在x轴上，我们绘制积分点数的对数，即m，而在y轴上，我们绘制64次运行结果的标准偏差的对数。我们可以看到，正如在许多实际例子中一样，主成分分析的性能最好。也许令人惊讶的是，使用两个独立的布朗桥结构的想法比两个组合变换的性能差，但仍然比相同的变换好得多。我们将此图补充为【19】中示例的对应图。该“棘轮”选项的收益为F（STd，S2Td，…，ST）=ddXj=1[0，∞)SjTd公司- S（j-1） Td公司SjTd。误差绘制在8的右侧。我们可以看到，在亚式期权的情况下非常成功的正交变换现在的性能优于恒等式。aeaeaeaeaeaeaeaeìììììììòòòòòòòòòò-5-4-3-2-1òBB2ìPCA BBae向前图8：不同转换下亚洲期权价格的趋同。右：棘轮选项的图形相同。因此，必须记住，正交变换的选择必须符合Payoff函数。究竟应该如何做到这一点，以及对于哪种类型的支付，它会加速收敛，仍有待研究。参见示例【12，13】，其中尝试选择正交变换，以尽可能多地将方差放入FirstInput变量的相关性中。为此，用线性函数g（“回归”）近似Payoff，并计算正交（Householder-）变换V，如goV只依赖于X。此V被视为原始问题的正交变换。最后给出了一个多级蒙特卡罗与正交变换和QMC相结合的例子。

我们将多级QMC方法与文献[12]中的回归算法与多级蒙特卡罗和多级准蒙特卡罗（正向和PCA采样）进行了数值比较。为此，我们选择Black-Scholes模型中的参数为r=0.04，σ=0.3，S=100，我们的目标是对参数为K=100和T=1的亚洲看涨期权进行估值。在最底层，我们选择2个离散点，在每一个较粗的层级，点的数量除以2，即L=10，M=2。从最底层的NL样本点开始，每个层级的样本点数量都会翻倍。对于QMC方法，我们采用随机移位的Sobolsequence。在表1中，我们比较了基于1000次独立运行的亚洲看涨期权价格的平均偏差和标准偏差的不同值。此外，onerun的平均计算时间在括号中给出。正如我们所见，回归算法产生的标准差最小，但回归算法的计算时间略高于正向方法。

回归算法在标准差和计算时间上都优于PCA构造。多级QMCMonte-Carlo正向主成分分析回归nlaverage stddev average stddev average stddev average stddev average stddev average stddev2 7.717 0.41×107.735 0.19×10-17.736 0.16 × 10-17.739 0.10 × 10-1（0.0057秒）（0.0057秒）（0.0088秒）（0.0069秒）4 7.738 0.19×107.734 0.71×10-27.736 0.44 × 10-27.738 0.29 × 10-2（0.0074秒）（0.0074秒）（0.0118秒）（0.0091秒）8 7.748 0.54×10-17.737 0.30 × 10-27.737 0.14 × 10-27.736 0.10 × 10-2（0.0101秒）（0.0100秒）（0.0165秒）（0.0124秒）16 7.746 0.40×10-17.736 0.11 × 10-27.737 0.69 × 10-37.736 0.30 × 10-3（0.0157秒）（0.0157秒）（0.0279秒）（0.0194秒）32 7.728 0.31×10-17.736 0.49 × 10-37.737 0.21 × 10-37.736 0.10 × 10-3（0.0266秒）（0.0265秒）（0.0585秒）（0.0326秒）64 7.739 0.81×10-27.736 0.20 × 10-37.737 0.69 × 10-47.737 0.32 × 10-4（0.0486秒）（0.0484秒）（0.1202秒）（0.0583秒）表1：使用2个时间步长（L=10）的多级（Q）MC。期权价格的平均值和标准差以1000次为基础。括号中给出了平均计算时间。参考文献【1】L.Andersen。赫斯顿随机波动率模型的简单有效模拟。计算金融杂志，11（3），2008年。[2] A.N.Avramidis和P.L\'Ecuyer。方差伽马模型下的有效蒙特卡罗和准蒙特卡罗期权定价。管理Sci。，52:1930–1944, 2006.[3] R.E.Ca flisch、W.Moroko ff和A.Owen。使用布朗桥对抵押贷款支持证券进行估值，以减少有效维度。《计算金融杂志》，1（1）：27–461997年。[4] R.Cont和P.Tankov。具有跳跃过程的金融建模。查普曼和霍尔/华润金融数学系列。查普曼和霍尔/CRC，2012年。[5] F.Delbaen和W.Schachermayer。套利的数学。Springer，2006年。[6] A.Eichler、G.Leobacher和H.Zellinger。

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