动态分位数函数模型

2022-6-1 02:43:34

动态分位数函数模型Wilson Ye Chen、Gareth W.Peters、Richard H.Gerlach和Scott A.SissonUniversity of Sydney、Australia Heriot Watt University、UKUniversity of Sydney、Australian University of New South Wales，Australia May 52021出于对日内收益分布特征进行有效总结、建模和预测的需要，除了在符号数据分析领域预测直方图值时间序列的最新工作外，我们还开发了用于预测分位数函数值（QF值）日内收益汇总的时间序列模型。我们将此模型称为动态分位数函数（DQF）模型。我们建议使用g和h分位数函数来总结日内收益的分布，而不是直方图。我们使用DQF模型的贝叶斯公式，以便在考虑参数不确定性的同时进行统计推断；针对基于采样的后验引用，提出了一种高效的MCMC算法。使用十个国际市场指数和每个市场大约2000天的样本外数据，DQF模型在预测日内收益的VaR方面，与区间值和柱状图值时间序列模型相比，表现良好。此外，我们还通过一个简单的日收益分位数回归模型（QR-DQF），证明了QF值预测可以用于预测每日时间尺度上的VaR度量。在某些市场，由此产生的QR-DQF模型能够为每日回报提供有竞争力的VaR预测。关键词：马尔可夫链蒙特卡罗；g和h分布；分位数函数；符号数据；风险价值。1引言建模和预测金融资产收益的分布特征是金融计量经济学许多领域的一项重要任务。

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2022-6-1 02:43:37

例如，波动率对应于回报有条件分布的二阶矩，是金融工具和资产配置策略定价模型的关键输入。另一个例子是风险价值（VaR），它由条件回报分布的分位数给出。自1994年作为摩根大通ISKmetrics的组成部分引入以来，VaR已成为指导投资决策和监管资本配置的标准风险度量。在过去的二十年中，高频数据的可用性迅速增加，导致了各种建模和预测方法的发展，即每日内收益的总结。然后，可以将该每日总结合并到一个模型中，以获得每日回报的分布特征，与仅使用每日回报的模型相比，通常会提高预测性能。这种总结最显著的例子是每日实现波动率（RV），它是一天内四次日内回报的总和。与平方日收益率相比，RV是未观测到的日收益率波动率的无噪声估计器，伴随着基于二次变化的广泛理论发展（Andersen和Bollerslev，1998；Andersen等人，2001；Barndorff-Nielsen和Shephard，2002；Meddahi，2002）。

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2022-6-1 02:43:40

虽然一些作者（Martens et al.，2004；Ghysels et al.，2006；Corsi，2009）专注于RV测量时间序列的动态行为建模问题，但其他作者（Andersen et al.，2003；Giot and Laurent，2004；Clements et al.，2008；Maheu and McCurdy，2011）考虑纳入由参数时间序列模型生成的RV点预测，转化为VaR模型或每日收益的条件分布。RV将日内收益减少为一个单一编号的摘要，仅描述收益分布的规模；任何由日内收益的符号或极端观察比例提供的信息都将丢失。最近，很少有论文考虑过第二时刻之后的日内收益总结，以及如何对这些总结进行建模和预测。例如，在Arroyo and Mat\'e（2009）、Arroyo et al.（2010）、Arroyo et al.（2011）和Gonz\'alez Rivera and Arroyo（2012）中，直方图和区间被用作高频回报的低频总结。具体而言，Gonz'alez Rivera和Arroyo（2012）对标准普尔500指数日内收益的日直方图时间序列进行了建模，其中每个直方图被划分为十个区间，每个区间包含10%的日内收益。此外，作者还将直方图的每个bin分别作为区间值时间序列进行分析。Arroyo等人（2011年）采用指数平滑滤波器预测标准普尔500指数和IBEX 35指数的日内回报率的日直方图，并根据直方图预测中检索到的VARProducts对模型进行比较。在一个被称为“符号数据分析”（SDA）的新兴统计领域（Billardand Diday，2003；Billard，2011；Beranger et al.，2020），随机区间和历史图通常被用作组级总结（Dias和Brito，2015；Hron et al.，2017）。

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2022-6-1 02:43:43

SDA关注基于组级分布值摘要（即符号）集合进行探索性分析、预测和统计推断，其中感兴趣的统计单位是符号，需要在符号级进行分析。SDA的一个主要优点是，符号表示一组单个水平观测值的压缩版本；大型和复杂的数据集被更小的组级符号值观测集所取代（Beranger et al.，2020）。诚然，除非有足够的统计数据，否则压缩是以信息丢失为代价的。最佳选择的符号类型应最大限度地提高与感兴趣的总体参数相关的信息含量。由于SDA的核心是分布摘要的建模，因此它为分析日内资产收益的分布特征提供了一个自然的框架。在本文中，我们探讨了利用符号数据方法对十大国际股票指数日内收益率的日分布进行建模和预测的想法。虽然区间能够对个人观察的位置和规模信息进行编码，但直方图为日内收益的整体再分配提供了非参数摘要，因此可以捕获更高时刻的信息。直方图摘要有三个潜在的缺点。首先，直方图的构造对于给定的数据集不是唯一的；目前尚不清楚如何优化设置垃圾箱边界的数量和位置，这对分布摘要的形状有很大影响。一些作者考虑为选定的信息内容水平构建具有最少数量（可能宽度不等）的唯一直方图（Herrholz，2010；Li等人，2020）。

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2022-6-1 02:43:46

其次，很难对极端分位数进行建模，因为没有足够的数据来填充位于尾部太远的箱子。因此，Arroyo等人（2011年）选择从他们的研究中排除1%和99%的分位数。第三，一般来说，直方图不能描述随机变量的分布。鉴于直方图的缺点，我们建议考虑将可变参数分位数函数作为一种新的符号类型，用于总结给定日期的日内收益。具体而言，开发了分位数函数值（QF值）时间序列模型，称为动态分位数函数（DQF）模型，其中每个观测值都是g和h分布的分位数函数。采用g和H分位数函数作为符号表示有几个优点。首先，通过L-矩估计器（Peters et al.，2016），日内收益通过g和h分位数函数的四个参数进行唯一和简洁的总结。其次，g-and-h分布（仅通过其分位数函数定义）能够适应大范围的尾部厚度和偏度，并接近广泛的分布（Dutta和Perry，2006）。例如，与其他可变参数族（如广义β、指数广义β、歪斜广义t和逆双曲正弦）相比，g和h分布对歪斜峭度组合的限制最小（McDonald和Michelfelder，2016）。

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2022-6-1 02:43:49

第三，g-and-h量化函数可以利用一天中所有实现的收益，准确总结日内收益的尾部行为。通过采用Le Rademacher和Billard（2011）以及Brito和Duarte Silva（2012）的方法为符号数据构建似然函数（另一种方法见Zhang和Sisson（2017）），我们能够通过精心设计的自适应马尔可夫链蒙特卡罗采样算法在计算贝叶斯框架中进行参数估计和推断。贝叶斯后验抽样为处理参数不确定性提供了一种自然的机制。例如，当从建议的DQF模型计算点预测时，与插入参数向量θ的单个最佳估计相反，贝叶斯预测是通过对θ的所有可能值进行平均，并通过后验分布进行加权来给出的。此外，贝叶斯公式允许我们通过先验分布将参数约束和收缩施加在连贯和灵活的神经网络中。最后，与涉及数值挑战性高维约束优化问题的最大似然法相比，贝叶斯方法允许我们利用与基于采样的参数估计方法相关的数值稳健性（Briol et al.，2017；Gerlach and Wang，2020）。采用DQF模型对日内收益的日量化函数进行建模和预测。使用十个国际市场指数和每个市场大约2000天的样本外数据，就VaR预测而言，将拟议的QF模型的性能与Arroyo et al.（2010）、Arroyo et al.（2011）和Gonz\'alezRivera and Arroyo（2012）的区间和历史值时间序列模型进行比较。

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2022-6-1 02:43:52

VaR预测是DQF模型的自然应用，因为通过评估预测的g和h分位数函数，可以直接从QF值预测中获得任何阈值的分位数预测。以回报分布的下限为重点，比较了5%和1%阈值水平下的VaR预测。DQF模型显著优于基于区间值和直方图值总结的先前模型，在更极端的1%水平上更是如此。除了对QF估值的日内收益进行建模和预测外，我们还表明QF估值的预测可以作为低频收益模型的输入。为了证明这一点，我们使用标准简单分位数回归作为低频模型来预测日收益率的低尾VaR度量。各节的组织如下。在第2节中，我们设置了符号并介绍了DQF模型类，重点介绍了gh DQF模型。第3节讨论了用于参数估计的相关似然、贝叶斯公式和自适应MCMC采样算法。第4节对所提出的MCMC估计器进行了仿真研究。在第5节中，gh DQF模型用于分析十个国际市场的股本指数，并通过VaR预测评估样本外绩效。第6节总结了研究结果并对文章进行了总结。2动态分位数函数模型2.1初步在本节中，我们建立了QF值时间序列的符号和概率框架。

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2022-6-1 02:43:55

关于符号值时间序列模型的早期论文将区间和柱状图视为日内收益的每日摘要（Arroyo和Mat'e，2009；Arroyoet al.，2010，2011；Gonz'alez Rivera和Arroyo，2012），其中预测是在没有为符号指定近似于基础数据生成过程的概率模型的情况下进行的。Le Rademacher和Billard（2011）以及Brito和Duarte Silva（2012）提出了一种间接定义符号数据概率生成模型的方法{Xt∈ S} 作为映射M下Rp上分布的推进度量-1：卢比→ S、在这里，我们总结了Le Rademacher和Billard（2011）以及Brito和Duarte Silva（2012）的似然构造方法，我们将其用于设计QF值时间序列的贝叶斯模型。我们将分位数函数视为一个观测值。让(Ohm, A、 P）成为概率空间，其中Ohm 是ω的参考空间∈ Ohm 作为一个元素，A是Ohm, P是a上的概率测度。设X是两个变量的实值函数，u∈ [0，1]和ω∈ Ohm. 如果u是固定的，则X（u，·）是定义在(Ohm, A、 P）。如果ω是固定的，那么X（·，ω）是[0，1]上属于某个函数空间S的实值函数。如果S被限制为所有分位数函数的子集，即S {（Q:[0，1]→ R）：Q（a）<Q（b），a<b}，ω允许变化，那么X称为分位数函数值（QF值）随机变量。QF值离散随机过程是一组由整数索引的QF值随机变量。我们使用符号{Xt}来表示这些过程。即。

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2022-6-1 02:43:58

{Xt}是{Xt:t）的缩写符号∈ Z} 。我们可以将QF值时间序列的动态模型一般视为Xt=ρ（{Xs:s≤ t型- 1} ），~Xt∈ S、其中，Xt是由所有Qf值观测值集的函数ρ生成的一步超前预测，直至t- 1、给定QF值实现的样本{X，…，XT}，可以通过首先定义分位数函数的损失函数l:S×S来找到预测工具→ R、然后将总损失降至最低，相对于ρ，总损失为1L（~Xt，Xt）。通过定义条件分布外汇，tsuch thatXt | Gt，构建了一个经营模型-1.~ FX，t，其中Gt-1=σ（{Xs:s≤ t型- 1} ）表示包含过程过去观测值的最小σ-代数，并表示t处的可用信息-1、过滤gt-1被称为自然过滤。与标量值时间序列类似，点预测可以作为预测分布的平均、中值或分位数函数（Gneiting，2011），QF值点预测XT可以作为预测分布FX，t的函数。寻找生成模型比构建预测工具更具挑战性，因为在函数空间上定义分布函数的概念通常并不简单。详细解释见Delaigle and Hall（2010）和Cuevas（2014）。本文采用的方法是，通过首先为观测分位数函数找到合适的低维参数化，然后为映射的低维向量的时间序列指定生成模型，间接开发QF值时间序列的生成模型。

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2022-6-1 02:44:01

假设我们定义了将符号观测映射到p维向量M:S的x的参数化→ Rp，以便我们能够获得向量ξt=M（Xt），并定义条件分布Fton Rp，从而ξt | Ft-1.~ Ft，其中Ft-1=σ（{ξs:s≤ t型- 1}). 如果M是一个可测映射，则分布Ft对应于Xt的生成模型，即Ft在M下的推进-1、换句话说，对于任何固定的u∈ [0，1]，随机变量Xt（u）的分布对应于变换后的随机向量M的分布-1（ξt）。QF值点预测的一个可能方法是通过uX，t（u）：=E[Xt（u）| Gt给出的条件逐点平均函数-1], u∈ [0，1]，其中期望是关于FX，t的。虽然uX，是一个有效的分位数函数，但它不一定仍然是S的一个元素。代替uX，t，我们选择QF值的一步超前点预测作为分位数函数，其映射向量是关于Ft的ξtwith的条件期望，λXt：=M-1（E[ξt | Ft-1]).通过模拟可以看出，在建议的gh-DQF模型（第2.3节稍后介绍）下，uX近似于￠Xt。建模任务是定义集合{S，M，Ft}。请注意，映射M是非唯一的，模型的属性在很大程度上取决于它的选择。在接下来的章节中，我们将介绍一种基于g和h分布族的M的特殊选择。2.2 g和h分布我们采用参数方法，并假设X具有g和h分布的分位数函数的函数形式，即我们将符号集定义为S：={g和h分位数函数}。

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2022-6-1 02:44:05

g-and-h分布族最早由Tukey（1977）引入，并由Martinez和Iglewicz（1984）和Hoaglin（1985）进一步发展。它由标准正态随机变量的变换生成，允许不对称和重尾。具体地说，设z为标准正态随机变量，设a∈ R、 b类∈ （0，∞), g级∈ R、和h∈ [0, ∞) be常量。如果由变换给出，则随机变量y遵循g和h分布，y：=a+bG（z）h（z）z，（1），其中g（z）：=exp（gz）- 1gz（2）和H（z）：=经验值赫兹.请注意，相同的转换可以应用于任何“基本”随机变量。从（1）可以看出，a和b分别代表位置和规模。从（2）可以看出，重塑函数G从下到下是以零为界的，对于G分别为正或负，它是单调递增或单调递减的，并且通过将其重写为级数展开，G（z）=1+gz2+（gz）3+（gz）4！+·····，（3）对于所有G，G等于0处的1。因此，G通过参数G为零的不同侧面缩放z差来产生不对称性。此外，G（z；G）=G(-z-g），g a的符号只影响偏斜的方向。对于g=0，通过方程（3），获得了恒常函数g（z）=1，因此对称性保持不变。对于h>0，h是h（0）=1的严格凸偶数函数，因此它在保持对称性的同时，通过向z的尾部缩放来生成重尾。当h=0时，（1）给出的变换生成g分布的子族，这与g>0时的移位对数正态分布族一致。

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2022-6-1 02:44:07

当g=0时，变换生成了h分布的子家族，它是对称的，具有比正态分布更重的尾部。2.3 gh DQF模型由于（1）给出的变换是单调递增的，只要h>0，g和h分布的分位数函数就显式可用。如第2.2节所述，我们假设Xt是g和h分布的分位数函数，因此Xt（u）：=at+btexp（gtZ（u））- 1gtexphtZ（u）如果gt6=0，at+btZ（u）exphtZ（u）如果gt=0，其中Z是标准正态分布的分位数函数，at∈ R、英国电信∈ （0，∞),燃气轮机∈ R、和ht∈ [0, ∞) 分别是负责位置、比例、不对称性和重尾性的参数。然后我们选择参数M为ξt：=（ξ1，t，ξ2，t，ξ3，t，ξ4，t）：=（at，b*t、 gt，ht），其中b*t： =日志（bt）。由于Bt是一个正比例参数，其自然对数用于后续建模。2.4估计g和h参数SUP直到现在，我们一直将{X，…，XT}视为直接可观察的数据。然而，在现实中永远无法观察到有限维分位数函数；只观察到已实现的订单统计信息。因此，QF值观测必须使用标量值观测构造。设{y，…，yT}表示向量序列，其中，对于每个t∈ {1，…，T}，向量yt∈ Rntdenotes ntscalar值观测的样本。构造序列{yt}的一种方法是将长时间序列{y，…，yNT}划分为T个连续的片段，其中Nt=Pti=1ni，因此yt=（yNT-1+1, . . . , yNt）包含属于第t块的ntobservations，如图1所示。图1：通过将一个长时间序列分割成几段来构造向量序列{yt}的图示。让我们：Rn→ S、对于n∈ N、表示汇总功能。序列{X。

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2022-6-1 02:44:10

对于每个t，通过XT=S（yt）获得∈ {1，…，T}。在S是g和h分位数函数集的情况下，求和函数S对应于g和h分位数函数参数的估计量。统计文献中已经对参数分位数函数的估计进行了一些研究，例如基于数值似然（Rayner和MacGillivray，2002；Hossain和Hossain，2009）、匹配分位数（Xuet al.，2014）、匹配矩（Headlick et al.，2008）和贝叶斯方法（Haynesand Mengersen，2005；Peters和Sisson，2006；Allingham et al.，2009）。我们采用Peters et al.（2016）基于L-矩开发的方法，该方法显示出良好的统计特性，同时与之前提出的方法相比，计算简单。仿真结果表明，与基于数值似然、常规矩和分位数的方法相比，L-momentmethod的参数估计具有最小的均方误差。附录A.2.5对ξtWe的条件联合分布进行建模，给出了关于L-momentmethod的详细信息。我们假设一个灵活的模型，其中ξ的条件联合分布由copula和一元条件边际分布定义，用ξt | Ft表示-1.~ Ft：=C（F1，t，…，F4，t），（4），其中C：[0，1]→ [0，1]是将条件边际分布{Fi，t}映射到条件联合分布Ft的copula函数。为了解释中心依赖和尾依赖，同时又是parsinonious，我们选择C作为Student-t copula（Demarta和McNeil，2005）。设ui，t：=Fi，t（ξi，t）和ut：=（u1，t，…，u4，t）。由（4）中的分布函数计算的ξ的条件联合密度isft（ξt）=$（ut）Yi=1fi，t（ξi，t），（5）其中$是Student-t copula密度，fi是条件边际密度。

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2022-6-1 02:44:13

copula密度由$（ut）：=fMSt给出F-第1（u1，t；ν），F-第1（u4，t；ν）；R、 νQi=1fStF-第一（ui，t；ν）；ν,式中，Fmtis多元t密度参数化了相关矩阵R和自由度ν，fStis单变量t密度和自由度ν，以及F-1是具有ν自由度的单变量t分布函数。2.5.1 at、b的条件边际分布*t、 gtWe对i的条件边际分布Fi、TF进行建模∈ {1，2，3}，对应于，b处的参数*t、和gt，如下所示。ξi，t=ui，t+i、 t，i、 t=σi，tvi，t，vi，t~ Fskt（·；ηi，λi），ui，t=δi+ψiξi，t-1+φiui，t-1，σi，t=ωi+αii、 t型-1+βiσi，t-1.（6）创新vi，由Hansen（1994）的倾斜学生t分布产生，用Fskt（·；ηi，λi）表示，其中ηi∈ （2、，∞) 是自由度参数和λi∈(-1，1）不对称参数。特例Fskt（·；ηi，0）和Fskt（·；∞, 0）分别为学生t和标准正态分布。此外，斜态分布是标准化的，因此E（vi，t）=0，Var（vi，t）=1。在Jondeau和Rockinger（2003）中可以找到Hansen的偏态t分布的更多特性。模型（6）表明，条件边际分布的均值和方差Fi，taregiven byE（ξi，t | Ft-1） =ui，tand Var（ξi，t | Ft-1） =σi，t。{ui，t}和{σi，t}的动态特性都以指数平滑的扩展形式为特征（Bosq，2015）。对于条件方差为正，条件ωi>0，αi≥ 0和βi≥ 0已足够。如果满足正性条件，则过程ξi是协方差平稳的，如果-1<ψi+φi<1，αi+βi<1.2.5.2磷灰石龙分布家族尾部形状参数HTM必须为非负，以便（1）中的转换在Zu中单调增加，从而一对一。

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2022-6-1 02:44:16

建模HTO的条件分布或其对数变换可能是一个挑战，因为根据经验，HTO可以在许多天内非常接近于零。此外，HTC有时也会变得非常大（接近0.5），例如，在发生所谓的“金融崩溃”的日子里。出于上述原因，我们开发了一个新的分布家族，称为Apatosaursfamily，用于ht的建模，这在经验上显示了与数据的良好拟合。磷灰石龙（Apatosaurus）是一个非负分布家族，它是由截尾偏态t和指数分布的混合构成的。根据其参数，该分布可以呈现多种一般形状，包括在零处有一个模式、远离零的一个模式和两个模式。随机变量h~ FApat（h；u，σ，η，λ，ι，w）具有由FApat（h；u，σ，η，λ，w）=wfTrSkt（h；u，σ，η，λ）+（1）给出的密度函数- w） h的fExp（h；ι）∈ [0, ∞), 式中，ftrskt和fexp是截短的倾斜分布和指数分布的密度函数，并且w∈ [0，1]是混合重量。参数u、σ、η和λ对应于截断斜交t分量的模式、比例、自由度和不对称性。参数ι是指数分量的平均值。图2描绘了磷灰石龙密度和分布函数的示例。

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2022-6-1 02:44:19

关于磷灰石龙家族的其他详细信息见附录B。Halphen分布系统（Perreault et al.，1999a，B）能够呈现一组定性相似的形状，然而，为了对ht建模，磷灰石龙分布显示出与Halphen系统相比更好的数据拟合。（a）密度函数（b）分布函数图2：密度函数fApat（h；u，0.6，3，0.2，0.02，0.9）和分布函数fApat（h；u，0.6，3，0.2，0.02，0.9）在u=0.3（实线）和u=0.7（虚线）时的分布函数fApat（h；u，0.6，3，0.2，0.02，0.9）的曲线图。分布函数在附录B.2.5.3中定义。使用第2.5.2节中开发的磷灰石龙分布族，我们对与尾部形状参数ht相对应的条件边缘分布F4，t进行建模，如下所示：ξ4，t~ FApat（·；ut，σ，η，λ，ι，wt），ut=δ+ψξ4，t-1+φut-1，wt=0.5+0.5/{1+exp[-γ（ut- c） ]}，γ=exp（γ*).（7）我们假设HTS遵循一个随时间变化的位置和混合权重参数的磷灰石龙分布。这里，位置参数ut是分布的模式，其动力学由指数平滑的扩展形式给出。条件权重WT与utvia a逻辑函数相关，由γ>0和c参数化∈ [0，1]，其中γ控制WT对ut变化的敏感程度，c确定WT对ut最敏感的位置。此逻辑链接函数允许在ut接近零的周期内，将更多密度转移到ht=0的条件分布。它还将wtto限制在[0.5，1]之内，以便截断斜交t分量保持优势。

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2022-6-1 02:44:22

条件边际分布的平均值（ξ4，t | Ft-1）可使用方程式（22）计算。条件δ>0，ψ≥ 0, φ≥ 0和ψ+φ<1足以确保ut为正且无发散。3 gh DQF模型的贝叶斯推断3.1似然和先验我们现在有一个QF值时间序列的生成模型，根据（5），gh DQF模型的似然函数，用f表示，可以写成f（ξ，…，ξT；θ）=TYt=1ft（ξT；θ），其中θ是模型参数的向量。Letθi∈{1,2,3}=（δi，ψi，φi，ωi，αi，βi，ηi，λi），θ=（δ，ψ，φ，γ*, c、 σ，η，λ，ι），θc=（vech（R）>，ν），然后θ=（θ，…，θ，θc）。Animproper先验用于允许参数区域上的θ。如果θ在允许范围内，让指示器函数取值1，否则取0。具体而言，IA（θ）=1，如果θ∈ A=\\i=1Ai0，否则，其中=θ-1<ψi+φi<1，ωi>0，αi≥ 0，βi≥ 0，αi+βi<1,2<ηi≤ 40、，-1<λi<1，δ≥ 0, ψ≥ 0, φ≥ 0,-6.≤ γ*≤ 6, 0 ≤ c≤ 1，vech（右）∈ [0，1]，最小值{eig（R）}>0,2<ν≤ 40.θcand R上的约束确保R是有效的相关矩阵。先验密度，用p表示，可以写成θ~ p（θ）∝ IA（θ）Yi=1ω-1iYi=1η-2i1 +ι-5.-1ν-2、该先验知识适用于A中θ的大多数元素，ω、…、，ω, η, . . . , η、 ι和ν。ωi的边际先验减少了条件方差方程中该截距参数通常观察到的向上偏差。ηIbehaves的边缘先验类似于半Cauchy先验，通过对η进行拟合得到-1i。使用模拟，Bauwens和Lubrano（1998）表明，半Cauchy先验导致后验均值比从均匀先验获得的更接近真实值。ι的边缘先验是半柯西，标度为10-5.

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2022-6-1 02:44:26

为了便于识别，重要的是保持磷灰石龙分布指数成分的平均参数接近零。最后，ν的边际先验与ηi的边际先验相同。定义了似然和先验后，后验密度的核（用π表示）可计算为θ|ξ，ξT~ π(θ) ∝ f（ξ，…，ξT；θ）p（θ）。（8） 3.2自适应MCMC算法为了评估涉及后验密度givenby（8）的各种感兴趣的积分，我们使用自适应马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）算法从后验分布生成一个点样本。我们首先概述了抽样方案，然后讨论了旨在改进马尔可夫链混合的具体步骤。一种方法是使用对称随机游走Metropolis（RWM）算法，其中我们从维度数等于θ的对称命题分布同时生成整个参数向量θ，并以通常的Metropolis接受概率接受移动。然而，在我们的案例中，θ有40个维度，因此可能很难调整建议分布以达到令人满意的混合水平。为了缓解这个问题，我们采用了众所周知的策略，在块中更新参数向量，其中40维的移动被分解为低维的子移动。如果不同块中的参数之间的依赖性较低，则已知阻塞策略工作良好。（4）、（6）和（7）给出的模型规范提供了某种程度上自然的参数划分。设θ[i]表示位于第i块的参数的向量。然后将整个参数向量划分为十个块θ=（θ[1]，…，θ[10]）。具体的阻塞方案见附录c。让·（j）表示与周期j中马尔可夫链状态相关的任何向量或标量。

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2022-6-1 02:44:28

然后，我们根据以下方案从θ（j）移动到θ（j+1）。1：对于i← 1：10 do2：更新θ（j+1）[i]θ（j+1）[1]，θ（j+1）[i-1] ，θ（j）[i+1]，θ（j）[10]。3：结束forThus，整个参数向量的单个扫描由十个子移动组成，其中每个子移动或块由Metropolis步骤更新。我们为每个θ[i]生成一个分块建议，用θ表示*[i] 从密度为q[i]的对称概率分布中，以min给出的通常大都市接受概率接受该建议πθ（j+1）[1]，θ（j+1）[i-1], θ*[i] ，θ（j）[i+1]，θ（j）[10]πθ（j+1）[1]，θ（j+1）[i-1] ，θ（j）[i]，θ（j）[i+1]，θ（j）[10], 1.. （9）我们选择建议密度q[i]为多元正态分布的混合物，每个成分的比例不同，q[i]=nmixXj=1wjfmvn·; θ（j）[i]，[i] sj∑[i],其中Sj是为组件j选择的比例，以及[i] 是所有组件通用的调整比例。因此，所有分量都以θ（j）[i]为中心，协方差结构因尺度不同而不同。我们试探性地选择混合权重w=（w，w，w）tobe（0.7，0.15，0.15）的向量和分量尺度s=（s，s，s）tobe（1100，0.01）的对应向量。直觉是，将相对较大的跳跃与相对较小的跳跃混合在一起，可以降低链被“卡住”的可能性，无论是在一起还是在参数空间的某些维度。重要的是要认识到，当提议的跳转降落在a之外时（由于前面的指标），第（9）条中的接受概率为零，因此这样的移动保证会被拒绝。

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2022-6-1 02:44:31

如果A边界上的后验密度π很小（这是本文考虑的所有经验数据的情况），则所提出的自适应采样器能够处理受约束的参数空间，而不会有任何明显的效率损失。在事先选择w和s，以及固定协方差矩阵∑i（见下文∑i）的情况下[i] 在调整时段内，为每个块自动调整。对于给定的∑i，我们更新[i] 每n链的迭代至目标特定验收率，用r（tar）[i]表示。让Nepode记录在一个调优纪元中花费的迭代次数，并让k∈ {n（1，…，bnepo-1nc） }表示发生ascale更新的迭代。的新值[i] 然后由给出（k+1，…，k+n)[i] =Υ（r（obs）[i]；r（焦油）[i]）（k）-n+1.k） [i]，其中Υ是一个合理选择的调谐函数，它以自上次更新以来的实现接收率为参数，用r（obs）[i]表示。我们选择Υ为Υ（r（obs）[i]；r（tar）[i]=Φ-1（r（tar）[i]/2）Φ-1（r（obs）[i]/2）。（10）这个特殊的调整函数利用了提议分布的规模之间的关系当提议分布和目标分布均为d维正态分布时，RWM算法r的接受率（Roberts和Rosenthal，2001）；r=2Φ(-√d/2）。即使这种关系在实践中不成立，因为Υ在区间（0，1）上是正的且单调递增的，同时等于r（obs）[i]=r（tar）[i]的1，所以（10）中的调谐函数仍会表现出合理的行为。根据Gelman等人（1996）的结果，我们遵循经验上成功的启发式方法，根据区块d【i】的大小设定目标接受率。具体而言，我们选择r（tar）[i]=0.44福特[i]=1，r（tar）[i]=0.35为2≤ d[我]≤ 当d[i]>4时，r（tar）[i]=0.234。

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2022-6-1 02:44:34

每个块的初始比例（1，…，n）)[i] 设置为2.38/天【i】。我们通过运行多个调整周期，逐步改进每个块∑[i]的建议分布协方差矩阵的估计。除了第一步之外，我们使用上一个历元最后生成的参数向量初始化每个历元的链，并将每个块的协方差矩阵设置为上一个历元对应块的样本协方差矩阵。在计算样本协方差矩阵时，丢弃了每个样本的几个初始迭代；我们用n（epo）圆盘表示这个数字。根据平均绝对百分比变化（MAPC）（由MAPCJ=Xi=1给出）的简单停止标准来判断所需的调谐周期数^σhjiθ，i- ^σhj-1iθ，i^σhj-1iθ，i,式中，^σhjiθ，Ide表示链的第i维与第j个历元的样本标准偏差。如果jmin，则在j个时代之后停止自适应≤ j≤ JMAX和MAPCj≤εmapc，其中jminan和jmax是最少和最多的调整时期，εmapcis是一个公差级别。在所有应用中，我们将jmin=2，jmax=30，εmapc=0.1，nepo=12000，n（epo）disc=2000。请注意，可以使用任何收敛标准来确定自适应，但我们发现MAPC在实践中是有效的，同时具有计算简单的优点。一旦自适应阶段结束，RWM采样器将过渡到采样阶段，在该阶段中，所有自适应都将得到调整。也就是说，我们根据我们的抽样方案生成一个马尔可夫链[i] 和∑固定。天平[i] 和协方差矩阵∑[i]分别固定在丢弃前n个（epo）DISCON后的最终调整期迭代中，调整后的尺度的平均值和生成参数的样本协方差矩阵。

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2022-6-1 02:44:37

在这些迭代中生成的参数的样本平均值用作采样相位链的初始状态。请注意，在我们的采样方案中，在计算（9）中每个块更新的接受概率时，必须至少评估一次（8）中的后验核。天真地为每个子移动计算整个后验核可能会导致计算代价高昂。然而，由于块的选择方式和ξtin（5）的条件节理密度的特殊结构，只需更新与每个子移动相关的部分似然，即可大幅降低计算成本。例如，向量（f1,1（ξ1,1），f1，T（ξ1，T）），（u1,1，…，u1，T）=（f1,1（ξ1,1），F1，T（ξ1，T）），和（F-第一（u1,1），F-仅当更新块θ（j+1）[1]和θ（j+1）[2]时，才需要重新计算1St（u1，T））。4仿真研究进行仿真研究是为了研究第3.2节中提出的自适应MCMCS采样算法的有效性。我们从真实数据生成过程（DGP）生成1000个独立的数据集，每个数据集包含3000个观测值。真实DGP是第2.5节中规定的ξt的条件联合分布模型，其参数值的选择与实际数据中的参数估计值相似。MCMC算法的采样阶段设置为运行105000次迭代。使用采样阶段的最后100000次迭代计算参数的后验平均值估计。在表1中，对于每个参数，我们报告了真实参数值（true）、1000个后验平均值估计值的MonteCarlo（MC）平均值（mean）和95%MC区间（Lower，Upper）。

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2022-6-1 02:44:41

后验平均值估计值都非常接近真值，所有MC区间都覆盖了真值。θΔψφωαβηλ真值0.000 0.060 0.910 6.000E-08 0.150 0.840 8.000-0.160平均值1.914E-07 0.062 0.902 6.679E-08 0.151 0.837 8.244-0.161下限-4.714E-06 0.048 0.869 4.440E-08 0.125 0.807 6.512-0.206上限5.330E-06 0.078 0.925 9.616E-08 0.180 0.863 10.991-0.114θΔψφωαβηλ真值-0.130 0.430 0.530 5.000E-03 0.060 0.880 15.000 0.000平均值-0.135 0.432 0.527 5.981E-03 0.064 0.865 15.4100.011下限-0.168 0.405 0.500 3.230E-03 0.043 0.799 10.300-0.038上限-0.106 0.456 0.556 1.039E-02 0.087 0.912 24.104 0.057θΔψφωαηλ真0.000 0.050 0 0.930 7.000E-05 0.070 0 0 0.920 18.000 0.140Mean-9.664E-06 0.053 0.921 8.360E-05 0.915 19.011 0.138下-2.251E-04 0.040 0.894 4.428E-05 0.055 0.893 11.922 0.089上2.197E-04 0.069 0.942 1.466E-04 0.092 0.937 28.197 0.187θΔψφγ*cσλι真值3.000E-03 0.220 0.740 3.700 0.030 0.060 6.000 0.150 1.000E-04平均值3.804E-03 0.218 0.737 3.689 0.031 0.060 6.100 0.151 8.164E-05下2.063E-03 0.199 0.712 3.458 0.012 0.057 4.905 0.098 5 5.528E-05上5.906E-03 0.239 0.761 3.960 0.049 0.063 7.804 0.204 1.095E-04θcR2,1R3,1R4,1R3,2R4,2R4,3ν真值-0.300-0.100 0.200-0.220-0.600 0.120 15.000平均值-0.299-0.099 0.193-0.220-0.5800.115 14.583下-0.331-0.136 0.158-0.257-0.606 0.076 11.344上-0.267-0.062 0.227-0.184-0.553 0.152 19.737表1:DQF模型参数后验平均值估计的真实值和汇总统计数据。表2中报告了每个参数块的采样阶段最后10次迭代的MC平均验收率。实现的验收率与Gelman等人建议的目标非常接近。

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2022-6-1 02:44:44

（1996），表明通过方程式10的更新机制有效地调整了方案分布的规模，Metropolis算法在采样阶段有效运行。区块（尺寸）1（3）2（5）3（3）4（5）5（3）6（5）7（5）8（4）9（6）10（1）目标0.350 0.234 0.350 0.234 0.350 0.234 0.350 0.234 0.440平均0.345 0.223 0.344 0.230 0.345 0.230 0.231 0.348 0.230 0.438表2：取样阶段每个区块的平均验收率。5实证研究5.1高频数据的清理以下所有实证研究都依赖于主要国际股指的高频价格数据。由于通过异步消息的实时流收集高频日内数据，原始数据中存在记录错误。此外，原始数据还包含因交易暂停、午休和正常交易时间以外的特殊订单等事件而产生的人工制品。因此，必须对原始数据进行预处理，以尽可能多地删除错误记录的价格（Brownlees和Gallo，2006）。对于我们的实证分析，我们使用每隔一分钟抽样的交易价格。原始数据由汤森路透Tick History提供。设ζt=（ζt，1，…，ζt，nt）表示第t天的日内价格向量。为了清理数据，我们对每个t应用以下规则集：I.对于I∈ {1，…，nt}，移除ζt，iif其时间戳在正常交易时间之外。二、对于i∈ {1，…，nt}，删除ζt，iifζt，i≤ j为0.III∈ {2，…，nt}，删除ζt，1，ζt，j-1如果ζt，1=···=ζt，j.IV.对于j∈ {2，…，nt}，删除ζt，nt-j+1，ζt，nt-1ifζt，nt-j+1=···=ζt，nt。五、对于i∈ {1，…，nt- j+1}和j∈ {31，…，nt}，删除ζt，i，ζt，i+j-2如果ζt，i=···=ζt，i+j-1.VI.对于i∈ {1，…，nt}，移除ζt，iif其异常值得分大于20。七、移除ζt，1。

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2022-6-1 02:44:47

，ζt，ntif nt<60。请注意，规则是按顺序应用的。一、 e.，ζ和n在应用每个规则后更新。实施第一条规则的困难在于，许多主要证券交易所的正常交易时间随着时间的推移而发生了变化。因此，我们必须跟踪样本期内每个证券交易所的所有变化。附录F中记录了完整的休息时间历史。规则II删除了任何明显的错误。规则II和IV负责消除每天开始和结束时的静态价格，通常表示延迟开始和交易暂停等事件。同样，ruleV会删除任何超过30分钟的静态间隙。对于规则VI，计算每个ζt，i的离群值得分，这是ζt，i与其相邻观测值之间的尺度不变距离度量。有关计算离群值得分的详细信息，请参见附录G。最后，如果应用前六条规则后剩下的观察值少于60个，则第七条规则删除整个交易日。我们的数据包括十大主要股指的一分钟价格系列：标准普尔500指数（SPX）、道琼斯工业平均指数（DJIA）、纳斯达克综合指数（NASDAQ）、富时100指数（FTSE）、DAX、CAC 40指数（CAC）、日经225指数（日经）、恒生指数（HSI）、上海综合指数（SSEC）和所有普通指数（AORD）。样本期自1996年1月3日起至2016年5月24日止。表3显示了对每个股票指数应用所有规则后，removedobservations的百分比。它还记录了每个指数在清仓前的交易日数和观察次数。Obs天数。删除。

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何人来此

2022-6-1 02:44:50

（%）SPX 5103 1979767 0.12DJIA 5105 1977270 0.02Nasdaq 5112 1975540 0.17FTSE 5380 2562661 0.23DAX 5036 2470843 0.09CAC 5167 2533410 0.17Nikkei 4977 1345816 0.04HSI 4998 1299330 0.01SSEC 4906 1175712 0.05AORD 5138 1779671 0.09表3：数据清理摘要5.2标准普尔500一分钟收益案例研究在这部分实证研究中，目标是通过关注备受关注的市场指数之一——标准普尔500指数，展示QF模型的各个方面。我们动态地模拟了一分钟百分比日志回报的每日分布。对于每个交易日，大约有390个一分钟的回报。Letyt=（yt，1，…，yt，nt）表示t天的一分钟回报。对于每个t∈ {1，…，T}，通过应用y，i=100[对数（ζT，i+1）计算返回向量- 对数（ζt，i）]，对于每个i∈ {1，…，nt- 1}. 然后，我们通过QF值观测xt=S（yt）总结每个yt。这里的总结函数S对应于g和h参数的L-矩估计。L-矩估计器将g和h分布的前四个L-矩与样本L-矩相匹配，样本L-矩使用一天内的所有一分钟收益计算得出。L矩法的实施细节见附录A。通过ξt=M（Xt）获得每个t的四维映射向量∈ {1，…，T}。ξtis的条件联合分布由第2.5节中的模型给出。使用第3.2节中描述的自适应MCMC算法估计参数，该算法的配置与模拟研究的配置相同。为了说明g和h分位数函数是一分钟收益分布特征的充分总结，图3显示了QQ图，其中一分钟收益的样本分位数与三天风格化的估计g和h分位数绘制。

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