电机的定义很明确。6 S.ALTAY，K.COLANERI和Z.EKSIwhere qi，j：[-五十、 L]→ R≥0是i 6=j和i，j的非负连续函数∈{1，…，K}。我们将无风险债券和风险资产视为市场上可用的工具，价格过程为B={Bt，t≥ 0}和S={St，t≥ 分别为0}。债券价格假设为f ollowdBt=ρBtdt，B∈ R> 0，其中ρ>0是瞬时无风险率。风险资产价格过程具有纯粹的跳跃动态，受市场状态的影响。

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2022-5-31 22:38:29

形式上，它按照以下等式发展：dSt=St-ZZG（t，Y（h）t-, ζ） N（dt，dζ），S∈ R> 0，其中N（dt，dζ）是R上的泊松随机测度≥0×Z，带Z R、具有独立于马尔可夫链Y（h）的完整性（dζ）dt和G:[0，T]×E×Z→ R是一个可测函数，时间连续且令人满意ZTZZG（t，Y（h）t-, ζ）（dζ）dt< ∞.为了确保过程S的非负性，我们进一步假设每（t，ζ）1+G（t，ei，ζ）>0∈ [0，T]×Z和i∈ {1，…，K}，而且我们假设方程（2）有唯一的解。例如，在[39，定理1.19]中，给出了解决方案唯一性的一组充分条件。设R：={Rt，t∈ [0，T]}是返回进程，dRt=ZZG（T，Y（h）T-, ζ） N（dt，dζ），并引入与其跳跃u（dt，dz）相关的随机度量u（dt，dz）：=Xs：Rs6=0{s，Rs}（dt，dz）。然后以下等式保持srt=ZtZZG（t，Y（h）t-, ζ） N（dt，dζ）=ZtZRzu（dt，dz），对于每t∈ [0，T]。我们用ηP（t，Y（h）t表示度量u的（F，P）-双重可预测投影-, dz）dt。对于每个A∈ B（R）以下为ηP（t，Y（h）t-, A） =（DAt），其中DAt：={ζ∈ Z:G（t，Y（h）t-, ζ) ∈ A \\{0}}，参见，例如[9，第8章]。假设G和意味着ηP（t，ei，z）在时间上是连续的ZTZRzηP（t，Y（h）t-, dz）dt< ∞. （1）大型投资者的投资组合优化7Let W（h）={W（h）t，t∈ [0，T]}是与自我融资策略相对应的财富过程h={ht，T∈ [0，T]}。W（h）的动力学由dw（h）t=W（h）t给出-（1）- ht）ρdt+htZRzu（dt，dz）, W（h）∈ R> 0。（2）为了确保财富过程是积极的，我们考虑满足消费2.2的投资策略。ηP（t，ei，Θ）=0，每t∈ [0，T]和i∈ {1。

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2022-5-31 22:38:32

，K}，其中Θ={z∈ R：1+htz≤ 0，t∈ [0，T]}。请注意，如果禁止卖空，这一假设可能会减弱。在续集中，每当没有歧义时，为了便于符号化，我们支持进程Y（h）和W（h）对策略h的依赖，并简化Y和W。最后，我们可以为（2）Wt=Wexp编写解决方案Zt公司（1）- hs）ρ+ZRlog（1+hsz）ηP（s，Ys-dz）ds+ZtZRlog（1+hsz）ν（ds，dz）,每t∈ [0，T]，其中ν（dt，dz）：=u（dt，dz）- ηP（t，Yt-, dz）dt（3）表示与u相关的补偿跳跃测量。在本文的其余部分中，我们始终按照第2.3节所作的长期假设进行工作。完全信息下的优化问题在第一步中，我们假设投资者完全了解市场。形式上，这意味着可用信息由过滤F提供。这导致对可接受策略的以下定义。定义3.1。如果一个投资组合策略是F-可预测的，且假设2.1和2.2成立，则它是F-可容许的。我们用H表示F-adm可行策略集。假设我们得到一个严格递增、严格凹且连续可微的效用函数U:R>0→ R满足INDA条件，即limw→0Uw（w）=∞和limw→∞Uw（w）=0。投资者的目标是在所有可接受的策略上解决以下优化问题max Et，w，i[U（WT）]，（4）以财富的初始值WT=w和初始状态Yt=ei为准，对于某些i∈ {1，…，K}。8 S.ALTAY、K.COLANERI和Z.Eksit当前优化问题的值函数isV（t，w，ei）=suph∈HEt，w，i【U（WT）】。如果V对于前两个参数是连续且可区分的，即。

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2022-5-31 22:38:35

五、∈C1,1b（[0，T]×R>0×E），则可以将其表征为由0=suph给出的HJB方程的唯一经典解∈[-五十、 L]LhV（t、w、ei）,lh是（W，Y）对的（F，P）-马尔可夫生成子。明确地说，我们有0=suph∈[-五十、 L](五、t（t，w，ei）+五、w（t，w，ei）w（1- h） ρ+KXj=1（V（t，w，ej）- V（t，w，ei））qi，j（h）+ZR[V（t，w（1+hz），ei）- V（t，w，ei）]ηP（t，ei，dz）），（5），最终条件V（t，w，ei）=U（w），对于每个w∈ R> 0和i∈ {1，…，K}。在下一个定理中，通过结合经典结果，我们为优化问题（4）提供了验证结果。定理3.1。设Υ为方程（5）的解，对于每个控制H∈ H以下条件为“ZTZR |Υs、 W（h）s-（1+hsz），Ys-- Υ（s，W（h）s-, Ys公司-)|ηP（ds，Ys-, dz）ds#<∞, （6）E“ZTKXj=1Xk6=j |Υ（s，W（h）s-, ej）- Υ（s，W（h）s-, Ys公司-)|qk，j（hs）1{Ys-=ek}ds#<∞. （7）然后，i.Υ（t，w，ei）≥ Et，w，iU（W（h）T）, 适用于所有（t、w、ei）∈ [0，T]×R＞0×E；二。如果存在策略h*∈ H这样H*s∈ arg最大值∈[-五十、 L]LhΥ（s，W（h*)s、 Y（h*)s）P- a、 s.对于每个s∈ [0，T]，则Υ（T，w，ei）=V（T，w，ei）。此外，h*是一种投资组合策略。证明见附录A。在续集中，我们分别讨论了具有对数和幂效用偏好的投资者的效用最大化问题。大型投资者投资组合优化93.1。对数效用。研究了具有对数算术效用偏好的大型投资者的投资组合优化问题。也就是说，我们有U（w）=log（w）。为了进行比较，我们首先研究了退化情况，其中马尔科夫链的生成器不依赖于投资者的行为。在这种情况下，投资者没有市场影响。然后我们转向我们的主要兴趣，即具有市场影响的案例。通常，对数效用是最简单的情况，可以通过逐点最大化来解决。

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2022-5-31 22:38:38

然而，考虑到市场影响，这已经不可能了，因为投资者当前的行为会影响市场的未来状态，因此可能会改变资产定价过程的跳跃强度。3.1.1. 对数效用-无市场影响。首先，在马尔可夫链的强度不依赖于投资组合策略的情况下，我们提供了最优策略的特征和价值函数的随机表示，即qi，j（h）≡ qi，j，代表i，j∈ {1，…，K}和每个控制h。在这种情况下，可以直接解决最优控制问题。首先注意，通过应用It^o’s公式，我们得到v（t，w，ei）=log（w）+suph∈Heβ（t，ei；h），其中eβ（t，ei；h）=Et，iZTt公司（1）- hs）ρ+ZRlog（1+hsz）ηP（s，Ys-, dz）ds+ZTtZRlog（1+hsz）ν（ds，dz）.提案3.1。当w>0时，Suppos e U（w）=log（w）。i）让h*（t，ei）满足Zrz1+h*（t，ei）zηP（t，ei，dz）=ρ或h*（t，ei）∈ {-五十、 L}，对于每个i∈ {1，…，K}。然后是最优策略*t=h*（t，ei）对于每个t∈ [0，T]和i∈ {1，…，K}。ii）值函数的形式为v（t，w，ei）=log（w）+Et，iZTt公司（1）- h类*s） ρ+ZRlog（1+h*sz）ηP（s，Ys-, dz）ds公司.证据我们首先写log（WT）=log（w）+ZTt（1）- hs）ρ+ZRlog（1+hsz）ηP（s，Ys，dz）ds+ZTtZRlog（1+hsz）ν（ds，dz）。（8） 10 S.Altai、K.COLANERI和Z.Eksii从条件（1）得出，过程ztzrlog（1+hsz）ν（ds，dz），t∈ [0，T]是（F，P）-真鞅。然后，通过在（8）wehavet，w，i[log（WT）]=log（w）+Et，iZTt公司（1）- hs）ρ+ZRlog（1+hsz）ηP（s，Ys，dz）ds公司.现在我们可以有针对性地最大化。由于Y与控制无关，在t时，我们得到一阶条件0=-ρ+ZRz1+htzηP（t，ei，dz）。

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2022-5-31 22:38:42

（9）假设方程（9）有一个解h*（t，ei），二阶条件-ZRz（1+htz）ηP（t，ei，dz）<0意味着这是全局最大化子。否则，在其中一个边界点达到最大值{-五十、 L}。我们注意到，对于第5节的案例研究，方程式（9）始终允许内部解h*（t，ei）∈ (-五十、 L）。[30]对经典情况下（即没有市场影响）具有对数偏好的效用最大化进行了广泛的研究，其中最优策略的特征是驱动资产价格过程的半鞅的局部特征（漂移、波动性和跳跃强度）（参见[30，定理3.1]）。3.1.2. 对数效用-市场影响。在有市场影响的情况下，上述程序不适用。这是因为投资者的决策在任何时候都可能改变马尔可夫链的未来状态。因此，我们在这里通过动态规划来解决这个问题。精确地说，我们研究了终端条件V（T，w，ei）=log（w）时方程（5）的解。我们考虑ansatzV（t，w，ei）=log（w）+β（t，ei）。然后我们得到（t，ei）的以下方程组：-βt（t，ei）=suph∈[-五十、 L]n（1- h） ρ+（β（t，ei+1）- β（t，ei）qi，i+1（h）+（β（t，ei-（1）- β（t，ei））qi，i-每t 1（h）+ZRlog（1+hz）ηP（t，ei，dz）o.（10）∈ [0，T]和i∈ {2，…，K- 1} ，以及大型投资者的投资组合优化11dβdt（t，e）=- suph公司∈[-五十、 L]n（1- h） ρ+（β（t，e）- β（t，e））q1,2（h）+ZRlog（1+hz）ηP（t，e，dz）o，（11）dβdt（t，eK）=- suph公司∈[-五十、 L]n（1- h） ρ+（β（t，eK-（1）- β（t，eK））qK，K-1（h）+ZRlog（1+hz）ηP（t，eK，dz）o，（12），对于i，边界条件β（t，ei）=0∈ {1，…，K}。等式（10）、（11）和（12）意味着给定一个n优化器h*, β（t，ei），i∈ {1。

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2022-5-31 22:38:45

，K}，是这个常微分方程组（ODE）的唯一解。这源于系数的连续性【43，定理3.9】。原则上，我们可以用数值方法来求解系统，例如，向后Euler方法。特别是，如【10】所述，在数值过程的每个时间步tn，应找到最大值h*（tn），然后求解所得ODE。为了验证方程（10）、（11）和（12）的解确实是当前优化问题的值函数，我们观察到∈ H和每个i∈ {1，…，K}，EZTZRlog（1+htz）ηP（t，Yt，z）dt< ∞,E“ZTKXj=1（β（t，ej）- β（t，ei）qi，j（ht）dt#<∞,其中，第一个不等式来自条件（1），第二个不等式来自qi，j（h）的有界性。然后验证定理3.1适用。3.2。电力公司。在这一部分中，我们在功率效用的假设下工作，即U（w）=θwθ，θ<1，θ6=0。我们用动态规划技术解决了相应的优化问题。在下面的内容中，我们研究了终端条件V（T，w，ei）=wθ的方程（5）的解。对此，我们建议对值函数v（t，w，ei）=wθeθγ（t，ei），i∈ {1，…，K}。（13） 12 S.ALTAY、K.COLANERI和Z.Eksi在（5）中插入（13）可得出方程dγdt（t，ei）=- suph公司∈[-五十、 L]（1）- h） ρ+θeθ（γ（t，ei-1)-γ（t，ei））- 1.qi，i-1（h）+θeθ（γ（t，ei+1）-γ（t，ei））- 1.qi，i+1（h）+θZR（1+hz）θ- 1.ηP（t，ei，dz）（14）每t∈ [0，T]和i∈ {2，…，K- 1} ，和dγdt（t，e）=- suph公司∈[-五十、 L]（1）- h） ρ+θeθ（γ（t，e）-γ（t，e））- 1.q1,2（h）+θZR（1+hz）θ- 1.ηP（t，e，dz）, （15） dγdt（t，eK）=- suph公司∈[-五十、 L]（1）- h） ρ+θeθ（γ（t，eK-1)-γ（t，eK））- 1.qK，K-1（h）+θZR（1+hz）θ- 1.ηP（t，eK，dz）, （16）分别为，最终条件γ（T，ei）=0表示i∈ {1，…，K}。给定优化RH*, γ（t，ei），每i∈ {1。

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2022-5-31 22:38:48

，K}，是方程（14）、（15）和（16）给出的第一阶系统的唯一解。注意，一个简单的变换，即F（t，ei）=eθγ（t，ei），产生一个线性常微分方程组。在对数效用的情况下，可以遵循相同的过程，并用数值方法求解系统。此外，通过qi、j（h）和条件（1）的有界性，我们得到了每个∈ H、 E类ZTWθtZR（1+htz）θηP（t，Yt，z）dt< ∞,E“ZTWθtxj=1 | Eθγ（t，ej）- eθγ（t，ei）| qi，j（ht）dt#<∞,每一个我∈ {1，…，K}，因此验证定理3.1成立。4、部分信息下的优化问题在本节中，我们假设投资者无法直接观察到状态过程Y。相反，她观察价格过程并知道模型参数。因此，可用的信息由天空资产价格过程产生的自然过滤表示，FS：={FSt，t∈ [0，T]}，FSt：=σ{Ss，0≤ s≤ t} ，则，t型∈ [0，T]。在本文中，我们假设FSA满足通常条件。大型投资者的投资组合优化13随时t∈ [0，T]投资者的决定仅取决于可用信息。因此，我们将一组可能的策略定义如下。定义4.1。如果投资组合策略h是可预测的，且假设2.1和2.2成立，则它是可接受的。我们用eh表示FS容许策略集。考虑FS可预测投资策略会导致部分信息下的最优控制问题。在这里概述的马尔可夫环境中，我们可以将部分信息下的控制问题简化为完全信息下的等效控制问题，其中不可观测的状态变量，即马尔可夫链Y，被过滤的估计所取代，参见，例如，[3，12]。

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mingdashike22

2022-5-31 22:38:51

这需要解决一个滤波问题，其中不可观测信号由马尔可夫链Y给出，观测过程为纯跳跃过程S。关于纯跳跃过程观测的滤波问题的文献相对较多。一个简短的结果列表包括[9、13、24、28、11]。在接下来的部分中，我们将使用所谓的创新方法处理与我们的设置相对应的过滤问题。[14]中用不同的方法解决了一个类似的问题。在那篇论文中，股票价格的跳跃强度对控制的依赖性导致了信息的循环，这使得不可能使用创新方法。相反，他们使用referenceprobability方法。4.1. 过滤并还原为完整信息。定义滤波器π（f）：={πt（f），t∈[0，T]}乘以πT（f）=Ehf（Y（h）T）| FSti，T∈ [0，T]，对于每个函数f:E→ 注意，为了便于记法，我们抑制了π对h的依赖性。用πt表示-（f）过滤器的可预测版本。我们定义πit：=Eh{Y（h）t=ei}| FSti，t∈ [0，T]，每个固定策略h的马尔可夫链的条件状态概率Y（h）。由于E是有限的，我们可以写出πT（f）=KXj=1f（ej）πjt，T∈ [0，T]。应用创新方法的一个基本步骤是编写（FS，P）-鞅的表示。我们引入以下符号πt-（ηP（dz））dt：=KXi=1πit-ηP（t，ei，dz）dt。（17）不难证明，对于每个非负（FS，P）-可预测过程，由z，Φ：={Φ（t，z），t∈ [0，T]}这样ZTZR |Φ（s，z）|πt-（ηP（dz））dt< ∞,14 S.ALTAY、K.COLANERI和Z。

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2022-5-31 22:38:55

Eksit以下情况成立（见[21，V T28]）：EZTZRΦ（t，z）u（dt，dz）= E“ZTZRΦ（t，z）KXi=1πit-ηP（t，ei，dz）dt#，这意味着（17）提供了度量u的（FS，P）-双重可预测投影，并且处理器rtrrΦ（s，z）u（ds，dz）- πs-（ηP（dz））ds, t型∈ [0，T]是一个（FS，P）鞅。设νπ（dt，dz）表示（FS，P）补偿度量，即νπ（dt，dz）：=u（dt，dz）- πt-（ηP（dz））dt。（18）这是创新过程的基石。提案4.1。过程πi，对于所有i∈ {1，…，K}求解方程dπit=KXj=1qj，i（ht）πjtdt+ZRπit-ui（t，πt-, z） νπ（dt，dz），（19）其中ui（t，πt，z）：=PKj=1πjtdηP（t，ej，z）dηP（t，ei，z）- 1和dηP（t，ej，z）dηP（t，ei，z）表示度量ηP（t，ej，dz）相对于ηP（t，ei，dz）的Radon-Nikodym导数。证明推迟到附录A。为了将（20）中所述的最优控制问题转化为仅涉及可观测过程的等效问题，需要滤波方程解的唯一性。因此，在本文的其余部分中，我们假设Kushner-Stratonovich（KS）方程有唯一的解。备注4.1。（KS）方程解唯一的一个有效条件是，例如，supt∈[0，T]ηP（T，ei，R）<∞,每一个我∈ {1，…，K}，参见，例如，[11]。这在我们的模型中得到了满足，因为是一个完整的度量。请注意，资产价格S以及财富过程W对于投资者的信息具有代表性，由t=S+ZtKXi=1ZRzSsπ表示ηP（S，ei，dz）ds++ZtZRzSsνπ（dt，dz），Wt=W+ZtWs（1- hs）ρ+KXi=1ZRzηP（s，ei，dz）！dt+Ws-hsZRzνπ（dt，dz），对于每t∈ [0，T]。在部分信息框架中，我们可以写下投资者的目标asmax Et，w，π[U（WT）]，（20）在FS容许控制集上，大型投资者的投资组合优化15，其中Et，w，π表示给定WT=w和πt=π的条件期望。

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2022-5-31 22:38:58

控制问题的特征是（K+1）维状态过程（W，π），其中π是向量过程（π，…，πK），它取（K）上的值- 1） -尺寸单纯形K、我们定义了奖励和价值函数a sJ（t，w，π；h）=Et，w，π[U（WT）]，V（t，w，π）=suph∈eHJ（t，w，π；h）。4.2。采用分段确定马尔可夫过程方法求解。优化问题的状态过程由财富过程和过滤器组成，再加上时间变量，在[20]的意义上是一个分段确定性马尔可夫过程（PDMP）。PDMP是以普通微分方程的解为特征的确定性流和随机跳跃的组合。为了确定问题的适当结构和将控制理论应用于PDMP的适当条件，我们首先引入一些符号。设X=R>0×Kbe状态空间andeX=[0，T]×R>0×k增广o和分别用X=（W，π）和X=（t，W，π）表示状态过程和增广状态过程。用{Tn}n表示∈状态processeX的跳转时间序列。然后在时间T之前的两个连续跳跃时间之间，即T∈ [总氮∧ T、 Tn+1∧ T），状态过程x由ODE deXt=g（eXt，ht）dt描述，其中向量场g:eX×[-五十、 L]→ R由g（1）（ex，h）=1，g（2）（ex，h）=w（1）给出- h） ρ，g（i+2）（ex，h）=KXj=1πjqj，i（h）+ZRπiui（t，z）ηP（t，ej，dz）, 我∈ {1，…，K}。状态过程的跳变率由λ（eX）给出，其中λ（eX）=λ（t，w，π）=KXi=1πiηP（t，ei，R），它与w无关。根据[20]，控制状态过程跳变的转移核由操作符QQeXf（eX，h）描述：=ZeXf（ey）QeX（dey | eX，h）=λ（eX）KXj=1πjZRft、 w（1+hz），π（1+u（t，π，z）），πK（1+uK（t，π，z））ηP（t，ej，dz）。现在，我们定义马尔可夫策略。

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2022-5-31 22:39:02

用A表示可测映射集α：[0，T]→ [-五十、 L]并将容许策略定义为映射序列{hn}n∈N： 16 S.ALTAY、K.COLANERI和Z.EKSIeX→ A，其中t时的投资组合权重由ht=Xn给出∈N（Tn∧T、 Tn+1∧T]（T）hnt型- Tn，eXTn. （21）由于在任何一个跳跃时间，直到下一个跳跃时间，状态过程的演变都是已知的，因此，n最优投资策略由在每个跳跃时间Tn<T采取的一系列选择Hn组成，并一直持续到Tn+1∧ T请注意，尽管在最一般形式的可接受策略中，HN应取决于整个过去的历史（见[9，定理T34，附录A2]），但这一更大类别的策略并不会增加控制问题的价值。这意味着我们可以限制考虑形式（21）的可接受策略。用P{hn}（t，x）（相当于P{hn}ex）表示状态过程定律，前提是Xt=x∈ X投资者使用策略{hn}n∈N、与容许策略{hn}N相关的奖励函数∈Nis由J（t，x，{hn}）=E{hn}（t，x）[U（WT）]给出，部分信息下优化问题的值函数为V（t，x）=V（ex）=sup{J（t，x，{hn}）：{hn}n∈不可接受的策略}。(22)4.2.1. 相应的马尔可夫决策模型。（22）中的优化问题可以简化为有限期马尔可夫决策模型（MDM）中的优化问题。在这里，我们使用与[14]中相同的技术来解决终端财富的效用最大化问题。为了给出一个想法，我们证明了分段确定性控制问题的值函数可以被识别为某个马尔可夫决策问题的值函数，该问题可以通过定点变元来解决，详情请参见[7，第8章]。虽然用于处理优化问题的主要技术相似，但webrie用[14]解释了不同之处。

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2022-5-31 22:39:05

在[14]中，作者研究了一个投资者的n最优清算问题，该投资者的行为通过增加部分信息环境中向下跳跃的强度直接影响股价动态。股票价格动态由纯跳跃过程给出。目标是最大化预期总回报，该回报由一个功能组成，由运行利润组成，线性取决于清算率（即控制），终端价值代表最终大宗交易的价格。我们设置的第一个不同之处是模型：这里有一个通过不可观察马尔可夫链生成器的间接影响。此外，我们有一个不同的目标，因为我们的目标是最大化终端财富的预期效用。另一方面，由于PDMP的跳跃强度是随机的，因此我们不能直接依赖于[4，7]中的结果。最后，模仿[1 4]中的论点，我们能够给出最优值函数作为HJB唯一粘性解的特征，这允许进行数值研究，而在[7]中，最优策略和最优值函数是通过策略迭代过程获得的，其收敛速度很快。大型投资者的投资组合优化17与PDMP相对应的有限期马尔可夫决策模型可以如下介绍。我们考虑序列{Ln}n∈Nof定义的随机变量n=（Tn，XTn）=外部Tn<T，n∈ N和Ln= 对于Tn≥ T其中是一个墓地州。换言之，状态（t，x）=（t，w，π）表示跳跃时间t以及跳跃后的财富w和过滤器π。对于函数α∈ A我们用eДαt（ex）表示初值问题的流量dDex（s）=geX（s），αs初始条件为ex（0）=ex。

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2022-5-31 22:39:08

等效的分段确定性ProcessEx由ext=eДαt给出-Tn（eXTn），每t∈ [Tn，Tn+1）在时间T之前。对于压力对时间的依赖性，也使用符号eДαT=（T，Дα）。我们定义了函数λαs（ex）=λ（eДαs（ex），αs）：=λ（（T+s，ναs），αs），（23）λαs（ex）=λα（s；ex）：=Zsλu（ex）du。现在我们想介绍马尔可夫决策模型{Ln∈N、到达间隔时间Tn+1的分布- t给定Ln=（t，x）和hn=α等于λα（ex）e-∧αu（ex）du，其中ex=（t，x）。那么对于任何有界可测函数f:eX∪ {} → R、 MDM的转换内核由QLF给出（t，x），α=ZT公司-tλαu（ex）e-∧αu（ex）QeXf（u+t，Дu（ex），αudu+e-∧ατИ（￠x）f（(R)),使用QL{}(, α) = 1.定义单阶段奖励函数r:eX×A→ R≥0，我们首先用wt表示流量的财富成分Дα。那么我们有r（ex，α）=e-∧αT-t（ex）U（重量-t），r() = 0、策略{hn}的预期回报n∈由j{hn}给出的Nis∞（ex）=E{hn}ex“∞Xn=0r（Ln，hn（Ln））#，和j∞（ex）：=辅助J{hn}∞（ex）：{hn}FS- 容许策略. （24）现在，我们需要验证，这种有限阶段马尔可夫决策模型的构造导致了一个与原始PDP控制问题等效的最优控制问题。在下一个引理中，我们展示了对应于MDM的值函数和PDMP的控制问题是一致的。证据见附录A.18 S.ALTAY、K.COLANERI和Z.EKSILemma 4.1。它适用于所有FSS容许策略{hn}n∈n在V{hn}=J{hn}∞因此V=J∞, 也就是说，控制问题（22）和（24）是等效的。定义马尔可夫决策模型asT v（ex）的算子T：=supα∈电子邮箱-∧αT-t（ex）U（重量-t） +ZT-tλαu（ex）e-∧αu（ex）QeXv（t+u，Дu（ex），αu二人组。我们的想法是将值函数描述为运算符的唯一固定点。

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2022-5-31 22:39:12

为此，我们需要证明奖励函数和传递核的连续性在一类紧致的容许控制上成立。因此，根据一般理论，我们通过引入放松控制集来扩大动作空间，并在此空间上定义一个合适的拓扑，称为Young拓扑。有关更多详细信息，请参阅[20，7]。放松控制组由ea：={α：[0，T]→ M级([-五十、 L]）），其中M([-五十、 L]）是[-五十、 L）]。在放松控制的背景下，我们将容许的放松策略定义为映射序列{νn}：eX→eA。为了使集合A紧凑，我们引入了年轻拓扑作为最粗糙的拓扑，例如所有形式为α的映射→ZTZL公司-Lf（t，u）αt（du）dt对于所有函数f:[0，t]×都是连续的[-五十、 L]→ 在第二个参数中是连续的，在第一个参数中是可测量的，并且Rtmaxu∈[-五十、 L]| f（t，u）| dt<∞ （参见，例如【7，第8章】）。我们注意到，正如[7，14]所指出的，非松弛控制形成了松弛控制的稠密子空间。对于可测量函数v：[-五十、 L]→ R和一些测度ξ∈ M级([-五十、 L]），wede fine hξ，vi：=RL-Lv（ν）ξ（dν）。为了使用集合A的属性，我们现在扩展了α的一些定义∈eA。首先，PDMP的向量场g变为SG（ex，α）=hα，g（ex，·）i=ZL-Lg（ex，ν）αs（dν），跳跃强度由λαs（ex）=hαs（dν），λ（t+s，ναs，ν）i和∧αs=∧αs（ex）=Rsλu（ex）du给出，奖励函数r（ex，α）=e-∧αT-tU（重量-t），最后是转换内核isQLvex，α=ZT公司-tλαu（ex）e-∧αuhαu（dν），qevv（t+u，νu（ex），νidu+e-∧αT-电视（“”) .大型投资者的投资组合优化19此外，我们有算子T的以下扩展：Tφ（ex）=supα∈eA公司r（ex，α）+QLφex，α.在下一个引理中，我们证明了MDM存在一个边界函数，并且MDM正在收缩。

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2022-5-31 22:39:16

这对于证明值函数是算子T的唯一固定点至关重要。定义4.2。A功能b：eX→ R≥0被称为MDM的边界函数，如果常数cr，cb>0，则| r（ex，α）|≤ crb（ex）和QLb（ex，α）≤ cbb（ex）适用于所有（ex，α）∈eX×A。如果cb<1，则MDM正在收缩。我们为边界函数b定义了函数集合BB：eX→ R使V（ex）≤ Cb（ex）。引理4.2。b（ex）=b（t，x）=ec（t-t） s、c≥ 0和b（“”) = 0是一个边界函数，MDM的内核QLis收缩到足够大的c。引理的证明推迟到附录a。我们现在做出一个假设，为我们的模型的da t a提供连续性条件。假设4.1。对于任意序列{（tn，πn）}n∈N、带（tn，πN）∈ [0，T）×K、这样（tn，πn）---→n→∞（t，π），命题4.1 satisfylimn中给出的函数ui（t，π，z）→∞supz公司∈supp（ηP）| ui（tn，πn，z）- ui（t，π，z）|=0，其中supp（ηP）表示集合{z∈ R：ηP（t，ei，z）6=0，t∈ [0，T]，i∈ {1，…，K}}。那么以下结果成立。提案4.2。在假设4.1下，映射（ex，α）7→ r（ex，α）和（ex，α）7→QLv（ex，α）每v∈ Bb，是关于年轻地形的连续的oneX×eA。证明见附录A。本节的主要结果涉及相应定点方程解的存在性和唯一性，并在下一章中进行总结。定理4.1。假设假设假设4.1成立。然后我们得到：i）值函数V i是连续的x，满足边界条件sv（T，w，π）=U（w）。ii）V是Bb中运算符T的唯一固定点。20 S.ALTAY、K.COLANERI和Z.EKSIProof。首先，没有任何te，通过引理4.2，我们的模型的边界函数由b（t，w，π）=eγ（t）给出-t） w，对于某些γ>0且MDM正在收缩的情况。

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2022-5-31 22:39:21

根据Propo position 4.2，我们得到了关于年轻拓扑的奖励函数r和转移核Qlarecontural。通过应用【7，定理7.3.6】，我们得出V是扩展到放松控制类的最大回报算子的固定点，最终定理的结果来自【14，Coro lla ry4.10】。为了用合适的HJB方程的解来描述最优值函数，我们求助于粘度解分析。这也使下一节将要进行的数值研究合法化。作为第一步，我们希望将问题简化为状态过程取紧集中的值的情况。由于对数效用的情况是幂效用的一个极限情况，我们只写后者的约化。利用正齐性，我们得到V（t，w，π）=wθV（t，π）。定义压缩集：=[0，T]×K、我们现在定义：eY×[-五十、 L]→ RK+2通过识别（g）（1）=g（1），和（g）（k+1）=g（k+2），k=1。

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2022-5-31 22:39:25

K并用φu（α，ey）表示g的流量。由于（23）中引入的跳跃强度λ与w无关，根据定理4.1，v的最优性方程由v（ey）=supα给出∈澳新银行-tλαu（ey）e-∧αu（ey）Q Vu+t，Дu（α，ey），αudu+θe-∧αT-t（ey）o，其中，对于h∈ [-五十、 L]，ey∈eY，以及任何可测函数ψ：eY→ R≥0，Q定义了新的跃迁核Qψ（ey，h）：=λ（ey）KXj=1πjZR（1+hz）θψt、（πi（1+ui（t，π，z）））i=1，。。。，KηP（t，ej，dz）。反过来，这意味着值函数V满足V=T V，而报酬运算符由Tψ（ey）=supα给出∈澳新银行-tλαu（ey）e-∧αu（ey）Qψu+t，Дu（α，ey），αudu+θe-∧αT-在续集中，我们的目的是证明v在粘度意义上解决了方程fvey，V（ey），V（ey）= 0，用于ey∈eY，V（eY）=θ表示eY∈ eY，（25）大型投资者的投资组合优化21其中，对于ψ：eY→ R≥0，函数Fψ：eY×R>0×RK+1→ R如果由fψ（ey，v，p）=- supν∈[-五十、 L]- λ（ey，ν）v+g（ey，ν）p+Qψ（ey，ν）.[14，定理5.3]中证明的下列结果适用。定理4.2。假设马尔可夫链Y没有吸收态(-alli的qii>0∈ {1，…，K}）。然后，值函数V是（25）ineY的唯一连续粘度解，并在原理上进行了比较。在更明确的术语中，部分信息设置中值函数的HJB方程可以写成0=suph∈[-五十、 L](五、t（t，w，π）+w（1- h） ρ五、w（t，w，π）+KXk，j=1五、πk（t，w，π）πjqjk（h）-ZRπkuk（t，z）ηP（t，ej，dz）+KXj=1πjZR五、t、 w（1+hz），（πi（1+ui（t，z）））i∈{1，…，K}- V（t，w，π）ηP（t，ej，dz））。（26）在接下来的部分中，我们将在部分信息框架中详细分析对数和幂效用函数的情况。4.3。部分信息下的对数效用。根据在全信息框架下进行的分析，我们研究了具有无影响NDP的优化问题。

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2022-5-31 22:39:28

对于对数效用偏好，这导致了两种不同的方法：在第一种情况下，逐点最大化适用，而在第二种情况下，我们需要使用动态规划方法。我们还比较了完全信息和部分信息下的最优策略。4.3.1。对数效用-无市场影响。我们首先假设投资者没有影响，这意味着马尔可夫链生成器中的条目不依赖于交易策略，我们直接解决了最优控制问题。对于固定策略h∈eH通过应用It^o公式，我们得到v（t，w，π）=log（w）+suph∈eHeB（t，π；h），其中eb（t，π；h）=Et，π“ZTt（1- hs）ρ+KXi=1πisZRlog（1+hsz）ηP（s，ei，dz）！ds+ZTtZRlog（1+hsz）νπ（ds，dz）,22 S.ALTAY、K.COLANERI和Z.EKSIand下面的主张成立。提案4.3。当w>0时，Suppos e U（w）=log（w）。i）让h*（t，π）满足ei therKXj=1πjtZRz1+h*（t，π）zηP（t，ej，dz）=ρ（27）或h*（t，π）∈ {-五十、 L}。然后最优策略h*t=h*（t，π）对于每t∈ [0，T]和π∈ K、 ii）值函数的形式为v（t，w，π）=log（w）+Et，π“ZTt（1- h类*s） ρ+KXi=1πjsZRlog（1+h*sz）ηP（s，ei，dz）！ds#。证据证明来自引理3.1的相同论点。备注4.2。比较命题3.1和命题4.3中的结果，我们可以观察到最优策略的相似结构。精确地说，在部分信息的情况下，最优策略求解f形式（27）的方程，其中跳跃测度的（f，P）-补偿器替换为（FS，P）-补偿器。直觉上，这是由于对数效用的短视性；代理通过过滤后的估计值来弥补回报过程中未观察到的局部特征，忽略了与信息不确定性相关的额外风险（例如，参见[26]）。4.3.2。对数效用-市场影响。

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