首先，与{at}和{gt}相比，{b的无条件方差*t} 条件平均数的变化似乎能更好地解释{ht}。正如预期的那样，HTS的值在大多数日子里都明显高于零，这表明一分钟的回报率是重尾的。最后，b*在子图（b）和（d）中，tand-htis是明显的；在高波动期，HTC可能会变得接近于零。（a） at（b）b*t（c）gt（d）htFigure 5{E（ξt | Ft）的后验平均估计-1） }（红线）绘制在{ξt}（灰点）上。回想一下，过滤后的分位数函数（即，提前一步预测）可以通过应用逆映射（Xt=M）从ξtb的条件平均值中获得-1（E[ξt | Ft-1]).为了说明这一点，在图6中，我们绘制了样本内估计值X（u），XT（u）表示不同的u值。请注意，在多个分位数水平上评估 XT不需要对DQF模型进行多次估计，并且分位数估计值不会随时间而交叉。图6:u的{Xt（u）}后验平均估计∈ {0.01, 0.05, 0.25, 0.5, 0.75, 0.95, 0.99}.在构建具有{ht}时变权重的条件性磷灰石龙边缘模型上花费了大量精力。图7中绘制了条件权重的后验平均估计值以及实现的{ht}。正如预期的那样，大多数天的权重都接近1；指数分量仅在Ht接近零时起作用。由于平均权重接近于1，因此值得了解的是，与更简单的截断-倾斜-t替代方案相比，是否获得了优势。为了看到这一点，我们估计了一个截断的倾斜t模型ht~ FTrSkt（·；ut，σ，η，λ），其中ut=δ+ψht-1+φut-1、设uTrSkt，t=FTrSkt（ht；^ut，^σ，^η，^λ）为ht的概率积分变换（PIT），其中^ut，^σ，^η，和^λ为后验平均估计。

如果截断的skewedt模型足够，则Z（uTrSkt，t）将是标准正态分布的一个图，其中Z表示标准正态分位数函数。类似地，让uApat，tdenote在（7）给出的Apatosaurus模型下计算HTIT，其中后验平均值也用于时变和常数参数。我们根据图8中的标准正态分位数绘制{Z（uTrSkt，t）}和{Z（uApat，t）}。很明显，如果没有增加的指数分量，截断斜交t模型对于{ht}的左尾是不够灵活的。图7{wt}（蓝线，左轴）的后验平均估计值与{ht}（橙色，右轴）一起绘制。（a） 截尾斜交t（b）Apatosaurus图8：截尾斜交t和Apatosaurus模型下转换{ht}相对于标准正态分位数的QQ图。值得注意的是，拟议的DQF模型具有高度的灵活性，这种灵活性对于准确建模真实数据是必要的。就模型充分性而言，附录D显示，拟议模型的性能明显优于基于独立AR（1）利润率的简单模型。5.3对时间序列信息的调查我们的方法的一个优点是，它使我们能够单独研究日内收益分布各种特征的时间序列可预测性。通过检查图5中的曲线图和ψ的参数估计，ψ和φ，φ、 很明显，一些边缘过程比其他过程更“信息丰富”。例如，可以合理地说，b的时间序列*与atand gt相比，tand HT似乎更具可预测性。在这里，我们通过提出一种基于模型的度量，即信号比，正式量化了时间序列中的这种信息量。设{ξt:t∈ Z} 是一个实值方差平稳过程。

然后，用RSig表示的信号比被定义为RSig=Var[E（ξt | Ft-1） ]Var（ξt），其中Ft-1=σ（{ξs:s≤ t型- 1} ）是自然过滤。直观地说，RSIGmeasures无条件方差的比例由条件均值的变化来解释。信号比术语来源于对有噪声过程的无噪声信号的条件平均值的解释。很容易检查i.i.d.进程的信号比是否为零，而完全确定性进程的信号比是否为一。对于{at}，{b）的边际模型，RSigis以闭合形式可用的表达式*t} ，和{gt}。它可以通过模拟{ht}的磷灰石龙模型进行数值计算。附录E中给出了关于信号比的其他资料。图9绘制了每个边缘的RSI和95%可信区间的后验平均值估计值。对于{b，Thersig估计值一直很高*t} 在所有指数中，对利用已实现的离散度度量的模型进行调整。对于{ht}，估计值与交叉指数相差很大，日经指数最高，SSEC指数最低；对于某些指数，与{b）的指数相比，后验数的使用要差得多*t} 。{at}和{gt}的所有RSigestimates都接近于零，但SSEC除外，这表明预测一分钟收益的位置和不对称性通常很困难。（a） at（b）b*t（c）gt（d）htFigure 9：每个边缘模型的信号比后验平均估计值（dots）和可信区间（bar）。数字1，10用于识别十个指数：1-SPX、2-DJIA、3-Nasdaq、4-FTSE、5-DAX、6-CAC、7-Nikkei、8-HSI、9-SSEC、10-AORD。5.4日内收益风险值预测我们注重尾部风险预测的实证应用。

为了评估样本外绩效，提出的DQF模型用于预测日内收益的每日VaR度量，即一分钟收益的分位数。通过评估u处gand-h分位数函数的一步超前预测，计算任何选定概率水平u的VaR预测。u的低尾VaR预测∈ 将{1%，5%}与Arroyo et al.（2010）、Arroyo et al.（2011）和Gonz\'alez Rivera andArroyo（2012）提出的区间值和直方图值时间序列的最新模型进行比较。给定区间值时间序列（ITS）{[x]t}Tt=1，指数平滑（ES）预测（Arroyo et al.，2010；Gonz'alez Rivera and Arroyo，2012）写为：[x]t=α[x]t-1+ (1 - α） [x]t-1，其中区间【x】：=【xL，xU】由xL<xU的有序端点对（xL，xU）定义。平滑参数α∈ [0，1]通过简单的一维网格搜索获得，最小化平均距离误差Tptt=1D（[x]t，[~x]t），其中D（[x]，~x]）：=[（xL- xL）+（xU- xU）]1/2。类似地，对于直方图值时间序列（HTS）{hXt}Tt=1，ES预测（Arroyoet al.，2011；Gonz'alez Rivera和Arroyo，2012）由以下公式得出：▄hXt=αhXt-1+ (1 - α） hXt-1，其中直方图hX：={（[x]i，πi）}ni=1由一组箱{[x]i}ni=1和相应的频率{πi}ni=1定义。直方图的加权平均值被定义为“重心”直方图。平滑参数α∈ [0，1]是使用agrid搜索获得的，在DMis允许距离的情况下，最小化平均距离误差tptt=1DM（hXt，~hXt）。继Arroyo等人（2010年、2011年）和Gonz'alez Rivera和Arroyo（2012年）之后，每个每日直方图的二进制边界由一分钟返回的样本分位数给出{1%、5%、10%、20%、…、90%、95%、99%}。

类似地，对于ITS，每个日间隔的端点对应于日内收益的1%和5%样本分位数。正如Arroyo等人（2011年）所言，虽然我们对收益分布的下尾最感兴趣，但构建完整直方图（带有中分位数和上分位数）的想法是跨多个分位数借用信息。另一方面，ITS模型直接针对感兴趣的分位数。根据第5.1节中记录的规则，仔细清理一分钟的退货。从1996年1月到2016年5月，每个收益序列包含大约5000个交易日的日内观察。对于每一天的提前预报，我们采用了3000天左右的滑动窗口。每个系列的最后大约2000天用于样本外评估。为了保持计算成本可控，每10次连续预测后，将重新估计每个模型。对于DQF模型，点预测由u级预测分位数的后验平均值给出∈ {5%，1%}，通过对模型参数的后验分布进行积分得到。ZAXt（u）π（θ）dθ。注意，以观测数据和选定的分位数水平u为条件，~Xt（u）只是模型参数θ的函数。上述积分给出的后验平均值预测通过对后验分布赋予的所有可能参数值进行平均来解释参数不确定性，并使用CMC算法给出的输出进行计算。具体而言，t∈ {3001，…，T}使用最新的后验样本。自适应MCMC算法每10天运行一次，以更新估计点t处的后验图∈ {3000，3010，…，T- [（T-3000）mod 10]}使用过去3000个QF值观测值{Xt-3000+1, . . .

，Xt}。为了评估样本外性能，计算每个模型在特定分位数水平u的预测期内的平均绝对预测误差（MAFE）∈{1%，5%}:MAFEu:=T- 3000TXt=3001 | qu，t- qu，t |，其中qu，是观察到的一分钟u分位数在第t天返回，而▄qu，是从提前一天符号值预测中检索到的提前一天u分位数预测（间隔、直方图或g和h分位数函数）。将所提出的DQF模型（DQF-Full）与基于区间值（ITS-ES）和直方图值（HTS-ES）时间序列的指数平滑方法进行了比较。ξt | Ft条件联合分布的更简单规范（DQF-AR1）-1isalso添加用于比较，其中假设每个裕度独立地遵循高斯创新的AR（1）过程。附录D中提供了有关该简化模型的更多详细信息。表5和表6分别报告了MAFE5%和MAFE1%。通过进行异方差和自相关一致性（HAC）Diebold-Mariano（DM）检验（Diebold和Mariano，1995），对DQF-Full和每个竞争模型之间的MAFE差异进行统计评估。表7和表8中报告了DM测试的p值。较小的p值表明，在样本外期间，平均而言，一个模型的预测误差小于另一个模型的预测误差。对于5%的VaR预测，DQF完整模型为十个市场指数中的九个提供了最小的实现MAFE，CAC除外。与DQF-AR1和HTSES相比，在5/10个市场中，DM无效假设在惯常的0.05水平上被拒绝，DQF完全是首选方法。与ITS-ES模型相比，DQF完全issigni明显优先于4/10市场。

在DM null在0.05水平上未被拒绝的情况下，建议的DQF完整模型的性能至少与基准模型一样好。对于1%VaR预测，DQF全模型实现了所有十个市场指数的最小实现MAFE。与DQF-AR1和HTS-ES模型相比，分别在10/10和8/10市场的0.025水平上，DM检验的无效假设被强烈拒绝。与ITS-ES模型相比，DM null在9/10市场条件下被拒绝。在总共30个成对DM测试中，在22个案例中，无效假设在远低于0.01的水平上被强烈拒绝，DQF-Full是最受欢迎的模型。综上所述，通过对十个国际市场大约2000天长样本期的广泛预测研究，建议的DQF模型（DQF Full）被证明是提供日内收益5%和1%VaR的总体最佳预测方法。当预测更极端的1%VaR时，DQF模型的表现尤为突出，这表明DQF模型能够比竞争模型更准确地捕捉高频回报的条件尾部形状。这并不奇怪，因为（1）g和h分布可以在很大程度上近似各种各样的分布，包括极值理论方法中使用的广义帕累托分布（Dutta和Perry，2006），以及（2）我们专门设计的条件性Apatosaursmarginal模型能够准确捕捉{ht}的时间序列动力学，控制g和h分布的尾部行为。

此外，在大多数情况下，DQF-full的预测误差比DQF-AR1小得多，这一事实证实了ξt | Ft条件分布的完整规范的额外灵活性-1有助于为基础数据生成过程建立更精确的模型。SPX DJIA纳斯达克富时DAX CAC日经恒生指数SSEC AORDITS-ES 0.0140 0.0130 0.0135 0.0106 0.0137 0.0144 0.0176 0.0126 0.0174 0.0090HTS-ES 0.0140 0 0.0130 0.0136 0.0106 0.0137 0.0145 0.0177 0.0127 0.0175 0.0089DQF-AR1 0.0140 0 0 0 0.0139 0.0135 0.0109 0.0138 0.0150 0.0177 0.0178 0.0177 0.0094DQF-Full 0.0138 0.0127 0.0133 0.0106 0.0136 0.0145 0.0171 0.0121 0.0167 0.0085表5：平均绝对预测误差日内收益的5%VaR预测。粗体文本表示最受欢迎的型号。SPX DJIA纳斯达克富时DAX CAC日经恒生证券交易所AORDITS-ES 0.0249 0.0240 0.0231 0.0195 0.0288 0.0279 0.0383 0.0279 0.0321 0.0276HTS-ES 0.0249 0.0240 0.0231 0.0195 0.0288 0.0279 0.0384 0.0280 0.0321 0.0276DQF-AR1 0.0249 0.0239 0.0236 0.0202 0.0294 0.0289 0.0381 0.0298 0.0312 0.0266DQF-Full 0.0240 0.0232 0.0224 0.0191 0.0283 0.0274 0.0361 0.0268 0.0300 0.0252表6：平均绝对预测误差日内收益的1%VaR预测。粗体文本表示最受欢迎的型号。SPX DJIA纳斯达克富时DAX CAC日经恒生指数SSEC AORDITS-ES 0.295 0.047 0.200 0.736 0.262 0.651 0.090 0 0.000 0.001 0.000HTS-ES 0.277 0.038 0.082 0.534 0.187 0.822 0.041 0.000 0.000 0.001DQF-AR1 0.190 0.313 0.297 0.058 0.166 0.012 0.024 0.000 0.000 0.000表7：DIE的p值加粗的马里亚诺测试“DQF满”，对日内收益率进行5%的VaR预测。

粗体文本表示p值小于习惯阈值0.05。SPX DJIA NASDAQ FTSE DAX CAC日经恒生证券交易所AORDITS-ES 0.002 0.001 0.001 0.141 0.048 0.025 0.000 0.000 0.000 0.000 HTS-ES 0.002 0.001 0.001 0.117 0.053 0.019 0.000 0.000 0.000 0.000 DQF-AR1 0.013 0.024 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000表8:Diebold Mariano针对“DQF Full”测试的p值日内收益的1%VaR预测。粗体文本表明，通过分位数回归，p值小于0.05.5.5低频风险值的惯常阈值。除了预测日内收益的日VaR，我们还证明，DQF模型提供的QF值预测可以通过一个简单的日收益分位数回归模型，用于预测日内时间尺度上的VaR度量。之所以使用简单分位数回归方法，是因为它不会改变一分钟回报的分位数预测动态（规模除外），这使我们能够研究DQF预测是否可以在预测每日规模VaR度量时有用，而无需太多额外的影响（即，使用非常简单的每日回报模型）。我们将这种量化回归模型称为QR-DQF模型。让qMu，tand qDu，tb分别为一分钟和每日收益的u级分位数。设yD：={yD，…，yDT}是每日收盘至收盘收益的序列。我们假设每日收益率的分位数可以用线性关系Qdu，t=suqMu，t来建模。由于DQF模型提供了每天一分钟收益率的u级分位数的过滤值，qMu，tca可以被视为观察值，并由Xt（u）给出。

如果SUI在所有u上保持不变∈ （0，1），系数su被解释为单分形或多重分形过程的分布比例因子，其中过程在给定时间尺度上的分布通过比例定律与任何其他时间尺度上的分布相关。例如，请参见Hallam和Olmo（2014a）和Hallam和Olmo（2014b），了解通过分布比例律估算日内数据每日收益密度的最新方法。在这里，我们不假设在不同时间尺度上的收益分布之间存在任何缩放特性，如Di Matteo（2007）中所讨论的，并允许缩放因子在分位数水平上变化。系数^suc的估计可以通过解决分位数回归最小化问题（Koenker和Bassett，1978）^su=arg minsuTXt=1ρu来计算yDt公司- 苏古木，t, （11） 其中损失函数ρuis由ρu（ε）定义：=ε[u- 我(-∞,0)(ε)].Yu和Moyeed（2001）表明，最小化（11）中的目标函数在数值上等同于最大化似然函数，其中观测值假定遵循非对称拉普拉斯（AL）分布。

AL族具有以下密度函数fal（ε；u，σ，u）=u（1- u） σexp-ρuε - uσ,其中u∈ R、 σ∈ （0，∞), 和u∈ （0，1）分别是位置、比例和不对称参数。假设yDtis遵循AL分布，位置参数为Ydsuqmu，t，则似然函数由f（yD；su，σ）=TYt=1fAL（yDt；suqMu，t，σ，u）给出∝ σ-Texp“-σ-1TXt=1ρu（yDt- suqMu，t）#。然后，通过在SUA上放置一个不适当的FL优先级，在σ、su、σ上放置一个反向优先级，来确定先验密度p~ p（su，σ）∝ σ-1、后验密度π由u给出，σ| yD~ π（su，σ）∝ f（yD；su，σ）p（su，σ）∝ σ-（T+1）exp“-σ-1TXt=1ρu（yDt- suqMu，t）#。（12） 由于我们只对su系数感兴趣，因此我们对尺度参数σ进行积分，以获得su的边缘后验密度。利用（12）具有σ中逆伽马密度的核的形式，并且密度函数必须积分到一个的事实，可以以闭合形式获得sucan的边缘后验值（Gerlach et al.，2011）；Z∞π（su，σ）dσ=“TXi=1ρu（yDt- suqMu，t）#-T、 （13）为了计算概率水平u下每日收益的VaR估计，我们使用第3.2节所述的自适应MCMC采样器从（13）中的单变量后验数据中进行第一次抽样，其中我们插入了{qMu，T}Tt=1的{Xt（u）}Tt=1的后验平均估计。然后，通过su的MCMC输出来近似{qDu，t}Tt=1条件在{qMu，t}Tt=1上的后验分布。5.6预测每日收益风险值在本实证研究的最后部分，第5.5节中描述的QR-DQF模型用于在5%和1%概率水平上预测每日收益的VaR度量提前一天。

所有模型参数，包括DQF模型和分位数回归系数su的参数，都是使用自适应MCMC算法估计的，该算法基于第5.4节中使用的协议，其中每个VaR预测都是使用使用过去3000天的滑动窗口估计的参数计算的。如图10所示，标普500指数的日收益率（dailyreturns）上绘制了前一天样本外VaR预测；图11中绘制了分位数回归系数的相应估计值，即^s5%和^s1%。我们进行了一些观察：（i）VaR预测密切跟踪每日回报数据的底部，并对波动性的变化作出即时反应。这表明，一分钟收益率的尾部动态可以按比例调整，以接近每日收益率。一、 例如，预测日内收益率是获得每日VaR估计值的明智方法。（ii）整个预测期内的^s5%>^s1%这一事实表明，日收益率可能比日内收益率的尾部更小，这与文献中的观察结果一致。（iii）在高波动期，^sui的值较高，这表明sumay不会随时间保持不变。可引出性理论为风险度量预测的比较后验提供了决策理论框架；例如，参见Gneiting（2011）、Kou和Peng（2016）、Brehmer（2017）以及Nolde和Ziegel（2017）。考虑概率分布F∈ F在状态空间Y上。风险度量可以被视为函数K:F→ Y、 这里是actiondomain。评分函数S:Y×Y→ [0, ∞) 对于K ifK（F）=arg minyZYS（y，·）dF，是严格F一致的，F∈ F、 （14）如果风险度量K存在严格的F一致性评分函数，则称其为可引出的（Gneiting，2011）。

当风险度量是u分位数函数（即VaR）时，严格的F一致性评分函数由s（y，y）：=[i[y，∞)（y）- u] （y）- y） 。（15） 这表明，可以通过公式（14）中积分的经验近似值对VaR预测序列进行排序：=T- 3000TXt=3001S（qDu、t、yDt）。根据公式（15）中的得分函数，QR-DQF模型与日收益预测VaR文献中的一系列流行模型进行了排名：Engle和Manganelli（2004）（CAViaR）的对称绝对值CAViaR，Glosten等人（1993）的GJR-GARCH，以及t（GJR-t）和歪斜t（GJR-skt）分布，Hansen et al.（2012）用t（Real-t）和skewed-t（Real-skt）分布实现了Arch。对于Real-t和Real-skt模型，使用“对数线性”规格。对于每个VaR预测序列{qDu，t}Tt=3001，u=5%时的'S值分别报告在表9中，u=1%时的'S值分别报告在表10中。在跨越不同地理区域的十个市场指数中，QR-DQF模型在6/10的市场中最受青睐，无论是5%还是1%的VaR预测。仔细检查后，QR-DQF似乎是北美和欧洲市场（SPX、DJIA、Nasdaq、FTSE、DAX、CAC）的主导模式。

然而，对于亚太地区（日经指数、恒生指数、SSEC和AORD），GJR skt是最适合的平均模型。图10：提前一步预测qDu、tfor u∈ {5%，1%}由标准普尔500指数的后验平均值给出。（a） u=5%（b）u=1%图11：用于预测qDu、tfor u的比例因子∈ {5%，1%}由标准普尔500指数的后验者给出。SPX DJIA纳斯达克富时DAX CAC日经恒生指数SSEC AORDCAViaR 0.1434 0.1295 0.1543 0.1316 0.1498 0.1643 0.1839 0.1607 0.1896 0.1158GJR-t 0.1368 0.1238 0.1503 0.1307 0.1493 0.1631 0.1785 0.1582 0.1896 0.1167GJR-skt 0.1355 0.1227 0.1495 0.1298 0.1477 0.1619 0.1775 0.1579 0.1893 0.1151Real-t 0.1325 0.1193 0.1443 0.1323 0.1477 0.1604 0.1807 0.1637 0.1914 0.1147Real-skt 0.1313 0.1184 0.1445 0.1313 0.14680.1603 0.1795 0.1629 0.1939 0.1144QR-DQF 0.1306 0.1182 0.1442 0.1291 0.1469 0.1601 0.1772 0.1638 0.1926 0.1163表9：5%VaR预测的S值。粗体文字表示最受欢迎的车型。SPX DJIA纳斯达克富时DAX CAC日经恒生指数SSEC AORDCAViaR 0.0411 0.0346 0.0417 0.0365 0.0388 0.0446 0.0523 0.0442 0.0557 0.0313GJR-t 0.0372 0.0316 0.0398 0.0352 0.0401 0.0441 0.0505 0.0429 0.0566 0.0304GJR-skt 0.0367 0.0312 0.0388 0.0344 0.0399 0.0442 0.0498 0.0427 0.0558 0.0297Real-t 0.0360 0.0306 0.0390 0.0362 0.0388 0.0441 0.0508 0.0454 0.0582 0.0301Real-skt 0.0358 0.0306 0.0392 0.0354 0.03830.0439 0.0498 0.0450 0.0595 0.0305QR-DQF 0.0349 0.0296 0.0378 0.0342 0.0379 0.0435 0.0514 0.0473 0.0581 0.0314表10：1%VaR预测的S值。粗体文字表示最受欢迎的车型。可以使用分位数损失函数进行成对DM测试，以从统计上评估表9和表10中报告的值之间的差异。

然而，我们发现，对于许多对，实际损失差异的尾部指数估计值（来自Hill估计值）远低于2，这表明在许多情况下，损失差异的方差很可能是无界的。由于有限方差是DM测试有效性的必要条件（Diebold，2015），我们将转向基于违规的测试，这已成为VaR回溯测试文献中的标准。违规率（VRate）是评估VARFecast准确性的常用指标。定义为预测期内超过VaR预测的回报比例。一、 e.，VRateu：=T- 3000TXt=3001I(-∞,yDt）（qDu，t）。首选VRATEUBE接近标称概率水平u的模型。Kupiec（1995）的无条件覆盖（UC）检验旨在检验Vrateu=u的无效假设。表11和表12中分别报告了u=5%和u=1%时UC检验的p值。较小的p值表明，经验VRate与名义VaR阈值存在显著差异。另一方面，较大的p值意味着VRATEUI接近美国。对于5%的VaR预测（表11），QR-DQF模型在SPX、DJIA、FTSE和DAX中的VRate排名最好，同时在四个亚太市场中被UC测试拒绝。在所有十个指数中，鱼子酱模型平均表现最好，没有任何对UC无效假设的否定。GJR-t和Real-t模型平均排名最差，两种模型中有7/10被拒。对于1%VaR预测（表12），QR-DQF模型在道琼斯工业平均指数、纳斯达克指数和SSEC指数中拥有最受欢迎的VRATE（即最接近1%），而在3/10个市场中被UC测试拒绝。平均而言，GJR skt是十个市场中表现最好的模型，在6/10市场中排名最靠前，其次是真实skt模型，在3/10市场中排名最靠前。

这两种歪斜t模型均未被UC市场检验所拒绝。在整个系列中，GJR-t和Real-t模型是最差的rankedon平均值，UC无效假设分别在8/10和7/10市场被拒绝。SPX DJIA纳斯达克富时DAX CAC日经恒生指数SSEC AORDCAViaR 0.128 0.101 0.085 0.123 0.463 0.184 0.394 0.496 0.898 0.082GJR-t 0.001 0.001 0.013 0.001 0.002 0.001 0.018 0.060 0 0.386 0.000GJR-skt 0.128 0.123 0.401 0.210 0.023 0.087 0.290 0.236 0.932 0.034Real-t 0.000 0.104 0.002 0.001 0.218 0.001 0.000 0.000 0.148Real-skt 0.128 0.027 0.634 0.101 0.295 0.724 0.011 0.001 0.000 0.891QR-DQF 0.154 0.0670.127 0.393 0.530 0.877 0.024 0.000 0.000 0.026表11:5%VaR预测的Kupiec（1995）UC检验的p值。首选较大的p值。粗体文本表示基于违规率的最受欢迎模型，而红色文本表示违规率与UC测试的5%有显著差异。SPX DJIA纳斯达克富时DAX CAC日经恒生指数SSEC AORDCAViaR 0.005 0.068 0.010 0.124 0.131 0.027 0.019 0.410 0.021 0.473GJR-t 0.003 0.000 0.000 0.000 0.011 0.067 0.002 0.211 0.036 0.000GJR-skt 0.428 0.422 0.426 0.473 0.280 0.810 0.494 0.872 0.092 0.942Real-t 0.002 0.016 0.016 0.000 0.003 0.009 0.003 0.096 0.185 0.771Real-skt 0.939 0.319 0.941 0.124 0.680 0 0.406 0.124 0.096 0.062 0.117QR-DQF 0.027 0.4220.941 0.282 0.003 0.067 0.051 0.014 0.571 0.069表12:1%VaR预测的Kupiec（1995）UC检验的p值。首选较大的p值。粗体文本表示基于违规率的最受欢迎模型，而红色文本表示违规率与UC测试的1%有显著差异。除了VRate之外，违规的独立性也是回溯测试VaR预测准确性需要考虑的另一个重要因素。

Engle和Manganelli（2004）的动态分位数（DQ）测试旨在联合测试违规的VRate和独立性。根据预测期内的点击数系列{Hitu，t}Tt=3001，其中Hitu，t：=I(-∞,yDt）（qDu，t）- u、 DQ零假设isE（Hitu，t）=0，且Hitu，t与信息集中的变量不相关。对于信息集，在VaR预测文献中，通常包括五次滞后点击和同期VaR预测。表13和表14分别报告了u=5%和u=1%时DQ测试的p值。较小的p值表明VaR预测是正确的比例或序列相关，或两者都正确。对于5%VaR预测（表13），QR-DQF是SPX和FTSE中表现最好的模型，但被日经指数、恒生指数和SSEC的DQ测试所拒绝。平均而言，在十个系列中，GJR skt是排名最好的模型，有2/10的人拒绝DQnull假设。GJR-t和Real-t模型总体排名垫底，分别有8/10和7/10被拒。对于1%VaR预测（表14），QR-DQF是SSEC中最受青睐的DQ统计模型，但在6/10的市场中被拒绝。GJR skt是8/10市场中排名第一的模型，在日经指数中只有一个DQ无效拒绝。真正的sktmodel被拒绝的次数第二少（3/10）。

在十个市场中，GJR和Real-t模型平均最不受欢迎，两种模型的DQ无效假设在9/10个市场中均被拒绝。SPX DJIA纳斯达克富时DAX CAC日经恒生指数SSEC AORDCAViaR 0.000 0.025 0.003 0.621 0.263 0.673 0.000 0.578 0.370 0.206GJR-t 0.001 0.003 0.016 0.004 0.032 0.033 0.002 0.394 0.889 0.000GJR-skt 0.231 0.121 0.319 0.451 0.279 0.501 0.004 0.659 0.917 0.035Real-t 0.000 0.001 0.083 0.001 0.000 0.472 0.000 0.000 0.079 0.445Real-skt 0.041 0.053 0.573 0.222 0.080 0 0.823 0.000 0.007 0.027 0.815QR-DQF 0.240 0.0570.459 0.812 0.183 0.584 0.001 0.000 0.039 0.422表13：5%VaR预测的Engle和Manganelli（2004）DQ检验的p值。首选较大值。粗体文本表示基于DQ统计的最受欢迎模型，而红色文本表示在0.05阈值下拒绝了无效假设。SPX DJIA纳斯达克富时DAX CAC日经恒生指数SSEC AORDCAViaR 0.000 0.000 0.145 0.367 0.001 0.009 0.433 0.159 0.744GJR-t 0.001 0.000 0.002 0.001 0.005 0.034 0.002 0.005 0.177 0.000GJR-skt 0.497 0.362 0.428 0.928 0.084 0.487 0.013 0.524 0.314 0.850Real-t 0.000 0.015 0.000 0.001 0.001 0.000 0.002 0.965 0.025Real-skt 0.110 0.121 0.292 0.015 0.113 0.142 0.000 0.002 0.868 0.211QR-DQF 0.000 0.0000.305 0.078 0.008 0.015 0.000 0.005 0.992 0.849表14：1%VaR预测的Engle和Manganelli（2004）DQ检验的p值。首选较大值。粗体文本表示基于DQ统计的最受欢迎模型，而红色文本表示在0.05阈值下拒绝了无效假设。总之，所提出的QR-DQF模型与VaR预测文献中一些最流行的模型进行了排名，包括那些采用已实现方差的模型。预测研究包括十个地理位置不同的市场指标的收益率序列和大约2000天的预测期。

使用严格一致的评分函数（即分位数损失函数）和基于违规的标准测试，从VaR预测精度的角度对模型进行比较。在所有十个市场中，没有一个模型在5%和1%的概率水平上都能始终如一地超越其他模型。根据评分函数，QR-DQF模型在5%和1%VaR预测的6/10市场中排名最好。基于UC和DQ测试，QR-DQF模型在SPX和FTSE中最受青睐，用于5%的VaR预测，在SSEC中排名最靠前，为1%。精度度量之间的模型排序差异可能是由于以下原因造成的。（1） UC和DQ测试只考虑违规的比例，而评分函数同时考虑违规的比例和程度。（2） 分位数损失函数是VaR的一个严格一致的评分函数，而与VRateuto u andE（Hitu，t）的距离则不是。（3） 正如Giot和Laurent（2004）以及Chen和Gerlach（2013）等作者所发现的那样，基于违规的测试对条件分布的规定比波动动力学的规定更敏感。这在UC和DQ测试结果（表11、12、13、14）中也很明显，其中GJR skt模型始终优于GJR-t模型，尽管实际skt模型使用日内数据（实现方差），GJR skt仅依赖日收益，但两个偏态t模型的结果非常相似。我们可以得出结论，在某些市场中，QR-DQF模型能够为每日回报提供有竞争力的VAR预测。6结论受SDA文献中柱状图值数据时间序列模型最新发展的推动，我们建议考虑将可变参数分位数函数作为总结日内收益的新符号类型。

基于四参数g和h分位数函数，提出了一种新的QF值观测时间序列模型。我们将此模型称为DQF模型。为了考虑参数的不确定性并利用与基于采样的程序相关的固有数值稳定性，提出了DQF模型的贝叶斯公式，以及精心设计的自适应MCMC算法。通过广泛的预测研究，DQF模型在预测日内收益的5%和1%VaR方面显著优于之前提出的ITS-ES和HTS-ES模型。DQF模型在更极端的1%概率水平上的表现更为突出，表明DQF模型能够更准确地捕捉日内收益的动态尾部行为。通过额外的预测实验，证明了DQF模型的产出（即QF值预测）可以被简单的量化回归模型（QR-DQF）用于预测每日收益的VaR。与VaR预测文献中的一系列流行模型相比，QR-DQF模型使用了严格一致的评分函数和基于标准违规的测试，对于5%的VaR预测，QR-DQF模型在SPX和FTSE中的排名始终是最好的，对于1%的VaR预测，QR-DQF模型在SSEC中的排名始终是最好的。7代码重现实验的MATLAB代码可从：github获得。com/wilson ye chen/aqua8致谢我们感谢Chris J.Oates对手稿的仔细阅读和有益的评论。WYC和SAS通过澳大利亚数学和统计前沿卓越中心（AustralianCentre of Excellence for Mathematic and Statistic Frontiers，ACEMS，CE140100049）得到澳大利亚研究委员会的支持，SAS通过探索项目计划（FT170100079）得到支持。参考Sakaike，H.（1998）。信息论和最大可能性原则的扩展。《赤池弘土古论文选》，第199-213页。

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与经典矩相比，L-矩能够表征更大范围的分布，因为当且仅当平均值存在时，分布的所有L-矩都存在。此外，具有有限平均值的分布的唯一特征是其L-矩序列。使用（16）的表示，前四个L-矩由L=ZX（u）du，L=ZX（u）（2u）给出- 1） du，l=ZX（u）（6u- 6u+1）du，l=ZX（u）（20u- 30u+12u- 1） 杜。（17） 位置和尺度不变的L-矩比τ和τ类似于经典偏度和峰度，在Hosking（1990）中分别称为L-偏度和L-峰度，定义为τ=L/L，τ=L/L。与经典偏度和峰度不同，L-偏度和L-峰度是有界的，τ∈ (-1,1）和τ∈ [(5τ- 1), 1). L-力矩比的有界性使其易于解释。样本L-矩，也称为L-统计量，是基于观察样本的顺序统计量对L-矩的无偏估计。特别是，四个样本的L-力矩由^L=^M、^L=2^M给出-^M，^l=6^M- 6^M+^M，^l=20^M- 30^M+12^M-^M，其中^Mk是第k个样本概率加权矩（Greenwood et al.，1979），givenby^Mk=如果k=0nnXi=1（i），则nnXi=1y（i）- 1） （一）- 2） ···（一）- k） （n）- 1） （n）- 2） ···（n）- k） 如果k>0，则为y（i）。通过迭代最小化目标（τ- ^τ)+ (τ- ^τ），以0为准≤ h<1，其中^τ=^l/^lis为样本l-偏度，^τ=^l/^lis为样本l-峰度。（17）中的积分以闭合形式可用于g和H分位数函数（Peters et al.，2016），或者可以使用一维自适应求积进行数值计算。

给定g和h的估计值，b和a的估计值由b=^l/l，a=^l给出- B.关于磷灰石龙分布密度的补充材料：随机变量h~ FApat（h；u，σ，η，λ，ι，w）有一个密度函数给定为fyfapt（h；u，σ，η，λ，ι，w）=wfTrSkt（h；u，σ，η，λ）+（1- w） h的fExp（h；ι）（18）∈ [0, ∞), 式中，ftrskt和fexp是截短的倾斜分布和指数分布的密度函数，并且w∈ [0，1]是混合重量。截断斜交t分布具有以下密度函数。fTrSkt（h；u，σ，η，λ）=fSkt（h；u，σ，η，λ）1- FSkt（0；u，σ，η，λ），其中FSkt和FSkt是Hansen（1994）的斜态t分布的密度和分布函数，除不对称和自由度参数η和λ外，还通过其模式u和尺度σ进行参数化。斜t分布的密度函数fskt由fskt给出（h；u，σ，η，λ）=φσ\"1 +η - 2.h类- uσ(1 - λ)#-（η+1）/2如果h<u，Дσ“1+η- 2.h类- uσ(1 + λ)#-（η+1）/2if h≥ u，其中σ∈ （0，∞), η ∈ （2、，∞), λ ∈ (-1、1）和Д=Γη+1pπ（η- 2)Γη.分布函数fskt的推导方式与Jondeau和Rockinger（2003）的命题1相似，由fskt（h；u，σ，η，λ）给出=（1）- λ） 英尺，ηh类- uσ(1 - λ） rηη- 2.如果h<u，（1+λ）Ft，ηh类- uσ（1+λ）rηη- 2.- λ如果h≥ u，（19），其中Ft，η是具有η自由度的t分布的分布函数。方程（18）中指数分布的密度函数由fexp（h；ι）=ιexp给出-hι,其中ι∈ （0，∞) 是平均参数。平均值：通过注意MTRSkt=1，可以得出截断偏态t分布的平均值- FSkt（0；u，σ，η，λ）Z∞hfSkt（h；u，σ，η，λ）dh=1- FSkt公司(-u; 0，σ，η，λ）Z∞-uhfSkt（h；0，σ，η，λ）dh+u。积分可以写成z∞-uhfSkt（h；0，σ，η，λ）dh=Z-uhfSkt（h；0，σ，η，λ）dh+Z∞hfSkt（h；0，σ，η，λ）dh。

（20） 假设u∈ [0, ∞) 使用替换u（h）=1+η- 2.hσ（1- λ),第一个积分由z给出-uhfSkt（h；0，σ，η，λ）dh=Дσ（1- λ)(η - 2） 祖(-u）u-（η+1）/2du=-φσ(1 - λ)(η - 2） 祖(-u）u-（η+1）/2du=-φσ(1 - λ)η - 2η - 1.h1- u型(-u)(1-η） /2i。使用替换U（h）=1+η- 2.hσ（1+λ）, （21）（20）中的第二个积分由z给出∞hfSkt（h；0，σ，η，λ）dh=Дσ（1+λ）（η- 2） Z∞u-（η+1）/2du=Дσ（1+λ）η - 2η - 1..因此，mTrSkt=Дση-2η-1.(1 + λ)- （1）- λ)1.- u型(-u)(1-η)/21.- FSkt公司(-u; 0，σ，η，λ）+u，其中u(-u) = 1 +η - 2.-uσ(1 - λ).u的平均值∈ (-∞, 0）也可以使用（21）中给出的替换进行推导，但是对于大多数应用来说，将预截断斜交t分布的模式限制为非负，即u是很自然的∈ [0, ∞).指数分布的平均值为SimpleMexp=ι。根据（18）中的密度函数，磷灰石龙分布的平均值由MAPAT=wmTrSkt+（1）给出- w） mExp。（22）分布函数：磷灰石龙分布的分布函数由fapat（h；u，σ，η，λ，ι，w）=wFTrSkt（h；u，σ，η，λ）+（1）给出- w） FExp（h；ι），其中ftrskt和FExp是截断偏态t分布和指数分布的分布函数。我们可以直接导出截尾斜交t分布的分布函数，如下所示。FTrSkt（h；u，σ，η，λ）=ZhfTrSkt（y；u，σ，η，λ）dy=RhfSkt（y；u，σ，η，λ）dy1- FSkt（0；u，σ，η，λ）=FSkt（h；u，σ，η，λ）- FSkt（0；u，σ，η，λ）1- FSkt（0；u，σ，η，λ）。（23）指数分布的分布函数由fexp（h；ι）=1给出- 经验值-hι.随机数：我们可以从Apatosaurus分布中生成一个随机数h，方法是首先从带有参数W的伯努利分布中生成一个成分标签l，然后生成（h | l=1）~ FTrSkt（h；u，σ，η，λ）或（h | l=0）~ FExp（h；ι）。