具有延迟信息的期权定价

nandehutu2022

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收藏 2022-06-01

英文标题：
《Option Pricing with Delayed Information》
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作者：
Tomoyuki Ichiba, Seyyed Mostafa Mousavi
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
We propose a model to study the effects of delayed information on option pricing. We first talk about the absence of arbitrage in our model, and then discuss super replication with delayed information in a binomial model, notably, we present a closed form formula for the price of convex contingent claims. Also, we address the convergence problem as the time-step and delay length tend to zero and introduce analogous results in the continuous time framework. Finally, we explore how delayed information exaggerates the volatility smile.
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中文摘要：
我们提出了一个模型来研究延迟信息对期权定价的影响。我们首先讨论了模型中不存在套利，然后讨论了二项模型中具有延迟信息的超复制，特别是，我们给出了凸未定权益价格的一个闭式公式。此外，我们还解决了当时间步长和延迟长度趋于零时的收敛问题，并在连续时间框架中引入了类似的结果。最后，我们探讨延迟信息如何夸大波动性微笑。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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Option_Pricing_with_Delayed_Information.pdf
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nandehutu2022

2022-6-1 02:34:17

具有延迟信息的期权定价Barbaraichiba@pstat.ucsb.eduSeyyed加利福尼亚大学圣塔分校MostafaMousaviUniversity of California，SantaBarbaramousavi@pstat.ucsb.eduWe提出一个模型来研究延迟信息对期权定价的影响。我们首先讨论了模型中没有套利的情况，然后讨论了二项式模型中具有延迟信息的超复制，值得注意的是，我们给出了凸未定权益价格的封闭式公式。此外，我们还解决了当时间步长和延迟长度趋于零时的收敛问题，并引入了连续时间框架下的模拟结果。最后，我们探讨延迟信息如何夸大波动性微笑。关键词：延迟信息、二项模型、连续时限、不完全市场、超级复制、波动微笑。1、简介金融市场的所有参与者只能获取延迟信息。延迟增加了市场的不确定性，对其进行研究具有重要意义。期权定价文献中的一个普遍假设是，交易员在做出决策时，完全可以获得资产价格（即，没有延迟信息）。然而，在实践中，在决定订单的时间与其执行时间之间存在延迟。特别是，金融市场中存在两种重要类型的延迟。首先是订单执行的延迟，也就是说，在交易者下订单后，订单将延迟执行。例如，如果订单是在上午发出的，那么它将在下午执行。其次是信息接收的延迟，也就是说，交易者在观察价格和其他重要信息时有一定的延迟，这通常是因为技术壁垒，而与交易所的物理距离很长，这又加剧了技术壁垒。交易员认为，这两种类型的延迟行为相似。

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大多数88

2022-6-1 02:34:20

在这两种情况下，订单执行时的价格都是未知的。换句话说，延迟信息的来源不会改变交易者的决定。例如，设{0，1，…}是一个离散的交易周期。如果存在长度为1个周期的延迟，则无论延迟的来源是什么，在时间0时都不会发生交易，并且在以后的时间里，交易是基于直到前一个周期为止的可用信息发生的。原因是，如果延迟只是在接收信息时，那么在时间0时，交易者没有任何信息，所以他等到时间1时才获得时间0价格进行交易，这些交易当然会以时间1价格执行。如果延迟只是在订单执行过程中，那么在时间-0，根据时间-0价格，交易者做出订单，但该订单将以时间-1价格执行。在这项工作中，我们从Cox等人（1979年）提出的二项模型开始，考虑信息流动的固定延迟期。因此，代理的信息流比作者想要感谢Jean-Pierre Fouke、Mike Ludkovski、Yuri Saporito和Andrey Sarantsev在工作的不同阶段进行了几次有益的讨论和反馈。第一作者部分得到了NSF拨款DMS1313373和1615229的支持。交易资产的流量。我们证明了具有延迟信息的市场是不完整的，不可能完全复制大多数未定权益。不完整的市场带来了各种挑战，在回顾不同的方法时，我们参考了Staum（2007）。我们采用最坏情况下的方法，即超级复制，来定价和复制凸未定权益。El Karoui和Quenez（1995）在其开创性论文中首次提出了这种方法。

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大多数88

2022-6-1 02:34:22

我们推导了离散时间模型中凸未定权益定价的递归和闭式公式。之后，我们研究了当时间步长和延迟长度趋于零时的连续时间限制。我们表明，在我们的定价措施下，价格过程接近于布莱克-斯科尔斯价格过程，但波动性增大。我们模型的一个非常有趣的方面是，它显示了延迟信息如何影响挥发性文件。我们的模型证实了交易员的直觉，即延迟信息会夸大波动性，但不会导致波动性。我们表明，在连续极限下，波动率是常数，并且没有任何波动，但在离散模型中，我们可以观察到波动率微笑。换言之，这表明市场上观察到的微笑可能不全是市场本身造成的，也可能因为我们与延迟信息的互动方式而被夸大了。我们的时滞信息模型与具有交易成本的模型有一些相似之处，特别是在这两个模型中，我们都遇到了相似的极限定理，并且两个风险资产价格过程都收敛于Black-Scholes价格过程，波动率有所扩大。换句话说，扩大波动性可以被视为同时考虑交易成本和延迟信息的方式。Leland（1985）首次讨论期权定价模型中的交易成本。Boyle和Vorst（1992）研究了二项模型中的交易成本，Kusuoka（1995）为此类模型提供了严格的极限定理。该领域的一些最新研究成果包括Bank和Dolinsky（2016）、Bank等人（2017）以及Dolinsky和Soner（2016）关于交易成本期权定价的取证文献，我们参考了Kabanov和Safarian（2009）。Kabanov和Stricker（2006）提供了具有延迟信息的离散时间模型中不存在套利条件。

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kedemingshi

2022-6-1 02:34:26

Kardaras（2013）研究了代理商延迟或限制信息的情况下的市场可行性。此外，Bouchard和Nutz（2015）、Burzoni et al.（2016a）和Burzoni et al.（2016b）是离散时间套利理论中一些非常相关的工作。在文献中，研究了在具有延迟信息的市场中，风险最小化套期保值策略，这是不完全市场中的另一种套期保值方法。使用这种方法，Di Masi et al.（1995）通过仅在离散时间观察资产来建模信息缺失，Schweizer（1994）提出了受限信息的一般情况。Frey（2000）、Mania et al.（2008）、Kohlmann and Xiong（2007）和Ceci et al.（2017）等也在这方面进行了研究。本文的组织结构如下。在第2节中，我们建立了具有延迟信息的离散时间模型，并确定了超级复制价格。讨论了H=N的N周期二元模型中的超复制策略- 1第2.4小节中的延迟周期，我们使用动态规划和直接方法将结果推广到第2.5小节中具有H个延迟周期的N周期二项模型。第2.6小节给出了该策略的几何表示。在第3节中，我们研究了当时间步长和延迟长度趋于零时模型的渐近行为。特别是，第3.2小节专门讨论了延迟信息如何影响波动率微笑。2、离散时间模型在引入延迟之前，让我们回顾一下Cox等人（1979）的N期二叉树模型，该模型适用于具有单一风险资产和单一无风险资产（如股票）的金融市场。给定N∈ N，让我们表示为(Ohm, F、 P）正则空间的概率空间Ohm := N-周期二叉树的{0，1}Nof，其Borelσ-代数F由Ohm . 对于每个ω：=（ω。

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nandehutu2022

2022-6-1 02:34:28

，ωN）∈ Ohm 我们通过zk（ω）=ωkf为每个k=1，…，定义一个坐标图，N、设P为概率测度，其中Zk，k=1，Nare独立的伯努利随机变量，P（Zk=1）=P（Zk=0）=1/2，k=1，N定义F：={Fk，k=0，…，N}，其中Fk是由k=1，…，的第一个k变量生成的σ-场σ（Z，…，Zk），N和Fis为平凡σ场，即F={, Ohm}.在N期二叉树模型中，风险资产价格Sk：Ohm → R及其折扣价格K：Ohm → R、瞬时折现率R>0，在时间k，定义为k（ω）：=SuIk（ω）dk-Ik（ω），Ik（ω）：=kXl=1Zl（ω），eSk（ω）：=e-Rsk（ω），k=1，N，（2.1）其中，Sis是时间0时风险资产的给定初始价格，u（或d）是一个固定比率，通过该比率，价格过程在u>1+r>d>0的一个时期内上升（或下降）。价格过程适应过滤F。2.1. 延迟过滤我们将在N周期二项模型中引入信息流的延迟。为简单起见，让我们考虑这样一种情况：投资者在时间t向市场发送买入或卖出指令，但在时间t+H和H之前不会执行HERORDER∈ {0，…，N- 1} 延迟时间。投资者自己知道，她在发送订单时有H个延迟期。然后我们定义延迟过滤g：={Gk，k=0，1，…，N}，其中Gk：=F，对于k=0，H- 1，andGk：=Fk-H、 k=H，N（2.2）换句话说，gk是时间min（k）之前价格过程的信息集- H、 0），而不是timek。在下文中，我们将根据延迟信息考虑投资。设AGbe是所有G适应随机过程的集合 := {k、 k=0，N-1} 使用k≡ 0，k=0，H- 1.

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可人4

2022-6-1 02:34:31

这里，每个 ∈ AGrepresents为该投资者提供了基于延迟信息的策略，即积极的k> 0（负数k分别<0）对应于在给定信息Gk的情况下，投资者在k时决定拥有（分别欠下）的风险资产股份总数。换句话说，在时间k下的命令- H购买或出售(k- k-1） therisky资产的股份，在时间k执行，价格为Sk（非Sk-H），因为H个延迟周期。因此，投资者必须处理订单提交和执行期间价格变化的风险。对于xin的初始投资，无风险资产和策略 ∈ AG，我们将考虑组合价值过程Vk（x，)（ω），k=0，N，ω∈ Ohm . 第一个订单H在时间0提交，在时间H执行，直到时间H才观察到投资组合价值过程。因此，我们定义了（2.3）VH（x，)（ω）：=x·erH+H·SH（ω），V（x，)（ω）：=e-rH·VH（x，)（ω） =x+H·eSH（ω），通常为（2.4）Vk（x，)(ω) :=e-r（H-k） ·VH（x，) （ω），k=0，H- 1，erkx+k-1Pl=HSl（ω）·（l）-1)∨H- l+ Sk（ω）·（k）-1)∨H、 k=H，N对于k=H，N，（2.4）中投资组合价值过程（erkx）的第一项对应于无风险资产的初始投资。第二学期（Pk-1l=HSl（ω）·(（l）-1)∨H- l））是由于在时间k之前无风险资产的现金流，以及第三个期限（Sk（ω）·（k）-1)∨H）与时间k时对therisky资产的投资有关。我们称之为Vk（x，), k=0，N战略的价值过程（x，) ∈ （R，AG）。通过构造，投资组合价值过程的变化（Vk（x，)) 在（2.4）中，从其在时间H的流化开始，仅由于资产价格的变化。

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mingdashike22

2022-6-1 02:34:34

换言之，投资组合中没有增加或撤回资金。请注意，初始投资组合价值V（x，)（ω）在（2.3）中，是一个随机变量，而不是常数。这是因为它是通过贴现time-H投资组合价值VH（x，)（ω），这是由于存在延迟，首次观察到Portfolio值。对于k=H，Nkis Gk可测量，但Vk（x，) Fk是否可测量。因此Vk（x，) 是Fk∨H可测量k=0，N从这个意义上讲，投资组合是基于延迟信息构建的。2.2. 没有套利我们将首先在模型中引入套利的概念。一般来说，套利意味着一个人不能免费获得任何利益，也就是说不冒任何风险。在我们的延迟信息模型中，如（2.3）所示，初始投资组合值V（x，) 是一个随机变量，因为存在时滞。因此，我们需要调整（R，AG）策略领域中套利的经典概念，以考虑到这一点。定义2.1（套利）。套利机会是策略（x，) ∈ （R，AG）使得maxω∈Ohm{V（x，) （ω） }=0，P（VN（x，) ≥ 0）=1，（2.5）P（VN（x，) > 0) > 0.与套利的经典定义的主要区别在于，时间-0组合价值的最大值必须为零（最大ω∈Ohm{V（x，) (ω)} = 0).

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何人来此

2022-6-1 02:34:37

很明显，在完全信息的情况下（即H=0），这种定义可以归结为套利机会的经典定义。我们需要证明，在具有延迟信息的离散时间模型中不存在套利。Kabanov和Stricker（2006）证明，在具有受限信息的一般离散时间模型中，不存在经典套利，当且仅当存在一个等价于P的概率测度，使得在延迟过滤上折扣股票价格的EP下的可选预测，aeP鞅是否我们的模型设置与Kabanov和Stricker（2006）的模型设置略有不同，因为我们购买/出售风险资产的第一个订单是在时间H执行的，而不是在时间0（即。k=0，k=0，H- 1). 这使得初始投资组合价值（V（x，)) 一个随机变量，而不是一个常数。定理2.1表明，在定义2.1的意义上，我们的模型中仍然不存在套利。定理2.1。在我们的离散时间模型中，在（R，AG）策略域中不存在任何套利机会。证据根据定义2.1，无套利意味着对于任何策略（x，) ∈ （R，AG）最大ω∈Ohm{V（x，) （ω） }=0，条件P（VN（x，) ≥ 0）=1表示P（VN（x，) = 0) = 1.在（R，AG）域中，根据（2.3），条件maxω∈Ohm{V（x，) （ω） }=0等于最大ω∈Ohm{VH（x，) （ω） }=0，这意味着在所有（N- H） -从时间H开始的周期二项模型，初始值为（x，) 战略是非积极的。如果我们考虑所有这些（N-H） -周期二项模型，它们分别位于卡巴诺夫和斯特里克（2006）的一般离散时间模型框架中。

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何人来此

2022-6-1 02:34:40

因此，在这些模型中，即使我们认为策略的初始值为零，条件P（VN（x，) ≥ 0）=1表示P（VN（x，) = 0）=1，假设我们证明存在一个概率测度~ P因此，延迟过滤上已贴现股票价格的EP可选预测为aeP鞅，即isEePeSk+1 | Gk= EeP公司eSk | Gk, k=H，N-1.（2.6）确定概率度量，使坐标图Zk，k=1，N仍然是独立的伯努利随机变量，但参数sep（Zk=1）=uer- 杜邦- d=1-eP（Zk=0），k∈ {1，…，N}，这是通常二项模型中的风险中性概率，没有任何延迟。假设贴现股价（eSk）是EP下的（Fk）-鞅，则条件（2.6）成立，这表明从H到N不存在套利机会。因此，根据（2.3），我们得出结论，在（R，AG）策略领域，模型中不存在套利。备注2.1。定理（2.1）中的（R，AG）策略域不包括所有F-适应策略，而只包括那些G-适应策略。换言之，我们排除了一种情况，即拥有完整信息的代理人在市场上利用与拥有延迟信息的投资者相比的优势。如果我们包括所有适应F的策略，很可能会有套利机会。2.3. 超级复制价格鉴于市场上没有套利，现在讨论定价是有意义的。定义2.2（超级复制价格和超级复制组合的价值过程）。

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能者818

2022-6-1 02:34:43

对于具有支付功能的任何未定权益：Ohm → R和到期时间N，其超级复制价格||||Μ（Д）定义为投资组合的最小初始值，超过时间N时的值，即||Μ（Д）：=inf（x，)∈Γmaxω∈OhmnV（x，)（ω） =x+HeSH（ω）o，（2.7），其中Γ：={（x，) ∈ R×AG:VN（x，) ≥ ^1P- a、 s.}。（2.8）如果存在一对（x*, *) 达到（2.7）中的最大值，即|π（Д）=最大ω∈OhmV（x）*, *)（ω），则时间k超级复制投资组合价值Vk（ω）定义为Vk（ω）：=Vk（x*, *)（ω），k=0，N，（2.9）因此，\'-π（ν）=最大ω∈OhmV（ω）。备注2。2、考虑到最坏的情况，超级复制价格是选项卖方最保守的定价方法。换言之，很容易证明任何高于超级复制价格的价格都会导致市场上的套利。备注2.3。值得注意的是，调用-输出奇偶校验不再成立。原因是超级复制价格'π是空间L上的一致风险度量∞(Ohm, F、 P）支付函数，因此它是次可加的。本文的所有结果都是针对具有凸payoff函数的欧式未定权益。在第2.4节中，我们首先考虑H=N的情况- 1并确定超级复制的价格和相应的策略。这将为第2.5节中讨论的一般情况奠定基础。非凸Payoff函数的情况在计算上要求更高，因为我们无法使用为凸函数开发的所有机制。2.4. H=N的N周期二项模型- 1延迟期当H=N时，我们确定欧洲或有索赔的超级复制价格和相应策略- 1.

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何人来此

2022-6-1 02:34:46

H=N- 1延迟信息周期意味着在时间0时，观察到风险设定价格，但订单H、投资者在时间0发送，将在时间H执行。例如，当N=2，H=1时在时间0发送在时间1执行，有两种可能的价格S=Sd或S=Su（见图1）。让我们观察一下，在H=N的情况下- 1，终值VN（x，) 将（2.4）简化为（2.10）VN（x，)（ω） =erNx+SN（ω）·N-SN（ω），ω有（N+1）个可能值∈ Ohm 在（2.1）中，只有两个控件（x，N-1）在终值中。由于有（N+1）个约束，只有两个控制，最小化问题（2.7）可能有很多解决方案。换句话说，在经济意义上，市场是不完整的。要了解有关不完全市场中定价的更多信息，请参阅Staum（2007）。SSdSuSdSudSutime 0时间1时间2图1：资产价格过程Skin a 2期二项式模型定理2.2。对于一个欧式未定权益，对于H=N的N周期二项式模型中的一些凸函数Φ（·），payoffД：=Φ（SN）- 1延迟期，超级复制价格为'π（Д）=最大x个*+ e-右侧*H·SuH，x*+ e-右侧*H·SdH,（2.11）其中相应的策略（x*, *) 由给出*j≡ 0，j=0，1，H- 1 ,(2.12) *H=*N-1=Φ（太阳）-Φ（SdN）S·（uN- dN）和x*= e-rN·uNΦ（SdN）- dNΦ（SuN）uN- dN。证据首先，我们将证明对于任何ω∈ Ohm , （十）*, *) 在（2.12）中，满足inf（x，)∈ΓnV（x，)（ω） =x+HeSH（ω）o=V（x*, *)（ω） =x*+ *H·eSH（ω）。（2.13）此处的上限为（2.8）中的集合，即x∈ R和 ∈ Ag必须满足VN（x，) ≥^1（SN）几乎可以肯定。注意，VN（x，) = （erNx+x·N-1） | x=SNin（2.10）表示为线性函数y=erNx+x的值atx=SNofN-1带坡度将y截距erNxin交给（x，y）坐标。

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nandehutu2022

2022-6-1 02:34:49

此外，由于Payoff函数Φ（·）是凸的，通过Jensen不等式，可以验证Γ={（x，) ∈ R×AG：erNx+SuN·N-1.≥ Φ（太阳），erNx+SdN·N-1.≥ Φ（SdN）}。（2.14）也就是说，为了检查不等式VN（x，) ≥ Φ（SN）以概率1成立，只需在极端情况下进行检查，其中资产价格SNat时间N是二叉树模型中的最小SdNor最大sun。然后很容易检查选项（x*, *H）在（2.12）中属于集合Γ，因为我们有erNx*+ *HSuN=Д（太阳），erNx*+ *HSdN=Д（SdN）。换句话说，最小化问题被简化为线性规划问题最小化（x，H）∈接收+H·eSH（ω）受erNx+SuN·H≥ Φ（SuN）和erNx+SdN·H≥ Φ（SdN）。定义拉格朗日asL：=x+HeSH（ω）+λ[Φ（SuN）-erNx+SuNH] + λ[Φ（SdN）-erNx+SdNH] ,其中λ和λ是拉格朗日乘子。然后，很容易检查quantitiesx*= e-rN·uNΦ（SdN）- dNΦ（SuN）uN- dN，*H=Φ（太阳）- Φ（SdN）太阳- SdN，λ*=eSH（ω）- e-RNSDN·（联合国- dN），λ*=e-rNSuN公司-eSH（ω）太阳- SDN满足最小化的Karush-Kuhn-Tucker条件。因此，（2.13）紧随其后，关键是要证明（2.15）inf（xo，)∈Γmaxω∈OhmV（x，)（ω） =最大ω∈Ohminf（xo，)∈ΓV（x，)(ω) .因此，我们得到（2.16）(R)π（Д）=maxω∈Ohminf（xo，)∈ΓV（x，)（ω） =最大ω∈OhmV（x）*, *)(ω) .然后，通过以下观测maxω完成证明∈Ohm{V（x*, *)（ω） =x*+ *HeSH（ω）}=最大值x个*+ e-右侧*H·SuH，x*+ e-右侧*H·SdH.（2.17）利用定理2.2，投资组合价值VH∈ 超级复制策略时间H的FHin（2.9）可计算为vh=erHx*+ *H·SH=HXj=0e-r（N-H）方程[Φ（SN）]·{SH=SujdH-j} =HXj=0e-r（N-H）pjΦ（太阳）+qjΦ（SdN）·{SH=SujdH-j} 。（2.18）这里{Qj}Hj=0是(Ohm, F）由Qj定义（IN=N）：=pj=1- Qj（IN=0）=1- qj，pj：=ujdH-杰尔- dH+1小时+1小时- dH+1，j=0，H（2.19）备注2.4。

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能者818

2022-6-1 02:34:52

我们可以从（2.18）中的形式得出结论，VH，即每复制一个portfolioat时间H的su值，是Sand SH的函数。换句话说，Svh≡ VH（S，SH）。因此，超级复制投资组合的价值过程是路径依赖的，因为订单提交和执行之间存在时滞。因此，超级复制价格'π（Д）可以计算为'π（Д）=最大ω∈OhmV（ω）=maxj∈{0，…，H}e-rNEQj[Φ（SN）]=最大值∈{0，H}e-rNEQj[Φ（SN）]=最大值∈{0，H}e-注册护士pjΦ（太阳）+qjΦ（SdN）= e-rNmax公司puΦ（SuN）+quΦ（SdN），pdΦ（SuN）+qdΦ（SdN）,（2.20）其中第三个等式与（2.17）中的等式类似。注释：从现在起，我们使用（pu，qu）作为（pH，qH）和（pd，qd）作为（p，q），因为（pH，qH）和（p，q）分别对应于极限点SH=SuHand SH=sdh处的度量。2.5. 具有H个延迟周期的N周期二项模型我们从第2.4节扩展了我们的考虑，并将该模型推广到具有H个延迟周期的N周期二项模型(≤ N-1）延迟时间。我们确定了具有凸支付函数的欧式未定权益的超级复制价格和相应的策略。在这里，我们将从动态规划（或反向归纳）方法和直接方法来解决这个问题。2.5.1动态规划方法首先，让我们将长度为N的树TN（0，0）定义为一组节点（i，j），使得从节点（0，0）到0有i个上下起伏≤ i+j≤ N，即TN（0，0）：={（i，j）∈ N： 0个≤ i+j≤ N} 。然后定义其（H+1）-周期子树TH+1（a，b），从时间a+b的节点（a，b）开始，通过TH+1（a，b）：={（i，j）∈ N： a+b≤ i+j≤ a+b+H+1，i≥ a、j≥ b} ，对于每个（a，b）∈ TN（0，0），使a+b≤ N- （H+1）。我们将识别所有N-H子树TH+1（a，b），从时间N的节点（a，b）开始-（H+1）（即a+b=N-（H+1））。

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能者818

2022-6-1 02:34:55

我们使用第2.4节中的结果，并考虑时间N时超级复制投资组合的价值过程- 1作为下一轮（H+1）周期子树的新支付，从时间N的节点开始- （H+2）。然后，我们继续以同样的方式向后进行超级复制。备注2.5。考虑到在动态规划方法中，我们在每个步骤中使用第（2.4）节中的结果，以及备注（2.4），我们可以得出结论，k级的价值过程∈ {H，…，N}一般模型中的超级复制策略也是路径依赖的，即（2.21）Vk≡ Vk（Sk-H、 Sk），k=H，N因此，让我们通过（2.22）ΦTH+1（a，b）（p，q）来定义从时间a+b的节点（a，b）开始的子树TH+1（a，b）的支付（即，p+q=a+b+H+1）：=Vp+qSa+bd，Sa+bdH+1如果p=a；最大值Vp+qSa+bd，Sa+buidH+1-我, Vp+qSa+bu，Sa+buidH+1-我如果p=a+i，i=1，HVp+qSa+bu，Sa+buH+1如果p=a+H+1；对于p+q≤ N- 1和ΦTH+1（a，b）（p，q）：=Φ（SN），p+q=N，其中SN=Supdq。直观地说，对于从时间a+b开始的子树TH+1（a，b），只有两个（H+1）周期子树，TH+1（a+1，b）和TH+1（a，b+1），从时间a+b+1开始，可以在时间p+q产生回报。因此，我们需要将两种可能的价值过程中的最大值作为新的回报，因为我们总是考虑超级复制中的最坏情况。请注意，在边缘点处，仅存在一个值过程。示例2.1。在H=1的四周期二叉树模型（如图2所示）中，我们需要在节点S=Sud上考虑什么新的支付取决于我们是否将该节点视为子树（1，0）或t（0，1）的一部分。

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能者818

2022-6-1 02:34:57

作为子树T（1，0）的一部分ΦT（1,0）（2,1）将是子树T（1，1）和T（2，0）对应值过程的最大值，而作为子树T（0，1）的一部分，支付ΦT（0,1）（2,1）将是子树T（1，1）的相应值过程。动态规划方法的一个重要组成部分是，当我们从ConverPayoff函数开始时，所有中间期（H+1）子树的Payoff（2.22）需要相对于相应的风险资产价格进行转换，以便能够在每个步骤中使用定理（2.2），并保持超级复制向后。定理（2.3）将这种关系形式化。定理2.3。对于带有H的N周期二项式模型中的某些凸函数Φ（·）的欧式未定权益，payoffД：=Φ（SN）≤ N-1延迟周期，支付函数ΦTH+1（a，b）（，.），a+b=0，N-（2.22）中的（H+1）对于所有中介（H+1）-期子树，相对于相应的风险资产价格是凸的。证据注意，对于a+b=N-（H+1），支付函数ΦTH+1（a，b）（，.）适用于所有（N-H）中间（H+1）-周期子树是凸的，因为最终支付函数Φ（SN）是凸的。现在我们证明了所有的payoff函数ΦTH+1（a′，b′）（，.），a′+b′=a+b- 如果所有支付函数ΦTH+1（a，b）（，.），则1将是凸的，a+b∈ {0，…，N- （H+1）}是凸的。通过归纳，这就完成了预防。假设支付函数ΦTH+1（a，b）（，.）是凸的，根据定理（2.2），存在x*和*因此，我们定义（t）：=Va+b+H（Sa′+b′u，Sa+b+H）=erHx*+ *t、 t型∈ {Sa′+b′udH，…，Sa′+b′uH+1}；erHx公司*+ *t、 t=Sa′+b′dH+1。同样，存在x*和*因此，我们定义（t）：=Va+b+H（Sa′+b′d，Sa+b+H）=erHx*+ *t、 t型∈ {Sa′+b′dH+1，…，Sa′+b′uHd}；erHx公司*+ *t、 t=Sa′+b′uH+1，我们可以定义h（t）：=最大值（h（t），h（t）），t∈ {Sa′+b′dH+1。

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mingdashike22

2022-6-1 02:35:00

，Sa′+b′uH+1}；（2.23）注意，h（t）=ΦTH+1（a′，b′）（p，q），其中t：=Supdq，假设ΦTH+1（a，b）（，.）是凸的，和（2.22）。离散函数h（.）是凸的，如果对于任何v和w，Suvdw∈ {Sa′+b′udH，Sa′+b′uHd}，wehaveh（tp）+h（tn）≥ 2h（tm），（2.24），其中tp：=Suv-1dw+1，tn：=Suv+1dw-1和tm：=Suvdw。根据v和w的选择，有4种情况：情况1：h（tp）=h（tp）和h（tn）=h（tn）。然后，给出（2.23）中的形式，我们得到h（tm）=h（tm）。然后，很容易证明（2.24）之后是函数h（tm）的线性。情况2：h（tp）=h（tp），h（tn）=h（tn）。这种情况与情况1类似。情况3：h（tp）=h（tp），h（tn）=h（tn）。然后，h（tm）将等于h（tm）或h（tm）。在不丧失一般性的情况下，假设h（tm）=h（tm）。然后假设h（tn）=h（tn），我们通过（2.23）中的形式得出结论，h（tn）≥ h（tn）。因此，我们导出h（tp）+h（tn）=h（tp）+h（tn）≥ h（tp）+h（tn）≥ 2h（tm）=2h（tm），其中最后一个不等式后跟h的线性（.）作用情况4：h（tp）=h（tp），h（tn）=h（tn）。该案例与案例3类似。因此，在给定定理（2.3）的情况下，我们可以应用动态规划方法，推导出投资组合值Vk（Sk-H、 k=a+b+H，k时的Sk）in（2.21）∈ {H，…，N- 1} 在超级复制策略中，使用表示法（2.18），asVk（Suadb，Sk）=HXj=0e-rpjΦTH+1（a，b）（a+H+1，b）+qjΦTH+1（a，b）（a，b+H+1）{Sk=Sk-HujdH公司-j} ，（2.25）k=H，N- 1，其中pjand qj，j=0，H的定义如（2.19）所示。插入（2.22），k=H，N- 2，我们得到了密钥递归公式lavk（Sk-H、 Sk）=HXj=0e-rpjVk+1（Sk-Hu，Sk-HuH+1）+qjVk+1（Sk-Hd，Sk-HdH+1）{Sk=Sk-HujdH公司-j} ，（2.26）k=H，N-2.SSDSUSDSUDSUSDSUDSUDSUDSUDSUDSUDSUDSUDSUTIME 0次1次2次3次4图2：资产价格过程皮肤a 4期二项模型备注2.6。

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nandehutu2022

2022-6-1 02:35:03

我们可以得出结论，当我们向后超级复制时，价值过程Vk（Sk-H、（2.21）中的Sk）仅在两个极端点Sk=Sk时需要-HuHand Sk=Sk-HdH，因为递归公式（2.26）右侧的公式。换句话说，我们只使用（pu，qu）=（pH，qH）和（pd，qd）=（p，q）。因此，与（2.20）类似，超级复制价格'π（Д）最终可计算为'π（Д）=e-rHmaxVH（S，SuH），VH（S，SdH）.（2.27）2.5.2直接逼近本节，我们求解递归方程（2.26）并获得值过程Vk（Sk-H、 Sk）明确表示超级复制策略。正如备注（2.6）所示，当我们向后超级复制时，我们只需要极端点的值过程，即Vk（Sk-H、 Sk公司-HuH）和Vk（Sk-H、 Sk公司-HdH），k=H，N-1、定义概率空间(Ohmk、 Fk，Qk）对于k=H，N- 1个带Ohmk={0，1}eN+H，Borelσ-代数Ohmk、 andeN=N- k、对于每个ωk=（ωk，1，…，ωk，eN+H）∈ Ohmk、我们通过ZK，m（ωk）=ωk，mf为每个m定义一个坐标图∈ {1，…，eN+H}。设Qkbe为概率测度，其中Zk，m，m=1，初始位置为Zk的eN+H，0为阿马尔科夫链，对于l=1，恩- 1，它有转移矩阵q=qdpdqupu在{0，1}上。（2.28）此外，对于l=eN，eN+H，QkZk，eN+H=···=Zk，eN=1 | Zk，eN-1= 1= pu，QkZk，eN+H=···=Zk，eN=-1 | Zk，eN-1= 1= qu，QkZk，eN+H=···=Zk，eN=1 | Zk，eN-1= 0= pd，QkZk，eN+H=···=Zk，eN=-1 | Zk，eN-1= 0= qd。（2.29）风险资产价格Sk-H+msatis fiessk公司-H+m：=Sk-HuIk，mdm-Ik，m，Ik，m=mXl=1Zk，l，m=1，eN+H。（2.30）备注2.7。在测量值Qk下，k=H。

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何人来此

2022-6-1 02:35:06

N- 1，Pu是先向上移动再向上移动的概率，quis是先向下移动再向上移动的概率，Pd是先向上移动再向下移动的概率，Qd是先向下移动再向下移动的概率。此外，方程式（2.29）旨在确保最后的H+1移动是向上还是向下。备注2.8。在测量值Qk下，k=H，N-1，向下移动之前向下移动（qd）的概率高于向下移动之前向上移动（qd）的概率。向上移动也是如此。因此，在这些措施下，风险资产价格的方差高于初始措施P。备注2.9。如果我们把H=0，转移矩阵（2.28）将有重复的行（即pu=pdandqu=qd）。因此，在这种情况下，该模型归结为Cox等人（1979）的二叉树模型，所有方程都得到了相应的简化。定理（2.4）表示Vk（Sk-H、 Sk公司-HuH）和Vk（Sk-H、 Sk公司-HdH），k=H，N-1测量值Qk下的预期值。定理2.4。对于一个欧式未定权益，对于某些凸函数Φ（SN），payoffД：=Φ（SN）∈ L∞(Ohmk、 Fk，Qk），k=H，N-1、价值过程Vk（Sk-H、 Sk公司-HuH）和Vk（Sk-H、 Sk公司-HdH），k=H，N- 1对于超级复制策略，在具有H个延迟周期的N周期二项模型中，可以计算asVk（Sk-H、 Sk公司-HuH）=e-reNEQk（Φ（SN）| Zk，0=1），（2.31）Vk（Sk-H、 Sk公司-HdH）=e-reNEQk（Φ（SN）| Zk，0=0）。（2.32）证明。我们需要证明（2.31）和（2.32）满足k=H，…，的递归方程（2.26），N- 2和方程（2.25），对于k=N-1、对于k=N- 1，如（2.18）所示，对于k=H。

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可人4

2022-6-1 02:35:09

N- 2，通过调节Zk，1，（2.31）Satisfik（Sk-H、 Sk公司-HuH）=e-reNEQk（Φ（SN）| Zk，0=1），=e-reN“EQk（Φ（SN）| Zk，0=1，Zk，1=0）Qk（Zk，1=0 | Zk，0=1）+EQk（Φ（SN）| Zk，0=1，Zk，1=1）Qk（Zk，1=1 | Zk，0=1）#。注意(Ohmk、 Fk、Qk）和(Ohmk+1，Fk+1，Qk+1），EQk（Φ（SN）| Zk，0=1，Zk，1=0）=e-rEQk+1（Φ（SN）| Zk+1,0=0），EQk（Φ（SN）| Zk，0=1，Zk，1=1）=e-需求K+1（Φ（SN）| Zk+1,0=1）。此外，Qk（Zk，1=0 | Zk，0=1）=quand Qk（Zk，1=1 | Zk，0=1）=pu。因此，Vk（Sk-H、 Sk公司-HuH）=e-任puEQk+1（Д（SN）| Zk+1,0=1）+quEQk+1（Д（SN）| Zk+1,0=0）,= e-rpuVk+1（Sk-H+1=Sk-Hu，Sk+1=Sk-HuH+1）+quVk+1（Sk-H+1=Sk-Hd，Sk+1=Sk-HdH+1）,这就完成了证明。类似地，它也可以显示为（2.32）。备注2.10。如果我们感兴趣的只是找出time-0超级复制价格'π（Д），我们只需要概率空间(OhmH、 FH、QH）其中OhmH={0，1}N。那么，我们将得到'π（ν）=e-rNmax公司EQH（Φ（SN）| ZH，0=1），EQH（Φ（SN）| ZH，0=0）.（2.33）引理2.1（其证明见附录）计算公式k（Φ（SN）| Zk，0=1），k=H，N-1、对于H+1≤ 我≤eN+H- 1，1≤ j≤ 最小值（i- H、 eN+H- i）。定义（i，j）：=eN+H- 我- 1j- 1.我- Hj公司q（j）uq（eN+H-我-j） dp（i-j-H）向上（j）d.（2.34）也适用于0≤ 我≤恩- 2, 1 ≤ j≤ 最小值（i+1，eN- 我- 1），定义（i，j）：=恩- 我- 2j- 1.ij公司-1.q（j）uq（eN-我-j） dp（i-j+1）向上（j-1） d+恩- 我- 2j-1.i+1j-ij公司- 1.q（j+1）uq（eN-我-j-1） dp（i-j） up（j）d.（2.35）引理2.1。对于函数Φ（SN）∈ L∞(Ohmk、 Fk，Qk），k=H。

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kedemingshi

2022-6-1 02:35:12

N- 1，条件期望eqk（Φ（SN）| Zk，0=1）可以显式计算为eqk（Φ（SN）| Zk，0=1）=eN+HXi=0QkSN=Sk-惠登+H-i | Zk，0=1Φ（Sk-惠登+H-i），（2.36），其中QkSN=Sk-惠登+H-i | Zk，0=1由给出最小值（i+1，eN-我-1） Pj=1h（i，j）0≤ 我≤ H最小值（i+1，eN-我-1） Pj=1h（i，j）+min（i-H、 eN+H-i） Pj=1f（i，j）H+1≤ 我≤恩- 2.p（eN-1） uqu+最小值（eN-H-1，H+1）Pj=1f（i，j）i=eN- 1.最小值（i-H、 eN+H-i） Pj=1f（i，j）eN≤ 我≤eN+H- 1.p（eN）ui=eN+H.（2.37）类似地，引理2.2计算等式k（Φ（SN）| Zk，0=0），k=H，N-1、同样适用于H+2≤ 我≤eN+H，1≤j≤ 最小值（i- H- 1，eN+H- i+1），定义（i，j）：=我- H- 2j-1.eN+H- ij公司-1.q（j-1） uq（eN+H-我-j+1）dp（i-j-H）上（j）d+我- H- 2j-1.\"eN+H- i+1j-eN+H- ij公司-1.#q（j）uq（eN+H-我-j） dp（i-j-H-1）向上（j+1）d.（2.38）为1≤ 我≤恩- 1，1≤ j≤ 最小值（i，eN- i），定义（i，j）：=我- 1j- 1.恩- ij公司q（j）uq（eN-我-j） dp（i-j） up（j）d.（2.39）引理2.2。对于函数Φ（SN）∈ L∞(Ohmk、 Fk，Qk），k=H，N- 1，条件期望eqk（Φ（SN）| Zk，0=1）可以显式计算为eqk（Φ（SN）| Zk，0=1）=eN+HXi=0QkSN=Sk-惠登+H-i | Zk，0=1Φ（Sk-惠登+H-i），（2.40）SΦ（S）SdSdSSudSuSux*Φ最优LineV（S，S=Su）V（S，S=Sd）图3：具有1周期延迟的2周期二项式模型中的超级复制策略。最优线路是超级复制策略的特征。它的坡度是*它的截距是x*. 超级复制价格为‘（π）=max{V（S，S=Sd），V（S，S=Su）}。其中QkSN=Sk-惠登+H-i | Zk，0=1由给出q（eN）di=0分钟（i，eN-i） Pj=1eh（i，j）1≤ 我≤ Hq（eN-1） dpd+最小值（H+1，eN-H-1） Pj=1eh（i，j）i=H+1；最小值（i，eN-i） Pj=1eh（i，j）+min（i-H-1，eN+H-i+1）Pj=1ef（i，j）H+2≤ 我≤恩- 1.最小值（i-H-1，eN+H-i+1）Pj=1ef（i，j）eN≤ 我≤eN+H.（2.41）证明。

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nandehutu2022

2022-6-1 02:35:15

这个证明与引理2.1的证明非常相似，只是这个不同，因为Zk，0=0，我们寻找向上的群，而不是向下的群。2.6. 几何表示在本小节中，我们首先从几何角度讨论定理2.2，然后，为了方便起见，我们在第2.5.1小节中以几何形式表示动态规划方法，假设利率为0，且本小节中的H为1。在定理2.2中，我们讨论了H=N的N周期二项模型中- 1延迟期，对于支付函数为φ：=Φ（SN）的欧式凸未定权益∈ L∞(Ohm, F、 P），存在*手部x*使得vh（S，SH）=x*+ *HSH。（2.42）这表明存在一条带坡度的线*手动截距x*这样，超级复制值函数VH（S，SH）就位于这条线上。图3显示了具有1个延迟周期的2周期二项式模型中的最优线路、超级复制价格和超级复制价值函数。从几何角度演示第2.5.1小节中的动态规划方法更为直观。图2显示了一个具有1周期延迟的4周期二项模型。图4显示了如何通过几何方法确定Φ（S）sdsdsudsudsudsudsud Sud suussd SudSuSuSΦmknlomjhigfdV（S，S=Su）V（S，S=Sd）图4：使用动态规划方法在具有1个周期延迟的4周期二项模型中的超级复制策略的几何表示具有凸支付函数（Φ（.））的未定权益的超级复制价格。为方便起见，为了避免x轴上的点杂乱无章，假设ud=1，因此模型中的一些点相互重叠。现在，为了确定时间3的超级复制价格，有必要考虑三个具有1周期延迟T（2，0）、T（1，1）和T（0，2）的2周期二项模型。

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nandehutu2022

2022-6-1 02:35:18

在图4中，行（om）、（nl）和（mk）分别显示了这些模型中每个模型的最佳超级复制行。可以看出，在节点s=Sud和s=sudden中有两个支付取决于用于定价的子树（即，取决于Sis）。现在，我们再回溯一段时间，以确定时间2的支付。我们需要考虑两个2周期模型T（1，0）和T（0，1）。请注意，在这两个模型中，需要选择节点S=Sud（在两个PayoffsΦT（1,0）（2，1）和ΦT（0,1）（2，1）中）和=Sud（在两个PayoffsΦT（1,0）（1，2）和ΦT（1,0）（1，2）中）的相应Payofff。正如定理（2.3）所示，这两个模型的Payoff函数都是凸函数。线条（jh）和（ig）展示了这些模型的最佳线条。类似地，为了计算时间1的支付，需要使用2期模型T（0，0），线（fd）显示该模型的最佳线。最后，我们得到了超级复制价格'π（ν）=max{V（S，S=Sd），V（S，S=Su）}。连续时间模型在本节中，我们讨论模型的渐近行为。我们定义了概率空间(Ohmn、 Fn，Qn），n∈ N因此Ohmn={0，1}n，fn是上的Borelσ-代数Ohmn、对于每个ωn=（ωn，…，ωnn）∈ Ohmn、使用Zn绘制坐标图l（ωn）=ωnl对于每个l ∈ {1，…，n}。确定过滤{Fnl, l = 0, . . . , n} ，其中Fnl是σ-字段σ（Zn，…，Znl) 由第一个生成l 变量l = 1.n和Fis是平凡的σ场。Letu，σ，r∈ [0, ∞), H∈ N、 T>0（固定时间范围），并确定序列uN=uTδN，σN=σ√Tδn，un=exp（un+σn），dn=exp（un- σn），rn=rTδn，Hn=HTδn，（3.1），其中δn阶=/√n、就像Donsker定理一样。备注3。H表示我们有延迟信息的周期数，这在渐近分析中是常数。

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nandehutu2022

2022-6-1 02:35:21

然而，Hn是我们延迟信息的时间量，应该在限定范围内消失。否则，超级复制价格将爆炸式增长，并收敛到未定权益支付函数的最大值。3.1. 价格过程渐近定义概率度量Qn，类似于（2.28）和（2.29），例如Znl, l = 1.初始位置为zn的n是一个马尔可夫链，对于l = 1.n- H- 1，它具有转移矩阵qn=qn、dpn、dqn、upn、u在{0，1}上。（3.2）此外，对于m=n- Hn、 Qn公司Znn=···=Znn-H=1 | Znn-H-1= 1= pn、u、QnZnn=···=Znn-H=-1 | Znn-H-1= 1= qn，u，qnZnn=···=Znn-H=1 | Znn-H-1= 0= pn、d、QnZnn=···=Znn-H=-1 | Znn-H-1= 0= qn，d，（3.3），其中pn，u，qn，u，pn，dand，qn，dare定义，类似于（2.19），j=0，H，aspn，d：=dHnern- dH+1nuH+1n- dH+1n=1- qn，d，pn，u：=uHnern- dH+1nuH+1n- dH+1n=1- qn，u.（3.4）那么，风险资产价格Snl, 与（2.1）类似，令人满意l= Sexp“lun+σnlXi=1Xni#，l = 0, . . . , n、（3.5）其中Xni=2Zni- 下面的引理3.1提供了pn、Uan和pn的渐近解，d引理3.1。我们有Pn，u=2H+12（H+1）-u - r2（H+1）σ+2H+14（H+1）σ√Tδn+Oδn,（3.6）pn，d=2（H+1）-u - r2（H+1）σ+2H+14（H+1）σ√Tδn+Oδn.（3.7）证明。证明只需将泰勒展开式应用于un、Dn和rn，并将其插入（3.4）。通过设置tn离散时间间隔l:= Tl/n通过在间隔上插值[tnl-1，tnl) 以顺时针恒定方式与（Snl, l = 0, . . . , n），我们得到了风险资产价格过程S（n）=（S（n）t）0≤t型≤TS（n）t：=序号nt公司/T、 0个≤ t型≤ T、（3.8）其中. 是FLOOR函数。过程S（n）具有与左极限右连续的轨迹。注意，在详情（n）tn中l= 序号l, l = 0, . . . , n、这里，S（n）根据概率测度ρ分布在具有左极限的右连续函数的Skorokhod间隔[0，T]上。

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kedemingshi

2022-6-1 02:35:23

定理3.1提供了序列（ρn）n的弱收敛性∈N、定理3.1。过程序列（S（n））n∈nConverge分布到进程（St）0≤t型≤twithdynamicdst=rStdt+eσStdWt，0≤ t型≤ T、（3.9）其中（Wt）0≤t型≤这是布朗运动，我们有放大的挥发度σ=√2H+1σ。（3.10）证明。首先，请注意qnXn公司l= 1 | Xnl-1.=pn，u+pn，d+Xnl-1（pn，u- pn，d）, l = 1.n- H- 1，根据引理3.1，我们得出结论qnXn公司l= 1 | Fnl-1.= pll, Xn公司l-1., l = 1.n- H- 1，其中在Gruber和Schweizer（2006）pn的符号中(l, x） =[1+φδn+λnx]+O（δn），φ=-2.u - r2（H+1）σ+2H+14（H+1）σ√T，λn=HH+1+O（δn）。（3.11）现在，我们将函数中心极限定理应用于Gruber和Schweizer（2006）中的广义相关随机游动，其定理1和备注3的an（t，y）：=λ和bn（t，y）：=φ。根据连续映射定理，无论Xn的初始分布如何，S（n）都会在分布上收敛到（St）0≤t型≤锡（3.9）。特别是limn→∞λn=H/（H+1），我们看到挥发度σ=s1+limn→∞an（t，Yt）1- 画→∞an（t，Yt）·σ=√2H+1σ为常数，且大于σ，其中Yt=对数标准。备注3。2、极限波动性增大是由于间隙λn=pn，u-pn、din（3.11），这是由于信息流的延迟引起的（当延迟周期数H=0时为零）。事实上，这是导致定价措施下的价格过程更加不稳定的主要原因。3.2. 夸张的波动率微笑在这一小节中，我们讨论了模型的波动率微笑，以及它是如何随周期数（n）而演化的。波动率微笑是Black-Scholes隐含波动率与执行价格的关系图。Impliedvolatility是Black-Scholes定价模型中波动率的值，该模型产生的价格等于我们模型的价格。

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nandehutu2022

2022-6-1 02:35:26

一些市场特征，如对粗鲁的恐惧，被认为是市场微笑的罪魁祸首。波动率微笑一直是期权定价文献中的中心话题之一，许多模型都是为了捕捉它而开发的。关于这方面的更多讨论，请参阅Gathereal（2011）。我们的延迟信息模型表明，延迟信息夸大了微笑。图5当nn=100时，在有无延迟信息的模型中，对看涨期权和看跌期权的波动率进行预测。在具有延迟信息的模型中（Hn=年≈ 2.52天），我们观察到波动率微笑，与无延迟信息的模型相反，我们得到了几乎是波动的微笑，根据备注2.9，这是预期的。请注意，在具有延迟信息的模型中，我们对看涨期权和看跌期权有不同的里程数，这是因为没有任何看跌平价，如Remark2.3所述。图5描绘了在具有延迟信息（Hn=250000年）的模型中，当周期数非常大（n=250000）时，看涨期权和看跌期权的波动率微笑≈ 30秒）。我们观察到，看涨期权和看跌期权的波动率微笑几乎相同，这也可以通过3.10中的理论结果进行计算。图5和图6中的波动性微笑证实了交易员的直觉，即延迟信息会夸大波动性微笑，但它不是罪魁祸首。这是因为在连续极限下，波动率是常数，没有微笑，但在离散模型中，我们可以观察到波动率微笑。

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kedemingshi

2022-6-1 02:35:29

因此，它表明，我们与延迟信息的互动方式可能夸大了市场上观察到的微笑，而微笑可能并非完全由市场本身造成的。图5：有无延迟信息（Hn=年）二项模型中看涨期权和看跌期权的波动率微笑≈ 分别为2.52天和0天）。参数为σ=0.1、T=1、r=0、S=40和n=100图6：延迟信息二项模型中看涨期权和看跌期权的波动率微笑（Hn=250000年≈ 30秒）。参数为σ=0.1、T=1、r=0、S=40和n=250，000A。引理证明2.1Proof。请注意，QkSN=Sk-惠登+H-i | Zk，0=1, i=0，eN+H是从{pu，pd，qu，qd}中选择的几个eN元素的乘积之和，每个乘积项对应于树中从节点Sk开始的路径-H、并在节点SN=Sk处结束-惠登+H-i、给定方程式（2.29），最后的H+1移动需要向上或向下，并且它们仅作为一次移动起作用。根据备注（2.7），由于其以Zk为条件，0=1，因此所有产品术语中的第一个元素为qu或pu。对于H+1≤ 我≤恩- 2，最后一个（H+1）周期移动到n=Sk-惠登+H-我可以是向下的，也可以是向上的。在向上的情况下，我们需要考虑从Sk开始的所有路径-Hto序号-2=Sk-回族-2分钟+小时-i由i组成-2向上移动andeN+H-我向下看。

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能者818

2022-6-1 02:35:32

有eN+H-2i-2.但是，这些路径并不都是等价的，并且会根据en+H的位置，在{pu，pd，qu，qd}之外产生不同的n元素schosen乘积项- 我在路径中向下移动。请注意，所有具有相同数量的向下组的路径都会产生相同的乘积项，其中向下组是在向上移动之前（如果有）以及在向上移动之后（如果有）的任意数量的连续向下移动。例如，序列和都有两组移动。研究向下移动组的原因是，所有向下移动组中的起始元素都是qu。在这种表示法中，j对应于从1开始的组数（假设存在至少一个向下移动），并且可以达到min（i-H、 eN+H-i）。请注意，有eN+H-我-1j-1.我-Hj公司具有精确j组的路径。因此，沿着这条路径，量子和概率密度的幂都是j，因此，量子点和概率密度的幂分别是en+H-我-j和i-j-H、式（2.34）中的f（i，j）对应于这些路径。第二种情况是，最后一次（H+1）周期移动是向下的。然后，我们需要考虑从节点Sk开始的所有路径-Hto序号-2=Sk-惠登+H-我-2由i向上移动和N+H组成- 我- 2个向下的。这里不仅向下移动的次数很重要，而且从时间N开始移动的方向（向上或向下）也很重要- 3至N- 2也是相关的。请注意，有恩-我-2j-1.ij公司-1.具有精确j组的路径，使得最后1个周期从N开始移动- 3至N- 2是向下的，因此相应的乘积项是q（j）uq（eN-我-j） dp（i-j+1）向上（j-1） d，还有恩-我-2j-1.[i+1j-ij公司-1.] 具有精确j组的路径，以便最后1个周期从n开始移动- 3至N- 2向上。

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nandehutu2022

2022-6-1 02:35:35

方程（2.35）中的函数h（i，j）考虑了所有这些路径。对于H+1≤ 我≤恩- 2，有必要同时使用f（i，j）和h（i，j），以考虑最后（h+1）周期的移动可以是向上和向下的。同样的推理适用于0≤ 我≤ 汉登≤ 我≤eN+H-1，但此处最后一次（H+1）周期移动只能向下移动0≤ 我≤ H和向上Foren≤ 我≤eN+H-1、对于i=eN-1当最后一个（H+1）周期向下移动且i=eN+H时，函数f（i，j）和H（i，j）不能使用，因为在来自Sk的所有路径中-Hto序号-2=Sk-HueN+H-2，根本没有向下移动来形成向下组（即j=0）。ReferencesBank，P.和Dolinsky，Y.（2016）。具有固定交易成本的超级复制。arXiv预印本XIV:1610.09234。Bank，P.、Dolinsky，Y.和Perkki–o，A.-P.（2017）。在多变量情况下，具有小交易成本的超级复制价格的扩展限制。《金融与随机》，32:487–508。Bouchard，B.和Nutz，M.（2015年）。非支配离散时间模型中的套利和对偶。应用概率年鉴，25（2）：823–859。Boyle，P.P.和Vorst，T.（1992年）。具有事务成本的离散时间内的选项复制。《金融杂志》，47（1）：271–293。Burzoni，M.、Frittelli，M.、Hou，Z.、Maggis，M.和Ob l\'oj，J.（2016a）。不区分时间的逐点套利定价理论。arXiv预印本arXiv:1612.07618。Burzoni，M.，Frittelli，M.，和Maggis，M.（2016b）。不确定性离散时间市场中的通用套利聚合器。《金融与随机》，20（1）：1-50。Ceci，C.、Colaneri，K.和Cretarola，A.（2017年）。不完全信息下的f¨ollmer–schweizer分解。出现在《圣奥喀斯特》第1-35页。考克斯，J.C.，罗斯，S.A.，和鲁宾斯坦，M.（1979）。期权定价：一种简化的方法。《金融经济学杂志》，7（3）：229–263。Di Masi，G.，Platen，E.，和Runggaldier，W.（1995）。

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可人4

2022-6-1 02:35:38

随机波动资产离散观测下的期权套期保值。随机分析、随机场和应用研讨会，第359-364页。斯普林格。Dolinsky，Y.和Soner，H.M.（2016）。具有交易费用的凸对偶。运筹学数学，42（2）：448–471。El Karoui，N.和Quenez，M.-C.（1995年）。不完全市场中未定权益的动态规划与定价。暹罗控制与优化杂志，33（1）：29–66。Frey，R.（2000年）。高频数据模型中不完全信息的风险最小化。数学金融，10（2）：215–225。Gathereal，J.（2011年）。《波动表面：从业者指南》，第357卷。约翰·威利父子公司。Gruber，U.和Schweizer，M.（2006）。广义相关随机游动的扩散极限。应用概率杂志，43（01）：60–73。Kabanov，Y.和Safarian，M.（2009年）。有交易成本的市场：数学理论。SpringerScience&Business Media。Kabanov，Y.和Stricker，C.（2006年）。延迟和受限信息下的Dalang–Morton–Willinger定理。《纪念保罗·安德烈·梅耶》（Memoriam Paul Andr’e Meyer），第209–213页，S’eminaire de Probabilit’S XXXIX。斯普林格。Kardaras，C.（2013）。有限信息下的广义超鞅解。数学金融，23（1）：186–197。Kohlmann，M.和Xiong，D.（2007）。具有部分信息的可违约期权的均值-方差套期保值。S tochastic Analysis and Applications，25（4）：869–893。Kusuoka，S.（1995年）。具有交易费用的期权复制费用的极限定理。《应用概率年鉴》，第198-221页。Leland，H.E.（1985）。有交易成本的期权定价和复制。《金融杂志》，40（5）：1283–1301。Mania，M.、Tevzadze，R.和Toronjadze，T.（2008年）。部分信息下的均值-方差套期保值。《暹罗控制与优化杂志》，47（5）：2381–2409。Schweizer，M.（1994）。

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