关于马科维茨几何

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收藏 2022-06-01

英文标题：
《On Markowitz Geometry》
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作者：
Valentin Vankov Iliev
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
By Markowitz geometry we mean the intersection theory of ellipsoids and affine subspaces in a real finite-dimensional linear space. In the paper we give a meticulous and self-contained treatment of this arch-classical subject, which lays a solid mathematical groundwork of Markowitz mean-variance theory of efficient portfolios in economics.
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中文摘要：
Markowitz几何是指有限维线性空间中椭球与仿射子空间的交集理论。在本文中，我们对这一重要的经典课题进行了细致而全面的论述，为经济学中有效投资组合的马科维茨均值-方差理论奠定了坚实的数学基础。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Portfolio Management 项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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能者818

2022-6-1 03:12:52

保加利亚科学院数学和信息研究所马科维茨几何瓦伦丁·万科夫·伊利耶夫研究所，保加利亚，索菲亚1113。电子邮件地址：viliev@math.bas.bgAbstractByMarkowitz几何我们指的是实有限维线性空间中椭球体和任意子空间的交集理论。在本文中，我们对这一重要的古典学科进行了细致而全面的论述，为经济学中有效投资组合的马科维茨均值方差理论奠定了坚实的数学基础。关键词：椭球体，a ffine子空间，马科维茨均值-方差理论，高效金融投资组合。AMS代码：15A63；15A99；49K35JEL代码：G1101简介和注释1.1简介本文解决了以下极值问题：给定一个正维a ffne子空间C Rn，C上非常数的线性形式π，Rn上的正定义二次型v，找到所有点x∈ 使得π（x）=maxx∈C、 v（x）≤v（x）π（x）和v（x）=minx∈C、 π（x）≥π（x）v（x）。（1.1.1）证明（1.1.1）的解的轨迹是C中的一条射线E，其端点是垂线的底脚从坐标系的原点O到a ffine空间C（垂直度与通过极化从v获得的标量积有关）。设hr为方程π（x）=r，r的超平面∈ R、然后让rbe从O到a ffene子空间的垂线∩ 人力资源部。如果π（x）=r，v（x）=a，则E={r | r≥ r} ，则，= r、水平r=π（x）和a=v（x）沿E呈二次相关：a=cr。设x=t（x，…，xn）为Rn中的一般向量，设M为指数集n={1，…，n}的一个子集，设C=∩j∈Mh（j），其中h（j）是线性独立的超平面，方程π（j）（x）=τj，τj∈ R、 j∈ M

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nandehutu2022

2022-6-1 03:12:57

（1.1.2）在case中，超平面∏={x | x+·····+xn=1}是h（j）的一个，我们可以解释x∈ C作为一个n资产金融投资组合，受线性约束（1.1.2）。接下来，在某些条件下，见4.2，我们可以将π（x）解释为投资组合x的预期回报，将v（x）解释为其风险。最后，我们可以从纯粹的几何角度出发，将马科维茨的计量方差理论中的有效投资组合元素解释为有效投资组合。著名的开创性工作[1]就是以这种方式写的，变量s的非负性条件（由于缺乏卖空）扭曲了画面，迫使马科维茨在单纯形图中使用单纯形法的变量[2]。因此，我们必须研究紧致轨迹中包含的线性段的更复杂分段集，而不是有效投资组合的射线对于C上的∏单元单纯形，如果x∈ EM\\E∩ , 然后π（x）<maxx∈C、 v（x）≤v（x）π（x）或v（x）>最小值∈C、 π（x）≥π（x）v（x），即预期收益的最大值π（x）减小或风险的最小值v（x）增大，这是我们的出发点。在第1节定理2.2.1中，我们证明了跟踪Qa∩ 方程v（x）=a的椭球体qa的C在r n上，空间C也是椭球体情况a≥ γM（τ），其中γM（τ）是变量τ=（τj）j中的正定义二次型∈M∈ RM。椭球体的中心Qa∩ C是垂线的底脚从O到C，并且，我们在C上的适当坐标下找到了它的方程。不等式a≥ γM（τ）确定了一个“椭圆”锥^γMin R×RM，它是定理2.3.1中描述的束ξ的基础。通过将椭球体a=γM（τ）“向上”（a在增加）拖动，我们建立了一个真正的代数变体，它是ξ的^γ和分支轨迹的前沿。

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2022-6-1 03:12:59

ξ在^γ马雷椭球内部的点上的纤维，这些椭球退化为ΓM以上的中心。使用该束，我们获得了Rnvia投影中平行于某个子空间的椭球的图像（阴影）再次是椭球-见命题2.4.1。在第二节中，我们证明了Rn中一类偏心椭球体和平行超平面的成员切点的一些极值性质。这两部分在第3节中结合在一起，我们证明射线E是所有有效马科维茨投资组合的蝗虫，并根据马科维茨均值方差理论解释几何结果。1.2符号对于任何正整数n，我们用n×1型矩阵标识实线ar空间rn的成员：x=t（x，…，xn），其中符号表示矩阵的传递。我们设置O=t（0，…，0）∈ Rnand表示为（ei）ni=1 Rn中的标准基。假设M={j，…，jm}，j<····<jm，是指数集[n]={1，…，n}的一个属性子集。给定向量x=t（x，…，xn），我们用x（M）表示向量（xj，…，xjm）∈ RM。此外，从线性空间RM中得到了索引Greeklettersτ（M）等，平均向量（τj，…，τjm）等。如果K是集合M的一个适当子集，我们将所有τj，j∈ K、和vAryτj，j∈ 五十、式中，L=M\\K，然后，由于一些符号的滥用（假定已知已执行的组件），我们写出τ（M）=τ（L，K）。给定一个对称的n×n矩阵Q，用Q（M）表示Q的主M×msubmatrix，它是通过抑制带有不在M中的指示符的行和列而得到的。对于正定二次型v（x）=rN上的txQx，矩阵Q，wedenote Qa={x∈ Rn | v（x）=a}，a≥ 0。集合Qa是一个椭球体，对于所有a>0的情况，中心位于RN中。如果n=1，“椭球体”Qa由两个（可能相交）点组成。

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大多数88

2022-6-1 03:13:02

我们通过将a=0时的单态{O}定义为“椭球”，以及在零维线性空间的情况下，扩展了这一术语。对于任何a≥ 0我们表示Q≤a={x∈ Rn | v（x）≤ a} Q<a={x∈ Rn | v（x）<a}。请注意，Q≤a和Q是严格凸集。我们让π（x）=px+····+pnxnbe为线性形式，并让我们用hr表示Rn中的超平面，由方程π（x）=r，r定义∈ R、让hr(≤) 表示半空间{x∈ Rn |π（x）≤ r} 。注释hr的含义(≥), hr（<）和hr（>）已清除。RN中的标准标量积（x，y）=txy生成标准normkxk，其中kxk=（x，x）。我们设置序号-1={x∈ Rn | kxk=1}（单位球体）。RN中的标量积hx，yi=txQy生成Q范数kxkq，其中kxkq=hx，xi=v（x），Q距离distQ（x，y）=kx- ykQ。因此，椭球Qa是一个具有Q半径的Q球体√a、如果hx，yi=0，则两个向量x和y称为Q垂直。在本文的整个过程中，我们假设n是一个正整数，m是一个m<n的非负整数。此外，我们假设如果索引集[n]的属性子集m是一个列表：m={j，…，jm}，那么j<··<jm。2椭球和A ffne子空间2.1二次超曲面和A ffne子空间的交点et M [n] 是一组大小为m的指数，m={j，…，jm}，let（h（j））j∈Mbe Rn中线性独立的一类超平面。坐标系的选择方式可以使超平面h（j）具有方程xj=τj，τj∈ R、我们用h（τ（M））表示交点∩j∈Mh（j）。族{h（τ（M））|τ（M）∈ RM}包含所有（n- m） -Rn中的维空间，与向量ej、j生成的m维向量子空间正交∈ M设Q=（qij）ni，j=1为对称矩阵。对于任何j∈ M we deno tebyρ（Q；Mc）-,j第j列（n- m） ×n通过删除m元素索引的行，从Q中获得matr ix。

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可人4

2022-6-1 03:13:07

因此，ρ（Q；Mc）-,jis a矢量inRn-M含c组分ρ（Q；Mc）i，j=qij，i∈ Mc。给定向量τ（M）∈ RM，τ（M）=t（τj，…，τjm），我们设置ρ（Q；Mc）-,τ（M）=Pmk=1τjkρ（Q；Mc）-,jk。由α（Q；M）（x）=nXj，k∈Mqjkxjxkwe表示与Q的主子矩阵Q（M）相对应的二次型。设Mc={i，…，in-m} 。如果子矩阵Q（Mc）是可逆的，则letx（Mc）=t（c（Q；Mc）i（τ（M）），c（Q；Mc）英寸-m（τ（m）））是矩阵e方程q（Mc）x（Mc）=-ρ（Q；Mc）-,τ（M）。（2.1.1）我们设置c（Q；Mc）（τ（M））=t（c（Q；Mc）（τ（M）），c（Q；Mc）n（τ（M）），其中c（Q；Mc）j（τ（M））=j的τjj∈ M、特别是，c（Q；Mc）（τ（M））∈ h（τ（M））。如果是L M，L={l, . . . , lλ} ，我们设置c（Q；Mc）L（τ（M））=t（c（Q；Mc）l（τ（M）），c（Q；Mc）lλ（τ（M）））。注意，如果M=, 然后c（Q；[n]）（τ()) = 我们写c（Q；Mc）（τ（M））=c（Mc）（τ），类似地，ρ（Q；Mc）-,τ（M）=ρ（Mc）-,τ、等等，如果上下文允许的话。因为向量ρ（Mc）-,τ∈ 注册护士-mdepe与τ（M）成线性关系，映射ψM:RM→ Rn，τ（M）7→ c（Mc）（τ（M）），（2.1.2）是线性空间的内射同态。我们设置E fff（Q；Mc）=ψM（RM），并注意到E fff（Q；Mc）是Rn的M维子空间。下面，当默认情况下给出矩阵Q时，我们使用短符号E fff（Mc）=E fff（Q；Mc）。引理2.1.1设K和M是K的指数集[n]的真子集 M、设Q（Kc）和Q（Mc）是Q的可逆子矩阵。以下两个陈述是等价的：（i）一个有c（Kc）（τ）∈ h（τ（M））。（ii）其中c（Kc）（τ）=c（Mc）（τ）。证明：我们有h（τ（M）） h（τ（K）），假设K 6=M。这是为了证明（i）意味着（ii）。设c（Kc）（τ）∈ h（τ（M））。我们提醒超平面h（j）有方程h（j）：对于任何j，xj=τjj∈ M、特别是r，foreach j∈ 我们得到c（Kc）j（τ）=τj。因此，c（Kc）（τ）Mc是方程（2.1.1）的解。

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mingdashike22

2022-6-1 03:13:11

该解的唯一性意味着c（Kc）（τ）=c（Mc）（τ）。推论2.1.2单相OFF（Kc）∩h（τ（M）） EFF（Mc）。现在，让我们确定τ（M）的所有分量∈ RM，r=τ除外l对一些人来说l ∈ M，soτ（M）=τ({l},M级\\{l})（r）。当我们改变r∈ R、然后τ({l},M级\\{l})（r）在RMand中描述一条直线，因此c（Mc）（τ({l},M级\\{l})（r））描述了我们用E fff（Q；Mc）表示的s直线l. 其射线{c（Mc）（τ({l},M级\\{l})（r））| r≥ b} ，b∈ R、用E fff（Q；Mc）表示lb+。设γ（Q）M（τ）=α（Q；M）（τ）- α（Q；Mc）（c（Q；Mc）i（τ），c（Q；Mc）英寸-m（τ））。自α（Q；)（x） =0且c（Q；[n]）（τ）=···=c（Q；[n]）n（τ）=0，我们得到γ（Q）(τ) =0. 当矩阵Q从上下文中已知时，我们写出γ（Q）M（τ）=γM（τ）。根据引理A.1.2，（i），γM（τ）是τ（M）中的二次型。让我们通过替换x=z（τ（M））+c（Mc）（τ（M））来移动坐标系的原点。那么x（Mc）和z（Mc）（τ（M））在h（τ（M））上的分量的限制就是这个（n）中的坐标函数-m） -尺寸A ffine space。设v（x）=txQx是由对称非零n×n矩阵Q生成的二次型。T hus，Qa:v（x）=a是Rnfor generic a的二次型∈ R和实际变化量qa，τ（M）=qa∩ h（τ（M））由方程tx（Mc）Q（Mc）x（Mc）+2tρ（Mc）在h（τ（M））中定义-,τx（Mc）+αM（τ）- a=0。（2.1.3）设v（Mc）（z（τ（M））=tz（Mc）（τ（M））Q（Mc）z（Mc）（τ（M））。（2.1.4）如果主子矩阵Q（Mc）是可逆的，引理A.1.3意味着v（x）=h（M）上的v（Mc）（z（τ（M））+γM（τ（M）），并且在z坐标方面，方程式（2.1.3）的形式为v（Mc）（z（τ（M））=A- γM（τ（M））。（2.1.5）2.2椭球体和一个有效子空间的交点let v（x）=txQx是由对称（正定义）n×n矩阵Q产生的正定义二次型。因此，Qa:v（x）=A是rna中的一个椭圆体，对于A>0，Q={0}，Qa= 对于<0。特别是，Q（Mc）是一个主矩阵，因此是Q的正定义子矩阵。

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mingdashike22

2022-6-1 03:13:14

因此，二次型（2.1.4）为正定义。根据（2.1.3）和（2.1.5），我们建立了下一个定理的（ii）、（iii）和（iv）部分。引理A.1.2，（ii）证明了第（i）部分。定理2.2.1设二次型v（x）=txQx为正定义。（i）如果M 6=, 那么二次型γM（τ）是正定义的。（ii）如果a>γM（τ），则qa，τ（M）是（n）中的椭球体- m） -具有中心c（Mc）（τ）和Q（Mc）-半径Pa的维向量空间h（τ（m））- γM（τ）。（iii）如果a=γM（τ），则qa，τ（M）={c（Mc）（τ）}。（iv）如果a<γM（τ），则设置qa，τ（M）为空。备注2.2.2我们提醒大家，一维子空间中的椭球体是由两点组成的集合，其中心是中点。备注2.2.3根据引理3.1.2，在点x=c（Mc）（τ）处，a ffne子空间h（τ（M））与椭球Qa成角度，a=γM（τ）。备注2.2.4鉴于前面的备注，引理2.1.1具有透明几何意义：如果h（τ（K））的子空间h（τ（M））通过点x=c（Kc）（τ），则h（τ（M））也与Qaat x相切。我们立即得到以下推论：任何x的推论2.2.5（i）∈ h（τ（M））一个有v（x）≥ γM（τ）和等式成立的充要条件是x=c（Mc）（τ）。（ii）点c（Mc）（τ）∈ h（τ（M））是从原点O到a ffine子空间h（τ（M））的Q-垂直脚，一个hasdistQ（O，h（τ（M）））=kc（Mc）（τ）kQ=pγM（τ）。推论2.2.6设K和L是M与K的不相交子集∪L=M。

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mingdashike22

2022-6-1 03:13:17

一个有（i）如果a=γM（τ（M）），则a桄内空间h（τ（K））上el lipsoid qa的迹qa，τ（K）是非空的，且a桄内子空间h（τ（M）） h（τ（K））与椭球qa相切，τ（K）在点c（Q；Mc）（τ（M））处。（ii）c（Q；Mc）（τ（M））=c（Q；Kc）（τ（K））+cQ（Kc）；Mc公司（τ（L）- c（Q；Kc）L（τ（K）））和（iii）γ（Q）M（τ（M））=γ（Q）K（τ（K））+γQ（Kc）L（τ（L）- c（Q；Kc）L（τ（K）））。证明：当M、K、o或L中的一个为空时，这两个断言都成立。（i）等式qa，τ（M）=qa，τ（K）∩ h（τ（L））=qa，τ（K）∩ h（τ（M））=Qa∩ h（τ（M））和定理2.2.1，（ii）–（iv），得出在条件a=γM（τ（M））下，wehaveqa，τ（K）∩ h（τ（M））={c（Q；Mc）（τ（M））}。（2.2.1）尤其是≥ γK（τ（K）），在这种情况下，qa，τ（K）是向量空间h（τ（K））中的椭球体，具有坐标函数（z（Kc）s（τ（K）））s∈Kc。点{c（Q；Kc）（τ（K））}既是坐标系的原点，也是椭球体qa，τ（K）的中心，其方程tz（Kc）（τ（K））Q（Kc）z（Kc）（τ（K））=a- γK（τ（K））。因此我们有qa，τ（K）=Q（Kc）a-γK（τ（K））。由于（2.2.1），h（τ（K））上h（τ（L））的轨迹h（τ（M））与qa相切，点c（Q；Mc）（τ（M））（注意，在qa的情况下，τ（K）={c（Q；Mc）（τ（M））}我们有c（Q；Mc）（τ（M））=c（Q；Kc）（τ（K）），h（τ（M））也与qa相切，点c（Q；Mc）（τ（M））-参见备注3.1.1）。（ii）一个子空间h（τ（M））由方程sz（Kc）s（τ（K））=τs在h（τ（K））中定义-c（Q；Kc）s（τ（K）），s∈ L（我们有L Kc）。因此，差异（Q；Mc）（τ（M））-a ffne子空间h（τ（K））中点的c（Q；Kc）（τ（K）） rN与向量c重合Q（Kc）；Mc公司（τ（L）-c（Q；Kc）L（τ（K）），我们得到了第（ii）部分。

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大多数88

2022-6-1 03:13:20

等式a- γK（τ（K））=γQ（Kc）L（τ（L）- c（Q；Kc）L（τ（K）））anda=γM（τ（M）屈服断言（iii）。备注2.2.7因为向量cQ（Kc）（τ（K））Q-垂直于a ffinesubspace h（τ（K）），sinc e向量cQ（Kc）；Mc公司（τ（L）-c（Q；Kc）L（τ（K）））位于这一步，上述定理的第（ii）部分是勾股定理。备注2.2.8根据三垂线定理，向量cQ（Kc）；Mc公司（τ（L）-c（Q；Kc）L（τ（K）））与a ffne子空间eh（τ（M））垂直。2.3我们考虑（m+1）-维空间R×rm，具有一般向量（A，τ（m）），具有标准拓扑，且设γm={t（A，τ（m））∈ R×RM | a≥ γM（τ）}。当M 6=和^γ= [0, ∞)×{0}. 在所有情况下，pra（γM）=[0，∞). 集ΓMis是R×rman中的代数变体（因此是闭集），差γM=γM\\915; Mis是一个开放集，两者都不是空的。设γM（τ）=tτ（M）Rτ（M），其中R是s对称M×M-矩阵。根据定理em 2.2.1，（i），如果M 6=, 矩阵R为正定义。IfM=, 那么R是空矩阵。给定≥ 0，我们设置Ra={τ（M）∈RM |γM（τ（M））=a}，注意在RM中Rais是一个椭球体。任意水平集Γa，M={t（a，τ（M））∈ R×RM | a=γM（τ）}，a>0，与椭球雨RM同构，且Γ0，M={（0，0）}。给定≥ 0，表示E fff（a；Mc）={x∈ Rn | x=c（Mc）（τ），t（a，τ（M））∈ Γa，M}。我们通过规则νM:Rn定义实代数簇的态射→ R×RM，x 7→t（v（x），x（M））。定理2.2.1产生φM（Rn）=^γM，我们设置ΦM=Д-1M（^γM），用同一个字母表示φMonΦmb的限制。

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可人4

2022-6-1 03:13:23

自^1起-1M（t（a，τ（M））=qa，τ（M），我们建立了以下定理：定理2.3.1让ξ=（ΦM，ДM，^γM）是由映射图ИM定义的束。（i）限制ξ|γ与纤维-1M（t（a，τ（M）））=qa，τ（M），t（a，τ（M））∈ ~γM，为Rn中的椭球体-M中心c（Mc）（τ）。（ii）约束ξ|ΓMis是实代数m维arieties与逆同构Γm的同构→ eff（Mc），t（a，τ（M））7→ c（Mc）（τ），它映射任何水平集Γa，Monto E ff（a；Mc）。推论2.3.2集合eff（a；Mc）是Qa的一个实代数子簇，考虑到备注2，它通过ξΓmt与椭球体Γa，M同构。2.3，我们立即得到以下结果：推论2.3.3族{h（τ（M））|τ（M）∈ Γa，M}由所有（n- m） Rn中的维a f ne空间，它们都与向量ej，j生成的m维向量子空间正交∈ M，与椭球体Qa相切。2.4阴影us用ζm表示第二投影pr的限制：R×RM→ RMon^γM。成分φM=ζMo νMisΦMof的限制，Rn的投影平行于x（M）=0：φM：Rn定义的子空间W→ W⊥,φM（x）=x（M），此外，φ-1M（τ（M））=h（τ（M））。自设定日期起（a；Mc）Qais通过φMonto映射到椭球体Rain RMand由于Qais的内部点映射到Ra的内部点，我们可以将推论2.3.3的结果表述为阴影问题的解：命题2.4.1 All（n- m） -RN中具有公共方向向量子空间W的维空间，也与椭球QainRn相切，与正交补W相交⊥在椭球雨点处⊥ RM。RN中与Qa内部具有非空相交且与W平行的所有空间与W相交⊥在Ra的内部点。3椭球和超平面3.1椭球及其切向空间let v（x）=txQx为正定义的二次型。

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何人来此

2022-6-1 03:13:26

椭球体Qa的切向空间θxo的方程：v（x）=a，a>0，在点x处∈ Qaisθx（x）=a，其中θx（x）=txQx。为了所有的x∈ Qawe有x 6=0，由于矩阵qaS有秩n，我们得到Qx6=0。特别地，θxis是一个超平面，qa是Rn中的一个ooth超曲面。备注3.1.1“椭球体”Q={O}在其唯一点X=O的切空间为Rn。特别是，RNI的任何线性子空间都与Q相切。让a>0，让我们x a点x∈ 质量保证。对于任意向量u∈ 序号-1we用卢瑟线{z）表示∈ Rn | z=x+tu，t∈ R} 。引理3.1.2一个hasLu∩Q≤a={x+tu | 0≤ t型≤ -2θx（u）v（u）}，Lu∩Qa={x，x-2θx（u）v（u）u}。证明：不等式v（x+tu）≤ a等于2θx（u）t+v（u）t≤ 当且仅当t=0或t=-2θx（u）v（u）。引理3.1.3 Let x∈ 质量保证。（i）一个有Q≤一 θx(≤).（ii）一个有Q≤一∩θx=Qa∩ θx={x}。（iii）一个有Q≤a \\{x} θx（<）。证明：（i）让y∈ Q≤a、 y 6=x，让y∈ 鲁。带引理3的交流电源线。1.2，y=x+tu，其中0≤ t型≤ -2θx（u）v（u）。我们有θx（y）=θx（x）+tθx（u）=a+tθx（u）≤ 一- 2（θx（u））v（u）≤ a、（ii）假设存在一个点y，y 6=x，y∈ Q≤一∩ θx设u=ky-xk（y-x）。那么θx（u）=0，y∈ Lu，引理3.1.2表示Lu∩ Q≤a={x}-与y的矛盾∈ Lu公司∩ Q≤a、现在，因为包含{x} 质量保证∩θx Q≤一∩ θx={x}，第（ii）部分通过。第（i）和（ii）部分产生第（iii）部分。我们提醒，HRI是Rn中的超平面，由方程π（x）=r定义，其中π（x）是非零线性形式，qa，r=qa∩人力资源部。引理3.1.4设x∈ qa，r.（i）如果qa 人力资源部(≤), 如果Q<a，则hr=θx.（ii） hr（<），然后Qa 人力资源部(≤).证明：（i）当y通过Qa \\{x}时，则u=ky-xk（y- x）变量通过Sn双目标-1.∩ θx（<）。另一方面，由于Qa 人力资源部(≤),然后是y∈ Qa \\{x}yie ldsπ（y）≤ r、也就是π（x- 2θx（u）v（u）u）≤ r、因此θx（u）π（u）≥ 0表示所有u∈ 序号-1.∩ θx（<）。最后一个不等式也适用于ALU∈ 序号-1.∩ θx（>）因为θx(-u） π(-u）≥ 0

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nandehutu2022

2022-6-1 03:13:30

因此，我们有θx（u）π（u）≥ 0对于所有u∈ 序号-1，因此对于所有向量u∈ 注册护士。如果线性形式θx和π不成比例，则在适当改变坐标后，θx和π可以作为Rn-a矛盾中的坐标函数。（ii）让y∈ qa让我们设置yn=（1-n） y表示任意正整数n。Thenyn∈ Q<A和limn→∞yn=y。自Q<a以来 hr（<），我们得到hr（yn）<r，因此得到hr（y）≤ r、 3.2一些极值性质设hr：π（x）=r是Rn中的超平面，π（x）=px+····+pnxn，设usset p=t（p，…，pn）。我们表示qa，r=qa∩ 人力资源部。引理3.2.1 Let x∈ Rn \\{0}，a>0，r>0。以下四个语句是等效的：（i）一个有x∈ qa、rand Qx∈ Rp.（ii）一个具有rQx=ap和a=r（tpQ-1p）-1.（iii）一个有x∈ qa，randθx=小时。（iv）一个有qa，r={x}。证明：（一）==> （ii）设Qx=bp，b∈ R、我们有a=v（x）=txQx=tx（bp）=btpx=bπ（x）=br，因此rQx=ap。另一方面，我们得到a=txQx=artpQ-1arp=artpQ-1p，因此a=r（tpQ-1p）-1.（二）==> （i）我们有Qx∈ Rp、and、mo reover、tx=artpQ-1、π（x）=tpx=txp=artpQ-1p=arra=r，因此x∈ 人力资源部。最后，v（x）=txQx=artpQ-1Qx=artpx=arπ（x）=a，因此x∈ 质量保证。第（i）和（iii）部分的等效性很简单。第（iii）部分和引理3.1.3，（ii）暗示第（iv）部分。（四）==> （iii）设L={x+tz | t∈ R} ，z 6=0，是hr中的一条线，即π（z）=0。二次方程v（x+tz）的根=a对应于线L和椭球Qa的交点。考虑到v（x+tz）=v（x）+2θx（z）t+v（z）t，我们得到了等效方程2θx（z）t+v（z）t=0。由于qa，r={x}，这个二次方程的do-ubleroot t t=0，即θx（z）=0。

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能者818

2022-6-1 03:13:33

因此，我们在L θx，因此θx=hr。推论3.2.2在条件（i）–（iv）下，θx（x）=arπ（x）。注3.2.3如果x=0，则引理3.2.1的（i）、（ii）和（iv）部分在a=r=0时成立。让我们设置cp=（tpQ-1p）-1，E（Q）p={（a，r）| a=cpr，r≥ 0}，x（a，r）=arQ-任何（a、r）为1p∈ r>0的E（Q）pw，x（0，0）=0，andEf（Q）p={x∈ Rn | x=x（a，r），（a，r）∈ E（Q）p}。因此，集合E f（Q）p包含所有向量x∈ Rn满足引理3.2.1中的四个等价条件。请注意，0∈ Ef（Q）和if x（a，r）∈ Ef（Q）p，那么{x（a，r）}=qa，r。换句话说，引理3.2.1意味着推论3.2.4一个hasEf（Q）p=∪r≥0，a=cprqa，r。如果M是单态，定理2.2.1得出以下两个推论：推论3.2.5 Let x，x∈ Ef（Q）p，x=x（a，r），x=x（a，r）。（i）如果a=a，则qa，r={x}。（ii）如果a>a，则qa，ris是超平面hr中的椭球体。（iii）如果a<a，则qa，r=.推论3.2.6 Let x，x∈ Ef（Q）p，x=x（a，r），x=x（a，r）。（i）如果r=r，那么qa，r={x}。（ii）如果r<r，则qa，ris是超平面hr中的椭球体。（iii）如果r>r，则qa，r=.推论3.2.5和3.2.6暗示了以下两个等价命题：命题3.2.7 Let x，x∈ Ef（Q）p，x=x（a，r），x=x（a，r）。一个hasr=最大QA，r6=r和a=minqa，r6=a、命题3.2.8给定x∈ Ef（Q）p，其中π（x）=maxx∈Ef（Q）p，v（x）≤v（x）π（x）和v（x）=minx∈Ef（Q）p，π（x）≥π（x）v（x）。结果是我们可以找出约束条件x∈ 提案3.2中的Ef（Q）pf。我们有以下定理（例如，与[3，第2节]进行比较）。定理3.2.9设x∈ qa、rand r≥ 以下六条语句是等效的：（i）一条有x∈ Ef（Q）p.（ii）一个有π（x）=maxv（x）≤aπ（x）和v（x）=最小π（x）≥rv（x）。（iii）一个具有π（x）=maxv（x）≤aπ（x）。

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可人4

2022-6-1 03:13:36

（3.2.1）（iv）一个具有π（x）=maxv（x）=aπ（x）。（v）一个hasv（x）=最小π（x）≥rv（x）。（vi）一个hasv（x）=最小π（x）=rv（x）。证据：下面我们只证明这些含义，这些含义并不简单。如果r=0且x=x（a，0）∈ Ef（Q）p，然后a=0，x=0，并且等价物保持不变。现在，让r>0。特别是，我们有x6=0。（一）==> （ii）根据引理3.2.1，（iii）和Coro-llary 3.2.2，我们有x∈ qa，randθx（x）=arπ（x）。让我们假设v（x）≤ A或x∈ 注册护士。引理3.1.3，（i），隐含π（x）≤ r、现在，让π（x）≥ r、即θx（x）≥ A前体x∈ 注册护士。在这种情况下，引理3.1.3，（iii）产生v（x）≥ a、（三）==> （i）让X满足条件（3.2.1）。引理3.1.4，（i），表示θx=hr。现在引理3.2.1，（iii）完成了证明。（五）==> （i）。自Q<a hr（<），引理3.1.4产生θx=hr。在雅高dwith引理3.2.1，（iii）中，第（i）部分适用。4马科维茨几何在这一节中，我们统一了前两节的结果，并给出了Rn的一个子空间中同心椭球族和平行超平面族的切点的完整特征。4.1等式M 6=, l ∈ M，设L={l}, K=M\\L。让我们确定τ（K）的所有成分∈ RK：τ（K）=u（K），设置h（K）=h（u（K）），（K） =c（Q；Kc）（u（K）），γ（K）=γK（u（K））。我们表示r=τl, = （K）l, r′=r- , soτ（M）=τ（L，K）（r）。最后，我们设置a=γM（τ（L，K）（r））。我们提醒大家，在平移z=x之后-（K）坐标系的（zs）s∈Kc，其中zs=z（Kc）s，是具有原点的a ffinesubspace h（K）上的坐标函数系统（K）。在这种情况下，h（τ（M））=h（τ（L，K）（r））是h（K）中的超平面，方程zl= r′。特别是l-TH坐标向量p∈ RKc（thel-p的th分量为1，所有其他分量为零）是h（K）中h（τ（L，K）（r））的法向量。

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能者818

2022-6-1 03:13:39

我们设置π（x）=xl,π（Kc）（z）=zl, 注意，线性形式π（Kc）（z）是线性形式π（x）对h（K）的限制，用z表示。它来自推论2。2.6，（i），椭圆体qac e h（K）上的轨迹qa，u（K）不是nempt，超平面h（τ（L，K）（r））在p点c（Q；Mc）（τ（L，K）（r））与椭圆体qa，u（K）相切。为了将第2节和第3节中的符号粘在一起，我们设置a′=a- γ（K），h（τ（L，K）（r））=hr′，qa′，r′=qa，u（K）∩ hr′=Q（Kc）a′∩ hr′。定理4.1.1（i）如果r′≥ 0，thenx（a′，r′）=c（Q；Mc）（τ（L，K）（r））（4.1.1）和x（0，0）=（K）。（ii）单相OFF（Q；Mc）l+= Ef公司Q（Kc）p、证明：（i）a ffne空间h（τ（L，K）（r））是h（K）中的超平面，它与c（Q；Mc）（τ（L，K）（r））点处的椭球qa，u（K）相切。特别是Q（Kc）a′∩ hr′={c（Q；Mc）（τ（L，K）（r））}和引理3。2.1，（ii），对于Cp=（tpQ），产生a′=cpr′-1p）-因此，当r′时≥ 0，我们有（a′，r′）∈ E（Q）和质量（4.1.1）保持不变。此外，如果r′=0，则a′=0，γM（τ（L，K）（r））=γ（K），且花冠y 2.2.6，（ii），（iii）表示γQ（Kc）L（τ（L）-c（Q；Kc）L（u（K））=0，hencecQ（Kc）；Mc公司（（τ（L））- c（Q；Kc）L（u（K）））=0。换句话说，c（Q；Mc）（τ（L，K）()) = c（Q；Kc）（u（K））。这表明x（0，0）=c（Q；Kc）（u（K））=（K）等式（4.1.1）证明了第（i）部分，进而得出第（ii）部分。定理4.1.2设x=c（Q；Mc）（τ（L，K）（r））∈ EFF（Q；Mc）l+. 一个是r=π（x），如果a=v（x），那么π（x）=maxx∈h（K），v（x）≤aπ（x）和v（x）=minx∈h（K），π（x）≥rv（x）。（4.1.2）证明：根据定理4.1.1，我们有r′=r- ≥ 0，因此x=x（a，r）∈ Ef公司Q（Kc）p、设x=z+（K）。

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nandehutu2022

2022-6-1 03:13:43

定理3.2.9，（i）、（ii）表示π（Kc）（z）=maxz∈h（K），v（Kc）（z）≤a′π（Kc）（z）和v（Kc）（z）=minz∈h（K），π（Kc）（z）≥r′v（Kc）（z）。因为π（Kc）（x）=π（z）+, 在h（K）上，v（x）=v（Kc）（z）+γ（K），因为r′=r-,a′=a- γ（K），我们建立了地震属性（4.1.2）。4.2解释设k、m和n为带n的整数≥ 2, 0 ≤ k<n- 1，m=k+1，且设m={n- k、 n个- k+1，n} ，K={n- k+1，n} ，L={n- k} 。Leth（j）：π（j）（y）=τj，j∈ M，是Rn中线性独立的一个超平面。我们fix h（n）：y+···+yn=1，所以τn=1，并用∏表示该超平面。由于π（j）（y）是线性独立的线性形式，我们可以改变坐标inRn:y=Ax，从而使超平面h（j）具有方程xj=τj，j∈ M，而且，xi=yi，i∈ [n] \\M。我们定义τ（K）：τ（K）=u（K）（un=1），并将h（n）=∏解释为包含所有具有n项资产的金融投资组合的超平面（此处分析了投资于第s项资产的相对金额，s=1，…，n）。a ffne子空间h（n-k+1）∩. . . ∩h（n-1）（如果m=2，则等于Rnif m=2）表示多个附加线性约束条件，其在∏上的轨迹为a ffne空间C=h（K）=h（n-k+1）∩h（n-1)∩ . . . ∩ 关于∏的线性约束条件的∏。我们表示l = n- k、 π(l)（y） =π（y），设r=τl可变。当线性形式为π（y）的ysin前面的系数是s-thasset的预期收益时，s=1，n、超平面h=h的迹(l), h：π（y）=r，on∏可解释为所有预期收益率为r的金融投资组合的集合。此外，C上的炒作平面h的轨迹可解释为所有预期收益率为r的金融投资组合的集合，这些投资组合符合上述∏上的行ar约束条件。另一方面，如果v（x）=txQx，其中ta-1QA-1是单个资产预期收益产生的n×n协方差矩阵，我们可以将v（x）解释为投资组合x的风险。

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大多数88

2022-6-1 03:13:46

定理m 4.1.2得出rayE=eff（Q；Mc）l+具有端点（K）是满足线性约束条件C的所有Markowitz有效投资组合的轨迹(（K））是风险的绝对最小值，就x坐标而言l-的第个组件（K）是给定约束条件下相应expec tedreturn r的绝对最小值。为了将这种方法与经典方法联系起来，我们必须研究∩, 哪里是单位单纯形在∏上的迹，因为E的成员∩ 是指没有短期销售的有效投资组合。此外，这个交叉点的属性是金融市场的特征。附录在本附录中，我们免费使用本文正文中介绍的符号。A、 1三个Lemmathe分区Mc∪ 指数集合的M=[n]生成以下分区矩阵：任何向量x=t（x，…，xn）∈ Rn可以可视化为asx=t（x（Mc），x（M）），任何n×n矩阵Q可以可视化为Q（Mc）Q（Mc×M）Q（M×Mc）Q（M）.引理A.1.1设Q为对称的n×n矩阵，设v（x）=txQx为相应的二次型。

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nandehutu2022

2022-6-1 03:13:49

一个hasv（x）=tx（Mc）Q（Mc）x（Mc）+2tx（Mc）Q（Mc×M）x（M）+tx（M）Q（M）x（M）。证明：我们有v（x）=txQx=（tx（Mc），tx（M））Q（Mc）Q（Mc×M）tQ（Mc×M）Q（M）t（x（Mc），x（M））=tx（Mc）Q（Mc）x（Mc）+2tx（Mc）Q（Mc×M）x（M）+tx（M）Q（M）x（M）。下面我们假设Q（Mc）是可逆矩阵。引理A.1.2 Letc（Mc）Mc（x（M））=-（Q（Mc））-1Q（Mc×M）x（M），c（Mc）（x（M））=t（c（Mc）Mc（x（M）），x（M）），并设γM（x（M））=-tc（Mc）Mc（x（M））Q（Mc）c（Mc）Mc（x（M））+tx（M）Q（M）x（M）。（i） γM（x（M））是x（M）中的二次型，γM（x（M））=tx（M）[Q（M）-tQ（Mc×M）（Q（Mc））-1Q（Mc×M）]x（M），其中一个具有γM（x（M））=v（c（Mc）（x（M））。（ii）如果v（x）是x中的正定义二次型，那么γM（x（M））是x（M）中的正定义二次型。证明：（i）我们首先注意到sincetc（Mc）Mc（x（M））Q（Mc）c（Mc）Mc（x（M））=tx（M）tQ（Mc×M）（Q（Mc））-1QMc×Mx（M），我们得到γM（x（M））的上述表达式。

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kedemingshi

2022-6-1 03:13:52

另一方面，引理A.1.1impliesv（c（Mc）（x（M））=tc（Mc）Mc（x（M））Q（Mc）c（Mc）Mc（x（M））+2tc（Mc）Mc（x（M））Q（M）x（M）+tx（M）Q（M）x（M）。考虑到Q（Mc×M）x（M）=-Q（Mc）c（Mc）Mc（x（M）），我们建立了它们的一致性。（ii）In足以说明c（Mc）（x（M））=0当且仅当x（M）=0。现在，让我们用rulez（τ（M））=x来转换坐标系- c（Mc）（τ（M））。引理A.1.3如果x（M）=τ（M），那么v（x）=tz（Mc）Q（Mc）z（Mc）+γM（τ（M））。证明：根据ord和引理A.1。1，我们有v（x）=tx（Mc）Q（Mc）x（Mc）+2tx（Mc）Q（Mc×M）τ（M）+tτ（M）Q（M）τ（M）=tx（Mc）Q（Mc）x（Mc）- 2tx（Mc）Q（Mc）c（Mc）Mc（τ（M））+tτ（M）Q（M）τ（M）=t（z（Mc）+c（Mc）Mc（τ（M）））Q（Mc）（z（Mc）+c（Mc）Mc（τ（M）））-2t（z（Mc）+c（Mc）Mc（τ（M）））Q（Mc）c（Mc）Mc（τ（M））+tτ（M）Q（M）τ（M）=tz（Mc）Q（Mc）z（Mc）+tc（Mc）McQ（Mc）c（Mc）Mc+2tz（Mc）Q（Mc）c（Mc）Mc-tz（Mc）Q（Mc）c（Mc）Mc- 2tc（Mc）McQ（Mc）c（Mc）Mc+tτ（M）Q（M）τ（M）=tz（Mc）Q（Mc）z（Mc）+γM（τ（M））。AsKnowledgements我要感谢保加利亚科学院数学和信息研究所的管理机构为工作创造了完美的条件。该论文部分得到保加利亚科学基金的支持[总数字I02/18]。参考文献[1]H.Markowitz，《投资组合选择》，《金融杂志》，第7卷，第1期，（1952），77-91。[2] H.Markowitz，《投资组合选择》，第二版，Blackwell 1991年。[3] S.Stoyanov，S.Rachev，F.Fabozzi，《最佳金融投资组合》，应用数学金融杂志，第14卷（2007），401-436。

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