我们的模型包括很多交易期的情况。设F：=（Ft）Tt=0为过滤(Ohm, F） S=（St）Tt=0是一个适应的随机过程，对于某些J值为RJ+≥ 1.S对不确定资产进行建模。我们假设利率为零的无风险债券也被给出。然后，净交易的集合可以用交易过程的收益来描述：l ∈ 假设存在可预测的被积函数Ht∈L(Ohm, 英尺-1)Jfort=1，因此，l = （H·S）T：=TXt=1Ht·St，其中St：=（St- St公司-1).在无摩擦的情况下，净交易集是H的一个子空间。一般来说，可以对可接受的交易策略集施加限制。例如，可以排除卖空风险资产，或对代理人的信用额度施加限制；在这些情况下，上市子空间I是一个凸锥，CompareLattmer（1996）、Jouini和Kallal（1995）以及Araujo、Chateauneuf和Faro（2018），例如3。在Harrison和Kreps（1979）中，市场由marketedspace M描述 L(Ohm, F、 P）和M上的（连续）线性泛函π。在这种情况下，I是价格系统的核，即I={X∈ M：π（X）=0}。4、在连续时间内，净交易集由formI=（ZTθu·dSu：θ）的随机积分组成∈ Aadm），以获得一组合适的可接受策略Aadm。这样的一组可能有几种。

当股票价格过程S是半鞅时，Aadmis的一个例子是所有S-可积、可预测过程的集合，其积分从下有界。AADM的其他典型选择仅包括简单的被积函数；当S是一个连续过程，而Aadmis是一组具有有限变化的过程时，则可以通过零件分解来确定上述积分（seeDolinsky和Soner（2014a，2015））。一般来说，缺少共同先验知识会对未定权益和净交易的可积性提出一些非平凡的技术问题。显然，可以将商品空间限制为有界可测函数类（对于任何先验函数都是可积的）。条件I H在某些应用中可能会受到限制，我们在附录B中提供了克服这一困难的方法。在连续时间内，为了避免加倍策略，必须对随机积分施加一个下界（可能比上面更一般）。在这种情况下，集合I不是线性空间。哈里森和克雷普斯的生存能力（1979年）；Kreps（1981），“生存能力”是通过一个具有严格单调偏好关系的代表性个体来定义的。我们允许许多具有弱单调偏好的代理，但整个家族满足严格的单调条件（方程（2.2））。我们证明，在经典案例中，可以证明与Harrison和Kreps相同的结果，在涉及奈特不确定性的新案例中，可以很容易地获得与Epstein-Ji模型中相同的结果（示例2.7）。从经济学的角度来看，我们对生存能力的定义与经济均衡的直觉想法并不矛盾，因为这一想法确实考虑到了许多代理和弱单调的偏好。

因此，我们相信，我们新定义的使用是合理的（其有用性通过我们抽象定理的证明来说明）。读者可能会注意到，我们的均衡概念并没有明确地为禀赋建模，因为我们假设零交易对每个代理人都是最优的。这种简化的方法在我们的上下文中不会失去通用性。一般来说，代理是由偏好关系给出的∈ A和捐赠e∈ H、 给定净交易集，代理选择l*∈ I使e+l* e+l 福尔l ∈ 一、 通过适当修改偏好关系，这可以降低到零禀赋下零贸易的最优值，以获得适当修改的偏好关系。让X′Y当且仅当X+e+l* Y+e+l*. 这很容易检查′也是一个可容许的偏好关系。对于newpreference关系′, 然后我们有0′l 当且仅当e+l* e+l*+ l. AsI是一个圆锥体，l + l*∈ 一、 我们得出结论，我们确实有0′l 对于所有人l ∈ 一、 次线性期望我们的资产定价基本定理利用非加性期望E描述了没有套利的情况。在决策理论中，非加性概率有着悠久的历史；Schmeidler（1989）介绍了基于非加性概率的期望效用理论的扩展。Gilboa和Schmeidler（1989）广泛使用的最大-最小期望效用模型是另一个例子。如果我们将支付的主观预期定义为一类先验上的最小预期支付，那么由此产生的预期概念具有预期的一些共同属性，如单调性和常数保持性，但不是长期相加的。在我们的案例中，非加性预期比主观预期更客观，因为它描述了市场的定价功能。

它将非正价值分配给所有净交易；在这个意义上，净交易在这个期望下具有（超）鞅性质。如果为了讨论的目的，我们假设净交易集是一个线性子空间，那么PricingFunction必须是该子空间上的加法函数。因此，在次线性定价预期下，所有净交易的价值为零。对于市场子空间之外的未定权益，市场的定价操作是次加性的。虽然加性概率测度足以描述概率模型中的可变市场，但在不确定性情况下，更明智的做法是考虑预期的非加性概念，例如在示例2.5的框架中，因为它允许充分描述市场价格的模糊性。相关索赔我们使用相关索赔的概念来概括将套利定义为正净交易的典型方法。这种方法引入了一些额外的灵活性，并允许涵盖文献中讨论的各种套利概念。例如，如果一些积极的索赔不能在没有成本的情况下清算，那么如果清算成本大于潜在收益，代理商就不会将实现此类支付的净交易视为免费午餐。因此，有理由认为只有一类有限的积极债权才是相关的，可能只有现金。此外，相关支付确定了一些市场参与者严格倾向于零计划的非负性消费计划。用于用奈特不确定性建模市场的商品空间可能相当大，例如，当我们使用所有有界、可测函数的空间时。

在这样的模型中，处理一组小于正面声明锥的相关声明是有意义的，另请参见示例2.7。我们通过将我们的工作与数学金融学的最新成果联系起来，说明了相关索赔概念的有用性。我们的方法为“稳健”或“无模型”融资中无套利的描述提供了微观经济学基础。允许Ohm 是具有逐点序的度量空间≤. 在金融文献中，这种方法被称为独立于模型的，因为它不依赖于任何概率测量。当然，还有一个模型Ohm 以及逐点顺序。声明是非负的，X∈ P、 如果X（ω）≥ 每ω0∈ Ohm 和R∈ P+ifR∈ P存在ω∈ Ohm 使得R（ω）>0。文献中使用了几种不同的套利概念。我们的框架允许在相关索赔概念的帮助下，将这些不同的方法统一到一个框架下。我们从以下一大组相关索赔开始：=P+={R∈ P:ω∈ Ohm 使得R（ω）>0}。有了这种相关性的概念，一个投资机会l 是套利，如果l(ω) ≥ 0表示每个ω，其中一些ω具有严格不等式，对应于IEDEL（2015）中考虑的一点套利的通知。在这种情况下，无轨道等价于存在一组鞅测度Qopso，对于每个点都存在Q∈ q将正质量施加到该点。其他作者（Burzoni、Frittelli和Maggis（2016）；Riedel（2015）；Dolinsky和Soner（2014b））引入了开放式套利的概念。在概率空间框架中，零集族定义为“小”，即可忽略的事件。

贝斯纳（Beissner）和里德尔（Riedel）（2019）在这种非加性定价函数的基础上开发了一个一般均衡模型。在一些技术复杂的模型中，只有次线性泛函可以是严格正的。也可以比较一下Burzoni、Frittelli和Maggis（2016）中的类似方法。在参考概率中，区分大小事件可能仍然是合理的。当存在拓扑时，可以将“小”事件定义为具有空内部的闭集（Baire firstcategory set）的可数并集。然后将开放集视为相关。然后我们可能会打电话l ∈ 如果开放集上的非负且严格为正，则为开放套利。这种情况可以在我们的框架中建模，要求相关的索赔是连续的、非负的函数，这些函数在某个地方不同于零，即Ropen：={R∈ Cb公司(Ohm) ∩ P:ω∈ Ohm 使得R（ω）>0}。很明显，当R∈ 那么它在开集上是非零的。Acciaio、Beiglb¨ock、Penkner和Schachermayer（2016年）定义了一个在任何地方都为正的豆子套利主张，在我们的模型中，对应于选择者+：={R∈ P:R（ω）>0， ω∈ Ohm } .Bartl、Cheridito、Kupper和Tangpi（2017）认为相关索赔的概念稍强一些。他们的选择isRu={R∈ P:c∈ （0，∞) 使R≡ c}。（4.1）因此，l ∈ I是一致正的套利，有时称为非对称套利。注意，对于选择Ru，套利和风险消失的免费午餐的概念是等价的。5定理（H，τ，≤ 一、 R）是给定的金融市场。回想一下，（H，τ）是一个可度量的拓扑向量空间；我们为它的拓扑对偶写H′。

我们假设H′＋是所有正泛函的集合，即∈ H′+，前提是Д（X）≥ everyX为0≥ 0和X∈ H、 下面的泛函将超复制泛函的概念从概率推广到我们的序理论框架。它在我们的分析中起着中心作用。对于X∈ H、 letD（X）：=inf{c∈ R:{ln}∞n=1 一、 {en}∞n=1 H+，enτ→ 0，（5.1），使c+en+ln≥ 十} 。无套利条件中，RUI最弱，ROPI最强。第一个等价于鞅期望附近存在一个子指数。后者等价于存在一个次线性期望，该次线性期望对所有点都具有正测度。一般来说，基于R+的无套利条件并不等于没有统一套利。然而，没有一致套利意味着存在一个与市场一致的线性有界泛函。特别是，风险中性函数对Ru是积极的。此外，如果集合I足够大，则可以证明风险中性泛函已经上升到可数相加测度。Inaciaio、Beiglb¨ock、Penkner和Schachermayer（2016年），通过将集合I中的所谓“权力期权”作为静态对冲可能性，比较alsoBartl、Cheridito、Kupper和Tangpi（2017年），得出了这一结论。注意，D是实值扩展。特别是，它需要+∞ 当没有超级复制的投资组合时。它可能还需要-∞ 如果没有下限。我们首先观察到，没有风险消失的免费午餐可以用一句话来描述，即超级复制功能的Dassigns对所有相关声明都具有严格的正值。提案5.1。如果且仅当每R的D（R）>0时，金融市场完全没有套利∈ R、 证明。假设{ln}∞n=1 我是一顿免费的午餐，风险微乎其微。

然后是isR*∈ R和{en}∞n=1 H+带enτ→ 0，以便en+ln≥ R*. 根据定义，我们得到D（R*) ≤ 为了证明相反，假设D（R*) ≤ 某些R为0*∈ R、 然后，定义D（R*) 意味着有一个实数序列{ck}∞k=1，带ck↓ D（R*), 净交易额{lk、 n}∞n=1 一、 和{ek，n}∞n=1 H+带ek，nτ→ n为0→ ∞ 例如CK+ek，n+lk、 n个≥ R*,  n、 k级∈ N、 设Br（0）为半径r中心为零的球，其公制相容性为τ。对于每个k，选择n=n（k），使ek，n∈ 黑色（0）。设置▄lk： =lk、 n（k）和ek：=ek，n（k）+（ck∨ 0). 然后，▄ek+▄lk≥ R*自▄ekτ起，每k→ 0,{~lk}∞k=1是一顿免费午餐，风险消失。很明显，D是凸的，我们现在使用凸对偶的工具来更详细地描述这个泛函。回顾第2节中定义的绝对连续鞅泛函集Qacde。提案5.2。据统计，金融市场完全没有套利。然后，（5.1）中定义的超级复制函数D是一个具有完全支持的下半连续次线性鞅期望。此外，D（X）=supД∈QacД（X），X∈ H、 该声明的技术证明见附录A。重要的见解是，超级复制函数可以用一系列线性泛函来描述。在概率设置中，它们对应于（绝对连续）鞅测度族。借助这种对偶性，我们现在能够证明我们的第一个主要定理。定理证明2.1。首先假设市场是可行的，对于一些*∈R、 有序列{en}∞n=1 H+和{ln}∞n=1 I带enτ→ 0，安登+ln≥ R*. 根据生存能力，有一系列代理{a} a∈A. A对某些人来说是这样的A∈ A我们有R*a0.自≤ 是与向量空间运算兼容的预序，我们有-en+R*≤ ln、 作为一∈ A对于≤, 我们有-en+R*一ln

根据零贸易的最优性，lna0，我们得到-en+R*a0.通过下半连续性a、 我们的结论是*a0，矛盾。假设现在市场完全没有套利。根据命题5.1，D（R）>0，对于每个R∈ R、 特别是，这意味着族Qacis非空，否则qacw上的上确界将为-∞. 对于每个Д∈ Qac，定义由，X^1Y，<=> ^1（X）≤ ^1（Y）。可以直接验证^1∈ A、 此外，^1(l) ≤ ^1（0）=0，对于任何l ∈ 这意味着l*^1=0最适合^1和（2.1）已满足。最后，命题5.1和命题5.2意味着对于任何∈ R、 存在^1∈ QacsuchthatД（R）>0；因此，（2.2）是令人满意的。我们推断{φ}φ∈QAC支持金融市场（H，τ，≤, 一、 R）。前面的论点也暗示了我们对资产定价基本理论的看法。事实上，在没有套利的情况下，超复制函数是一个具有完全支持的下半连续次线性鞅期望。凸对偶允许证明相反。定理2.2的证明。假设市场是可行的。从定理2.1来看，它完全没有套利。从命题5.2来看，超复制函数是具有完全支持的期望下半连续次线性鞅期望。现在假设E是一个具有完全支持的下半连续次线性鞅期望。特别地，E是一个凸的、下半连续的真泛函。然后，根据Fenchel-Moreau定理，E（X）=sup^1∈dom（E*)^1（X），其中dom（E*) = {φ ∈ H′：Д（X）≤ E（X）， 十、∈ H}。在定理2.1的证明中，我们可以继续验证（H，τ，≤, 一、 R）使用参考关系{φ}φ∈dom（E*).我们最终展示了EQac的最大值。设E是一个具有完全支撑的下半连续次线性鞅期望。

借助于E的鞅性质，我们可以显示，如在Lemma中。5，每∈ dom（E*)是鞅泛函。因为E对于≤, 我们还得出结论，对于可忽略不计的报酬，ν消失。因此，我们获得了dom（E*)  Qac。根据EQac的上述双重表示，E（X）≤ EQac（X）每X∈ H继续。6结论本文在不假设概率空间框架的情况下研究了给定金融市场的经济可行性。我们表明，在共同秩序的基础上，可以理解经济生存能力的等价性和无套利的等价性；这个顺序（通常是不完全的）是一致的，因为代理的偏好对于toit是单调的。当且仅当次线性定价函数与给定资产价格一致时，给定的金融市场才可行。公共秩序的性质反映在预期的平衡回归中。当公共序由某个公共先验下的期望值给出时，该先验下的期望收益必须在均衡状态下相等，因此，Fama的有效市场假说就产生了。如果公共序是由某个公共先验下的几乎确定序决定的，那么我们得到了有效市场假设的弱形式，即在与公共先验共享相同空集的某个（鞅）测度下，预期收益是相等的。在骑士式的不确定性情况下，对所有代理人强制规定共同先验可能过于苛刻。当奈特不确定性用一组先验描述时，有必要用次线性期望代替线性（鞅）期望。这样就不可能再得出这样的结论，即在某种概率度量下，预期收益是相等的。因此，奈特不确定性可能是对经验上违反有效市场假说的一种解释。

特别是，始终存在一系列经济上合理的套利——自由价格。从这个意义上讲，奈特不确定性与有摩擦或不完全的市场具有相似性，但价格不确定性的经济原因是不同的。命题5.2的证明我们将证明分为几个步骤。回想一下，（5.1）中定义了超级复制功能D。引理A.1。假设金融市场完全没有套利。那么，D是凸的，下半连续的，D（X）>-∞ 对于每X∈ H、 证明。D的凸性紧随定义。为了证明较低的半连续性，考虑序列Xkτ→ X带D（Xk）≤ c、 然后，通过定义，对于每个k，存在一个序列{ek，n}∞n=1 H+带ek，nτ→ n为0→ ∞ 和一个序列{lk、 n}∞n=1 I使得c+k+ek，n+lk、 n个≥ Xk，forevery k，n。设Br（0）为半径r的球，在与τ相容的度量中以零为中心。选择n=n（k），使ek，n∈ BK和设置▄ek：=ek，n（k），▄lk： =lk、 n（k）。然后，c+k+～ek+（X- Xk）+lk≥ X和K+～ek+（X- Xk）τ→ 0as k→ ∞. 因此，D（X）≤ c、 这证明了D是下半连续的。常量权利要求1是相关的，根据命题5.1，D（1）∈ （0，1）；特别是，它是有限的。对于相反的位置，假设存在sx∈ H使得D（X）=-∞. 对于λ∈ [0，1]，设置Xλ：=X+λ（1- 十） 。D的凸性意味着D（Xλ）=-∞ 对于每个λ∈ [0，1）。由于D是下半连续的，0<D（1）≤ limλ→1D（Xλ）=-∞, 矛盾。引理A.2。假设金融市场完全没有套利。超级复制功能D是一个具有全面支持的简单期望。此外，对于每个c，D（c）=c∈ R、 andD（X+l) ≤ D（X）， l ∈ 一、 X个∈ H、 （A.1）特别地，D具有鞅性质。证据我们分两步来证明这个结果。第1步。在这一步中，我们证明了D是一个次线性期望。

设X，Y∈ H如X所示≤ Y假设有c∈ R{ln}∞n=1 I和{en}∞n=1H+带enτ→ 0满意，Y≤ c+en+ln、 然后，从≤,我们还有X≤ c+en+ln、 因此，D（X）≤ 关于≤.平移不变性D（c+g）=c+D（g），直接来自定义。接下来，我们证明D是次加性的。固定X、Y∈ H、 假设eitherD（X）=∞ 或D（Y）=∞. 然后，从Lemma开始。1天>-∞, 我们有D（X）+D（Y）=∞ 次可加性直接遵循。现在我们考虑情况D（X），D（Y）<∞. 因此，有cX、cY∈ R{lXn}∞n=1，{lYn}∞n=1 Iand{eXn}∞n=1，{eYn}∞n=1 H+带eXn，eYnτ→ 0满意，cX+lXn+eXn≥ 十、 cY+lYn+eYn≥ Y、 设置“c：=cX+cY，”ln： =lXn+lYn，’en：=eXn+eYn。因为我是一个正锥，{ln}∞n=1 一、 \'enτ→ 0和“c+”en+“”ln≥ X+Y=> D（X+Y）≤ 因为这适用于任何此类cX，cY，我们得出结论D（X+Y）≤ D（X）+D（Y）。最后，我们证明了D是一次正齐次的。假设c+en+ln≥ X表示常数c{ln}∞n=1 I和{en}∞n=1 H+带enτ→ 然后，对于任何λ>0和任何n∈ N、 λc+λen+λln≥ λX.自λ起ln∈ I和λenτ→ 0，这意味着d（λX）≤ λD（X），λ>0，X∈ H、 （A.2）注意，当D（X）=+∞. 相反，如果D（λX）=+∞ 我们完成了。否则，我们将（A.2）与λX和1/λ一起使用，D（X）=DλλX≤λD（λX），=> λD（X）≤ D（λX）。因此，D是正齐次的，它是一个次线性期望。第2步。在这一步中，我们假设金融市场完全没有风险。自0起∈ 一、 我们有D（0）≤ 如果不等式是严格的，我们显然有一顿免费的午餐，风险为零，因此D（0）=0，从平移方差来看，这同样适用于每个c∈ R、 此外，根据命题5.1，DHA完全支持。因此，我们只需要证明（A.1）。假设X∈ Hl ∈ I和c+en+lXn公司≥ 十、

因为我是一个凸锥，lXn+l ∈ I和c+en+(l + lXn）≥ X+l. 因此，D（X+l) ≤ c、 由于这适用于所有此类常数，我们得出结论，D（X+l) ≤ D（X）表示所有X∈ H、 尤其是D(l) ≤ 0且鞅性质满足。备注A.3。注意，对于H=（Bb，k·k∞), D的定义简化为经典定义：D（X）：=inf{c∈ R: l ∈ 一、 这样c+l ≥ X}。（A.3）如果c+l ≥ X代表一些c和l, 可以使用常量序列ln≡ l 和en≡ 0表示（5.1）中的D小于或等于（A.3）中的D。对于逆不等式，观察如果c+en+ln≥ X代表一些c，l带k enk的NANDENK∞→ 0，则（A.3）中的最大值小于或等于c。结论如下。引理A.1符合众所周知的事实，即Bbis-Lipschitz中的经典超级复制函数相对于上范数拓扑是连续的。引理A.1和引理A.2的结果表明，（5.1）中定义的超级复制函数在凸分析语言中是一个适当的凸函数，例如Rockafellar（2015）。通过经典的Fenchel-Moreautheorem，我们得到了以下D的对偶表示，D（X）=sup^1∈H′{Д（X）- D*（Д）}，X∈ H、 何处*（Д）=supY∈H{И（Y）- D（Y）}，ν∈ H′。因为Д（0）=D（0）=0，D*(φ) ≥ φ(0) - D（0）=0（每英寸）∈ H′。然而，它可能会采用价值加成的形式。集合，dom（D*) := { φ ∈ H′：D*(φ) < ∞} .引理A.4。我们有dom（D*) =φ ∈ H′+：D*(φ) = 0=φ ∈ H′+：Д（X）≤ D（X）， 十、∈ H.（A.4）尤其是，D（X）=supД∈dom（D*)^1（X），X∈ H、 此外，在金融市场上，只要dom（D*) 为空。证据显然（A.4）右边的两组是相等的，包括印度教（D）*). D的定义*意味着Д（X）≤ D（X）+D*(φ),  十、∈ H、 ^1∈ H′。均匀性，ν（λX）≤ D（λX）+D*(φ), => ^1（X）≤ D（X）+λD*（Д），对于每λ>0和X∈ H假设∈ dom（D*).

然后，我们让λ进入到单位，以达到Д（X）≤ D（X）表示所有X∈ Bb。因此，D*(φ) = 0.修复X∈ H+。自从≤ 对于逐点顺序是单调的，-十、≤ 然后，通过D的单调性，ν(-X）≤ D(-X）≤ D（0）≤ 0.因此，ν∈ H′+。现在假设dom（D*) 为空或等效为D*≡ ∞. 然后，双表示意味着D≡ -∞. 根据命题5.1，金融市场中存在风险消失的免费午餐。接下来，我们证明，在没有免费午餐且风险为零的假设下，对于任何R，集dom（D*) 等于第2节中的Qacde fined。由于任何相关的假设集R包含（4.1）中的粗略定义，为了得出这一结论，有必要假设任何Ru都没有免费午餐，风险消失。引理A.5。假设金融市场对利率没有套利。那么，dom（D*) 等于绝对连续鞅泛函集Qac。证据dom（D*) 引自Lemma的是非空的。2和Lemma。4、固定任意的∈ dom（D*). 根据引理A.2，D（c）=每常数c∈ R、 鉴于Lemma的双重表示。4，cД（1）=Д（c）≤ D（c）=c，c∈ R、 因此，Д（1）=1。我们继续证明单调性。假设X∈ P、 自0起∈ 一、 我们显然有D(-X）≤ 0.双重表示意味着(-X）≤ D(-X）≤ 0.因此，Д（X）≥ 我们现在证明了超鞅性质。允许l ∈ 一、 显然是D(l ) ≤ 0、双重表示法(l) ≤ D(l) ≤ 因此ν是鞅泛函。绝对连续性如下引理E.3所示。因此，^1∈ Qac。为了证明相反的结果，fix是任意的∈ Qac。假设X∈ H、 c类∈ R{ln}∞n=1 I和{en}∞n=1 H+带enτ→ 0满足，c+en+ln≥ 十、 根据И的属性，0≤ ^1（c+en+ln- 十） =^1（c+en- 十） +^1(ln）≤ c- ^1（X- en）。自enτ起→ 0和Д是连续的，Д（X）≤ D（X）每X∈ H

因此，^1∈ dom（D*).命题5.2的证明。它直接来自引理A.4和引理A.5。我们有以下直接推论，证明了在这种情况下资产定价基本定理的第一部分。推论A.6。如果且仅当QAC6= 对于任何R∈ R、 存在^1R∈ Qacsuch，即ДR（R）>0。证据通过矛盾，假设存在R*使en+ln≥R*带enτ→ 0.取ДR*以便*（R）*) > 0并观察0<ДR*（R）*) ≤ ^1（英语+ln）≤ ^1（en）。自^1起∈ H′+，Д（en）→ 0作为n→ ∞, 这是矛盾的。另一方面，假设金融市场完全没有风险。作者：Lemma。5，dom（D*) = Qac。让R∈ 注意，根据命题5.1，D（R）>0。因此，存在ДR∈ dom（D*) = QacSatizingДR（R）>0。备注A.7。正泛函集Qac H′＋类似于经典背景下的局部鞅测度集。事实上，所有元素∈ QACCA可被视为超级马丁格尔“措施”，因为(l) ≤ 0预测l ∈ 一、 此外，对于每个Z，特性Д（Z）=0∈ Z可以被视为相对于空集的绝对连续性。完全支持性质类似于反向绝对连续性。然而，Qac的单个元素无法实现完全支持特性。Bouchard和Nutz（2015）研究了一组先验M的套利。然后，绝对连续性和完全支持性质转化为“M和Q具有相同的极集”的陈述。在Burzoni、Frittelli和Maggis（2016）的论文中，给出了一类相关集S，这两个属性可以用“集S不包含在Q的极集合中”的语句来概括。此外，当H=Bb时，H′是一类有界可加测度ba。能否将Q限制在可数可加测度集上，这是一个经典问题(Ohm).

在第4节和第3节中描述的几个示例中，这一点得到了证明。然而，有些例子并非如此。B延伸对于符号和定义，我们参考正文。让B(Ohm, F） 上所有F可测实值函数的集合Ohm. B中包含的任何Banach空间(Ohm, F） 满足H的要求。在我们的示例中，我们使用空间L(Ohm, F、 P），L(Ohm, F、 P），L(Ohm, F、 M）和Bb(Ohm, F） ，B中所有有界函数的集合(Ohm, F） ，具有最高范数。在后一种情况下，超级套期保值功能具有若干属性，如正文备注2.3所述。既然我们要求我 H、 在H=Bb的情况下(Ohm, F） 这意味着所有的交易工具都是有界的。这在某些应用程序中可能会受到限制，我们现在提供另一个克服这一困难的示例。要定义此集合，请*∈ B类(Ohm, F） 带L*(ω) ≥ 每ω1∈ Ohm. 考虑线性空间Bl:=十、∈ B类(Ohm, F） : α ∈ R+使得| X（ω）|≤ αL*(ω) ω∈ Ohm配备标准kXkl:= inf{α∈ R+：| X（ω）|≤ αL*(ω) ω∈ Ohm} =XL码*∞.我们用τ表示这个范数诱导的拓扑l. 那么，Bl(Ohm, F） 带τl是一个Banach空间，满足我们的假设。注意，如果L*= 1，然后Bl(Ohm, F） =Bb(Ohm, F） 。现在，假设我*（ω） ：=c*+^l(ω), ω ∈ Ohm, （B.1）对于某些c*> 0,^l ∈ 一、 然后，可以在主要论文的备注A.3中定义超级复制功能。另一个重要的扩展是放宽消费集等于整个空间H的假设。古典文学和本文的主体都采用了这一假设，但在某些应用中可能会受到限制。我们在这里表明，在我们的框架内，我们可以容纳一个较小的消费集，特别是，我们能够限制到从下面限定的消费集。

为了便于讨论，我们将下限设为0，这也对应于非负消费的最相关情况。考虑一个市场（H，τ，≤, 一、 R）拓扑是由关于（严格）顺序的开放区间生成的；根据定义，集合O：={X>0}是打开的。给定O上的一个偏好关系，我们可以通过处理{X的所有元素将其推广到整个空间≤ 0}作为不同的andX 如果X为Y/∈ O和Y∈ O、 由于我们对A的定义中的偏好仅要求为τ-下半连续性，因此此类满足所有要求的性质。特别是，在正文定理2.1和2.2的证明中构造的线性代理类可以相应地修改：对于一个更线性的连续函数，我们可以将效用设置为O的负整数。诱导偏好关系在A中。此外，具有幂效用的代理U（X）=E（X+c）1-γ1- γa中可以包含常数c。限制消费为正可能导致定价函数的不可扩展性，因此Harrison和Kreps（1979）的经典理论；Kreps（1981）不适用。相反，由于我们不坚持单一代表代理人，这一方面不影响正文第2节的结果。我们感谢一位匿名裁判指出了这一点。C无套利与无免费午餐，VaningRisklet（H，τ，≤, 一、 R）成为金融市场。套利机会永远是一顿风险消失的免费午餐。本节的目的是调查这两个概念何时相等。C、 1成就定义C.1。我们说，如果每X∈ H在正文的等式（5.1）中存在一个极小值，即存在l十、∈ I满足，D（X）+l十、≥ 十、 提案C.2。

假设金融市场具有获得性。那么，当且仅当它没有套利时，它是强无套利的。证据让R*∈ R、 根据假设，存在l ∈ 我*所以D（R*) + l*≥ R*.如果市场没有套利，那么我们得出结论，D（R*) > 0、鉴于正文的命题5.1，这证明了金融市场也非常没有套利。由于无套利是较弱的条件，因此它们是等价的。C、 2有限期限的离散时间市场在本小节和下一节中，我们仅考虑有限离散时间市场中的套利因素。我们首先在以下子集上引入离散过滤F：=（Ft）Tt=0Ohm.设S=（St）Tt=0是一个自适应随机过程30,31，对于某些M，其值为RM+l ∈ I存在可预测的被积函数Ht∈ Bb型(Ohm, 英尺-1） 对于所有t=1，因此，l = （H·S）T：=TXt=1Ht·St，其中St：=（St- St公司-1).表示为lt： =（H·S）t用于t∈ 我和l := lT、 设置^l =Pk，iSik- 硅。然后，我们可以直接用适当的C*, 我们有我*:= c*+^l ≥ 1、定义Bl使用^l, 设置H=Bl并用I表示l对于每t=1，…，具有Htbounded的I的子集，T接下来，我们规定了等价关系和相关集合。我们的出发点是我们假定给定的可忽略集Z的集合。我们还做出以下结构假设。当使用N个股票时，一个典型的选择Ohm 可能是Ohm = {ω=（ω，…，ωT）：ωi∈ [ 0, ∞)N、 i=0，T}。然后，可以将St（ω）=ωtand F作为S生成的过滤。请注意，我们没有指定任何概率度量。假设C.3。假设只允许在标记为1、2、…、的最后时间点进行交易，T

设我如上所示，设Z是一个关于点态收敛闭的格。我们还假设R=P+，预阶由X给出≤ Y<=> Z∈ Z使得X≤OhmY+Z，其中≤Ohm表示函数的逐点顺序。特别是，X∈ P当且仅当存在Z时∈ Z使Z≤Ohm十、 有关上述结构的示例，请参阅正文的示例2.6。在该示例中，Z由给定概率类Q的极性集组成。那么，在这种情况下，所有不等式都应该理解为Q准肯定。还请注意，当Z={0}时，Z上的假设基本满足。在后一种情况下，不等式是逐点的。鉴于≤ 事实上R=P+，l ∈ I是套利当且仅当存在R*∈ P+和Z*∈ Z、 所以l ≥OhmR*+ Z*.因此l ∈ 我是套利当且仅当l ∈ P+。我们继续展示套利的存在与单步套利的存在的等价性。引理C.4。假设假设C。3个保持。然后，存在套利f，且仅当存在t∈ {1，…，T}，h∈ Bb型(Ohm, 英尺-1） 因此l := h·STI是一种套利。证据效率是显而易见的。为了证明这一必要性，假设l ∈ 我是一个失败者。然后，有一个可预测的过程H，以便l = （H·S）T.也是l ∈ P+，因此，l /∈ Z，存在Z∈ Z这样l ≥ Z、 定义t：=最小{t∈ {1，…，T}：（H·S）T∈ P+}≤ T、 首先，我们研究以下情况：l^t-1.∈ Z、 定义l*:= H^t·S^t，并观察到l^t=l^t-1+l*. 自从l^t-1.∈ Z、 我们有l*∈ P+i功能l^t∈ P+，从而证明了引理。假设现在l^t-1/∈ Z、 如果l^t-1.≥Ohm0，那么l^t-1.∈ P，因此，也在P+中，这在^t的最小值中是不可能的。因此，集合A：={l^t-1个<Ohm0}为非空且F^t-1-可测量。定义，h：=h^tχa和l*:= h·S^t.注意，l*= χA(l^t- l^t-（1）≥OhmχAl^t≥OhmχAZ∈ Z、 这意味着l*∈ P

对于矛盾，假设l*∈ Z、 然后，l^t-1.≥OhmχAl^t-1.≥ χA（Z- l*) ∈ Z、 根据假设，l^t-1/∈ Z我们有l^t-1.∈ P+，其中^t不是最小值。以下是本节的主要结果。为了证明这一点，我们遵循了卡巴诺夫和斯特里克（2001）的方法，这一方法也在布查德和努茨（2015）中使用。我们考虑金融市场*= （B）l, k·kl, ≤Ohm, 一、 P+）如上所述。定理C.5。在满足假设的有限离散时间金融市场中。3、以下是等效的：1。金融市场Θ*没有套利。2、取得财产持有*没有套利。3、金融市场*完全没有套利。证据鉴于命题。2我们只需要证明蕴涵1=> 2、对于X∈ H使得D（X）是有限的，我们有cn+D（H）+ln≥OhmX+Zn，对于某些cn↓ 0, ln∈ I和Zn∈ Z、 注意，由于Z是一个晶格，我们假设，在不丧失一般性的情况下，Zn=（Zn）-并用Z表示-:= {Z-| Z∈ Z} 。我们证明C：=I-（L）+(Ohm, F） +Z-) 在逐点收敛下闭合，其中L+(Ohm, F） 表示逐点非负随机变量类。一旦显示该结果，通过观察X-中国大陆-D（X）=Wn∈ C向X点收敛- D（X）我们获得了获得属性。我们根据时间步数进行归纳。假设第一个T=1。下线=ln- 千牛- 锌→ W、 （C.1）其中ln∈ 一、 千牛≥Ohm0和Zn∈ Z-. 我们需要展示W∈ C、 请注意，任何lNCA可以表示为ln=Hn·瑞士Hn∈ L(Ohm, F） 。允许Ohm:= {ω ∈ Ohm | lim inf|Hn|<∞}. 根据引理2 inKabanov和Stricker（2001），存在一个序列{Hk}，使得{Hk（ω）}是每个ω的{Hk（ω）}的收敛子序列∈ Ohm. 设H：=lim inf HnχOhm和l :=H·S、 现在请注意，Zn≤Ohm因此，如果lim inf | Zn |=∞ 我们有lim inf Zn=-∞.我们证明了我们可以选择▄Zn∈ Z-,Kn≥Ohm0，以便▄Wn：=ln-Kn-锌→W和lim infZnis finite onOhm.

在上{ln≥OhmW}设置▄Zn=0和▄Kn=ln- W在上{ln个<OhmW}集▄Zn=Zn∨ (ln- W），~Kn=Knχ{Zn=~Zn}。很明显，Zn≤Ohm锌≤Ohm0.来自LemmaE。1我们有锌∈ Z、 此外，可以很容易地检查▄Wn：=ln-Kn-锌→ W然而，从l不Ohm和锌≥Ohm-（W）- ln） +，我们得到{ω∈ Ohm| lim infZn>-∞} = Ohm. 因此，也限制了Ohm, 否则我们就不会有那样的→ W因此，通过设置▄Z：=lim inf▄zn和▄K：=lim inf▄Kn，我们得到W=l -K-Z∈ C、 在上OhmCwe可以取Gn：=Hn/| Hn |，让G：=lim inf GnχOhmC、 定义，lG： =克·S、 我们现在观察到，{ω∈ OhmC |lG（ω）≤ 0}  {ω ∈ OhmC | lim inf Zn（ω）=-∞}.的确，如果ω∈ Ohm使lim inf Zn（ω）>-∞, 再次应用引理2 inKabanov和Stricker（2001），我们得到了thatlim infn→∞X（ω）+Zn（ω）| Hn（ω）|=0，表示lG（ω）是非负的。立即设置▄Zn：=Zn∨ -(lG）-.来自Zn≤Ohm锌≤Ohm0，又是LemmaE。1，锌∈ Z、 以n为界→ ∞ 我们获得(lG）-∈ 因此，lG∈ P、 由于金融市场没有套利S=Z∈ Z，因此一个资产是多余的。考虑分区Ohmiof公司OhmCon，其中Gi6=0。因为Z在乘法下是稳定的（LemmaE.2），对于任何l*∈ 一、 存在Z*∈ Z和H*∈ L(Ohmi、 F）带（H*)i=0，因此l*= H*· S+Z*在…上Ohmi、 因此lnin（C.1）由只涉及d的交易策略组成- 1.资产。将过程迭代到d步，我们得到了结论。假设现在是C。1适用于具有T的市场- 1个周期，同样的，我们证明了我们可以扩展到具有T个周期的市场。再次设置Ohm:= {ω ∈ Ohm | lim inf|Hn|<∞}. 从开始Ohm我们有，Wn- Hn·S=TXt=2Hnt·St公司- 千牛- 锌→ W- H·S、 归纳假设可以得出以下结论：- H·S∈ C及其后∈ C

在…上OhmCwe可以取Gn：=Hn/| Hn |，让G：=lim inf GnχOhmC、 请注意，Wn/| Hn |→ 0和HenceText=2Hnt | Hn |·St公司-Kn | Hn|-Zn | Hn|→ -G·S、 因为Z在乘法zn | Hn下是稳定的|∈ 因此，通过归纳假设，对于t=2，…，存在▄hth，T和▄Z∈ Z，以便l := G·S+TXt=2Ht·St公司≥OhmZ∈ Z、 无套利条件意味着l ∈ Z、 再一次，这意味着oneasset是冗余的，并且通过考虑分区Ohmiof公司Ohm如果Gi6=0，我们可以重写这个术语lnin（C.1）带d- 1.资产。将程序迭代到d步骤，我们得到了结论。上述结果与以下事实一致：在有限离散时间市场的经典“概率”模型中，仅使用了无套利条件，而非无免费午餐条件。D可数加性测度在这一部分中，我们表明，在一般有限离散时间市场中，可以通过可数加性泛函来刻画生存能力。在本节中，≤Ohm表示函数的逐点顺序。我们通过结合我们在E.2节中收集的Burzoni、Frittelli、Hou、Maggis和Ob l’oj（2019）的一些结果来证明这一结果。我们参考该文件了解(Ohm, F、 S），我们只指出，除了之前的设置，Ohm 需要一个抛光空间。我们让Qcabe是一组具有有限支持度的可数加性正概率测度Q，使得S是Q-鞅，Z-:= {-Z-| Z∈ Z} 。对于X∈ H、 setZ（X）：=Z∈ Z-: l ∈ I使得D（X）+l ≥OhmX+Z,当D（X）时，它总是非空的，例如。十、∈ Bb。根据Z的晶格性质，如果D（X）+l ≥OhmX+Z如果我们取Z=Z，则相同-. 来自EMC。5我们知道，在无套利的情况下，获得财产持有量为，因此，Z（X）对于每个X都是非空的∈ H

对于∈ F、 我们定义了a（X）：=inf{c∈ R:l ∈ I使c+l(ω) ≥ X（ω），ω∈ A}QcaA：={Q∈ Qca:Q（A）=1}。在证明主要定理时，我们需要以下技术结果。提案D.1。假设假设C。3持有，金融市场无套利。然后，对于每个X∈ H和Z∈ Z（X），存在AX，ZsuchthatAX，Z { ω ∈ Ohm : Z（ω）=0}，（D.1）和D（X）=DAX，Z（X）=supQ∈QcaAX，ZEQ【X】。在证明这个结果之前，我们先陈述一下本节的主要结果。定理D.2。假设假设C。3个保持。那么，金融市场没有套利当且仅当for every（Z，R）∈ Z-×P+存在QZ，R∈ QcasatisfyingEQZ，R[R]>0，EQZ，R[Z]=0。（D.2）证明。假设金融市场没有套利。固定（Z，R）∈ Z-×P+和ZR∈ Z（R）。设置Z*:= ZR+Z∈ Z（R）。被提议的。1，存在一个*:= AR，Z*满足此处列出的属性。特别是，0<D（R）=supQ∈QcaA公司*等式【R】。因此，有Q*∈ QcaA公司*因此，EQ*[R] >0。此外，由于ZR，Z∈ Z-,A.* {Z*= 0}={ZR=0}∩ {Z=0}。特别是*[Z] =0。为了证明相反的含义，假设存在R∈ P+，l ∈ 土地Z∈ Z这样l ≥OhmR+Z。那么，很明显l ≥OhmR- Z-. LetQ公司*:= Q-Z-,R∈ QCA合格（D.2）。通过将两侧与Q积分*,我们得到0=等式*[l] ≥ 均衡器*[R]- Z-] = 均衡器*[R] >0。这是一个矛盾。因此，不存在套利。我们继续证明命题D.1。命题的证明。由于不存在套利，根据定理C.5，我们具有获得性。因此，对于给定的X∈ H、 集合Z（X）是非空的。第1步。我们证明了，对于任何Z∈ Z（X），D（X）=D{Z=0}（X）。注意，由于D（X）+l ≥OhmX+Z，对于一些l ∈ 一、 不等式D{Z=0}（X）≤D（X）始终为真。对于矛盾，假设不等式是严格的，即存在c<D（X）和l ∈ I使c+~l(ω) ≥ 任意ω的X（ω）∈ {Z=0}。

我们证明▄Z：=（c+▄l - X）-χ{Z<0}∈ Z、 这与c+一起l ≥OhmX+~Z产生矛盾。回想一下，Z是线性空间，因此nZ∈ Z表示任意n∈ N、 来自新西兰≤OhmZ∨（新西兰）≤Ohm0，我们也有▄Zn：=▄Z∨ （新西兰）∈ Z、 由LemmaE编写。1、注意{Z<0} {Z<0}我们有▄Zn（ω）→对于每个ω，Z（ω）∈ Ohm. 从Z点下收敛的闭包，我们得出结论Z∈ Z、 第2步。对于给定集合a∈ FT，我们让* A是鞅度量所访问的场景集（有关更多详细信息，请参见附录中的（E.2））。我们证明了，对于任何Z∈ Z（X），D（X）=D{Z=0}*（十） 。假设{Z=0}*是{Z=0}的一个适当子集，否则，从步骤1开始，没有任何显示。来自LemmaE。6有一个策略▄l ∈ 我就是这样l ≥ 在{Z=0}上为0。引理E.5（尤其是（E.4））产生了一系列策略lt、 。ltβtwith t=1。T，使得{Z=0}={Z=0}*式中，^Z：=Z-TXt=1βtXi=1χ{Z=0}(lti）+。（D.3）请注意，仅限于{Z=0}这一策略不会产生风险，也可能产生正收益，换言之，这是一种很好的套利选择。此外，对于任何ω∈ {Z=0}\\{Z=0}*, 存在（i，t）使得lti（ω）>0。我们将证明，在无套利假设下，lti公司∈ Z表示anyi=1。βt，t=1。T特别地，从线性空间Z的晶格性质来看，我们得到了^Z∈ Z、 我们通过重复相同的论点直到t=1来说明t=t的原因，我们得到了这篇论文。我们从i开始归纳。从i=1开始。来自LemmaE。5我们有lTi公司≥ 在{Z=0}上为0，因此{lT<0} {Z<0}。定义Z：=-(lT）-≤Ohm通过使用与步骤1相同的参数，我们观察到nZ≤OhmZ∨ （新西兰）≤Ohm0新西兰∈ Z表示任意n∈ N、 发件人{lT<0} {Z<0}和Z在逐点收敛下的闭包，我们得出▄Z∈ Z、 从无套利开始，我们必须lT∈ Z、 现在假设lTj公司∈ Z每1个≤ j≤ 我-1.

来自LemmaE。5，我们有lTi公司≥ {Z上的0-圆周率-1j=1lTi=0}，因此{lTi<0} {Z-圆周率-1j=1lTi<0}。步骤1的参数可以得出以下结论：lTi公司∈ Z、 我们现在可以提出索赔。不等式D{Z=0}*（十）≤ D{Z=0}（X）=D（X）始终为真。对于矛盾，假设不等式是严格的，即存在c<D（X）和l ∈ I使c+~l(ω) ≥ 任意ω的X（ω）∈ {Z=0}*. 我们证明▄Z：=（c+▄l - X）-χOhm\\{Z=0}*∈ Z、 这与c+一起l ≥OhmX+~Z，产生矛盾。要了解这一点，请从上述参数中调用^Z∈ Z带^Z，如（D.3）所示。此外，通过（D.3），我们得到{Z<0} {^Z<0}。步骤1的参数允许得出▄Z∈ Z、 第3步。我们现在可以得出结论。固定Z∈ Z（X）和setAX，Z：={Z=0}*. 那么，D（X）=D{Z=0}（X）=D（AX，Z）*（十） =supQ∈QcaAX，ZEQ[X]，其中前两个等式来自步骤1和步骤2，最后一个等式来自命题。7.E一些技术工具。我们从一个简单但有用的可忽略性条件开始。引理E.1。考虑两个可忽略不计的索赔^Z，^Z∈ Z、 那么，任何索赔Z∈ Hsatizing^Z≤ Z≤~Z也可以忽略不计。证据根据定义，我们有，X≤ X+^Z≤ X+Z≤ X+~Z≤ 十、=> 十、~ X+Z。因此，Z∈ Z、 引理E.2。假设Z在逐点收敛下是闭合的。那么，Zi在乘法下是稳定的，即ZH∈ Z表示任意H∈ H、 证明。首先注意，Zn：=Z（（H∧n）∨-n）∈ Z、 这源于LemmaE。1和Z是圆锥体的事实。取n的极限→ ∞, 结果如下。接下来，我们证明E（Z）=0∈ Z、 引理E.3。设E为次线性期望。那么，E（c+λ[X+Y]）=c+E（λ[X+Y]）=c+λE（X+Y）（E.1）≤ c+λ[- (-E（X）- E（Y））]，对于每个c∈, λ ≥ 0，X，Y∈ H、 特别地，E（Z）=0， Z∈ Z、 证明。设X，Y∈ H、 UE的次可加性意味着UE（X′）+UE（Y′）≤ UE（X′+Y′）， X′，Y′∈ H、 即使他们取数值±∞.

UEnow产量的定义，E（X+Y）=-UE公司(-十、- Y）≤ - [UE(-十） +UE(-Y）]=- (-E（X）- E（Y））。然后，（E.1）直接来自定义。让Z∈ Z、 然后，-Z、 Z∈ P和E（Z），E(-Z）≥ 0.自-Z∈ P、 E的单调性意味着E（X-Z）≥ E（X）表示任意X∈ H、 选择X=ZT到达0=E（0）=E（Z- Z）≥ E（Z）≥ 因此，E（Z）等于零。E、 2有限时间市场我们在此回顾了Burzoni、Frittelli、Hou、Maggis和Ob l’oj（2019）的一些结果（关于框架的精确规格，请参见其中第2节）。我们得到了一个过滤空间(Ohm, F、 F）带Ohm 一个Polish空间和F，其中包含由Borel可测过程S生成的过滤。我们用Q表示过程S的鞅测度集，其支持是有限个点数。对于给定集合a∈ F、 QA={Q∈ Q | Q（A）=1}。我们定义了由鞅测度引起的场景集*:= {ω ∈ Ohm | Q∈ QAs。t、 Q（ω）>0}=[Q∈QAsupp（Q）。（E.2）定义E.4。我们这么说l ∈ 如果l = Ht·（St- St公司-1） 带Ht∈ L（X，Ft-1） 对于一些t∈ {1，…，T}。我们说a∈ I是I ffa（ω）上的一点套利≥ 0ω∈ 对于某些ω，A和A（ω）>0∈ A、 下面的引理对于集合A的特征化至关重要*套利考虑因素。引理E.5。修复任何t∈ {1，…，T}和Γ∈ F、 存在指数β∈{0，…，d}，一步策略l, . . . , lβ∈ I和B。。。，Bβ，Γ的划分，满足：1。如果β=0，则B=Γ，且不存在单点套利，即。，l(ω) ≥ 0ω∈ B=> l(ω) = 0 ω∈ B、 2。如果β>0且i=1，β然后： Bi6=, l对于所有ω，i（ω）>0∈ Bi， li（ω）≥ 所有ω为0∈ ∪βj=iBj∪ B、 我们现在使用之前的结果（对于某些固定t）来识别a*. 定义：=AAt-1： =在βt时[i=1比特，t∈ {1，…，T}，（E.3），其中位：=Bi，ΓT，βT：=βΓtar是在LemmaE中构造的集合和索引。5withΓ=At，对于1≤ t型≤ T

注意，对于相应的策略ltiwehaveA=T\\T=1βT\\i=1{lti=0}。（E.4）引理E.6。（E.3）中构建的Aas满足A=A*. 此外，在<=> A.*= A、 提案E.7。让A∈ F、 对于任何F-可测的随机变量g，πA*（g） =supQ∈QAEQ[克]。（E.5）带πA*（g） =inf{x∈ R |一∈ I使得x+aT（ω）≥ g（ω）ω∈ A.*}. 特别地，（E.5）的左侧是通过某种策略a实现的∈ 一、 参考Sacciaio，B.、M.Beiglb¨ock、F.Penkner和W.Schachermayer（2016）：“资产定价基本定理和超级复制定理的无模型版本”，数学金融，26（2），233–251。Aliprantis，C.D.和K.C.Border（1999）：有限维分析。斯普林格。Araujo，A.、A.Chateauneuf和J.H.Faro（2018）：“定价规则揭示的金融市场结构：有效的完全市场普遍存在”，《经济理论杂志》，173257–288。Arrow，K.（1953）：“波尔·德瓦勒·布尔西（Le r^ole des valeurs boursi\'eres pour la r\'epartition lamilleure des risques），《计量经济学》，国家科学研究中心国际学术讨论会。国家科学研究中心。Artzner，P.、F.Delbaen、J.-M.Eber和D.Heath（1999）：“风险的一致性度量”，数学金融，9203-228。Bachelier，L.（1900）：《高等教育科学年鉴》，第21-86页。Bartl，D.（2019）：“无限捐赠的模型不确定性下的指数效用最大化”，《应用概率年鉴》，29（1），577–612。Bartl，D.、P.Cheridito、M.Kupper和L.Tangpi（2017）：“具有可数个边际约束的增凸泛函的对偶性”，《数学分析杂志》，11（1），72–89。贝斯纳，P.和L。

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